Lección 4.1

Funciones y sus Gráficas

10/29/2019 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 23

Actividades• Referencia Texto: Seccíón 3.4 – Definición de Función;

Ejercicios de Práctica: 1-6,15-29; Sección 3.5 Gráficas de

Funciones; problemas impares 1,2, 3 – 26.

• Referencias del Web:

– Math2me: Concepto de función; Identificar una función como gráfica;

Evaluar una función Ejercicio 1; Ejercicio 2, Ejercicio 3

– Khan Academy: ¿Qué es una función? ; Evaluando Funciones;

– Evaluación de una función Parte 1, Parte 2

• Videos de Julio Profesor.NET– FUNCIÓN LINEAL - Teoría sobre la Función Lineal y la Función

Constante

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO - Teoría sobre la Función Valor Absoluto

– FUNCIÓN CUADRÁTICA O DE SEGUNDO GRADO - Teoría sobre la

Función Cuadrática; Análisis de la función y=2x-x² ; Análisis de la función

f(x)=x²+8x+15

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¿Qué es una función?

• Una relación entre elementos de dos

conjuntos tal cada uno del primero se le

asocia un elemento único del segundo.

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¿Cómo se representa una función?• Sea 𝑥 = {1, 2, 3} , 𝑦 = {1, 4}

1. Tabla de valores

2. 𝑓(1) = 1𝑓(2) = 4𝑓(3) = 1

2. 𝑓 = {(1,1), (2,4), (3,1)}

3. Gráfica

4. Ecuación con dos variables:

Ejemplo: 𝑦 = 2𝑥2 + 5

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x y

1 1

2 4

3 1

𝑓 𝑥 = 2𝑥2 + 5

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Evaluando funciones

Para la función

• a) determine 𝑓(3)

• b) determine 𝑓(ℎ)

• c) determine 𝑓(𝑥 + 1)

• Solución:

– a)

– b)

– c)

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f (x) = 2x 2 + 5

= 2(3)2 + 5 = 23

f (3)

5)(2 2 += h)(hf 52 2 += h

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5)1(2 2 ++= x)1( +xf

5)1)(1(2 +++= xx

5)12(2 2 +++= xx

5242 2 +++= xx

742 2 ++= xx5 de 23

Ejercicios del Texto 3.4

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Ejemplo 1

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• Escriba la ecuación 2𝑥 + 5𝑦 = −1 como una función

de la variable 𝑥.

– Despeje 𝑦 de la ecuación.

– Reemplace 𝑦 for 𝑓(𝑥)

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2𝑥 + 5𝑦 = −1

5𝑦 = −2𝑥 − 1

𝑦 =−2𝑥 − 1

5

𝑦 =−2𝑥

5−1

5

𝑦 = −2

5𝑥 −

1

5

𝑓(𝑥) =−2𝑥

5−1

5

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Gráfica de funciones

• Un conjunto de puntos pertenecen a la gráfica de

una función siempre y cuando cualquier recta vertical

no pase por mas de un punto.

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x

y

Prueba de la recta vertical

y

x

No es la gráfica

de una función

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Ejemplo 5

• Grafique la función

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52)( −= xxf 52 −= xy

(GRAPH)En el recuadro “Functionequation” entre 2x - 5

Ver animación: Cómo graficar

con Graph

Ver animación: Cómo guardar gráfica

como una imagen

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Graficando funciones

• Usando Graficadores– Graph (Windows & Mac)

– Desmos (Web)

• Educosoft

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Ver Ejemplo 1 y 2 de la sección 2.4.4 Interpreting Graph

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Funciones básicas

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𝑓 𝑥 = 𝑥Función identidad

𝑓 𝑥 = |𝑥|Función Valor Absoluto

𝑓 𝑥 = 𝑥2

Función Cuadrado

𝑓 𝑥 = 𝑥3

Función Cúbica

𝑓 𝑥 = 𝑥|Función Raíz Cuadrada

𝑓 𝑥 = 3 𝑥|Función Raíz Cúbica

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Funciones Básicas …

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𝑓 𝑥 =1

𝑥Función Recíproca

𝑓 𝑥 =1

𝑥2

Función Recíproca Cuadrado

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Desplazamiento vertical: 𝑓(𝑥) + 𝒂• Si 𝑎 es un número reales distinto de 0, entonces, la

gráfica de 𝑓(𝑥) + 𝑎 es una traslación vertical de la gráfica de 𝑓(𝑥) por 𝑎 unidades:

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3)( 2 −= xxf2)( += xxf

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Desplazamiento horizontal: 𝑓(𝑥 + 𝒂)Si 𝒂 es un número reales distinto de 0, entonces la gráfica de 𝑓(𝑥 + 𝑎) será una traslación horizontal de la gráfica de 𝑓(𝑥) por 𝒂 unidades.

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2)( −= xxf3

1)(

+=

xxf

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Reflexión horizontal: − 𝑓(𝑥)• La gráfica de - f(x) es una reflexión simétrica de f(x) con respecto

al eje de x.

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3)( xxf −=xxf −=)(

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Estiramiento y compresión vertical: 𝒂𝑓(𝑥)

Sea 𝑎 es un número real distinto de 0, entonces la gráfica de 𝑎𝑓(𝑥)

• cuando 𝒂 > 𝟏 , será un estiramiento vertical de 𝑓(𝑥)

• cuando 𝟎 < 𝒂 < 𝟏 , será una compresión vertical de 𝑓(𝑥)

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3

2

1)( xxf =xxf 3)( =

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Ejemplo 1

• Bosqueje la gráfica de la función 𝑓 𝑥 =𝑥+2

𝑥−1

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𝑓 𝑥 =𝑥 + 2

𝑥 − 1

= 1 +3

𝑥 − 1

=3

𝑥 − 1+ 1

𝑓 𝑥 =1

𝑥

𝑓 𝑥 =1

𝑥 − 1

𝑓 𝑥 =1

𝑥 − 1+ 1

𝒇 𝒙 =𝟑

𝒙 − 𝟏+ 𝟏

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Ejemplo 2

• Bosqueje la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 3

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𝑓 𝑥 = 𝑥2

𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 3

𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 3

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Funciones pares e impares

Sea f una función. Entonces,

• f es par, si para todo valor x

𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥)

– Su gráfica es simétrica con respecto al eje de y

• f es impar, si si para todo valor x

𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥)

– Su gráfica es simétrica con respecto al punto

origen

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Ejemplo 3

xxxf += 3)(

43)( xxf −=

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)()()( 3 xxxf −+−=−xx −−= 3

)( 3 xx +−= )(xf−=Función es impar

4)(3)( xxf −−=−43 x−=

)(xf= Función es par

• Determine si la función es par,

impar o ninguna de las dos.

a)

b)

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Ejemplo 3 …

c)

d)

25)( xxxf −=

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2)()(5)( xxxf −−−=−25 xx −−=

Función no es ni par o impar

xxxf += 2)(

)()()( 2 xxxf −+−=−

xx −= 2

Función no es ni par o impar

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Ejercicio del Texto 3.5

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Ejercicio del Texto 3.5

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