METODO DE GAMMA DE 3 PARÁMETROS O PEARSON TIPO III

Determinar y graficar los Caudales de diseño para los periodos de retorno de 5,10,25,50 y 100 años por el método de gamma de 3 parámetros o Pearson tipo III. Empleando los siguientes registros.

Año Q(m3/s)=X1980 220.81981 110.51982 90.41983 95.71984 92.61985 105.251986 100.61987 90.81988 95.451989 82.61990 75.21991 109.31992 120.551993 210.251994 305.1

SOLUCION

1.- Ajuste de los datos de la serie a la distribución gamma de tres parámetros

1.1.- Cálculo de parámetros.

- Ordenando los caudales y con la ayuda del Excel se han obtenido los siguientes valores:

Año Q(m3/s)=X

LNX Media Varianza

Coeficiente de sesgo

1 1980 75.2 4.3

127.01

4264.92 1.948712274

2 1981 82.6 4.43 1982 90.4 4.54 1983 90.8 4.55 1984 92.6 4.56 1985 95.45 4.67 1986 95.7 4.68 1987 100.6 4.69 1988 105.25 4.7

10 1989 109.3 4.711 1990 110.5 4.712 1991 120.55 4.813 1992 210.25 5.314 1993 220.8 5.415 1994 305.1 5.7

Además del cálculo se obtiene la media de los logaritmos de los caudales se tiene:

lnX = 4.75

Cálculo de los parámetros de la distribución gamma Utilizando la siguiente ecuación:

Y = ln X - lnX = ln(127.01) – 4.75 = 0.09427

Como : y = 0.09427 < 0.5772 , se utiliza para el cálculo de y , la ecuación :

y=¿0.500087 + 0.1648852y – 0.0544274Y2 ) / Y

De donde :

y = 5.4646

De la ecuación :

β= Xy

β=23.26

1.2. Cálculo de los estadísticos ∆ y ∆o de la prueba de sminov – kolmogorov se obtiene :

∆màx = 0.28983

Y para α = 0.05 y n = 15 se tiene :

∆o = 0.33750

Puesto que :

criterio de decision como :

∆= 0.28983 < ∆o =0.33750

Se concluye que los datos se ajustan a la distribución gamma de 3 parámetros.

∆ = ∆màx

2.- CÁLCULO DEL CAUDAL DE DISEÑO.

2.1.- Cálculo del caudal de diseño para T=5 años

F(Q=q) = 1 - 1T

= 1 - 15

= 0.80

F(Q=q) = F(X) = 0.80

1 – F(X) = 1 – 0.80 = 0.2

De la ecuación :

V=2y= 2x5.4646

V = 10.92 = 11

De la Tabla A.7 del apéndice del libro de hidrología estadística de Máximo Villón:

Para V = 11 y 1-F(X) = 0.2 , se obtiene : X2 = 14.5

Luego aplicando la ecuación:

X2 = 2 Xβ

= 2qβ

de donde :

q = β * x2 / 2

Reemplazando los valores obtenidos en la ecuación se obtendrá el caudal de diseño , para un período de retorno de 5 años

Q = 168.64 m3/s