FUNDAMENTOS DE CORRELACIÓN DE FOTONES

Prof. María L. Calvo

Clase del 26 y 27* de enero de 2011

(Primera hora)*

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Fuentes de fotones• Fuente natural de fotones: El Sol

Frecuencias de emisión:a) Visible (electrones que realizan las transiciones cuánticas

son los más externos al átomo)b) Rayos X (electrones que realizan las transiciones

próximos al núcleo atómico), energía/fotón superior a 100 eV.

• Reacciones de muy alta energía entre partículas elementales: Por ejemplo, colisión electrón-positrón, generación de energías del orden de 109 eV.

• Fuentes controladas de fotones:Por ejemplo, fenómeno inverso del efecto fotovoltáico: fuentes de luz basadas en semi-conductores (LED’s): Recombinación electrón-hueco genera un fotón (con energía de unos eV)

La detección de fotones• Fundamentos: Absorción de fotones en materiales

adecuados.• Efecto fotoeléctrico: Los fotones absorbidos crean una

corriente de fotoelectrones medible. Se puede producir con luz UV o visible dependiendo de la naturaleza del cátodo.

• Fotomultiplicadores: Los electrones emitidos por el cátodo son acelerados mediante un campo externo.

• Otros detectores:• En visible, UV e IR: Cámaras CCD

LÍMITE DE LA DESCRIPCIÓN CLÁSICA•La descripción clásica de la coherencia óptica está ligada a la naturaleza de las fuentes de radiación y de los instrumentos de medida.

•La naturaleza matemática de Γ12(t) es independiente del proceso de detección del campo.

•El primer tratamiento para la descripción cuántica de la coherenciaóptica se debe a Glauber (1962).

Se consideran paquetes de ondas de fotones con propiedadesparticulares:

1) El fotón posee momento.

2) El fotón tiene asociada una función de onda.

3) : El fotón tiene dos variables dinámicas de momento angular: a) orbital, b) interno o espín:

4) LosLos fotonesfotones puedenpueden correlacionarcorrelacionar. La correlación de fotones tieneasociado un volumen de coherencia.

R.J. Glauber, “The Quantum theory of optical coherence”, J. Opt. Soc. Am., 130(6), 2529 (1963)

Propiedades particularesPropiedades particulares• 1) El fotón posee momento:

• 2) El fotón tiene asociada una función de ondavectorial:

• El vector: es la función de onda del fotón.

( )p p p px y z≡ , ,

( )( )

( )3

3 / 2, , exp2d kf r t f k t ikrπ

= ∫

( ),f k t

Momento angularMomento angular

• 3) : El fotón tiene dos variables dinámicas(operadores) de momento angular: a) orbital (l)

b) interno o espín (polarización) (S):

S p k= ± =;

Comparación entre el spin y el momentoangular orbital del fotón

Correlación de fotones• Definimos el espacio de las fases: seis variables

de posición (tres) y momento (tres):

• Definimos una celda unidad que caracterizafotones « idénticos ».

( ), , ; , ,x y zx y z p p p

( )( )x y zx y z p p pγ∆ = ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

Estos fotones tienen el mismo estado spin.Se puede definir: ∆γ = h3

Definición de volumen de coherenciaDefinición de volumen de coherencia• De forma aproximada para una fuente plana

emitiendo fotones, se define:

• Donde S es el área de la fuente plana.• Y:

• Que corresponde a una definición análoga al volumen de coherencia clásico.

2312z

x y zS

λ λλ

∆ ∆ ∆ =∆

php

λ ∆∆ =

c cx y z V l A∆ ∆ ∆ = = ∆

Longitud de coherencia transversal d ~ λ/θLongitud de coherencia longitudinal l ~ c / ∆ωVolumen de coherencia d2 lParámetro de degeneración δ

δ = número de fotones en el volumen de coherenciaδ = número de fotones por modo (cavidad) Parámetro de degeneración:

1. Fuente térmica

2. Radiación de sincrotrón δ ≈ α N λ/ (cτ F) ≈ 104/F

4. Láser ~1 mJ emisión en el visible δ≈ 1015

ParParáámetrometro de de degeneracidegeneracióónn: : camposcampos queque puedenpueden ser ser tratadostratadosclcláásicamentesicamente ((δδ >>1)>>1)

3. Radiación de Wiggler δ ≈ 2 MW α N λ/ (cτ F) para KW > 1

F = número de modostransversales en en el área del haz

El Sol 1

exp 1B

hK T

δν

=

−

EXPERIMENTOS DE CORRELACIÓN DE EXPERIMENTOS DE CORRELACIÓN DE FOTONESFOTONES

•La correlación de fotones tiene naturaleza estadística.

•La probabilidad de detección de una corriente de fotoelectrones es proporcional a la intensidad instantánea asociada al campo de radiación:

donde: η es un coeficiente que está ligado a la naturaleza del detector.

∆ t: tiempo de respuesta

Para un número de medidas N:

( ) ( )P t I t t≈ η ∆

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P t P t P t I t I t I t t t tN N N N1 2 1 2 1 2 1 2.... .... ... ...= η η η ∆ ∆ ∆

El El experimentoexperimento de de HanburyHanbury--Brown y Brown y TwissTwissPilot stellar intensity interferometerJodrell Bank, England, (1955)- First measurement of the angular diameter of a main sequence star (Sirius).- Stellar Intensity Interferometer,Narrabi, Australia (1963)

Datos: Cada espejo formado por 252 micro-espejos (mosaicos) hexagonales de 38 cm de ancho, con geométrica próxima a un espejo parabólico. Diámetro total: 6,5 m.

EXPERIENCIA DE HANBURY BROWN Y TWISS

( ) ( ) ( )[ ]I t I t I I1 2 1 2 1221+ = +τ γ τ

DETECTOR 1

DET

ECTO

R 2

FILTRO DE BAJA

FILTRO

DE BAJA

τ RETARDO

xMULTIPLICADOR

INTEGRADOR

FUENTE

I2

I1

∆I2 ∆I1

2)()(1 || 11 tirkitirki

PBBAA eeI φφ +⋅+⋅ +=

2)()(2 || 22 tirkitirki

PBBAA eeI φφ +⋅+⋅ +=

21 =PI 22 =PI

Como en el experimento clásico:

FundamentosFundamentos::

)](cos[24 2121 rrkII PP ∆−∆+=Si tomamos el producto antes de realizar el promedio temporal:

)( 221121 BABA rrrrrr −−−=∆−∆

Donde:

A

B

P2

P1

L >> (d & R)

d

R

rA1

rB1

rA2

rB2

(relacionado con la geometría de la fuente y el detector)

RELACIÓN SEÑAL-RUIDO

( ) ( ) ( ) ( ) 20

2O O

dRMS

O

T TS c d A n fN N Tα γ= = ∆

Datos relativos al experimento de Narrabi (1956):

d : distancia entre detectores (base del interferómetro)

A: área del detector = 30 m2

α: eficiencia cuántica del detector = 0.20

λ: longitud de onda = 430 nm

∆f: anchura de banda de la señal analógica = 100 MHz

TO: tiempo de correlación = 1 h

La relación señal/ruido cuando se observa la radiación de una estrella en el zenit: n: número de fotones/m2sHz = 5.10-5 es:

c(d)/N = 127x 0,2 (en 1 hora), 0.2: coef. de pérdidas

Correlación de segundo ordenCorrelación de segundo orden

( ) ( ) ( ) ( )2 2τ τΓ = Γ −Se cumple:

Para una onda electromagnética clásica:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 0τΓ ≤ Γ

Este comportamiento no se cumple para estados cuánticos de luz.

Γ(2) (τ)

Supondremos un campo óptico térmico como procesogaussiano. Para N=2, la correlación de intensidades:

Experimentalmente se obtiene la correlación de las fluctuaciones de la intensidad:

Para τ=0: el coeficiente de correlación es:

( ) ( ) ( )∆I t I t I t= −

( ) ( )C

I I

I I12

1 2

12

22

=∆ ∆

∆ ∆

( ) ( ) ( ) 21 21 2 12I t I t I Iτ γ τ∆ ∆ + =

( ) ( ) ( ) 21 21 2 121I t I t I Iτ γ τ + = +

R. Hanbury Brown, The intensity interferometer, Taylor & Francis Ltd., London, 1974

Correlación de segundo orden: Coeficiente Correlación de segundo orden: Coeficiente de correlaciónde correlación

21

21

IIII

C = Coeficiente de correlación de segundoorden

Es importante notar que para el caso de fuentes coherentes(en este caso <I>=I)

2121 IIII =

Promedio temporal del producto de intensidades

Producto del promedio temporal de cada intensidad

Y por tanto:C=1

Valores teóricos :

y experimentales del coeficiente de correlación C12 como función de la separación entre fotodetectores (experimento en laboratorio):

Separación entre detectores (mm)

C12

(d)/C

12(0

)

( )( )

( )12

12 0C senC

τ πτ νπτ ν

∆=

∆

EJEMPLO DE CORRELACIÓN DE INTENSIDADES

Supondremos una fuente con densidad espectral lorentziana. De acuerdocon el T. de Wiener-Khinchin:

donde Z es una señal analítica compleja. Si:

La correlación de intensidades es:

( ) ( ) ( )Γzz I iτ ω τ α τ= −exp exp0

I I I1 2= =

( ) ( ) ( )[ ]I t I t I+ = + −τ α τ2 1 2exp

La desviación :

Para un láser ideal:

El campo óptico térmico puede tener un comportamiento caótico. Se puedenencontrar campos ópticos altamentefluctuantes

σ I I2 2=

Iσ →2 0

ResumenResumen• La función de correlación contiene información de la

geometría de la fuente.

• La anchura de correlación se comporta como: 1/(anchura de la fuente)

• La correlación de intensidades de segunda orden obtenidaen el experimento de Hanbury-Brown y Twiss no essensible a las fases aleatorias que podrían destruir el patrón interferencial

La teoría cuántica del experimento La teoría cuántica del experimento HanburyHanbury--BrownBrown y y TwissTwiss

Para bosones:

Para fermiones:

Experimentos actuales con HBT:

Roy J. Glauber