Unidad I:FUNDAMENTOS DE LA LÓGICAEstructuras Discretas

Ing. Vanessa Borjas

Lógica proposicional

Área de la matemática que trata las proposiciones y el razonamiento lógico matemático.

La lógica son reglas que…

• Dan significado a enunciados y sentencias matemáticas.

• Distinguen argumentos validos y no validos.

• Se aplican en la construcción de programas y circuitos de computadores.

Proposición

Oración declarativa

Tiene un único valor lógico

Verdadero Falso

Pero

No ambos a la vez

Puede ser

Simple Compuesta

Sin conectivos

lógicos

Con conectivos

lógicos

Ejemplo:

El Sol es una estrella

Ejemplo:

El Sol es una estrella y la Tierra gira alrededor del

Sol

Las oraciones que no son falsas ni verdaderas, las que son falsas y

verdaderas al mismo tiempo, o las que carecen de sentido (o presentan algún

tipo de imprecisión) no son consideradas proposiciones. Las

proposiciones se denotan con letras minúsculas: p, q, r, s.

Ejemplos:• Maracaibo es la capital del Zulia.

• La Tierra gira alrededor del Sol.

• El Zulia es la capital de Venezuela.

• 1 + 1 = 2

• 2 + 2 = 3

No son proposiciones:• ¿Qué hora es?

• ¡Siéntate!

• Lee esto con atención.

• X + 1 = 2

• X + Y = Z

Valor de verdad

Llamaremos valor verdadero o valor de verdad de una proposición a su veracidad o falsedad. El valor de

verdad de una proposición verdadera es verdad (1) y el de una proposición

falsa es falso (0).

Ejemplo: Diga cuáles de las siguientes afirmaciones son proposiciones y determinar el valor de verdad de aquellas que lo sean.

• p: Existe el premio Nobel de Informática.

• q: Teclee ESC para salir de la aplicación.

• r: Cinco más siete es grande.

Respuestas:• p es Proposición. Su valor es «Falso».

• q no es proposición. No es Verdadera ni Falsa.

• r no es proposición. Carece de contexto, es ambiguo.

Tabla de verdad

Es una tabla que muestra el valor deverdad de una proposición compuesta, paracada combinación de verdad que se puedaasignar.

La tabla de verdad de una proposicióncompuesta P enumera todas las posiblescombinaciones de los valores de verdadpara las proposiciones p, q, r, s,…

Tabla de verdadPor ejemplo, si P es una proposición

compuesta por las proposiciones simples p, q y r,entonces la tabla de verdad de P deberá recogerlos siguientes valores de verdad.

p q r

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

Proposición compuesta

Si las proposiciones p, q, r, s, … se combinanpara formar la proposición P, diremos que P es unaproposición compuesta de p, q, r, s, …

Ejemplo: Sean los enunciados

p: Estructuras Discretas es mi asignatura preferida.

q: Mozart fue un gran compositor.

r: Él es inteligente.

s: Él estudia todos los días.

«Estructuras discretas es mi asignatura preferida y Mozart fue

un gran compositor»

«Él es inteligente o estudia todos los días»

Ejemplos de Proposiciones compuestas:

La propiedad fundamental de unaproposición compuesta es que su valorde verdad está completamentedeterminado por los valores de verdadde las proposiciones que la componenjunto con la forma en la que estánconectadas.

Proposición compuesta

Operadores y Conectivos Lógicos

OPERADORES:Se aplican a las proposiciones para

generar proposiciones nuevas.

CONECTIVOS LÓGICOS:Operadores lógicos que se usan para

formar nuevas proposiciones a partir de doso más proposiciones existentes.

TIPOS DE OPERADORES LÓGICOS

NEGACIÓN

Sea p una proposición, el enunciado <<no se cumple p>> es otra proposición llamada

“Negación de p”. Se denota: ¬p y se lee <<no p>>. Su tabla de verdad es:

p ¬p

1 0

0 1

NEGACIÓN. Ejemplo:

p: «El Pentium es un microprocesador.»

¬p: «El Pentium no es un microprocesador.»

¬p: «Es falso que el Pentium sea un microprocesador.»

q: « 2 + 2 = 5 »

¬q: «Es falso que 2 + 2 = 5»

¬q: « 2 + 2 ≠ 5 »

CONJUNCIÓNSean p y q proposiciones. La proposición << py q >>, denotada por p q, es la proposición que es verdadera cuando tanto p como q son verdaderas y falsa en cualquier otro caso. Su

tabla de verdad es:

p q p q

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

p: «Hoy es viernes.»

q: «Hoy llueve.»

p q: «Hoy es viernes y hoy llueve.»

VERDADERA: Los viernes con lluvia.

FALSA: Cualquier día diferente de viernes y los viernes que no llueve.

CONJUNCIÓN. Ejemplo:

DISYUNCIÓN

Sean p y q proposiciones. La proposición << p o q>>, denotada por p q, es la proposición que es

falsa cuando tanto p como q son falsas y verdadera en cualquier otro caso. Su tabla de

verdad es:

p q p q

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

DISYUNCIÓN. Ejemplo:

p: «Hoy es viernes.»

q: «Hoy llueve.»

p q: «Hoy es viernes u hoy llueve.»

VERDADERA: Cualquier día que sea viernes o llueva, incluyendo los viernes con lluvia.

FALSA: Los días que ni son viernes, ni llueve.

DISYUNCIÓN EXCLUYENTESean p y q proposiciones. La proposición << p o q

(pero no ambas) >>, denotada por p q, es la proposición que es verdadera cuando solo una de las dos proposiciones p y q es verdadera; y es falsa cuando ambas son verdaderas o ambas son falsas.

Su tabla de verdad es:

p q p q

0 0 00 1 11 0 11 1 0

DISYUNCIÓN EXCLUYENTE. Ejemplo:p: «Hoy es viernes.»

q: «Hoy llueve.»

p q: «Hoy es viernes u hoy llueve.»

VERDADERA: Cualquier día que sea viernes o llueva, pero no ambos.

FALSA: Los viernes con lluvia, y los otros días que no llueve.

IMPLICACIÓN O CONDICIONALSean p y q proposiciones. La implicación pq es la proposición que es falsa cuando p es verdadera y q es falsa; y es verdadera en cualquier otro caso.

pq(Hipótesis o Causa) (Conclusión o Consecuencia)

p q pq

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 1

FORMAS DE EXPRESAR EL CONDICIONAL EN LENGUAJE NATURAL:

• «Si p, entonces q»

• «p implica q»

• «q si p»

• «p solo si q»

• «p siempre que q»

IMPLICACIÓN O CONDICIONAL

IMPLICACIÓN O CONDICIONAL. Ejemplo:p: «Soy elegido como Presidente.»

q: «Bajaré los impuestos.»

p q: «Si soy elegido como Presidente, entonces bajaré los impuestos.»

Si el político es elegido (p es verdadera) y no baja los impuestos (q es falsa), las expectativas son falsas.

BICONDICIONAL O DOBLE IMPLICACIÓN

Sean p y q proposiciones, el Bicondicional o Doble Implicación, p q es la proposición que es verdadera cuando p y q tienen los mismos valores

de verdad y falsa en los otros casos.

Su tabla de verdad es:

p q pq

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

FORMAS DE EXPRESAR EL BICONDICIONAL EN LENGUAJE NATURAL:

• «p si, y solo si q»

• «p es necesario y suficiente para q»

• «p sii q»

BICONDICIONAL O DOBLE IMPLICACIÓN

BICONDICIONAL O DOBLE IMPLICACIÓN. Ejemplo:p: «Puedes tomar el vuelo.»

q: «Compras un pasaje.»

p q: «Puedes tomar el vuelo si, y solo si, compras un pasaje»

Esta expresión es verdadera si p y q son ambas verdaderas o ambas falsas.

Precedencia de Operadores Lógicos.

Orden Operador Nombre

1 ¬ Negación

2 Conjunción

3 Disyunción

4 Implicación

5 Bicondicional

FormalizaciónConsiste en pasar del lenguaje natural al

lenguaje formal.Ejemplo:

«Puedes acceder a internet desde el LC1solo si estudias Computación o no eres

alumno del primer período.»

p q ¬r)

p

qr

Equivalencias Proposicionales

Dos formulas son lógicamente equivalentes si tienen los mismos

valores de verdad en todos los casos. También se dice que p y qson lógicamente equivalentes si pq es una tautología y se denota

por p q.

Tautologías y Contradicciones

Sea P una proposición compuesta de las proposiciones simples p, q, r,…

P es una Tautología si es verdadera para todos los valores de verdad que se asignen a p, q, r, …

P es una Contradicción si es falsa para todos los valores de verdad que se asignen a p, q, r,…

Una proposición P que no es tautología ni contradicción se llama, usualmente,

Contingencia.

Tautologías y Contradicciones

Tautología Contradicción

p ¬p p¬p p¬p

1 0 1 00 1 1 0

Ejercicios:• ¿Cuál es la negación de cada uno de los siguientes

enunciados?a) Hoy es martes.

b) No hay contaminación en Ciudad Ojeda.

c) 2 + 1 = 3.

d) El clima en Mérida es cálido y soleado.

• Sean los enunciados p: «Tienes fiebre», q: «Suspendes el examen final» y r: «Apruebas el curso». Expresa cada una de las siguientes fórmulas en lenguaje natural.a) p q

b) ¬p r

c) q¬r

d) p q r

e) (p ¬r) q ¬r)

• Sean p y q los enunciados «Conduces a mas de 100 Km. por hora» y «Te multan por exceso de velocidad», respectivamente. Escribe los siguientes enunciados usando p, q y conectivos lógicos:

a) No conduces a más de 100 Km. por hora.

b) Conduces a más de 100 Km. por hora, pero no te multan por exceso de velocidad.

c) Te multaran por exceso de velocidad si conduces a más de 100 Km. Por hora.

d) Si no conduces a mas de 100 Km. por hora no te multarán por exceso de velocidad.

• Determina si las siguientes implicaciones son verdaderas o falsas:

a) Si 1 + 1 = 2, entonces 2 + 2 = 5.

b) Si 1 + 1 = 3, entonces 2 + 2 = 4.

c) Si 1 + 1 = 3, entonces 2 + 2 = 5.

d) Si los cerdos vuelan, entonces 1 + 1 = 3.

• Sean las proposiciones p: «Tienes fiebre», q: «No suspendes el examen final» y r: «Apruebas la asignatura», expresa en lenguaje natural la expresión:

((p q) (p r))

• Simboliza las siguientes proposiciones:

a) No vi la película pero leí la novela.

b) Ni vi la película ni leí la novela.

c) No es cierto que viese la película y leyese la novela.

d) Vi la película aunque no leí la novela.

• Sean p, q y r las proposiciones «El número N es par», «La salida va a la pantalla» y «Los resultados se dirigen a la impresora», respectivamente. Enunciar en Lenguaje Natural las siguientes proposiciones:a) q p

b) ¬ q r

c) r p q)

• Tomando en cuenta las proposiciones del ejercicio anterior, escribir, usando conectivos lógicos, una proposición que simbolice cada una de las siguientes afirmaciones:a) Si el número N es par, los resultados se dirigen a la impresora y

la salida va a la pantalla.

b) La salida va a la pantalla si, y solo si, los resultados se dirigen a la impresora.

c) No es cierto que el número N sea par o la salida no va a la pantalla.

d) Si el número N es par, la salida va a la pantalla y los resultados se dirigen a la impresora, pero no ambas cosas a la vez.

Unidad I:FUNDAMENTOS DE LA LÓGICAEstructuras Discretas

Ing. Vanessa Borjas