GEOMETRÍA ESPACIO

MÉTRICA

TEMAS 6 y 7 Pág: 134-140, 142-143Pág: 162-163, 168-169

En esta parte de la geometría vamos a ver situaciones relacionadas con la medida de ángulos y distancias.

Son aplicaciones de lo visto en temas anteriores de geometría; en particular, del producto escalar, vectorial y mixto de vectores y de las posiciones relativas entre rectas y planos.

Aunque veremos alguna fórmula, no sería necesario añadir nada nuevo a lo que ya se ha visto.

ÁNGULOS

ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS

Es el menor de los dos ángulos que forman sus vectores directores

ÁNGULO ENTRE DOS PLANOS

El ángulo entre dos planos que se cortan es el menor de los ángulos que forman. Coincide con el que forman sus vectores normales.

ÁNGULO ENTRE RECTA y PLANO

Es el ángulo que forma la recta con la proyección ortogonal de ésta sobre el plano. Coincide con el complementario del que forman un vector director de la recta y uno normal del plano.

PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD

• Entre dos rectas r y s:

sr

sr

vvsr

vvsr

.||

0.

• Entre dos planos α y β:

nn

nn

.||

0.

• Entre una recta r y un plano α:

nvr

nvr

r

r

.

0.||

Ejemplos:

- Ángulo entre rectas: pág 137: 6

- Ángulo entre planos: pág 137: 7

- Ángulo entre recta y plano: pág 150:7

PROYECCIONES

PUNTO SOBRE PLANO

PUNTO SOBRE RECTA

RECTA SOBRE PLANO

También puedes calcular la proyección de dos puntos de la recta sobre el plano y calcular la recta que pasa por los dos puntos proyectados

Ejemplos:

- Proyección P sobre plano: pág 139: 8

- Proyección recta sobre plano: pág 139: 10

- Proyección P sobre recta: pág 139: 9

SIMETRÍAS

PUNTO SOBRE PUNTO

PUNTO SOBRE PLANO

RECTA SOBRE PLANO

PUNTO SOBRE RECTA

Ejemplos:

- Punto simétrico sobre plano: pág 154: 52 a

- Recta simétrica sobre plano: pág 154: 52 b

- Punto simétrico sobre r: pág 140: 11

DISTANCIAS

Ejemplos distancias entre dos puntos:

d(A,B) = |AB|

- Pág 151: 11 (punto recta cuya distancia a un punto es conocida)

DISTANCIA ENTRE PUNTO y PLANO

Distancia entre A y

Esta manera de proceder es muy intuitiva, pero es necesario aprenderse la fórmula

De lo anterior, se deduce:

DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS PARALELOS

DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN

Ejemplos:- Distancia de un punto a plano: pág 143: 13- Distancia entre planos paralelos: pág 143: 14- Distancia entre recta y plano paralelos: pág 143: 15- Distancia entre dos rectas que se cruzan: pág 163: 6

Aplicaciones: - Pág 153: 41, 43 (con parámetros)- Determina un punto de la recta s:

que diste 2 unidades del plano β: 3x – 4y + 12z = 0.- Plano paralelo a otro conocida su distancia: pág 143: 16

121

1

zyx

DISTANCIA ENTRE PUNTO y RECTA

De lo anterior, se deduce:

DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS

Ejercicios:

- Distancia punto recta: pág 162: 5

- Distancia entre rectas paralelas: pág 127: 21(para b = -1) distancia entre r y s

Aplicaciones:

- Áreas por distancias: pág 177: 4

EQUIDISTANCIAS

PLANO MEDIADOR

- El plano perpendicular al mismo por su punto medio.

Plano mediador de un segmento es:

-También se define como el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de losextremos del segmento.

PLANO BISECTOR

Un plano bisector es el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de dos planos dados. Hay dos.

PUNTOS DE UNA RECTA QUE EQUIDISTAN DE OTROS DOS

También se puede calcular el plano mediador entre B y C y hallar el punto de corte entre el plano y la recta r

Ejemplos:

- Mediatriz: pág 152: 24

- Halla los planos bisectores de los planos

α: 2x + 3y – 4z = 6 y β: -3x + 4y -2z = -2

- Punto de una recta que equidista de dos puntos: pág 149: 3

- Puntos de una recta que equidistan de dos planos: pág 179: 16

Ejercicios:

- Ángulos: pág 150: 6, 8, pág 152: 27, pág 154: 46

- Proyecciones y simetrías: pág 151: 14, pág 180: 33

- Distancias: pág 151: 12, 17, pág 153: 33, 43,

pág 179: 19, pág 151: 21

- Equidistancias: pág 151: 22, 23, pág 152: 24, pág 179: 16

- Áreas: pág 178: 9, 13

Más ejercicios:

- Pág 153: 38- Dos vértices consecutivos de un paralelogramo son A(1,1,1)

y B(0,2,0). El centro está en el punto O(0,0,1).a- Calcula las coordenadas de los otros vérticesb- Halla el plano que contiene al paralelogramoc- Calcula el área del paralelogramod- Obtén los ángulos interiores del paralelogramos

- El triángulo ABC es rectángulo en A, siendo A(3,0,-1), B(6,-4,5) y C(5,3 z). Calcula el valor de z y halla el área del triángulo.

- De un triángulo isósceles ABC, cuyo ángulo desigual es A, tiene por vértices B(1,-1,0) y C(3,1,0), mientras que el vértice A pertenece a la recta r: Calcula:a- El vértice Ab- El área del triánguloc- El ángulo A

- Estudia la posición relativa de las rectas r: y s:

Si r y s se cortan, calcula el punto de corte, y si se cruzan o son paralelas, calcula la distancia.

22

1 zy

x

43

2

zyx

zyx

32

2

3

zyx