ANALISIS MATEMATICO II – (Ciencias - 2014)

Práctica 1: Geometŕıa Anaĺıtica: Vectores, Rectas y Planos

A. Vectores

1. Sean ~v = (0,−1, 2) y ~w = (−1, 2, 4) dos vectores de IR3.

(a) Obtener el coseno del ángulo entre ~v y ~w y entre −~v y ~w.(b) Obtener los cosenos directores de ~v.

(c) Obtener la componente de ~v en la dirección de ~w y su proyección vectorial.

2. (a) Encontrar 2 vectores de IR2 de módulo 4 y perpendiculares al vector ~i− 2~j.

(b) Encontrar 4 vectores de IR3 de módulo 4 y perpendiculares al vector ~i− 2~j.

3. Hallar el área del paralelogramo generado por los vectores(2,−2,−1) y (0, 4, 3).

4. Considerar el triángulo de la figura

(a) Obtener sus ángulos internos.

(b) Calcular su área.

(c) Calcular la longitud de sus lados.

(d) Calcular sus alturas.

5. Demostrar la siguiente identidad vectorial

|~a× ~b|2 = |~a|2|~b|2 − (~a · ~b)2

6. Con relación a la figura de la derecha, demostrar que si

~F1 = −~F2

entonces~r1 × ~F1 +~r2 × ~F2 = ~0

7. Calcular el volumen del paraleleṕıpedo determinado por los vectores

~v1 = (1, 1, 0) ~v2 = (0, 2, 0) ~v3 = (2, 5, 5)

B. Rectas y Planos

1. Hallar la ecuación paramétrica y las ecuaciones simétricas de la recta en los siguientes casos:

(a) Pasa por P1 = (1,−2, 4) en la dirección de ~v = (2,−2,−1).(b) Pasa por los puntos P1 = (1, 1, 0) y P2 = (−2, 2, 1).

2. Obtener la ecuación cartesiana y la ecuación paramétrica del plano en los siguientes casos:

(a) Pasa por los puntos P1 = (3, 2,−1), P2 = (0, 1,−2) y P3 = (2,−4, 0).(b) Pasa por el punto P1 = (1,−5, 2) y es perpendicular al vector ~v = (−1, 1,−4).(c) Contiene a las rectas r1(t) = (1, 1, 0) + t(1,−1, 2) y r2(s) = (2, 0, 2) + s(−1, 1, 0).(d) Es paralelo al plano 4x− 2y + z − 1 = 0 y contiene al punto (2, 6,−1).

3. Verificar si los puntos P1 = (1, 2,−3),P2 = (0, 5,−4) y P3 = (6, 9, 0) se encuentran en el plano determinado por elvector normal ~N = (1, 2,−3) y el punto P = (8, 7, 0).

4. Hallar las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por el punto P1 = (4, 0, 7) y es perpendicular al plano3x− 2y + 8z + 24 = 0.

1

5. Hallar las coordenadas del punto intersección del plano 5x− y + 2z − 12 = 0 y la recta dada por

x− 24

=y + 3

−2=z − 1

7

6. Sean a, b y c números reales no nulos. Demostrar que la ecuación del plano que intersecta a los ejes coordenadosx, y y z en los puntos (a, 0, 0), (0, b, 0) y (0, 0, c) respectivamente es:

x

a+y

b+z

c= 1.

7. Demostrar que la rectax− 3

2=y + 2

3=z + 1

4está contenida en el plano x− 2y + z = 6.

8. Calcular la distancia del punto a la recta y la distancia del punto al plano según corresponda:

a) b)

9. Encontrar la distancia entre la recta del ejercicio 7 y el punto (1, 2,−3).

10. Determinar la distancia entre los siguientes planos π1 : 4y − 3z + x = 6 π2 : 8y − 6z + 2x = 3

11. Determinar la distancia entre los siguientes planos π1 : 4y + 2x− 4z = 4 π2 : 2y − x− 2z = 2

12. Calcular la distancia entre las siguientes rectas

r1 : x = y + 1 =z − 1

2r2 : x+ 3 = y =

z + 1

2

13. Calcular la distancia entre las siguientes rectas

r1 : x− 1 =y − 2

2= z + 1 r2 :

x+ 2

2=y − 1

3=z − 3

2

C. Algunas Respuestas

Ej A.3: 2√26 Ej A.4: a) ≈ 0.83, ≈ 1.32, ≈ 0.99 b)

√59 c)

√14, 2

√6, 3√2 (c) 2

√258621

,√

3546

,√1183

Ej A.7: 10 Ej B.5: ( 53,− 17

6, 512) Ej B.8.a: 9

10

√5 Ej B.8.b: 5

22

√11 Ej B.9: 2

√6

Ej B.10: 92√26

Ej B.12: 2√2 Ej B.13: 7√

2

2

ANALISIS MATEMATICO II – (Ciencias - 2014)

Práctica 2: Superficies. Sistemas de coordenadas. Mapas de contorno y Gráficas de Funciones

A. Superficies

1. Trazar la gráfica de la ecuación x = 3 en IR1, IR2, IR3.

2. Dibujar el conjunto de puntos que cumplen simultáneamente x = 6 e y = 3 en IR2 y IR3.

3. Identificar cada superficie con la ecuación correspondiente:

a) z2 = x2 + y2

b) z = x2 + y2

c) z = x2

a) y = z2

b) z = y2

c) z = x2

a) 3− y = x2 + z2

b) 3y = x2 + z2

c) y + 3 = x2 + z2

a) z = x2 − y2

b) z = y2 − x2

c) z2 = x2 − y2

a) y2 = z2 + x2

b) z2 = x2 + y2

c) y2 = z2 − x2

a) z2 = x2 + y2 + 1

b) z2 = x2 + y2

c) z2 = x2 + y2 − 1

4. Realizar la gráfica de cada superficie cuadráticas

a)Conoz2 = x2 + y2

b)Paraboloide Circularx2 + y2 = 9z

c)Elipsoide(y + 1)2 + 2(z − 1)2 + x2 = 4

d)Paraboloide Eĺıpticoy − 2 = 4x2 + 9z2 e)

Esfera(x− 1)2 + y2 + z2 = 4 f)

Paraboloide Hiperbólicoy = z2 − x2

5. Describir todas las trazas de cada superficie cuadrática:

a) z = x2 − y2 b) z = x2 + y2 c) x2 + y2 − z2 = 1

6. Graficar el conjunto de puntos que satisface x2 + y2 = 1 en IR2 y en IR3.

7. En cada caso trazar la gráfica de las superficies ciĺındricas

a) x2 + y2 = 4 b) 2x2 + (y − 1)2 = 2 c) x =√z d) y = 1− x2

e) z = x2 f) z = 4x3 g) z = sin y

B. Sistemas de Coordenadas

1. Completar las siguientes tablas

Cartesianas Ciĺındricas Esféricas(1, 45◦, 1)

(2, 1,−2)(√

2, 1, 1)(0, 45◦, 10)(1,−π/6, 0)

Cartesianas Ciĺındricas Esféricas(0, 3, 4)

(2, π/2,−4)(2, π, π/3)

(3, π/6, 4)(2, 3π/4,−2)

2. Graficar las siguientes curvas del plano y expresarlas en coordenadas polares:

a) x2 + y2 = 1 b) x2 + (y − 1)2 = 1 c) x2 + (y − 1)2 = 4 d) x = 2 e) y = 0

3. Expresar en coordenadas ciĺındricas y en coordenadas esféricas las siguientes superficies del espacio. Utilizar el ejede simetŕıa más adecuado a la situación.

a) x2 + y2 + z2 = 9 b) x2 + z2 = 2y c) y2 + z2 = 1 + x2

d) x+ 2y − z = 1 e) x = 2y f) y2 + z2 = 4

1

4. Expresar en coordenadas cartesianas e identificar las superficies escritas en coordenadas ciĺındricas.

a) r cos θ = 4 b) r + z = 1 c) r2 + z2 = 4

5. Expresar en coordenadas cartesianas e identificar las superficies escritas en coordenadas esféricas

a) cos2 φ = 1 b) ρ = 2 cos θ sinφ c) ρ+ 4 cosφ = 0

C. Mapas de Contornos y Gráficas de Funciones

1. En cada caso graficar 7 curvas de nivel comenzando en el f(x, y) = c0 indicado y con el ∆f indicado.

a) f(x, y) = y − x c0 = −3 ∆f = 1 d) g(x, y) = y + x c0 = −2 ∆g = 1b) p(x, y) = x+ y + 2 c0 = −3 ∆p = 1 e) w(x, y) = ln(x+ y) c0 = 1.5 ∆w = −0.5c) r(x, y) = |y| c0 = 3 ∆r = −1 f) k(x, y) = sinx c0 = −1 ∆k = 2/7

2. Asociar cada mapa de contorno con la gráfica de la función correspondiente.

3. En cada caso graficar 4 superficies de nivel comenzando en el f(x, y, z) = c0 y con el ∆f indicado.

a) f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 c0 = 0 ∆f = 2 b) g(x, y, z) = x+ y − z c0 = −2 ∆g = 1

4. (a) Hallar y graficar la curva de nivel de f(x, y) = x2 + y2 − 2y + 5 que pasa por el punto (−1, 1).(b) Encontrar 3 funciones que tengan a la circunferencia x2 + y2 = 1 como curva de nivel.

2

ANALISIS MATEMATICO II – (Ciencias - 2014)

Práctica 3: Ĺımites y Continuidad.

A. Ĺımites en varias variables

1. Demostrar las siguientes desigualdades.

a) |x| ≤√

x2 + y2 b) |x y| ≤ x2 + y2

2c) |x y| ≤ x2 + y2 d) |sen (u)| ≤ |u|

2. Estudiar la existencia de los ĺımites de las siguientes funciones en el origen.

a) f(x, y) =x

x2 + y2b) f(x, y) =

x2

x2 + y2c) f(x, y) =

x3

x2 + y2

¿Cuáles de esas funciones podŕıan definirse en (0,0) de manera que resulten continuas?

3. Comprobar que los siguientes ĺımites no existen

(a) lim(x,y)→(0,0)

2x2 − y2

3x2 + 5y2(b) lim

(x,y)→(0,−2)

x + 3(y + 2)2

(y + 2)2 + x2(c) lim

(x,y)→(0,−2)

yx + 2x

(y + 2)2 + x2

(d) lim(x,y)→(0,0)

x2y2

3x2y2 + (x− y)2(e) lim

(x,y)→(0,0)

x2 + 4y2

2xy + 3x− 7y(f) lim

(x,y)→(0,0)

xy2 + 2y2

3x2 + y4

(g) lim(x,y)→(0,0)

5x15y2

x4 − y

4. Calcular los siguientes ĺımites justificando adecuadamente

(a) lim(x,y)→(0,0)

8x3 − 3y2 + 2x2 + y4 − 3

(b) lim(x,y)→(1,0)

xy − y|x− 1|+ |y|

(c) lim(x,y)→(0,0)

sen (x2 + y2)√x2 + y2

(d) lim(x,y)→(0,0)

(x2 + 7y4

)sen

(1

xy

)(e) lim

(x,y)→(0,0)y ln

(2x2 + 3y2

x2 + 4y2

)(f) lim

(x,y)→(0,0)

x2 + x3 + xy5 + y4

x2 + y4

5. ¿Pueden definirse las siguientes funciones en el origen de manera que resulten continuas en todo IR2?

(a) f(x, y) = x2 ln(x2 + y2) (b) g(x, y) =x + y

(x2 + y2)1/3sen

(1

x2 + y2

)6. Determinar el conjunto donde las siguientes funciones son continuas:

(a) t(x, y) =

xy√

x2 + y2(x, y) 6= (0, 0)

2 (x, y) = (0, 0)(b) h(x, y) =

{5x2 + y2 y ≥ 2x

1 y < 2x

7. En los siguientes casos justificar si existe o no los ĺımites para (x, y)→ (0, 0)

a ) b)

8. Proponer una posible función cuya gráfica se corresponda con el ejercicio 7.b)

1

ANALISIS MATEMATICO II – (Ciencias - 2014)

Práctica 4: Diferenciación (Primera Parte)

A. Derivadas Parciales

1. Calcular las derivadas parciales de f(x, y) = xy sin(y) + (3y − 5x)2.

2. Calcular∂w

∂x+∂w

∂y+∂w

∂zsiendo w = ex+y ln(zy).

3. Estudiar la existencia de las derivadas parciales de g(x, y) = y2/3x en todos los puntos (x, y) ∈ IR2

4. Mostrar que f(x, y) =

{ yy − x

x 6= y

0 x = yno es continua en (0, 0), existe fx(0, 0) y no existe fy(0, 0).

5. Mostrar que g(x, y) =

{ xyy − x

x 6= y

0 x = yno es continua pero existen ambas derivadas parciales en (0, 0).

B. Diferenciabilidad

1. Justificar lo más brevemente posible por qué la función f(x, y) = xy + arctan(x+ y) es diferenciable en el punto elorigen. Luego, calcular la ecuación del plano tangente a la gráfica de la función en dicho punto.

2. Sea f(x, y) =

x2 sin(

1

x2 + y2

)(x, y) 6= (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0)

(a) Calcular fx(x, y) para todo (x, y) del dominio.

(b) Mostrar que fx no es continua en (0, 0) pero f si es diferenciable en (0, 0).

(c) Encontrar la ecuación del plano tangente a la gráfica de la función en (0, 0).

3. Mostrar que f(x, y) = cos√x2 + y2 es continua en el origen, existen las derivadas parciales y son continuas en dicho

punto. ¿Es diferenciable en dicho punto? En caso afirmativo, calcular la ecuación del plano tangente a la gráficade f(x, y) en el punto (0, 0).

4. Mostrar que g(x, y) del ejercicio A.5 tiene derivadas parciales pero no es diferenciable en (0, 0).

C. Derivadas de orden superior

1. Calcular las derivadas parciales segundas de f(x, y, z) = zxy. Verificar la igualdad de las derivadas cruzadascorrespondientes.

2. Calcular∂3w

∂x∂t2+

∂3w

∂x2∂t+∂2w

∂t2siendo w = x2t3.

3. ¿Existe alguna función f ∈ C2 tal que

fx(x, y) = x2 + y2 y fy(x, y) = −ex+y?

4. El mapa de contornos de la derecha corresponde a unafunción f(x, y) ∈ C2. Determinar si las siguientes derivadasson positivas o negativas en P .

fx(P ) fy(P ) fxx(P ) fyy(P ) fxy(P )

5. Sea f(x, y) =

{x2 arctan

(yx

)x 6= 0

0 x = 0

a) Calcular fx(x, y) y fy(x, y) en todo (x, y).

b) Mostrar que fxy(0, 0) = 0 y fyx(0, 0) = 1.

1

D. Post-Data

1. Calcular DF para las siguientes funciones

(a) F : R2 → R2, F (x, y) = (ex + 1, ey + x) (b) F : R2 → R3, F (u, v) = uv~i + u2~j + (u2 + v3)~k

2. Dada f(x, y) =3x2y − 2x3

x2 + y4, definir f(0, 0) de modo que resulte continua y estudiar su diferenciabilidad.

3. Sea f : IR2 → IR tal que |f(x, y)| ≤ |xy| para todo (x, y). Demostrar que f es diferenciable en el origen.

4. Dada h(x, y) =√

1− x2 − y2.Demostrar anaĺıticamente que el plano tangente a la gráfica en elpunto P0 = (x0, y0, h(x0, y0)) es normal al vector ~P0.

5. Encontrar los valores de α para que

f(x, y) =

{x+ xy2 + α2 (x, y) 6= (0, 0)α (x, y) = (0, 0)

admita derivadas parciales en (0, 0).¿Es diferenciable en (0, 0)?

6. Estudiar la existencia de las derivadas parciales de f(x, y) =(x2y + y3

)1/3en todo (x, y) ∈ IR2.

2

ANALISIS MATEMATICO II – (Ciencias - 2014)

Práctica 5: Diferenciación (Segunda Parte)

A. Derivadas direccionales

1. Calcular las derivadas direccionales en los puntos y direcciones indicadas.

(a) f(x, y) = x3 + 3y, en cualquier punto (x, y) y en la dirección dada por θ = π/3

(b) f(x, y) =

x2

ysi y 6= 0

0 si y = 0en (0, 0) y en las direcciones ~u = (1, 0), ~v = (0,−1) y ~w = (1, 1).

(c) f(x, y, z) = ez(xy + z2), P0 = (0, 1, 0), en la dirección que va de P = (0, 4, 8) a Q = (1, 29, 7).

2. Mostrar que f(x, y) = 3√xy es continua y que las derivadas parciales existen en el origen pero que las derivadas

direccionales en todas las demás direcciones no existen. ¿Es f diferenciable en el origen?

3. Hallar D~uf(0, 0) siendo ~u una dirección unitaria arbi-traria.¿Es diferenciable en el origen?

f(x, y) =

xy2

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

B. Regla de la cadena

1. Mostrar que toda función de la forma z = f(x+ cy), con c constante y f ∈ C1, cumple czx − zy = 0.

2. Sea f(x, y) una función con derivadas parciales continuas y positivas. ¿Es f(t, t3) una función creciente?

3. Sea w(x, y) = f(x − y2, y − x2) donde f : IR2 → IR es una función tal que ∇f(u, v) = 2u~i + 2uv~j. ¿El puntoQ = (0, 0) pertenece al plano tangente a la gráfica de la función w en el punto (x0, y0) = (−2, 4)?.

4. Mostrar que si y = f(x− at) + g(x+ at), donde a es una constante y f , g ∈ C2, entonces a2yxx = ytt.

5. Dadas f(x, y) ∈ C2 y (r, θ) las coordenadas polares.

(a) Mostrar que

[∂f

∂r(r, θ)

]2+

1

r2

[∂f

∂θ(r, θ)

]2= ||∇f(x, y)||2

(b) Mostrar que frr(r, θ) = cos2 θfxx(x, y) + 2 sin θ cos θfxy(x, y) + sin

2 θfyy(x, y)

(c) Encontar fórmulas similares para fθθ(r, θ) y frθ(r, θ).

6. Sean f , g ∈ C2. Si se define F (x, y) = f(x+ g(y)) entonces Fx.Fxy = Fy.Fxx.

7. Sean g(x, y) =√x2 + y2, x(t) = y(t) = t2. Calcular

dg

dt(0).

8. Sea f(u, v) ∈ C2 que cumple fuu + fvv = 0 para todo (u, v). Mostrar que las siguientes funciones cumplen la mismaecuación

(a) h(x, y) = f(ax+ by, bx− ay) con a2 + b2 = 1 (b) d(x, y) = f(x2 − y2, 2xy)

(c)g(x, y) = f

(x

x2 + y2,

y

x2 + y2

)para (x, y) 6= (0, 0)

9. Dada u(x, y, z) ∈ C2 y (ρ, θ, φ) las coordenadas esféricas. Mostrar que

1

ρ2∂

∂ρ

(ρ2∂u

∂ρ

)+

1

ρ2 sin2 φ

∂2u

∂θ2+

1

ρ2 sinφ

∂

∂φ

(sinφ

∂u

∂φ

)= uxx + uyy + uzz

10. Si f(x, y) = (x2 + xy + 1, y2 + 2) y g(u, v) = (u+ v, 2u, v), encontrar la matriz jacobiana de g ◦ f en (1, 1).

1

C. Vector Gradiente ∇f

1. El mapa de contornos de la derecha corresponde a unafunción f(x, y) diferenciable.

(a) Dibujar el vector gradiente∇f(x, y) en los puntosindicados.

(b) Encontrar P tal que ∇f(P ) sea paralelo a (1, 1).

(c) Determinar el signo de D~uf(x, y) en todos lospuntos indicados siendo ~u = (−1, 1).

2. Hallar la ecuación del plano tangente y de la recta nor-mal a la superficie en los puntos indicado

xy cos y = z3 − zexy P0 = (4, 0, 1)

3. Encontrar una función que tenga al elipsoide x2 + 9y2 + 25z2 = 1 como superficie de nivel en el punto (1, 0, 0) ycalcular su dirección de máximo crecimiento a partir de dicho punto.

4. Mostrar que el vector ~v = (0, 1, 1) es normal a la superficie S en el punto (0,√

2,√

2).

S ={

(x, y, z) ∈ IR3 : x2 + y2 + z2 = 4}

5. La función T (x, y, z) = 10(xe−y2

+ ze−x2

) indica la temperatura en cada punto de un depósito de agua.

Al considerar el punto P = (0, 0, 1) dentro del depósito:

(a) ¿Cuál es la razón de cambio de la temperatura al desplazarnos hacia el punto Q = (2, 3, 1)?.

(b) ¿Qué dirección debemos tomar para que la temperatura disminuya lo más rápidamente posible?

(c) Encontrar 3 direcciones en donde la derivada direccional tome el valor 1.

(d) ¿Cuál es el valor de la máxima razón de cambio posible?

(e) ¿Existe alguna dirección en donde la derivada direccional tome el valor 20.

6. Sea f(x, y) una función diferenciable en IR2 tal que el plano tangente a la gráfica de f(x, y) en el punto P = (1, 2)

es: 2x+ 3y + 4z = 1. Calcular la derivada direccional de f en la dirección ~v = 2~i + 4~j.

7. Dada f(x, y, z) = g(xy)g(yz) siendo g ∈ C1, mostrar que la dirección de máximo crecimiento en el punto (1, 1, 1) esparalela al vector (1, 2, 1).

2

ANALISIS MATEMATICO II – (Ciencias - 2014)

Práctica 6: Funciones Impĺıcitas. Funciones Inversas. Polinomio de Taylor

A. Funciones Impĺıcitas y Funciones Inversas

1. Mostrar que la ecuación x4y + 3y7 = 3 − 2xy3 permite definir y en función de x en un entorno del punto (0, 1).Calcular y′(x) en x = 0.

2. Sea u(x, y, z) = xex+y + cos(zy)x+ z2y. Mostrar que la ecuación u(x, y, z) = 0 permite definir a x como función de

(y, z) en las cercańıas del punto (0, 0, 5). Encontrar∂x

∂y(0, 5) y

∂x

∂z(0, 5).

3. Considerar F (x, y, z, u, v) = yzv3 + x2u y G(x, y, z, u, v) = xy + 12v + z3u + 12

(a) Calcular la matriz jacobiana∂(F,G)

∂(x, y, z, u, v)

(b) Analizar si es posible asegurar el despeje u = u(x, y, z) v = v(x, y, z) del sistema{F (x, y, z, u, v) = 0G(x, y, z, u, v) = 0

en las cercańıas de los puntos P = (4, 1, 2, 1,−2), Q = (1, 0, 0, 0, 0) o W = (1, 0, 5, 0, 0).En los casos posibles calcular las derivadas de u y v respecto de la variable x en los puntos correspondientes.

(c) ¿Qué par de variables pueden definirse en función de las otras tres en las cercańıas del punto P?

(d) ¿En las cercańıas de qué puntos (x, 1, z, 1,−1) es posible asegurar el despeje de las variables (y, v)?

4. Sea g(x, y) = F (x, 2y + 5x, x − 3y). ¿Qué condiciones debe cumplir la función F para asegurar que la ecuacióng(x, y) = c define impĺıcitamente a y como una función y = y(x) en las cercańıas de un punto (x0, y0)?

5. Encontrar todos los puntos en la aplicación F (x, y) = (ex cos(y), ex sin(y)) es localmente inversibles de clase C1.¿Es F inyectiva en todo su dominio?

6. Analizar si {u = −3x + y3v = −3y + x3

admite inversa local en alguna vecindad del punto (1, 0). ¿Y del punto (1, 1). En caso afirmativo, calcular la matrizjacobiana inversa en el punto correspondiente.

B. Polinomio de Taylor

1. Hallar el polinomio de Taylor de segundo orden para las funciones en los puntos indicados:

(a) f(x, y) = sin(xy) P = (0, 0) (b) g(x, y, z) = zexy Q = (0, 0, 1)

2. (a) Calcular el polinomio de Taylor de grado 1 de la función h(x, y) = xy centrado en (1, 2).

(b) Usando el inciso anterior aproximar (0.95)2.01. Demostrar que el error cometido es menor a 1/200.

3. Utilizar la fórmula de Taylor para desarrollar xy2 + x2y en potencias de x− 1, y − 1.

4. Sea ~r0 = (x0, y0, z0) 6= ~0 fijo y ~r(x, y, z) = (x, y, z).

Obtener la aproximación cuadrática alrededor del origen para V (x, y, z) =1

|~r−~r0|

1