geometrÍa de las transformaciones lineales de r2 en r 2

GEOMETRÍA DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES DE R2 EN R 2

José Luis Morales Universidad de América Latina, UDAL

Las transformaciones, pertenecientes al álgebra lineal, son usadas en muchas ramas de las

matemáticas y la ingeniería, y son importantes porque se puede describir la dependencia que

puede tener una variable sobre otra. El presente trabajo aborda las transformaciones lineales, en

forma matricial, que en geometría implican a las reflexiones, rotaciones, contracciones,

expansiones y cortes, descritas en la bibliografía citada al final de este trabajo. Estas

transformaciones, así como otras, tienen una particularidad que conservan la estructura

matemática de un espacio vectorial.

1. INTRODUCCIÓN

Para comprender el concepto de transformación, se definirá usando un término con la que

el lector está familiarizado: la función. Una función es una regla que asigna a cada elemento de

una variable un único elemento de otra variable. Por ejemplo, en las funciones como f(x)=5x2-

3x+2, una vez que se ha asignado un valor a la variable x, se obtiene el valor de la otra variable

y. En esta función se distinguen dos términos: dominio e imagen. Llamamos a todo el conjunto

de valores permitidos para x como dominio de la función; por ejemplo, si x pertenece a los reales,

y si x=3, entonces para la función anterior f(x)=5(3)2-3(3)+2 = 38. Decimos entonces que la

imagen de 3 es 38. Por lo tanto, se extienden estas ideas de funciones ahora a los espacios

vectoriales. Usualmente se usa el término transformación o mapeo en álgebra lineal en lugar de

función.

2. DEFINICIÓN Y EJEMPLOS

Transformación lineal

Una transformación T de Rn a Rm† es una regla que asigna a cada vector v en Rn un único

vector w en Rm. Rn es llamado dominio de T y Rm el codominio. Escribimos

T(v)=w

donde w es la imagen de v bajo T.

† La R representa el conjunto de los números reales que aparecen como entradas en los vectores, y

el exponente n (o m) indica que cada vector tiene n (o m) entradas, por ejemplo en R2 el exponente dos

indica que cada vector tiene 2 entradas (el vector se puede representar gráficamente en dos dimensiones)

Ejemplo 1: considerar la transformación T de R3 a R2 definida por:

T(x,y,z)=(2x, y+z)

El dominio de T es R3, el codominio es R2. Para la imagen es necesario tener los valores del vector

v, por ejemplo si v=(2,8,-4) entonces la imagen w=(2(2),8-4)=(4,4).

Representación matricial de una transformación T

Si en la ecuación matricial Ax=b del siguiente ejemplo:

[

] [

] [

]

se piensa en la matriz A como un objeto que “actúa” sobre un vector x multiplicándolo para

producir un nuevo vector llamado Ax, equivale a encontrar todos los vectores x en R4 para que

transformen el vector b en R2 bajo la “acción” que representa multiplicar por A.

Sea T: Rn Rm una transformación lineal. Existe entonces una matriz única de m×n, AT, tal que:

T(v) = AT (v) para todo v Rn

Ejemplo 2: hallar la matriz de transformación, AT, si v=(x,y,z) y w=(2x, y+z).

De acuerdo a la definición, n=3 y m=2, por lo que la matriz AT será de 2×3 y A(v)=w, por lo tanto,

[ ] [

]

[

].

Ejemplo 3: si [

] [

] . Haciendo las sustituciones

correspondientes y multiplicando matrices, se tiene que,

( ) [

] [

] [

]

Se dice entonces que AT : R2 R

3 y genera la imagen w=(-2,-10,9).

3. REFLEXIÓN EN R2

a) Reflexión respecto al eje x: Geométricamente, T toma un vector en R2 y lo refleja respecto

al eje x (Figura 1).

Figura 1. Reflexión en el eje x

Matricialmente:

[ ] [

] [

]

Por lo que la transformación está definida por:

[

]

b) Reflexión respecto al eje y: de manera análoga que el caso anterior, T toma un vector en

R2 y lo refleja respecto al eje y (Figura 2).

Figura 2. Reflexión en el eje y

Matricialmente:

[ ] [

] [

]


[

]

c) Reflexión respecto a la recta x=y: esta recta estará a 45° por lo que los valores de entrada

quedan “cambiados” una vez aplicada la transformación (Figura 3).

Figura 3. Reflexión en la recta y=x

Matricialmente:

[ ] [

] [

]


[

]

x

y

(x,y)

(x,-y)

0

x

y

(x,y)(-x,y)

0

x

y

(x,y)

(y,x)

0

y=x

4. EXPANSIONES EN R2

a) Expansión en ambos ejes, c>1: Considerar la transformación [ ] [

], T mapea cada

punto en R2 en un punto c veces más lejos del origen (Figura 4).

Figura 4. Expansión, c>1

Matricialmente:

[ ] [

] [

]


[

]

b) Expansión horizontal (en eje x): Geométricamente, T toma un vector en R2 y lo mueve

horizontalmente, es decir sólo en x, c veces más lejos del centro (Figura 5).

Figura 5. Expansión horizontal, c>1

Matricialmente:

[ ] [

]


[

]

c) Expansión vertical (en eje y): Geométricamente, T toma un vector en R2 y lo mueve

verticalmente c veces más lejos del centro (Figura 6).

Figura 6. Expansión vertical, c>1

Matricialmente:

[ ] [

]


[

]

x

y

(x,y)

(cx,cy)

0

x

y

(x,y) (cx,y)

0

x

y

(x,y)

(x,cy)

0

5. CONTRACCIONES EN R2

a) Contracción en ambos ejes, c<1: En la transformación [ ] [

], T mapea cada punto

en R2 en un punto c veces más cerca del origen (Figura 7).

Figura 7. Contracción, c<1

Matricialmente:

[ ] [

] [

]


[

]

b) Contracción horizontal (en eje x): Geométricamente, T toma un vector en R2 y lo mueve

horizontalmente c veces más cerca del centro (Figura 8).

Figura 8. Contracción horizontal, c<1

Matricialmente:

[ ] [

]


[

]

c) Contracción vertical (en eje y): Geométricamente, T toma un vector en R2 y lo mueve

verticalmente c veces más cerca del centro (Figura 9).

Figura 9. Contracción vertical, c<1

Matricialmente:

[ ] [

]


[

]

x

y(x,y)

(cx,cy)

0

x

y

(x,y)(cx,y)

0

x

y

(x,y)

(x,cy)

0

6. ROTACIONES EN R2

Suponga que el vector v=(x,y) en el plano xy se rotan a un ángulo en sentido antihorario llame a

este nuevo vector rotado v’=(x’,y’). Entonces, como se ve en la Figura 10, si r denota la longitud de

v y que además este vector no cambia por rotación.

Figura 10. Rotación

De la gráfica: , ( ) , ( )

De acuerdo a las identidades: ( ) ( ) Se tiene que:

El resultado anterior se puede representar matricialmente como:

[

] [

] [ ]

Por lo que la matriz de transformación correspondiente a la rotación es:

[

]

7. CORTES EN R2

a) Corte a lo largo del eje x: es una transformación que toma al vector v=(x,y) y lo convierte

en un nuevo vector v’=(x+cy,y), donde c es una constante que puede ser negativa o

positiva (Figura 11.)

Figura 11. Cortes a lo largo del eje x

Matricialmente:

[ ] [

]


[

]

x

y

(x,y)

(x’ y’)

0

+

r

r

x

y

(x,y) (x+cy,y)

0

b) Corte a lo largo del eje y: de manera análoga al caso anterior, la transformación toma al

vector v=(x,y) y lo convierte en un nuevo vector v’=(x,y+cx), donde c es una constante que

puede ser negativa o positiva (Figura 12.)

Figura 12. Cortes a lo largo del eje y

Matricialmente:

[ ] [

]


[

]

8. CONCLUSIÓN

Las transformaciones correspondientes a la reflexión, contracción, expansión y rotación en

R2 y en forma matricial proporcionan una manera más fácil de visualizar gráficamente algunos

tipos de transformaciones lineales y que darán la pauta para comprender las transformaciones en

Rn. La regla para su aplicación puede comprenderse mejor con el concepto de función. Para un

mayor detalle de estas transformaciones se recomienda consultar la bibliografía citada.

9. REFERENCIAS

Grossman, S.L. (2011). Matemáticas 4, Álgebra Lineal. México, D.F.: McGraw-Hill

Lay, D.C. (2006). Linear Algebra and its applications. United States of America. Pearson Addison

Wesley

Poole, D. (2011). Álgebra Lineal, Una introducción moderna. México, D.F.: Cengage Learning

Williams, G. (2008). Linear Algebra with applications. United States of America. Jones and Bartlett

Publishers

x

y

(x,y+cx)

(x,y)

0

geometrÍa de las transformaciones lineales de r2 en r 2

Documents