funciones elementales: 8 polinómica , racional y con...

INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1.ºBachilleratoUnidad 8: Función polinómica y racional

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8Funciones elementales: polinómica , racional y con radicales

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Las parábolas y las hipérbolas son elementos muy utilizados

en las representaciones artísticas o arquitectónicas,

para medir el nivel de contaminación de una zona

determinada.

ACTIVIDAD


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Galileo Galilei

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Enlace a la biografía de

Galileo

Parábolas

Galileo (1564-1642) descubrió la ley que gobierna el movimiento de los cuerpos sobre la superficie

de la Tierra: La velocidad de caída de los cuerpos no depende de su masa y es directamente proporcional al tiempo. Esto implica que si

lanzamos un objeto con cierta inclinación hacia arriba la trayectoria seguida es una parábola.

http://platea.pntic.mec.es/pmarti1/educacion/fisica_2_bach/biografias/optica/galileo.htm


http://centros5.pntic.mec.es/ies.victoria.kent/Rincon-C/Curiosid/rc-79/rc-79.html


http://centros5.pntic.mec.es/ies.victoria.kent/Rincon-C/Curiosid/rc-79/rc-79.html


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Esquema de contenidos

Función polinómicas y racional

Funciones polinómicas

Primer grado: rectas

Segundo grado: parábolas

Funciones racionales

Hipérbola

Hipérbola

Función de proporcionalidad inversa

y=k

x−a

y=k

x−ab


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SIGUIENTE

Función polinómica

Llamamos función polinómica a la función cuya expresión algebraica es un polinomio.

Son funciones polinómicas:


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Función polinómica de primer grado: rectas

Las funciones polinómicas de primer grado son funciones del tipo:

Y su representación gráfica es una recta donde:

m es la pendiente.

n es la ordenada en el origen.

y=mxn

SIGUIENTE

y=mx

y=mxn

y=n

Si m>0, son crecientes. Si m<0, son decrecientes


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Función polinómica de primer grado:pendiente, m, y ordenada en el origen, n

La pendiente de una recta es la variación de la y cuando la x aumenta una unidad:

SIGUIENTE

m= y x

=y2− y1

x2−x1

La pendiente de una recta dada por su ecuación es el coeficiente de la x cuando se despeja la y

n es la ordenada en el origen representa la distancia desde el punto de corte de la recta con el eje Y al origen de coordenadas; es decir la recta pasa por el punto:

n P 0, n∈ r : y=mxn

Si m>0, son crecientes. Si m<0, son decrecientes


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Función polinómica de primer grado: rectas : y =mx+n

SIGUIENTE

1 m = 3 y n = -2

2 Pasa por P(2,3) y m = 4

3 Pasa por P(1,-1) y n = -2

4 Pasa por los puntos A(3,7) y B(-1,3)

5Dada la función y= m·x - 2, determina el valor de m para que pase por el puntoA(-1,-5)

6

Un fontanero cobra 15 euros por el desplazamiento y 12 euros por cada hora de trabajo. Escribe la expresión que nos da el salario de un fontanero en función del tiempo trabajado. Si el fontanero nos ha cobrado 57 euros ¿cuánto tiempo estuvo trabajando?

Escribe las ecuaciones y representa en tu cuaderno, con distintos colores, las rectas definidas del siguiente modo:


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Función polinómica de primer grado: rectas : y = mx+n

SIGUIENTE

Escribe las ecuaciones de cada una de las rectas representadas


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Función polinómica de segundo grado: parábolas

Las funciones polinómicas de segundo grado son funciones cuya expresión algebraica es:

Y su representación gráfica es una curva que se llama parábola, en la que se distinguen el vértice, V, y el eje de simetría (-·-·-·-·-).

y=ax2bxc a≠0

SIGUIENTE


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0a 2≠= axy


• Tienen el mismo vértice e igual eje de simetría

• Si a > 0, las ramas van hacia arriba, y alcanzará un mínimo.

• Si a < 0, las ramas van hacia abajo, y alcanzará un máximo.

• Cuanto menor sea el valor absoluto de a, |a|, más abiertas son las ramas. Cuanto mayor sea el valor absoluto de a, |a|, mas estilizada (“esbelta”) será la parábola

SIGUIENTE


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Las funciones polinómicas de segundo grado cuya expresión algebraica es:

y=ax2c a≠0


• Tienen el mismo vértice e igual eje de simetría.

•Si a > 0, las ramas van hacia arriba.

•Si a < 0, las ramas van hacia abajo.

• Cuanto menor sea el valor absoluto de a, más abiertas son las ramas.

Se obtienen trasladando verticalmente la parábola :

c unidades hacia arriba si c > 0

c unidades hacia abajo si c < 0.

Su vértice es el (0, c).

y=a x2

SIGUIENTE


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0a ; 2≠+= bx axy


•Si a > 0, las ramas van hacia arriba.

•Si a < 0, las ramas van hacia abajo.

Las gráficas son iguales en forma a la parábola , pero su eje de simetría y su vértice se encuentran desplazados.

Veremos que su vértice es .

y=ax2

xv=−b2a y v=

−b2

4a

V −b2a

,−b2

4a

SIGUIENTE

Se obtienen trasladando de forma oblicua la parábola y =a x²


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La función polinómicas de segundo grado y = ax2 +bx +c corta a la recta y = c en dos puntos que obtenemos resolviendo el sistema por igualación:

Función polinómica de segundo grado: Vértice de la parábola

Las gráficas son iguales en forma a la parábola y=ax² , pero su eje de simetría y su vértice se encuentran desplazados.

Su vértice es . V −b2a

,−b2

4a SIGUIENTE

ax2bxc=c ax2

bx=0 x axb=0

cuyas soluciones son x=0 y x=−b2a

x v=

0−b2a 2

=−b2a

La abcisa del vértice xv es el punto medio


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Las funciones polinómicas de segundo grado cuya expresión algebraica es:

0a ; 2 ≠++= cbxaxy


Su vértice es

xv=−b2a

y v=−b2

4 ac4a

V −b2a

,−b2

4 ac4a

COEFICIENTES REPRESENTACIÓN

a < 0 La gráfica tiene un máximo en el vértice.

a > 0 La gráfica tiene un mínimo en el vértice.

Cuando mayor sea el valor absoluto, más se cierran las ramas de la parábola.

Si b = 0 El eje de ordenadas coincide con el eje de simetría.

Si b ≠ 0Eje de simetría en

Si b tiene el mismo signo que a, el eje de simetría está a la izquierda del eje de ordenadas, y si tienen distinto signo está a la derecha.

x=−b2a SIGUIENTE

∣a∣


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Representar la parábola: y= x2−4x2

SIGUIENTE


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Representar la parábola:

Como a > 0, tiene las ramas hacia arriba.

y= x2−4x2

SIGUIENTE


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x=−b2a

=−−4

2⋅1=2 Eje de simetría:


y= x2−4x2

SIGUIENTE


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Eje de simetría:

Vértice:

x=−b2a

=−−4

2⋅1=2


y= x2−4x2

x=−b2a

=−−4

2⋅1=2

V 2 ,−2

SIGUIENTE

y=22−4⋅22=4−82=−2


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Eje de simetría:

Vértice:

Tabla de valores:


x 0 1 2 3 4

y 2 -1 -2 -1 2

y= x2−4x2

x=−b2a

=−−4

2⋅1=2

SIGUIENTE

x=−b2a

=−−4

2⋅1=2 V 2 ,−2

y=22−4⋅22=4−82=−2


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Eje de simetría:

Vértice:

Tabla de valores:


x 0 1 2 3 4

y 2 -1 -2 -1 2

y= x2−4x2

xv=−b2a

=−−4

2⋅1=2

x v=−b2a

=−−4

2⋅1=2 V 2 ,−2

y v=22−4⋅22=4−82=−2


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y = 2x2-12x+20

y = x2+4x

y = 3x2+12x+13

y = 4x2-8x-6

y = -x2-14x+45


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Funciones polinómicas de grado superior

y = x3

y = x3+1

y = x4

y = -x4+x2

y = (x+1)6

La gráfica de una función cúbica (de grado 3) es una curva que preseta un asimetría central respecto deun punto de la curva.


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Funciones racionales. Función de proporcionalidad inversa

Una función de proporcionalidad inversa es una función que relaciona dos magnitudes inversamente proporcionales.

• Su expresión algebraica es del tipo

donde k es la constante de proporcionalidad inversa.

• Dom f= R-{0}. Decimos que en x=0 hay una asíntota vertical (A medida que los valores de x crecen o decrecen, la función se acerca x=0).

•También tiene una asíntota horizontal: y=0

•Su gráfica es una curva llamada hipérbola, y no corta a los ejes coordenados.

•La función es impar, simétrica respecto el origen de coordenadas.

•Si k>0, la función es creciente y la gráfica está en el 1er y 3er cuadrante

•Si k<0, la función es creciente y la gráfica está en el 2º y 4º cuadrante.

y=kx

k≠0

Si k > 0 es una función decreciente.

Si k < 0 es una función creciente.

SIGUIENTE

Las funciones racionales son aquellas funciones cuya expresión algebraica es un cociente de polinomios: y=

Px Q x

, siendo gradoQ x ≠0


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Dada la función:

a) ¿Para qué valores es decreciente la función?

b) ¿Tiene máximos y mínimos?

c) Realizar una tabla de valores, dando valores a x de -1 a 0 y de 1 a 0, y tomando valores cada vez más cercanos a 0. ¿A qué valores se acerca la función?


y=4x

SIGUIENTE


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a) Cómo k > 0 la función es siempre decreciente

y=4x

SIGUIENTE

Dada la función:





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b) Al ser una función siempre decreciente, no tiene ni máximos ni mínimos.

y=4x

SIGUIENTE

Dada la función:





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y=4x


b) Al ser una función siempre decreciente, no tiene ni máximos ni mínimos.

c) x -1 -0,5 -0,2 -0,1 0,1 0,2 0,5 1

y -4 -8 -20 -40 40 20 8 4

Dada la función:




límx0+

f x =

límx0-

f x =


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Función racional. Hipérbolas

Conocida la gráfica de la hipérbola , las gráficas de las hipérbolas

Son traslaciones de las anteriores.

y=kx

El eje vertical es x = a

El eje horizontal es y = 0

y=k

x−a

SIGUIENTE


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y=kx



y=k

x−a

a < 0

SIGUIENTE


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y=kx

El eje vertical es x = -a


y=k

x−a

a > 0

a > 0

SIGUIENTE




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y=k

x−a El eje vertical es x = a

El eje horizontal es y = ± b

y=k

x−ab

SIGUIENTE


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y=k



y=k

x−ab

+ b

SIGUIENTE


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y=k



y=k

x−ab

+ b

- b

SIGUIENTE


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y=1

x12 y=

1x−2

−4y=−1

x3y=

−1x2

Relacionamos las expresiones de las siguientes funciones con su representación gráfica.

SIGUIENTE


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y=1

x12 y=

1x−2

−4y=−1

x3y=

−1x2


1 unidad izquierda

2 unidades arriba

SIGUIENTE


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y=1

x12 y=

1x−2

−4y=−1

x3y=

−1x2


1 unidad izquierda

2 unidades arriba

2 unidades arriba

SIGUIENTE


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y=1

x12 y=

1x−2

−4y=−1

x3y=

−1x2


1 unidad izquierda

2 unidades arriba

2 unidades arriba

3 unidades izquierda

SIGUIENTE


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y=1

x12 y=

1x−2

−4y=−1

x3y=

−1x2


1 unidad izquierda

2 unidades arriba

2 unidades arriba2 unidades derecha

4 unidades abajo

3 unidades izquierda


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Función con radicales

Las funciones con radicales son funciones en cuya expresión algebraica aparece la variable x bajo el signo radical:

f x = ng x

Características:

●Si n es un número par:

●Si n es impar:

Dom f ={x ∣ g x ≥0}

Dom f =ℝ


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Enlaces de interés

Juegos

IR A ESTA WEB

Diccionario matemáticos

IR A ESTA WEB

http://centros5.pntic.mec.es/ies.pio.del.rio.hortega/MATEMATICAS/juegos.htm

http://www.iesezequielgonzalez.com/matematicas/status.htm

http://www.pntic.mec.es/

http://www.pntic.mec.es/












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Actividad: la función valor absoluto

En la sección chilena de la Editorial Santillana se propone una actividad con el siguiente programa, que permite trabajar con la función valor absoluto f(x)=|x|=abs(x) .

Para conocerlo, sigue este enlace.

Dirección:

http://www.santillana.cl/mat2/unidad3c.htm




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