GEOMETRIA 8°

CUARTO PERÍODO

OCTAVO

PROGRAMA

CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO PERÍMETROS RELACIONES ENTRE EL PUNTO Y LA CIRCUNFERENCIA PROPIEDADES DE LOS DIÁMETROS ARCO SECTOR CIRCULAR SEGMENTO CIRCULAR CORONA CIRCULAR LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA ÁREA DEL CÍRCULO PERÍMETRO DE FIGURAS GEOMÉTRICAS

LOGROS

1. RECONOCE LOS CONCEPTOS DE CÍRCULO, DIAMETRO, ARCO

SECTOR CIRCULAR. 2. REALIZA ÁREAS Y PERÍMETROS DE LOS CIRCULOS

Áreas. Como el cuadrado es un cuadrilátero en donde la base u la altura son iguales, su área es igual al producto de las dos dimensiones, así: 1 x 1 = 1² Unidad de medida

Explicación Suponiendo que la medida común( unidad de medida) está contenida 3 veces en cada lado. Si dividimos un lado (en nuestro caso la altura) con la unidad elegida y por los puntos de división trazamos paralelas al lado que hemos tomado como base (DC), el cuadrado quedará dividido en 3 rectángulos parciales de 3 unidades de

largo por (1) de alto. Ahora bien, al trazar paralelas al lado que hemos tomado como altura (AD) cada rectángulo parcial quedará dividido en 3 cuadros iguales a la unidad de área. Donde, el cuadro ABCD contiene 3 veces 3 unidades de are, lo que se representa por el producto 3 x 3 = 9. NOTA: AL área que tiene por lado la unidad de longitud, se denomina unidad de área (véase Figura a)

Aplicación: averiguar el área de un cuadrado que mide 8 metros de lado. Soluciones Formula: 1 x 1 = 1²

Sustitución: 8 x 8 = 8² = 64 m²

Como ya se ha enseñando, el rectángulo es un cuadrilátero de lados opuestos iguales. El área del rectángulo es igual al producto de su base por la altura, así: A=b X a

Explicación: Tal como se indico en el área del cuadrado, se dividen tanto la base y así formamos 5 rectángulos parciales de 7 unidades de largo por uno

(1) De alto. Si por los puntos de división de la base trazamos paralelas a la altura, cada rectángulo parcial queda dividido en 7 cuadrados iguales a la unidad de área.

De donde el rectángulo ABCD (figura C) contiene 5 veces 7 unidades de área, lo que se representa con el producto 5 X 7 = 35

Averiguar el área de un rectángulo que mide de base 4 decímetros y de altura 7 decímetros. Solución Fórmula: b X a Sustitución: 4 X 7 = 28 dms²

Triangulo: Como se ve en la figura de la izquierda, el triángulo es la mitad de un rectángulo. ABCD De donde el área de triangulo BAD = 2 AB = DC

b X a AB = altura A= 2 DC = altura AD = base

Paralelogramo: La simple observación de las figuras de la izquierda (j y k) nos dejan ver que el paralelogramo ABCD es equivalente al rectángulo ABC’D’. Por lo tanto, el área de un paralelogramo es igual a la de un rectángulo de igual base y altura. A = b .a

Aplicación. Averiguar el área de un paralelogramo que tiene 5 decímetros de base y 2 decímetros de altura. Paralelogramo:

rombo Como se aprecia en la figura 11 de la izquierda, el rombo es un paralelogramo cuyos 4 lados son iguales y sus ángulos no son rectos. Por lo tanto su área es: A = b . a En caso que solo se conozcan las diagonales, se

tiene que el área es igual al semiproducto de las diagonales.

d . d A= 2 Explicación grafica. La grafica m (figura de la izquierda), nos muestra al rombo formado por los triángulos BDA y BDC, cuyas áreas son: Triángulo BDA = 1 diagonal Diagonal BD. 2 2 Triangulo BDC= 1 diagonal Diagonal BD. 2

2

Al resumir se tiene: AH HC AH + HC BD. ___+ BD. ____ = BD. ( ____________) = 2 2 2

Se ha sacado factor común (BD)

AC d’ d . d

= BD._____ = d. _______ = ________ 2 2 2 Nótese: BD = d = Base de los dos triángulos. AC= d’ = AH + HC AC d’ ___ = ___ = Ah = HC (las diagonales se cortan en su punto medio). 2 2 Luego el área del rombo es

d. d’

2 Aplicación Averiguar el área de un rombo cuyas diagonales miden 12 y 6 cms. Respectivamente. Rombo

Solución

Formula= d . d’

2

Sustitución = 12 . 6 = 36 cms²

2

Área del polígono regular Al descomponer un polígono regular en triángulos, estos resultan iguales. Ahora bien, si se busca el área de un triángulo y se multiplica por el número que indica el total de triángulos en que se ha dividido el polígono, se obtiene el área buscada. En la figura o (hexágono regular), el área se busca:

(base X apotema) . 6 b X ap

________________ = _________ . 6

2 2 ap = apotema = altura base= radio = lado 6b = 61 = perímetro Nb = nl = perímetro en general Generalizando resulta: b X ap

_________ . n

2 N = número de triángulos. A la altura de triangulo, en un polígono regular se le llama apotema (ap). El contorno de una figura ( suma de los lados ) se llama perímetro (p). Luego el área del polígono regular, es igual a la mitad del producto del perímetro por la apotema, y se representa:

P. ap P

A= ___________ = _________ . ap

2 2

Aplicación Averiguar el área de un octágono regular cuyo lado mide 18 cm. Y de apotema 12 cms. Solución:

P

Formula: --------- . ap

2 Sustitución: 18 X 8

_________ . n

2 12= 864 cms² R= 864 cms²

Área de un polígono cualquiera El área de un polígono cualquiera se halla:

a) Descomponiéndolo en triángulos, lo cual se logra trazando las diagonales por vértice. (figura q). Áreas de los triángulos.

16 X 9

Área del triangulo DEA = __________ = 72 cms² 2 DA, DB…. = diagonales DEA, DAB y DBC = triángulos EH, AM, SC = Alturas trazadas en los 3 triángulos. 13 X 12 Área del triangulo DAB = ____________ =…. 78 cms² 2

13 X 12 Área del triangulo DBC = ____________ =…. 39 cms² 2

Área del polígono =… 189 Cms² NOTA: la diagonales se han tomado como bases

b) Descomponiendo en trapecios y triángulos por diagonal y las perpendiculares a ella trazadas desde los vértices. ( Figura r)

FC = diagonal a y a’ = alturas CDEF y ABCH = trapecios AFH = triángulo Nótese los colores. Área de los trapecios. CF + DE Área de los trapecios CDEF = (___________ ) . a 2 CH + AB Área de los trapecios ABCH = (___________) . a 2 FH . a’ Área del triangulo = (___________) 2 NOTA: el profesor hará que los alumnos den valores numéricos a las bases y a las alturas del triangulo y de los trapecios.

Circunferencias y círculo. Perímetros Circunferencia: Conjunto de puntos de un plano que están a igual distancia de otro que se toma como centro. Esta distancia recibe el nombre de radio.

Relaciones entre el punto y la circunferencia. C, D, E, A, B: puntos de la circunferencia M= Punto interior a la circunferencia H= punto exterior Circulo Parte de plano Limitada por la circunferencia.

Radios Son los segmentos que tienen por extremos el centro y un punto cualquiera de la circunferencia Todos los radios de una circunferencia son iguales Cuerda: segmento cuyos extremos son dos puntos de la circunferencia.

Diámetros: Son las cuerdas que pasan por el centro Propiedades de los diámetros:

A) Todos los diámetros de una misma circunferencia son iguales. B) Un diámetro es igual a dos radios C) Un diámetro divide a la circunferencia y al círculo en dos partes iguales

llamadas semicircunferencias y semicírculos. Arco: es la parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos que se llaman extremos del arco

Sector circular: es la porción de circulo limitada por un arco y lo radios de sus extremos. Segmento circular: es la porción de circulo comprendida entre un arco y un cuerda. Corona circular: superficie comprendida entre dos circunferencias que tienen el mismo centro y distinto radio

Longitud de la circunferencia C= Circunferencia D= diámetro R= Radio 2r= d C ___ = 3.1416 d C 1º) ___ = ¶ { ¶ = Pi (letra griega) d C 2º) ___ = ¶ { C = 2 ¶ . r

2r De la igualdad (1) al dividir la circunferencia © por el diámetro (d) nos resulta el número ¶ (pi) que es igual a 3.1416. En la igualdad (2) hemos reemplazado al diámetro por su equivalente 2 r (2 radios). Y por último hemos despejado el valor de C, que es igual a 2 veces el radio por ¶ C= 2 ¶ . r = longitud de la circunferencia. De la explicación se deduce que la longitud de la circunferencia es igual también a 3 diámetros, mas una fracción de diámetro. Área del círculo

Como s observa en la figura t, de la izquierda, la circunferencia es el limite del perímetro de un polígono regular inscrito de infinito número de lados, y el radio es el límite de la apotema. Por lo tanto:

Circunferencia . r Área del circulo = _________________ = 2

C . r 2¶ .r . r

= ____________=__________= ¶. r² 2 2 C= longitud de la circunferencia. C= 2 ¶ . r R= apotema.

Nótese que el factor 2 se ha cancelado. El profesor debe hacer hincapié en que el circulo es un polígono regular de infinito número de lados y explicar: P . ap C . r 2¶ . r . r A= _______ = _______ = __________ = ¶ 2 2 2 Perímetro de figuras geométricas

OM = AB + BC + CD + DA OM = 5 + 5 + 5 + 5 = 20 Nota: repasar suma de segmentos