8/7/2019 FuncionesRdeR

1/10

CEMATH FUNCIONES REALES DE VARIABLE REALSol 19 1 E 956767251 La Lnea de la Concepcin www.cemath.com

Pgina 1 de 10

FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

Ejercicio 1

Sea la funcin3 1

: dada por ( )2

x f f x

x

=

+ Calcular su dominio o campo de existencia, su inversa y su

recorrido o imagen.

Solucin

Por ser una funcin fraccionaria el dominio, ( ) ( ){ } D f x f x= , se obtiene, haciendo el

denominador cero.3 1( ) 2 0 2

2

x f x x x

x

= + = =

+Por tanto ( ) { }2D f =

Para calcular la inversa1

f

despejamos la x en funcin de ( )f x (la llamamos y por comodidad)

( ) ( ) ( )13 1 1 2 1 2

2 3 1 2 3 1 3 1 2 3 1 22 3 3

x y x y y x x yx y x yx x y y x y x f x

x y x

= + = + = = = = =

+

El recorrido o imagen ( ) ( ){ }Im g f y x y f x= = ,

1 2

3

yx

y

=

Por tanto hacemos el denominador cero ( ) { }3 0 3 Im 3 y y g f = = =

Ejercicio 2Comprueba que la funcin 2: dada por ( ) 1 f f x x = no es inyectiva ni suprayectiva.

Solucin

Una funcin es inyectiva si para dos valores de la imagen iguales sus originales tambin son iguales (no

pueden ser distintos). Es decir si ( ) ( ) f a f b a b= = . Veamos si es cierto:

( ) ( ) 2 2 2 21 1

a b

f a f b a b a b o

a b

=

= = = =

No es inyectiva

Una funcin se dice suprayectiva o completa si su ( )Im g f = (todas las imgenes tienen original)

Calculamos la ( )Im g f 2 2

1 1 1 y x x y x y= = + = + Por tanto, para un valor de y puedo hallar la x si 1 0 1y y+

( ) [ )Im 1,g f = . Luego no es suprayectiva.

Ejercicio 3

Comprueba que la funcin : dada por ( ) 5 2 f f x x = + es inyectiva y completa.

Solucin

( ) ( )5 2 5 2 5 5f a f b a b a b a b= + = + = = Es inyectiva.

( )2

5 2 Im5

y y x x g f

= + = = Es suprayectiva o completa.

8/7/2019 FuncionesRdeR

2/10

CEMATH FUNCIONES REALES DE VARIABLE REALSol 19 1 E 956767251 La Lnea de la Concepcin www.cemath.com

Pgina 2 de 10

Ejercicio 4

Sean las funciones : dada por ( ) 5 2 f f x x = + y : dada por ( ) 3 7g g x x = .

Calcular: f g+ , g f , f g ,g

f, g f , f g

Solucin

Siempre que hagamos una operacin debemos calcular el dominio de la funcin que resulta.

( ) ( ) ( )D f g D f D g+ = = =

( )( ) ( ) ( ) 5 2 3 7 8 5f g x f x g x x x x+ = + = + + =

( ) ( ) ( )D g f D f D g = = =

( )( ) ( ) ( ) ( )3 7 5 2 2 9g f x g x f x x x x = = + =

( ) ( ) ( )D f g D f D g = = =

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 25 2 3 7 15 29 14 f g x f x g x x x x x = = + =

( ) ( ) ( ){ }2

05

gD D f D g x f x

f

= = =

( )3 7

5 2

g xx

f x

=

+

( ) ( ) ( ) ( ){ }D g f D f x f x D g= = =

( )( ) [ ] ( )( ) 5 2 3(5 2) 7 15 1g f x g f x g x x x= = + = + =

( ) ( ) ( ) ( ){ }D f g D g x g x D f = = =

( )( ) [ ] ( )( ) 3 7 5(3 7) 2 15 33 f g x f g x f x x x= = = + =

Ejercicio 5

Hallar el dominio de3 4

( )1 2

xf x

x

+=

SolucinEs una funcin irracional de ndice par y fraccionaria, por tanto:

3 40

1 2

x

x

+

Resolvamos la inecuacin

43 4 0

3 4 30

11 21 2 0

2

x xx

xx x

+ = = +

= =

Los valores que hacen que dicho cociente sea positivo son4 1 4 1

,3 2 3 2

x x

< = que coincide

con el dominio de f .

8/7/2019 FuncionesRdeR

3/10

CEMATH FUNCIONES REALES DE VARIABLE REALSol 19 1 E 956767251 La Lnea de la Concepcin www.cemath.com

Pgina 3 de 10

Ejercicio 6

Dadas las funciones 3( ) log ( )2

x f x x g xx

= =+

, hallar f g y su dominio.

Solucin

Calculamos el dominio de cada una de ellas:

( ) { }2D g = ( ) ( )0,D f =

Hacemos ( )( ) ( ) 0 02

xg x D f g x

x > >

+y resolvemos la inecuacin:

( )

( )

( )

En el intervalo - ,-2 Si verifica la inecuacion

0 2 En el intervalo 2,0 No verifica la inecuacion

En el intervalo 0, Si verifica la inecuacion

x x

= =

Por tanto el ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ), 2 0,D f g D g x g x D f = =

( )( ) [ ] ( )3 3 3( ) log log log 22 2

x x f g x f g x f x x

x x

= = = = +

+ +

Ejercicio 7

Dadas las funciones2 4 1

( ) ( )3 5

x x f x g x

x x

+= =

+

, hallar yg f f g y el dominio de cada una de las

composiciones.

Solucin

Calculamos el dominio de cada una de ellas:

( ) { }3D f = ( ) { }5D g =

Para calcular el ( ) D g f , hacemos2 4 19

( ) 5 5 2 4 5 15 7 193 7

x f x x x x x

x

= = = + = =

Por tanto ( ) ( ) ( ) ( ){ }19

3,7

D g f D f x f x D g

= =

Para calcular el ( ) D f g , hacemos 1 14( ) 3 3 1 3 15 14 2 75 2

xg x x x x xx

+= = + = + = = = +

Por tanto ( ) ( ) ( ) ( ){ } { }5, 7D f g D g x g x D f = =

Calculamos las funciones compuestas:

( )( ) [ ]

2 4 2 4 31

2 4 3 73 3( )2 4 2 4 5 153 7 19

53 3

x x x

x xx xg f x g f x g x x xx x

x x

+ +

= = = = =

+ +

( )( ) [ ]

1 2 2 4 202 4

1 2 18 2 185 5( ) 1 1 3 155 2 14 2 14

35 5

x x x

x x xx x f g x f g x f x x x x x x

x x

+ +

+ + + += = = = = = + + + +

+ +

8/7/2019 FuncionesRdeR

4/10

CEMATH FUNCIONES REALES DE VARIABLE REALSol 19 1 E 956767251 La Lnea de la Concepcin www.cemath.com

Pgina 4 de 10

Ejercicio 8

Dada la funcin a trozos

2

1 si 0( )

si 03

x xf x x

xx

Calcular su dominio y representarla.

Solucin

Se calcula el dominio de cada trozo en su correspondiente campo de variacin:

El trozo 2 1x es polinmico y por tanto ( ) ( )2 1 ,0D x =

El trozo3

x

x es fraccionario y por tanto ( ) { }0, 3

3

xD

x

=

La funcin no existe para 0x = ya que no aparece el sigo = en ninguno de los trozos.

Por tanto: ( ) ( ) ( ) ( ),0 0,3 3,D f =

El primer trozo es una parbola y el segundo una hiprbola.

Ejercicio 9

Dada la funcin a trozos4 si 1

( )-2x+3 si 0

x xf x

x

+ < =

Calcular su dominio y representarla.

SolucinSe calcula el dominio de cada trozo en su correspondiente campo de variacin:

Los dos trozos son polinmicos y por tanto ( ) ( ) ( ) [ )4 , 1 y 2 3 0, D x D x+ = + =

Por tanto: ( ) ( ) [ ), 1 0,D f = La representacin grfica es:

8/7/2019 FuncionesRdeR

5/10

CEMATH FUNCIONES REALES DE VARIABLE REALSol 19 1 E 956767251 La Lnea de la Concepcin www.cemath.com

Pgina 5 de 10

Ejercicio 10

Dada la funcin a trozos

2 4 si 0

( ) 3 si 0 2

1 si 2

x x x

f x x

x x