Prof. M. Ruiz

Precálculo

Grados y radianes:

Un grado, representado por el símbolo (°), es una unidad de medición angular igual a

1/180 del ángulo que se forma con la línea horizontal. En el sistema DMS (Degrees –

Minutes - Seconds, grados – minutos – segundos) de la medida angular, cada grado

está subdividido en 60 minutos (simbolizados con ‘) y cada minuto esta subdividido en

60 segundos (simbolizados con “)

Ejemplo 1: convertir 37.425° al sistema DMS. Y convertir 42°24’36” a decimales.

Solución: (discusión en la clase)

Definición de radián:

Un ángulo central de un círculo mide 1 radián se interseca un arco cuya longitud mide

lo mismo que el radio. (Un radián es 180/π grados, o alrededor de 57.296° o 57°17’45.6”)

Conversión de grados a radianes y viceversa

Para convertir radianes a grados, se multiplica por (ejemplos en clase)

Para convertir grados a radianes, se multiplica por

Longitud de un arco circular

Fórmula de la longitud de un arco (medido en radianes)

Si (letra griega theta) es un ángulo central en un círculo de radio r y si se mide

en radianes, entonces la longitud, s, del arco intersecado se obtiene mediante la

fórmula:

Fórmula de la longitud de un arco (medido en grados)

Si (letra griega theta) es un ángulo central en un círculo de radio r y si se mide

en grados, entonces la longitud, s, del arco intersecado se obtiene mediante la

fórmula:

Área de un sector circular (recortado de un círculo), mediante el ángulo central θ En

radianes

(Cuando el ángulo esta medido en grados)

Velocidad Angular

La velocidad angular es una medida de la velocidad constante de rotación . Se define

como el ángulo (θ) girado por una unidad de tiempo (t) y se designa mediante la letra

griega ω (letra griega omega minúscula). Su unidad en el Sistema Internacional (SI) es

el radián por segundo (rad/s).

En un movimiento circular uniforme, dado que una revolución completa representa 2π radianes, tenemos:

Donde T es el período (tiempo en dar una vuelta completa) y f es la frecuencia (número de revoluciones o vueltas por unidad de tiempo).

Si v es la velocidad de un punto y r es su distancia al eje de rotación (radio), el periodo también se puede obtener a partir de la velocidad:

De modo que: (ω velocidad angular en radianes por unidad de tiempo)

(Velocidad lineal en términos de velocidad angular)

Aunque se la define para el movimiento de rotación del sólido rígido, también se la

emplea en la cinemática de la partícula o punto material, especialmente cuando ésta se

mueve sobre una trayectoria cerrada (circular, elíptica, etc.).

Velocidad lineal

Nota: la velocidad lineal mide cuán rápido una partícula se mueve, y la velocidad

angular mide cuán rápido el ángulo cambia.

Ejemplos:

1. Longitud de arco: Un círculo tiene un radio de 10 pulgadas. Encontrar el largo de

arco intersecado por un ángulo central de 120°.

Solución: la fórmula s=rθ se puede utilizar solamente si el ángulo es

expresado en radianes. Empezamos por convertir 120° a radianes

multiplicándolo por π180°

; 120 °( π180° )=2π3 radianes.

Entonces se puede utilizar la fórmula s=rθ y sustituimos

s=rθ=(10 pulgadas )( 2π3 )=20π3 pulgadas ≈20.94 pulgadas .

2. Velocidad angular: El “hard drive” en una computadora rota a 3600 revoluciones

por minuto. Esta velocidad angular, expresada en revoluciones por minuto

también se puede expresar en, revoluciones por segundo, radianes por minuto y

radianes por segundo. Utilizando 2π radianes = 1 revolución, expresamos la

velocidad angular del disco duro en radianes por minuto como sigue:

3600 rev1minuto

∙2π radianes1 rev

=7200π radianes1minuto

3. Velocidad lineal: Un molino de viento es utilizado para generar electricidad, tiene

unas aspas de 10 pies de largo. El motor rota a 4 revoluciones por segundo.

Encuentre la velocidad lineal, en pies por segundo, en la punta de las aspas.

Solución: el ejercicio nos da el dato de la velocidad angular ω = 4 rev/seg.

Utilizando la formula de v=rω para encontrar la velocidad lineal, antes de

aplicar la fórmula, debemos expresar ω en radianes por segundo

ω=4 revoluciones1 segundo

∙2 π radianes1 revolución

=8π radianes1 segundo

La velocidad angular del motor es de 8π radianes por segundo. La velocidad

lineal es:

v=rω=10 pies∙ 8π1 segundo

= 80π1 segundo