GEOMETRÍA ANALÍTICA DEL PLANO

Ubicación de puntos en el planoPara ubicar puntos en el plano necesita un sistema de ejes cartesianos y un par ordenado, es decir un par de coordenadas que indiquen a qué distancia está el punto tanto del eje de las abscisas (X) como del eje de las ordenadas (Y).

),( yxp abscisa

ordenada

Es el conjunto de los puntos del plano que cumplen con alguna condición.

Dicha condición está indicada generalmente a través de una expresión algebraica (fórmula)

Lugar geométrico

Ejemplo:

Los puntos del plano tal que, en sus coordenadas se verifica que la segunda componente de su par ordenado es el

doble de la primera. Algunos puntos que cumplen con esta condición son:

(1,2) ; (4,8) ; (3.5, 7) ; (-5, -10)

Ecuación

y = 2x

CIRCUNFERENCIA

Es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un punto fijo es constante. Ese punto fijo se llama centro y la distancia a cualquier punto de la circunferencia se llama radio y se simboliza con r.

Ecuación de la circunferencia con centro en el origen de

coordenadas

222 ryx

Ejemplos:

9: 221 yxC

49: 222 yxC

3: 223 yxC

C1

C2

C3

• Escriba la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y cuyo radio es 25.

• Grafique la siguiente circunferencia:

2 2 16x y

Consideremos ahora la circunferencia cuyo centro es un punto de coordenadas c = (h ; k). Su ecuación será:

222 )()( rkyhx

Ejemplos:

25)4()3( 22 yx

)4 ; 3(c

5r

Ejemplos:

9)5()2( 22 yx

)5 ; 2(c

3r

Encuentre la ecuación de la siguiente circunferencia

La ecuación vista de la circunferencia se llama ecuación

ordinaria o canónica. Generalmente denominaremos así a aquella que

nos permite obtener rápida y fácilmente sus características

importantes.

Forma general de la ecuación de la circunferencia

• Indique cuál es el centro de la siguiente circunferencia y cuánto vale su radio:

2 23 10x y

ELIPSE

Es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos es constante. Esos puntos fijos se llaman focos.

12

2

2

2

b

y

a

x Focos sobre eje de las abscisas

12

2

2

2

a

y

b

x Focos sobre eje de las ordenadas

En todos los casos se cumple:

2 2 2a b c

Ecuación de la elipse con centro desplazado

HIPÉRBOLA

Es el lugar geométrico de los puntos tales que el módulo de la diferencia de las distancias a dos puntos fijos es siempre una constante. Esos puntos fijos se llaman focos.

Focos sobre eje de las abscisas

Focos sobre eje de las ordenadas

Ecuación de la hipérbola con centro desplazado

En todos los casos se cumple

Asíntotas

PARÁBOLA

Es el lugar geométrico de los puntos tales que la distancia a una recta fija es igual a la distancia a un punto fijo. La recta se llama directriz y el punto foco

Ecuación de la parábola con vértice en el origen y eje de simetría

coincidente con el eje x

2 4y pxDonde p es un valor constante y cuyo valor representa las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz

DIRECTRIZ

FOCO

VÉRTICE

Coordenadas de los focos

( ;0)F pEcuación de la recta directriz

x p

Coordenadas de los focos

( ;0)F p Ecuación de la recta directriz

x p

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