1

ANLISIS VECTORIAL

1. Dados los vectores

, hallar sus mdulos, su suma y los ngulos y cosenos directores del vector suma. Obtener un vector unitario en la direccin y sentido del vector suma

2. El mdulo de un vector es 18 y sus cosenos directores son proporcionales a los nmeros 2, -2y 1. Hallar la suma si el vector direccin y sentido del vector suma. . Hallar tambin un vector unitario en la

3. Dados los vectores =(3,-2,1) yMdulo de b) Producto escalar de

de mdulo 3 y contenido sobre la recta x-y=0, hallar: a) y c) Angulo que forman.

4. Calcular el momento del vector

=(2,-4,0) que pasa por el punto P (-1,0,1) respecto al eje E

que pasa por P1 (2,3,1) y cuya direccin est determinada por el vector 5. Dados los vectores =(2,-3,-3) y de mdulo 12 y cosenos directores proporcionales a 2,-2 c) El producto escalar . d) El ngulo

y 1, hallar: a) El mdulo de que forman entre s.

b) El vector

6. Hallar el rea del tringulo cuyos vrtices son A(2,-1,3), B(1,-2,3) y C(2,-1,2). Hallar el ngulo que forman los lados AB y AC.

7. Dados los vectores:

situado en una recta que pasando por el origen de coordenadas tiene y momento respecto

los cosenos directores proporcionales a 0, 3 y 4 y mdulo 10,

al origen igual a ,y y situado en la recta de accin que pasa por el punto de coordenadas (2,-1,2), calcular la resultante y el momento resultante respecto al origen. 8. Una torre est rematada por un tejado que puede considerarse una pirmide cuadrangular con las dimensiones mostradas en la Fig 3.1. Determinar el ngulo que forman dos de las caras laterales del tejado.Si el viento sopla constantemente con una velocidad atraviesa la cara ABC? Que flujo

9. Dado el vector que acta en el punto A(2,3,1) hallar: a) Su momento respecto al origen b) su momento respecto a los ejes de coordenadas c) su momento respecto a la lnea que pasa por los puntos M(0,1,0) y N(2,1,1). 10. Sabiendo que dos de los cosenos directores de cierto vector y cos =1/3 ,calcular las componentes de un ,de mdulo 6 son cos , tal que =1/2 .

vector

2

SOLUCIONARIO

direccin y sentido del vector suma. 1. SOLUCIN

De aqu: =2832'35" , =11813'49" y 2. SOLUCIN Sea el vector buscado. Al ser los cosenos directores proporcionales a los nmeros 2,-2 y 1, podremos escribir: cos =2K, cos =-2K, cos =K (1). =867'31".

Utilizando la frmula (3) del resumen terico resulta: 4K2+4K2+K2=1 de donde 9K2=1 y K= 1/3. De las relaciones (1) se obtiene (K=1/3): cos =2/3 ; cos =-2/3 ; cos =1/3

De la frmula (2) del resumen terico, despejando los valores de ax,ay y az y siendo =18,queda:

Luego: de donde:

3

3. SOLUCIN a) Si el vector est situado sobre la recta x-y=0 quiere decir que est dirigido sobre la bisectriz del primer-tercer cuadrante del plano XY. Esto indica que bz=0, bx=3.cos 45 y by=3.sen 45.

Por tanto el vector es: El mdulo de es:

=

.

. Observar que se eligieron los valores positivos de bx y by. =

b)

c) Para calcular el ngulo que forman ambos vectores basta aplicar la relacin (5) del resumen terico:

con lo que 4. SOLUCIN

Para hallar el momento respecto al eje E, ME=

,debemos calcular:

Pruebe el lector a obtener la expresin vectorial del momento 5. Solucin a) b) =(10,-11,1) c) 28 d) 60,17

6. Solucin

S=

;

=90 (Rectngulo en el vrtice A)

7. Solucin 8. Solucin =8249' 9" ; unidades de flujo

4

9. Solucin

a)

b)

c)

10. Solucin

(Solucin no nica)

5

SOLUCIONARIO CAMPO ELCTRICO EN EL VACIOProblema 1 Dos esferas conductoras de dimetro despreciable tienen masa de m = 0.2 g cada una . Ambas estn unidas mediante hilos no conductores a un punto comn. La longitud de los hilos se de 1 m y su masa despreciable. Cuando se les comunica a cada una de ellas una misma carga elctrica q , se separan formando los hilos ngulos de 45 o con la vertical. Hallar la carga de cada esfera.SOLUCIN

L45 45 T

L2

F

1

1

T

F

2

mg

mg

Sobre cada esfera actan tres fuerzas, el peso, la tensin del hilo y la fuerza elctrica, cuya suma, en el equilibrio ha de ser cero. De la figura se deduce que

mg T cos 45

;

F

T sen 45

F

mg

La distancia entre las esferas es

r

2 L sen 45

De la ley de Coulomb se tiene

F

1 q2 4 0 r 2

mg

q

4 0 r 2 sen 2 45 m g

Sustituyendo valores queda

q

0,66 C

Problema 2 Las posiciones de dos cargas puntuales positivas q1 y q2 estn definidas en una cierta referencia por los vectores r1 y r2 . Determinar el valor de otra carga puntual q3 y su posicin r3 en la misma referencia para que la fuerza total sobre cada una de ellas sea nula

SOLUCION

Para que la fuerza resultante sobre cada carga sea cero, la carga q3 ha de estar alineada con las otras dos cargas. Las cargas 1 y 2, cargas positivas, se ejercen entre s fuerzas repulsivas, luego la carga 3 ha de ejercer sobre ellas fuerzas atractivas para que la resultante sea nula, es decir, ha de ser negativa.

6

F32 F31 F13 q3 F23

q2

F12

F21

q1

r3 r1

r2

Si s es la distancia entre las cargas 1 y 2, se cumple s = s1 + s2 , siendo s1 y s2 las distancias de la carga 3 a las cargas 1 y 2 respectivamente.

De la ecuacin F1 = 0 se tiene

F21 F31

0

q1 q 2 s2

q1 q 32 s1

0

(1)

y de la F2 = 0

F12

F32

0

q1 q 2 s2

q 2 q32 s2

0

(2)

De las ecuaciones (1) y (2) queda se obtiene la relacin

q3

2 s1

s2

q2

2 s2

s2

q1 ; efectuando el cociente entre ellas

s1

q1 q2

s2

que sustituida en s = s1 + s2 y operando se tienen las distancias s1 , s2

s1

q1 q1 q2

s

;

s2

q2 q1 q2

s

Sustituyendo en una de las expresiones de la carga 3 queda

q3 q1

q1 q 2 q22

7

De la ecuacin F3 = 0 se tiene

q1 r3 s13

r1

q2 3 s2

r2

r3 ; operando se tiene la posicin de q3

r3

q2 q1 q2

r1

q1 q1 q2

r2

Problema 3 Dos cargas puntuales q1 = q y q2 = q , tales que q1 > q2 estn separadas una distancia L. Determinar el campo elctrico en : a) puntos de la recta definida por las dos cargas . En que punto el campo es nulo ? ; b) en un punto cualquiera del espacioSOLUCION

Situemos las cargas tal como se indica en la figura adjunta.

z

LE2 q x1

E1

y

q2

y

a) El campo elctrico en los puntos del eje y est dado por

E = E1 + E2 =

1 4pe 0

q y2

q L y2

j

El campo se anula nicamente en un punto a la derecha de la carga q2 , dado por

y q

q q

L

b) Sea r = ( x, y ,z) , el vector posicin de un punto genrico del espacio, tal como se muestra en la figura adjunta

8

E1

r

r

E2

E

q1

q2

L

El campo resultante es la suma vectorial de los campos de cada carga

E

1 4pe 0

q r r3

q r r 3

9

Problema 4 Una distribucin rectilnea uniforme de carga Q y de longitud l, est situada sobre el eje x con uno de sus extremos en el origen de coordenadas. Determinar el valor de la fuerza que ejerce sobre una carga puntual q situada en un punto del eje x tal que x > l.SOLUCION

Por el principio de superposicin, la fuerza sobre la carga q est dada porl l

F0

dF0

q dE

(1)

donde d E es el campo creado por la carga puntual dq . La densidad lineal de carga es l luego dq l dx , que se muestra en la figura adjunta.

Q/l ,

yl dQ = d x O x xEl campo creado por la carga diferencial est dado por

q r = ( x x ) i F=qE

x

dE

dQ 1 i 4p e 0 r 2

dE

l 4pe 0

dx x x2

i

Sustituyendo en la ecuacin (1) e integrando queda

F

1 4pe 0

Qq i x x l

10

Problema 5 Calcular el campo E creado por la distribucin rectilnea de carga de longitud l (m) y densidad (C/m) en el punto P ( 0 , y) de la figura adjunta.

y P (0 , y ) b l l a O x

SOLUCION

El campo elctrico en el punto P est dado por

E yl

dE

1 4p e0

l

dQ r r 3

donde r es el vector con origen en el elemento de carga dQ y extremo en el punto P( 0, y). y E E2 P dQ = l dx r q y O x x dE E1

Los d E no se pueden sumar directamente ya que tienen direcciones distintas; expresando d E en componentes queda d E = d Ex i + d Ey j = d E sen i + d E cosq j. Las componentes del campo estn dadas por las integrales

E1l

senq dE

;

E2l

cosq dE

Las relaciones trigonomtricas integrales.

y = r cos

; x = y tan

permiten resolver fcilmente las

11

E1

40

l

sen dx r2

1 40 y

b

sen da

cos cos y 40

E2

40

l

cosq dx r2

1 40 y

cos d

sen sen y 40

Problema 6 Determinar el campo elctrico en un punto cualquiera del espacio de una distribucin rectilnea de carga, de longitud infinita y densidad constante C/m .SOLUCION

Un punto cualquiera de lnea de carga es el punto central de la distribucin de carga. La carga es simtrica respecto de cualquier punto del espacio. Seleccionamos un sistema de coordenadas tal como el indicado en la figura. Debido a la simetra de la carga, la suma de los d E creados por los dQ situados a la misma distancia respecto del origen, tienen direccin radial, luego el campo en un punto cualquiera del espacio tiene direccin radial respecto de lnea de carga.

dQ z O -z dQ u r r dE r dE E

Su mdulo es nicamente funcin de la distancia al eje r. z

E r

12

E

cos d E u

E

l 4 0

cos dz r 2

(1)

Clculo de la integral (1). Utilizando las relaciones trigonomtricas r se tiene E 1 4 0 r Ep 2 p 2

r cos

;

z

r tg 1 2 0 r

cos d

r 20 r2

Problema 7 Se dispone de una distribucin uniforme de carga Q (C) formando una circunferencia de radio r (m). Determinar el campo elctrico en los puntos del eje de la circunferencia perpendicular al plano que la contiene, pasando por su centro.

SOLUCION

Seleccionemos un sistema de coordenadas tal como el indicado en la figura adjunta. La carga es simtrica respecto de los puntos del eje z, luego el campo E tiene la direccin del vector k. z E dE dE

r dQ z r y r dQ carga x E

La componente del campo en la direccin z est dada por E (z) cos d Ec arg a

1 40

cos dQ r 2 c arg a

13

De la relacin trigonomtrica valor del campo

z

r cos E ( z)

y de Q 40

r

2

z2 z

r 2 se obtiene inmediatamente el

z

2

r2

3/ 2

Problema 8 Dos distribuciones de carga rectilneas de longitud , de densidad 0 constante estn situadas en el plano x-y paralelas al eje y y a una distancia a del origen. Sobre un hilo recto de longitud l (m) y masa m (kg), situado sobre el eje z tal como se muestra en la figura, se distribuye una carga de densidad lineal constante C/m. Determinar: a) El campo elctrico que crean las cargas rectilneas en los puntos del eje z . Dar su expresin en funcin de z y dibujar su grfica ; b) El valor de para que el hilo se mantenga en equilibrio. z Q (0,0, l )

P (0,0,l )0

a a xSOLUCION

O0

y

a) El campo elctrico creado por una distribucin rectilnea infinita de carga a una distancia r de la misma, tiene direccin radial y su mdulo est dado por E 2 0 r .En la figura se representan los campos creados por las cargas lineales 1 y 2 en un punto del eje z. El campo resultante E tiene la direccin del eje z. z E E1 E2

r z x 1 a O

r

a

2

14

Su mdulo es Grfica.

E 2 E1 cos

0 0

cos r

0 0

z r2

0 0

z z2

a2

E0

2 z - a

0

a O a0

z

2

0

a

b) Para que el cable se mantenga en reposo, la fuerza elctrica ha de equilibrar al peso. La fuerza elctrica sobre un elemento diferencial de cable es dF E dq E dz . Integrando se tiene

F

0 2 0

2l l

2 zdz z2 a2

0 4l 2 a2 ln 2 0 l 2 a2

Para el equilibrio se ha de cumplir F = m g. Igualando y despejando se tiene la densidad .

20

0

mg

ln

4l 2 a 2 l2 a 2

Problema 9 En la figura adjunta se dispone una distribucin rectilnea de carga positiva de densidad = k z para z > 0 y = k z para z < 0, siendo k una constante positiva. Determinar el campo elctrico E en un punto cualquiera del plano x-y, situado a la distancia r del origen.

dQ

O r x

y

SOLUCION

15

Sea P un punto cualquiera del plano x-y. Las cargas puntuales dQ, situadas en z y - z, crean en el punto P campos d E del mismo mdulo y formando el mismo ngulo con la direccin radial, luego su suma tiene la direccin radial .Este resultado es aplicable a cualquier par de cargas puntuales simtricamente situadas respecto del origen O, luego el campo resultante en el punto P es radial y su expresin E = E u , siendo u el vector unitario radial. z dQ z r dE y r - z x dQ r dE E

De la figura se tiene que la componente que genera campo es d E cos . Sustituyendo se tiene dE cos Integrando queda E 2 dE sen q0

r dE r

1 40

r dq r3

kr 4 0

z dz z2 r23/2

k 20

E

k 2

0

r r

16

Problema 10 Determinar el campo elctrico de una distribucin de carga plana circular de radio r(m) y densidad ( C/m2 ) constante, en los puntos del eje del disco.

SOLUCION

Debido a la simetra de la carga respecto de los puntos del eje, el campo E tiene la direccin y sentido indicado en la figura adjunta. El dE creado en un punto del eje a una distancia z del centro, por la carga dQ contenida en el rea dS delimitada por dos circunferencias concntricas de radio r y r+ dr, es el mismo que el de la carga circular. Del resultado del problema n 7, se tiene E

dE

dQ dS

r

z dS 2r d r

r

O

r

dE

1 40

z dQ r2

z

2 3/ 2

2 0

z r dr r2

z2

3/ 2

Sumando los campos creados por todos los dQ comprendidos entre el origen y la periferia del disco se obtiene el campo E.

r

E ( z)0

dE

z 2 0

r 0

r dr r2

z

2 3/ 2

1 2 0

z z2

r2

17

Problema 11 Determinar el campo elctrico de una distribucin de carga plana infinita de densidad constante .SOLUCION

Una superficie plana infinita se obtiene de un disco de radio r haciendo que el radio tienda a infinito. Cualquier recta perpendicular a la superficie es un eje de simetra, luego en todos los puntos del espacio que estn a la misma distancia z del plano de carga, el campo tiene el mismo mdulo. Se puede determinar su valor utilizando el resultado del problema anterior, haciendo que r tienda a infinito 1 2 0 z z2

E

limr

r

2

E

2 0

E

E

El campo es independiente de la distancia al plano, es decir , es un campo uniforme

18

Problema 12 Determinar el flujo del campo elctrico E creado por las dos cargas + q y q situadas en los extremos de un segmento de longitud 2l a travs de un crculo de radio R perpendicularmente al segmento y situado en su punto medio.SOLUCION

dS

E1

E2 + q R r q

l

l

El signo del flujo depende del sentido de la normal al circulo. Se toma el sentido positivo hacia la derecha. El flujo de la carga positiva a travs del circulo es el mismo que el flujo a travs del casquete esfrico de radio r y ngulo , ya que todas las lneas de campo que pasan por el crculo pasan tambin por el casquete. La superficie del casquete est dada por

S

2r2 1

cos

El campo elctrico E1 en los puntos del casquete es radial dirigido hacia fuera y su mdulo es constante. El flujo 1 se obtiene de

1

S

E dS

q 1 40 r2

dSS

q Sq 4 0 r2

Por el mismo procedimiento se obtiene el flujo de la carga negativa. El flujo total est dado por q S 20 r2 q 0 q 0 l R2 l2

1 cos

1

19

Problema 13 Dos cargas puntuales + q y q estn separadas una cierta distancia . El valor de las cargas es tal que el campo elctrico total se anula en un punto situado sobre la recta que las une y a la derecha de la carga negativa. Un conjunto de lneas de campo, salen de la carga positiva y van a parar a la carga negativa. Determinar la relacin entre las cargas para que el ngulo mximo que formen las lneas de campo a la salida de la carga positiva que van a parar a la negativa con el segmento que las une sea de 60SOLUCION

60 + q + q E=0

Todas las lneas de campo que van a parar a la carga negativa salen de la positiva formando un ngulo igual o menor de 60, luego el flujo saliente de la positiva correspondiente al ngulo slido es igual al flujo total entrante en la negativa.

E

El flujo que sale de la carga positiva es el que pasa a travs de un casquete esfrico de semingulo . = q ( 1 cos ) 20

+

El flujo entrante en la carga negativa es q = 0 Igualando ambos flujos y operando se tiene q q 4

20

Problema 14 Determinar el flujo del campo elctrico E de una distribucin lineal rectilnea semiinfinita de densidad constante a travs de un crculo de radio R situado en su extremo con el centro en la lnea y perpendicular ella.SOLUCION

dE dS = 2 r d r R r

z

r

dQ = l El flujo de toda la carga a travs de dS est dado por Integrando entre 0 y R se tiene R 2 0

dz

d

dr 2 0

Problema 15 Determinar el flujo del campo elctrico E de una distribucin lineal rectilnea infinita de densidad constante a travs de una superficie esfrica de radio R con el centro en un punto de la lnea, utilizando la definicin de flujo.SOLUCION

l dS

R

E

21

Aplicando la definicin de flujo se tiene E dSS

El campo elctrico est dado por (ver problema 6 ) r 20 r2

E

El elemento de rea de la superficie es

dS dS

R R

;

R

Rz k

r

Operando se tiene el flujo a travs de la superficie esfrica

2 R 0

22

Problema 16 Determinar el campo elctrico E de una distribucin lineal rectilnea infinita de densidad constante .SOLUCION Del problema n 8 se sabe que el campo es radial respecto de la lnea de carga. Seleccionando la superficie S de la figura,

EdS

EdS

r

h r 20 r2

aplicando la ley de Gauss, se tiene

E

Problema 17 Determinar el campo elctrico de una distribucin de carga plana infinita de densidad constante .SOLUCION

Del problema n 11 se sabe que el campo es perpendicular a la carga plana infinita. Seleccionando la superficie S de la figura EdS

EdS

S

dS

E de la ley de Gauss se tiene E 2 0

23

Problema 18 Calcular el campo elctrico en todos los puntos del espacio de una distribucin superficial de carga cilndrica de radio R, longitud infinita y de densidad constante . Dibujar la grfica de E.SOLUCION

RdS

r E h SdS

s

E

Por simetra, el campo elctrico tiene direccin radial y su mdulo es funcin de la distancia al eje. Seleccionando una superficie cilndrica de radio r y altura h centrada con el cilindro de carga, el flujo del campo es 2r hE Del teorema de Gauss se tiene Q 0 2 rhE 2Rh 0 E R 1 0 r

En los puntos interiores al cilindro de carga, el campo es nulo Grfica/

E

0

E

R 1 0 r

O

R

r

24

Problema 19 Calcular el campo elctrico de una distribucin superficial de carga esfrica de radio R y de densidad constante . Dibujar la grfica de E .SOLUCION

SR

r

dS E

Por simetra, el campo elctrico tiene direccin radial y su mdulo es funcin de la distancia al centro. Seleccionando una superficie esfrica de radio r concntrica con la distribucin de carga, el flujo del campo a travs de ella es 4 r2 E Del teorema de Gauss se tiene

Q 0

4 r2 E

4 R2 0

E

R2 1 0 r2

En los puntos interiores a la esfera de carga, el campo es nulo.

Grfica

E

/

0

E

R2 1 0 r2 r

O

R

25

Problema 20 En el volumen definido por 2 y 4 cm (coordenadas cartesianas ) , hay una distribucin uniforme de carga de densidad = 5/ C/m3 . Determinar el campo elctrico en los puntos exteriores y en los interiores de la distribucin.

SOLUCION

z

E

dS

S

dS

E

O2

y

x

4

Debido a la simetra, la direccin del campo elctrico es perpendicular a la carga. El plano central de la carga es y = 3. Para puntos tales que y > 3, el campo est dirigido hacia la derecha y para puntos tales que y < 3, el campo est dirigido hacia la izquierda. Aplicando la ley de Gauss a la superficie cerrada S, formada por un cilindro centrado respecto del plano medio de la carga, se obtiene el valor de E en los puntos exteriores a la distribucin. Para los puntos interiores, el cilindro est en el interior de la distribucin.

Para Para

y 4

2 y y 4

E E E

1800 j 1800 j 1800 ( y

V/m V/m

Para 2

3) j V/m

26

Problema 21 Determinar el campo elctrico de una distribucin cbica de carga de densidad contenida en una volumen cilndrico de radios R1 y R2 de longitud infinita. Dibujar su grfica.SOLUCION

C/ m3

R1

R2 r

SdS

E

Por simetra, el campo tiene direccin radial radial. Aplicando la ley de Gauss a la superficie cilndrica S, coaxial con la carga, de radio r y altura h, se obtiene el valor de E. Para Para Para R1 R2 r r r R1 R2 E = 0 E E2 r 2 R1 r 2 o 2 R1 2 R2 r 2 o

E R2 2 R 2 1 2o R2

O

R1

R2

r

27

Problema 22 Determinar el campo elctrico en todos los puntos del espacio de una distribucin cbica de carga de densidad C/ m3 contenida en el volumen de la capa esfrica de radios R1 y R2 . Dibujar su grfica.SOLUCION

EdS

S R1 r R2

Por simetra, el campo tiene direccin radial. Aplicando la ley de Gauss a la superficie esfrica de radio r, concntrica con la carga, se tiene el valor de E.

Para Para R1

r r

R1 R2

E = 0 E3 r 3 R1 3 o r2

Para

R2

r

E

R1 R2 2 3 o r

3

3

Grfica

E

3 o

R2

3

R1 R22

3

O

R1

R2

r

28