Triángulos rectángulos. Teoremas. Ejercicios resueltos.

Juanjo Expósito

1. Tenemos un triángulo rectángulo, de forma que la altura relativa a la hipotenusa determina sobre ésta, dos

segmentos de longitudes 1,8 cm y 3,2 cm. Halla: a) La longitud de la altura correspondiente a la hipotenusa. b) La longitud de los catetos. c) El área del triángulo.

Solución: a) Recordamos el teorema de la altura: 2h m n= ⋅ En nuestro caso: 2h 1,8 3,2 5,76 h 5,76 h 2,4 cm= ⋅ = ⇒ = ⇒ = b) El valor de la hipotenusa sería: a m n 1,8 3,2 a 5 cm= + = + ⇒ = Para hallar los catetos usaremos el teorema del cateto:

2 2

2 2

b a m b 5 1,8 9 b 9 b 3 cm

c a n c 5 3,2 16 b 16 b 4 cm

= ⋅ ⇒ = ⋅ = ⇒ = ⇒ =

= ⋅ ⇒ = ⋅ = ⇒ = ⇒ =

c)

2

base altura a h 5 2,4 12Área 6

2 2 2 2Área 6 cm

⋅ ⋅ ⋅= = = = =

=

2. Tenemos un triángulo rectángulo, como el de la figura en el que se conoce la hipotenusa a=100 m. y el área

A=2.400 m2. Halla: a) La longitud de la altura correspondiente a la hipotenusa. b) la longitud de n y c) la longitud del cateto b.

a) Sabiendo el área y la base, calculamos la altura.

base altura 100 h 2400 2Área 2400 h

2 2 100h 48 m

⋅ ⋅ ⋅= ⇒ = ⇒ =

=

b) Para calcular n, tenemos que resolver: a = m + n ⇒100 = m + n ⇒ m = 100 − n h2 = m·n ⇒482 =(100 − n)·n ⇒ 2304 = 100n − n2 Tenemos que resolver una ecuación de segundo grado: n2 − 100n + 2304 = 0

2100 100 4 2304 100 784 100 28n

2 2 2± − ⋅ ± ±= = =

Tenemos dos soluciones: 128 72

n 64 m. y n 36 m.2 2

= = = =

Pero viendo la figura está claro que n = 64 m. y que m = 36 m. c) Para hallar el cateto b usaremos el teorema del cateto:

2 2b a m b 100 36 3600 b 3600 b 60 m.= ⋅ ⇒ = ⋅ = ⇒ = ⇒ =

m n

h b c

a=100 m

h b c

m= 1,8 cm n= 3,2 cm

Juanjo Expósito

3. Tenemos un mapa a escala 1 : 150 000. Dos pueblos distan en el mapa 12 cm. ¿Cuál es la distancia en km. que separa a los dos pueblos? En el mapa quedan reflejados dos puentes que están separados por 4,5 km. en la realidad. ¿Cuántos cm. los separa en el mapa?

4. Tenemos un triángulo isósceles inscrito en una circunferencia. El lado desigual mide 12 cm. Los dos iguales 20 cm.

Halla el radio de la circunferencia.

2 2 2H 20 6 400 36 364

H 364

= − = − =

=

H 2010 R

=

364 20 200R R 10,48 cm

10 R 364= → = → ≃

12 cm

1 cm del mapa 12150000 cm de la realidad x

=

1 cm del mapa 12 cm1,5 km de la realidad x

=

x 18 km=12 1,5x km

1⋅=

1 cm del mapa y1,5 km de la realidad 4,5 km

=

4,5y cm

1,5= y 3 cm=