Formación Básica – 2011_01

Funciones(Características - Modelamiento)

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Función

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Considere las siguientes situaciones:

1. La depreciación del valor (en dólares) de un automóvil esta en función de los años transcurridos desde que se fabrico.

2. El costo en la fabricación de ciertos artículos depende la cantidad de artículos producidos.

3. El interés ganado al invertir un dinero depende del tiempo transcurrido.

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DefinicionUna función f es una regla que asigna a cada número real (de entrada) x un único número real (valor de salida o valor de la función), denotado por f(x).

nombre dela función f

entrada

f ( x )

salida

Al principio uno puede confundir las notaciones f y f(x). Téngase en cuenta que x es el elemento de entrada, f se usa para representar la función, sin embargo, f(x) es un elemento salida de la función.

Importante!!!

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Dominio y rango

x

Al conjunto de número reales de entrada se llama dominio de f y se denota por dom(f). Al conjunto de números reales de salida se llama rango de f y se denota por ran(f ).

f

Dominiodom(f)

y = f(x) Rangoran(f)

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f

13

579

1

4

f = {(1 ; 1), (3 ; 4), (5 ; 6), (7 ; 6), (9 ; 6)}

6

8

Ejemplo de función

Dom(f ) = {1; 3; 5, 7; 9}

Ran(f ) = {1; 4; 6}

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Prueba de la recta vertical

6

x2 + y2 = 4y = x2

-1

1

3

5

-6 -4 -2 0 2 4 6

Una curva en el plano xy es la gráfica de una función en la variable x, si ninguna recta vertical corta a la curva más de una vez.

Es función No es función

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EjemploSi el siguiente conjunto de pares ordenados:

Define a una función f, determine los valores de a y b así como también el dominio y rango de f

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Ejemplo

2)( xxf

)(),3(),6(),0()a affff

)2(),()b hafhaf

2)()2()()c xfxfxg

Dada la función f definida por la regla de correspondencia siguiente:

Calcule

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Dominio implícitoSi una función se define por medio de una regla de correspondencia, y no se especifica el dominio, entonces se considera que dom(f ) es la totalidad de los números reales tales que f(x) este definida (en los reales), y se le llama dominio implícito de f.

EjemploDetermine el dominio de las siguientes funciones

41)()

x

xfax

xxfb

32)()

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Dominio implícito

11)()

xxxfc

19)()

2

xxxhd

Gráfica de una función

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La grafica de una función f es el conjunto de puntos

( x, f ( x )) para todos los valores de x en el dominio de f

f (1)x

f (2)f (x)

(x,f (x))

1 2 x

En la grafica de f podemos observar el domino y rango de la función

dominio

rango

Se observa en el eje XSe observa en el eje Y

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EjemploEn cada caso determine el dominio y el rango de la función cuyas graficas se muestran a continuación:

–2 2

1

2

4

4 63,5 –2 2

1

2

4

4 63,5

1.5

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Monotonia de una funcion

13

Sea f una función definida en un intervalo I, y sean x1, x2 cualesquiera dos números en I con x1< x2. Se dice que la función f es:1. Creciente en I, si f (x1) < f (x2)

2. Decreciente en I, si f (x1) > f (x2)

3. Constante en I, si f (x1) = f (x2).

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La grafica que se muestra a continuación sube de A hacia B, mantiene su nivel desde B hasta C y luego desciende desde C hasta D.

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xa b

f

c dA

B

D

C

Creciente en el intervalo: ]a; b[Constante en el intervalo: ]b; c[Dereciente en el intervalo: ]c; d[

Los intervalos de monotonia son ABIERTOS

Modelamiento con funciones

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Se va a fabricar una caja de base cuadrada y sin tapa, con una hoja cuadrada de estaño, cortando cuadrados de 3 pulgadas de cada esquina y doblando los lados. Determine el volumen de la caja como una funcion de la longitud del lado del cuadrado.

Etapa 1: Entender el problema

Hoja cuadrada de estaño Se cortan cuadrados de cada esquina

Para formar una caja

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Etapa 2: Definimos la variable. Como el problema pide el tamaño de la hoja cuadrada de estaño, nuestra variable será la longitud del lado del cuadrado

X = Longitud del lado del cuadrado

x

x

Etapa 3: Traducimos el problema al lenguaje matemático. Como el problema pide el tamaño de la hoja cuadrada de estaño, nuestra variable será la longitud del lado del cuadrado

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Los cuadrados de las esquinas tienen 3 pulgadas de lado

3

3

3

3

3

3

3

3

En consecuencia el lado del cuadrado interior tiene lado de longitud: x -- 6

x – 6x – 6

x – 6

x – 6

Al formar la caja, la altura de la misma es de 3 pulgadas y la base resulta ser el cuadrado de longitud x – 6.

3

3

3

x – 6

x – 6

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Recordando que el volumen de una caja rectangular (paralelepipedo rectangulo) es iguala l producto de sus tres dimensiones, tenemos 3

3

3

x – 6

x – 6

Volumen = (Largo)x(ancho)x(altura)

Etapa 3: Determinamos el dominio. Para que se puedan restar 3 pulgadas de cada lado entonces el lado del cuadrado x tiene que ser mayor que 6, es decir

Recordando que el volumen de una caja rectangular (paralelepípedo rectángulo) es iguala l producto de sus tres dimensiones, tenemos