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Didáctica de la Matemática Universidad de Alicante

Parcial 2 - Resumen Teoría y Práctica solucionada Página 1 de 101

FIGURAS CIRCULARES. ELEMENTOS

CIRCUNFERENCIA DE CENTRO A Y RADIO R, lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan r del punto A.

ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DE LA CIRCUNFERENCIA Y DEL CÍRCULO

CIRCUNFERENCIA, lugar geométrico formado por un conjunto de puntos que equidistan del centro

CÍRCULO, figura plana formada por una circunferencia más toda su región o área interior

RADIO, segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia

DIÁMETRO, cuerda de longitud máxima que une dos puntos de la circunferencia y que pasa por el centro. (cuerda que pasa por el centro, se tiene que dar o explicitar).

CUERDA, segmento que une dos puntos de la circunferencia

ARCO DE UNA CIRCUNFERENCIA, trozo de circunferencia limitado por dos puntos de ella.

SECTOR CIRCULAR, parte del círculo comprendida entre los dos radios y el arco comprendido entre ellos.

SEGMENTO CIRCULAR, parte del círculo comprendido entre una cuerda y el arco que delimita.

CORONA CIRCULAR, superficie comprendida entre dos circunferencias concéntricas, una exterior y otra interior.

TRAPECIO CIRCULAR, parte de la corona circular comprendida entre dos radios. Depende del radio interior (r), del radio exterior (R) y del ángulo



ÁNGULOS DE UNA CIRCUNFERENCIA Según la posición del vértice respecto a la circunferencia son:

CENTRAL, tiene su vértice en O, centro de la circunferencia, y un arco asociado, PQ. El ángulo se ángulo central y su medida es la medida angular de PQ.

ÁNGULOS EXCÉNTRICOS, no tiene el vértice en el centro de la circunferencia

INTERIOR, tiene el vértice en el interior de la circunferencia

EXTERIOR, tiene el vértice en el exterior de la circunferencia

INSCRITO, tiene el vértice en la circunferencia y los lados son dos cuerdas. Los ángulos α, β son ángulos inscritos. Sus vértices A y B están sobre la circunferencia. En el ángulo α, el vértice A está sobre la circunferencia y los lados AP y AQ son cuerdas de la circunferencia. En el ángulo β, el vértice B está sobre la circunferencia y los lados BP y BQ son cuerdas.

SEMIINSCRITO, tiene el vértice sobre la circunferencia, un lado es una cuerda y el otro una tangente



ÁNGULOS CENTRALES asociados a los arcos de los ángulos:

Interior

Exterior

Inscrito

Semiinscrito

PROPIEDADES DEL ÁNGULO INSCRITO

El ángulo central asociado a un ángulo inscrito es el doble de dicho ángulo (el ángulo inscrito es la mitad que el ángulo central). Nota: todos los ángulos inscritos de una cuerda o arco tienen el mismo ángulo central, son iguales.

O

O

O

O



ACTIVIDADES SOBRE ÁNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA

1. Indica si las afirmaciones siguientes son siempre verdad, algunas veces, o nunca. Justifica tus decisiones. - Un radio de una circunferencia puede tener sus extremos sobre la circunferencia No

porque sería una cuerda - Un diámetro de una circunferencia es una cuerda Sí, porque el diámetro es una cuerda que

pasa por el centro - Una cuerda de una circunferencia es un diámetro Algunas veces, sólo si pasa por el centro. - La medida de un radio es la mitad de la longitud de un diámetro Sí, siempre - La distancia entre el centro de una circunferencia y un punto sobre la circunferencia es igual a

la longitud del radio Sí

2. Prueba que la medida del ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados

3. ¿Qué tipo de triángulo es el que uno de sus lados coincide con el diámetro de su

circunferencia circunscrita? Justifica tu respuesta. - Tenemos que es un diámetro ya que divide la

circunferencia en dos partes iguales. - Tenemos que es un ángulo inscrito cuyo arco tiene un

ángulo central asociado de 180º. - Sabemos que el ángulo central asociado a un ángulo inscrito

es el doble, entonces .

- Por lo tanto el triángulo en el que uno de los lados coincide con el diámetro de su circunferencia circunscrita es el rectángulo.

2

O

180º C

B

A

O 2



4. Justifica por qué los triángulos y tienen los ángulos iguales ¿cómo son los triángulos? - Decimos que las medidas de y que . - Como el ángulo y el son opuestos por el vértice

entonces son congruentes, . - Tenemos que es un ángulo inscrito con arco asociado BC - Tenemos que es un ángulo inscrito con arco asociado BC - Como los ángulos inscritos de un mismo arco asociado son

congruentes entonces . - Dado el triángulo , sabemos que la suma de sus ángulos internos es 180º;

. Como y entonces - Dado el triángulo , sabemos que la suma de sus ángulos internos es 180º;

. Como y entonces Por lo tanto, los triángulos y son semejantes.

5. Si el ángulo es recto. ¿Cuánto miden los ángulos , , y ? Justifica tu respuesta

- Identificamos el ángulo inscrito cuyo ángulo central asociado es . Como el ángulo central asociado a cualquier ángulo inscrito es el doble del ángulo inscrito entonces . Como entonces

- Identificamos los ángulos inscritos , y cuyo ángulo central asociado es . Como los ángulos inscritos con el mismo ángulo central asociado miden lo mismo; entonces

.

Nota: el ángulo central se identifica con el arco - Tenemos que el ángulo tiene como ángulo central asociado al ángulo que es recto,

. Como el ángulo inscrito es la mitad que el ángulo central asociado entonces

.

- Tenemos que es un ángulo inscrito con arco asociado AB. - Tenemos que es un ángulo inscrito con arco asociado AB. - Tenemos que es un ángulo inscrito con arco asociado AB. - Como los ángulos inscritos de un mismo arco son congruentes podemos decir que

B

A

D

M C

O

P

R

A

B

Q



6. Indica lo que miden los ángulos inscritos y los arcos en las siguientes figuras ¿Cuál es la idea clave sobre la medida que has usado para resolver esta actividad?

- Identificamos el ángulo cuyo arco asociado mide 136º. Como el arco asociado a un ángulo inscrito es el doble que el ángulo inscrito; entonces .

- Identificamos el ángulo cuyo arco asociado es b. Como el arco asociado a un ángulo inscrito es el doble que el ángulo inscrito y el ángulo inscrito ; entonces b=104º.

- Identificamos el triángulo . Como la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º; entonces . Por lo tanto .

- Identificamos el ángulo cuyo arco asociado es a. Como el arco asociado a un ángulo inscrito es el doble que el ángulo inscrito y el ángulo inscrito ; entonces a=30º.

- Identificamos el ángulo cuyo ángulo central asociado coincide con el diámetro de la circunferencia, es decir, . Como la medida del ángulo central asociado es la misma que la del arco asociado entonces . Como el ángulo central asociado a un ángulo inscrito es el doble que el del ángulo inscrito; entonces .

- Identificamos el ángulo cuyo arco asociado mide 80º. Como el arco asociado a un ángulo inscrito es el doble que el ángulo inscrito; entonces .

- Identificamos el triángulo . Como la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º; entonces . Por lo tanto .

- Identificamos el ángulo cuyo arco asociado es j. Como el arco asociado a un ángulo inscrito es el doble que el ángulo inscrito y el ángulo inscrito ; entonces j=100º.

E

C D

H

I F



- Identificamos el ángulo cuyo arco asociado es l+52º. Como la medida del arco asociado es el doble que la del ángulo inscrito; entonces l=168º-52º l=116º.

- Identificamos el ángulo cuyo arco asociado mide 52º+76º=118º. Como el arco asociado a un ángulo inscrito es el doble que el ángulo inscrito; entonces .

- Como una circunferencia completa mide 360º; entonces l+m+52º+76º=360º, como l=116º m=360º-244º m=116º.

- Identificamos el ángulo cuyo arco asociado es l+m. Como la medida del arco asociado es el doble que la del ángulo inscrito; entonces .

- Identificamos el ángulo cuyo arco asociado es m+76º. Como la medida del arco asociado es el doble que la del ángulo inscrito; entonces .

- Identificamos el ángulo cuyo arco asociado es q+56º. Como la medida del arco asociado es el doble que la del ángulo inscrito; entonces q=100º-56º q=44º.

- Identificamos el ángulo cuyo arco asociado mide r+56º. Como el arco asociado a un ángulo inscrito es el doble que el ángulo inscrito; entonces r=176º-56º r=120º.

- Como una circunferencia completa mide 360º; entonces s+q+56º+r=360º, como r=120º y q=44º s+120º+44º=360º s+164º=360º s=196º.

- Identificamos el ángulo cuyo arco asociado es s+q. Como la medida del arco asociado es el doble que la del ángulo inscrito; entonces .

- Identificamos el ángulo cuyo arco asociado es s+r. Como la medida del arco asociado es el doble que la del ángulo inscrito; entonces .

N

K

P

R

W

T

V

U



7. En el diagrama que sigue, las rectas m y n son paralelas, ¿qué miden los ángulos mencionados? - Tenemos que BC es arco asociado del

ángulo , como el arco asociado a un ángulo inscrito es el doble que el ángulo inscrito y a=80º; entonces

- Como los ángulos inscritos y comparten el arco BC; entonces son congruentes, .

- Tenemos dos rectas paralelas, mm, cortadas por el segmento que forman dos ángulos y , que son alternos internos y, por lo tanto, congruentes , por lo tanto

- La cuerda BD pasa por el centro dividiendo la circunferencia en 2 partes congruentes, por lo tanto es el diámetro y su ángulo es de 180º. Con lo cual BC+CD=180º 80+CD=180º CD=100º

- Tenemos que DC es el arco asociado del ángulo , como el arco asociado de un ángulo inscrito es el doble que el ángulo inscrito; entonces

8. En la circunferencia dada, indica lo que mide cada ángulo sin medirlo, sabiendo que el arco CB mide 84º - Identificamos los ángulos , , ,

, y - Tenemos que es ángulo inscrito asociado a la cuerda CB.

Como la cuerda asociada a un ángulo inscrito es el doble que el ángulo inscrito entonces .

- Tenemos que , y son ángulos inscritos asociados a la misma cuerda, CB. Como los ángulos inscritos asociados a la misma cuerda son congruentes entonces .

- Tenemos que CE es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia dividiéndola en dos partes congruentes de 180º cada una. Como CE coincide con el ángulo podemos decir que .

- Tenemos que es un ángulo central cuyo arco asociado es 84º, por lo tanto =84º. - Tenemos que CE es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia dividiéndola en dos

partes congruentes de 180º cada una. Como CE es un ángulo de 180º que contiene a los ángulos suplementarios y podemos decir que +=180º. Sabemos que =84º, por lo tanto 84º+=180º =96º

B

C A

D

O = a

s

w

84º

v

u



9. La cuerda de un arco que es suma de dos arcos, ¿es la suma de las cuerdas de estos?

10. Demostrar que la cuerda del arco cuyo ángulo central es 60º, es igual al radio.

- Se alargan los segmentos y obteniendo los puntos que llamamos A’ y B’.

- Tenemos que es ángulo opuesto por el vértice al ángulo ; entonces son congruentes, . Como entonces =60º.

- Tenemos que es ángulo opuesto por el vértice al ángulo ; entonces son congruentes, .

- Sabemos que la vuelta completa de una circunferencia son 360º; entonces 60º+++=360º. Como =60º y =; entonces 60º+60º++=360º 120º+2=360º

=120º.

Con lo que obtenemos las cuerdas AA’ y BB’

- Tenemos que los ángulos del triángulo son congruentes, por lo tanto se trata de un triángulo equilátero, que tiene todos sus lados congruentes, es decir x=r.

11. Dado un arco, indicar cómo encontrar el centro de la circunferencia. Justifica el procedimiento (¿en qué propiedad geométrica te apoyas?).

- Elegimos un punto C del arco y trazamos las cuerdas.

- Llamamos a la mediatriz del segmento y a la mediatriz del segmento .

- Llamamos O al punto de corte entre las dos mediatrices.

- Si O está en la mediatriz de A y de C podemos decir que equidista de A y de C.

- Si O está en la mediatriz de B y de C podemos decir que equidista de B y de C.

- Por lo tanto podemos decir que O es el centro porque equidista de los tres puntos.

La cuerda del arco AC es la suma de los arcos AB y AC, pero la cuerda del arco AB y la del arco AC no es la cuerda AC ya que el segmento es menor a la suma de los segmentos y .

C

B

A O

120º

r

B’ A’

60º

b a A

60º B

r 120º

B

C

A

O



12. En una misma circunferencia o en circunferencias iguales, a cuerdas iguales corresponden arcos iguales. [Si CB=DE entonces arco CAB =arco DAE]

- Tenemos que es el ángulo central del arco CB, por lo tanto .

- Tenemos que es el ángulo central del arco DE, por lo tanto .

- Tenemos dos triángulos y que cumplen el criterio L-A-L:

L - Los lados AB y AC son congruentes porque son radios de una misma circunferencia

A - Tenemos los ángulos y que son congruentes porque tienen la misma medida .

L - Los lados AE y AC son congruentes porque son radios de una misma circunferencia.

- Por el criterio L-A-L los dos triángulos y son congruentes. Como hemos visto que dos pares de lados de dos triángulos congruentes son congruentes tenemos que el tercer lado de dos triángulos congruentes es congruente.

13. En una misma circunferencia o en circunferencias iguales, a arcos iguales corresponden cuerdas iguales.

- Tenemos que es el ángulo central del arco AB, por lo tanto .

- Tenemos que es el ángulo central del arco CD, por lo tanto .

- Tenemos dos triángulos y que cumplen el criterio L-A-L:

L - Los lados y son congruentes, , porque son radios de una misma circunferencia

A - Tenemos los ángulos y son congruentes, porque tienen la misma medida.

L - Los lados y son congruentes, , porque son radios de una misma circunferencia

Por el criterio L-A-L los dos triángulos y son congruentes. Como hemos visto que estos dos triángulos congruentes tienen dos pares de lados congruentes entonces podemos decir que el tercer par de lados también es congruente, y, por lo tanto, a arcos iguales corresponden

cuerdas iguales.

x

r

r

r

r

y

r

y r

r

x r

C

D

A

B

2

r

r

r r

O 2

2 r

x r

2 r

.220x

r



14. Probar que el diámetro perpendicular a una cuerda es su mediatriz. - Tenemos el arco AB tiene como cuerda el segmento . - Trazamos la mediatriz del segmento que, como es la recta

perpendicular que pasa por el punto medio de dicho segmento, sabemos que pasará por el centro de la circunferencia.

- Si dicho segmento lo alargamos hasta el extremo opuesto de la circunferencia obtenemos el diámetro de la circunferencia.

- Por lo tanto la mediatriz de la cuerda AB (segmento ) es el diámetro de la circunferencia.

EJERCICIOS EXTRA

¿Cuánto vale x? - Sabemos que es ángulo inscrito del arco BC - Sabemos que es ángulo inscrito del arco BC - Como los ángulos inscritos de un mismo arco son iguales

podemos decir que - Consideramos el triángulo ; Como la suma de sus

ángulos interiores es 180º entonces . Como , y ; entonces 90º+20º+x=180º x=180º-110º x=70º. El ángulo x mide 70º

O A

B

O

B

x C A 20º M

D



FIGURAS GEOMÉTRICAS SEMEJANTES

Dos FIGURAS GEOMÉTRICAS son SEMEJANTES si tienen la misma forma, pero no el mismo tamaño, si una es un modelo exacto y a escala de la otra. En POLÍGONOS, ha de cumplirse que sus ángulos sean congruentes (iguales) y sus lados proporcionales según una razón o relación constante, razón de semejanza o escala k.

EJEMPLO: Dos figuras son semejantes si: Sus ángulos son congruentes, , ,

, y Sus lados son proporcionales según la constante k.

. Por lo tanto,

Ejemplo: dados los cuadrados de vértices y , si se designa por k la razón de

semejanza, se verifica que:

.

Nota: Han de cumplirse las dos condiciones porque dos figuras pueden:

EJEMPLO:

Dos figuras son semejantes si: a) Sus ángulos son congruentes, , ,

, y b) Sus lados son proporcionales según la constante k.

. Por lo tanto,

- Tener ángulos congruentes, en este caso rectos, pero no ser semejantes porque no tienen lados proporcionales.

- Tener los lados iguales, por lo que son proporcionales, pero no ser semejantes porque no tienen ángulos congruentes.

Los cuadrados de vértices y son semejantes ya que sus ángulos son iguales y sus lados son proporcionales según la razón de semejanza

4

4

2

2

e

d

c

b

a

E

D

C

A

B

8 1

2

e’

E’

d’ D’

c’ C’

b’ B’

4

A’

a’

1

2

4

4

2

2

e

d

c

b

a

E

D

C

A

B

8 1

2

e’

E’

d’ D’

c’ C’

b’ B’

4

A’

a’

1

2



TRIÁNGULOS SEMEJANTES

Dos triángulos de vértices ABC y A’B’C’ son semejantes si verifican dos condiciones:

- Los lados correspondientes proporcionales:

- Los ángulos correspondientes congruentes (iguales): ; ;

CARACTERIZACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS: Propiedad 1. Si dado un triángulo trazamos una paralela, , a uno de sus lados, , el triángulo resultante es semejante al triángulo . - Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son congruentes

Demostración: los triángulos y tienen sus ángulos congruentes (iguales) y sus lados

proporcionales,

.

Tenemos que es común a y que los ángulos que forman, α, son alternos-internos, ya que los segmentos y son paralelos, y opuestos por el

vértice. Tenemos que es común a y que los ángulos que forman, , son alternos-internos, ya que los segmentos y son paralelos y opuestos por el vértice. Por tanto los ángulos correspondientes son congruentes (iguales). Ejemplo:

- Los lados correspondientes son congruentes

Según la propiedad “Toda paralela a un lado de un triángulo divide a los otros dos lados en partes proporcionales” tenemos que paralela a y que

Se traza una paralela a por N obteniendo y se observa que es congruente (igual) a por la

misma razón:

, de lo que se deduce

Ejemplo:

3

4

5 9

12

15

60º

80º

40º 60º

80º

40º

A

B

B’

C C’

C A C’

B B’ N



Dos triángulos están en POSICIÓN DE TALES si comparten un mismo ángulo y los lados y son paralelos, es decir, según la propiedad “los lados correspondientes son congruentes”. Por tanto los triángulos, y son semejantes.

TEOREMA DE TALES: dos rectas secantes cortadas por familias de rectas paralelas dan lugar a segmentos proporcionales.

CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

1. Criterio A-A-A. Dos triángulos son semejantes si tienen tres ángulos respectivamente congruentes (iguales) (según la caracterización 1: dos triángulos son semejantes si sus ángulos son congruentes).

Demostración. Sabemos que ; ; . Los triángulos y tienen: El ángulo congruente al ángulo , por ser

correspondientes entre paralelas, y congruente al ángulo , ya que por hipótesis.

El ángulo es congruente con el ángulo por hipótesis Según el criterio de congruencia de triángulos A-L-A, los triángulos y son congruentes, por lo que como el triángulo es semejante al triángulo , también lo es al triángulo .

Dados los triángulos ABC y A’B’C’ se toma sobre un punto M tal que y se traza paralela a obteniendo el triángulo parcial es semejante al triángulo . A’

B’

C’ A

B

C

M N

A’

B’

C’

A

B

C

M N



2. Criterio L-A-L. Dos triángulos son semejantes si tienen dos pares de lados correspondientes proporcionales y los respectivos ángulos comprendidos entre ellos son congruentes.

Demostración. Sabemos que y además

.

Sus lados serán proporcionales y

Como , entonces

. Con esta igualdad y

la de la hipótesis, llegamos a que Los triángulos y tienen: El ángulo igual al por ser correspondientes entre paralelas, y congruente al

ángulo , ya que por hipótesis. Según el criterio de congruencia de triángulos L-A-L, los triángulos y A’B’C’ son congruentes, por lo que como el triángulo es semejante al triángulo , también lo será del triángulo

3. Criterio L-L-L. Dos triángulos son semejantes si tienen los tres lados respectivamente proporcionales (según la caracterización 2: dos triángulos son semejantes si sus lados correspondientes son congruentes).

Demostración. Sabemos que y además

.

Sus lados serán proporcionales y

.

Si se comparan las dos igualdades se obtiene que , y Por tanto, los triángulos y tienen:

Según el criterio de congruencia de triángulos L-L-L, los triángulos y son congruentes, por lo tanto el triángulo es semejante al triángulo , también lo es al triángulo

4. Criterio A-L-A. Dos triángulos son semejantes si tienen dos pares de ángulos iguales y el lado correspondiente entre ellos es proporcional.

Criterio Congruencia Semejanza

ALA LAL AAA LLL

Congruencia de lados Proporcionalidad de lados

60º

100º 7

A

B

C

M N

A’

B’

C’

A

B

C

M N

A’

B’

C’

60º

4 100º



IMPORTANCIA del estudio de la semejanza de triángulos, todo polígono se puede descomponer en triángulos. Así, dos polígonos son semejantes si al descomponerlos en triángulos, éstos son semejantes dos a dos con la misma razón de semejanza.

CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS SEMEJANTES Se realiza aplicando sucesivamente el teorema de Tales a los diferentes pares de puntos

correspondientes partiendo de un vértice común, centro de semejanza, que puede ser: El centro de semejanza es un punto exterior a la figura. Según la razón o escala 1:3

De modo que los triángulos y son semejantes ya que tienen ángulos congruentes,

porque los lados que los forman son paralelos, y los lados proporcionales tal que

El centro de semejanza es un vértice de la figura. Según la razón 2:1

De modo que los pentágonos y son semejantes ya que tienen ángulos

congruentes, porque los lados que los forman son paralelos, y los lados proporcionales por ser triángulos en posición de Tales: ABC con A’B’C’, ADC con A’D’C’ y AED con A’E’D’.

- Desde el centro de semejanza A se trazan las semirrectas AD y AC - Se traza B de modo que AB=2AB’ - Partiendo de B’ se trazan los lados B’C’, C’D’ y D’E’

paralelos a los dados. B’

C’ E’

E

D

C

B O=A=A’

D’

- Se trazan desde el centro de semejanza O las semirrectas OA, OB y OC. - Se traza A’ de modo que OA’=3OA - Partiendo de A’ se trazan los lados A’B’, B’C’

y C’A’ paralelos a los dados.

B

A’ A

C’

C

B’

O



El centro de semejanza es un punto interior a la figura. Según la razón 1:3

De modo que los triángulos y son semejantes ya que tienen ángulos congruentes,

porque los lados que los forman son paralelos, y los lados proporcionales por ser triángulos en posición de Tales: OAB con OA’B’, OBC con OB’C’ y OAC con OA’C’.

RELACIÓN ENTRE PERÍMETRO Y ÁREA DE FIGURAS

1. PERÍMETRO

Si hay dos figuras semejantes sus perímetros son proporcionales

2. ÁREA

Las áreas de dos figuras es el cuadrado de la constante de proporcionalidad.

c

b

a

b a

c

- Desde el centro de semejanza O se trazan las

semirrectas OA, OB y OC - Se traza A’ de modo que OA’=2OA - Partiendo de A’ se trazan los lados A’B’, B’C’ y C’D’

paralelos a los dados. C’

B’

O A

B

C A’

a’

c’

b’



EJERCICIOS EXTRA

1) Sabiendo que y son semejantes, calcula, explicando qué propiedad utilizas en cada caso:

a) Para averiguar utilizamos la propiedad de la suma de los ángulos internos del triángulo, por

lo que , por lo que , es decir, Como el perímetro es igual a la suma de los lados del polígono entonces

. Como el área de un triángulo se halla multiplicando la base por la altura y dividiendo por dos entonces

, por lo que .

Como y son semejantes entonces sus lados correspondientes son proporcionales según

una razón de semejanza

. Como sabemos la medida de b y b’ entonces

, por lo que

b) Como y son semejantes entonces sus lados correspondientes son proporcionales según

una razón de semejanza

Sabemos que

, por lo que

y

que

. Por lo tanto

y

.

Como y son semejantes entonces sus ángulos correspondientes son congruentes, por lo que ; ; . Entonces ; ;

c) Como los perímetros de dos figuras semejantes son proporcionales según la constante de proporcionalidad

y sabemos que

y que , entonces

. Por lo tanto

.

Como las áreas de dos figuras semejantes son el cuadrado de la constante de proporcionalidad

y sabemos que

y que , entonces

. Por lo tanto

,

.

a) b) c)

105º

h=2 a=3

A

C

B c=7

60º

b=5 a’

C’

B’ A’

b’=12,5

c’



ACTIVIDADES. FIGURAS GEOMÉTRICAS SEMEJANTES

1. Identifica figuras semejantes entre las siguientes:

2. Las dimensiones de un rectángulo son 12 cm y 16 cm. Elige entre los siguientes un

rectángulo semejante a él. Justifica tu respuesta. a) 24 cm y 34 cm

b) 6 cm y 7 cm

c) 18 cm y 24 cm

d) 3 cm y 8 cm

3. Los lados de un triángulo miden 3 cm, 4 cm y 5 cm. Otro triángulo semejante tiene por correspondiente del mayor un lado que mide 20 cm. ¿Cuál es la razón de semejanza? Halla los restantes lados. Los triángulos dados son semejantes porque sus lados correspondientes son proporcionales según la razón de proporción

5a=80 a=16

5b=60 b=12

Por lo tanto la razón de proporción es

20

a b

4

5

3



4. Dos triángulos rectángulos tienen un ángulo agudo que mide 40º ¿son semejantes? ¿Esta afirmación se cumplirá siempre para cualquier par de triángulos rectángulos? Justifícalo.

- En el triángulo la suma de los ángulos internos es 180º, por lo que , es decir,

. Por lo tanto . - En el triángulo la suma de los ángulos internos es 180º, por lo que , es decir,

. Por lo tanto . - Tenemos dos triángulos, y , que cumplen: 1 par de ángulos congruentes, , por ser triángulo rectángulo. 1 par de ángulos congruentes, , por el enunciado. 1 par de ángulos congruentes, , por la suma de los ángulos internos del

triántulo. - Por el criterio A-A-A de semejanza de triángulos y son semejantes.

- Tenemos dos triángulos rectángulos y que no son semejantes ya que sus ángulos agudos no son semejantes.

5. Razona si son semejantes los siguientes polígonos y, en caso afirmativo, calcula la razón de semejanza Sabemos que dos figuras son semejantes si: - Sus ángulos son congruentes. Como se trata de dos hexágonos

regulares, ya que los lados de cada uno miden lo mismo, obtenemos que la medida de cada uno de los ángulos es

.

- Sus lados son proporcionales, según una constante

Como se cumplen ambas condiciones se puede confirmar que son figuras semejantes. Sabemos que dos figuras son semejantes si: - Sus ángulos son congruentes, sabemos que, por lo menos un par de ángulos

de ambas figuras son congruentes entre sí. - Sus lados son proporcionales, según una constante

Como se cumplen ambas condiciones se puede confirmar que son figuras

semejantes.

F G

E

40º

A C

B

40º

8m 2m

50º

8m

50º

5m

60º F

E

D

30º 50º

C A

B

40º



Sabemos que dos figuras son semejantes si: - Sus ángulos son congruentes. Como se trata de dos rectángulos

sabemos que todos sus ángulos son congruentes y que miden 90º - Sus lados son proporcionales, según una constante

Puesto que sólo se cumple una de las condiciones estas no son figuras semejantes.

6. Razona si son semejantes los siguientes pares de triángulos: Sabemos que dos triángulos son semejantes si sus ángulos son congruentes. Como conocemos dos pares de ángulos, que son congruentes entre sí, podemos decir que el 3º de los ángulos también lo es. Como la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º podemos averiguar el valor del ángulo que falta mediante +30º+40º=180º, por lo que =110º. Por lo tanto ambos triángulos son semejantes. Sabemos que dos triángulos son semejantes si los lados correspondientes son congruentes según una razón de proporción

. En este caso no son

triángulos semejantes porque sólo son proporcionales dos de los lados, cuya constante es k=2, pero no el tercero, cuya constante es k=1. Según el criterio L-A-L, dos triángulos son semejantes si tienen dos pares de lados correspondientes proporcionales y los respectivos ángulos comprendidos entre ellos son congruentes. Sabemos que los ángulos comprendidos entre los lados son congruentes. Los pares de lados correspondientes son proporcionales si

, , por lo que los lados

correspondientes son proporcionales. Como se cumplen ambas condiciones podemos concluir que los triángulos son semejantes.

7. Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 75 cm, sabiendo que es semejante a otro rectángulo cuyos lados miden 36 cm y 48 cm, respectivamente. - Calculamos la diagonal del rectángulo cuyas dimensiones son

36×48 utilizando el Teorema de Pitágoras

, donde y , por lo que

- Como los dos rectángulos son proporcionales, entonces sus

diagonales también lo son según la constante

,

por lo que

.

- Como

entonces

.

- Como

entonces

.

Por lo tanto las dimensiones del rectángulo semejante, cuya diagonal mide 75cm, son 45cm×60cm.

7m

6m 5m

4m

40º 30º 40º

30º

8m 5m

12m

4m

6m

5m

10m

43º 16m

5m 43º

8m



8. La razón de semejanza de dos cuadrados es 1,5. El cuadrado de menor tamaño tiene un perímetro de 20 cm. Calcula el perímetro del cuadrado mayor y el área de cada uno de ellos. ¿Qué relación hay entre los perímetros de polígonos semejantes? ¿Qué relación hay entre las áreas de polígonos semejantes? - Sabemos que el perímetro de una figura geométrica es igual

a la suma de sus lados, por lo que , es decir , por lo tanto

- Como la razón de semejanza es y sabemos que

, entonces

, por lo que

. Como el perímetro es la suma de los lados entonces , por lo que , entonces . - Como el área del cuadrado es , entonces

y

9. Prueba que dos triángulos rectángulos son semejantes si los catetos correspondientes son proporcionales. Para que dos triángulos rectángulos sean semejantes se

tiene que cumplir que tenga: a) Un ángulo agudo congruente, sabemos que,

por lo menos, tiene dos ángulos congruentes , y que sus catetos son proporcionales, por lo que sus ángulos agudos han de ser congruentes, es decir y

b) Dos catetos proporcionales, sabemos que los catetos de los dos triángulos rectángulos son proporcionales, entonces

c) Proporcional un cateto y la hipotenusa, si los catetos de ambos triángulos son proporcionales también lo son con la hipotenusa,

10. Dibuja un rectángulo cualquiera. Construye un rectángulo semejante a escala 2:1 y con el centro de semejanza en uno de los vértices.

D

B’

A=A’

B

C’

C

D’

c

b C

B

A

a

b’ A’

B’

C’

a’ c’



PROBAR 1

1. Probar que dos ángulos que tienen sus lados respectivamente perpendiculares son iguales o suplementarios (es decir suman dos rectos)

Hay tres casos en los que :

1.- Dos ángulos agudos Datos: - Lamamos x a - Como y ; entonces

. Si y ; entonces .

- Como y ; entonces . Si y ; entonces .

- Como y ; entonces . Por lo tanto , es decir , por lo tanto

2.- Dos ángulos obtusos Datos:

- Lamamos x a - Como y ; entonces

. Si y ; entonces .

- Como y ; entonces . Si y ; entonces .

- Como y ; entonces . Por lo tanto

3.- Un ángulo agudo y otro obtuso Datos: - Como una circunferencia completa mide 360º y

forman una circunferencia completa; entonces , por lo tanto , , Por lo que , es decir, y son suplementarios.

D

O

C

B

A x

O

C B

A

D

x

D

C

B

A O



2. Probar que las bisectrices de dos ángulos adyacentes son perpendiculares. - Sabemos que y son suplementarios, por tanto

- Llamamos a la bisectriz de si solo si - Lamamos ON a la bisectriz de si solo si - Tenemos que y que

, por lo tanto , ,

, es decir , con lo que se puede afirmar que las dos bisectrices son perpendiculares.

3. Las bisectrices de los ángulos opuestos por el vértice están en línea recta (forman un ángulo llano) - Identificamos los ángulos y como ángulos opuestos

por el vértice y, por tanto, congruentes; . - Identificamos como la bisectriz de , ya que se trata

del segmento que divide el ángulo en dos ángulos congruentes y pasa por su vértice.

- Identificamos como la bisectriz de , ya que se trata del segmento que divide el ángulo en dos ángulos congruentes y pasa por su vértice.

- Como y son ángulos opuestos por el vértice y la bisectriz de un ángulo pasa por el vértice del ángulo dividiéndolo dos iguales, entonces podemos decir que y forman parte del segmento ya que pasan por el mismo vértice.

4. Probar que todo punto de la bisectriz de un ángulo equidista de los lados de ese ángulo - Sea P un punto perteneciente a t con t bisectriz de r y s - Llamamos z al segmento . - Si t es la bisectriz de r y s entonces:

- Tenemos un triángulo , entonces la suma de sus ángulos internos vale 180º, por lo tanto ; ; ;

- Tenemos un triángulo , entonces la suma de sus ángulos internos vale 180º, por lo tanto ; ; ;

M’

N M

O

C

B

A

D

N’

x

t

s

r

A

y

z

B

P O

N

C

B

O A

M



- Identificamos los triángulos y que cumplen: Tener 1 par de ángulos congruentes , por la

propiedad de la bisectriz. Tener 1 par de lados congruentes por tener un lado

común. Tener 1 par de ángulos congruentes , por la

suma de los ángulos internos del triángulo. - Por lo tanto por el criterio A-L-A de congruencia de triángulos los dos

triángulos son congruentes, . - Tenemos que en el triángulo el lado es opuesto al ángulo y en el triángulo

el lado es opuesto al ángulo . Como en los triángulos congruentes los lados

opuestos de ángulos congruentes son congruentes; entonces , por lo tanto . Por lo tanto todo punto de la bisectriz de un ángulo equidista de los lados de ese ángulo.

5. Todo punto equidistante de los lados de un ángulo está sobre la bisectriz de ese ángulo - Sea P un punto de la recta t que divide al ángulo ,

, , . ¿t biseca a ? - Llamamos z al segmento , y al segmento y x al

segmento . - Si t es la bisectriz de r y s entonces:

- Como entonces el ángulo es recto y por lo tanto el triángulo es rectángulo. Como la suma de los ángulos internos del triángulo es 180º entonces ; ; ;

- Como entonces el ángulo es recto y por lo tanto el triángulo es rectángulo. Como la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º entonces ; ; ;

- Identificamos los triángulos y que cumplen: Tener 1 par de lados congruentes , , por hipótesis. Tener 1 par de ángulos congruentes , por

enunciado. Tener 1 par de lados congruentes por tener un lado

común. - Por lo tanto por el criterio L-A-L de congruencia de triángulos los dos

triángulos son congruentes, . - Tenemos que en el triángulo el lado es opuesto al ángulo y en el triángulo

el lado es opuesto al ángulo . Como en los triángulos congruentes los lados

opuestos de ángulos congruentes son congruentes; entonces , por lo tanto .

y

B

A

x

P z O

x

t

s

r

A

y

z

B

P O

y

B

A

x

P z O



6. Todo punto de la mediatriz de un segmento equidista de los extremos - Sea P un punto perteneciente a s, siendo s la mediatriz

de . - Si s es la mediatriz tenemos que: M es el punto medio

- Si M es el punto medio de entonces . - Como está en la mediatriz de entonces y . - Llamamos - Identificamos los triángulos y que

cumplen: Tener 1 par de lados congruentes ,

por el punto medio. Tener 1 par de ángulos congruentes por la perpendicularidad de la

mediatriz. Tener 1 par de lados congruentes , por ser lado común.

- Por lo tanto por el criterio L-A-L de congruencia de triángulos los dos triángulos son congruentes, .

- Como son dos triángulos rectángulos congruentes y en los triángulos rectángulos

congruentes sus hipotenusas son congruentes; entonces , por lo tanto . Por lo tanto todo punto de la mediatriz de un segmento equidista de sus lados.

s

x

y z t

B A M

P

x

M

t

P

x

y

B x

z

A



PROBAR 2

1. a. En todo paralelogramo los lados opuestos son iguales entre si

¿ ?

¿ ?

- Llamamos t a la recta que pasa por , a la recta que pasa por , a la recta que pasa por , a la recta que pasa por y a la recta que pasa por

- Como y son rectas paralelas cortadas por la secante común t y y están en posición de alternos internos, entonces son congruentes, .

- Como y son rectas paralelas cortadas por la secante común t y y están en posición de alternos internos, entonces son congruentes, β.

- Tenemos dos triángulos y que cumplen: 1 par de ángulos congruentes, , por

alternos internos. 1 par de lados congruentes, , por lado común. 1 par de ángulos congruentes, , por

alternos internos.

- Por el criterio de congruencia A-L-A tenemos que es lado opuesto al ángulo β es lado opuesto al ángulo β

- Como en los triángulos congruentes lo lados opuestos de los ángulos congruentes son congruentes, entonces , es decir,

Como se cumple que siendo y podemos decir que en todo paralelogramo los lados opuestos son iguales.

B

D

C

A z

x

y

t

D

B A

C

t

D

B A

C

z

x

t

D

B A

C

y



b. Todo cuadrilátero convexo que tiene dos lados opuestos iguales y paralelos es un paralelogramo ¿ ?

- Llamamos t a la recta que pasa por , a la recta que pasa por , a la recta que pasa por , a la recta que pasa por y a la recta que pasa por


- Tenemos dos triángulos y que cumplen: 1 par de lados congruentes, , por el

enunciado. 1 par de ángulos congruentes, , por alternos

internos. 1 par de lados congruentes, , por lado común.

- Por el criterio de congruencia L-A-L tenemos que es ángulo opuesto al lado . es ángulo opuesto al lado .

- Como en los triángulos congruentes los ángulos opuestos de los lados congruentes son congruentes, entonces , es decir, .

Como tenemos dos rectas, y cortadas por una secante común que mantiene los alternos internos podemos decir que las rectas son paralelas, , y por tanto

B

D

C

A z

x

t

t

D

B A

C

C

D

B A x

x

t



c. En todo paralelogramo, los ángulos opuestos son iguales entre si

- Llamamos:


alternos internos. 1 par de lados congruentes, , por lado

común. 1 par de ángulos congruentes, , por

alternos internos.

- Por el criterio de congruencia A-L-A tenemos que es opuesto a . es opuesto a .

Como en los triángulos congruentes los ángulos opuestos de los lados congruentes son congruentes, entonces .



común. 1 par de ángulos congruentes, , por

alternos internos.

- Por el criterio de congruencia A-L-A tenemos que es ángulo opuesto al lado . es ángulo opuesto al lado .

- Como en los triángulos congruentes los ángulos opuestos de los lados congruentes son congruentes, entonces .

Como y entonces podemos decir que en todo paralelogramo los

ángulos opuestos son iguales entre sí.

2. ¿Está perfectamente determinado un romboide cuando conocemos la medida de dos de sus lados?

Depende, si nos dan los dos lados que son paralelos no queda determinado, pero si nos dan dos lados consecutivos sí que queda determinado.

x

x C

B A

D

y

B

D

C

A x

x

t

z

x C

t

D

B A y



3. En todo paralelogramo las diagonales se cortan en el punto medio - Llamamos a la recta que pasa por A y D, a la recta

que pasa por C y D, a la recta que pasa por D y C y a la recta que pasa por A y B.

- Llamamos t a la recta que pasa por A y C, z a la recta que pasa por D y B, M al punto de corte entre t y z.

- Llamamos al segmento , al segmento , al segmento y al segmento .


- Como y son rectas paralelas cortadas por la secante común z y y están en posición de alternos internos, entonces son congruentes, .


alternos internos. 1 par de lados congruentes, , por ser un

paralelogramo. 1 par de ángulos congruentes, , por

alternos internos.

- Por el criterio de congruencia A-L-A tenemos que es lado opuesto al ángulo es lado opuesto al ángulo

- Como en los triángulos congruentes los lados opuestos de los ángulos congruentes son congruentes, entonces , es decir es lado opuesto al ángulo es lado opuesto al ángulo

- Como en los triángulos congruentes los lados opuestos de los ángulos congruentes son congruentes, entonces , es decir

Como y entonces podemos decir que M es el punto medio donde se cortan las dos diagonales.

x

D

B A

C

M

x

D

B A

C

z

t

D

B A

C

M

D

B A

C

t z



4. Las diagonales del cuadrado son iguales y perpendiculares - Sabemos que los cuadrados tienen todos sus lados congruentes, por

tanto, , - Sabemos que en los paralelogramos las diagonales se cortan en el

punto medio M, entonces y . - , por ser ángulos opuestos por el vértice. - , por ser ángulos opuestos por el vértice. - Tenemos dos triángulos y que cumplen: 1 par de lados congruentes, , por ser lado del

cuadrado. 1 par de lados congruentes, , por ser lado común. 1 par de lados congruentes, , por ser la diagonal.

- Por el criterio L-L-L de semejanza de triángulos, los triángulos y son congruentes, . es lado opuesto al ángulo . es lado opuesto al ángulo .

Como en los triángulos congruentes los ángulos opuestos de los lados congruentes son congruentes, entonces , es decir . - Como el ángulo es opuesto por el vértice al ángulo , entonces

. - Como el ángulo es opuesto por el vértice al ángulo , entonces

. - Sabemos que . Como y

, entonces, , ,

,

. Como , entonces , ,

. Por lo tanto

y se puede decir que las diagonales del cuadrado son iguales y perpendiculares.

D

B A

C

x

x

x

x

M

z

z t

t

x

t

x

t

B

D C

M

z



5. Las diagonales del rectángulo son iguales ; ; - El rectángulo ABCD está formado por las rectas: que contiene los puntos D y A que contiene los puntos C y B que contiene los puntos D y C que contiene los puntos B y A Diagonales: s que contiene los puntos a C y A y t que contiene

los puntos a D y B. - Tenemos que , , , , y - Sabemos que los rectángulos tienen sus lados congruentes dos a dos, y

- Sabemos rectángulos tienen todos sus ángulos congruentes

- Tenemos dos triángulos y que cumplen: 1 par de lados congruentes, , por lados del

paralelogramo. 1 par de ángulos congruentes, , por

perpendicularidad de lados. 1 par de lados congruentes, , por lados

del paralelogramo.

- Por el criterio L-A-L de congruencia de triángulos se cumple que . Como y son dos triángulos rectángulos congruentes y sabemos que en los triángulos rectángulos congruentes sus hipotenusas son congruentes, entonces , es decir . Por lo tanto, las dos diagonales del rectángulo son iguales.

A

D

B

t x

y

y

x s

C

B A

M x x

y

y

s t C

B A

D



6. Las diagonales de un rombo son perpendiculares - , por ser ángulos opuestos por el vértice. - , por ser ángulos opuestos por el vértice. - Sabemos que los rombos tienen todos sus lados congruentes, por

tanto, , - Sabemos que en los paralelogramos las diagonales se cortan en el

punto medio M, entonces y . - Tenemos dos triángulos y que cumplen: 1 par de lados congruentes, , por ser lado común. 1 par de lados congruentes, , por congruencia de

lados de un rombo. 1 par de lados congruentes, , por ser punto medio.

- Por el criterio L-L-L de congruencia de triángulos, los triángulos y son congruentes, . es ángulo opuesto al lado es ángulo opuesto al lado

Como en los triángulos congruentes los ángulos opuestos de los lados congruentes son congruentes, entonces , es decir - Como el ángulo es opuesto por el vértice al ángulo , entonces . - Como el ángulo es opuesto por el vértice al ángulo , entonces

. - Sabemos que . Como y

, entonces, , ,

, .

Como , entonces , ,

. Por lo tanto y

podemos decir que las diagonales del rombo son perpendiculares.

D

C

B

A

x x

x x

z

z

y y

M

C

B

A

x x z

y y M



7. El cuadrilátero ABCD es un paralelogramo. Se verifica que y . Se pide: a. Probar que los triángulos y son congruentes - Datos:

- Llamamos: a la diagonal del cuadrilátero ABCD

- Tenemos dos triángulos y que cumplen: 1 par de lados congruentes, , por cuadrilátero. 1 par de ángulos congruentes, , por el enunciado. 1 par de lados congruentes, , por paralelas.

Por el criterio de congruencia L-A-L tenemos que

b. Probar que los triángulos y son congruentes - Datos:

- Llamamos la diagonal del cuadrilátero ABCD

- Tenemos dos triángulos y que cumplen: 1 par de lados congruentes, , por rectas

paralelas 1 par de ángulos congruentes, , por


común.

Por el criterio de congruencia A-L-A tenemos que .

s

s y

F

H

D

B

F

H

D

C B

A

x

x

z y z s

s

z z

C B

A

H

F D

s

F

H

D

C B

A

x

x

z y z s

s



PROBAR 3

1. Dada la figura plana ABCD:

a. Si y . Probar que

Datos: - -

Llamamos z al segmento

Tenemos dos triángulos y que cumplen: - 1 par de lados congruentes, , por el enunciado. - 1 par de lados congruentes por el enunciado. - 1 par de lados congruentes por lado común.

Por el criterio de congruencia L-L-L se cumple que .

Tenemos que: - es lado opuesto al ángulo . - es lado opuesto al ángulo .

Como en los triángulos congruentes los ángulos opuestos a lados congruentes son congruentes; entonces por lo tanto .

A

C

D

B

y y

x x

z

D

B

C

A

x x

y y

z



b. Si y . Probar que

Datos: - -

¿ ?

Llamamos: -

Como el triángulo tiene dos lados congruentes, , podemos decir que es un triángulo isósceles.

En los triángulos isósceles los ángulos opuestos a los lados congruentes son congruentes por lo tanto .

Tenemos que:

Por lo tanto podemos decir que

r B

C

A

x x

z

D

B

C

A

x x



2. Dada la figura siguiente con las siguientes condiciones: y . Probar que el triángulo es isósceles.

Datos: - -

¿ isósceles? ¿ ?

Como es un triángulo que tiene dos ángulos congruentes es isósceles. Como en los triángulos isósceles los lados opuestos de los lados congruentes son

congruentes entonces, . Como y son suplementarios suman 180º. Por lo tanto , es

decir, Como y son suplementarios suman 180º. Por lo tanto , es decir,

Tenemos dos triángulos y que cumplen: - 1 par de lados congruentes, , por el enunciado. - 1 par de lados congruentes , por triángulo

isósceles. - 1 par de ángulos congruentes por

suplementarios de congruentes. - 1 par de lados congruentes por enunciado.

Por el criterio de congruencia L-A-L se cumple que .

Tenemos dos triángulos congruentes con dos pares de lados congruentes por lo que el tercer par de lados es congruente y por lo tanto el triángulo es isósceles.

3. En la figura siguiente , , y . Probar que . Datos:

- -

-

¿ ?

Llamamos x al segmento .

Tenemos dos triángulos y que cumplen: - 1 par de ángulos congruentes, , por el

enunciado. - 1 par de lados congruentes , por lado común. - 1 par de ángulos congruentes por el

enunciado.

Por el criterio de congruencia A-L-A se cumple que . Tenemos dos triángulos rectángulos congruentes, por lo tanto sus hipotenusas también son

congruentes,

x

K

H G

x G

L

H

K

x G

L

H

180º- 180º-

x x Q N P

K

M

y y

K

P Q M N x x

y y



4. En la figura siguiente y . Probar que los triángulos y son congruentes

Datos:

- - α

¿ ?

Llamamos al ángulo .

Tenemos dos triángulos y que cumplen: - 1 par de ángulos congruentes, , por el

enunciado. - 1 par de lados congruentes , por el enunciado. - 1 par de ángulos congruentes por ángulo

común.

Por el criterio de congruencia A-L-A se cumple que .

5. En la figura ; , y . Probar que . Datos:

- - -

¿ ?

Llamamos al ángulo . Llamamos w al segmento .

Tenemos que: - -

Tenemos dos triángulos y que cumplen: - 1 par de lados congruentes , por el enunciado. - 1 par de lados congruentes, , por suma de

lados. - 1 par de lados congruentes , por el enunciado. Por el criterio de congruencia L-L-L se cumple que .

Tenemos que: - es lado opuesto al ángulo . - es lado opuesto al ángulo . Como en triángulos congruentes los ángulos opuestos a lados congruentes son congruentes entonces , es decir , por lo que ambos ángulos son congruentes.

D

C

B

y

x

E A

C

y

x

C

D E A B

y y

z z

x x

w

x

B

D

C

C

A

E x

D

A B

E

C



6. En la figura , y . Probar que . Datos:

- - -

¿ ?

Llamamos w al segmento . Tenemos que: - -

Tenemos dos triángulos y que cumplen: - 1 par de lados congruentes , por el enunciado. - 1 par de lados congruentes, , por suma de

lados. - 1 par de lados congruentes , por el enunciado. Por el criterio de congruencia L-L-L se cumple que . Tenemos que: - es lado opuesto al ángulo . - es lado opuesto al ángulo . Como en triángulos congruentes los ángulos opuestos a lados congruentes son congruentes entonces , es decir . Tenemos que: - es suplementario de . - es suplementario de . Como los ángulos suplementarios de ángulos congruentes son congruentes, entonces , es decir , por lo tanto los dos ángulos son congruentes.

N R

Q

x y

x

P

S M

y

P

S R

N

Q

M

x

x y

y

z z w



7.

a. En la figura, si , y . Probar que

Datos:

- - - α

¿ ?

Tenemos dos triángulos y que cumplen: - 1 par de lados congruentes , por el enunciado. - 1 par de ángulos congruentes, , por el

enunciado. - 1 par de lados congruentes , por el enunciado.


Tenemos que: - es opuesto al lado . - es opuesto al lado .

Como los lados opuestos a ángulos congruentes son congruentes, entonces , es decir los dos lados son congruentes.

D

G

B

x

y

E

F

A

x

y

y

C

A E

F G

B D

x x

y



b. En la figura, si , y . Probar que Datos:

- - -

¿ ?

Tenemos que: - es suplementario a por lo tanto suman 180º,

, , por lo tanto

- es suplementario a por lo tanto suman 180º, , , por lo tanto

Tenemos dos triángulos y que cumplen: - 1 par de ángulos congruentes, , por el enunciado. - 1 par de lados congruentes , por suma de lados. - 1 par de ángulos congruentes, , por ángulos

suplementarios. Por el criterio de congruencia A-L-A se cumple que .

Tenemos que: - es lado opuesto al ángulo - es lado opuesto al ángulo

Como los ángulos opuestos a lados congruentes son congruentes, entonces . Como la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º

entonces , α β , .

Como es suplementario de suman 180º, entonces

,

Como la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º entonces , α β , .

Como es suplementario de suman 180º, entonces

,

Como podemos decir que los dos ángulos son congruentes

C

G

B D

C

A E

F

180º- D

G

B

E

F

A

180º-

A E

F

B

A

G

B D

y

C

A E

F G

B D x x



8. En la figura siguiente se verifica que y , se pide probar que

Datos:

- -

¿ ?

Llamamos

Tenemos dos triángulos y que cumplen: - 1 par de lados congruentes , por lado común. - 1 par de lados congruentes, , por el enunciado. - 1 par de lados congruentes , por el enunciado.

Por el criterio de congruencia L-L-L se cumple que .

Tenemos que: - es opuesto a . - es opuesto a .

Como los ángulos opuestos a lados congruentes son congruentes, entonces , es decir, , los dos ángulos son congruentes.

z

y

x

C

B

D

y

x

C

A B

z

y

y

C

A B

D

E

x

x



PROBAR 4

1. En todo triangulo isósceles,

a. A lados iguales se le oponen ángulos iguales

Datos: - isósceles: - -

¿ ?

Tenemos dos triángulos y que cumplen: - 1 par de lados congruentes , por triángulo

isósceles. - 1 par de ángulos congruentes, , por

triángulo isósceles. - 1 par de lados congruentes , por bisectriz.


Tenemos que: - es opuesto a - es opuesto a

Como los ángulos opuestos a lados congruentes son congruentes, entonces , es decir, , los dos ángulos opuestos a lados congruentes son congruentes.

x

x

C

b

B

D

A

D

b

x x

C

A

B



b. La bisectriz del ángulo formado por los dos lados iguales es a la vez la mediana, mediatriz y altura del lado distinto (recíproco de a, si un triángulo tiene dos ángulos iguales, también tiene iguales los lados opuestos a esos ángulos). Datos: - isósceles: ; - -

Tenemos dos triángulos y que cumplen: - 1 par de lados congruentes , por triángulo

isósceles. - 1 par de ángulos congruentes, , por

triángulo isósceles. - 1 par de lados congruentes , por bisectriz.


Tenemos que: - es opuesto a - es opuesto a

Sabemos que en los triántulos congruentes los ángulos opuestos a lados congruentes son congruentes, entonces y, por lo tanto, b es también la altura del triángulo

isosceles . Tenemos que: - es opuesto a - es opuesto a

Sabemos que en los triángulos congruentes los lados opuestos a ángulos congruentes son congruentes, entonces y, por lo tanto, M es punto medio de . Por tanto

también la mediana y mediatriz del triángulo isosceles .

x

x

C

b

B

M

A

M

x x

C

A

B

b



2. En un triángulo isósceles , el punto S no es el punto medio del segmento . Probar que no puede ser la bisectriz de .

Datos: - -

- S b (No punto medio No bisectriz) - S b (punto medio bisectriz)

Tenemos dos triángulos y que cumplen: - Si S punto medio

Tenemos que: - opuesto a - opuesto a Como en triánglos congruentes los lados opuestos a ángulos

congruentes son congruentes, .

Si en el triángulo isósceles el punto S no es punto medio de , entonces no puede ser la bisectriz de .

Para demostrar que S b hemos demostrado que , es decir, hemos demostrado que si b es la bisectriz S es el punto medio.

TEORÍA - Demostraciones por reducción al absurdo: Demostraciones usuales: A B Análisis: A B B A

x

x

R

b

Q

S

P

b

S

x x

R

P

Q



3. Probar que dos triángulos rectángulos:

a. Que tienen respectivamente iguales la hipotenusa y un ángulo agudo, son iguales.

Datos: - -

-

Como la suma de los ángulos internos de los triángulos es 180º entonces , , , por lo tanto

Como la suma de los ángulos internos de los triángulos es 180º entonces , , , por lo tanto Por lo tanto tenemos que , es decir, .

Tenemos dos triángulos y que cumplen: - Un par de ángulos congruentes, , por el enunciado. - Un par de lados congruentes, , por hipotenusa. - Un par de ángulos congruentes, , por congruencia de suma de ángulos

internos. Por lo tanto, por el criterio de congruencia A-L-A

T

S

R

x

x

B C

A



b. Que tienen respectivamente iguales la hipotenusa y un cateto, son iguales.

Datos: - -

-

Según el Teorema de Pitágoras tenemos que : - En el triángulo , , , por lo tanto,

- En el triángulo , , , por lo tanto,

Por lo tanto tenemos que , es decir, .

Tenemos dos triángulos y que cumplen: - 1 par de lados congruentes, , por cateto congruente. - 1 par de ángulos congruentes , por triángulo rectángulo

- 1 par de lados congruentes, , por Teorema de Pitágoras. Por lo tanto, por el criterio de congruencia L-A-L

T

S

R

x y

x

B C

A

y



c. Que tienen respectivamente iguales un cateto y un ángulo agudo, son iguales

Datos: - - -

Como la suma de los ángulos internos de los triángulos es 180º entonces , , , por lo tanto

Como la suma de los ángulos internos de los triángulos es 180º entonces , , , por lo tanto Por lo tanto tenemos que , es decir, .

Tenemos dos triángulos y que cumplen: - Un par de ángulos congruentes, , por el triángulo rectángulo. - Un par de lados congruentes, , por cateto del enunciado. - Un par de ángulos congruentes, , por congruencia de suma de ángulos

internos. Por lo tanto, por el criterio de congruencia A-L-A

d. Que tienen respectivamente iguales dos catetos, son iguales.

Datos: - -

-

Tenemos dos triángulos y que cumplen: - Un par de lados congruentes, , por cateto del enunciado. - Un par de ángulos congruentes, , por triángulo rectángulo. - Un par de lados congruentes, , por cateto del enunciado. Por lo tanto, por el criterio de congruencia L-A-L

x T

S

R

y

B C

A

y

x

x

T

S

R

x

B C

A



4. Probar que si la mediana relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo es perpendicular a la hipotenusa, entonces el triángulo rectángulo es isósceles.

Datos: - -

- ¿ ? - es isósceles

Tenemos dos triángulos y que cumplen: - 1 par de lados congruentes , por punto medio. - 1 par de ángulos congruentes , por

mediana perpendicular - 1 par de lados congruentes , por lado común. Por tanto, por el criterio de congruencia L-A-L

Tenemos que: - opuesto a - opuesto a Como en los triánglos congruentes los ángulos opuestos a lados

congruentes son congruentes, . Por lo tanto, como el triángulo es isósceles

x

C

z

A

M A

B

M

x

z

M

A

B

C

x

x

z



5. Probar que la bisectriz de cualquier ángulo de un triángulo escaleno, no puede ser perpendicular al lado opuesto.

Datos: - -

- ¿ ? - es isósceles Como la suma de los ángulos internos del triángulo es 180º entonces ; ; Como la suma de los ángulos internos del triángulo es 180º entonces ; ;

Como tenemos que en el triángulo el ángulo y en el triángulo el ángulo , entonces podemos decir que , y, por lo tanto la bisectriz de no

es perpendicular a

x

C

T

A

y

x

B

T

A

y

T

A

B

C

x y

y



PROBAR 5

1. En la figura es bisectriz de y . Probar que .

Datos: - - ¿ ?

Llamamos: y

Como es bisectriz de , entonces Como es bisectriz de , entonces Como es suplementario de suman 180º, entonces ; ; Como es suplementario de suman 180º, entonces ; ; Por lo tanto tenemos que .

Tememos dos triángulos y , que cumplen: 1 par de ángulos congruentes, por

bisectriz. 1 par de lados congruentes, , por lado

común. 1 par de ángulos congruentes,

, por suplementarios.

Por lo tanto, por el criterio de congruencia A-L-A son congruentes, Tenemos que: - es opuesto a - es opuesto a

Como en los triángulos congruentes los lados opuestos a ángulos congruentes son congruentes, entonces

x 180º- 180º-

S

G H

K

y

G M H

K

S x



Tememos dos triángulos y , que cumplen: 1 par de lados congruentes, , por lado

común. 1 par de ángulos congruentes, por

bisectriz. 1 par de lados congruentes, , por lado

opuesto en triángulos congruentes anteriores.

Por lo tanto, por el criterio de congruencia L-A-L son congruentes, Tenemos que: - es opuesto a - es opuesto a

Como en los triángulos congruentes los ángulos opuestos a lados congruentes son congruentes, entonces Como son suplementarios suman 180º, entonces ; ; ;

, por lo tanto, y

y

G M H

K

t t



2. En la figura A, K y C están alineados; y . Probar que . Datos: - - - - ¿ ?

Llamamos: -

-

Tememos dos triángulos y , que cumplen: 1 par de lados congruentes, por

enunciado. 1 par de lados congruentes, , por lado

común. 1 par de lados congruentes, , por

enunciado.

Por lo tanto, por el criterio de congruencia L-L-L son congruentes, Tenemos que: - es opuesto a - es opuesto a

Como en los triángulos congruentes los ángulos opuestos a lados congruentes son congruentes, entonces


enunciado. 1 par de ángulos congruentes, , por

ángulo opuesto a lado congruente triángulo anterior. 1 par de lados congruentes, , por lado

común.



x

z C

D

A

B

x

y

K C

D

B

x

y t

x

y K C

D

A

B

x y



3. En la figura . Probar que el triángulo es isósceles.

Datos: - - ¿ isósceles?

Como PQR tiene dos lados congruentes es isósceles. Sabemos que en los triángulos isósceles los ángulos opuestos a lados congruentes son congruentes por lo que Como y son suplementarios suman 180º, entonces ; ;

Como y son suplementarios suman 180º, entonces ; ;

Por lo tanto tenemos que .


enunciado. 1 par de ángulos congruentes,

ángulo suplementario triángulo anterior. 1 par de lados congruentes, , por

enunciado.


Como en los triángulos congruentes los lados opuestos a ángulos congruentes son congruentes, entonces por lo tanto, es isósceles.

180º- R

P

M Q N x

x

x

x 180º-

R

P

M Q N x

x

x

x



4. En la figura , y E-M-H están en la misma recta. Probar que

Datos: - -

¿ ?

Llamamos: - -

Tememos dos triángulos y , que cumplen: 1 par de lados congruentes, por enunciado. 1 par de lados congruentes, , por lado


enunciado. Por lo tanto, por el criterio de congruencia L-L-L son congruentes, Tenemos que: - es opuesto a - es opuesto a




ángulos opuestos a lados congruentes triángulo anterior. 1 par de lados congruentes, , por lado

común.



x

t

K

G

E H

x

y

K

G

M E

x y

x

z

y

K

G

M E H

x y

x



5. En la figura se cumple que , . Probar que

Datos: - -

¿ ?

Llamamos: -




enunciado.



y

K

G

M H

y x

x

z

y

K

G

M H y x

x

z



PROBAR 6

1. En la figura y . Probar que .

Datos: - -

¿ ?

Llamamos: -

-


enunciado 1 par de lados congruentes, , por lado


enunciado.




enunciado 1 par de lados congruentes, , por lado


enunciado.



y x

C

B D t A

D

x y

t B

y x

A C

B

z

D

x

y

A C z

y

x

A C

B D

K x

y

z

t



Tememos dos triángulos y , que cumplen: 1 par de ángulos congruentes , por

opuestos a lados congruentes triángulos anteriores. 1 par de lados congruentes, por

enunciado. 1 par de lados congruentes, , por opuestos a

lados congruentes triángulos anteriores.



FORMA 2: 1º Triángulos y (Criterio L-L-L oposición lados congruentes) 2º Tercer par de ángulos por suma de ángulos internos 3º Triángulos y (Criterio A-L-A oposición de ángulos congruentes)

x

A C

B D

K x



2. En la figura, biseca a y . Probar que biseca a . Datos: - -

¿ ? Como es opuesto por el vértice a son congruentes, . Como la suma de los ángulos internos de es 180º entonces ,

, por lo tanto Como la suma de los ángulos internos de es 180º entonces ,

, por lo tanto Por lo tanto tenemos que ,

Tememos dos triángulos y , que cumplen: 1 par de ángulos congruentes, por

opuestos por el vértice. 1 par de lados congruentes, , por

bisecado por enunciado. 1 par de ángulos congruentes, ,

por congruencia de resta de ángulos.

Por lo tanto, por el criterio de congruencia de triángulos A-L-A tenemos que . Tenemos que: - es opuesto a - es opuesto a

Como en los triángulos congruentes los lados opuestos a ángulos congruentes son congruentes, entonces y por lo tanto

180º--

A

C

B

D

E 180º--

A

C B

D

E



3. En la figura y . Probar que .

Datos: - -

¿?

Como es opuesto por el vértice a , entonces son congruentes,

Tememos dos triángulos y , que cumplen: 1 par de lados congruentes, , por


opuestos por el vértice. 1 par de lados congruentes, , por

enunciado.



y

A

C

D

E

B

x

x

y

B

E

A

D

C x

x

y y



4. En el triángulo , , los puntos G-M-H están en la misma recta . Probar que M es el punto medio de .

Datos: - - - α

¿ ?

Llamamos: -


común. 1 par de ángulos congruentes,

por enunciado. 1 par de lados congruentes, , por

enunciado.

Por lo tanto, por el criterio de congruencia L-A-L son congruentes, Tenemos que: - es opuesto a α - es opuesto a α

Como en los triángulos congruentes los lados opuestos a ángulos congruentes son congruentes, entonces , por lo tanto M es punto medio de

y

M H

K

x

x

G

y x

G M H

K

x



5. En la figura y , y . Probar que . Datos: - - - -

¿ ?

Tememos dos triángulos y , que cumplen: 1 par de ángulos congruentes, por enunciado. 1 par de lados congruentes por enunciado. 1 par de ángulos congruentes, , por

perpendicularidad de lados. Por lo tanto, por el criterio de congruencia A-L-A son congruentes, Tenemos que: - es opuesto a - es opuesto a


x G

D

A

x

B

H C

x

B

G D

H C

A

K

x



6. En la figura , , G es punto medio de , H es punto medio de y . Probar que .

Datos: - - - G punto medio de - H punto medio de -

Llamamos

¿ ?

Tenemos que , , por lo tanto Tenemos que , , por lo tanto Por lo tanto tenemos que . Como G es punto medio de , entonces , por lo tanto

Como H es punto medio de , entonces , por lo tanto

Como , entonces , por lo tanto

Tememos dos triángulos y , que cumplen: 1 par de lados congruentes, , por enunciado. 1 par de ángulos congruentes, por

congruencia resta de ángulos. 1 par de lados congruentes, , por medias

distancias.



x

- C

G

H B

A

x r

-

y x

C G

E H

B

A D

x y

t t

z z



PROCESOS DE CONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA-1 Para planificar el proceso de construcción de una figura geométrica básica hay que: 1. Identificar la figura geométrica a construir - Definir la figura geométrica - Enumerar las propiedades que se deriven de esta definición

2. Construcción 2.1. Identificar datos y realizar un dibujo - Identificar los datos explicitados en el enunciado - Identificar los datos implícitos en el enunciado que derivan de las propiedades de la figura - Hacer un dibujo a mano alzada situando en él los diferentes datos conocidos

2.2. Buscar una estrategia para realizar la construcción - Identificar las propiedades que se utilizarán en la construcción - Elaborar una estrategia de resolución indicando los pasos a seguir y en qué propiedades

está apoyado cada paso 3. Identificar las ideas y propiedades geométricas que justifican el proceso de construcción.

Actividad 1. Planifica el proceso de construcción de la bisectriz de un ángulo 1. Identificación de la figura

- Definiciones: Ángulo: espacio comprendido entre dos semirrectas con un punto en común. Bisectriz: recta que divide un ángulo en dos partes congruentes.

- Propiedades: Lugar geométrico de los puntos del plano que equidista de las semirrectas dadas la

distancia de cualquier punto de la bisectriz a las 2 rectas es congruente.

2. Construcción

2.1. Datos y dibujo Dibujo Datos explícitos Datos implícitos

Ángulo cualquiera -

- Si

r

O s

P

S

R b

B



2.2. Estrategia

1º Trazamos una circunferencia con centro O y radio cualquiera. Llamamos P al punto de corte de la circunferencia con la recta r. Llamamos Q al punto de corte de la circunferencia con la recta s.

2º Cogemos como radio la distancia . Con centro en P trazamos una circunferencia con radio . Con centro en Q trazamos una circunferencia con radio . Llamamos y a los puntos de corte de las dos circunferencias.

3º Unimos O, y con una recta, que es la bisectriz.

3. Identificación de ideas y propiedades geométricas

- En el paso 1 y 2 aparece la idea de circunferencia como lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto central llamado centro.

- En el paso 3 aparece la idea de bisectriz. Por el criterio de congruencia de triángulos L-L-L podemos asegurar que

y por lo tanto

está en la bisectriz.

Actividad 2. Planifica el proceso de construcción de la mediatriz de un segmento.

1. Identificación de la figura

- Definiciones: Mediatriz: recta perpendicular a un segmento que pasa por el punto medio. Punto medio: punto del segmento que lo divide en dos partes congruentes. Perpendicular: que forman un ángulo de 90º Segmento: Conjunto de puntos de una recta comprendida entre dos puntos llamados

extremos.

r

s O Q

P

r

s O Q

P

r

s O

Q

P

z

y

x

O Q

P

x y z



- Propiedades: Todos los puntos de la mediatriz equidistan de los extremos.

2. Construcción


segmento cualquiera - - - Si

2.2. Estrategia

1º Con centro en A y radio cualquiera mayor que la mitad de trazamos la circunferencia

2º Con centro en B y radio cualquiera mayor de la mitad de trazamos la circunferencia . Llamamos P y Q a los puntos de corte entre y

3º Unimos P y Q con una recta, que es la mediatriz, m, y cuyo punto medio, M, es punto de corte entre m y



- En el paso 3 aparece la idea de mediatriz. Por el criterio de congruencia de triángulos L-L-L podemos asegurar que y por lo tanto es la mediatriz. Por el criterio de congruencia de triángulos L-A-L tenemos que , por lo que M es punto

medio. Como y son suplementarios, entonces , son perpendiculares.

m

Q

P

A B

M

Q

P

A B

A B

D

m

P

M A B

m

x

Q

P

A B

x

x x

m

B A M

x

P x



Actividad 3.1 Planifica el proceso de construcción de una perpendicular a una recta r que pase por un punto exterior A.


- Definiciones: Recta: conjunto de puntos alineados Perpendicular: que forman un ángulo de 90º Punto exterior: punto que no pertenece a una recta

- Propiedades: No hay

2. Construcción


A punto cualquiera r, con r recta -

2.2. Estrategia

1º Trazamos una circunferencia con centro en A y radio cualquiera lo suficientemente grande.

2º Trazamos la mediatriz del segmento . Como se ha construido una mediatriz y sabemos que es perpendicular y que contiene a A porque A equidista de P y Q.


- En el paso 1 aparece la idea de circunferencia como lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto central llamado centro.

- En el paso 2 aparece la idea de mediatriz. Por el criterio de congruencia de triángulos L-L-L podemos asegurar que y por lo tanto es la mediatriz. Por el criterio de congruencia de triángulos L-A-L tenemos que , por lo que M es punto medio. Como y son suplementarios, entonces , son perpendiculares.

P Q

s

A

r

P Q

A

r

s

A

r

y

M P Q

A

y x x

z z



Actividad 3.2 Planifica el proceso de construcción de las alturas de un triángulo


- Definiciones: Altura: Recta perpendicular a un lado que pasa por el vértice opuesto a dicho lado Triángulo: Polígono de 3 lados. Perpendicular: que forman un ángulo de 90º


2. Construcción


triángulo cualquiera - - -

2.2. Estrategia

1º Con centro en A y un radio lo suficientemente grande trazamos la circunferencia que corte a . Llamamos P y Q a los puntos de corte entre la circunferencia y el lado .

2º Con P como centro y radio se traza la circunferencia . Con Q como centro y radio se traza la circunferencia . Llamamos S y T a las intersecciones entre y .

S

P Q C

A

B T

P Q C

A

B

C

A

B



3º Unimos A, S y T que cortan a en , siendo la altura de A.

4º Se sigue el mismo proceso para trazar las alturas de B y de C.

Identificación de ideas y propiedades geométricas


- En el paso 3 y 4 aparece la idea de altura como la recta que pasa por A hasta el lado opuesto y además es perpendicular al lado al que corta.

Actividad 4. Dados tres puntos no alineados. Construir una circunferencia que pase por los tres puntos


- Definiciones: Puntos no alineados: puntos que no pertenecen a una misma recta. Circunferencia: lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto

central llamado centro - Propiedades:

No hay

2. Construcción


Circunferencia de radio cualquiera - A, B y C circunferencia

A

B

O C

C

A

B

S

P Q C

A

B T

C

A

B

x x



2.2. Estrategia

1º Unimos A y B. Con un radio cualquiera superior a la mitad de la distancia , trazamos la circunferencia con centro en A. Con centro en B y el mismo radio trazamos la circunferencia . Llamamos P y Q a los puntos de corte entre y . Unimos P y Q.

2º Unimos B y C. Con un radio cualquiera superior a la mitad de la distancia , trazamos la circunferencia con centro en B. Con centro en C y el mismo radio trazamos la circunferencia . Llamamos S y T a los puntos de corte entre y . Unimos S y T.

3º El punto de corte entre y es el centro de la circunferencia que pasa por A, B y C.

NOTA: en este caso el radio para trazar las circunferencias de AB y de BC por tanto

y el punto .


- En todos los pasos aparece la idea de circunferencia como lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto central llamado centro.

T Q O

P

S A

B

C

T

S

Q

A

B

C

P

Q

A

B

C



PROCESOS DE CONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA-2 Actividad de construcción 1. Dada un circunferencia. Encontrar el centro.


- Definiciones: Circunferencia: lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto

central llamado centro - Propiedades:

No hay

2. Construcción


Circunferencia de radio cualquiera -

2.2. Estrategia

1º Sea una circunferencia cualquiera de centro en O y sean A, B y C puntos de la circunferencia.

2º Trazar la mediatriz de la cuerda

3º Trazar la mediatriz de la cuerda

A

B

O C

A

B

O C

A

B

O C

B

O



4º El centro de la circunferencia es el punto de corte entre y al que llamamos O porque equidista de 3 puntos cualquiera de la circunferencia por lo que es su centro ya que


- En los pasos 1 y 4 la idea de circunferencia como lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto central llamado centro

- En los pasos 2 y 3 la idea de mediatriz como lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de dos puntos dados. También como la idea de congruencia de triángulos L-L-L, la de congruencia de triángulos L-A-L y la de ángulos complementarios + ángulos suplementarios = perpendicular

Actividad Construcción- 2. Dada un punto sobre una recta, construir la perpendicular a esa recta que pase por ese punto


- Definiciones: Circunferencia como lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un

punto central llamado centro Mediatriz como lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de dos puntos

dados Punto medio punto del segmento que lo divide en dos partes congruentes Recta conjunto de puntos alineados Perpendicular: que forma un ángulo de 90º

- Propiedades Todos los puntos de la mediatriz equidistan de los extremos.

2. Construcción


Recta r cualquiera Punto P cualquiera

- r s -

P A B r

s

A

B

O C



2.2. Estrategia

1º Con centro en P y radio cualquiera trazamos una circunferencia. Llamamos A y B a los puntos de corte entre la circunferencia y la recta r.

2º Trazamos la mediatriz del segmento . Sabemos la recta obtenida, a la que llamamos s, es la mediatriz porque es perpendicular a r y contiene a P que es punto medio de los puntos A y B.



- En el paso 2 la idea de mediatriz como lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de dos puntos dados. También como la idea de congruencia de triángulos L-L-L, la de congruencia de triángulos L-A-L y la de ángulos complementarios + ángulos suplementarios = perpendicular

Actividad de construcción 3 Construir un ángulo congruente a un ángulo dado 1. Identificación de la figura

- Definiciones: Ángulo: porción del plano comprendida entre dos semirrectas con un punto en común

llamado vértice Congruente: que mide lo mismo


2. Construcción


Ángulo cualquiera

2.2. Estrategia

1º Llamamos A al vértice del ángulo original. Representamos sobre una recta cualquiera r un punto P cualquiera.

P r

A

A B P r

s

A B P r



2º Con centro en A y radio cualquiera se traza una circunferencia. Llamamos B y C a los puntos de corte entre la circunferencia y las semirrectas.

3º Con centro en P y radio se traza una circunferencia. Llamamos S al punto de corte entre la circunferencia y la recta r.

4º Con centro en S y radio se traza una circunferencia. Llamamos T al punto de corte entre las 2 circunferencias.

5º Unimos Q y T y obtenemos el nuevo ángulo que es congruente al original porque hemos construido dos triángulos congruentes según el criterio de congruencia de triángulos L-L-L


- En los pasos 2, 3 y 4 aparece la idea de circunferencia como lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto central llamado centro.

- En el paso 5 aparece el criterio de congruencia de triángulos L-

L-L

Actividad de construcción 4 Dada una recta k y un punto P que no pertenezca a la recta, construir una paralela a la recta que pase por el punto


- Definiciones: Rectas paralelas: rectas que no tienen puntos en común.

- Propiedades La distancia entre los puntos es constante Las rectas paralelas que se cortan por una secante común mantienen los ángulos alternos

internos y los ángulos alternos externos.

2. Construcción


k recta P punto exterior

-

x

P p

k

P S

T

r

P r

T

S

P r

C A

B

C A

B

z

x y

S P

T

z

x y



2.2. Estrategia

1º Trazamos una recta cualquiera secante a k que pase por P. Llamamos Q al punto de corte entre las dos rectas. Llamamos s a la recta secante.

2º Con centro en Q trazamos una circunferencia de radio cualquiera. Llamamos A al punto de corte entre la circunferencia y la recta s. Llamamos B al punto de corte entre la circunferencia y la recta k.

3º Con centro en P y radio trazamos una circunferencia. Llamamos S al punto de corte más alejado entre s y la circunferencia.

4º Cogemos la distancia y, con centro en s, trazamos una circunferencia. Llamamos T al punto de corte entre las dos circunferencias.

5º Unimos T y P y obtenemos una recta que es paralela a k porque están cortadas por una secante común y mantienen los ángulos en posición de alternos externos



- Congruencia de triángulos L-L-L - En el paso 5 aparece la idea de que dos rectas cortadas por una secante común que

mantienen los ángulos en posición de alternos externos son paralelas.

Actividad de construcción 5 Construir un ángulo de 60º (o construir un triángulo equilátero) 1. Identificación de la figura

- Definiciones: Triángulo: polígono de 3 lados. Triángulo equilátero: triángulo con todos los lados congruentes.

p T

Q

P

k

S

A B

s

T S

A B

s

Q

P

k

A B

s

Q

P

k

S

A B

s

Q

P

k

s

Q

P

k



- Propiedades En triángulos equiláteros los 3 ángulos son congruentes. La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º.

2. Construcción


Lado - - -

2.2. Estrategia

1º Trazamos una recta r cualquiera y representamos el punto A.

2º Con radio y centro en A trazamos una circunferencia. Llamamos B al punto de corte entre la circunferencia y la recta r.

3º Con radio y centro en B trazamos una circunferencia. Llamamos C al punto de corte entre las dos circunferencias.

4º Unimos A, B y C y obtenemos un triángulo equilátero porque sus tres lados son congruentes, , lo que implica que sus ángulos también lo sean, . Como

, entonces

, por lo tanto .

A

x

x x

A

C

B




- En los pasos 2 y 3 aparece la idea de circunferencia como lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto central llamado centro.

- En el paso 3 aparece la idea de ángulo de 60º



PROCESOS DE CONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA-3 (TRIÁNGULOS)

1. Planifica la construcción de un triángulo isósceles del que se conoce la medida de los lados congruentes y el ángulo comprendido entre estos dos lados. 1. Identificación de la figura

- Definiciones: Triángulo: polígono de 3 lados. Triángulo isósceles: triángulo con dos lados congruentes.

- Propiedades En triángulos isósceles: La mediana, bisectriz y altura del lado/ángulo desigual coincide. Los ángulos opuestos a lados congruentes son congruentes.

La suma de los ángulos internos de los triángulos es 180º

2. Construcción


Lado Ángulo

- -

2.2. Estrategia

1º Trazamos una recta r cualquiera, representamos el punto A y trasladamos la medida del lado .

2º Trasladamos el ángulo al punto C y obtenemos una recta a la que llamamos s.

3º Con radio y centro en C trazamos una circunferencia. Llamamos B al punto de corte entre la circunferencia y la recta s.

A

C r

s

A

C r

x x

A

C

B



4º Unimos A, B y C y obtenemos un triángulo isósceles porque tiene dos lados iguales y el ángulo comprendido entre ambos es .



- Aparece la idea de congruencia de triángulos L-L-L

2. Planifica la construcción de un triángulo equilátero del que se conoce la medida de la altura 1. Identificación de la figura

- Definiciones: Triángulo: polígono de 3 lados. Triángulo equilátero: triángulo con todos los lados congruentes. Altura: recta perpendicular a un lado que pasa por el vértice opuesto.

- Propiedades Perpendicular: que mide 90º Todos los ángulos de los vértices son congruentes La altura, bisectriz y mediana de un lado o ángulo coincide con la mediatriz del lado

opuesto. La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º.

2. Construcción


Altura:

- - - - -

-

M

h

B

A

C

x

x

x



2.2. Estrategia

1º Trazamos una recta r cualquiera y representamos el punto A.

2º Realizamos con radio cualquiera un ángulo de 60º. Llamamos s a la semirrecta que pasa por A.

3º Trazamos la bisectriz de A. Llamamos b a la recta bisectriz.

4º Con centro en A y el radio de la altura dada se traza una circunferencia. Llamamos M al punto de corte entre la circunferencia y la bisectriz

5º Se traza por el punto M una perpendicular a la recta b (altura y bisectriz). Llamamos B al punto de corte entre r y la perpendicular a la bisectriz. Llamamos C al punto de corte entre s y la perpendicular a la bisectriz.

6º Unimos los puntos A, B y C y obtenemos un triángulo equilátero de altura h porque hemos construido un triángulo con ángulos de 60º cuya bisectriz coincide con la altura h, lo que hace que sea equilátero.

B C M

b s r

A

b s r

A

s

A

r

r

A




- En los pasos 2, 3, 4 y 5 aparece la idea de circunferencia como lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto central llamado centro.

- En el paso 2 aparece la idea de ángulo de 60º - En el paso 3 aparece la idea de bisectriz como el lugar geométrico de los puntos del plano

que equidistan de las semirrectas de un ángulo, y la idea de congruencia de triángulos L-

L-L. - En el paso 4 aparece la idea de altura como la recta perpendicular a un lado que pasa por

el vértice opuesto. - En el paso 5 aparece la idea de mediatriz que implica la congruencia de triángulos L-L-L,

la congruencia de triángulos L-A-L y la perpendicularidad como ángulos suplementarios más ángulos congruentes. También aparece la de punto medio como el punto de corte entre la altura y el segmento .

3. Planifica la construcción de un triángulo rectángulo del que se conoce la medida de los catetos. 1. Identificación de la figura

- Definiciones: Triángulo: polígono de 3 lados. Triángulo rectángulo: triángulo con un ángulo de 90º. Catetos: cualquiera de los dos lados adyacentes al ángulo recto del triángulo rectángulo.

- Propiedades Se cumple el Teorema de Pitágoras. Los catetos son perpendiculares La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º.

2. Construcción


-

2.2. Estrategia

1º Trazamos una recta r cualquiera, representamos el punto A y trasladamos la medida .

A x

x

B

C



2º Trazamos la perpendicular a r que pasa por el punto A.

3º Con centro en A y radio trazamos una circunferencia. Llamamos C al punto de corte entre la circunferencia y la perpendicular a .

4º Unimos A, B y C y obtenemos un triángulo rectángulo porque tiene un ángulo recto y los dos catetos son de la medida dada.

3. dentificación de ideas y propiedades geométricas


- En el paso 2 aparece la idea de mediatriz que implica la congruencia de triángulos L-L-L, la congruencia de triángulos L-A-L y la perpendicularidad como ángulos suplementarios más ángulos congruentes. También aparece la de punto medio como el punto de corte de la mediatriz con la recta r.

- En el paso 3 aparece la idea de ángulo de 60º

4. Planifica la construcción de un triángulo dada la mediana respecto al vértice A y los lados y 1. Identificación de la figura

- Definiciones: Triángulo: polígono de 3 lados. Mediana: recta que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. Punto medio: punto que divide un segmento en dos partes congruentes.

- Propiedades No hay

C

x

x

B A



2. Construcción


- -

2.2. Estrategia

1º Trazamos una recta r cualquiera, representamos el punto B y trasladamos la medida . Llamamos C al punto de corte entre la circunferencia y la recta r.

2º Trazamos la mediatriz de y llamamos M al punto de corte entre la mediatriz y el segmento .

3º Con radio y centro en B trazamos una circunferencia.

4º Con radio y centro en M trazamos una circunferencia. Llamamos A al punto de corte entre las dos circunferencias, que es el tercer vértice porque se encuentra a la distancia exacta del lado y la mediana.

5º Unimos A, B y C y obtenemos el triángulo solicitado porque su mediana coincide con la medida dada.

A

B C M

M B

A

C

x

y

m




- En los pasos 1, 2, 3 y 4 aparece la idea de circunferencia como lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto central llamado centro.

- En el paso 2 aparece la idea de mediatriz que implica la congruencia de triángulos L-L-L, la congruencia de triángulos L-A-L y la perpendicularidad como ángulos suplementarios más ángulos congruentes. También aparece la de punto medio como el punto de corte de la mediatriz con el segmento .

- En el paso 4 aparece la idea de mediana como la distancia que une el vértice con el punto medio.



PROCESOS DE CONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA-4 (CUADRILÁTEROS)

1. Planifica la construcción de un cuadrado ABCD del que se conoce la medida del lado 1. Identificación de la figura

- Definiciones: Cuadrado: polígono regular de 4 lados.

- Propiedades Todos los lados son congruentes Todos los lados son paralelos 2 a 2 Todos los ángulos son congruentes. Sus diagonales son congruentes, perpendiculares y se bisecan. Todos los lados consecutivos son perpendiculares.

2. Construcción


- - ; - - ; - - y - y - y - y

2.2. Estrategia

1º Trazamos una recta r cualquiera, representamos el punto A y trasladamos la medida . Llamamos B al punto de corte entre la circunferencia y la recta r.

2º Representamos una recta perpendicular a r que pasa por A. Llamamos s a la recta perpendicular a r. (mediatriz,

punto medio)

3º Representamos una recta perpendicular a r que pasa por B. Llamamos t a la recta perpendicular a r. (mediatriz,

punto medio). Como tenemos dos rectas, s y t, cortadas por una secante común, r, que mantienen los ángulos alternos internos entonces podemos decir que son paralelas, st.

M

x D

B A

C

x

x

x



4º Con radio y centro en A trazamos una circunferencia. Llamamos D al punto de corte entre la circunferencia y la recta s.

5º Con radio y centro en B trazamos una circunferencia. Llamamos C al punto de corte entre la circunferencia y la recta s.

- Unimos A, B, C y D y obtenemos un cuadrado porque tiene los 4 lados paralelos 2 a 2, y , perpendiculares, y y congruentes, ya que las rectas s y t son paralelas, st.


- En los pasos 1, 2, 3, 4 y 5 aparece la idea de circunferencia como lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto central llamado centro.

- En el paso 2 y 3 aparece la idea de mediatriz que implica la congruencia de triángulos L-L-L, la congruencia de triángulos L-A-L y la perpendicularidad como ángulos suplementarios más ángulos congruentes. También aparece la de punto medio como el punto de corte de la mediatriz con el segmento

- En el paso 3 aparece la idea de ángulos alternos internos, cuando dos rectas cortadas por una secante común mantienen los ángulos alternos internos son paralelas.

- En el paso 6 aparece la idea de rectas paralelas como las rectas que mantienen una distancia constante.

2. Planifica la construcción de un cuadrado ABCD del que se conoce la medida de la diagonal. 1. Identificación de la figura

- Definiciones: Cuadrado: polígono regular de 4 lados. Diagonal: recta que une dos vértices no consecutivos.

- Propiedades Todos los lados son congruentes Todos los lados son paralelos 2 a 2 Todos los ángulos son congruentes. Sus diagonales son congruentes, perpendiculares y se bisecan. Todos los lados consecutivos son perpendiculares.

M

x

x

x

x

s

r B A

t D C



2. Construcción


- - ; - - ; - - ; - ;

2.2. Estrategia

1º Trazamos una recta r cualquiera, representamos el punto A y trasladamos la medida . Llamamos C al punto de corte entre la circunferencia y la recta r.

2º Trazamos la mediatriz de . Llamamos s a la recta perpendicular a y M al punto de corte entre s y r. Sabemos que s es la segunda diagonal porque las diagonales del cuadrado son perpendiculares. Como las diagonales se bisecan mutuamente entonces pasan por el punto medio de .

3º Con centro en M y radio trazamos una circunferencia. Llamamos D y B a los puntos de corte entre la circunferencia y la recta s.

4º Unimos A, B, C y D para obtener el cuadrado del cual sabemos la diagonal porque sabemos que las diagonales de los cuadrados se cortan en el punto medio de ambas.



- En el paso 2 aparece la idea de mediatriz que implica la congruencia de triángulos L-L-L, la congruencia de triángulos L-A-L y la perpendicularidad como ángulos suplementarios

s D

B

A C r

M

x

x x

x

s D

B

A C r

M

M

x D

B A

C

x

x

x



más ángulos congruentes. También aparece la de punto medio como el punto de corte de la mediatriz con el segmento .

- En el paso 4 aparece la idea de mediana como la distancia que une el vértice con el punto medio.

3. Planifica la construcción de un rombo ABCD del que se conoce la medida de un lado y de la diagonal menor 1. Identificación de la figura

- Definiciones: Rombo: cuadrilátero de 4 lados congruentes. Diagonal: recta que une dos vértices no consecutivos. Diagonal menor: diagonal en la cual el segmento que se apoya tiene menor medida.

- Propiedades Todos los lados son paralelos 2 a 2 Los ángulos opuestos son congruentes 2 a 2. Sus diagonales son perpendiculares, se bisecan y coinciden con las bisectrices.

2. Construcción


- - ; - ; - - ; - ; ;

;

2.2. Estrategia

1º Trazamos una recta r cualquiera, representamos el punto A y trasladamos la medida . Llamamos C al punto de corte entre la circunferencia y la recta r.

2º Con centro en A y radio trazamos una circunferencia.

y

D

B

A C M

x

x x

x



3º Con centro en C y radio trazamos una circunferencia. Llamamos B y D a los puntos de corte entre las circunferencias.

4º Unimos A, B, C y D y obtenemos un rombo porque el rombo es un cuadrilátero que tiene los 4 lados congruentes.



- En el paso 4 aparece la idea de rombo como el cuadrilátero que tiene los 4 lados congruentes.

4. Planifica la construcción de un rectángulo ABCD dada la diagonal y el lado mayor. 1. Identificación de la figura

- Definiciones: Rectángulo: cuadrilátero con lados opuestos congruentes. Diagonal: recta que une dos vértices no consecutivos.

- Propiedades Todos los lados son paralelos 2 a 2 Todos los ángulos son congruentes. Sus diagonales son congruentes y se bisecan. Todos los lados consecutivos son perpendiculares.

2. Construcción


- ; - - ; - - - ; ; ;

z

M

D

B A

C x

y y

x

D

B

A C r

x

x x

x



2.2. Estrategia


2º Trazamos una perpendicular a r por el punto B. Llamamos s a la recta perpendicular a r.

3º Trazamos una perpendicular a r por el punto A. Llamamos t a la recta perpendicular a r. Como s y t son dos rectas cortadas por la secante común r y mantienen sus ángulos alternos internos son dos rectas paralelas.

4º Con centro en A y radio trazamos una circunferencia. Llamamos C al punto de corte entre la circunferencia y la recta s.

5º Con centro en B y radio trazamos una circunferencia. Llamamos D al punto de corte entre la circunferencia y la recta t.

6º Unimos A, B, C y D y obtenemos el rectángulo solicitado porque en su construcción se ha utilizado la medida de la diagonal dada.



- En los pasos 2 y 3 aparece la idea de mediatriz que implica la congruencia de triángulos L-L-L, la congruencia de triángulos L-A-L y la perpendicularidad como ángulos suplementarios más ángulos congruentes.

z

M

x

y y

x A

D t

C

s

r B



- En el paso 6 aparece la idea de diagonal como la recta que une dos vértices no consecutivos.

5. Planifica la construcción de un paralelogramo ABCD del que se conoce la medida de los lados y un ángulo. 1. Identificación de la figura

- Definiciones: Paralelogramo: cuadrilátero con todos los lados paralelos 2 a 2. Ángulo: porción del plano comprendida entre dos semirrectas con un punto en común

llamado vértice. - Propiedades Los ángulos opuestos son congruentes. Los lados opuestos son congruentes.

2. Construcción


- y - y - y

2.2. Estrategia


2º Con centro en A trasladamos el ángulo . Llamamos s a la recta del ángulo.

3º Con centro en B trasladamos el ángulo en el mismo sentido. Llamamos t a la recta del ángulo. Las rectas s y t son paralelas porque están cortadas por una secante común y mantienen los ángulos alternos internos.

t

A

s

r B

A B

s

r

C

A

D

B x

y y x



4º Con centro en A y radio trazamos una circunferencia. Llamamos C al punto de corte entre la circunferencia y la recta s.

5º Con centro en B y radio trazamos una circunferencia. Llamamos D al punto de corte entre la circunferencia y la recta t.

6º Unimos A, B, C y D y obtenemos un paralelogramo porque tiene los lados opuestos paralelos, AC y DB, que tienen el mismo radio y mantienen las distancias.



- En los pasos 2 y 3 aparece la idea de congruencia de triángulos L-L-L cuando se traslada el ángulo .

- En el paso 3 aparecen las ideas de que dos rectas cortadas por una secante común que mantiene los ángulos alternos internos son paralelas. También aparece la idea de ángulos opuestos por el vértice que son congruentes.

- En el paso 6 aparece la idea de paralelogramo como la como el cuadrilátero con lados opuestos paralelos, congruentes y que guardan las distancias.

x

y y x

s

r

D C

B

t

A

r

D C

B

t

A

r

C

B

t

A

s



EJERCICIOS EXTRA

1. Planifica la construcción de un paralelogramo conociendo un lado, un ángulo y la altura. 1. Identificación de la figura

- Definiciones: Paralelogramo: cuadrilátero con todos los lados paralelos 2 a 2. Ángulo: porción del plano comprendida entre dos semirrectas con un punto en común

llamado vértice. Altura: distancia entre las dos rectas paralelas

- Propiedades Los ángulos opuestos son congruentes. Los lados opuestos son congruentes.

2. Construcción


Altura

- y - y - y

2.2. Estrategia


2º Con centro en A trasladamos el ángulo . Llamamos s a la recta del ángulo.

3º Con centro en B trasladamos el ángulo en el mismo sentido. Llamamos t a la recta del ángulo. Las rectas s y t son paralelas porque están cortadas por una secante común y mantienen los ángulos alternos internos.

t

A

s

r B

A B

s

r

C

A

D

B x

y y x

h



4º Trazamos una perpendicular a r por el punto A y trasladamos la medida de la altura. Llamamos A’ al punto de corte entre la circunferencia y la perpendicular a r.

5º Trazamos una perpendicular a r por el punto B y trasladamos la medida de la altura. Llamamos B’ al punto de corte entre la circunferencia y la perpendicular a r.

6º Unimos A’ y B’. Llamamos C al punto de corte entre la semirrecta y la recta s. Llamamos D al punto de corte entre la semirrecta y la recta t.

7º Unimos A, B, C y D y obtenemos un paralelogramo porque tiene los lados opuestos paralelos, AC y DB, que tienen el mismo radio y mantienen las distancias.



- En los pasos 2 y 3 aparece la idea de congruencia de triángulos L-L-L cuando se traslada el ángulo .

- En el paso 3 aparecen las ideas de que dos rectas cortadas por una secante común que mantiene los ángulos alternos internos son paralelas. También aparece la idea de ángulos opuestos por el vértice que son congruentes.

- En los pasos 4 y 5 aparece la idea de altura como distancia entre dos bases. También aparece la idea de mediatriz que implica la congruencia de triángulos L-L-L, la congruencia de triángulos L-A-L y la perpendicularidad como ángulos suplementarios más ángulos congruentes.

- En el paso 6 aparece la idea de paralelogramo como la como el cuadrilátero con lados opuestos paralelos, congruentes y que guardan las distancias.

2. Planifica la construcción de un trapecio rectángulo conociendo la altura y las dos bases. 1. Identificación de la figura

- Definiciones: Trapecio: cuadrilátero con dos lados paralelos Trapecio rectángulo: trapecio con un lado perpendicular a las dos bases. Altura: distancia entre las dos rectas paralelas. Base: cada uno de los dos lados paralelos del cuadrilátero.

B A

C D

s

r

t

B

A’

A

C D

B’

s

r

t



- Propiedades Tiene dos ángulos interiores de 90º La suma de los ángulos internos del cuadrilátero es 360º

2. Construcción


- - - y

2.2. Estrategia


2º Trazamos una perpendicular a r por el punto A. Llamamos s a la recta perpendicular a r.

3º Con centro en A y radio trazamos una circunferencia. Llamamos D al punto de corte entre la circunferencia y la recta s.

4º Trazamos una perpendicular a s que pasa por D. Llamamos t a la perpendicular a s. Tenemos que s y t son dos rectas cortadas por la secante común r y mantienen los ángulos alternos internos, por lo que son paralelas.

5º Con centro en D y radio trazamos una circunferencia. Llamamos C al punto de corte entre la circunferencia y la recta t.

6º Unimos A, B, C y D y obtenemos un trapecio rectángulo porque tiene se ha construido s r y t s y además y

C t

D

B A

s

r h

y

x

h

C

A

D

B x

y




- En los pasos 1, 2, 3, 4 y 5 aparece la idea de circunferencia como lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan una distancia r de un punto central llamado centro.


- En el paso 4 aparece la idea de rectas paralelas como dos rectas cortadas por una secante común que mantiene los ángulos alternos internos.

- En el paso 6 aparece la idea de trapecio rectángulo como el cuadrilátero que tiene sus dos bases paralelas y uno de los lados comprendido entre ellas perpendicular.

3. Planifica la construcción de un trapecio rectángulo conociendo la altura, una base y un lateral. 1. Identificación de la figura

- Definiciones: Trapecio: cuadrilátero con dos lados paralelos Trapecio rectángulo: trapecio con un lado perpendicular a las dos bases. Altura: distancia entre las dos rectas paralelas. Base: cada uno de los dos lados paralelos del cuadrilátero.

- Propiedades Tiene dos ángulos interiores de 90º La suma de los ángulos internos del cuadrilátero es 360º

2. Construcción


- - - y

2.2. Estrategia



h

C

A

D

B x

y



3º Con centro en A y radio trazamos una circunferencia. Llamamos D al punto de corte entre la circunferencia y la recta s.

4º Trazamos una perpendicular a s que pasa por D. Llamamos t a la perpendicular a s. Tenemos que s y t son dos rectas cortadas por la secante común r y mantienen los ángulos alternos internos, por lo que son paralelas.

5º Con centro en B y radio trazamos una circunferencia. Llamamos C al punto de corte entre la circunferencia y la recta t.

6º Unimos A, B, C y D y obtenemos un trapecio rectángulo porque tiene se ha construido s r y t s y además y


- En los pasos 1, 2, 3, 4 y 5 aparece la idea de circunferencia como lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan una distancia r de un punto central llamado centro.


- En el paso 4 aparece la idea de rectas paralelas como dos rectas cortadas por una secante común que mantiene los ángulos alternos internos.

- En el paso 6 aparece la idea de trapecio rectángulo como el cuadrilátero que tiene sus dos bases paralelas y uno de los lados comprendido entre ellas perpendicular.

4. Planifica la construcción de un trapecio isósceles conociendo las dos bases y la altura. 1. Identificación de la figura

- Definiciones: Trapecio: cuadrilátero con dos lados paralelos Trapecio isósceles: trapecio con dos lados laterales congruentes. Altura: distancia entre las dos rectas paralelas. Base: cada uno de los dos lados paralelos del cuadrilátero.

- Propiedades Tiene los ángulos consecutivos agudos congruentes. Tiene los ángulos consecutivos obtusos congruentes. La suma de los ángulos internos del cuadrilátero es 360º

x

C t

D

B A

s

r h y



2. Construcción


Altura → h

- - y -

2.2. Estrategia



3º Trazamos una perpendicular a r por el punto B. Llamamos t a la recta perpendicular a r.

4º Con centro en A y radio h trazamos una circunferencia. Llamamos A’ al punto de corte entre la circunferencia y la recta s.

5º Con centro en B y radio h trazamos una circunferencia. Llamamos B’ al punto de corte entre la circunferencia y la recta t.

6º Unimos A’ y B’. Hallamos la mediatriz del segmento . Llamamos M’ al punto de corte entre el segmento y la perpendicular trazada. Como la recta que contiene al segmento y la recta r están cortadas por una secante común s entonces mantienen los ángulos

alternos internos y, por lo tanto, son paralelas.

7º Hallamos la mediatriz del lado . Llamamos M al punto de corte entre el segmento y la perpendicular.

y

x

C

A

D

B

h




- En los pasos 1-8 aparece la idea de circunferencia como lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto central llamado centro.

- En los pasos 2, 3, 6 y 7 aparece la idea de mediatriz que implica la congruencia de triángulos L-L-L, la congruencia de triángulos L-A-L y la perpendicularidad como ángulos suplementarios más ángulos congruentes.

- En los pasos 6 y 7 aparece la de punto medio como el punto de corte entre la mediatriz y el lado o la recta.

- En el paso 6 aparece la idea de ángulos alternos internos comprendidos entre dos rectas, cortadas por una secante común, que son paralelas

- En el paso 9 aparece la idea de trapecio isósceles como el cuadrilátero que tiene dos bases paralelas y dos lados congruentes.

5. Planifica la construcción de un trapecio isósceles conociendo un ángulo, una base y la altura. 1. Identificación de la figura

- Definiciones: Trapecio: cuadrilátero con dos lados paralelos Trapecio isósceles: trapecio con dos lados laterales congruentes. Altura: distancia entre las dos rectas paralelas. Base: cada uno de los dos lados paralelos del cuadrilátero. Ángulo: porción del plano comprendida entre dos semirrectas con un ángulo común

- Propiedades Tiene los ángulos consecutivos agudos congruentes. Tiene los ángulos consecutivos obtusos congruentes. La suma de los ángulos internos del cuadrilátero es 360º

8º Con centro en M’ y radio trazamos una circunferencia. Lamamos C y D a los puntos de corte entre la circunferencia y el segmento .

9º Unimos A, B, C y D y obtenemos un trapecio isósceles porque tiene las dos bases paralelas y los dos lados congruentes.

B

s t

A

C D

r



2. Construcción


Altura → h

- - - y

2.2. Estrategia



3º Con centro en A y radio h trazamos una circunferencia. Llamamos A’ al punto de corte entre la circunferencia y la recta s.

4º Trazamos una perpendicular a s por A’. Llamamos t a la perpendicular a s. Las rectas r y t son paralelas porque están cortadas por la secante común s y mantienen los ángulos alternos internos.

5º Trasladamos el ángulo en A. Llamamos D al punto de corte entre la recta t y la semirrecta.

6º Trasladamos el ángulo en B en orientación contraria al anterior. Llamamos C al punto de corte entre la recta t y la semirrecta.

7º Unimos A, B, C y D y obtenemos un trapecio isósceles porque se apoya en dos rectas paralelas y se han trasladado dos ángulos agudos consecutivos congruentes, . B

s t

A

C D

r

x

C

A

D

B

h




- En los pasos 1-6 aparece la idea de circunferencia como lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto central llamado centro.

- En los pasos 2 y 4 aparece la idea de mediatriz que implica la congruencia de triángulos L-L-L, la congruencia de triángulos L-A-L y la perpendicularidad como ángulos suplementarios más ángulos congruentes. también aparece la idea de punto medio como el punto de corte entre la recta y su perpendicular.

- En el paso 4 aparece la idea de ángulos alternos internos como los ángulos comprendidos entre dos rectas, cortadas por una secante común, que son paralelas.

- En el paso 7 aparece la idea de trapecio isósceles como el cuadrilátero que se apoya sobre dos bases paralelas y tiene dos ángulos agudos consecutivos.

6. ABCD es un cuadrilátero del que se sabe que tiene dos lados paralelos, ; dos lados congruentes, ; y que es la bisectriz de . Averigua si (¿ ?)

Datos: - ; ; - es bisectriz de

Llamamos

¿ ?

Tenemos que es opuesto por el vértice a por lo tanto son congruentes, .

Tememos dos triángulos y , que cumplen: 1 par de lados congruentes, , por enunciado. 1 par de ángulos congruentes, por


común.


Como en los triángulos congruentes los ángulos opuestos a lados congruentes son congruentes, entonces Tenemos un cuadrilátero cuyos ángulos agudos consecutivos son congruentes, . Sabemos que es bisectriz de , por lo tanto . Como , entonces . Por lo tanto tenemos que , es decir, Como tenemos un triángulo con dos ángulos congruentes podemos decir que se trata de un triángulo isósceles.

z

x

B

C D

x

D C

A

z

F

y A

z

x

D C

B

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