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FUNDAMENTOS Y MODELOS MATEMÁTICOS DE LOS SISTEMAS DE

CONTROL

UNIDAD 1

Contenido

• El concepto de realimentación.

• Establecimiento de las ecuaciones diferenciales que rigen a un sistema.

• Función de transferencia.

• Representación por diagramas de bloques.

• Representación por diagramas de flujo.

• Analogías eléctricas de los sistemas de control.

• Linealización.

El concepto de realimentación. Definiciones

• La variable controlada o variable de proceso es la cantidad o condición que se mide y controla.

• La señal de control o variable manipulada es la cantidad o condición que el controlador modifica para afectar el valor de la variable controlada.

• Consigna o referencia, es el valor al cual se desea mantener la variable controlada.

• Controlar significa medir el valor de la variable controlada del sistema y aplicar la variable manipulada al sistema para corregir o limitar la desviación del valor medido respecto del valor del valor de consigna.

• Planta. Una planta puede ser una parte de un equipo, tal vez un conjunto de los elementos de una máquina que funcionan juntos, y cuyo objetivo es efectuar una operación particular, algunos ejemplos son un horno de calefacción, un reactor químico o una nave espacial.

Definiciones

• Proceso son las operaciones que ocurren dentro de la plantan que se va a controlar.

• Sistema es una combinación de componentes que actúan juntos y realizan un objetivo determinado. Un sistema no está necesariamente limitado a los sistemas físicos. El concepto de sistema se puede aplicar a fenómenos abstractos y dinámicos, como los que se encuentran en la economía. Por tanto, la palabra sistema debe interpretarse en un sentido amplio que comprenda sistemas físicos, biológicos, económicos y similares.

• Perturbación es una señal que tiende a afectar negativamente el valor de la salida de un sistema. Si la perturbación se genera dentro del sistema se denomina interna, mientras que una perturbación externa se genera fuera del sistema y es una entrada.

• Control realimentado se refiere a una operación que, en presencia de perturbaciones, tiende a reducir la diferencia entre la variable controlada y el valor de referencia, y lo realiza tomando en cuenta esta diferencia.

Ejemplo 1. Sistema de control de nivel

Referencia

Variable de proceso

Variable de control

Planta

Ejemplo 2. Sistema de control de temperatura

Sistema de lazo abierto

Sistema de lazo cerrado

Ecuaciones diferenciales que rigen a un sistema.

• Modelos matemáticos. Ejemplos de modelos matemáticos son las representaciones el espacio die estados y, la representación mediante la función de transferencia.

• Sistemas lineales. Un sistema se denomina lineal si se aplica el principio de superposición, el cual establece que la respuesta producida por la aplicación simultánea de dos funciones de entradas diferentes es la suma de las dos respuestas individuales.


• Sistemas lineales invariantes y variantes en el tiempo. Una ecuación diferencial es lineal si sus coeficientes son constantes o son funciones sólo de la variable independiente. Los sistemas dinámicos formados por componentes de parámetros concentrados lineales invariantes con el tiempo se describen mediante ecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempo - de coeficientes constantes. Los sistemas que se representan mediante ecuaciones diferenciales cuyos coeficientes son funciones del tiempo, se denominan sistemas lineales variantes en el tiempo.


• 𝑎0𝑦(𝑛)+𝑎1𝑦

(𝑛−1)+⋯+ 𝑎𝑛−1𝑦 +𝑎𝑛y = 𝑏0𝑥𝑚 +𝑏1𝑥

𝑚−1 +⋯+𝑏𝑚−1𝑥 +𝑏𝑚𝑥 (𝑛 ≥ 𝑚)

• 𝑎0(𝑡)𝑦(𝑛)+𝑎1(𝑡)𝑦

(𝑛−1)+⋯+ 𝑎𝑛−1(𝑡)𝑦 +𝑎𝑛(𝑡)y = 𝑏0(𝑡)𝑥

𝑚 +𝑏1(𝑡)𝑥𝑚−1 +⋯+ 𝑏𝑚−1(𝑡)𝑥 +𝑏𝑚(𝑡)𝑥 (𝑛 ≥ 𝑚)

Función de transferencia.

• La función de transferencia de un sistema descrito mediante una ecuación diferencial lineal e invariante en el tiempo se define como el cociente entre la transformada de Laplace de la salida (función de respuesta) y la transformada de Laplace de la entrada (función de excitación) bajo la suposición de que todas las condiciones iniciales son cero.


• Considere el siguiente sistema

𝑎0𝑦(𝑛)+𝑎1𝑦

(𝑛−1)+⋯+ 𝑎𝑛−1𝑦 +𝑎𝑛y = 𝑏0𝑥𝑚 +𝑏1𝑥

𝑚−1 +⋯+ 𝑏𝑚−1𝑥 +𝑏𝑚𝑥 (𝑛 ≥ 𝑚)

Función de transferencia=G(s)=ℒ[𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎]

ℒ[𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎]|𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑜

=𝑌(𝑠)

𝑋(𝑠)=𝑏0𝑠

𝑚+ 𝑏1𝑠𝑚−1 +⋯+ 𝑏𝑚−1s + 𝑏𝑚

𝑎0𝑠𝑛+ 𝑎1𝑠

𝑛−1+⋯+ 𝑎𝑛−1s +𝑎𝑛

Sistema de orden n


• La función de transferencia de un sistema es un modelo matemático porque es un método operacional para expresar la ecuación diferencial que relaciona la variable de salida con la variable de entrada.

• La función de transferencia es una propiedad de un sistema, independiente de la magnitud y naturaleza de la entrada o función de excitación.

• La función de transferencia incluye las unidades necesarias para relacionar la entrada con la salida; sin embargo, no proporciona información acerca de la estructura física del sistema. (Las funciones de transferencia de muchos sistemas físicamente diferentes pueden ser idénticas.)


• Si se conoce la función de transferencia de un sistema, se estudia la salida o respuesta para varias formas de entrada, con la intención de comprender la naturaleza del sistema.

• Si se desconoce la función de transferencia de un sistema, puede establecerse experimentalmente introduciendo entradas conocidas y estudiando la salida del sistema. Una vez establecida una función de transferencia, proporciona una descripción completa de las características dinámicas del sistema, a diferencia de su descripción física.

Representación por diagramas de bloques

• Un diagrama de bloques de un sistema es una representación gráfica de las funciones que lleva a cabo cada componente y el flujo de señales. Tales diagramas muestran las relaciones existentes entre los diversos componentes. A diferencia de una representación matemática puramente abstracta, un diagrama de bloques tiene la ventaja de indicar de forma más realista el flujo de las señales del sistema real

Diagramas de bloques


Ganancia unitaria


R(s): Entrada C(s): Salida E(s): Señal error B(s): Señal de realimentación G(s): Función de transferencia de la trayectoria directa H(s): Función de transferencia de la trayectoria de realimentación

𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑧𝑜 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 =𝐵(𝑠)

𝐸(𝑠)=G(s)H(S)

Función de transferencia de lazo cerrado= 𝐶(𝑠)

𝑅(𝑠)=

𝐺(𝑠)

1+𝐺 𝑠 𝐻(𝑆)

Ejemplo 1

Representación por diagramas de flujo de señal.

• Es un diagrama que representa un conjunto de ecuaciones algebraicas lineales simultáneas.

• Al aplicar este método se transformar las ecuaciones diferenciales lineales en ecuaciones algebraicas en s .


• Consiste en una red en la cual los nodos están conectado por ramas con dirección y sentido.

• Cada nodo representa una variable del sistema • Cada rama conectada entre dos nodos, actúa

como un multiplicador de señal. • La señal fluye en un sentido el cual es indicado

por el sentido de la flecha ubicada en la rama • El factor de multiplicación aparece en la rama. • El gráfico despliega el flujo de señales de un

punto a otro y da las relaciones entre las señales.


• Un gráfico de flujo de señal contiene esencialmente la misma información que un diagrama de bloques.

Definiciones

• Nodo, es un punto que representa una variable o señal.

• Transmitancia, es la ganancia entre dos nodos.

• Rama, es un segmento de línea con dirección y sentido, que une dos nodos.

• Nodo de entrada o fuente, es un nodo que sólo tiene ramas que salen. Esto corresponde a una variable independiente.

• Nodo de salida o sumidero, es nodo que sólo tiene ramas de entrada. Esto corresponde a una variable dependiente.

• Nodo mixto, es un nodo que tiene ramas que llegan y ramas que salen.

Definiciones • Camino o trayecto, es un recorrido de ramas conectadas en

el sentido de las flechas. Si no se cruza ningún nodo más de una vez, el camino o trayecto es abierto. Si el camino o trayecto finaliza en el mismo nodo del cual partió, y no cruza ningún otro más de una vez, es un camino o trayecto cerrado.

• Lazo, es un camino o trayecto cerrado. • Ganancia de lazo, es el producto de las ganancias de ramas

de un lazo. • Lazos disjuntos. Son los que no tienen ningún nodo común. • Trayecto o camino directo, es el camino o trayecto de un

nodo de entrada a un nodo de salida, sin cruzar ningún nodo más de una vez.

• Ganancia de trayecto directo, es el producto de las ganancias de rama de un camino o trayecto directo.

Diagrama de Flujo de Señal

Modelos de sistemas.

• Péndulo

𝑚𝜃 (𝑡) = −𝑚𝑔 sin[𝜃 𝑡 ] −𝛼𝜃 (𝑡) +𝑢(𝑡)

• Donde • m es la masa del péndulo • g es la aceleración de la gravedad • es la constante de fricción • l es la longitud del péndulo • es el ángulo del péndulo

𝜃 (𝑡) = −𝑔 sin 𝜃 𝑡 −𝛼

𝑚𝜃 𝑡 +

1

𝑚𝑢(𝑡)

Sistema no lineal

Tarea: cuales son los puntos de equilibrio del péndulo

Linealización.

• Sistemas no lineales. Un sistema es no lineal si no se aplica el principio de superposición.

• Por tanto, para un sistema no lineal la respuesta a dos entradas no puede calcularse tratando cada entrada a la vez y sumando los resultados.

Linealización.

• Si el sistema opera alrededor de un punto de equilibrio y si las señales involucradas son pequeñas, es posible aproximar el sistema no lineal mediante un sistema lineal.

• Este sistema lineal es equivalente al sistema no lineal, considerado dentro de un rango de operación limitado.

• Tal modelo linealizado (lineal e invariante con el tiempo) es muy importante en la ingeniería de control.

Linealización.

• El procedimiento de linealización que se presenta aquí se basa en el desarrollo de la función no lineal en series de Taylor alrededor del punto de operación y la retención sólo del término lineal.

• Debido a que no se consideran los términos de orden superior del desarrollo en serie de Taylor, estos términos no considerados deben ser suficientemente pequeños; es decir, las variables sólo se desvían ligeramente de la condición de operación. (De otro modo, el resultado sería inexacto.)

Linealización.

• Considérese un sistema cuya entrada es x(t) y cuya salida es y(t). La relación entre y(t) y x(t) se obtiene mediante

• y=f (x)

• Si el punto de equilibrio corresponde a X, Y, entonces la expansión en series de Taylor alrededor de este punto, del modo siguiente:

• 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑋 +𝑑

𝑑𝑥𝑥 − 𝑋 +

1

2!

𝑑2

𝑑𝑥𝑥 − 𝑋 +⋯

Linealización.

• Si la variación x - X es pequeña, se pueden despreciar los términos de orden superior entonces

• 𝑦 = 𝑌 + 𝐾 𝑥 − 𝑋

• Donde

• Y=f(X)

• 𝐾 =𝑑𝑓

𝑑𝑥|𝑥=𝑋

Linealización.

𝑦 − 𝑌 = 𝐾1 𝑥1 − 𝑋1 + 𝐾2 𝑥2 − 𝑋2

Donde

𝑌 = 𝑓(𝑋1, 𝑋2)

𝐾1 =𝜕𝑓

𝜕𝑥1|𝑥1=𝑋1,𝑥2=𝑋2

𝐾2 =𝜕𝑓

𝜕𝑥2|𝑥1=𝑋1,𝑥2=𝑋2

Linealización.

Ejemplo del péndulo Escogeremos el punto donde tanto el ángulo, como la velocidad, la aceleración y la entrada son iguales a cero

𝑌 = 𝑓 0,0,0 = 0

𝐾1 =𝜕𝑓(𝑡)

𝜕𝜃|𝜃=0,𝜃 =0,𝑢=0 = −𝑔

𝜃 𝑡 = 𝑓 𝑡 = −𝑔 sin 𝜃 𝑡 −𝛼

𝑚𝜃 𝑡 +

1

𝑚𝑢(𝑡)

𝐾2 =𝜕𝑓(𝑡)

𝜕𝜃 |𝜃=0,𝜃 =0,𝑢=0 = −

𝛼

𝑚

𝐾3 =𝜕𝑓(𝑡)

𝜕𝑢|𝜃=0,𝜃 =0,𝑢=0 =

1

𝑚

𝜃 𝑡 = −𝑔 𝜃(𝑡)−𝛼

𝑚𝜃 𝑡 +

1

𝑚𝑢(𝑡)

Pregunta: Cual es la función de transferencia del sistema linealizado del péndulo

Matlab

Referencias

• OGATA, KATSUHIKO. INGENIERÍA DE CONTROL MODERNA. Quinta edición. Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A. 2010.

• Miguel Indriago. Modelado de Sistemas de Producción. Universidad de los Andes. 2006.

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