Geometría Diferencial - Unidad 3

Fabián Levis - Julio C. BarrosDepartamento de Matemática. Facultad de CienciasExactas Físico-Químicas y Naturales. UNRC

AbstractEn la presente unidad se verá que toda Isometría del espacio

euclídeo se puede expresar de forma única como la composiciónde una transformación ortogonal con una traslación. De esteresultado se desprende que el mapa de derivadas de una isometría,en cada punto es en esencia la matriz de su parte ortogonal. Seprobará que existe una única isometría que transforma un sistemade referencia dado en otro. Se de�nirá la congruencia de curvas,y se demostrará que la curvatua y la torsión constituyen unacondición necesaria y su�ciente para que dos curvas dadas seancongruentes.Temas:Isometrías. El mapa de derivadas de una isometría.

Orientación. Congruencia de curvas.

1 Isometrías en R3

De�nition 1 Una isometría de R3 es un mapeo F : R3 ! R3 tal que,

d (F (p) ; F (q)) = d (p; q) ; 8p; q 2 R3

Es decir las isometrías conservan la distancia.

Example 2 Los siguientes ejemplos son de fundamental importanciapara caracterizar las isometrías de R3.

a) Traslaciones:T (p) = p+ a; a 2 R3 fijo

b) Rotación en torno a uno de los ejes coordenados:

C (p) =

0@cos �� sin � 0sin � cos � 00 0 1

1A0@p1p2p3

1A1

Rotación en torno al eje z

Lemma 3 Si F y G son isometrías de R3 entonces, el mapeo GF esuna isometría de R3.

Proof. Al ser F y G isometrías de R3 entonces,

d (GF (p) ; GF (q))= dG (F (p)) ; G (F (q))

= d (F (p) ; F (q)) = d (p; q) ; 8p; q 2 R3

Por lo tanto GF conserva las distancias y por ende es una isometría

Lemma 4 Para las traslaciones de R3 se cumple:

a) Si S y T son traslaciones entonces, ST = TS es traslación.

b) Si T es traslación en a entonces, existe T�1 y es traslación en �a.

c) Dados p; q 2 R3 entonces, existe una única traslación T tal queT (p) = q.

Proof.

a) Puesto que S y T son traslaciones, existen a; b 2 R3 tales que, S (p) =p+ a y T (p) = p+ b entonces,

ST (p) = TS (p) = p+ (a+ b) ; 8p 2 R3

y resulta una traslación de R3.

2

b) Sea T (p) = p+ a entonces, S (p) = p� a satisface,

ST = TS = I

Es decir existe T�1 = S y es una traslación en �a.

c) Sea T (u) = u+ q � p entonces, T (p) = q. Si G es una traslación talque G (p) = q entonces, por ser G traslación se tiene, G (v) = v+apor lo que se está suponiendo, G (p) = p + a = q de dónde seconcluye que a = q � p y por lo tanto T = G

Remark 5 La rotación del ejemplo 2-b es un caso de transformaciónortogonal de R3, es decir una transformación lineal C : R3 ! R3 queconserva el producto escalar en el siguiente sentido:

C (p) � C (q) = p � q; 8p; q 2 R3

Lemma 6 Si C : R3 ! R3 es una transformación ortogonal de R3entonces, C es una isometría de R3.

Proof. Veamos que C conserva las normas:

kC (p)k2 = C (p) � C (p) = p � p = kpk2 ; 8p 2 R3

Al ser C lineal se concluye que:

d (C (p) ; C (q)) = kC (p)� C (q)k = kC (p� q)k = kp� qk ; 8p; q 2 R3

Esto dice que C es una isometría

Lemma 7 Si F es una isometría de R3 tal que, F (0) = 0 entonces, Fes una transformación ortogonal.

Proof. Veamos que F conserva el producto escalar, para ello,

kF (p)k = d (0; F (p)) = d (F (0) ; F (p)) = d (0; p) = kpk

De dónde se concluye que F conserva normas. Puesto que

kF (p)� F (q)k = d (F (p)� F (q)) = d (p; q) = kp� qk

Entonces,

(F (p)� F (q)) � (F (p)� F (q)) = (p� q) � (p� q)

3

de dónde,

kF (p)k2 � 2F (p) � F (q) + kF (q)k2 = kpk2 � 2p � q + kqk2

Los términos que consisten en normas se cancelan, por lo tanto,

F (p) � F (q) = p � q

Por otra parte si U1; U2; U3 son los puntos unitarios (1; 0; 0) ; (0; 1; 0) y(0; 0; 1) respectivamente, entonces,

p = (p1; p2; p3) =3Xi=1

piUi

Como U1; U2; U3 son ortonormales, es decir Ui � Uj = �ij, se tiene que,F (U1) ; F (U2) ; F (U3) son ortonormales puesto que F conserva el pro-ducto escalar, luego,

F (p) =3Xi=1

(F (p) � F (Ui))F (Ui) =3Xi=1

(p � Ui)F (Ui) =3Xi=1

piF (Ui)

Se deja como ejercicio comprobar por medio de esta identidad la lineal-idad de F

Theorem 8 Si F es una isometría de R3 entonces, existe una únicatraslación T y una única transformación ortogonal C tales que, F = TC

Proof. Sea T la traslación en F (0) por el Lema (4) T�1 es unatraslación en �F (0). Por el Lema (3) T�1F es una isometría y ademásse veri�ca:

T�1F (0) = T�1 (F (0)) = F (0)� F (0) = 0

En consecuencia por el Lema (7) T�1F es una transformación ortogonal,sea C = T�1F ) F = TCPara ver la unicidad supongamos que F = TC entonces, TC = TC

en consecuencia, C = T�1TC , por ser C y C transformaciones lineales,se tiene, T�1T (0) = 0. Debido a que T�1T es una traslación se concluyeque T�1T = I de donde, T = T

Remark 9 Si C es una transformación ortogonal entonces, C = (cij)asociada a C es ortogonal, es decir, C�1 = Ct. Por lo tanto la ecuaciónF (p) = q queda escrita en forma matricial como:0@c11 c12 c13c21 c22 c23

c31 c32 c33

1A0@p1p2p3

1A+0@a1a2a3

1A =

0@q1q2q3

1A4

2 El Mapa de derivadas de una Isometría

Theorem 10 Sea F una isometría de R3 con parte ortogonal C en-tonces,

F� (vp) = (Cv)F (p) ; 8vp 2 Tp�R3�

Proof. Al ser C la parte ortogonal de F por el teorema anterior existea 2 R3 tal que F (p) = a+C (p) (pues toda isometría es la composición deuna traslación con una transformación ortogonal). Por de�nición F� (vp)es la velocidad inicial de la curva � (t) = F (p+ tv), desarrollando estaúltima igualdad obtenemos,

� (t)=F (p+ tv) = a+ C (p+ tv) = a+ C (p) + tC (v)

� (t)=F (p) + tC (v)

Entonces,�0 (0) = (C (v))F (p) = F� (vp)

Un esquema del resultado del teorema es el siguiente

Mapa de derivadas de una isometría

Remark 11 Al expresar en términos de coordenadas euclídeas, el re-sultado del teorema resulta,

F�

3Xj=1

vjUj

!=Xi;j

cijvj eUiDonde C = (cij) es la matriz asociada a la parte ortogonal C de laisometría F y si Uj se evalua en p entonces eUi se evalua en F (p).

5

Corollary 12 Las isometrías conservan el producto escalar de vectorestangentes. Si vp y wp son vectores tangentes a R3 en p y F es unaisometría entonces,

F� (vp) � F� (wp) = vp � wp

Proof. Sea C la parte ortogonal de F entonces,

F� (vp) � F� (wp) = (C (v))F (p) � (C (v))F (p) = Cv � Cw = v � w = vp � wp

Remark 13 Puesto que el producto escalare se conserva entonces,

a) kF� (vp)k = kvk

b) Si v � w = 0 ) F� (vp) � F� (wp) = 0

c) Si feig3i=1 es un sistema de referencia en p entonces, fF� (ei)g3i=1 es

un sistema de referencia en F (p)

Theorem 14 Sin(ei)p

o3i=1

yn(fi)q

o3i=1

son sistemas de referencia en

p y q respectivamente. Entonces, existe una única isometría F tal queF�

�(ei)p

�= (fi)q para i = 1; 2; 3

Proof. Sea C la única transformación lineal tal que C (ei) = fi parai = 1; 2; 3, se comprueba que C así de�nida es ortogonal. Sea T latraslación T (v) = v + q � C (p). De�niendo la isometría F = TCsatisface, F (p) = q y por el Teorema (10) se veri�ca,

F�

�(ei)p

�= (C (ei))F (p) = (fi)q ; i = 1; 2; 3

Para ver la unicidad, observemos que por el Teorema (10) esta elecciónde C es la única posible para la parte ortogonal de F . Por otra parte,la traslación está completamente determinada, puesto que debe trans-formar el punto C (p) en q. De esta manera F = TC está determinadaforma única

Remark 15 Si ei = (ai1; ai2; ai3) y fi = (bi1; bi2; bi3) para i = 1; 2; 3entonces, las matrices ortogonales A = (aij) y B = (bij) son las matrices

de disposición de los sistemas de referencia:n(ei)p

o3i=1

yn(fi)q

o3i=1.

6

Entonces la matriz asociada a C es C = BtA, para ello hay queveri�carque BtAei = fi puesto que así se caracteriza de manera única a C.

BtAei = BtA

0@ai1ai2ai3

1A = Bte0i =

0@bi1bi2bi3

1AEl vector e0i representa el i-ésimo vector columna canónico de R3�1, deesta forma obtenemos BtAei = fi. La traslación T es la traslación enq � C (p).

3 Orientación

Recordemos que cada sistema de referencian(ei)p

o3i=1

en p de R3 tieneasociada su matriz de disposiciónA. Por un cálculo directo se compruebaque,

(e1)p ��(e2)p � (e3)p

�= detA = �1

Cuando el determinante de la matriz de disposición es +1, se dice que

el sistema de referencian(ei)p

o3i=1

esta positivamente orientado ycuando es �1 se dice netigavamente orientado.

Remark 16 Hacemos las siguientes observaciones para sistemas de ref-erencia.

a) En cada punto de R3, el sistema de referencia asignado por el camponatural de sistemas de referencia U1; U2; U3 está positivamente ori-entado.

b) Un sistema de referencian(ei)p

o3i=1está positivamente orientado si y

sólo si (e1)p�(e2)p = (e3)p. En particular los sistemas de referenciade Frenet están positivamente orientados pues, B = T �N .

c) En un sistema de referencian(ei)p

o3i=1que está positivamente orien-

tado se cumple:

(e1)p=(e2)p � (e3)p = � (e3)p � (e2)p(e2)p=(e3)p � (e1)p = � (e1)p � (e3)p(e3)p=(e1)p � (e2)p = � (e2)p � (e1)p

En un sistema de referencia negativamente orientado se deben in-vertir los vectores en cada producto vectorial.

7

De�nition 17 Se de�ne el signo de una isometría F , como el deter-minante de C, dónde C es su parte ortogonal. Y lo notamos

sgn (F ) = detC

Lemma 18 Sin(ei)p

o3i=1es un sistema de referencia en p de R3 y F es

una isometría entonces,

F�

�(e1)p

���F�

�(e2)p

�� F�

�(e3)p

��= sgn (F ) (e1)p �

�(e2)p � (e3)p

�Proof. Si (ej)p = (aj1; aj2; aj3)p es decir (ej)p =

3Xk=1

ajkUk (p) entonces,

F�

�(ej)p

�=Xi;k

cikajk eUi (F (p))Donde C = (cij) es la matriz asociada a la parte ortogonal C de laisometría F . Por lo tanto la matriz de disposición del sistema de referen-cianF�

�(ei)p

�oies la matriz que en la posición ij tiene como elemento,X

k

cikajk = (CAt)ij. Teniendo en cuenta que el producto mixto de un

sistema de referencia es el determinante de su matriz de disposición setiene,

F�

�(e1)p

���F�

�(e2)p

�� F�

�(e3)p

��=det

�ACt

�=det (C) det (A)= sgn (F ) (e1)p �

�(e2)p � (e3)p

�donde se ha usado que sgn (F ) = det (C)

Remark 19 Del lema se desprende que si sgn (F ) = 1 entonces, Ftransforma sistemas de referencias positivamente orientados en sistemasde referencias positivamente orientados. Y sistemas de referencias neg-ativamente orientados en sistemas de referencias negativamente orien-tados. Por otro lado si sgn (F ) = �1, los positivamente orientados setransforman en negativamente orientados y viseversa.

De�nition 20 De una isometría F de R3 se dice que,

i) Conserva la orientaciín si sgn (F ) = det (C) = 1

ii) Invierte la orientación si sgn (F ) = det (C) = �1

8

Example 21 a) Traslaciones: puesto que la parte ortogonal de unatraslación es la identidad entonces, sgn (T ) = det (I) = 1, es decirlas traslaciones preservan la orientación. b)Rotaciones: Si C es unarotación con eje z entonces, su matriz asociada es,0@cos �� sin � 0sin � cos � 0

0 0 1

1AEn consecuencia sgn (C) = det (C) = 1 y por lo tanto preservan laorientación. c) Re�exiones: Si R (p) = (�p1; p2; p3) entonces, R sedenomina re�exión en el plano yz. Es una transformación ortogonalcon matriz asociada, 0@�1 0 00 1 0

0 0 1

1APor consiguiente R es una isometría que invierte la orientación.

Lemma 22 Sean(ei)p

o3i=1

un sistema de referencia en p de R3. Si

vp =3Xi=1

vi (ei)p y wp =3Xi=1

wi (ei)p entonces,

vp � wp = (e1)p ��(e2)p � (e3)p

� ������(e1)p (e2)p (e3)pv1 v2 v3w1 w2 w3

������Proof. Sea " = (e1)p �

�(e2)p � (e3)p

�, por ser

n(ei)p

o3i=1

un sistema

de referencia entonces, " = �1. Si asumimos " = 1 (es decir el sistemapositivamente orientado) entonces,

vp � wp=

3Xi=1

vi (ei)p

!�

3Xj=1

wj (ej)p

!= v1 (e1)p � w2 (e2)p + v1 (e1)p � w3 (e3)p+v2 (e2)p � w1 (e1)p + v2 (e2)p � w3 (e3)p+v3 (e3)p � w1 (e1)p + v3 (e3)p � w2 (e2)p

=(v2w3 � v3w2) (e1)p � (v1w3 � v3w1) (e2)p+(v1w2 � v2w1) (e3)p

= "

������(e1)p (e2)p (e3)pv1 v2 v3w1 w2 w3

������De forma similar se demuestra el caso " = �1

9

Theorem 23 Sean vp; wp 2 Tp (R3), si F es una isometría entonces,

F� (vp � wp) = sgn (F )F� (vp)� F� (wp)

Proof. Si vp =3Xi=1

viUi (p) , wp =3Xi=1

wiUi (p) y �i = F� (Ui (p)) al ser

F� lineal, se veri�ca, F� (vp) =3Xi=1

vi�i y F� (wp) =3Xi=1

wi�i luego por el

Lema (22), se tiene,

F� (vp)� F� (wp) = �1 � (�2 � �3)

�������1 �2 �3v1 v2 v3w1w2w3

������Sabemos que fUi (p)gi está positivamente orientado luego, por el Lema(18) concluimos que,

�1 � (�2 � �3) = sgn (F ) (U1 (p)) � (U2 (p)� U3 (p)) = sgn (F )

Como además,

F� (vp � wp) =

�������1 �2 �3v1 v2 v3w1w2w3

������Por lo tanto,

F� (vp)� F� (wp) = sgn (F )F� (vp � wp)

4 Geometría Euclidiana

En forma general se puede decir que la geometría euclidiana se de-�ne como la totalidad de los conceptos que se ven conservados por lasisometrías del espacio euclídeo. Por ejemplo se vio que el producto es-calar de vectores tangentes se conserva por isometrías y por lo tanto esun ente de la geometría euclidiana. También se vio que, salvo por unsigno, el producto vectorial de vectores tangentes queda conservado porisometrías. En la práctica la unidad de signi�cación "geometría euclid-iana" se re�ere solamente a los conceptos que las isometrías conservan.Se ha visto que los mapeos (arbitrarios) conservan la velocidad de lascurvas, pero no sucede lo mismo con la aceleración de las mismas. Seprobarán dos hechos, en primera instancia se verá que las isometríasconservan la derivada de campos vectoriales y en segundo lugar veremosque las isometrías conservan la aceleración de las curvas.

10

Corollary 24 Sea Y un campo vectorial en una curva � de R3 y seaF una isometría de R3. Entonces, Y = F� (Y ) es campo vectorial en� = F (�) y además,

Y0= F� (Y

0)

Proof. SeaY =

Xj

yjUj

la expresión del campo en término de sus funciones coordenadas euclid-ianas. Al diferenciar Y obtenemos,

Y 0 =Xj

dyjdtUj

Por consiguiente, según la versión en coordenadas del Teorema (10), setiene,

F� (Y0) =

XcijdyjdtUi

Por otra parte,Y = F� (Y ) =

XcijyjUi

Cada cij es constante, puesto que, por de�nición son elementos de lamatriz de la parte ortogonal de F . En consecuencia,

Y0=X d

dt(cijyj)Ui =

XcijdyjdtUi

Por lo tanto los campos vectoriales F� (Y 0) y Y0son iguales

Proposition 25 Sea F una isometría de R3,� una curva de R3 y � =F (�) entonces,

�00 = F� (�00)

Proof. Resulta inmediato a partir del corolario anterior, pues si se toma,Y = �0 entonces, �0 = F� (�0) = Y entonces, por el corolario anterior,

�00 = Y0= F� (Y

0) = F� (�00)

Se verá ahora que el aparato de Frenet de una curva queda conservadopor isometrías.

Theorem 26 Sea � una curva de rapidez unitaria en R3 con curvaturapositiva y sea � = F (�) la curva imagen de � por la isometría F .Entonces,

11

i) � = �

ii) � = sgn (F ) �

iii) T = F� (T )

iv) N = F� (N)

v) B = sgn (F )F� (B)

Proof. Observar que � es una curva de rapidez unitaria pues, �0 =

kF� (�0)k = k�0k = 1. Por lo tanto las de�niciones de la unidad 2, sección3 se aplican a �, de manera que,

T = �0= F� (�

0) = F� (T )

Como F conserva la aceleración y la norma de la de�nición de curvaturase deduce que,

� = �00 = kF� (�00)k = k�00k = �

Para obtener el sistema completo de Frenet, usamos el hecho que, � =� > 0. Por de�nición, N = �00

�y por lo tanto,

N =�00

�=F� (�

00)

�= F�

��00

�

�= F� (N)

Puesto que B = T �N , y por el Teorema (23) se tiene,

B = T �N = F� (T )� F� (N) = sgn (F )F� (T �N) = sgn (F )F� (B)

Finalmente como, � = �B0 �N = B �N 0 se tiene,

� = B �N 0= sgn (F )F� (B) � F� (N 0) = sgn (F )B �N 0 = sgn (F ) �

Remark 27 La intervención de sgn (F ) en la fórmula de la torsiónde � = F (�) enseña que la torsión de una curva da una descripciónde la curva que es más sutil de lo que aparenta. El signo de � midela orientación de la curva �. Si F invierte la orientación, la fórmula� = �� , demuestra que la torsión de la curva imagen F (�), es la opuestaa la de �.

12

Example 28 Sea � la hélice de rapidez unitaria:

� (s) =�cos�sc

�; sin

�sc

�;s

c

�Donde c =

pa2 + b2, si a = b = 1 entonces, c =

p2. Puesto que,

� = aa2+b2

y � = ba2+b2

, resulta para este ejemplo, � = � = 12. Tomando

R la re�exión en el plano xy, esto es, R (x; y; z) = (x; y;�z). Por lotanto la curva imagen R (�) resulta,

� (s) =�cos�sc

�; sin

�sc

�;�sc

�Entonces � y � se tuercen en sentidos opuestos y además � = � = 1

2,

� = �12= sgn (F ) � = �� .

0.0 0.0z

y

0

x­1

­0.5

­2

­0.5

­3

­1.0

­1.021

0.51.00.5

3

1.0

Re�exión de una hélice respecto al plano xy

5 Congruencia de curvas

De�nition 29 Dos curvas �; � : I ! R3 son congruentes cuandoexiste una isometría F de R3 tal que, � = F (�). Las curvas �; � sedicen paralelas sii existe p 2 R3 tal que, � = �+ p.

Lemma 30 Dos curvas �; � : I ! R3 son paralelas si �0 (s) y �0 (s)son paralelos para cada s 2 I. En este caso si � (s0) = � (s0) para algúns0 2 I entonces, � = �.

13

Proof. Por de�nición �0 (s) y �0 (s) son paralelos si tienen las mismascoordenadas euclidianas, por lo tanto,

d�ids(s) =

d�ids(s) para i = 1; 2; 3

donde �i y �i son las funciones coordenadas euclídeas de � y � . De laigualdad d�i

ds= d�i

dsse deduce que, �i = �i + pi, en consecuencia, � =

� + p. Si se cumple � (s0) = � (s0) para algún s0 2 I entonces, p = 0 ypor ende, � = �

Theorem 31 Si �; � : I ! R3 son curvas de rapidez unitaria tales que,�� = �� y �� = ��� entonces, � y � son congruentes.

Proof. La idea de la demostración es la siguiente: 1) Se encuentra unaisometría F y se estudian las propiedades de la curva imagen F (�). 2)se demuestra que � = F (�). Para hacer la elección de F se hace usodel Teorema (26). Se toma un número �jo en el intervalo I, por ejemplo0 2 I. Si �� = �� sea, entonces, F la isometría (la cual conserva laorientación, por lo que se está suponiendo) que convierte el sistema dereferencia de Frenet T (0) ; N (0) ; B (0) de � en � (0), en el sistema dereferencia de Frenet bT (0) ; bN (0) ; bB (0) de � en � (0). Denotando el elsistema de Frenet de � = F (�) por �; � ; T ;N y B entonces el Teorema(26) y la información anterior producen:

� (0)=F (� (0)) = � (0)

�=�� = ��

T (0)=F� (T (0)) = bT (0)N (0)=F� (N (0)) = bN (0)B (0)= sgn (F )F� (B (0)) = bB (0)

� = sgn (F ) �� = ��

Por otro lado si �� = ���, se toma F como la isometría (que inviertela orientación) que transforma T (0) ; N (0) ; B (0) en � (0), en el sistemade referencia de Frenet bT (0) ; bN (0) ;� bB (0) de � en � (0). Entonces porel Teorema (26) se tiene para � = F (�) y �,

B (0)= sgn (F )F� (B (0)) = ��� bB (0)� = bB (0)

� = sgn (F ) �� = ���

Las otras otras relaciones quedan como en el caso �� = ��. Se probaráahora que

T (s) = bT (s) ; 8s 2 I14

Para ello sea h : I ! R tal que,

h (s) = T (s) � bT (s) +N (s) � bN (s) +B (s) � bB (s)Por ser éstos campos vectoriales unitarios, por la desigualdad de Schwarztenemos, T (s) � bT (s) � 1 y T (s) � bT (s) = 1 si y sólo si, T (s) = bT (s). Lomismo puede a�rmarse para N (s) ; bN (s) y B (s) ; bB (s). Por lo tanto,

h (s)� 3; 8s 2 Ih (0)= 3

Ahora derivando la función h obtenemos:

h0 (s)=T0(s) � bT (s) + T (s) � bT 0 (s) +N 0

(s) � bN (s) +N (s) � bN 0 (s)

+B0(s) � bB (s) +B (s) � bB0 (s)

Si se sustituyen por las fórmulas de Frenet en esta última expresión y seusan las relaciones �� = �� y �� = �� obtenemos,

h0 (s) = 0; 8s 2 I

De donde resulta que la función h es constante y entonces,

h (s) = 3; 8s 2 I

Por lo tanto T (s) � bT (s) = 1 si y sólo si, T (s) = bT (s). Lo mismo puedea�rmarse para N (s) ; bN (s) y B (s) ; bB (s). Al ser � (0) = F (� (0)) =

� (0) y T (s) = bT (s) por el Lema (30) se concluye que, � = � = F (�)Remark 32 El Teorema (31) muestra que una curva de rapidez uni-taria queda determinada por su curvatura y su torsión en todo salvo suposición en el espacio. Desde el punto de vista de la geometría euclidi-ana, dos curvas del espacio tridimensional son "iguales" (congruentes)si di�eren en una isometría

Example 33 Sean �; � : I ! R3 son las hélices de rapidez unitariasde�nidas por:

� (s)=

�cos

�sp2

�; sin

�sp2

�;sp2

�� (s)=

�cos

�sp2

�; sin

�sp2

�;� sp

2

�

15

Entonces,

��=�� =1

2

��=1

2= ���

Por el teorema � y � son congruentes y la isometría que transforma elsistema de Frenet,

T�(0)=

0;

p2

2;

p2

2

!N�(0)= (�1; 0; 0)

B�(0)=

0;�

p2

2;

p2

2

!

en el sistema de referencia,

T�(0)=

0;

p2

2;�p2

2

!N�(0)= (�1; 0; 0)

�B�(0)= 0;�

p2

2;�p2

2

!

Es la re�exión:F (x; y; z) = (x; y;�z)

Observar que la matríz asociada a esta isometría resulta de considerarC = BtA donde, A y B son las matrices de disposición de los sistemasexpuestos arriba, así se teiene,

C =

0@ 0 �1 0p22

0 �p22

�p22

0 �p22

1A0@ 0p22

p22

�1 0 0

0 �p22

p22

1A =

0@1 0 00 1 00 0�1

1ACorollary 34 Sea � una curva de rapidez unitaria en R3. Entonces,� es una hélice si y sólo si tanto su curvatura como su torsión sonconstantes distintas de cero.

Proof. )) Sea

�a;b (s) =

�a cos

�sc

�; a sin

�sc

�;bs

c

�16

Donde a > 0; b 6= 0 y c =pa2 + b2. Si � es congruente con �a;b,

podemos suponer que la isometría conserva la orientación (cambiando elsigno de b de ser necesario). Por lo tanto,

��=a

a2 + b2(1)

��=b

a2 + b2

de esta forma la curvatura y la torsión son constantes no nulas.() Si � tiene curvatura � y torsión � constantes, no nulas, al despejar

de las ecuaciones (1) a y b se obtiene,

a=�

�2 + � 2

b=�

�2 + � 2

Por lo tanto, � y �a;b tienen la misma curvatura y torsión y en conse-cuencia son congruentesHasta aquí se ha pedido la condición de curva de rapidez unitaria,

pero esta condición se "debilita" en el siguiente:

Corollary 35 Sean �; � : I ! R3 curva de rapidez arbitaria. Si

v� = v� > 0 ; �� = �� > 0 ; y �� = ���entonces, las curvas � y � son congruentes.

Proof. Sean � y � reparametrizaciones de rapidez unitaria de � y �,ambas basadas en t = 0. Puesto que � y � tienen la misma función derapidez, se concluye que tienen la misma función de longitud de arco,s = s (t), y por consiguiente, la misma función inversa t = t (s) Debidoa que,

�� = �� y �� = ���se deducen de las condiciones generales de curvatura y torsión que,

�� (s)=�� (t (s)) = �� (t (s)) = �� (s)

�� (s)= �� (t (s)) = ��� (t (s)) = ��� (s)

En consecuencia el Teorema (31) asegura que � y � son congruentes yse puede escribir, F (�) = �. Entonces, la misma isometría transforma� en � puesto que,

F (� (t)) = F (� (s (t))) = � (s (t)) = � (t)

El Teorema (31) sobre congruencia de curvas se extiende de la sigu-iente forma.

17

Theorem 36 Sean �; � : I ! R3 curvas arbitarias, E1; E2; E3 uncampo de sistemas de referencia en �; F1; F2; F3 un campo de sistemasde referencia en �. Si

1) �0 � Ei = �0 � Fi i = 1; 2; 32)E 0i � Ej = F 0i � Fj 1 � i; j � 3

entonces, � y � son congruentes.

Proof. Se generaliza la argumentación hecha en el Teorema (31). Sea0 2 I y seG la isometría que transformaE1 (0) ; E2 (0) ; E3 (0) en F1 (0) ; F2 (0) ; F3 (0).Puesto queG� conserva los productos escalares se tiene queEi = G� (Ei) ; 1 �i � 3 es un campo de sistemas de referencia en � = G (�). Por otro ladocomo G� conserva las velocidades y las derivadas de campos vectoriales,se tiene,

� (0) = � (0) �0 � Ei = �0 � Fi i = 1; 2; 3

Ei (0) = Fi (0) E0i � Ej = F 0i � Fj 1 � i; j � 3 (2)

La última ecuación signi�ca que se puede escribir E0i =

XaijEj y

F 0i =X

aijFj con las mismas funciones coe�cientes aij. Se debe hacer

notar que aij + aji = 0 (pues si se diferencia la identidad, Ei � Ej = �ij,se obtiene lo a�rmado). Sea la función,

f =X

Ei � Fi

Por la misma argumentación que en el Teorema (31) se demostrará quef = 3, puesto que,

f 0 =X�

E0i � Fi + Ei � F 0i

�=X

(aij + aji)Ej � Fi = 0

Por lo tanto Ei = Fi y de las relaciones (2) se deduce,

�0=X�

�0 � Ei�Ei

�0=X

(�0 � Fi)Fi

Son paralelos en cada punto. Como � (0) = � (0), por el Lema (30), seconcluye,

� = G (�) = �

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