Medidas en el espacio

Introducción:• En el tema anterior vimos:

– Las ecuaciones de la recta y el plano– Las propiedades afines de la recta y el plano

– Paralelísmo– Incidendia– Intersección

• En el presenta tema veremos:• Las propiedades métricas de los elementos geométricos:

•Ángulos•Distancias•Áreas•Volúmenes

Problemas métricos

Hacen referencia a la medida de:• Distancias, ángulos, áreas y volúmenes

Para resolver los problemas métricos:

‐ Nos apoyamos en la representación gráfica

‐ Nos apoyamos en el razonamiento geométrico

‐ Nos servimos de las operaciones  vectoriales

Medida de ángulos

• 1.‐Ángulo entre dos rectas:Dos rectas forman el mismo ángulo que el que forman sus vectores directores:

u·Recuerda que el ángulo que forman dos vectores u y v es : cos | u |·| |

vv

α α⎡ ⎤

=⎢ ⎥⎣ ⎦

rs

u

v

Ángulo que forman las rectas "r" y "s" =

u∙                          =arcos(r,s)=arcos(u, ) cos

|u|∙| |

vv ar

v

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Ejemplo

Qué ángulo forman las rectas

Si llamamos al ángulo que forman las rectas:α

1 2 3

: 2      y     : 1

1

x x

r y s y

z z

λ μλ μ

λ μ

= − = −⎧ ⎧⎪ ⎪= + = +⎨ ⎨⎪ ⎪= = − −⎩ ⎩

Comprobamos primero que se cortan:

‐2 ‐1 2

1 1 ‐1 0

1 ‐1 ‐1

=

( )

[ ] [ ]

1

2 1 1 1

1 2 3cos   =

| 2,1,1 |∙| 1,1, 1 | 26 3α

−⎛ ⎞⎜ ⎟− ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ = =

− − −

3=arcos 1,079 radianes

2α ≅

Ángulo de dos planosLos planos forman el mismo ángulo que el que forman sus vectores normales

P

Q

P

Q

¿Qué ángulo forma el plano P:2x+3y‐z=3 con el plano Q:3x‐2y+2z=5 ?

Se llamamos         al ángulo  que Forman los planos:

α

( )

( ) ( )

32 3 1 2

2 2cos 0.13| 2 3 1 |·| 3 2 2 14 · 17

α

⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟ −⎝ ⎠= = ≈ −

− −

Ángulo entre plano y recta• El ángulo que forma la recta y el plano es complementario del  ángulo que forma 

la recta y la normal de plano:

r

P

N

rP

Ángulo( , ) Ángulo(r r, )N2

P radπ+ =

¿Qué ángulo forma la recta                                con el plano 

Si llamamos       al ángulo que forma la recta con el plano:α

luego                                                                                          , de donde: 

( )

( ) ( )α

⎛ ⎞⎜ ⎟− − ⎜ ⎟⎜ ⎟ − −⎝ ⎠= = = ≈ −

− −

1

1 2 1 1

1 2 2( ) 0.47

| 1 2 1 |∙| 1 1 1 36∙ 3sen

α = − =( 0,47) 5,79 rad.arsen

2

: 1 2

x

r y

z

λλ

λ

= +⎧⎪ = − −⎨⎪ = −⎩

p: 3 0x y z+ + − =

( )ángulo 1,1,1, , 1, 2, 12πα ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( )( ) 1,1,1, , 1, 2, 1Sen Cosα ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Distancia entre dos puntos

• La distancia entre dos puntos A y B es igual al módulo del vector        AB

Calcula la distancia del punto A(1,2,‐3) al punto  B(‐1,3,4)

El vector                                                                                             AB ( 1,3, 4) (1,2, 3) ( 2,1,7) ,= − − − = −

2 2 2luego la distancia de A a B es AB ( 2) 1 7 3 6 unidades de longitud= − + + =

Distancia de un punto a una recta

a) Método geométrico: ‐ Se traza una perpendicular a la recta desde el punto P para encontrar el punto P’‐ Se calcula la distancia entre los puntos  P y P’

P

r90ºP’

Calcular la distancia del punto (2,1,3) a la recta 2

1

x

y

z

λλ

λ

= +⎧⎪ = −⎨⎪ =⎩

Cualquier punto de recta tiene la forma                              ; cualquier vector con origen en P y final en la recta tiene la forma 

( )2 ,1 ,λ λ λ+ −[ ]2 2,1 1, 3 , , 3λ λ λ λ λ λ⎡ ⎤+ − − − − = − −⎣ ⎦

'PP

r

El vector         y el vector       son perpendiculares :  'PP r ( )1

3 1 0 1

1

λ λ λ λ⎛ ⎞⎜ ⎟− − − = ⇒ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2 2 2, , ' (2,1,3),(3,0,1) (3 2) (0 1) (1 3) 6  uni. de long.P r P Pd d d= = = − + − + − =

O bien: Calcular la distancia del punto (2,1,3) a la recta 

2

1

x

y

z

λλ

λ

= +⎧⎪ = −⎨⎪ =⎩

Pr

‐ por el punto “P” trazamos un plano perpendicular a “r”

4 0x y z− + − =

‐ Dicho plano corta a la recta  en el punto “P1”

P1

1

4 0

2  2 1 4 0 1 P (3,0,1)

1

x y z

x

y

z

λλ λ λ λ

λλ

− + − =⎧⎪ = +⎪ ⇒ + − + + − = ⇒ = ⇒ =⎨ = −⎪⎪ =⎩

1P,Pd 6  unidades de longitud=

‐ Calculamos la distancia de P a P1

b) Método vectorialLa distancia de un punto a una recta es la altura de paralelogramo limitado por el  

vector de la recta y por el vector que une el punto con cualquier punto de la recta

0Pv

h

∙Área

Área base altura alturabase

= ⇒ =

Luego:

0,

|PP |

| |p r

vd

v

×=

2

1

x

y

z

λλ

λ

= +⎧⎪ = −⎨⎪ =⎩

Calcular la distancia del punto (2,1,3) a la recta 

[ ] [ ]0PP 2 2,1 1,0 3 0,0, 3= − − − = −

[ ]1, 1,1v = −

[ ][ ]

p,r

| 0 0 3 |

| 3 3 0 |1 1 1d 6  uni. de long.

| 1 1 1 | 3

i j k

−− −−

= = =−

Distancia de un punto a un plano

a) Método geométrico:‐ Se traza una perpendicular al plano desde el punto P para encontrar el punto P’

P’

‐ Se mide la distancia de P a P’

Calcular la distancia de punto (1,2,‐1) al plano  x+y+z‐5=0La recta                                        , perpendicular al  plano , pasa por el punto dado ycorta al plano en el punto (2,3,0) 

1 2 1x y z− = − = +

dP,P’ =|[1,1,1]|=            unidades de longitud3

b) Método vectorial:

‐ En cualquier punto P’’ trazamos el vector normal       del plano y el vector         ‐ Se cumple:

n PP''

P’’

nP’

αα

P,

pero   luego:

           

|PP'| |PP''|cos    

                

  |PP''|∙|n|∙cos   PP'

          

'∙n    

PP''∙n d = |PP'|   =| |

|n  

| π

α α= =

Calcular la distancia del punto (1,2,‐1)  al plano x+y+z‐5=0

Buscamos un punto cualquiera del plano, por ejemplo:

X=1 Y=1 Z=5‐1‐1=3

p,

1

([1 1 3] [1 2 1])∙ 1

1 3d | | 3  unid. de long.

|[1,1,1]| 3π

⎛ ⎞⎜ ⎟− − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠= = =

Y aplicamos la fórmula anterior:

Dado  que el punto P’’ está en el plano, la fórmula anterior se puede escribir en la forma:

2 2 2d o o oAx By Cz D

A B C

+ + +=

+ +

Distancia entre dos rectas

s

r

Sean “r” y “s” dos rectas que se cruzan en el espacio

La distancia entre ambas  rectas será la medida del segmento perpendicular a ambas

d

Calcular la distancia entre las rectas 1 1 1 2

r :     y  s :   12 3 2 3

x y y zz x

− + − −= = − = =

El segmento que une un punto                                       de “r”, con un punto                                     de “s” , es el módulo del vector:  

(1 ,1 2 ,2 3 )μ μ μ+ + +

Como “d” debe ser perpendicular a “r” y a  ”s”, debe cumplirse:

Luego el módulo de  “d”  es 

(1 2 , 1 3 , )λ λ λ+ − +

[ ] [ ](1 2 , 1 3 , ) (1 ,1 2 ,2 3 ) 2 ,3 2 2, 3 2λ λ λ μ μ μ λ μ λ μ λ μ+ − + − + + + = − − − − −

[ ][ ]2 ,3 2 2, 3 2 ∙[2,3,1] 0 14 11 8 0 2 52

  ,  11 14 10 0 75 752 ,3 2 2, 3 2 ∙[1,2,3] 0

λ μ λ μ λ μ λ μλ μ

λ ηλ μ λ μ λ μ

− − − − − =⎧ − − =⎧⎪ ⇒ ⇒ = = −⎨ ⎨ − − =− − − − − =⎪ ⎩⎩

[ ] 2 52  ,  

75 75

56 40 8 8 32 ,3 2 2, 3 2 | , , |  unid. de long.

75 75 75 15λ μλ μ λ μ λ μ

= =−

⎡ ⎤− − − − − = − =⎢ ⎥⎣ ⎦

Método vectorial:

r

s

d

La distancia  ,d ,entre las rectas “r” y “s” es igual a la altura del prisma limitado por los vectores de ambas rectas y por un vector que une ambas rectas

Calcular la distancia entre las rectas 

o| PP , , |Volumenaltura= d

Área de la base | |

v w

v w

⎡ ⎤⎣ ⎦> =⎡ ⎤×⎣ ⎦

w

v

1 1 1 2:     y     : 1

2 3 2 3x y y z

r z s x− + − −

= = − = =

[ ] [ ] [ ].

0 2 2

| 2 3 1 |

1 2 3 8 8 8 3unid. de long.

| 2,3,1 1,2,3 | | 7, 5,1 | 155 3r sd = = = =

× −⎡ ⎤⎣ ⎦

Distancia de una recta a un planoUn plano y una recta pueden ser a) coincidentes, b) secantes o c) paralelos

r

r r

π π π

En los casos a) y b) la distancia es cero y en el caso c) la distancia de la recta al plano es la misma que la distancia de cualquier punto de la recta al plano

Calcular la distancia del la recta de l recta                                            al plano  2x‐y+z‐5=01 2 23 2 4

x y z− + −= =

[ ] [ ]Los vectores 3,2, 4 y 2, 1,1 son perpendiculares, luego la recta y el plano son paralelos o coincidentes

− −

, 2 2 1

2(1) 1( 2) 1(1) 5 5 6 d unid. de long.662 ( 1) 1

r π− − +

= = =+ − +

Distancia entre dos planosDos planos pueden sea a) coincidentes, b)secantes o c)paralelos

P P

P

Q

QQ

En los casos a) y b) la distancia entre los planos es cero , y en el caso c) la distancia la podemos obtener trazando una perpendicular a ambos planos y midiendo la distancia de los puntos de corte de esa perpendicular con los planos

Calcular la distancia entre lo planos   P:2x+y‐z+2=0  y   Q:2x+y‐z‐6=0

Por el punto (0,0,2) del plano P trazamos una perpendicular                                , que 

corta al  plano Q en el punto                        ; de donde la distancia entre los planos es:   

22 1x z

y−

= =−8 4 2

, ,3 3 3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

2 2 2

P,Q

8 4 4 4 6d  unid. de long.

3 3 3 3⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

También podemos calcular la distancia entre dos planos paralelos normalizando las ecuaciones de los planos y restando los términos normalizados  DN

Calcular la distancia entre lo planos   P:2x+y‐z+2=0  y   Q:2x+y‐z‐6=0

La ecuación normalizada del plano P es N

2 1 1 2P : 0

6 6 6 6y z

x+ − + =

La ecuación normalizada del plano Q esN

2 1 1 6Q : 0

6 6 6 6y z

x+ − − =

Y la distancia entre ambos planos es:

P,Q

2 6 8 4 6d  unid. de long.

36 6 6⎛ ⎞= − − = =⎜ ⎟⎝ ⎠

Áreas ‐Área del rectángulo de vértices A,B,C y D

A

B C

D

| |S AB BC= ×

‐ Área del triángulo de vértices A,B y C

A

B

C1| |

2S AB BC= ×

Volúmenes‐Volumen del paralelepípedo:

A     

B

D

C

| , , |V AB AC AD⎡ ⎤= ⎣ ⎦

‐Volumen del tetraedro:

A     

B

C

D

1| , , |

6V AB AC AD⎡ ⎤= ⎣ ⎦

Lugares geométricos en el espacio(1)Plano mediador de un segmento es el plano que es perpendicular a él en su punto medio

Encontrar el lugar geométrico de los  puntos que equidistan de los puntos A(1,2,3) y B(3,‐2,2)

4 8 2 3 0x y z− − − =

A(1,2,3) B(3,‐2,2)

4 8 2 3 0x y z− − − =

2 2 2 2 2 2( 1) ( 2) ( 3) ( 3) ( 2) ( 2)x y z x y z− + − + − = − + + + −

Lugares geométricos en el espacio(2)Plano bisector de un ángulo diedro es aquel que divide el ángulo en dos ángulos iguales

Encontrar los puntos del espacio que equidistan de los planos P:x‐z+2=0 y Q=x‐y+3=0

P

Q

2 3

2 2

x z x y− + − +=

± ∓de donde obtenemos los planos

1 0y z− − =y

2 5 0x y z− − + =

1 0y z− − =2 5 0x y z− − + =

FIN DE TEMA