geometría_analitica

Geometría Analítica

1. El triángulo cuyos vértices son los puntosA(3; 3); B(�3;�3) y C(�3p3; 3p3)

es un triángulo:

a) Equilátero b) Isósceles c) Escaleno d) Equilátero e IsóscelesEncontramos la distancia entre cada punto:

d(A;B) =p(�3� 3)2 + (�3� 3)2

=p36 + 36

=p72

= 6p2

d(B;C) =

q(�3

p3� (�3))2 + (3

p3� (�3))2

=

q(3� 3

p3)2 + (3

p3 + 3)2

=

q32 � (2)(3)(3

p3) + (3

p3)2 + (3

p3)2 + (2)(3

p3)(3) + 32

=p9 + 27 + 27 + 9

=p72

= 6p2

d(C;A) =

q(3� (�3

p3))2 + (3� 3

p3)2

=

q(3 + 3

p3)2 + (3� 3

p3)2

=

q32 + (2)(3)(3

p3) + (3

p3)2 + 32 � (2)(3)(3

p3) + (3

p3)2

=p9 + 27 + 9 + 27

=p72

= 6p2

De lo anterior se puede ver que la distancia entre cada punto es la misma,por lo cual el triángulo es equilátero e isósceles.R. d)

1

Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov"[email protected]@[email protected]

2. El perímetro P y el áreaA del cuadrilátero cuyos vértices sonA(�3;�1); B(0; 3); C(3; 4)y D(4;�1) son:

a) P = 20u; A = 22u2 b) 22u; A = 22u2 c) P = 20u; A = 22u2 d) P = 20u; A = 22u2

Gra�cando en el plano los puntos dados tenemos:

Hallamos las distancias: d(A;B); d(B;C); d(C;D) y d(D;A)

d(A;B) =p(0� (�3))2 + (3� (�1))2

=p9 + 16

=p25

= 5

d(B;C) =p(3� 0)2 + (4� 3)2

=p9 + 1

=p10

d(C;D) =p(4� 3)2 + (�1� 4)2

=p1 + 25

=p26

d(D;A) =p(�3� 4)2 + (�1� (�1))2

=p49 + 0

= 7

El perímetro es: P = 5 +p10 +

p26 + 7 = 20u

2


Para hallar el área del trapezoide, lo dividimos en cuatro partes: rectánguloBFGE, triángulo AEB, triángulo BFC y triángulo CDG. Ahora hallamos el áreade cada �gura:Rectángulo BFGE:

A = b � hA = 3 � 4A = 12u2

Triángulo AEB:

A =b � h2

A =3 � 42

A = 6u2

Triángulo BFC:

A =b � h2

A =3 � 12

A = 1:5u2

Triángulo CDG:

A =b � h2

A =1 � 52

A = 2:5u2

El área del trapezoide es: A = 12u2 + 6u2 + 1:5u2 + 2:5u2 = 22u2

R. a)

3. Los vértices de un triángulo son A(3; 8); B(2;�1); C(6;�1): La longitud dela mediana trazada al lado BC es:

a)p28 b) 28 c)

p82 d) 82

Según los datos dados tenemos la �gura:

3


Calculamos las coordenadas del punto D:

x =x1 + x22

x =2 + 6

2

x =8

2x = 4

y =y1 + y22

y =�1 + (�1)

2

y =�1� 12

y =�22

y = �1

Encontramos la distancia d(A;D) :

d(A;D) =p(x2 � x1)2 + (y2 � y1)2

=p(4� 3)2 + (�1� 8)2

=p1 + 81

=p82

R. c)

4


4. Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud 5 es el puntoA(3;�2): Si la abcisa del otro extremo es 6; su ordenada es:

a) 2 b) 2 y �6 c) �6 d) 5

Según los datos los puntos son: A(3;�2) y B(6; y) y d(A;B) = 5: Así:

d(A;B) =p(x2 � x1)2 + (y2 � y1)2

5 =p(6� 3)2 + (y � (�2))2

5 =p9 + (y + 2)2

5 =p9 + y2 + 4y + 4

5 =p13 + y2 + 4y

52 = (p13 + y2 + 4y)2

25 = 13 + y2 + 4y

25� 13 = y2 + 4y

y2 + 4y � 12 = 0

(y + 6)(y � 2) = 0

y + 6 = 0 ; y � 2 = 0y = �6 ; y = 2

De lo anterior se ve que la ordenada puede ser: 2 ó �6:R. b)

5. Sea un segmento cuyos extremos son los puntos A(�2; 3) y B(6;�3): Lospuntos de trisección del segmento son:

a) ( 23 ; 1); (103 ;�1) b) ( 23 ;�1); (

103 ; 1) c) (� 2

3 ; 1); (103 ;�1) d) ( 23 ; 1); (

103 ; 1)

Los puntos de trisección están dados por: P1 = 23A +

13B y P2 =

13A+

23B: Así:

P1 =2

3A+

1

3B

P1 =2

3(�2; 3) + 1

3(6;�3)

P1 = (�43; 2) + (2;�1)

P1 = (2

3; 1)

5


P2 =1

3A+

2

3B

P2 =1

3(�2; 3) + 2

3(6;�3)

P2 = (�23; 1) + (4;�2)

P2 = (10

3;�1)

Por lo cual P1 = (23 ; 1) y P2 = (103 ;�1):

R. a)

6. Uno de los extremos de un segmento es el punto (7; 8) y su punto medio es(4; 3): El otro extremo es:

a) (1; 2) b) (�1;�2) c) (�1; 2) d) (1;�2)

De las coordenadas del punto medio se tiene:

x =x1 + x22

; y =y1 + y22

4 =7 + x

28 = 7 + x

x = 1

3 =8 + y

26 = 8 + y

y = �2

Así el punto buscado es (1;�2)R. d)

7. Una recta de pendiente 3 pasa por el punto (3; 2). Si la abcisa de otro puntode la recta es 4; su ordenada es:

a) � 5 b) 5 c) �4 d) 4

6


Según los datos dados: m = 3, A(3; 2) y B(4; y)Utilizamos la ecuación de la pendiente:

m =y2 � y1x2 � x1

3 =y � 24� 3

3 =y � 21

3 = y � 2y = 5

La ordenada buscada es:R. b)

8. Un triángulo tiene vértices A(�2; 1); B(3; 4) y C(5;�2): Los ángulos interi-ores del triángulo son:

a) 75o380; 58o150; 46o70 c) 77o280; 54o100; 48o; 220

b) 68o300; 49o100; 62o200 d) 82o120; 56o160; 41o320

Según los datos dados tenemos la �gura:

Encontramos las distancias: d(A;B); d(B;C) y d(C;A):

d(A;B) =p(3� (�2))2 + (4� 1)2

=p25 + 9

=p34

d(B;C) =p(5� 3)2 + (�2� 4)2

=p4 + 36

=p40

7


d(C;A) =p(�2� 5)2 + (1� (�2))2

=p49 + 9

=p58

Utilizando las leyes de los cosenos tenemos:

a2 = b2 + c2 � 2bc cosA

A = cos�1(a2 � b2 � c2

�2bc )

A = cos�1((p40)2 � (

p58)2 � (

p34)2

�2(p58)(

p34)

)

A = cos�1(40� 58� 34�2(

p1972)

)

A = cos�1(�52

�4p493

)

A = 54:16

b2 = a2 + c2 � 2ac cosB

B = cos�1(b2 � a2 � c2�2ac )

B = cos�1((p58)2 � (

p40)2 � (

p34)2

�2(p40)(

p34)

)

B = cos�1(58� 40� 34�2(

p1360)

)

B = cos�1(�16�8p85)

B = 77:47

c2 = a2 + b2 � 2ab cosC

C = cos�1(c2 � a2 � b2�2ab )

C = cos�1((p34)2 � (

p40)2 � (

p58)2

�2(p40)(

p58)

)

C = cos�1(34� 40� 58�2p2320

)

C = cos�1(�64

�8p145

)

C = 48:37

8


Los ángulos buscados son: 54:16; 77:47 y 48:37: R. c)

9. Una recta l1 pasa por los puntos A(3; 2) y B(�4;�6) y otra recta l2 pasa porlos puntos C(�7; 1) y el punto D(x;�6): Sabiendo que l1 es perpendiculara l2, el valor de x es:

a) � 1 b) 3 c) �3 d) 1

Como l1 es perpendicular a l2, entonces el producto de sus pendientes es �1(m1m2 = �1)Hallamos las pendientes de ambas rectas:

m1 =�6� 2�4� 3

=8

7

m2 =�6� 1x� (�7)

=�7x+ 7

Encontrando el producto de ambas pendientes:

m1m2 = �1

(8

7)(�7x+ 7

) = �1

�8x+ 7

= �1

8

x+ 7= 1

8 = x+ 7

x = 8� 7x = 1

R. d)

10. Una recta de pendiente �2 pasa por el punto A(�1; 4), su ecuación en laforma simétrica es:

a) � x+ y2 = 1 b) x+ y

2 = 1 c) x� y2 = 1 d) x+ y

2 = �1

La ecuación en forma simétrica de la recta es:

x

a+y

b= 1

De los datos dados la pendiente de la recta es: m = �2 y pasa por A(�1; 4),así:

9


m =y2 � y1x2 � x1

�2 =y � 4

x� (�1)

�2 =y � 4x+ 1

�2x� 2 = y � 4y + 2x = �2 + 42x+ y = 2

x+y

2= 1

R. b)

11. Una recta tiene pendiente �4 y pasa por el punto de intersección de lasrectas 2x+ y�8 = 0 y 3x�2y+9 = 0: La ecuación general de la recta es:

a)4x+ y � 10 = 0 b)4x+ y + 10 = 0 c)4x� y � 10 = 0 d)� 4x+ y � 10 = 0

Encontramos el punto de intersección de las rectas: 2x + y � 8 = 0 y 3x �2y + 9 = 0: �

2x+ y � 8 = 03x� 2y + 9 = 0 !

�4x+ 2y � 16 = 03x� 2y + 9 = 0

! 7x� 7 = 0! 7x = 7

! x = 1

Sustituyendo x = 1 en 2x+ y � 8 = 0; se tiene:

2x+ y � 8 = 0

2(1) + y � 8 = 0

2 + y � 8 = 0

y � 6 = 0

y = 6

Así, el punto de intersección es: (1; 6)

10


Utilizando la forma de la pendiente, se tiene:

m =y2 � y1x2 � x1

�4 =y � 6x� 1

�4(x� 1) = y � 6�4x+ 4 = y � 6�4x� y = �6� 4�4x� y = �104x+ y = 10

R. a)

12. Los extremos de un segmento son P1(�3; 2) y P2(1; 6), la ecuación de lamediatriz del segmento es:

a)� x+ y � 3 = 0 b)x+ y � 3 = 0 c)x+ y + 3 = 0 d)x� y � 3 = 0

Encontramos la pendiente (m1) del segmento dado:

m1 =6� 2

1� (�3)

m1 =4

4m1 = 1

Encontramos el punto medio del segmento dado:

x =�3 + 12

x =�22

x = �1

y =6 + 2

2

y =8

2y = 4

El punto medio es: (�1; 4):Como la mediatriz es la recta perpendicular al segmento dado en su punto

medio, el producto de las pendientes del segmento y la mediatriz debe ser �1:Así:

m1m2 = �11 �m2 = �1m2 = �1

11


Entonces:

m2 =y � 4

x� (�1)

�1 =y � 4x+ 1

�1(x+ 1) = y � 4�x� 1 = y � 4

�x� y � 1 + 4 = 0

�x� y + 3 = 0

x+ y � 3 = 0

R. b)

13. Una recta pasa por el punto A(7; 8) y es paralela a la recta que pasa porlos puntos C(�2; 2) y D(3;�4): Su ecuación general es:

a)� 6x+ 5y � 82 = 0 b)6x� 5y � 82 = 0 c)6x+ 5y � 82 = 0 d)6x+ 5y + 82 = 0

Como las rectas son paralelas, sus pendientes son iguales. Así m1 = m2

Encontramos m2 (pendiente de la recta que pasa por C(�2; 2) y D(3;�4)):

m2 =�4� 23� (�2)

m2 =�63 + 2

m2 = �65

Así, la pendiente m1 = � 65 (pendiente de la recta que pasa por A). De la

ecuación para el cálculo de la pendiente:

m1 =y � 8x� 7

�65

=y � 8x� 7

�6(x� 7) = 5(y � 8)�6x+ 42 = 5y � 40

�6x� 5y + 42 + 40 = 0

�6x� 5y + 82 = 0

6x+ 5y � 82 = 0

R. c)

12


14. La recta k2x+ (k+1)y+3 = 0 es ortogonal a la recta 3x� 2y� 11 = 0; elvalor de k es:

a) 1+p7

3 b) 1�p7

3 c) 1�p7

3 d) �1�p7

3

Si las rectas son ortogonales, entonces son perpendiculares.Llevamos las ecuaciones de las rectas a la forma y = mx+ b:

k2x+ (k + 1)y + 3 = 0

k2x+ (k + 1)y = �3(k + 1)y = �k2x� 3

y =�k2x� 3k + 1

y = � k2

k + 1x� 3

k + 13x� 2y � 11 = 0

3x� 2y = 11

�2y = 11� 3x

y =11� 3x�2

y = �112+�3x�2

y =3

2x� 11

2

De las ecuaciones anteriores puede verse que las pendientes son: � k2

k+1 y32 ;

13


así:

(� k2

k + 1)(3

2) = �1

� 3k2

2k + 2= �1

�3k2 = �1(2k + 2)�3k2 = �2k � 2

�3k2 + 2k + 2 = 0

3k2 � 2k � 2 = 0

k1;2 =�(�2)�

p(�2)2 � 4(3)(�2)2(3)

k1;2 =2�

p4 + 24

6

k1;2 =2�

p28

6

k1;2 =2� 2

p7

6

k1;2 =2(1�

p7)

6

k1;2 =1�

p7

3

k1 =1 + 2

p2

3; k2 =

1� 2p2

3

R. b)

15. Sean las rectas paralelas 3x � 4y + 8 = 0 y 6x � 8y + 9 = 0: La distanciaentre ellas es:

a) 10 b) 107 c) 7 d) 710

Encontramos el intercepto de la recta 3x� 4y + 8 = 0 con el eje x:

3(0)� 4y + 8 = 0

�4y + 8 = 0

�4y = �8

y =�8�4

y = 2

Obtenemos el punto P1(0; 2)

14


La fórmula para el cálculo de la distancia entre ambas rectas es:

d =jAx1 +By1 + Cjp

A2 +B2

Los coe�cientes A; B y C; los tomamos de la recta: 6x � 8y + 9 = 0; y lospuntos x1; y1 del punto P1 encontrado:

d =jAx1 +By1 + Cjp

A2 +B2

d =j6(0) + (�8)(2) + 9jp

62 + (�8)2

d =j�16 + 9jp36 + 64

d =j7jp100

d =7

10

R. d)

16. La ecuación de una circunferencia es x2+ y2 = 50: El punto medio de unacuerda de esta circunferencia es el punto (�2; 4): La ecuación de lacuerda es:

a)x� 2y � 10 = 0 b)x� 2y + 10 = 0 c)x+ 2y + 10 = 0 d)2x� 2y + 10 = 0

Gra�camos la ecuación de la circunferencia dada: x2 + y2 = 50: Ubicamosel punto medio de la cuerda (�2; 4); y observamos que ésta sólo puede tener laubicación mostrada en la grá�ca.

15


10 8 6 4 2 2 4 6 8 10

10

8

6

4

2

2

4

6

8

10

x

y

Se observa de la grá�ca de la cuerda que ésta corta el eje y en el punto (0; 5);por lo cual: b = 5: Calculando la pendiente de la cuerda, se tiene:

m =5� 4

0� (�2)

m =1

2

Así, utilizando la forma y = mx+ b se tiene:

y =1

2x+ 5

y =x+ 10

22y = x+ 10

x� 2y + 10 = 0

R. b)

17. Un espejo parabólico tiene una profundidad de 12cm en el centro y undiámetro en la parte superior de 32cm: ¿Cuál es la distancia del vértice alfoco?

a) 163 b) � 163 c) 3

16 d) 4

Según los datos del problema tenemos el punto (12; 16), que se muestra enla grá�ca siguiente:

16


12 10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 12

16

14

12

10

8

6

4

2

2

4

6

8

10

12

14

16

x

y

De lo mostrado anteriormente y usando el punto (12; 16); utilizamos laecuación: y2 = 4Px; así:

162 = 4P (12)

256 = 48P

P =256

48

P =16

3

R. a)

18. La ecuación de la hipérbola de centro en el origen, eje focal 12 y pasa porel punto (8; 14) es:

a) x2

252 �y2

36 = 1 b) x2

36 �y2

252 = 1 c) y2

252 �x2

36 = 1 d) x2

252 +y2

36 = 1

Como el eje focal de la hipérbola es 12, entonces c = 6: Por tanto la ecuaciónde la hipérbola es de la forma:

x2

a2� y

2

b2= 1:

17


Como la hipérbola pasa por el punto (8; 14); entonces:

82

a2� 14

2

b2= 1

64b2 � 196a2a2b2

= 1

64b2 � 196a2 = a2b2

64b2 � 196(36� b2) = (36� b2)b2 porque a2 = c2 � b2

64b2 � 7056 + 196b2 = 36b2 � b4

260b2 � 36b2 + b4 � 7056 = 0

b4 + 224b2 � 7056 = 0

u2 + 224u� 7056 = 0 haciendo u = b2

u1;2 =�224�

p2242 � 4(1)(�7056)2(1)

u1;2 =�224�

p50176 + 28224

2

u1;2 =�224�

p78400

2

u1;2 =�224� 280

2

u1 =�224 + 280

2=56

2= 28

u2 =�224� 280

2=�5042

= �252

Tomamos el valor positivo, por tanto: u = 28; y como u = b2; entonces:b2 = 28: De la relación a2 = c2 � b2; se tiene: a2 = 36 � 28 = 8: Por lo cual laecuación buscada es:

x2

8� y2

28= 1

.

19. En una elipse, los radios focales son los segmentos que unen los focoscon un punto cualquiera de ella. Las ecuaciones de las rectas quecontienen los radios focales correspondientes al punto (2; 3) de laelipse 3x2 + 4y2 = 48 son:

a) x� 2 = 0; 3x� 4y + 6 = 0 b) x+ 2 = 0; 3x� 4y + 6 = 0c) x� 2 = 0; 3x+ 4y + 6 = 0 d) x+ 2 = 0; 3x+ 4y � 6 = 0

18


De la ecuación de la elipse 3x2 + 4y = 48, se tiene:

3x2 + 4y = 48

3x2

48+4y2

48=

48

48x2

16+y2

12= 1

Esta última ecuación tiene la forma: x2

a2 +y2

b2 = 1; por lo cual: a2 = 16;b2 = 12 y c2 = 4 (ya que a2 = b2 + c2): Entonces tenemos los puntos: A(2; 3);F 0(2; 0) y F (�2; 0)Encontramos la pendiente m1 usando los puntos A y F:

m1 =0� 3�2� 2 =

3

4

y =3

4x+ b utilizando la forma y = mx+ b

3 =3

4(2) + b

3 =3

2+ b

b = 3� 32=6� 32

=3

2

y =3

4x+

3

23

4x� y + 3

2= 0

3x� 4y + 64

= 0

3x� 4y + 6 = 0: Ecuación de la recta 1

Para la ecuación de la otra recta, usamos los puntos A y F 0:

m2 =0� 32� 2

Vemos que el resultado anterior para la pendiente m2 se nos inde�ne, alobservar los puntos A(2; 3) y F 0(2; 0); vemos que tienen el mismo valor para x,esto indica que la línea es vertical, por lo tanto x = 2; y así la ecuación de larecta 2 es: x� 2 = 0:R. a)

20. La ecuación de la circunferencia que pasa por el origen y tiene su centro enel punto común a las rectas x+ 3y � 6 = 0 y x� 2y � 1 = 0 = 0 es:

a) x2 � y2 � 6x� 2y = 0 b) x2 + y2 + 6x� 2y = 0c) x2 + y2 � 6x+ 2y = 0 d) x2 + y2 � 6x� 2y = 0

19


Para encontrar el punto común de ambas rectas, resolvemos el sistema:�x+ 3y = 6x� 2y = 1

�x+ 3y = 6x� 2y = 1 !

�x+ 3y = 6

�x+ 2y = �1 ! 5y = 5! y =5

5= 1

x+ 3(1) = 6 sustituyendo y = 1 en x+ 3y = 6

x+ 3 = 6

x = 6� 3x = 3

El punto común de ambas rectas es A(3; 1):La forma de la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen y tiene

su centro en (3; 1) es: (x� h)2 + (y � k)2 = r2:Debemos encontrar el valor de r = d(O;A): Así:

d(O;A) =p(3� 0)2 + (1� 0)2

d(O;A) =p9 + 1

d(O;A) = r =p10

Sustituyendo el valor de r, el punto común (3; 1) encontrado en la forma dela ecuación de la circunferencia anterior y resolviendo se tiene:

(x� 3)2 + (y � 1)2 = 10

x2 � 6x+ 9 + y2 � 2y + 1 = 10

x2 + y2 � 6x� 2y + 10� 10 = 0

x2 + y2 � 6x� 2y = 0

R. d)

21. La ecuación de una hipérbola con centro en el origen, longitud del ejetransverso 8; excentricidad 4

3 y con focos sobre el eje X es:

a)7x2 + 9y2 = 112 b)9x2 � 7y2 = 112 c)7y2 � 9x2 = 112 d)7x2 � 9y2 = 112

Como la longitud del eje transverso es 8; entonces a = 4: Como e = 43 y

20


e = ca ; se tiene:

e =c

a

4

3=

pa2 + b2

a4a

3=

pa2 + b2

(4 � 43)2 = (4)2 + b2

256

9= 16 + b2

256

9� 16 = b2

b2 =256� 144

9

b2 =112

9

De los datos dados la hipérbola tiene como ecuación: x2

a2 �y2

b2 = 1: Susti-tuyendo a2 y b2; se tiene:

x2

16� y2

1129

= 1

x2

16� 9y2

112= 1

7x2 � 9y2112

= 1

7x2 � 9y2 = 112

R. d)

22. El �lamento de una lámpara de �ash está a 38 de pulgadas del vértice del

re�ector parabólico y se encuentra en su foco. La ecuación del re�ector,suponiendo que está dirigido hacia la derecha y su vértice en el origen es:

a)3x� 2y2 = 0 b)3x+ 2y2 = 0 c)2x� 3y2 = 0 d)� 3x� 2y2 = 0

De los datos dados: P = 38 :

La ecuación del re�ector está dado por: y2 = 4Px; así:

y2 = 4(3

8)x

y2 =3

2x

2y2 = 3x

�3x+ 2y2 = 0

3x� 2y2 = 0

21


R. a)

23. Una parábola cuyo foco es F (0; 6) y la ecuación de la directriz es y = �6;tiene por ecuación:

a) x2 = 24y b) y2 = 24x c) x2 = �24y d) y2 = �24x

Como el foco está en (0; 6); entonces: P = 6: Como la directriz es y = �6;la parábola tiene como ecuación x2 = 4Py; así:

x2 = (4)(6)y

x2 = 24y

R. a)

24. Si la excentricidad de una cónica es e = 52 ; entonces se trata de una:

a) Parábola b) Elipse c) Circunferencia d) Hipérbola

Como la excentricidad tiene el valor 52 ; se trata de una hipérbola ya que éstatiene excentricidad mayor que 1.R. d)

25. La longitud del lado recto de una elipse que tiene por ecuación x2

36 +y2

66 = 1es:

a) 8 b) 16 c) 18 d) 163

Las ecuaciones de la elipse son:

x2

a2+y2

b2= 1 (eje focal x)

x2

b2+y2

a2= 1 (eje focal y)

La grá�ca de la ecuación dada es:

22


10 8 6 4 2 2 4 6 8 10

10

8

6

4

2

2

4

6

8

10

x

y

De aquí deducimos que tiene la forma: x2

b2 +y2

a2 = 1.

Como la ecuación dada es: x2

36 +y2

66 = 1: Entonces:

a2 = 66

a = �p66

b2 = 36

b = �6

La longitud del lado recto (LLR) está dada por: 2b2

a : Así el lado recto es:

LLR =2(6)2p66

LLR =72p66�p66p66

LLR =72p66

66

LLR =12

11

p66

23


26. La ecuación de una elipse con focos en (�p5; 0) y longitud del eje mayor

igual a 6 es:

a)9y2 � 4x2 = 36 b)4x2 + 9y2 = 36 c)9x2 + 4y2 = 36 d)4x2 � 9y2 = 36

La longitud del eje mayor es 6; entonces: a = 3:Como los focos son (�

p5; 0); entonces: c =

p5; y el eje principal de la elipse

está sobre el eje x: La ecuación de esta elipse es de la forma: x2

a2 +y2

b2 = 1:Necesitamos entonces encontrar el valor de b; de la relación: b2 = a2� c2; se

tiene:

b2 = 32 � (p5)2

b2 = 9� 5b2 = 4

Sustituyendo los valores de a2 y b2 en la ecuación x2

a2 +y2

b2 = 1; se tiene:

x2

9+y2

4= 1

4x2 + 9y2

36= 1

4x2 + 9y2 = 36

R. b)

27. La ecuación de una parábola que tiene su foco en el punto F (2; 0) y sudirectriz es la recta de ecuación x = �2 es:

a) y2 = �8x b) y2 = 8x c) y2 = � 18x d) y2 = 1

8x

De los datos dados se puede ver que la ecuación de la parábola es de laforma: y2 = 4Px:

Como el foco es dado por (2; 0); entoces P = 2: Así:

y2 = 4Px

y2 = 4(2)x

y2 = 8x

R. b)

24


28. Hallar el centro y radio de la circunferencia que pasa por los puntosA(0; 6); B(4;�2)y C(9; 3):

a) C(4; 3) y r = 5 b) C(�4; 3) y r = 5 c) C(4;�3) y r = 5 d) C(�4;�3) y r = 5

La ecuación de la circunferencia con centro (h; k) y radio r; es dada por(x� h)2 + (y � k)2 = r2:Evaluamos cada punto en la ecuación (x�h)2+(y�k)2 = r2: Para el punto

A(0; 6); se tiene:

(0� h)2 + (6� k)2 = r2

h2 + 36� 12k + k2 = r2 (1)

Para el punto B(4;�2); se tiene:

(4� h)2 + (�2� k)2 = r2

16� 8h+ h2 + 4 + 4k + k2 = r2

h2 � 8h+ 4k + k2 + 20 = r2 (2)

Para el punto C(9; 3); se tiene:

(9� h)2 + (3� k)2 = r2

81� 18h+ h2 + 9� 6k + k2 = r2

h2 � 18h� 6k + k2 + 90 = r2 (3)

Resolvemos el sistema de ecuaciones:

8<: h2 + 36� 12k + k2 = r2 (1)h2 � 8h+ 4k + k2 + 20 = r2 (2)h2 � 18h� 6k + k2 + 90 = r2 (3)8<: h2 + 36� 12k + k2 = r2 (1)

h2 � 8h+ 4k + k2 + 20 = r2 (2)h2 � 18h� 6k + k2 + 90 = r2 (3)

!�h2 � 18h� 6k + k2 + 90 = r2 (3)�h2 � 36 + 12k � k2 = �r2 (1)

! 6k � 18h+ 54 = 0! k � 3h+ 9 = 0! k � 3h = �9 (4)

8<: h2 + 36� 12k + k2 = r2 (1)h2 � 8h+ 4k + k2 + 20 = r2 (2)h2 � 18h� 6k + k2 + 90 = r2 (3)

!�

h2 + 36� 12k + k2 = r2 (1)�h2 + 8h� 4k � k2 � 20 = �r2 (2)

! 8h� 16k + 16 = 0! h� 2k + 2 = 0! �2k + h = �2! 2k � h = 2 (5)

25


Resolviendo (4) y (5); tenemos:�k � 3h = �92k � h = 2 !

��2k + 6h = 182k � h = 2

! 5h = 20

! h =20

5! h = 4

Sutituyendo h = 4 en ecuación (5); se tiene:

2k � h = 2

2k � 4 = 2

2k = 2 + 4

2k = 6

k =6

2k = 3

El centro esta dado por: (4; 3): Sustituyendo estos valores en ecuación (1):

h2 + 36� 12k + k2 = r2 (1)

42 + 36� 12 � 3 + 32 = r2

16 + 36� 36 + 9 = r2

25 = r2

r = �p25

r = �5

Tomamos el valor positivo, así r = 5:

R. a)

29. Dada la parábola que tiene por ecuación x2 = �6y; encontrar las coorde-nadas del foco y la ecuación de la directriz:

a) F (0;� 32 ) y y = �

32 b) F (0;� 3

2 ) y y =32

c) F ( 32 ; 0) y x = �32 d) F (� 3

2 ; 0) y x =32

Según la forma dada de la parábola (x2 = �6y); su eje coincide con el ejeY; y abre hacia abajo.Esta parábola es de la forma: x2 = 4Py: Según la ecuación dada se tiene

que:

4Py = �6y4P = �6

P = �64= �3

2

26


Por lo cual las coordenadas del foco son: (0;� 32 )

La ecuación de la directriz es dada por: y = �P; entonces:

y = �(�32)

y =3

2

R. b)

30. El foco y la directriz de una parábola cuya ecuación es y2 = 36x son re-spectivamente:

a) F (�9; 0) y x = 9 b) F (9; 0) y x = �9 c) F (0;�9) y y = 9 d) F (0; 9) y y = �9

Según la forma dada de la parábola (y2 = 36x); su eje coincide con el eje X;y abre hacia la derecha.La forma de esta parábola es: y2 = 4Px; así:

4Px = 36x

4P = 36

P =36

4= 9

Por lo cual las coordenadas del foco son: (9; 0)La ecuación de la directriz es dada por: x = �P; entonces:

x = �9

R. b)

27


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