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Actividad de aprendizaje 2.1.
1. Del texto guía Álgebra intermedia de Allen R. Ángel. pp.120 resuelva el ejercicio 11:
11) Exprese la desigualdad utilizando una recta numérica, en notación de intervalo y como un conjunto solución.
−3<q≤45
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
notacion deint ervalo
(−3 , 45
]conjunto solucion¿¿¿
¿
2. Del texto guía Álgebra intermedia de Allen R. Ángel . pp. 121 resuelva los ejercicios 33, 43 y 57:
Resuelva cada desigualdad y de la solución en notación de intervalo
33) −3 x+1<3 [ (x+2 )−2x ]−1
−3 x+1<3 [ x+2−2x ]− 11 Re sp : en notacion de int ervalo= (−∞ , ∞ )−3 x +1 < 3 x+6−6 x−1−3 x−3 x+6 x < 6−1−10 < 4
Resuelva cada desigualdad y proporcione el conjunto solución.
43) 5≤ 3 x+1
2<11
51
≤3 x+12
<11 M .C .D . = 2
10≤3x + 1 < 22
10−1≤3 x < 22−1 Re sp . El conjunto solucion es : { x 3 ≤ x <7 }9≤ 3 x < 2193
≤ x < 213
3≤ x < 7
57) 4 x+5≥5 y 3 x−7≤−1
−3 45
4 x+5≥5 y 3 x−7≤−14 x≥5−5 3 x≤−1+74 x≥0 3 x≤6x ≥0
4x ≤6
3x≥0 x≤2
{ x x ≥ 0} y { x x ≤ 2}{ x x ≥ 0}∩ { x x ≤ 2}
[0,2 ]Re sp . El conjunto solucion es : {x 0 ≤x≤2 }
Actividad de aprendizaje 2.2.
1. Del texto guía de la pp.580 resuelva los ejercicios 20, 30, 39 y 41: Resuelva cada desigualdad y proporcione la solución en notación de intervalos.
20) 5 x2≤−20x−4
5 x2+20 x +4=0a=5 ; b = 20 ; c =4
x=−b±√b2−4ac2a
x=−20±√400−4 (5 ) (4 )2 (5 )
x=−20±√400−8010
x=−20±√32010
x=−20±√64 .510
x=−2010
±84
√5105
x=−10±4 √55
Los valores frontera son :−10−4 √55
y−10+4√55
−3 , 8 −0 , 2
-4 -3 -2 -1 0 1
−10+4 √55
Valores de prueba: -4 , -2 y 0
Intervalo A :¿¿¿
¿
Intervalo B :¿¿¿
¿
Intervalo B :¿¿¿
¿
Valor de prueba, 4 Valor de prueba, 2 valor de prueba,0
Resp: El conjunto solución es: [−1−4 √55
,−10+4√5
5 ]
30) ( x+3 )2 (4 x−7 )≤0
−10−4√55
5 x2≤−20x−45 (0 )2≤−20 (0 )−45 (0 )≤0−40≤−4falso
5 x2≤−20x−45 (−2 )2≤−20 (−2 )−45 (4 )≤40−420≤30verdadera
5 x2≤−20x−45(−4 )2≤−20 (−4 )−45 (16 )≤80−480≤76falso
(x2+6 x+9 ) (4 x−7 ) → x2+6 x−9=0 o 4 x−7=0( x+3 ) ( x+3 ) =0 o 4 x=7
x+3=0 x+3=0 x¿ x=−3 x=−3
x=1 .8Las soluciones : −3 y 7/ 4
-3 0
74
-3 -2 -1 1 2 3
Intervalo Valor de prueba ( x+3 )2 (4 x−7 ) ≤ 0
A : (∞ , −3 )B: ¿¿¿
¿−40
2
−23−63
25
VerdaderoVerdadero
Falso
Resp. El conjunto solución es : ¿¿
Determinar todos los valores de x para los que f(x) satisface las condiciones que se indican en cada uno de los siguientes ejercicios.
39) f ( x )=2x2+9x−1 ; f ( x )≤5
Los valores frontera son:
−9−√1294
y−9+√1294
−5 , 1 0 , 6
2 x2+9 x−6=0a=2 ; b=9 ; c=−6
x
¿=−b±√b2−4 a c2a
¿
x
¿=−9±√81+484
¿
x
¿=−9±√1294
¿
¿
-5 -4 -3 -2 -1 0 1
−9−√1294
−9+√1294
Valores de prueba: - 6 ; 0 ; 3
Intervalo Valor de prueba 2 x2+9 x−6 ≤ 5
¿¿¿ ¿
−6
0
3
24
−6
39
Falso
verdadero
falso
Resp. El conjunto solución es : [−9−√129
4,−9+√129
4 ]41) f ( x )=2x3+9x2−35 x ; f ( x )≥0
2 x3+9 x2−35 x=0x (2 x2+9 x−35 ) = 0x = 0 o 2 x2+9 x−35 =0
4 x2+9 (2 x )−702
=0
(21 x+147 ) (2 x−5 )21
=0
x+7=0 o 2 x−5=0
x=−7
x
¿ =52
¿¿
¿
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
-70
52
Solución:
[−7 , 0 ] ∪ [ 52
, ∞¿)
¿
Actividad de aprendizaje 2.3.
Resuelva cada desigualdad y proporcione la solución en notación de intervalos.
103) x4−10 x2+9>0
x4−10 x2+9=0(x2−9 ) (x2−1 )=0x2−9=0 x2−1=0x2=9 x2=1x1=± 3 x2=±1
Resp. El conjunto solución: (−∞ ,− 3 ) ∪ (−1 , 1 ) ∪(3 , ∞ )
106) 2 x3+x2−32x−16<0
1. Del texto guía de la pp. 582 resuelva los ejercicios 103 y 106:
2 x3+x2−32−16=0(2 x3+x2) − (32 x+16 ) =0x2 (2x+1 )−16 (2x+1 ) =0(x2−16 ) (2 x+1 ) 0x2−16=0 2 x+1=0
x2=16 x¿x1=±4
Resp. El conjunto solución es: ¿¿-4 -3 |-2 -1 0 1 2 3 4
−4−12 4
Intervalo Valor de prueba 2 x3+x2−32x−16 ∠ 0
(∞ , −4 )(−4 , −1/2 )(−1/2 , 4 )(4 , ∞ )
−5−335
−8135− 3199
Verdaderofalsoverdaderofalso
2. Del texto guía de la pp. 581 resuelva el ejercicio 81:
81) Resuelva la desigualdad y grafique la solución en la recta numérica.
x+2=0
x=−2
-2 -1 0
-2 0
4x+2
≥2
4x+2
=2¿
¿
2 ( x+2 )=42 x+4=42 x=4−4x
¿=02
¿ x=0
3. Resuelve para x y exprese la solución como desigualdad: √2 y+5≤y-5
(√2 y+5 )2=( y−5 )2
2 y+5= y2−10 y+25y2−10 y+25=2 y+5y2−10 y+25−2 y−5=0y2−12 y+20=0( y−10 ) ( y−2 ) =0y−10=0 y−2=0y1=10 y2=2
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Actividad de aprendizaje 2.4.
1. Del texto guía de la pp.133 resuelva los ejercicios 30, 46, 69 y 86:
Determine el conjunto solución para cada ecuación o desigualdad:
30)
| 5 x−32
|+5 =9
Verificación:
x
¿=11→5
¿ |5 x−32
|+5=9
¿
¿5 x−32
+5¿ 5 x−3+10=18 ¿
|
5 (115 )−32
| +5=9¿
¿|11−32
| +5=9¿
|82| +5 =9¿
|4| +5=9
9=9 verdadero46)
|7 x− 12
|<0
|7 x−12
|0 O 7 x−12
> 0
7x <12
7 x>12
x <114
x>114
conjunto solucion es : {x x <114
O X >114 }
69)
|−34m+8 |=|7−3
4m |
−34m+8=7−3
4m m .c .d .=4 O −3
4m+8=−(7−34 m)
−3m+32=28−3m −34m+8=−7+3
4m m .c .d .=4
−3m+3m=28−32 −3m+32=−28+3m0=−4 no definido? −3m−3m=−28−32
−6m−60
5 x=18−10+35 x=11x
¿=115
¿
conjunto solucion es : {10 } m=−60−6
m=10verificacion :¿¿¿
¿
86)
| 5 t−106
|> 53
5 t−106
<−53m .c .d . =6 O¿ 5 t−10<−10 5 t−10>10 ¿5t<−10+10 5 t>10+10
5t<0 5 t>20
t<05
t>205
conj . sol . es : { t | 0<t<4 }
t<0 t>4
Actividad de aprendizaje 2.5.
1. Del texto guía de la pp. 286 resuelva el ejercicio 43:
21) Determine la solución del sistema de desigualdades.
{| x−3 |≤4 ¿ {¿ ¿¿¿
{| x−3 |≤4 (1 ) ¿ {¿ ¿¿¿¿
¿Y
6
5
4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x
-1
-2
-3
-4
-5
2.- Del texto guía de la pp.167 resuelva el ejercicio 25:
25) Determine si la relación dada también es función y proporcione el dominio y el rango.
R={ (1 ;4 ) , (2 ;5 ) , (3 ;6 ) , (2 ;2 ) , (1 ;1 ) }
Domin . : {1,2,3 }Rango : {1,2,3,4,5 }
1 1
2
2 3
4
3 5
6
No es función:
3.- Del texto guía de la página 169 resuelva el ejercicio 51:
51) Evalúe la función en los valores indicados.
g ( x )= x3−2x−2 ; determine: a) g (0 ) y b) g (2 ) .
a ) g (0 )=03−20−2
=−2−2
=1
b ) g (2 )=23−22−2
=8−20
=60
Indefinida¿
¿
4. Del texto guía de la pp. 581 resuelva el ejercicio 86:
86) Estudio y gráfico de la función: f ( x )= x2+x−6
x−4
f ( x )= x2+x−6x−4
A sin tota : f=x2+x−6x−4
x−4=0
x=4 f (8 )=64+8−68−4
=16 .5
x y8 16 .5
f (7 )=49+7−67−4
16.7
7 16 .76 18
f (6 )=36+6−66−4
=18
5 243 −3
f (5 )=25+5−60−4
=24
2 01 1.3
f (3 )=9+3−63−4
=−6
0 1 .5−1 1.2
f (2 )=4+2−62−4
=0
−2 0 .7−3 0
f (1 )=1+1−61−4
=1 .3Domin io : {x /x≠4 }
−4 −0.8 : : : Rango : {El conjunto de los R }: : :
Y
:
30 :
25 :
20 :
15 :
10 :
5 :
:
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x
:
-5 :
-10 :
-15 :
-20 :
-25 :
-30 :
Actividad de aprendizaje 2.6.
1. Del texto guía de la pp. 444 resuelva el ejercicio 51:
51) Si f ( x )= x+1
x+2 y g ( x )= x
x+4 , determine:
a) el dominio de f ( x ) , b) el dominio de g ( x ) ,
f ( x )=x+1¿ x+2 ¿¿
¿ El domin io es :{x x≠−2}¿¿
g ( x )=xx+4
Eldomin io es :{x x≠−4}
c) ( f +g ) (x )
( f +g ) ( x )=x+1x+2
+xx+4
( f +g ) ( x )=( x+4 ) ( x+1 )+x ( x+2 )( x+2 ) ( x+4 )
( f +g ) (x )=x2+x+4 x+4+x2+2 x( x+2 ) ( x+4 )
( f +g ) (x )=2x2+7 x+4
( x+2 ) ( x+4 )
d) el dominio de ( f +g ) (x ) .
( f +g ) (x )=2x27 x+4
( x+2 ) ( x+4 )
El domin io es :{x x≠−2 y x≠−4 }2. Del texto guía de la pp. 479 resuelva los ejercicios 119 y 122:
119) Si le indican que f ( x )=√x y g ( x )=√ x−2 , a) Trace el gráfico de ( f−g ) ( x ) , y explique
como determino su respuesta y b) ¿Cuál es el dominio de ( f−g ) ( x ) ?
( f−g )( x )=√ x−(√ x−2 )
( f−g )( x )=√ x−√x+2( f−g ) ( x )=2
La respuesta se determina realizando la
diferencia de de dos funciones, lo cual
nos dio como resultado y=2
Y
3
2 ( f−g ) ( x )=2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 X
-1
-2
-3
y b) ¿Cuál es el dominio de ( f−g ) ( x ) :
( f−g ) ( x )=2
El domin io es : {x x≥0}122) Estudio y gráfico de la función: f ( x )=√ x2 −4
x y f ( x )=√x2−43 −1 f (3 )=√9−4=−12 −2 f (2 )=√4−4=−21 −3 f (1 )=√1−4=−30 −4 f (0 )=√0−4=−4−1 −3 f (−1 )=√1−4=−3−2 −2 f (−2 )=√4−4=−2
−3 −1 f (−3 ) √3−4=−1Domin io : {conjunto de los R }
Rango :{y y≥−4 }
2
1
-3 -2 -1 1 2 3
-1
-2
-3
-4
-5
3. Del texto guía de la pp. 554 resuelva los ejercicios 63 y 66:
63) Determine todas las intersecciones del eje x en la función: f ( x )=x23−x
13−6
x23−x
13−6=0 Sustituimos : u=x
13
(313)2−x
13−6=0→sea u=x
13 x
13=3 O x
13=−2
u2−u−6=0
(u−3 ) (u+2 )=0 (x13)3=(3 )3 (x
13)2= (−2 )3
u=3 o u=−2 x=27 x=−8
Las int er secciones del eje x son : (−8,0 ) y (27 ,0 )
66) Determine todas las intersecciones del eje x en la función: f ( x )=( x2−6 x )2−5 (x2−6 x )−24
(x2−6 x )2−5 (x2−6 x )−24=0u=x2−6x Sustituimos :u= x2−6 x
u2−6 x−24=0 x2−6 x=8 O x2−6 x=−3x2−6 x−8=0 x2−6 x+3=0
(u−8 ) (u+3 )=0 a=1 ;b=−6 ;c=−2 a=1 ;b=−6 ;c=3
x=6±√36−4 (1 ) (−8 )2
x=6±√36−4 (1 ) (3 )2
u=8 O u=−3 x=6±8 .22
x=6±4 .92
x1=6+8.22
=7 .1 x1=6+4 .92
=5 .5
Las inter sec ciones del eje x son :
(7,1 ; 0 ) ; (−1,1 ; 0 ) ; (5,5 ; 0 ) y (0,6 ; 0 ) x2=6−8,22
=−1.1 x2=6−4 .92
=0,6
Actividad de aprendizaje 2.7.
1.- Del texto guía de la pp. 568 resuelva el ejercicio 14:
14) ¿La función g ( x )=−1
2x2+2 x−7
, tiene un punto máximo o mínimo? Explique.
Si tiene un valor máximo o minimo ya que es una función de la forma
f ( x )=ax2+bx+c
Ya que estas funciones son parabolas que se habren tanto hacia arriba como hacia abajo y tienen un
punto maxmo y un punto miimo
2.- Del texto guía de las pp. 600 y 601 resuelva los ejercicios 19, 33, 71 y 81:
19) Para las funciones f ( x )=x−4 y g ( x )=√ x+5 ; x≥−5 ; determine: a) ( fog ) ( x ) , b) ( fog ) (4 ) , c) (gof ) ( x ) y d) (gof ) (4 ) .
: a) ( fog ) ( x ) b) ( fog ) (4 )
( fog ) ( x )=√ x+5−4( fog ) (4 )=√x+5−4( fog ) (4 )=√9−4( fog ) (4 )=3−4( fog ) (4 )=−1
c) (gof ) ( x )d)
33) Determinar si la función es uno a uno (inyectiva)f ( x )=x2−2 x+5 .
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
X1 1 x2
f ( x )=x−4f [ g ( x ) ]=√ x+5f [ g ( x ) ]=√ x+5−4( fog ) ( x )=f [g ( x ) ]=√x+5−4
(gof ) (4 )(gof ) ( x )=√x+1(gof ) (4 )=√4+1(gof ) (4 )=√5
g ( x )=√ x+5f ( x )=x−4( gof )( x )=√x−4+5( gof )( x )=√x+1
f ( x )=x2−2 x+5x y f (3 )=9−6+5=83 8 f (2)=4−4+5=52 5 f (1 )=1−2+5=41 4 f (0 )=0−0+5=50 5 f (−1 )=1+2+5=8−1 8 f (−2 )=4+4+5=13−2 13
7654321
1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1
xf 1
xf
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-No es función uno a uno
-para cada valor de y le corresponde dos valores de x
71) Para la función uno a uno determine: a) f−1 ( x ) y b) grafique f ( x ) y f
−1 ( x ) en los mismos ejes
si f ( x )=√x−1 ; x≥1 .
a) f−1 ( x )
f ( x )=√x−1 f −1 ( x )=x2+1x y=f ( x ) x y=f −1 ( x )2 1 2 53 1,4 1 24 1,7 0 15 2 −2 51 0 −1 0
f ( x )=√ x−1y=√ x−1( x )2=(√ y−1 )2x2= y−1y−1=x2
y=x2+1f −1 ( x )=x2+1
81) Para el par de funciones inversas, demuestre que ( fof−1) ( x )=x y que ( f−1of ) ( x )=x ; si
f ( x )= 3√ x−2 y f−1 ( x )=x3+2
f ( x )=3√ x−2f −1 ( x )=x3+2
( f o f −1)( x )=3√x3+2−2
( f o f −1)( x )=3√x3
( f o f −1)( x )
f −1 ( x )=x3+2f ( x )=3√ x−2( f −1o f )( x )=( 3√ x−2)3+2( f −1o f )( x )=x−2+2( f −1o f )( x )=x
Actividad de aprendizaje 2.8.
a) Si g ( x )=2 , trace la gráfica de ( f +g ) (x )
f ( x )=√x y g ( x )=2( f +g )( x ) = √x+2x 0 1 2 4
( f +g )( x ) 2 3 3 .4 4
b) ¿Qué sucede si se suma 2 a la gráfica de f ( x ) ?
Sube la gráfica dos unidades en el eje y
Seria la misma grafica de ( f +g )( x )
1. Del texto guía de la pp. 479 resuelva el ejercicio 117:
117
) A partir de la gráfica de f ( x ) = √ x
( f +g )( x )=√x+2
2. Del texto guía de la pp. 611 resuelva el ejercicio 57:
57) Determine el rango de la función: f ( x )=3x−5
3. Del texto guía de la pp. 655 resuelva el ejercicio 14:
14) Determine el dominio de la función: f ( x )=Log2
x3 (x−4 )x+2
f ( x )=Log2x3 ( x−4 )x+2
Domin io : {x x≠−2}Log2 x
3 (x−4 )x+2
3 Log2 x+Log( x−4 )x+2
3 Log2 x+Log2( x−4 )−Log2 (x+2 )
4. Del texto guía de la pp. 608 resuelva el ejercicio 19:
19) Estudio y gráfico de la función: f ( x )=2x−1
x y f ( x )=2x−1
4 8 f (4 )=24−1=83 4 f (3 )=23−1=42 2 f (2 )=22−1=21 1 f (1)=21−1=10 0,5 f (0 )=2−1=0,5−1 0 ,25
x y f ( x )=3x−5
7 9 f (7 )=37−5=96 3 f (6 )=36−5=35 1 f (5 )=35−5=30=14 0 .3 f (4 )=34−5=3−1=0 .33 0 .1 f (3 )=33−5=3−1=0.1
El rango es :{y y >0}
Domin io :{x xconjunto de los R}Rango :{y y }>0
5. Del texto guía de la pp. 617 resuelva el ejercicio 117:
31) Estudio y gráfico de la función: f ( x )=Log2 (x−1 )
y=Log2 (x−1 )x−1=2y
x=2 y+1x y x=20+1=1+1=22 0 x=21+1=2+1=33 1 x=22+1=4+1=55 2 x=23+1=8+1=991 .5
31
x=2−1+1¿
Actividad de aprendizaje 2.9
1. Del texto guía de la página 622 resuelva los ejercicios 45 y 59:
Escriba como logaritmo de una sola expresión:
y=log2 ( x−1)
45) 4 Log63−{2 Log6 ( x+3 )+4 Log6 x }
Log6 34− {Log6 ( x+3 )2+Log6 x
4 }Log6 81− {Log6 ( x+3 )2 x4 }Log6¿
59) Evalúe: 5 ( 3√ 27 )Log35
5 ( 3√ 27 )Log35→5 (3)log
35
como3log
35=5 , tenemos :5(5 )=25
19) 23 x−2=128
23 x−2=27
3 x−2=73 x=7+2x¿x=3
30) 5x=2x+5
2. Del texto guía de la pp. 634 resuelva los ejercicios 19 y 30:
Resuelva las ecuaciones exponenciales sin utilizar calculadora:
log 5x=log 2x+5
x log5=( x+5 ) log2x log5=x log 2+5 log2x log5−x log 2=5 log 2x ( log 5−log2 )=5 log 2
x
¿=5 log 2log 5− log2
¿
x
¿= log25
log52
¿ x¿x¿x¿ x=3 ,78
37) Ln ( x )+ Ln (x+1 )=Ln 12
3. Del texto guía de las pp. 644 y 645 resuelva los ejercicios 37, 43 y 65:
Resuelva las ecuaciones logarítmicas sin utilizar calculadora:
Ln [x ( x−1 )]=Ln 12
Ln(x2−x )=Ln12x2−x−12=0( x−4 )(x+3 )=0x−4=0 x+3=0x=4 x=−3
comprobacion :Ln(x )+ Ln( x−1)=Ln12 Ln( x )+Ln( x−1 )=Ln12Ln(4 )+Ln(4−1 )=Ln12 Ln(3 )+ Ln(3−1 )=Ln12Ln (4 )+Ln(3)=Ln12 Ln(3 )+Ln(2)=Ln12
Ln12=Ln12 Ln6≠Ln12
43) Ln (x2−4 )−Ln ( x+2 )=Ln 4
Ln¿
X2−4x+2
=4 ¿( x+2 ) ( x−2 )( x+2 )
=4
x−2=4x=4+2x=6
Comprobacion :Ln( x2−4 )−Ln ( x+2 )=Ln4Ln (36−4 )−Ln (6+2 )=Ln4Ln (32 )−Ln (8 )−Ln4
Ln(328 )=Ln 4
Ln4=Ln4
65) Despeje la variable “y” de: Ln ( y )−Ln ( x+6 )=5
Ln ( y )−Ln ( x+6 )=5
Ln( yx+6 )=5yx+6
=ℓ5
y= (x+6 ) ℓ5
4. Del texto guía de la pp. 636 resuelva los ejercicios 82, 88 y 89:
82) En el siguiente procedimiento empezamos con una afirmación verdadera y terminamos con una falsa. ¿Puede encontrar el error?
2<3 Verdadero
2 Log (0 .1 )<3 Log (0.1 ) Multiplicar ambos lados por Log (0.1)
Log (0 .1 )2< Log (0 .1 )3 Propiedad 3 de los logaritmos
(0 .1 )2< (0 .1 )3 Propiedad 6d
0 .01< 0 .001 Falso
Resp:El error se da al multiplicar ambos miembros por log(0.1)que representa a x ;es decir
( x<0 )esto comtradize la definición de logaritmo que dice :sea un a un numero real positivo diferente
de uno. El logaritmo de x con base a se define como:
y=Loga x→si y solo si : x=a y
Para todo ( x>0 )
y todo numero real y
88)
{32 x=9 y+1 ¿ {¿ ¿¿¿
Resuelva los sistemas de ecuaciones:
{32 x=9y+1 (1 ) ¿ {¿ ¿¿¿¿
¿Remplazox=5 en (2 )x−2 y=−35−2 y=−3 VERIFICACION :−2 y=−3−5 5−2 y=−3−2 y=−8 5−2 (4 )=−3
y=−8−2
5−8=−3
y=4 −3=−3
89) {Log ( x+ y )=2 ¿ {¿¿¿¿
{Log ( x+ y )=2 (1 ) ¿ {¿¿¿¿¿
¿