Figura 1

Figura 2. Clculo de la tensin de Thevenin.

PROBLEMAS RESUELTOS DE TEOREMAS

Problema 1 . En el circuito de la figura 1, calcular los circuitos equivalentes de Thevenin y de Norton entreA-B.

a bDatos: V = 100 l0 V , V = 100 l90 V , L=15mH, C=200F, =10 rad/s.3

RESOLUCIN:

Se va a reducir el circuito entre los terminales A y B hacia la izquierda, mediante el equivalente de Thevenin (fuente real de tensin) y equivalente Norton (fuente real de corriente). Modo de realizacin:

THTENSIN DE THEVENIN: mediante la figura 2, se halla V entre los terminales A-B a circuito abierto.

Por tanto, se necesita determinar el valor de I , aplicando la 2 LK:

Figura 3. Clculo de la corriente de Norton.

Entonces:

INTENSIDAD DE NORTON: Se cortocircuita los terminales A-B, y se halla la corriente que circula por dichoNcorto (I ) en sentido A-B, segn la figura 3.

NAplicando la 2 LK a dicha figura, se obtiene un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas, I e I :

Resolviendo dicha ecuacin nos queda:

Conociendo la tensin de Thevenin y la intensidad de Norton, la impedancia de Thevenin (o Nortn) ser elcociente entre ambas.

Por tanto, el equivalente Thevenin (figura 4) y equivalente Norton (figura 5) nos quedar:

Figura 4. Equivalente Thevenin Figura 5. Equivalente Norton

Figura 6

Figura 7. Tensin de Thevenin.

Problema 2 . En el circuito de la figura 6, calcular el circuito equivalente de Thevenin entre los terminales A-Bhacia la izquierda, con posterior aplicacin del teorema de Boucherout.

1Datos: e (t) = 2sent (V) ; i (t) = 4cost (A.) ; R = 2 ; R = 4 ; K = 2 ; = 10 rd/seg ; L = 8H ; 6

C = 0,5F.

RESOLUCIN:

Se va a calcular primeramente el circuito equivalente de Thevenin entre los terminales A-B:

* TENSION DE THEVENIN: En el circuito de la figura 7, se determina la tensin entre A-B a circuito abierto,de tal forma que s aplicamos la 2 L.K. al circuito nos queda:

por otro lado se tiene:

sustituyendo sta ltima expresin en (1),

* IMPEDANCIA DE THEVENIN: Segn se puede observar en la figura 8, para el clculo de dicha impedancia0 0 se coloca entre A-B una fuente ideal de tensin, (V ), que da lugar a una intensidad (I ). El cociente entre la

THtensin y la intensidad nos dar la impedancia correspondiente (Z ). La fuente de tensin ideal acta como uncortocircuito, mientras que la fuente dependiente de tensin que depende de intensidad se mantiene, ya que nose conoce lo que existe en su interior. La bobina se encuentra en paralelo con un corto, luego, no circula corrientepor ella.

Figura 8. Impedancia de Thevenin.

Figura 9

1Se debe encontrar otra ecuacin que relacione I con0 0I V , por ejemplo utilizando la malla de la derecha

y aplicando la 2 L.K.:

Sustituyendo (3) en (2) nos queda:

Una vez hallado el circuito equivalente Thevenin entreA-B, se procede a determinar las potencias puestas enjuego por los elementos activos y pasivos del circuito dela figura 9, mediante el teorema de Boucherot. (Tener encuenta: Para el clculo de las potencias, trabajar convalores eficaces).

La reactancia del condensador:

# Potencias en los elementos pasivos:

-- En las resistencias R= 2 y R= 4 ( potencia activa)

-- En el condensador ( potencia reactiva):

# Potencias en los elementos activos: Se va a hallar mediante el clculo de la potencia compleja y se tomarcomo referencia la intensidad saliente del elemento activo.

-- En la fuente independiente de tensin (potencia activa y reactiva): En este caso, la intensidad saliente de dichafuente es I = - 4 l90 = 4 l-90 A

I-- En la fuente independiente de corriente (potencia activa y reactiva): Se procede a determinar la tensin V , paraposteriormente aplicar la concepto de potencia compleja. S se aplica la 2 L.K. al circuito de la figura 9, nosqueda:

Aplicando el teorema de Boucherot para las potencias activas y reactivas:

P el. activos que actan = P el. pasivos ms el. activoscomo generadores que actan como receptores

Q el. activos con su signo = P el. pasivos con su signo

Problema 3 . En el circuito de la figura 10, se pide calcular:a) Potencias puestas en juego (activa y reactiva) por el generador dependiente de tensin V

Rb) La impedancia Z que hay que conectar entre los puntos A y B para que reciba la mxima potencia.

Rc) La potencia mxima que recibe la carga, Z .

1 1 2Datos: i (t) = senw t (A) ; e (t) = /2 sen (w t+ /4) (V) ; e (t) = /40 sen (w t - 18,4) (V) ;

1 2 3 1 2Z = 1+ j1 () ; Z = 1-j1 () ; Z = j2 () ; = 2 ; = 0,5 ; R = R = 2 .

RESOLUCIN:

Figura 10

Figura 11

a) Se procede a calcular las potencias activa y reactiva de la fuente dependiente de tensin V, mediante laV V Vexpresin de la potencia compleja S = V I . Para poder calcular la intensidad y tensin de dicha fuente*

se aplican las leyes de Kirchhoff al circuito de la figura 11.

Igualando las ecuaciones 1) y 2) y luego sustituyendo 3) nos queda la siguiente expresin:

sustituyendo la intensidad I en 3) nos queda:

Generador dependiente de tensin V:

Elementos activos (Teorema de Boucherot) : Tener en cuenta la referencia de la intensidad saliente al elementoVactivo, por tanto, I = 1l180 A.

POTENCIAS ACTIVA Y REACTIVA: Trabajar con los valores eficaces de las variables.

b) En primer lugar, se calcula el circuito equivalente de Thevenin (fuente real de tensin, figura 12) entre losterminales A-B.

* TENSION DE THEVENIN: En el circuito de la figura 11, se determina la tensin entre A-B a circuitoabierto, de tal forma que s aplicamos la 2 L.K. al circuito nos queda:

* IMPEDANCIA DE THEVENIN: Segn se puede observar en la figura 13, para el clculo de dicha0 0 impedancia se coloca entre A-B una fuente ideal de tensin, ( V ), que da lugar a una intensidad (I ). Aplicando

0 0 las leyes de Kirchhoff al circuito, se debe conseguir una nica ecuacin con las dos variables V e I . El cocienteTHentre la tensin y la intensidad nos dar la impedancia correspondiente (Z ).

Las fuentes de tensin ideales actan como cortocircuitos, la fuente de corriente ideal acta como un circuitoabierto, mientras que las fuentes dependientes de tensin y corriente se mantienen.

Figura 12. Equivalente de Thevenin

Figura 13. Clculo de la impedancia de Thevenin

sustituyendo 4) en la ecuacin que resulta de igualar 2) y 3) se obtiene:

0Una vez obtenida esta ecuacin I = f (I ), se sustituye en 1) y se tiene la impedancia de Thevenin.

REl valor de la impedancia (Z ) que hay que conectar entre los puntos A y B para que reciba la mxima potenciadebe ser:

Rc) Una vez calculada la impedancia de carga (Z ) para que reciba la mxima potencia, se determinar cuanto valeesa potencia mxima (figura 14).

Para ello se debe determinar la intensidad que circula por el circuito de la figura 14.

RPor tanto, (recordar trabajar con valores eficaces), la potencia mxima en Z ser:

Figura 14

Figura 15.

Problema 4. En el circuito de la figura 15, hallar:a) Los valores de R y X , para que la carga reciba la mxima potencia.b) Valor de dicha potencia mxima.

1 2 3 4 5Datos: Z = (1+j1) .; Z = (2+j2) ; Z = (3+j3) ; Z = j1 ; Z = (2+j) .

1 2 3 = 1 l0A; = 2 l0A; = 1 l0A (Valores eficaces).

1 2 = (2+j2) V; = (1+j) V. (Valores eficaces)

3 4 = (3+j3) V; = (2+j) V. (Valores eficaces)

RESOLUCIN:

En primer lugar, y teniendo en cuenta que la carga es un circuito paralelo, se calcula el circuito equivalentede Norton entre los terminales A-B hacia la izquierda, quedndonos el circuito de la figura 16:

N * INTENSIDAD DE NORTON (I ):El procedimiento para determinar la intensidad de Norton es cortocircuitar los terminales A-B y hallar lacorriente de cortocircuito desde A hacia B. (Figura 17).

Figura 16

Se puede reducir el circuito de la figura 17, aplicando la primera ley de Kirchhoff en el nudo M:

3Por otro lado, la impedancia Z est en paralelo con un corto, entonces no circular corriente por ella, quedandoel circuito segn la figura 18:

NUn vez simplificado el circuito se determina el valor de la corriente de Norton (I ), aplicando las leyes deKirchhoff. Aplicando la 2 LK a la malla exterior se obtiene:

Figura 17. Intensidad de Norton

Figura 18. Intensidad de Norton (Circuito simplificado)

N * IMPEDANCIA NORTON (Z ):0 Para el clculo de dicha impedancia se coloca entre A-B una fuente ideal de tensin, ( V ), que da lugar a una

0 Nintensidad (I ). El cociente entre la tensin y la intensidad nos dar la impedancia correspondiente (Z ). Lasfuentes de tensin actan como cortocircuitos, mientras que las fuentes de corriente sern circuitosabiertos.(figura 19)

Un vez hallado el circuito equivalente de Norton se procede a determinar los valores de R y X, para que la cargareciba la mxima potencia, as como el valor de dicha potencia mxima. Para ello, se utilizar los circuitos delas figuras 20 y 21.

Para que exista mxima transferencia de potencia en la carga se debe verificar:

Figura 19. Impedancia de Norton

Figura 20

Por tanto:

El clculo de la potencia mxima se realiza teniendo en cuenta la figura 21.

La intensidad tiene un valor de:

y la potencia mxima :

Figura 21

Figura 1.

Figura 2.

Figura 3.

PROBLEMAS PROPUESTOS DE TEOREMAS

L L1) En el circuito de la figura 1, determinar los valores de R y X para que la carga reciba la mxima potencia.Asimismo, calcular dicha potencia mxima.

1 1Datos: e (t) = 28 cos1000t (V) ; i (t) = sen1000t (A)

2) En el circuito de la figura 2, hallar: 1 2a) Las tensiones instantneas v (t) y v (t).

b) Potencia activa entregada por el generador de tensin.1 2Datos: e(t) = 7 + 10 cos (10 t) + 6 cos (/2 A10 t) (V) ; L = 1mH ; R = 3 ; C = C =500F 3 3

R3) En el circuito de la figura 3, determinar el valor de Z (variable en parte real e imaginaria sin ningunalimitacin), para que en ella se reciba la mxima potencia, con posterior clculo de dicha potencia mxima.

1 2 3 4 1Datos: Z = Z = 2+j3 ; Z = 14+j21 ; Z = 7+j2 ; e (t) = 16 sen(wt + 45) (V); = = 4 .

Figura 4.

Figura 5.

Figura 6.

4) En el circuito de la figura 4, calcular las potencias puestas en juego por los generadores V y . 1 gDatos: i (t) = 2 sen wt (A.) e (t) = 10 /2 sen (wt - /4) (V) ; = 1 ; = 2 .

5) En el circuito de la figura 5, determinar :R La) Valores de R y X , para que en la carga se reciba la mxima potencia.

b) Valor de dicha mxima potencia. 1 2 3Datos: e (t) = 2 senwt (V) ; w = 10 rad/seg ; R = 1 R = 2 ; R = 3 .6

6) En el circuito de la figura 6, los generadores de tensin son de variacin senoidal y los de intensidad sonconstantes. Determinar la expresin instantnea de la corriente que circula por la bobina y efectuar un balancecompleto de potencias.

1 2 1 2 1 2 3Datos: e (t) = 4sen20t (V.) ; e (t) = 4 cos20t (V.) ; I = 2A ; I = 4A ; R = 2 ; R = 4 ; R = 6 ; L = 0,8 H.

Figura 7.

7) En el circuito de la figura 7, efectuar un balance completo de potencias activas y reactivas (Teorema deBoucherot).

1 2 1 2 Datos: i (t) = 25 sen1000t (A) ; i (t) = 20 sen500t (A) ; L = 1mH; C = 2mF; R = 1 ; R =0,5 ; K = 2.

8) En el circuito de la figura 8, se pide calcular:a) Potencias puestas en juego (activa y reactiva) por el generador dependiente de tensin Vb) La resistencia que hay que conectar entre los puntos A y B para que reciba la mxima potencia del circuito.c) Supuesta conectada la resistencia calculada en el apartado anterior, hallar la potencia que se disipa en el restodel circuito.

1 1 2Datos: i (t) = senw t (A) ; e (t) = /2 sen (w t+ /4) (V) ; e (t) = /40 sen (w t - 18,4) (V) ; 1 2 3 1 2Z = 1+ j1 () ; Z = 1-j1 () ; Z = j2 () ; = 2 ; = 0,5 ; R = R = 2 .

Figura 8

Figura 9

9) En el circuito de la figura 9, determinar el valor de Z , para que la carga reciba la mxima potencia. Asimismo,calcular dicha potencia mxima.

1 1Datos: e (t) = 28 cos1000t (V) ; i (t) = sen1000t (A)