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Funciones en Varias VariablesLa notacion para las funciones de dos o tres variables es similar a la utilizada para funcionesde una sola variable. Por ejemplo

z = f (x, y)︸ ︷︷ ︸2 variables

= x2 + xy

w = f (x, y, z)︸ ︷︷ ︸3 variables

= x+ 2y − 3z

Definicion: Sea D un conjunto de pares ordenados de numeros reales. Si a cada par ordenado(x, y) en D le corresponde un unico numero real f(x, y), se dice que f es funcion de x e y. Elconjunto D es el dominio de f y el correspondiente conjunto de valores de f(x, y) es el recorridode f .

Ejemplo

1. f(x, y) = x2 + y2

2. f(x, y) = ln(xy)

3. f(x, y) =

√x2 + y2 − 9

x

4. g(x, y, z) =x√

9− x2 − y2 − z2

Practica: Calcule la imagen de cada para ordenado, para f(x, y) =x

y

1. (3, 2)

2. (−1, 4)

2

3. (30, 5)

4. (5, y)

5. (x, 2)

6. (5, t)

Propiedades de las funciones

1. (f ± g)(x, y) = f(x, y)± g(x, y)

2. (fg)(x, y) = f(x, y)g(x, y)

3. fg(x, y) = f(x,y)

g(x,y), g(x, y) 6= 0

No se puede formar la composicion de funciones de varias variables. Sin embargo si h es unafuncion de varias variables y g es una funcion de una sola variable se puede formar la funcioncompuesta

(g ◦ h)(x, y) = g(h(x, y))

La grafica de una funcion en varias variablesLa grafica de una funcion de 2 variables es el conjunto de puntos (x, y, z) que satisfacen z =f(x, y) con (x, y) en el dominio de f . Geometricamente es una superficie en el espacio

Ejemplos: ¿Cual es el recorrido de f(x, y)) =√

16− 4x2 − y2?. Describir la grafica de f .

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Un ejemplo de funcion de dos variables es Economıa lo constituye la funcion de produccion deCobb-Douglas, que se utiliza como modelo para representar el numero de unidades de trabajoy capital. Donde x mide las unidades de trabajo e y mide la unidades de capital.

f(x, y) = Cxay1−a

Donde C es una constante y 0 < a < 1.

Practica

1. Describa el dominio de cada una de las siguientes funciones.

a) f(x, y) =√4− x2 − y2

b) f(x, y) = x2 + y2

c) f(x, y) = ln(4− xy)

d) g(x, y) = x√y

2. Calcule la imagen para cada par ordenado

a) f(x, y) = 4− x2 − 4y2

a)(0, 0) b)(0, 1) c)(2, 3)d)(1, y) e)(x, 0) f)(t, 1)

b) f(x, y) = xey

a)(5, 0) b)(3, 2) c)(2,−1)d)(5, y) e)(x, 2) f)(t, t)

c) g(x, y) = ln |x+ y|a)(2, 3) b)(5, 6) c)(e, 0)d)(0, 1) e)(2,−3) f)(e, e)

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d) h(x, y, z) =xy

za)(2, 3, 9) b)(1, 0, 1)

Curvas de nivel

Hemos comparado la grafica de una funcion z = f(x, y) con un paisaje con un cierto relieve. Encartografıa se utilizan las curvas de nivel para incorporar a un mapa (plano) alguna informaciontridimensional del relieve que corresponde a la zona representada. En esta figura se muestrauna parte de un mapa cartografico del Parque Nacional de Ordesa, en los Pirineos en el que seaprecian con claridad esas curvas de nivel.

Las curvas de nivel se obtienen cortando la graficas con planos horizontales situados a distintasalturas. En la siguiente figura se muestra una grafica cortada con dos planos horizontales adistintas alturas.

Si cortamos la grafica con varios de estos planos horizontales obtenemos una serie de curvassituadas sobre la grafica:

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Y si ahora proyectamos esas curvas sobre el plano xy (lo cual equivale a mirar la grafica, elpaisaje, desde arriba, a vista de pajaro) vemos una familia de curvas planas, que son las curvasde nivel de esta grafica:

Ecuacion de las curvas de nivelUn plano horizontal tiene por ecuacion: z = c con c constante. La interseccion de la graficade f con el plano horizontal son por tanto los puntos (x; y; z) tales que z = f(x; y) = c. Paraentender como es la grafica de f , sin embargo, lo que nos interesa es la proyeccion de esteconjunto sobre el plano (x; y). Es decir, el conjunto formado por todos los puntos (x; y) delplano en los que f toma el valor c.

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Definicion: La curva de nivel c de la funcion z = f(x; y) es el conjunto de puntos (x; y) delplano que cumplen f(x; y) = c

Es decir, es el conjunto de puntos en los que f vale c.

Ejemplo:

1. Dada la funcion z = f(x; y) = x2 + y2, ¿cuales son sus curvas de nivel?

2. Dibuje un mapa de contorno para z = y2 − x2

Practica: Determine y dibuje las curvas de nivel para cada una de las funciones con los valoresque se le solicitan

1. z = x+ y c = −1, 0, 2, 4

2. z = 6− 2x− 3y c = 0, 2, 4, 6, 8, 10

3. z =√

25− x2 − y2 c = 0, 1, 2, 3, 4, 5

4. f(x, y) = x2 + y2 c = 0, 2, 4, 6, 8

5. f(x, y) = xy c = ±1,±2,±3,±4

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6. f(x, y) = exy c = 1, 2, 3, 4, 12, 13, 14

Lımites y Continuidad

Entornos en el plano Vamos a estudiar los lımites de funciones de 2 o 3 variables. Comenzandoen dos y luego extendiendo el concepto a 3 variables. Si trasladamos el concepto de intervalo alplano bidimencional podemos definirlo utilizando la distancia entre dos puntos (x, y) y (x0, y0).Lo llamaremos R-entorno centrado en (x0, y0) como el disco centrado en (x0, y0) y de radior > 0.

{(x, y) :√(x− x0)2 + (y − y0)2 < δ

Nota: Si se utiliza el sımbolo ≤ se define un disco cerrado

Punto Interior: Un punto (x0, y0) en una region R del plano es un punto interior de R si existeun r-entorno centrado en (x0, y0) que esta contenido completamente en R.

Region Abierta: Si todo punto de R es interior se dice que R es una region abierta.

Punto Frontera: Un punto (x0, y0) es punto frontera de R si todo disco abierto centrado en elcontiene puntos de R y puntos que no pertenecen a R.

Region Cerrada: Una region debe contener a sus puntos interiores, pero no tiene que contenertodos sus puntos frontera. Si una region contiene todos sus puntos frontera se dice que es unaregion cerrada.

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Lımite de una Funcion de dos variables

Definicion del lımite en una funcion de dos variables.

Sea f una funcion de dos variables, definida en un disco abierto centrado en (x0, y0) y sea L unnumero real. Entonces

lım(x,y)→(x0,y0)

f(x, y) = L

si para cada ε > 0 existe un δ > 0 tal que

|f(x, y)− L| < ε siempre que 0 <√(x− x0)2 + (y − y0)2 < δ

Para saber si una funcion de una variable tiene lımite, basta ver que sucede al tender hacia elpunto en dos direcciones: izquierda y derecha. Ahora bien, para una funcion de dos variables,la afirmacion

(x, y) → (x0, y0)

Significa que el punto (x, y) se le permite tender hacia el punto (x0, y0) por cualquier direccion.Si el valor de

lım(x,y)→(x0,y0)

f(x, y)

no es el mismo para todas esas maneras de acercarnos a (x0, y0), el lımite no existe.

Ejemplos

1. lım(x,y)→(1,2)

5x2y

x2 + y2

2. lım(x,y)→(2,4)

x+ y

x− y

3. lım(x,y)→(2,1)

(x+ 3y2)

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4. Probar que el siguiente lımite no existe.

lım(x,y)→(0,0)

(x2 − y2

x2 + y2

)2

Continuidad en una funcion de dos variablesDefinicion de continuidad de funciones de dos variables

Una funcion f de dos variables es continua en un punto (x0, y0) de una region abierta R. Si(x0, y0) es igual al lımite de f(x, y) cuando (x, y) tiende a (x0, y0). Esto es, si

lım(x,y)→(x0,y0)

f(x, y) = f(x0, y0)

Se dice que f es continua en la region abierta R, si es continua en todo punto de R.

Ejemplos

a) f(x, y) =5x2y

y2 + x2b) f(x, y) =

(y2 − x2

y2 + x2

)2

TeoremaFunciones Continuas de dos variablesSi k es un numero real y f, g son funciones continuas en (x0, y0), las funciones siguientes soncontinuas en (x0, y0)

1. Multiplo escalar: kf

2. Suma y diferencia: f ± g

3. Producto: fg

4. Cocientef

g, si g(x0, y0) 6= 0

TeoremaContinuidad de las funciones compuestas.

Si h es continua en (x0, y0) y g es continua en h(x0, y0), la funcion compuesta (f ◦g) = g(h(x, y))es continua en (x0, y0). Es decir

lım(x,y)←(x0,y0)

g(h(x, y)) = g(h(x0, y0))

Ejemplos: Discutir la continuidad de las siguientes funcionesa) f(x, y) = x−2y

y2+x2 b) f(x, y) = 2y−x2

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Practica:

1. Calcule los siguientes lımites

a) lım(x,y)←(0,0)

exy

b) lım(x,y)←(0,0)

(5x+ y + 1)

c) lım(x,y)←(1,1)

x√x+ y

d) lım(x,y)←(π

4,2)y senxy

2. Investigar la continuidad de la funcion h(x) = f(g(x)) en cada caso

a) f(t) = t2 y g(x, y) = 3x− 2y

b) f(t) =1

ty g(x, y) = x2 + y2

c) f(t) =1

ty g(x, y) = 3x− 2y

d) f(t) =1

4− ty g(x, y) = x2 + y2