fundamentos de logica

FUNDAMENTOS DE LOGICA MATEMATICA Por: Wilson Arias Centro de estudios heisenberg Quito - Ecuador [email protected]

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CONTENIDO1.1 Introduccin .................. 1.2 Proposiciones .......................................................... 1.3 Tipos de proposiciones .................................. 1.4 Conectivos lgicos ......................................... 1.5 Tautologas, Contradicciones y Contingencias ..................................... 1.6 Principales leyes tautolgicas ........................ 1.7 La inferencia lgica o argumento lgico ........ 1.8 Inferencias vlidas notables .......................... 1.9 Mtodo abreviado ................. 1.10 Lgica cuantificacional .... 1.11 Mtodos de demostracin ............................ 2 2 2 3 5 7 9 9 11 23 26

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1. LOGICA MATEMATICA1.1. INTRODUCCINLa lgica estudia la forma del razonamiento (a lo que se le denomina lgica formal), es una disciplina que por medio de reglas y tcnicas determina si un argumento es vlido, sin importar la verdad o falsedad de los enunciados que lo componen. La lgica es ampliamente aplicada en la filosofa, matemticas, computacin, fsica. En la filosofa para determinar si un razonamiento es vlido o no, ya que una frase puede tener diferentes interpretaciones, sin embargo la lgica permite saber el significado correcto. En las matemticas para demostrar teoremas e inferir resultados matemticos que puedan ser aplicados en investigaciones. En la computacin para revisar programas. En general la lgica se aplica en la tarea diaria, ya que cualquier trabajo que se realiza tiene un procedimiento lgico, por ejemplo; si una persona desea pintar una pared, este trabajo tiene un procedimiento lgico, ya que no puede pintar si antes no prepara la pintura, o no debe pintar la parte baja de la pared si antes no pint la parte alta porque se manchara lo que ya tiene pintado, todo esto es la aplicacin de la lgica.

1.2. PROPOSICIONESUna proposicin o enunciado es una oracin que puede ser calificada como falsa o verdadera pero no ambas a la vez. Las proposiciones se indican por medio de una letra minscula, dos puntos y la proposicin propiamente dicha. EJEMPLOS p: La tierra es redonda. Es una proposicin pues podemos razonar si es verdadero o falso q: -15 + 30 = 15 Es una proposicin pues podemos decir si esta igualdad es verdadera o falsa r: x > y - 9 No es proposicin. Pero si le asignamos un valor a las variables se convierte en una proposicin.

s: El Nacional ser campen en este ao. Es una proposicin, aunque para determinar si es verdadera o falsa es necesario esperar que termine el campeonato

t: Adis No es una proposicin, no se puede determinar si es verdadera o falsa

w: Lava el coche por favor. No es una proposicin, no se puede determinar si es verdadera o falsa

1.3. TIPOS DE PROPOSICIONESa) PROPOSICIONES SIMPLES: Son aquellas que no contienen ningn conectivo lgico o trmino de enlace (y, o, no, etc.) Ejemplo: 7 es nmero impar

b) PROPOSICIONES COMPUESTAS O MOLECULARES: Son proposiciones que contienen al menos un conectivo lgico. La forma de las proposiciones compuestas depende del trmino de enlace utilizado, y no del contenido de la proposicin o proposiciones simples. Ejemplo: 9 es un nmero impar y Guayaquil es la capital de la provincia del Guayas. Si 9 es nmero impar entonces 8 es un nmero par

VALOR DE VERDAD DE UNA PROPOSICION: Se denomina as a la verdad o falsedad de su contenido

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1.4. CONECTIVOS LOGICOSSon expresiones que sirven para unir dos o ms proposiciones, siendo los ms importantes los que se detallan a continuacin.

1. NEGACION ( ~ ): Dada una proposicin P, entonces la negacin de P es otra proposicin a la que se le antepone la palabra no o no es cierto. La notacin matemtica utilizada es ~P. TABLA DE VERDAD P V F EJEMPLO Quito es fro (V), entonces la negacin es: Quito no es fro (F) Cuando la palabra "no" se encuentra en el interior de una proposicin simple, puede pasar inadvertida, pero se trata de una proposicin compuesta. Ejemplo: El da no est caluroso; Puede presentarse como: No ocurre que el da est caluroso ~P F V

2. DISYUNCION ( v ): Es un conectivo lgico que unes dos proposiciones simples para formar una proposicin compuesta; la unin se realiza con nexo o cuyo smbolo es v, es decir p v q que se lee p o q. TABLA DE VERDAD P V V F F EJEMPLO: Hallar el valor de verdad de:P :: 3 + 2 = 5 Q:: Ambato es la capital del Ecuador.

Q V F V F

PvQ V V V F

La primera proposicin es verdadera y la segunda es falsa, entonces: V v F= V ( De acuerdo a la tabla V v F= V )

EJEMPLO La expresin: Es tarde o est muy oscuro, tambin puede expresarse como: O es tarde o est muy oscuro. En este ltimo caso las dos "o" son parte del mismo trmino de enlace y la forma de la proposicin es: P o Q. 3. CONJUNCION ( ): Es un conectivo lgico que une dos proposiciones simples para formar una proposicin compuesta; la unin se realiza con nexo y cuyo smbolo es , es decir P Q que se lee P y Q. TABLA DE VERDAD P V V F F EJEMPLO: Hallar el valor de verdad de:P :: 3 > 2 y Q:: Loja est ubicada en el norte del Ecuador.

Q V F V F

PQ V F F F

La primera proposicin es verdadera y la segunda es falsa entonces: V F=F ( De acuerdo a la tabla V F=F )

Nota: Hay palabras como pero, sin embargo, adems, aunque, no obstante, a la vez, ,, etc. que tambin unen proposiciones conjuntivamente y se pueden simbolizar por .

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4. CONDICIONAL ( ): Si p y q son proposiciones, el conectivo lgico condicional o implicacin nos da una nueva proposicin P Q que se lee P entonces Q o P condicin Q o si P, entonces Q. La proposicin P Q por definicin equivale ~P v Q. A la expresin P se le denomina antecedente y a Q consecuente. TABLA DE VERDAD P V V F F EJEMPLO: Hallar el valor de verdad de:P :: 3 2 = 1 y Q:: Sebastin de Benalcazar fund la ciudad de Quito.

Q V F V F

P Q V F V V

Solucin: La implicacin quiere decir que si 3 2 = 1 entonces Sebastin de Benalcazar fund la ciudad de Quito. P es verdadera (V) ; Q es verdadera (V) , entonces: EJEMPLO: Si madrugo entonces llego temprano. En este ejemplo puede suprimirse la palabra "entonces" y reemplazarse por una "," as: Si madrugo, llego temprano. Nota: Tambin son conectivos condicionales los trminos por que, puesto que, ya que, cuando, cada vez que, etc. 5. BICONDICIONAL ( ): La doble implicacin o bicondicional de dos proposiciones P y Q, es la proposicin compuesta mediante el conectivo lgico si y solo si que se simboliza como P Q o lo que es lo mismo ( P Q Q P ) . TABLA DE VERDAD P V V F F Q V F V F PQ V F F V V V = V ( De acuerdo a la tabla V V = V)

6. DISYUNCION EXCLUSIVA ( o v ): La disyuncin exclusiva de dos proposiciones P y Q, es la proposicin compuesta mediante el conectivo lgico o que se simboliza como PQ o tambin P v Q, lo que es equivalente a

(p q) ~ (p q) .TABLA DE VERDAD P V V F F Q V F V F PQ F V V F

7. BARRA DE SHAFFER O DE INCOMPATIBILIDAD ( | ): Siendo p y q dos proposiciones cualesquiera, la proposicin de shaffer respecto a p y q se denota p | q y se lee p incompatible con q. TABLA DE VERDAD P V V F F Q V F V F P|Q F V V V

La proposicin de Shaffer es la negacin de la conjuncin, ed.: p | q = ~ (p q)

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8. FLECHA DE NICOD O DE NEGACION CONJUNTA ( ): Siendo p y q dos proposiciones cualesquiera, la proposicin de Nicod se simboliza: p q y se lee ni p ni q. TABLA DE VERDAD P V V F F Q V F V F P|Q F F F V

La proposicin de Nicod es la negacin de la disyuncin, ed.: p q =~ (p q)

PRECEDENCIA DE LOS CONECTIVOS LOGICOS Si una proposicin compuesta tiene varios conectivos lgicos y no posee signos de puntuacin o parntesis, para poder operar es necesario considerar el siguiente orden: ( ~, , , v , , ) y agrupar para evitar ambigedades. EJEMPLO:p q ~ q equivale a (p q) (~ q)

1.5. TAUTOLOGIAS, CONTRADICCIONES Y CONTINGENCIASEvaluar una frmula proposicional es determinar el grado de validez de la misma para sus distintos valores. Los tres casos son.

a)

TAUTOLOGIA a) P v ~P V ~P F V P v ~P V V b) P P V P V F P V FPP

Son proposiciones compuestas que siempre son verdaderos cualquiera que sea el valor de las proposiciones componentes. Ejemplos: P V F

V V

b)

CONTRADICCIONES a) P~P F ~P F V P ~P F F b) ~P P F ~P F V P V FPP

Son proposiciones compuestas que siempre son falsas cualquiera que sea el valor de las proposiciones componentes. Ejemplo: P V F

F F

c)

CONTINGENCIAS a) P Q Q V F V F PQ V F F F

Son proposiciones compuestas que en algunos casos son verdaderas y en otros casos son falsas. Ejemplo: P V V F F

IMPLICACION LOGICA: Se denomina as a toda proposicin condicional P Q que sea una tautologa. EQUIVALENCIA LOGICA: Se denomina as a toda proposicin bicondicional P Q que sea una tautologa. PROPOSICIONES LOGICAMENTE EQUIVALENTES: Cuando las tablas de verdad de dos proposiciones P y Q son idnticos se denominan equivalentes (o lgicamente equivalentes) en tal caso se simboliza en la forma P Q.

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EJEMPLO 1Use la tabla de verdad para decidir si la siguiente proposicin es una tautologa, contradiccin o contingencia ~(p ~q) (p ~q) Solucin p q ~q (p ~q) ~(p ~q) (p ~q) ~(p ~q) (p ~q) 1 1 0 1 1 1 0 1

1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 En conclusin, se trata de una contingencia

EJEMPLO 2Halle el valor de verdad de la siguiente proposicin: [(p v q) r] ~q p p 1 1 1 1 0 0 0 0 q 1 1 0 0 1 1 0 0 r 1 0 1 0 1 0 1 0 (p v q) 1 1 1 1 1 1 0 0 (p v q) r 1 0 1 0 1 0 0 0 ~q 0 0 1 1 0 0 1 1 ~q r 0 0 1 0 0 0 1 0 [(p v q) r] ~q p 0 1 1 1 0 1 1 1

Se trata de una contingencia

EJEMPLO 3Use la tabla de verdad para decidir si la siguiente proposicin es una tautologa, contradiccin o contingencia [~p (p q)] q p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 ~p 0 1 0 1 p q 1 0 1 1 ~p (p q) 0 0 0 1 [~p (p q)] q 1 1 1 0

De la tabla se concluye que se trata de una contingencia

EJEMPLO 4Use la tabla de verdad para decidir si la siguiente proposicin es una tautologa, contradiccin o contingencia [p ( { ( r t) v q } p) ]

( p ( t p ) ) t p 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 p (t p) 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 Exp 1 Exp 2 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

p q r t (r t) (r t) v q [(r t) v q] p p [(r t) v q] p 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 Se concluye que la expresin es una contingencia

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1.6. PRINCIPALES LEYES LOGICAS Y TAUTOLOGICASPRINCIPIOS LOGICOS

Ley de Identidadpp p p Una proposicin solo son idnticos a s mismos

Ley de no contradiccin~ ( p ~ p ) Una proposicin no puede ser verdadero y falso a la vez

Ley del tercio excluido( p ~ p ) Una proposicin es verdadera o falsa, no hay tercera posibilidad

EQUIVALENCIAS NOTABLES

Ley de la doble negacina) ~ (~ p) p

Ley de idempotenciaa) (p p) p b) (p p) p

Ley conmutativaa) (p q) (q p) b) (p q) (q p) c) (p q) (q p)

Ley asociativaa) p (q r) (p q) r b) p (q r) (p q) r c) p (q r) (p q) r

Ley distributivaa) p (q r) (p q) (p r) d) p (q r) (p q) (p r) b) p (q r) (p q) (p r) c) p (q r) (p q) (p r)

Leyes De Morgana) ~ (p q) (~ p ~ q) b) ~ (p q) (~ p ~ q)

Leyes del condicionala) p q ~ p q b) ~ (p q) (p ~ q)

Leyes del bicondicionala) p q (p q) (q p) b) p q (p q) (~ p ~ q) c) p q ~(p v q)

Leyes de Absorcina) p (p q) p d) p (~ p q) p q b) p (p q) p e) p (p ~ q) p c) p (~ p q) p q f)p (p ~ q) p

Leyes de transposicina) p q ~ q ~ p b) p q ~ q ~ p

Leyes de Exportacina) (p q) r p (q r) b) (p1 p 2 .....p n ) r (p1 p 2 .....p n 1 ) (p n r)

Leyes de Complementacina) p ~ p V b) p ~ p F

Elementos neutros para la conjuncin y disyuncina) p V p c) p V V b) p F F d) p F p

Diferencia Simtricaa) p q (p q) ~ (p q)

Otrasa) (p q) (p ~ q) p b) (p q) (p ~ q) p c) p ( p q ) V

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9 EJEMPLO 2 Reducir la expresin: (p q) (p q) Solucin:(p q) (p q)

EJEMPLO 1 Reducir la expresin: [(p q) q] p Solucin:[(p q) q] p ~[(p q) q] p [~(p q) ~ q] p [(p~q) ~ q] p [~q (~q p)] p (~q) pqp

Ley del condicional Ley de Morgan Ley del condicional Ley conmutativa Ley de absorcin Ley del condicional

~(p q) (p q) (~p ~ q) (p q) (~p p) (~ q q)

Ley del condicional Ley de Morgan Ley asociativa Ley de complementacin Ley de idempotencia

VV V

EJEMPLO 3 Reducir la expresin: (p q) p Solucin:(p q) p ~(p q) p (~p ~ q) p (~p p) ~ q

EJEMPLO 4 Simplificar la siguiente proposicin: (~ p ~ q) p Solucin:

(~ p ~ q) pLey del condicional Ley de Morgan Ley asociativa Ley de elementos neutros Ley de elementos neutros

[(~ p ~ q) (~ q ~ p)] p Ley bicondicional ~ [(p ~ q) (q ~ p)] p [~ (p ~ q) ~ (q ~ p)] p [(~ p q) (~ q p)] p (~ p q) [(~ q p) p] (q ~ p) pLey condicional De Morgan De Morgan Asociativa Absorcin Absorcin

V ~ q V

pqEJEMPLO 5 Reducir la expresin: ([p (p q)] q) (p q) Solucin:([p (p q)] q) (p q) ([~p (p q)] q) (p q)

EJEMPLO 6 Reducir la expresin: (p ~ q) (~ p ~ q) Solucin:

(p ~ q) (~ p ~ q)Ley del condicional

~ (p ~ q) (p ~ q) (~ p q) (p ~ q) [(q ~ p) p] ~ q (q p) ~ q p (q ~ q) pV

Ley del condicional Ley de Morgan Ley asociativa Ley de absorcin Ley asociativa Elemento neutro Elemento neutro

([(~p p) q)] q) (p q) Ley asociativa ([V q)] q) (p q) (V q) (p q)

Ley de complementacin Ley de elementos neutros Ley de elementos neutros Ley del condicional Ley asociativa Ley de elementos neutros Ley de elementos neutros

q (p q) q ~ (p q) (q ~ p) q Vq V

V

EJEMPLO 7 Simplificar la expresin: p ~ q ~ p Solucinp ~ q ~ p (p ~ q) ~ p ~(p ~ q) ~ p Agrupamiento y ley del condicional (~p q) ~ p q (~p ~ p) q ~p pq

Ley de Morgan y asociativa Ley de idempotencia Ley del condicional

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1.7. EL RAZONAMIENTO O INFERENCIA LOGICA (LOGICA INFERENCIAL)La idea de inferencia se puede expresar diciendo que, de proposiciones verdaderas (premisas verdaderas) se obtienen solo conclusiones que son verdaderas. Todo problema que se resuelve usando inferencia lgica tiene la forma:(p1 p 2 ...... p n ) q o tambin:

,

p1 , p 2 , ......, p n q

donde las proposiciones p1, p2, . Pn se llaman premisas y que originan como consecuencia otra proposicin q llamada conclusin, la cual tambin se llama argumento lgico.

VALIDEZ DE UNA INFERENCIA La lgica se ocupa principalmente de establecer una clara distincin entre razonamientos vlidos y razonamientos invlidos. Los razonamientos vlidos son aquellos en los que la inferencia entre las premisas y la conclusin es perfecta. Por tanto, lo esencial para determinar si un argumento es o no vlido es analizar su forma o estructura (independientemente de su contenido material). A continuacin proporcionamos tres formas equivalentes de establecer este criterio de validez: Si las premisas de un argumento vlido son verdaderas, entonces su conclusin tambin es verdadera. Es imposible que la conclusin de un argumento vlido sea falsa siendo sus premisas verdaderas. En un argumento vlido, la verdad de las premisas es incompatible con la falsedad de la conclusin En este contexto tambin consideraremos que las premisas, en tanto que conjuntos de proposiciones, son verdaderas slo cuando todas y cada una de ellas sean verdaderas, y que son falsas cuando al menos una de ellas sea falsa.

A continuacin tenemos un razonamiento que es vlido pero materialmente falso. A la lgica slo le importa la validez formal. Todos los burros vuelan". "Platero es un burro". Luego "Platero vuela". Cuando un argumento no es vlido, entonces es invlido; en este caso es posible que la conclusin sea falsa mientras que las premisas son verdaderas. Incluso puede ocurrir que en un argumento invlido (la inferencia es incorrecta) las premisas sean verdaderas y la conclusin sea verdadera o falsa. Fjate que la validez de la inferencia de un argumento deductivo es independiente de la verdad de sus premisas, pero que slo podemos garantizar la verdad de la conclusin haciendo una inferencia vlida a partir de premisas verdaderas.

Para saber si un razonamiento es o no vlido sin necesidad de traducirlo al lenguaje natural se pueden usar tablas de verdad, o las leyes lgicas (inferencias vlidas).

1.8. INFERENCIAS VALIDAS NOTABLES Ley de Modus Ponendo Ponens: [(p q) p] qP1 : pq p q P2 :

Tambin se escribe como:

Ley de Modus Tollendo Tollens: [(p q) (~ q)] (~ p)P1 : p q P2 : ~q ~p


Ley del Silogismo Hipottico: [(p q) (q r)] (p r)P1 : p q P2 : q r pr


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11 a) [(p q) (~ p)] qP1 : pq

Ley Mdus Tollendo Ponens:

b) [(p q) (~ q)] pP1 : p q P2 : ~q p


P2 : ~ p q

Ley del Silogismo disyuntivo: [(p q) (r s) (p r)] (q s)P1 : p q P2 : r s P : p r Tambin se escribe como: 3 qs P1 : p q P2 : r q P3 : p r q

Caso particular:

Ley de Simplificacin o eliminacin de la conjuncin: a) p q pTambin se escribe como:P1 : p q p P1 : p q q

b) p q q

Ley de Simplificacin conjuntiva: a) (p q) q pP1 : pq q p P2 :

b) (p q) p qP1 : p q P2 : p q


Ley de Adjuncin o adicin de la conjuncin: a) (p, q) p qP1 : p P2 : q p q

b) (q, p) q pP1 : q P2 : p q p

EJEMPLO 1 Demostrar la siguiente conclusin r ~ q a partir de las premisas. P1: ~ (r s) P2: q s Solucin P1: ~ (r s) ~ r ~ s r ~ s P2: q s ~ s ~ q En conclusion P1: r ~ s P2: ~ s ~ q C1:

r~q

Ley de Silogismo Hipottico

EJEMPLO 2 Hallar la siguiente conclusin: q p , a partir de las premisas: P1: p q p P2: q p Solucin P1: p q p ~ (p q) p (~ p ~ q) p ~ q p Entonces: P1: ~ q p P2: q p C1: ~ q p Por ley simplificacin C1: q p Ley condicional EJEMPLO 3 Demostrar la siguiente conclusin: ~ p r , a partir de las premisas: P1: p ~ s P2: ~ r s

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Solucin P1: p ~ s ~ p ~ s Ley condicional P2: ~ r s ~ s r Ley de transposicin Entonces P1: ~ p ~ s P2: ~ s r C1: ~ p r Silogismo hipottico EJEMPLO 4 Resolver el siguiente razonamiento P1: ~ p ~ t s P2: ~ (p t) Solucin: P1: ~ p ~ t s P2: ~ (p t) Entonces P1: (p t) s P2: ~ (p t) C1: s Silogismo disyuntivo

~ (~ p ~ t) s (p t) s

1.9. METODO ABREVIADOConforme las inferencias aumentan en nmero de variables y conectivos, tambin aumenta la complejidad de los mismos, haciendo cada vez ms difcil su resolucin, por ello aparte de la tabla de valores, existe otra forma de conocer la validez de una inferencia (p1 p 2 ...... p n ) q que se conoce como mtodo abreviado. Este mtodo consiste en analizar la nica posibilidad de ser falsa la implicacin p q , es decir:

En otras palabras la implicacin es falsa solo cuando el antecedente es verdadero (V) y el consecuente es falso (F). Los pasos a seguir son: 1. Se asigna el valor de verdad V a cada una de las premisas (p1 p 2 ...... p n ) y falso (F) a la conclusin.

2. Se deduce el valor de cada una de las variables proporcionales teniendo en cuenta las reglas , v, presentar en cada premisa.

, ~ que se puedan

3. Si cada una de las variables proporcionales tiene un solo valor, entonces la inferencia no es vlida, ya que la conjuncin de premisas es V y la conclusin es F. 4. Si una variable proporcional llega a tener dos valores a la vez ( V v F), entonces quedar demostrado que no es posible que la conjuncin de premisas sea V y la conclusin F, por lo tanto hay implicacin y la inferencia es vlida.

EJEMPLO: Analice la inferencia [(p q) q] p Solucin:

Analizando cada premisa Donde: p es F y q es V

Como podemos observar, p siempre es falsa y q siempre es verdadera, no hay contradiccin por lo tanto no es una inferencia vlida.

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EJERCICIOS RESUELTOSEJERCICIO 1Simbolizar las proposiciones siguientes, utilizando los smbolos correspondientes a cada trmino de enlace. a) En el hemisferio sur, julio no es un mes de verano. Solucin: P: En el hemisferio sur Q: Es verano en Julio Entonces tenemos: P ~ Q

b) Si dos ondas se atraviesan, pierden su forma original. Solucin: P: Dos ondas se atraviesan Q: Conservan la forma original Entonces tenemos: P ~ Q

c) O Jaime no es puntual o Toms llega tarde. Solucin: P: Jaime es puntual Q: Tomas llega tarde Entonces tenemos: ~ P Q

d) Ni Antonio ni Ana estudian en la Universidad. Solucin: P: Antonio estudia en la Universidad Q: Ana estudia en la Universidad Entonces tenemos: ~ P ~ Q

e) O Pedro es presidente y Juan es tesorero, o Jaime es tesorero. Solucin: P: Pedro es Presidente Q: Juan es tesorero R: Jaime es tesorero Entonces tenemos: (P Q) R

f)

Si este cuadro es negro entonces aquel cuadro es rojo y su rey est sobre el cuadro rojo. Solucin: P: Cuadro negro Q: Cuadro rojo R: Rey sobre cuadro rojo Entonces tenemos: P (Q R)

g) Patinaremos si y slo si el hielo no es demasiado delgado. Solucin: P: Patinaremos Q: El hielo es demasiado delgado Entonces tenemos: P ~ Q

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EJERCICIO 2Escribir las correspondientes sentencias lgicas para las siguientes frases:

a) Una relacin es una relacin de equivalencia si y slo si es reflexiva, simtrica y transitiva. Solucin: Sean: p:: la relacin R es relacin de equivalencia; q:: la relacin R es reflexiva, simtrica y transitiva; As : p q

b) Si la humedad es alta, llover esta tarde o esta noche. Solucin: Sean: r:: la humedad es alta; s:: llover esta tarde ; t:: llover esta noche; As:r (s t)

c) El cncer no se cura al menos que se determine su causa y se encuentre un nuevo frmaco. Solucin: Sean: u:: el cncer se cura; w:: se determina la causa; x:: se encuentra un nuevo frmaco; As: ~ u (w x)

d) Se requiere valor y preparacin para escalar esta montaa. Solucin: Sean: y:: se requiere valor; z:: se requiere preparacin; a:: se escala esta montaa; As: (z y) a

e) Si es un hombre que hace una campaa dura, probablemente ser elegido. Solucin: Sean: b:: es un hombre que hace una campaa dura; c:: es un hombre que probablemente ser elegido; As:: b c

f)

Si un matrimonio feliz me espera, entonces recibir muchos regalos o saldr del pas. Pero no saldr del pas. En consecuencia si no saldr del pas, entonces no me espera un matrimonio feliz o me es indiferente la vida. Solucin: Sean: p:: un matrimonio feliz me espera q:: recibir muchos regalos s:: me es indiferente la vida r:: saldr del pas As:: {[p (q r)] ~ r } [~ r (~ p s)]

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EJERCICIO 3Si P , Q , R , S designan las proposiciones: P: Juan viaj en el avin de las 8 a.m. Q: Pedro lleg a tiempo al aeropuerto. R: El proyecto se expuso ante la junta directiva. S: El vuelo se retras Expresar en el lenguaje ordinario las siguientes proposiciones:P ((Q R) S)

a)

Solucin: Juan viaj en el avin de las 8 a.m. y, si Pedro lleg a tiempo al aeropuerto entonces el proyecto se expuso o el vuelo se retras. b) (P (Q R)) S Solucin: O Juan viaj en el avin de las 8 a.m. y, si Pedro lleg a tiempo al aeropuerto entonces el proyecto se expuso ante la junta directiva, o el vuelo se retras.((P Q) R) S

c)

Solucin: O Juan viaj en el avin de las 8 a.m. y Pedro lleg a tiempo al aeropuerto, entonces el proyecto se expuso ante la junta directiva, o el vuelo se retras.

EJERCICIO 4Con la siguiente asignacin de significados para las variables proposicionales: p:: necesita un doctor q:: necesita un abogado r:: tiene un accidente s:: est enfermo u:: es injuriado expresar en espaol las siguientes sentencias: a) (s p) (r q) b) p (s u) c) (p q) r d) (p q) (s u) e) ~ (s u) ~ p Solucin: a) Si est enfermo necesita un doctor y si tiene un accidente necesita un abogado. b) Si necesita un doctor, est enfermo o es injuriado. c) Si necesita un doctor y un abogado, tiene un accidente. d) Necesita un doctor y un abogado, si y slo si est enfermo y es injuriado. e) Si, ni est enfermo ni es injuriado, no necesita un doctor. (Es obvia la aplicacin de una de las leyes de Morgan).

EJERCICIO 5Determinar el valor de verdad de los siguientes enunciados a) No es verdad que 3+2=6 o que 3+1=4. Solucin: Sea: p:3+2=6 y q: 3+1=4. Luego p es falso y q es verdadero, entonces p v q es verdadero por lo tanto ~(pvq) es falso. b) 4 es nmero par si solo si 3 es nmero primo Solucin: Sea: p: 4 es nmero par y q: 3 es nmero primo. Luego p es verdadero y q es verdadero, entonces p q es verdadero.

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EJERCICIO 6Demostrar que se puede concluir p si se conoce las siguientes premisas: (p ~ r) p , ~(q v ~r), q. P1: (p ~ r) p ~ (p ~ r) p (~ p r) p p r ~ r p P2: ~(q v ~r) (q ~ r) (q ~ r) (~ r q) P3: q 4) q ~ r Ley de simplificacin de la conjuncin en P2. 5) ~r 6) p Ley M.P.P entre 4 y P3. Ley M.P.P entre P1 y 5.

EJERCICIO 7Para cada una de las siguientes sentencias comprobar si son tautologas, contradicciones o indeterminaciones: a) ~ (~ p) p b) p (p q) c) ~ (s q) ~ q d) (p q) p e) (p q) (~ q ~ p) Solucin: a) ~ (~ p) p ; p p es tautologa; b) p (p q) Si p=V y q=F tenemos que: V (V F) V F F Si p=V y q=V tenemos que: V (V V) V V V En conclusin la proposicin es indeterminada c) ~ (s q) ~ q Si s=V y q=V tenemos que: ~ (V V) ~ V ~ (V) F F F F Si p=V y q=F tenemos que: ~ (V F) ~ F ~ (V) V F V V En conclusin la proposicin es indeterminada d)(p q) p

Si p=V y q=V tenemos que: (V V) V (V) V V Si p=F y q=V tenemos que: (F V) F (V) F F En conclusin la proposicin es indeterminada e)(p q) (~ q ~ p)

(p q) (p q)

es tautologa.

EJERCICIO 8Comprobar la validez de las siguientes sentencias a) (p q) (q p) Solucin:(p q) (q p)

(~ p q) (~ q p)

(~ p p) (~ q q)

VV

V Es una tautologa

b) (p ~ q) ~ (p q) Solucin:(p ~ q) ~ (p q)

(~ p ~ q) (~ p ~ q)

V Es una tautologa

c) ~ q ~ [(p ~ q) p] Solucin:~ q ~ [(p ~ q) p]

~ q ~ [(~ p q) p]

~ q [~ (~ p q) ~ p]

~ q [(p ~ q) ~ p] ~ (q p) No es tautologa.

~ q [(p ~ p) (~ q ~ p)] ~ q [V (~ q ~ p)]

~ q (~ q ~ p) ~ q ~ p

LOGICA MATEMATICA .

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EJERCICIO 9Sean P, Q, R frmulas. Si se sabe nicamente que P es verdadero, Qu puede afirmarse del valor de verdad deQ ~ P R Q .

Solucin: Como P es verdadero entonces: ~ P es falso; entonces Q ~ P siempre ser falso. ( En la conjuncin se necesitan dos verdades para dar otra verdad). Para que la implicacin nos de falso, se necesita que el antecedente sea verdadero y el consecuente falso. En este caso tenemos que el antecedente: Q ~ P siempre es falso por tanto la implicacin siempre ser verdadera. Es decir que: Q ~ P R Q es verdadera.

EJERCICIO 10Demuestre que es una tautologa: [p (q r)] [(p q) r] Solucin:[p (q r)] [(p q) r] [~ p (~ q r)] [(p q) r] [(~ p ~ q) r)] [(p q) r] [~ (p q) r)] [(p q) r] [(p q) r)] [(p q) r] Es una tautologa

EJERCICIO 11Si R P Q P es falsa y P es falsa; Qu puede afirmarse de R y de Q ? Solucin: Como la implicacin es falsa, entonces analizamos la nica posibilidad para que esto puedo darse, ed.R P = V y Q P = F ; pero P es Falsa, entonces: Q P = F se cumple ya sea que Q sea falsa o verdadera ( Conjuncin: solo dos verdades dan otra verdad) R P = V se cumple solo si R es verdadera. (Disyuncin: solo dos falsedades dan otra falsedad)

Conclusin: R es Verdad y Q puede ser Falsa o Verdadera.

EJERCICIO 12Si (P Q) (R P R Q) es verdadera; Qu puede afirmarse de P, Q y R ? Solucin: Realizamos la tabla de verdad P 1 1 1 1 0 0 0 0 Q 1 1 0 0 1 1 0 0 R 1 0 1 0 1 0 1 0PQ

1 1 0 0 1 1 1 1

RvP 1 1 1 1 1 0 1 0

RvQ R P R Q ( P Q ) ( R P R Q ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1

Segn la tabla, para que la expresin sea verdadera, P, Q, R pueden ser verdaderas o falsas.

EJERCICIO 13Comprobar si es cierta la equivalencia:~ (p q) (p ~ q) (q ~ p)

Solucin:~ (p q) ~ [(p q) (q p)] [~ (p q) ~ (q p)] [(p ~ q) (q ~ p)] ed: si son equivalentes

LOGICA MATEMATICA .

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EJERCICIO 14Simplifique la expresin (p q) [(p q) (p q)] Solucin:(p q) [(p q) (p q)] (p q) [{(p q) (p q)} {(p q) (p q)}] (p q) [{~(p q) (p q)} {~(p q) (p q)}] (p q) [{(~ p ~ q) (p q)} {(~ p ~ q) (p q)}] (p q) [{ (~ p (p q)) (~ q (p q))} {(~ p p) (~ q q)}] (p q) [{ ((~ p p) (~ p q)) ((~ q p) (~ q q))} { V V}] (p q) [{ (V (~ p q)) ((~ q p) V))} V] (p q) [(~ p q) (~ q p)] (p q) [(p q) (q p)] (p q) (p q)

Ley del bicondicional Ley del condicional Ley de Morgan Ley distributiva Ley distributiva Ley de elementos neutros Ley de elementos neutros Ley del condicional Ley de identidad

V

Es una tautologa

EJERCICIO 15Simplifique (p ~ p) (~ q ~ p) Solucin:(p ~ p) (~ q ~ p) V ~ (q p) ~ (q p)

Ley de complementacin Ley de elementos neutros

EJERCICIO 16Simplifique [(~ p q) (p q)] q Solucin:[(~ p q) (p q)] q [(p q) (~ p q)] q ~ [(p q) (~ p q)] q [~ (p q) ~ (~ p q)] q [~ (p q) (p ~ q)] q ~ (p q) [(p ~ q) q] ~ (p q) (q p) ~ (p q) (p q)

V

Ley del condicional Ley de Morgan Ley de Morgan Ley asociativa Ley de absorcin Ley conmutativa Tautologa

EJERCICIO 17Construya la siguiente inferencia: El Ecuador crecer econmicamente si aumenta el precio del petrleo, pero el precio del petrleo no ha subido. Por lo tanto, no crecer econmicamente. Solucin: Sean: p: Aumenta el precio del petrleo q: El Ecuador crecer econmicamente Entonces: p .

q ~p . ~q

o tambin: [(p q) ~ p] ~ q

EJERCICIO 18Dadas las proposiciones; p: James estudia chino; q: James estudia portugus; r: James estudia Quichua. Simbolice la siguiente proposicin: No es cierto que James no estudia Quichua y Chino sino Portugus. Solucin: Se trata de la negacin de una conjuncin, por lo tanto la proposicin en smbolos es:~ ((~ r p) q)

LOGICA MATEMATICA .

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EJERCICIO 19Diga si la proposicin Un estudiante bebe agua y estudia es equivalente a la proposicin No es el caso que un estudiante no estudie o no beba agua. Solucin: Sean las componentes: P: Un estudiante bebe agua Q: Un estudiante estudia La primera proposicin equivale a : (p q) La segunda proposicin equivale a : ~ (~ p ~ q) aplicando morgan tenemos (p q) Por lo tanto las proposiciones si son equivalentes

EJERCICIO 20Si la proposicin (p q) (r s) es falsa, determine la validez de la proposicin (p q) r Solucin: Analizamos el caso en el que la implicacin nos da falso

A continuacin analizamos cada componente

r: verdadero s: falso Ahora analizamos (p q) r

Segn la implicacin es verdadera pueden ser verdaderas o falsas.

si: V

V ; F F ; F V es decir que p y q

La implicacin siempre ser verdadera mientras el consecuente sea verdadero.

EJERCICIO 21Tradzcase a la forma simblica y establezca si el argumento es o no vlido. Si los precios son bajos, entonces los salarios son bajos. Los precios son bajos o no hay control de precios. Si no hay control de precios, entonces hay inflacin. No hay inflacin; por tanto los salarios son bajos. Solucin: Sean: p: Los precios son bajos q: Los salarios son bajos r: Hay control de precios s: Hay inflacin Hay que demostrar que a partir de las premisas dadas, se puede obtener q. P1: p q P2: p ~ r r p P3: ~ r s P4: 5) 6) 7) r~s

pq p ~ r ~ r s ~s q

M.T.T entre P3 y P4 Silogismo hipottico entre P2 y P1 M.P.P entre 6 y 5. Con esto se concluye que se trata de un razonamiento vlido

rqq

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EJERCICIO 22Tradzcase a la forma simblica y establezca si el argumento es o no vlido. La lgica es fcil o les gusta a los estudiantes. Si las matemticas son difciles entonces la lgica no es fcil. Por tanto, si a los estudiantes no les gusta la lgica, las matemticas no son difciles. Solucin: Sean: p: La lgica es fcil q: A los estudiantes les gusta la lgica r: Las matemticas son difciles La inferencia quedara de la siguiente manera:P1 : p q P2 : r ~ p ~ q ~ r

Entonces debemos demostrar que a partir de las premisas es posible obtener ~ q ~ r . (Notar que: ~ q ~ r r q ).P1 : P2 : p q ~ p q Ley del condicional r ~ p r ~ p

Ordenando:P2 : P1 : ~ p q

rq

Ley del silogismo hipottico. Se concluye que se trata de un argumento vlido.

EJERCICIO 23Se dan los dos enunciados siguientes: Juan necesita un abogado o Juan necesita un mdico Si Juan necesita un abogado entonces Juan necesita un mdico

Usando la lgica proposicional conteste la siguiente pregunta: Necesariamente se deduce que Juan necesita un abogado? Solucin: Sean: P: Juan necesita un abogado Q: Juan necesita un mdico Entonces:(p q) (p q) (p q) (~ p q) (q ~ p) (q p) q (~ p p) qF q

Inverso de la ley distributiva

Conclusin: Juan no necesita un abogado, lo que necesita es un mdico

EJERCICIO 24Sean p, q proposiciones, simplificar con las leyes del lgebra: ~ p (q ~ p) Solucin:

~ p (q ~ p) [(~ p (~ q ~ p)] [(~ q ~ p) ~ p][(p (~ q ~ p)] [~ (~ q ~ p) ~ p] [(p ~ p) ~ q] [(q p) ~ p] [ V ~ q] [(q ~ p) (p ~ p] V [(~ p q) V] (~ p q) pq

Ley del condicional y definicin bicondicional Ley del condicional Ley asociativa y D morgan Ley Distributiva y elemento neutro, complementacin Elemento neutro y conmutativa y complementacin Elemento neutro aplicado dos veces Ley del condicional

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EJERCICIO 25Demostrar que se puede concluir ~t a partir de las siguientes premisas.q ~ p, ~ q ~ (r q), r p, ~ (~ r t)

Solucin: P1: q ~ p p q P2: ~ q ~ (r q) ~ q (r ~ q) ~ q (~ q r) ~ q P3: r p

Ley de absorcin

P4: ~ (~ r t) ~ [(~ r t) ~ (~ r t)] [~ (~ r t) (~ r t)] (r ~ t) (~ r t) 5) ~p M.T.T entre P1 y P2. 6) ~r 7) (r ~ t) 8) ~ t M.T.T entre P3 y 6) Ley de simplificacin en P4 M.T.P entre 7 y 6.

EJERCICIO 26Demostrar que se puede concluir ~p a partir de las siguientes premisas: p (~ q r), ~ r, Solucin: P1: p (~ q p) P2: ~r P3: (s q) q q 4) ~r q 5) 6):~ (~ q r) (s q) q

Por absorcin Adicin del entre P2 y P3 Morgan en 4. M.T.T entre P1 y 5.

~p

EJERCICIO 27Utilizando el mtodo abreviado encuentre el valor de verdad de la siguiente expresin: [(~ q r) (r s)] (s ~ p) Solucin:

Podemos ver que r puede tomar dos valores V y F, lo cual es una contradiccin, por lo que se concluye que se trata de una inferencia vlida.

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EJERCICIOS PROPUESTOS1. Indique cuales frases son proposiciones e indique su 10. Demostrar que P(p, q) Q(p, q) si se conoce que: valor de verdad. a) P(p, q) : p q a) Todo entero es divisible para dos b) Q(p, q) : p q b) Viva el Ecuador c) Que es la lotera nacional 11. Determinar en que caso la siguiente proposicin ser d) La capital de Zamora es Loja verdadera: q [(p q) (q p)] e) La longitud de un crculo es igual a 2r Si se conoce que (q ~p) es una verdad. 2. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: 12. Encuentre el valor de verdad de las proposiciones p, q, r a) Si 2 + 3 5 , entonces 2 + 3 = 5 y 4 + 2 6 para que las proposiciones, b) Si 3 2 = 2 o 4 + 2 = 6 , entonces 3 2 2 (~ p ~ q) v r y ~ r (p q) sean verdaderas a la vez. c) 5 2 = 1 y 3 + 2 = 5 si y solo si 5 2 = 1 o 3 + 2 = 5 d) No es verdad que: si a + b = c y 2 + 2 = 4 , entonces 13. Dadas las proposiciones: p: ella est alegre y q: ella est empleada, escriba simblicamente las siguientes a+b 5q :x 2 + 2 = 0 , x nmero real r : Quito es la capital del Ecuador Hallar el valor de verdad de: a) [(p q) ~ r] q b) [p (q r)] (p q)

15. Sean P, Q, R y S frmulas. Si se sabe nicamente que P es verdadero, qu puede afirmarse del valor de verdad de cada una de las proposiciones siguientes? a) R P b) ~ P Q R c) P P S d) P S Q ~ P

5. Determinar en que casos pueden ser verdaderas las proposiciones que se indican a continuacin: a) (~ q p) ~ (r ~ p) si r: 2 + 3 5 b) q [(p q) (q p)] si q: 4 1 = 3

16. Sean P, Q y R frmulas, entonces: a) Si Q Q P es verdadera y P es falsa; Qu puede afirmarse de Q ? b) Si R P Q P es falsa; Qu puede afirmarse de P, QyR? c) Si Q R (P Q) R es falsa; Qu puede afirmarse 6. Determinar analticamente el valor de verdad de p si se de P, Q y R ? conoce que la proposicin (p ~ q) ( ~ p q) es una tautologa y que ( ~ q ) es una contradiccin. 17. Si la proposicin (~ p q) [(p r) s] es falsa, hallar el valor de verdad de: 7. Hallar el valor de verdad de la proposicin a) (~ p s) (~ q r) (p q) (s t) ,conociendo que (p q) es F y (~t s) b) (~ q ~ r) [~ t (p q)] es tambin F.

18. Si la proposicin [(p q) ~ q] p es falsa, hallar el valor 8. Determinar si se cumplen o no las siguientes de verdad de: equivalentes lgicas: a) (p q) (q ~ p) a) p ~ q q ~ p b) (p q) (p q) b) ~ ( p q ) p ~ q c) ~ ( ~ p q ) p q 19. Si la proposicin (p q) (q t) es verdadera, hallar el d) ~ ( p q ) p ~ q ~ p q valor de verdad de: e) ( p q ) r ( p ~ r ) ~ q c) (p ~ t) q f) ( p q ) r ( p r ) ( q r ) d) ~ (p (q t)) 9. Demostrar si existe o no implicacin lgica: 20. Si [(~ p q) (r q)] [(~ p q) (q ~ p)] es falsa, a) ( p q ) ( p q ) encontrar el valor de verdad de p, q, r. b) ~ p p q c) ( p q ) ( q p ) d) q ( p q ) p

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EJERCICIOS PROPUESTOS21. Utilizando las tablas de verdad diga si las siguientes sentencias son tautologas, contradicciones o indeterminaciones: a) ~( s q ) ~ q b) p ( p q ) c) p ( q ~ p ) d) ( p ~ q ) ( ~ p q ) e) ~ p ( ~ ( p q ) ) f) [(p q) r] [p (q r)] g) [p (q r)] [(p q) (p r)] h) ~ (p q) [p (~ q)] 22. Utilizando el mtodo abreviado halle el valor de verdad de los siguientes esquemas moleculares. a) ( p q ) ( q p ) b) [p (p q)] q c) ( p q ) ( ~ q ~ p ) d) ( p q ) p e) (r s) [(r t) (s t)] f) ( p ( q p ) ) p g) [(p q) (~ p r) (p ~ s)] (p r) 23. Mediante las leyes del lgebra de proposiciones simplificar: a) ~ (p q) (~ p q) b) (p q) (q q) c) (p q) [(~ p q) (~ q p)] d) ( p ~ q) [~ (q ~p) ~(m n)] e) [( p ~ q ) (~ r p)] [ p ~ (q r )] f) g) h) i) j) k) l) m) n)[( p q) (q r )] [~ q ( p r )] [ p (q r )] [~ p (~ q ~ r )]

30. Demostrar que se puede concluir q p a partir de las premisas: u r , (r s) (p t) , q (u s) , ~t. 31. Demuestre la validez de los siguientes esquemas de inferencias: a) ( p q ) r b) r s c) ( r q ) r rs pq st q~s ~ ( ~p s ) rs --------------------~p q ~p --------------qt q~r d) ~ p ~ t s e) ~ p ~ t s r f) t

~ (p t)---------------

~ s ~ r

------------------

t ~ q ~ q ~ s

----------------

32. Tradzcase a la forma simblica y establzcase para cada argumento si es o no vlido. a) Los ilegales sern expulsados del pas, si no tienen los papeles en regla, pero tienen los papeles en regla. Por lo tanto no sern expulsados del pas. b) El partido se cancela, o est lloviendo si hace fro. Mas el partido no se cancela. Por tanto, no est lloviendo si hace fro. c) Si llueve, entonces Luego, no ir al cine. ir al cine. No llueve.

{[~ (p q) p] [q (~ q t)]} {[(s t) s] [s (s ~ t)]}( p ~ r ) [~ q ~ ( p r )] t [( p q ) q ] [~ p (q p )] [~ p (q ~ r )] [(~ p q ) ~ ( p r )] [(~ p q) (q p)] p [( p ~ q) (q p) r ] p [(~ p q) (r ~ r )] ~ q

d) Si me caigo de la bicicleta, me golpear. Estoy golpeado; luego, me ca de la bicicleta. e) Si voy al colegio pasar por la biblioteca. Si paso por la biblioteca consultar el diccionario de sinnimos. Voy al colegio; luego, consult el diccionario de sinnimos. f) Para que valga la pena tomarlo, es suficiente que sea un excelente curso. O las calificaciones son justas o no vale la pena tomar el curso. Las calificaciones no son justas. Luego, no es un excelente curso. g) Para que el candidato llegue a la presidencia es necesario que gane las elecciones en su provincia. El ganar las elecciones en su provincia nicamente si defiende los derechos civiles. El no defender los derechos civiles. Por tanto, el candidato no llegar a la presidencia. h) Si asisto al colegio conversar con mis amigos. Luego: Si no voy al colegio entonces no conversar con mis amigos. i) Voy al estadio o me quedo en casa. Si voy al estadio entonces dormir en la casa de mi hermano. No me qued en casa. Luego: Dorm en la casa de mi hermano. j) Si Nacional gan el campeonato, entonces Barcelona fue el segundo o Liga fue el segundo. Si Barcelona fue el segundo, entonces Nacional no gan el campeonato. Si Emelec fue el segundo, entonces Liga no fue el segundo. Nacional gan el campeonato. Luego Emelec no fue el segundo.

24. Si (~ p q) [(p r) t)] es falsa, encontrar el valor de verdad de (~ p t) (~ q r) 25. Si (p q) (p q) es falsa, encontrar el valor de verdad de(p q) q

26. Si (~ p q) (~ s r) es falsa, encontrar el valor de verdad de [(~ p q) (~ r r)] s 27. Si ~ (q r) ~ (p q) es verdadera, encontrar el valor de verdad de a) (r q) b) (~ p ~ r) ~ (p q) c) [(q r) ~ r] ~ q 28. Demuestre que se puede concluir ~ r s , a partir de las siguientes premisas. P1: [(p q) (p r)] (q ~ r) P2: p q (r s) 29. Demuestre que se puede concluir ~ r q , a partir de las siguientes premisas. ~ s q , ~ (t r) , s (t r)

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1.10. LOGICA CUANTIFICACIONAL (LOGICA DE PREDICADOS)La lgica cuantificacional nos permite identificar dentro de una proposicin cuales son los individuos y sus propiedades. Ejemplo: Juan es muy alto Pedro es estudioso Quito es muy bonito

En estas proposiciones los individuos son: Juan, Pedro, Quito, y las propiedades son las expresiones, es muy alto, es estudioso, es muy bonito.

Este tipo de proposiciones en donde se atribuye una propiedad a un individuo determinado son las llamadas proposiciones mondicas . Los nombres propios hacen referencia a cualquier tipo de individuos determinados: personas, animales, pases, ros, etc. Se simbolizarn con letras minsculas a, b, c ... y se llamarn constantes individuales o trminos . Se llamar predicado a la propiedad que se afirma acerca del sujeto o trmino, y se simbolizar con letras maysculas: A, B, C, etc.

En los ejemplos anteriores podemos simbolizar a: Juan, j Pedro, p Quito, q Es muy alto, A Es estudioso, B Es muy bonito, C

Por lo tanto la simbolizacin de las proposiciones sera de la siguiente manera: Aj; Bp ; Cq Como ya mencionamos anteriormente se pueden usa conectivos lgicos para formar proposiciones compuestas. Ejemplo Juan es alto y Pedro es estudioso Aj y Bp

1.10.1 FUNCION PROPOSICIONALUna funcin proposicional (a una o varias variables) sobre un conjunto A, es una expresin tal que al reemplazar la variable o las variables por elementos del conjunto A se obtiene una proposicin.

EJEMPLOS: 1. P(x):: x-3=5 Es funcin proposicional pues al reemplazar x por un nmero, ejemplo, x=7 tenemos que P(7):: 7-3=5 sta se convierte en proposicin en este caso falsa. 2. 3. P(y):: 3y-1>4 . Si y=2, se convierte en proposicin, en este caso verdadera P(z):: z+2 =10. Si z=6, se convierte en proposicin falsa.

1.10.2. CUANTIFICADORESLos cuantificadores son smbolos que nos permiten evaluar una funcin proposicional. CUANTIFICADOR UNIVERSAL: Se simboliza como y se lee para todo. Al colocar este cuantificador delante de una funcin proposicional la convierte en una proposicin. Puede escribirse como: x : P(x) , x / P(x) , (x)[P(x)] Ejemplo: Sea P(x):: x-3=7. Podemos transformarla en una proposicin anteponiendo la frase para todo. E.d: Para todo x : : x-3=7. O lo que es lo mismo,(x)( x 3 = 7) ; Se lee Para todo x se cumple que: x-3=7

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CUANTIFICADOR EXISTENCIAL: Se simboliza como y se lee existe por lo menos un. Al colocar este cuantificador delante de una funcin proposicional la convierte en una proposicin. Puede escribirse como: x : P(x) , x / P(x) , (x)[P(x)] Ejemplo: Sea P(x):: x-3=7. Podemos transformarla en una proposicin anteponiendo la frase existe un. E.d: Existe por lo menos un x : : x-3=7. O lo que es lo mismo,(x)( x 3 = 7) ; Se lee: Existe por lo menos un x tal que x-3=7

Nota: Si P(x) es verdadera para un nico elemento de A, se usa el signo ! que se lee como existe un nico.

Las proposiciones universales pueden aparecer negadas, como en el enunciado: "No todos son mdicos". En este caso la simbolizacin ser: ~ [(x)(Px)] donde Px es la funcin proposicional "x es medico" que toma valores dentro del conjunto de referencia formado por los hombres.

Las palabras "ningn", "ninguno", "nada", "nadie" corresponden tambin a enunciados universales con negaciones, pero de una manera distinta a las proposiciones anteriores. La proposicin "ninguno es medico" no equivale a la proposicin "no todos son mdicos" sino a la expresin "para todo x, x no es medico" que se simboliza (x) ~ (Px) .

Las proposiciones existenciales pueden estar negadas, como por ejemplo "no es cierto que hay fantasmas" la cual se simboliza como ~ (x)(Fx) donde Fx simboliza la expresin "x es un fantasma". Anlogamente a lo que ocurre con los cuantificadores universales, las proposiciones existenciales pueden tener negaciones internas como "algo no es mortal" la cual se simboliza como (x) ~ (Fx) donde Fx simboliza la expresin "x es mortal".

CONVERSIONES ( EQUIVALENCIAS)[x A : P(x)] ~ [x A :~ P(x)] [x A : P(x)] ~ [x A :~ P(x)]

Cuatro modelos bsicos de enunciados de la lgica clsica: Enunciado Universalmente Afirmativo: Enunciado Universalmente Negativo: Enunciado Particularmente Afirmativo: Enunciado Particularmente Negativo:x : P(x)

[Todos los x son P] [Ningn x es P]

(x) : ~ P(x) x : P(x)

[Algn x es P]

x : ~ P(x) [Algn x no es P]

NEGACIN DE UN CUANTIFICADOR Proposicinx : P(x) x : P(x) x A : P(x) x A : P(x)

Negacinx : ~ P(x) x : ~ P(x) x A : ~ P(x) x A : ~ P(x)

DISTRIBUTIVIDAD DE LOS CUANTIFICADORES Sean P , Q frmulas no cuantificadas en x , entonces: (x)(P Q) [(x)(P) (x)(Q)] (x)(P Q) [(x)(P) (x)(Q)] (x)(P Q) [(x)(P) (x)(Q)] (x)(P Q) [(x)(P) (x)(Q)] (x)(P Q) [(x)(P) (x)(Q)]

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EJEMPLO 1 Escribir con smbolos y cuantificadores, la proposicin: Todas las hormigas son insectos Solucin Si definimos a: H(x): x es hormiga I(x): x es insecto

: Conjunto de todos los insectosEntonces tenemos: (x )[H(x) I(x)] Nota 1: El conjunto U se denomina dominio de referencia, que en algunos casos se omite y el cuantificador universal se refiere a cada elemento de este conjunto.

Nota 2: Se denomina conjunto de verdad de una funcin proposicional P(x), al subconjunto A del dominio U de la variable, tal que el conjunto A hace verdadera la proposicin P(x).

EJEMPLO 2 Escribir con smbolos y cuantificadores, la proposicin: Hay animales carnvoros Solucin Observe que puede escribirse como: existe al menos un x, tal que x es animal y x es carnvoro. Si definimos a: A(x): x es animal C(x): x es carnvoro

: Conjunto de todos los animalesEntonces tenemos: (x )[A(x) C(x)]

EJEMPLO 3 Escribir con smbolos y cuantificadores, la proposicin: Todos los gatos tienen cola Solucin Si definimos a: G(x): x es gato C(x): x tiene cola

: Conjunto de todos los animalesEntonces tenemos: (x )[G(x) C(x)]

EJEMPLO 4 Hallar el conjunto de verdad de: P(x) 2x 1 = 0 , donde es el conjunto de los naturales. Solucin Esta proposicin es falsa, ya que no existe ningn x tal que 2x 1 = 0 .

EJEMPLO 5 Hallar el conjunto de verdad de: P(x) Q(x) , donde P(x) x 1 , Q(x) x < 10 . es el conjunto de los reales. Solucin

S = {x /P(x) Q(x) es verdad} = {x / x 1 x < 10} = {x /1 x 1 , x Z Solucin:

~ [p(x) q(x)] p(x) ~ q(x) S = {x / ~ [p(x) q(x)]} = {x / p(x) ~ q(x)} = {x / x 2 = 1 x 2 1} = {x / x = 1 1 x 1} = {x / x = 1}

LOGICA MATEMATICA .

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EJERCICIOS PROPUESTOS1. Simbolizar las siguientes proposiciones a) Todo nmero es real b) Ningn Juez es neutral c) Nada se levanta d) No todo lo que brilla es oro e) No hay profesor malo f) Nadie hace las cosas gratis g) Ningn artista es romntico h) La ecuacin x 2 2x + 1 tiene una solucin en los reales. i) Todo nmero entero es par o impar. j) La ecuacin x 2 + 1 = 0 no tiene solucin en los reales. k) Existe un nmero natural menor o igual que cualquier nmero natural. l) Para todo nmero real, existe un nmero real tal que su suma es igual a cero. m) Si x , y son enteros positivos, existe un entero positivo n tal que nx > y . n) Para todo nmero entero existe otro nmero entero mayor que l. o) El producto de dos enteros consecutivos es un nmero par. p) Todo entero de la forma 6k+5 es tambin de la forma 3k+2. 2. Hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones y luego negarlas. Considerar x,y R . a) x : x + 1 = 2 b) x : x + 3 5 c) d) e) f) g) h) i) j) k)x : ~ ( x 2 + 1 0) x, x : x + y = 0 (x R )(y R)(z R )( z < x y ) y, x : x + y = 0 x, y : ( x + y = 2 x y = 2) x, y : ( x. y = 0 x + y 1) x : ( x + 3 = 1 x.0 < 1) ( > 0), ( n N ) : (1/ n) 0)( a R )(n N ) : (n > a )

8. Que enunciados son verdaderos a) (x R )(y R ) ( y > x ) b) (y R )(x R ) ( y > x ) c) (x R )(y R ) (2 x + y = 0) d) (y R )(x R ) ( x. y = 0) 9. Expresar en el lenguaje corriente los enunciados simbolizados que se presentan a continuacin. Px: x es un abogado Qx: x es un doctor Rx: x es honesto Sx: x es poltico a) ~ (x)( Px ~ (Qx )) b) ~ (x)( Px ( Rx)) c) (x)( Px ~ ( Sx )) d) (x )(Qx ( Sx )) 10. Simplificar la siguiente proposicin y negar el resultado[(x ~ px ) ( x ~ qx )] {[(x q x ) (x p x )] (x ~p x )}

11. Sean: Rx: x es nmero racional; Ix: x es nmero irracional. Utilice esta notacin para expresar mediante simbologa de la lgica matemtica la siguiente proposicin. Si de todo nmero racional se concluye que no es irracional, entonces de la existencia de algunos nmeros irracionales se deduce que no pueden ser racionales 12. Sea p: El ecuatoriano el pobre, y q: El ecuatoriano es feliz. Escriba en forma simblica los siguientes enunciados. Determine cuales son equivalentes entre s: a) Hay ecuatorianos pobres e infelices b) Algunos ecuatorianos no son pobres ni infelices c) Es falso que todo ecuatoriano es pobre, pero es cierto que algunos de ellos no son felices. d) La mayora de ecuatorianos cuando son pobres son infelices. e) El 100% de los ecuatorianos son felices siempre que no sean pobres. 13. Formalice, simplifique y niegue la siguiente proposicin: Si todos los ecuatorianos apoyan al gobierno, algunos partidos polticos no aprobarn la creacin de nuevos impuestos 14. Utilizando reglas de inferencia, compruebe si el siguiente razonamiento es vlido. P1: Si todo nmero natural es mayor o igual a cero, entonces algunos nmeros naturales son impares. P2: No es cierto que: Algunos nmero naturales no son pares o todos los nmeros enteros son pares. Por lo tanto: Algunos nmeros naturales son menores que cero, y algunos nmeros enteros no son racionales. 15. Escriba en palabras la negacin de la proposicin: Ni algunos polticos son corruptos, ni todos los jueces son honrados. 16. Demostrar que las siguientes proposiciones son lgicamente equivalentes: Si x2 es par entonces x es par Si x es impar entonces x2 es impar 17. Por el mtodo indirecto, demostrar que si 3n+2 es impar, entonces n es impar. 18. Demuestre que la suma de dos impares es par.

3. Determine el valor lgico de las proposiciones. a) x, y / x + y < 2 b) x, y / x 2 + y 2 > 4 c)x, y / x 2 + y 2 1

4. Niegue y simplifique la siguiente proposicinx R : x > 0 : {|x-2| 1) (x )(x 1 > 8) 20. Diga si se puede concluir ~ p a partir de las premisas

(p ~q) ~ p ;

q (r s) ; (r s) . Demostrar que se

puede concluir ~ p q . 6. Simplificar la proposicin:

p ~ q , q ~ r , r21. Diga si el siguiente razonamiento es vlido: P1: p q r t P2: ~ p q P3: r s C: s 22. Determinar el valor de verdad de la siguiente

[~ (~ p q) ~ (p ~ q)] (p q)7. Utilizando reglas de inferencia demostrar que se puede concluir r , bajo las siguientes premisas.

p (~p q) ; (q ~r) p ; q8. Demostrar que se puede concluir siguientes premisas:

p . Dadas las

proposicin y luego negarla.

(p ~r) p ; ~ (q ~ r) ; ~ q .9. Demostrar analticamente que la proposicin es una tautologa.

x A, y / x i y 1 1 x , y / x i y = 1donde A = {2,1,0} 23. Determinar en que caso q [(p q) (q p)] es verdadero si (q ~ p) es verdad. 24. Determinar el valor de verdad de la proposicin

(p q) (p q)10. Demuestre que es falsa la siguiente proposicin

(x R) : (6x 2 x 2 = 0 x > 0)11. Sabiendo que: a) Si el congreso asigna los fondos, el proyecto se ejecuta. b) El congreso asigna los fondos si y solo si hay consenso entre los diputados c) No hay consenso entre los diputados

x , 2x + 3 7 (x ,3x = 6 x , 2x + 3 = 7)Simplificar y luego negarla. 25. Hallar el valor de verdad de:

(x A)(y A)(x > 1 y x = y) si A = { 1, 0, 1} .26. Hallar el conjunto de verdad de:

~ [p(x) q(x)] donde p(x) : x 2 = 25 , q(x) : x 2 + 2x 15 , x Z

Se puede concluir: El proyecto se ejecuta? 12. Demuestre que el producto de dos racionales es racional. 13. Demuestre que si x es irracional, 1/x tambin lo es. 14. Demuestre que si x e y son nmeros reales, entonces max(x, y)+min(x, y) = x+y

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