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FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
Ejercicio 1
Sea la funcin3 1
: dada por ( )2
x f f x
x
=
+ Calcular su dominio o campo de existencia, su inversa y su
recorrido o imagen.
Solucin
Por ser una funcin fraccionaria el dominio, ( ) ( ){ } D f x f x= , se obtiene, haciendo el
denominador cero.3 1( ) 2 0 2
2
x f x x x
x
= + = =
+Por tanto ( ) { }2D f =
Para calcular la inversa1
f
despejamos la x en funcin de ( )f x (la llamamos y por comodidad)
( ) ( ) ( )13 1 1 2 1 2
2 3 1 2 3 1 3 1 2 3 1 22 3 3
x y x y y x x yx y x yx x y y x y x f x
x y x
= + = + = = = = =
+
El recorrido o imagen ( ) ( ){ }Im g f y x y f x= = ,
1 2
3
yx
y
=
Por tanto hacemos el denominador cero ( ) { }3 0 3 Im 3 y y g f = = =
Ejercicio 2Comprueba que la funcin 2: dada por ( ) 1 f f x x = no es inyectiva ni suprayectiva.
Solucin
Una funcin es inyectiva si para dos valores de la imagen iguales sus originales tambin son iguales (no
pueden ser distintos). Es decir si ( ) ( ) f a f b a b= = . Veamos si es cierto:
( ) ( ) 2 2 2 21 1
a b
f a f b a b a b o
a b
=
= = = =
No es inyectiva
Una funcin se dice suprayectiva o completa si su ( )Im g f = (todas las imgenes tienen original)
Calculamos la ( )Im g f 2 2
1 1 1 y x x y x y= = + = + Por tanto, para un valor de y puedo hallar la x si 1 0 1y y+
( ) [ )Im 1,g f = . Luego no es suprayectiva.
Ejercicio 3
Comprueba que la funcin : dada por ( ) 5 2 f f x x = + es inyectiva y completa.
Solucin
( ) ( )5 2 5 2 5 5f a f b a b a b a b= + = + = = Es inyectiva.
( )2
5 2 Im5
y y x x g f
= + = = Es suprayectiva o completa.
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Ejercicio 4
Sean las funciones : dada por ( ) 5 2 f f x x = + y : dada por ( ) 3 7g g x x = .
Calcular: f g+ , g f , f g ,g
f, g f , f g
Solucin
Siempre que hagamos una operacin debemos calcular el dominio de la funcin que resulta.
( ) ( ) ( )D f g D f D g+ = = =
( )( ) ( ) ( ) 5 2 3 7 8 5f g x f x g x x x x+ = + = + + =
( ) ( ) ( )D g f D f D g = = =
( )( ) ( ) ( ) ( )3 7 5 2 2 9g f x g x f x x x x = = + =
( ) ( ) ( )D f g D f D g = = =
( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 25 2 3 7 15 29 14 f g x f x g x x x x x = = + =
( ) ( ) ( ){ }2
05
gD D f D g x f x
f
= = =
( )3 7
5 2
g xx
f x
=
+
( ) ( ) ( ) ( ){ }D g f D f x f x D g= = =
( )( ) [ ] ( )( ) 5 2 3(5 2) 7 15 1g f x g f x g x x x= = + = + =
( ) ( ) ( ) ( ){ }D f g D g x g x D f = = =
( )( ) [ ] ( )( ) 3 7 5(3 7) 2 15 33 f g x f g x f x x x= = = + =
Ejercicio 5
Hallar el dominio de3 4
( )1 2
xf x
x
+=
SolucinEs una funcin irracional de ndice par y fraccionaria, por tanto:
3 40
1 2
x
x
+
Resolvamos la inecuacin
43 4 0
3 4 30
11 21 2 0
2
x xx
xx x
+ = = +
= =
Los valores que hacen que dicho cociente sea positivo son4 1 4 1
,3 2 3 2
x x
< = que coincide
con el dominio de f .
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Ejercicio 6
Dadas las funciones 3( ) log ( )2
x f x x g xx
= =+
, hallar f g y su dominio.
Solucin
Calculamos el dominio de cada una de ellas:
( ) { }2D g = ( ) ( )0,D f =
Hacemos ( )( ) ( ) 0 02
xg x D f g x
x > >
+y resolvemos la inecuacin:
( )
( )
( )
En el intervalo - ,-2 Si verifica la inecuacion
0 2 En el intervalo 2,0 No verifica la inecuacion
En el intervalo 0, Si verifica la inecuacion
x x
= =
Por tanto el ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ), 2 0,D f g D g x g x D f = =
( )( ) [ ] ( )3 3 3( ) log log log 22 2
x x f g x f g x f x x
x x
= = = = +
+ +
Ejercicio 7
Dadas las funciones2 4 1
( ) ( )3 5
x x f x g x
x x
+= =
+
, hallar yg f f g y el dominio de cada una de las
composiciones.
Solucin
Calculamos el dominio de cada una de ellas:
( ) { }3D f = ( ) { }5D g =
Para calcular el ( ) D g f , hacemos2 4 19
( ) 5 5 2 4 5 15 7 193 7
x f x x x x x
x
= = = + = =
Por tanto ( ) ( ) ( ) ( ){ }19
3,7
D g f D f x f x D g
= =
Para calcular el ( ) D f g , hacemos 1 14( ) 3 3 1 3 15 14 2 75 2
xg x x x x xx
+= = + = + = = = +
Por tanto ( ) ( ) ( ) ( ){ } { }5, 7D f g D g x g x D f = =
Calculamos las funciones compuestas:
( )( ) [ ]
2 4 2 4 31
2 4 3 73 3( )2 4 2 4 5 153 7 19
53 3
x x x
x xx xg f x g f x g x x xx x
x x
+ +
= = = = =
+ +
( )( ) [ ]
1 2 2 4 202 4
1 2 18 2 185 5( ) 1 1 3 155 2 14 2 14
35 5
x x x
x x xx x f g x f g x f x x x x x x
x x
+ +
+ + + += = = = = = + + + +
+ +
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Ejercicio 8
Dada la funcin a trozos
2
1 si 0( )
si 03
x xf x x
xx
Calcular su dominio y representarla.
Solucin
Se calcula el dominio de cada trozo en su correspondiente campo de variacin:
El trozo 2 1x es polinmico y por tanto ( ) ( )2 1 ,0D x =
El trozo3
x
x es fraccionario y por tanto ( ) { }0, 3
3
xD
x
=
La funcin no existe para 0x = ya que no aparece el sigo = en ninguno de los trozos.
Por tanto: ( ) ( ) ( ) ( ),0 0,3 3,D f =
El primer trozo es una parbola y el segundo una hiprbola.
Ejercicio 9
Dada la funcin a trozos4 si 1
( )-2x+3 si 0
x xf x
x
+ < =
Calcular su dominio y representarla.
SolucinSe calcula el dominio de cada trozo en su correspondiente campo de variacin:
Los dos trozos son polinmicos y por tanto ( ) ( ) ( ) [ )4 , 1 y 2 3 0, D x D x+ = + =
Por tanto: ( ) ( ) [ ), 1 0,D f = La representacin grfica es:
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Ejercicio 10
Dada la funcin a trozos
2 4 si 0
( ) 3 si 0 2
1 si 2
x x x
f x x
x x