Función de ondas

Durante centurias las religiones y la ciencia ortodoxa tomaron el control del

conocimiento para dividirlo, en una feroz competencia, entre la religiosidad de la

Iglesia y el materialismo de la ciencia. Así fue como toda la dinámica universal se

consideró un inmenso mecanismo predecible y en el que el hombre no tenía

incidencia. Todo estaba en manos de Dios, arbitrando una puja eterna en su

creación: entre el bien y el mal, el caos y el orden. Mucho se habla en estos días

sobre la Física Cuántica, pero en definitiva, ¿qué es la Física Cuántica? Si

comparamos a la Física Cuántica con un sistema monetario basado en el peso, la

unidad mínima de dicho sistema es el centavo. La llamada Física Clásica se

encargaría entonces de estudiar el sistema a partir de la unidad peso (átomo)

mientras que la Física Cuántica lo haría a partir del centavo (cuanto). Entonces

esto puede llevarnos a definirla como una ciencia subatómica. La Física Cuántica

comienza a abrir un nuevo camino al conocimiento verdadero reconociendo la

divinidad en nosotros mismos y el poder de co-creación que todos poseemos. El

hombre dejó de ser un “astronauta” del destino para darse cuenta de que puede

elegir y crear de forma consciente cómo quiere interrelacionarse con la realidad.

La teoría del todo (The Theory of Everything originalmente en inglés) es una película

romántica y biográfica británica de 2014,4 dirigida por James Marsh y producida por

Anthony McCarten. La película está inspirada por las memorias Travelling to Infinity: My

life with Stephen por Jane Hawking, en la cual da a conocer la relación con su ex-esposo

el físico teórico Stephen Hawking, su diagnóstico y su proceso físico.5 Esta es la sexta

película dirigida por James Marsh. Eddie Redmayne y Felicity Jones son los protagonistas

junto con Charlie Cox, Emily Watson, Simon McBurney y David Thewlis en los personajes

secundarios.

La teoría del todo tuvo su première mundial en el Festival de Cine de Toronto de 2014, y

se estrenó en noviembre de 2014.Focus Features distribuye la película en los Estados

Unidos, Entertainment One Films distribuye la película en Canadá yUniversal

Pictures distribuye en los demás países.

"La teoría del todo" fue nominada a cinco premios de La Academia. Y el que sostuvo la

estatuilla fue Eddie Redmayne (Stephen Hawking) por mejor actor.

La mecánica cuántica describe, en su visión más ortodoxa, cómo en cualquier sistema

físico –y por tanto, en todo el universo– existe una diversa multiplicidad de estados, los

cuales habiendo sido descritos mediante ecuaciones matemáticas por los físicos, son

denominados estados cuánticos. De esta forma la mecánica cuántica puede explicar la

existencia del átomo y revelar los misterios de la estructura atómica, tal como hoy son

entendidos; fenómenos que no puede explicar debidamente la física clásica o más

propiamente la mecánica clásica.

De forma específica, se considera también mecánica cuántica, a la parte de ella

misma que no incorpora la relatividad en su formalismo, tan sólo como añadido

mediante la teoría de perturbaciones.1 La parte de la mecánica cuántica que sí

incorpora elementos relativistas de manera formal y con diversos problemas, es

la mecánica cuántica relativista o ya, de forma más exacta y potente, la teoría cuántica

de campos (que incluye a su vez a la electrodinámica cuántica, cromodinámica

cuántica y teoría electrodébil dentro del modelo estándar)2 y más generalmente,

la teoría cuántica de campos en espacio-tiempo curvo. La única interacción que no se

ha podido cuantificar ha sido la interacción gravitatoria.

La mecánica cuántica es el fundamento de los estudios del átomo, su núcleo y

las partículas elementales (siendo necesario el enfoque relativista). También en teoría

de la información, criptografía y química.

Las técnicas derivadas de la aplicación de la mecánica cuántica suponen, en mayor o

menor medida, el 30 por ciento del PIB de losEstados Unidos.

ontexto histórico

La mecánica cuántica es, cronológicamente, la última de las grandes ramas de

la física. Se formuló a principios del siglo XX, casi al mismo tiempo que la teoría de la

relatividad, aunque el grueso de la mecánica cuántica se desarrolló a partir de 1920

(siendo la teoría de la relatividad especial de 1905 y la teoría general de la relatividad

de 1915).

Además al advenimiento de la mecánica cuántica existían diversos problemas no

resueltos en el electrodinámica clásica. El primero de estos problemas era la emisión

de radiación de cualquier objeto en equilibrio, llamada radiación térmica, que es la que

proviene de la vibración microscópica de las partículas que lo componen. Usando las

ecuaciones de la electrodinámica clásica, la energía que emitía esta radiación térmica

tendía al infinito si se suman todas las frecuencias que emitía el objeto, con ilógico

resultado para los físicos. También la estabilidad de los átomos no podía ser explicada

por el electromagnetismo clásico, y la noción de que le electrón fuera o bien una

partícula clásica puntual o bien una cáscara de dimensiones finitas resultaban

igualmente problemáticas.

Radiación electromagnética

El problema de la radiación electromagnética fue uno de los primeros problemas

resueltos en el seno de la mecánica cuántica. Es en el seno de la mecánica

estadística donde surgen las ideas cuánticas en 1900. Al físico alemán Max Planck se

le ocurrió un artificio matemático: si en el proceso aritmético se sustituía la integral de

esas frecuencias por una suma no continua, se dejaba de obtener infinito como

resultado, con lo que se eliminaba el problema; además, el resultado obtenido

concordaba con lo que después era medido.

Fue Max Planck quien entonces enunció la hipótesis de que la radiación

electromagnética es absorbida y emitida por la materia en forma de «cuantos» de luz

o fotones de energía mediante una constante estadística, que se denominó constante

de Planck. Su historia es inherente al siglo XX, ya que la primera

formulación cuántica de un fenómeno fue dada a conocer por el mismo Planck el 14 de

diciembre de 1900 en una sesión de la Sociedad Física de la Academia de Ciencias de

Berlín.4

La idea de Planck habría quedado muchos años sólo como hipótesis si Albert

Einstein no la hubiera retomado, proponiendo que la luz, en ciertas circunstancias, se

comporta como partículas de energía independientes (los cuantos de luz o fotones).

Fue Albert Einstein quien completó en 1905 las correspondientes leyes de movimiento

en su teoría especial de la relatividad, demostrando que el electromagnetismo era una

teoría esencialmente no mecánica. Culminaba así lo que se ha dado en llamar física

clásica, es decir, la física no-cuántica.

Usó este punto de vista llamado por él «heurístico», para desarrollar su teoría del

efecto fotoeléctrico, publicando esta hipótesis en 1905, lo que le valió el Premio Nobel

de Física de 1921. Esta hipótesis fue aplicada también para proponer una teoría sobre

el calor específico, es decir, la que resuelve cuál es la cantidad de calor necesaria

para aumentar en una unidad la temperatura de la unidad de masa de un cuerpo.

El siguiente paso importante se dio hacia 1925, cuando Louis De Broglie propuso que

cada partícula material tiene una longitud de onda asociada, inversamente

proporcional a su masa, y dada por su velocidad. Poco tiempo después Erwin

Schrödinger formuló una ecuación de movimiento para las «ondas de materia», cuya

existencia había propuesto De Broglie y varios experimentos sugerían que eran reales.

La mecánica cuántica introduce una serie de hechos contraintuitivos que no aparecían

en los paradigmas físicos anteriores; con ella se descubre que el mundo atómico no se

comporta como esperaríamos. Los conceptos de incertidumbre o cuantización son

introducidos por primera vez aquí. Además la mecánica cuántica es la teoría científica

que ha proporcionado las predicciones experimentales más exactas hasta el momento,

a pesar de estar sujeta a las probabilidades.

Inestabilidad de los átomos clásicos

El segundo problema importante que la mecánica cuántica resolvio a través

del modelo de Bohr, fue el de la estabilidad de los átomos. De acuerdo con la teoría

clásica un electrón orbitando alrededor de un núcleo cargado positivamente debería

emitir energía electromagnética perdiendo así velocidad hasta caer sobre el núcleo. La

evidencia empírica era que esto no sucedía, y sería la mecánica cuántica quien

resolvería este hecho primero mediante postulados ad hoc formulados por Bohr y más

tarde mediante modelos como el modelo atómico de Schrödinger basados en

supuestos más generales. A continuación se explica el fracaso del modelo clásico.

En mecánica clásica, un átomo de hidrógeno es un tipo de problema de los dos

cuerpos en que el protón sería el primer cuerpo que tiene más del 99% de la masa del

sistema y el electrón es el segundo cuerpo que es mucho más ligero. Para resolver el

problema de los dos cuerpos es conveniente hacer la descripción del sistema,

colocando el origen del sistema de referencia en el centro de masa de la partícula de

mayor masa, esta descripción es correcta considerando como masa de la otra

partícula la masa reducida que viene dada por

Siendo   la masa del protón y   la masa del electrón. En ese caso el problema del

átomo de hidrógeno parece admitir una solución simple en la que el electrón se

moviera en órbitas elípticas alrededor del núcleo atómico. Sin embargo, existe un

problema con la solución clásica, de acuerdo con las predicciones

de electromagnetismo una partícula eléctrica que sigue un movimiento acelerado,

como sucedería al describir una elipse debería emitir radiación electromagnética, y por

tanto perder energía cinética, la cantidad de energía radiada sería de hecho:

Ese proceso acabaría con el colapso del átomo sobre el núcleo en un tiempo muy

corto dadas las grandes aceleraciones existentes. A partir de los datos de la ecuación

anterior el tiempo de colapso sería de 10-8 s, es decir, de acuerdo con la física clásica

los átomos de hidrógeno no serían estables y no podrían existir más de una

cienmillonésima de segundo.

Esa incompatibilidad entre las predicciones del modelo clásico y la realidad observada

llevó a buscar un modelo que explicara fenomenológicamente el átomo. El modelo

atómico de Bohr era un modelo fenomenológico que explicaba satisfactoriamente

algunos datos, como el orden de magnitud del radio atómico y los espectros de

absorción del átomo, pero no explicaba cómo era posible que el electrón no emitiera

radiación perdiendo energía. La búsqueda de un modelo más adecuado llevó a la

formulación del modelo atómico de Schrödinger en el cual puede probarse que el valor

esperado de la acelaración es nulo, y sobre esa base puede decirse que la energía

electromagnética emitida debería ser también nula. Sin embargo, la representación

cuántica de Schrödinger es difícil de entender en términos intuitivos.

Desarrollo histórico

La teoría cuántica fue desarrollada en su forma básica a lo largo de la primera mitad

del siglo XX. El hecho de que la energía se intercambie de forma discreta se puso de

relieve por hechos experimentales como los siguientes, inexplicables con las

herramientas teóricas anteriores de la mecánica clásica o la electrodinámica:

Fig. 1: La función de onda del electrón de un átomo de hidrógeno posee niveles de

energía definidos y discretos denotados por un número cuántico n=1, 2, 3,... y valores

definidos de momento angular caracterizados por la notación: s, p, d,... Las áreas

brillantes en la figura corresponden a densidades elevadas de probabilidad de

encontrar el electrón en dicha posición.

Espectro de la radiación del cuerpo negro, resuelto por Max Planck con la

cuantización de la energía. La energía total del cuerpo negro resultó que tomaba

valores discretos más que continuos. Este fenómeno se llamó cuantización, y los

intervalos posibles más pequeños entre los valores discretos son

llamados quanta (singular: quantum, de la palabra latina para «cantidad», de ahí el

nombre de mecánica cuántica). La magnitud de un cuanto es un valor fijo llamado

constante de Planck, y que vale: 6.626 ×10-34 julios por segundo.

Bajo ciertas condiciones experimentales, los objetos microscópicos como

los átomos o los electrones exhiben un comportamiento ondulatorio, como en

la interferencia. Bajo otras condiciones, las mismas especies de objetos exhiben

un comportamiento corpuscular, de partícula, («partícula» quiere decir un objeto

que puede ser localizado en una región concreta del espacio), como en

la dispersión de partículas. Este fenómeno se conoce como dualidad onda-

partícula.

Las propiedades físicas de objetos con historias asociadas pueden ser

correlacionadas, en una amplitud prohibida para cualquier teoría clásica, sólo

pueden ser descritos con precisión si se hace referencia a ambos a la vez. Este

fenómeno es llamado entrelazamiento cuántico y la desigualdad de Bell describe

su diferencia con la correlación ordinaria. Las medidas de las violaciones de la

desigualdad de Bell fueron algunas de las mayores comprobaciones de la

mecánica cuántica.

Explicación del efecto fotoeléctrico, dada por Albert Einstein, en que volvió a

aparecer esa "misteriosa" necesidad de cuantizar la energía.

Efecto Compton.

El desarrollo formal de la teoría fue obra de los esfuerzos conjuntos de varios físicos y

matemáticos de la época comoSchrödinger, Heisenberg, Einstein, Dirac, Bohr y Von

Neumann entre otros (la lista es larga). Algunos de los aspectos fundamentales de la

teoría están siendo aún estudiados activamente. La mecánica cuántica ha sido

también adoptada como la teoría subyacente a muchos campos de la física y la

química, incluyendo la física de la materia condensada, la química cuántica y la física

de partículas.

La región de origen de la mecánica cuántica puede localizarse en la Europa central,

en Alemania y Austria, y en el contexto histórico del primer tercio del siglo XX.

Suposiciones más importantes

Artículo principal:  Interpretaciones de la Mecánica cuántica

Las suposiciones más importantes de esta teoría son las siguientes:

Al ser imposible fijar a la vez la posición y el momento de una partícula, se

renuncia al concepto de trayectoria, vital en mecánica clásica. En vez de eso, el

movimiento de una partícula 'puede ser explicado por una función matemática que

asigna, a cada punto del espacio y a cada instante, la probabilidad de que la

partícula descrita se halle en tal posición en ese instante (al menos, en la

interpretación de la Mecánica cuántica más usual, la probabilística o interpretación

de Copenhague). A partir de esa función, o función de ondas, se extraen

teóricamente todas las magnitudes del movimiento necesarias.

Existen dos tipos de evolución temporal, si no ocurre ninguna medida el estado del

sistema o función de onda evolucionan de acuerdo con la ecuación de

Schrödinger, sin embargo, si se realiza una medida sobre el sistema, éste sufre

un «salto cuántico» hacia un estado compatible con los valores de la medida

obtenida (formalmente el nuevo estado será una proyección ortogonal del estado

original).

Existen diferencias perceptibles entre los estados ligados y los que no lo están.

La energía no se intercambia de forma continua en un estado ligado, sino en forma

discreta lo cual implica la existencia de paquetes mínimos de energía llamados

cuantos, mientras en los estados no ligados la energía se comporta como un

continuo.

Descripción de la teoría

Para describir la teoría de forma general es necesario un tratamiento matemático

riguroso, pero aceptando una de las tres interpretaciones de la mecánica cuántica (a

partir de ahora la Interpretación de Copenhague), el marco se relaja. La mecánica

cuántica describe el estado instantáneo de un sistema (estado cuántico) con

una función de onda que codifica la distribución de probabilidad de todas las

propiedades medibles, u observables. Algunos observables posibles sobre un sistema

dado son la energía, posición,momento y momento angular. La mecánica cuántica no

asigna valores definidos a los observables, sino que hace predicciones sobre sus

distribuciones de probabilidad. Las propiedades ondulatorias de la materia son

explicadas por la interferencia de las funciones de onda.

Estas funciones de onda pueden variar con el transcurso del tiempo. Esta evolución

es determinista si sobre el sistema no se realiza ninguna medida aunque esta

evolución esestocástica y se produce mediante colapso de la función de onda cuando

se realiza una medida sobre el sistema (Postulado IV de la MC). Por ejemplo, una

partícula moviéndose sin interferencia en el espacio vacío puede ser descrita mediante

una función de onda que es un paquete de ondas centrado alrededor de alguna

posición media. Según pasa el tiempo, el centro del paquete puede trasladarse,

cambiar, de modo que la partícula parece estar localizada más precisamente en otro

lugar. La evolución temporal determinista de las funciones de onda es descrita por

la Ecuación de Schrödinger.

Algunas funciones de onda describen estados físicos con distribuciones de

probabilidad que son constantes en el tiempo, estos estados se llaman estacionarios,

son estados propios del operador hamiltoniano y tienen energía bien definida. Muchos

sistemas que eran tratados dinámicamente en mecánica clásica son descritos

mediante tales funciones de onda estáticas. Por ejemplo, un electrón en un átomo sin

excitar se dibuja clásicamente como una partícula que rodea el núcleo, mientras que

en mecánica cuántica es descrito por una nube de probabilidad estática que rodea al

núcleo.

Cuando se realiza una medición en un observable del sistema, la función de ondas se

convierte en una del conjunto de las funciones llamadas funciones propias o estados

propios del observable en cuestión. Este proceso es conocido como colapso de la

función de onda. Las probabilidades relativas de ese colapso sobre alguno de los

estados propios posibles son descritas por la función de onda instantánea justo antes

de la reducción. Considerando el ejemplo anterior sobre la partícula en el vacío, si se

mide la posición de la misma, se obtendrá un valor impredecible x. En general, es

imposible predecir con precisión qué valor de x se obtendrá, aunque es probable que

se obtenga uno cercano al centro del paquete de ondas, donde la amplitud de la

función de onda es grande. Después de que se ha hecho la medida, la función de

onda de la partícula colapsa y se reduce a una que esté muy concentrada en torno a la

posición observada x.

La ecuación de Schrödinger es en parte determinista en el sentido de que, dada una

función de onda a un tiempo inicial dado, la ecuación suministra una predicción

concreta de qué función tendremos en cualquier tiempo posterior. Durante una

medida, el eigen-estado al cual colapsa la función es probabilista y en este aspecto es

no determinista. Así que la naturaleza probabilista de la mecánica cuántica nace del

acto de la medida.

Formulación matemática

Artículos principales: Postulados de la mecánica cuántica y Notación braket.

En la formulación matemática rigurosa, desarrollada por Dirac y von Neumann, los

estados posibles de un sistema cuántico están representados por vectores unitarios

(llamados estados) que pertenecen a un Espacio de

Hilbert complejo separable (llamado el espacio de estados). Qué tipo de espacio de

Hilbert es necesario en cada caso depende del sistema; por ejemplo, el espacio de

estados para los estados de posición y momento es el espacio de funciones de

cuadrado integrable  , mientras que la descripción de un sistema sin traslación

pero con un espín   es el espacio  . La evolución temporal de un estado

cuántico queda descrita por la ecuación de Schrödinger, en la que el hamiltoniano, el

operador correspondiente a la energía total del sistema, tiene un papel central.

Cada magnitud observable queda representada por un operador lineal

hermítico definido sobre un dominio denso del espacio de estados. Cada estado propio

de un observablecorresponde a un eigenvector del operador, y el valor propio o

eigenvalor asociado corresponde al valor del observable en aquel estado propio.

El espectro de un operadorpuede ser continuo o discreto. La medida de un observable

representado por un operador con espectro discreto sólo puede tomar un conjunto

numerable de posibles valores, mientras que los operadores con espectro continuo

presentan medidas posibles en intervalos reales completos. Durante una medida, la

probabilidad de que un sistema colapse a uno de los eigenestados viene dada por el

cuadrado del valor absoluto del producto interior entre el estado propio o auto-estado

(que podemos conocer teóricamente antes de medir) y el vector estado del sistema

antes de la medida. Podemos así encontrar la distribución de probabilidad de un

observable en un estado dado computando ladescomposición espectral del operador

correspondiente. El principio de incertidumbre de Heisenberg se representa por la

aseveración de que los operadores correspondientes a ciertos observables

no conmutan.

Relatividad y la mecánica cuántica

Artículos principales: Teoría cuántica de campos y Segunda cuantización.

El mundo moderno de la física se funda notablemente en dos teorías principales,

la relatividad general y la mecánica cuántica, aunque ambas teorías usan principios

aparentemente incompatibles. Los postulados que definen la teoría de la relatividad de

Einstein y la teoría del quántum están apoyados por rigurosa y repetida evidencia

empírica. Sin embargo, ambas se resisten a ser incorporadas dentro de un mismo

modelo coherente. Desde mediados del siglo XX, aparecieron teorías cuánticas

relativistas del campo electromagnético (electrodinámica cuántica) y las fuerzas

nucleares (modelo electrodébil, cromodinámica cuántica), pero hasta la fecha (2015)

no se tiene una teoría cuántica relativista del campo gravitatorio que sea plenamente

consistente y válida para campos gravitatorios intensos (existen aproximaciones

en espacios asintóticamente planos). Todas las teorías cuánticas relativistas

consistentes usan los métodos de la teoría cuántica de campos.

En su forma ordinaria, la teoría cuántica abandona algunos de los supuestos básicos

de la teoría de la relatividad, como por ejemplo el principio de localidad usado en la

descripción relativista de la causalidad. El mismo Einstein había considerado absurda

la violación del principio de localidad a la que parecía abocar la mecánica cuántica. La

postura de Einstein fue postular que la mecánica cuántica si bien

era consistente era incompleta. Para justificar su argumento y su rechazo a la falta de

localidad y la falta de determinismo, Einstein y varios de sus colaboradores postularon

la llamada paradoja de Einstein-Podolsky-Rosen (EPR), la cual demuestra que medir

el estado de una partícula puede instantáneamente cambiar el estado de su socio

enlazado, aunque las dos partículas pueden estar a una distancia arbitrariamente

grande. Modernamente el paradójico resultado de la paradoja EPR se sabe es una

consecuencia perfectamente consistente del llamado entrelazamiento cuántico. Es un

hecho conocido que si bien la existencia del entrelazamiento cuántico efectivamente

viola el principio de localidad, en cambio no viola la causalidad definido en términos de

información, puesto que no hay transferencia posible de información. Si bien en su

tiempo, parecía que la paradoja EPR suponía una dificultad empírica para mecánica

cuántica, y Einstein consideró que la mecánica cuántica en la interpretación de

Copenhague podría ser descartada por experimento, décadas más tarde los

experimentos de Alain Aspect (1981) revelaron que efectivamente la evidencia

experimental parace apuntar en contra del principio de localidad.5 Y por tanto, el

resultado paradójico que Einstein rechazaba como "sin sentido" parece ser lo que

sucede precisamente en el mundo real.

CapÌtulo 1 Cuantos de luz. Desde que Newton formulÛ sus leyes de la mec·nica hasta

los Önales del siglo XIX, la fÌsica se desarrollÛ de manera exitosa. La apariciÛn de

nuevos hechos experimentales se lograba explicar ya sea por la introducciÛn de

nuevas variables din·micas o bien de nuevas ecuaciones. En este periodo, ning˙n

hecho experimental puso en duda la doctrina cl·sica y la descripciÛn de un sistema se

realizaba con la ayuda de determinadas variables din·micas, las cuales en cada

momento de tiempo tenÌan bien determinados sus valores que deÖnÌan al sistema. La

evoluciÛn de un sistema estaba totalmente dada si era conocido el estado del sistema

en un momento inicial. Por otra parte, se habÌa establecido que en el mundo existÌan

dos formas de existencia de la materia: la sustancia y la radiaciÛn. La sustancia se

consideraba compuesta de corp˙sculos localizados que se subordinaban a las leyes de

Newton, y cuyos estados se determinaban en cada momento por su posiciÛn y

velocidad. La radiaciÛn por su parte consitÌa de ondas electromagnÈticas

subordinadas a la teorÌa de Maxwell, con inÖnitas variables din·micas que conforman

en cada punto del espacio a los campos E y H. A diferencia de la sustancia, las ondas

electromagnÈticas no se podÌan dividir en corp˙sculos localizados en el espacio, ellas

constituÌan procesos ondulatorios con fenÛmenos bien conocidos como la difracciÛn y

la interferencia. En un inicio, la teorÌa corpuscular se aplicÛ a los cuerpos

macroscÛpicos, y cuando se propuso la hipÛtesis atÛmica de la estructura de la

sustancia se extendiÛ al micromundo, dando origen a la mec·nica estadÌstica. Seg˙n la

mec·nica estadÌstica, las magnitudes macroscÛpicas constituyen los valores medios

de las variables din·micas del sistema que posee un n˙mero muy elevado de grados

de libertad. La investigaciÛn de los gases (teorÌa cinÈtica de los gases) y la

termodin·mica permitieron corroborar cualitativamente las principales posiciones de la

teorÌa corpuscular de la sustancia. Sin embargo, surgieron nuevos fenÛmenos que no

encontraban explicaciÛn 9 10 CAPÕTULO 1. CUANTOS DE LUZ. en la teorÌa cl·sica y

que no se podÌan justiÖcar con diÖcultades matem·ticas. Uno de ellos resultÛ ser el

problema de la radiaciÛn del cuerpo negro. 1.1. Cuerpo Negro. HipÛtesis de Plank.

RadiaciÛn tÈrmica en equilibrio. Absorbancia y emisividad. Ley de Kircho§. Cuerpo

Negro. Leyes fenomenolÛgicas: ley de Stefan-Boltzmann, ley de desplazamiento de

Wien, ley de Wien para la densidad espectral de energÌa. Formula de Rayleigh-Jeans.

HipÛtesis de Plank. Formula de Plank. An·lisis de los casos extremos. 1.1.1.

RadiaciÛn tÈrmica en equilibrio. La radiaciÛn de la luz ocurre como resultado de las

transformaciones de los ·tomos, molÈculas y otros sistemas atÛmicos, al pasar de

estados de mayor energÌa a los de menor energÌa. En el caso de la radiaciÛn tÈrmica,

la energÌa que se transforma es la energÌa cinÈtica de las partÌculas, es decir, la

energÌa tÈrmica asociada a los ·tomos y molÈculas. Una caracterÌstica importante de

la radiaciÛn tÈrmica es su espectro de emisiÛn, el cual contiene todas las longitudes

de onda a diferencia de otros tipos de radiaciones. No vamos a estudiar todos los tipos

de radiaciones tÈrmicas, sÛlo uno en particular: la radiaciÛn tÈrmica en equilibrio.

Supongamos se tiene una cavidad inmÛvil y no transparente con temperatura

constante en sus paredes. Producto de sus excitaciones tÈrmicas, los ·tomos y

molÈculas van a emitir sus radiaciones al interior de la cavidad. Parte de la energÌa de

estas radiaciones es absorbida y la otra se reáeja. Durante este proceso cambian la

direcciÛn, la composiciÛn espectral, la polarizaciÛn y la intensidad de las radiaciones.

Al pasar un tiempo suÖcientemente grande, se establece un estado macroscÛpico

(nos estamos reÖriendo a toda la cavidad), en el cual, por cada intervalo de tiempo, la

cantidad promedio de energÌa irradiada de determinado color, direcciÛn y

polarizaciÛn, se iguala a la cantidad de energÌa absorbida con iguales caracterÌsticas.

Se establece un equilibrio que explica correctamente la mec·nica estadÌstica. Al

alcanzarse el equilibrio, la radiaciÛn presenta las siguientes caracterÌsticas: 1.1.

CUERPO NEGRO. HIP”TESIS DE PLANK. 11 1. La densidad de energÌa, la

distribuciÛn espectral y otras magnitudes que la caracterizan, no dependen de la

forma ni del material de las paredes de la cavidad. 2. Es homogÈnea, su densidad no

depende del punto dentro de la cavidad. 3. Es isotrÛpica y no polarizada. Analicemos

a continuaciÛn las magnitudes que caracterizan a la radiaciÛn en el espacio. Densidad

de energÌa de la radiaciÛn (): Cantidad de energÌa de la radiaciÛn por unidad de

volumen en el espacio. En tÈrminos diferenciales: = dE dV (1.1) Se acostumbra a

utilizar su desarrollo espectral: = Z 1 0 () d (1.2) En el equilibrio, () sÛlo depende de y

T, ya que no hay dependencia ni del material ni de la forma de la cavidad. Adem·s,

consideraremos en lo adelante que en la cavidad existe vacÌo, en caso contrario, sÌ

existe dependencia del medio contenido en la cavidad. La tarea principal en la teorÌa

de la radiaciÛn tÈrmica consiste en encontrar la funciÛn universal T () . Intensidad de

la radiaciÛn (I): Cantidad de energÌa que atraviesa en la unidad de tiempo el ·rea

unitaria perpendicular a la direcciÛn de propagaciÛn. En tÈrminos diferenciales: I = d

2E dtdS (1.3) Desarrollo espectral: I = Z 1 0 I () d (1.4) RelaciÛn entre la densidad y la

intensidad de la radiaciÛn. Denotemos por c a la velocidad de propagaciÛn de la luz

en el vacÌo, entonces: dl = cdt ! dV = cdtdS ! I = c dE dV ! I = c (1.5) 12 CAPÕTULO 1.

CUANTOS DE LUZ. 1.1.2. Absorbancia y emisividad. Ley de Kircho§. En el

experimento se observa que tanto la energÌa que absorbe como la que emite un

cuerpo son directamente proporcionales a la intensidad de la radiaciÛn que incide y

que se emite respectivamente, siendo la proporciÛn dependiente del material que

compone al cuerpo y del estado en que este se encuentra. Subsisten las siguientes

relaciones: Ea = aIi ; Ee = eIe (1.6) donde Ea representa a la energÌa absorbida por

unidad de ·rea y de tiempo, Ii es la intensidad de la radiaciÛn que incide sobre el

cuerpo y a es el coe- Öciente adimensional denominado absorbancia. Este ˙ltimo

depende de la naturaleza de la superÖcie absorbente y toma valores en el intervalo 0

a 1 De forma similar, Ee representa a la energÌa que pierde el cuerpo por unidad de

·rea y de tiempo, Ie es la intensidad de la radiaciÛn que irradia el cuerpo y e es otro

coeÖciente adimensional que recibe el nombre de emisividad. Este tambiÈn depende

de la naturaleza de la superÖcie emisora y toma valores entre 0 y 1. Ley de Kircho§ :

Si un cuerpo se encuentra en equilibrio tÈrmico su absorbancia es igual a su

emisividad (a = e). Esta ley puede ser demostrada utilizando razonamientos

puramente termodin·micos, su validez ha sido veriÖcada en el experimento. 1.1.3.

Cuerpo Negro Se denomina cuerpo negro al cuerpo para el cual a = e = 1 en equilibrio

tÈrmico. Evidentemente, de todos los cuerpos, para una temperatura dada, el cuerpo

negro es el de mayor capacidad de absorciÛn y de emisiÛn. El cuerpo negro es una

idealizaciÛn. Su mejor aproximaciÛn es una cavidad cerrada en cuyas paredes se

tiene un oriÖcio muy pequeÒo. En efecto, si un rayo luz entra a tal cavidad, sufrir·

continuas reáexiones en las paredes de la cavidad. En cada reáexiÛn parte de la

energÌa es absorbida por las paredes y la otra es reáejada. DespuÈs de muchas

reáexiones una insigniÖcante parte logra salir por el oriÖcio, siendo pr·cticamente toda

la energÌa absorbida. Se establece un estado que poco se diferencia del equilibrio en

la cavidad y el oriÖcio se comporta irradiando como un cuerpo negro de sus

dimensiones y forma. 1.1. CUERPO NEGRO. HIP”TESIS DE PLANK. 13 Leyes

fenomenolÛgicas de la radiaciÛn del cuerpo negro 1. Ley de Stefan-Boltzmann. En

1879, Stefan encontrÛ de forma empÌrica que la intensidad integral por todo el

espectro de la radiaciÛn emitida por un cuerpo negro es proporcional a la cuarta

potencia de su temperatura absoluta: I = T4 (1.7) Cinco aÒos m·s tarde, Boltzmann

demostrÛ este resultado teÛricamente utilizando el mÈtodo de los ciclos

termodin·micos. La constante se denomina constante de Stefan-Boltzmann y su valor

es 5; 669 108 W=m2K4 : 2. Ley de desplazamiento de Wien. Entre la temperatura

absoluta T y la longitud de onda m; para la cual se alcanza el m·ximo en la densidad

espectral de energÌa IT (); de la radiaciÛn emitida por el cuerpo negro, existe la

relaciÛn: T m = b (1.8) donde b = 2; 898 106nm K recibe el nombre de constante de

Wien. 3. Ley de Wien para la densidad espectral de energÌa del cuerpo negro. La

densidad espectral de energÌa del cuerpo negro T () posee la dependencia funcional: T

() = f(T) 5 (1.9) donde f(T) es una funciÛn universal. Esta ecuaciÛn fue obtenida por

Wien a partir de principios muy generales de la termodin·mica. En el marco de una

teorÌa tan fenomenolÛgica como la termodin·mica no fue posible encontrar a la

funciÛn universal f(T). Fue necesario considerar los mÈtodos de la mec·nica

estadÌstica y la introducciÛn de los nuevos conceptos cu·nticos de la sustancia y la

radiaciÛn para hallar a esta funciÛn. 14 CAPÕTULO 1. CUANTOS DE LUZ. 1.1.4.

FÛrmula de Rayleigh-Jeans. Rayleigh y Jeans fueron los primeros en tratar de resolver

la tarea principal en la teorÌa de la radiaciÛn tÈrmica, es decir, en tratar de encontrar la

funciÛn T (). Estos cientÌÖcos tomaron en cuenta el teorema estadÌstico sobre la

distribuciÛn uniforme de la energÌa cinÈtica por los grados de libertad. Seg˙n este

teorema, en el estado de equilibrio, a cada grado de libertad corresponde en promedio

una energÌa cinÈtica igual a 1=2kT, donde k = 1; 38 1023J=K y se denomina

constante de Boltzmann. Si las partÌculas en cuestiÛn se encuentran ligadas y

realizando oscilaciones (como vamos a considerar) hay que tener en cuenta adem·s a

la energÌa potencial asociada a sus interacciones. En el caso de oscilaciones

armÛnicas, el valor medio de la energÌa potencial tambiÈn resulta igual a 1=2kT.

Tomando esto en cuenta, a cada oscilador armÛnico se le asocia un valor medio de

energÌa igual a kT. Un an·lisis similar se realiza para las ondas electromagnÈticas que

se establecen en el interior de la cavidad. En el interior de la cavidad se van a

establecer ondas estacionarias y al grado de libertad asociado con la onda elÈctrica se

le asigna una energÌa promedio igual a 1=2kT: De forma an·loga a la componente

magnÈtica corresponder· otro 1=2kT, y de esta forma, a cada onda estacionaria

corresponder· en promedio una energÌa " = kT. Si se determina el n˙mero de ondas

estacionarias que se establecen en una cavidad para cada frecuencia o longitud de

onda a una temperatura dada, podemos obtener la funciÛn T () o T (v). Se puede

demostrar que el n˙mero de frecuencias permitido en el intervalo (; + d) es: N()d= 8V c

3 2 d (1.10) donde V es el volumen de la cavidad. De esta ecuaciÛn obtenemos que: T

() = 82 c 3 " = 82 c 3 kT = 8k c 3 2T (1.11) En tÈrminos de la longitud de onda

tendremos: N()d = 8V 4 d (1.12) donde se tuvo en cuenta que: c = ! 0 = d + d! d = c

2 d (1.13) 1.1. CUERPO NEGRO. HIP”TESIS DE PLANK. 15 Notemos que la ˙ltima

relaciÛn es modular por tratarse de diferenciales. La fÛrmula de Rayleigh-Jeans es por

tanto: T () = 8kT 4 (1.14) Comparando este resultado con la ley de Wien para la

densidad espectral de energÌa, se obtiene que la funciÛn universal f(T) = 8k (T) (1.15)

Experimentalmente se comprueba que la fÛrmula de Rayleigh-Jeans es sÛlo v·lida

para longitudes de onda altas (frecuencias bajas). Adem·s, la radiaciÛn tiene inÖnitos

grados de libertad, mientras que la sustancia en la cavidad tiene un n˙mero Önito de

estos. Si se supone que la fÛrmula trabaja en las frecuencias altas, y se integra en

todo el rango de frecuencias obtenemos: T = Z 1 0 T () d= 8kT c 3 Z 1 0 2 d= 1 (1.16)

No serÌa posible el equilibrio tÈrmico entre la sustancia y la radiaciÛn. Este resultado

se conoce como cat·strofe ultravioleta, y fue deducido por Erenfest. Se podrÌa pensar

en rechazar el teorema de la distribuciÛn uniforme por grados de libertad en el caso de

que estos sean inÖnitos, pero no estarÌa justiÖcado. 1.1.5. FÛrmula de Plank. La

fÛrmula que satisface los resultados experimentales en todo el espectro fue

encontrada por Plank primero de forma empÌrica, y m·s tarde la demostrÛ

teÛricamente. Expuso su teorÌa el 14 de diciembre de 1900, en la reuniÛn de Önal de

aÒo de la Sociedad Alemana de FÌsica, dÌa que se considera como el del nacimiento

de la FÌsica Cu·ntica. Para arribar a sus resultados Plank lanzÛ la siguiente hipÛtesis,

que no tiene sentido alguno en los marcos de la fÌsica cl·sica: La emisiÛn y absorciÛn

de la luz por la sustancias no ocurre de forma continua, sino por porciones Önitas

denominadas cuantos de energÌa o cuantos de luz. Concretamente, supongamos se

tiene un oscilador armÛnico unidimensional. Tomando en consideraciÛn la hipÛtesis

de Plank este oscilador sÛlo puede tomar valores seleccionados de energÌas que

forman la serie discreta: 16 CAPÕTULO 1. CUANTOS DE LUZ. 0; "0; 2"0; 3"0; :::,

donde "0 determina la porciÛn m·s pequeÒa de energÌa que puede adquirir el

oscilador, y depender· solamente de las caracterÌsticas de Èste, es decir, de la

frecuencia propia del oscilador. A partir de que la radiaciÛn en equilibrio no depende

de la sustancia que conforma la pared de la cavidad, Plank considerÛ toda la cavidad

como un conjunto de osciladores. Posteriormente, supuso que no sÛlo la cavidad, sino

tambiÈn las ondas estacionarias que en ella se establecen con determinada

frecuencia, se comportan como los osciladores armÛnicos. En la cavidad se establece

el equilibrio, y son excitados todos los estados con diferentes probabilidades. La

distribuciÛn de probabilidades que Plank considerÛ obedecÌa a la ley de Boltzmann.

Esto implica que el n˙mero de osciladores con energÌa E a la temperatura dada T en la

cavidad, va a ser proporcional a e E kT . Con estas consideraciones podemos

determinar a T (). Calculemos primeramente el valor medio de la energÌa ": " = P1 n=1

n"0e nE kT P1 n=0 e nE kT = "0 P1 n=1 nenx P1 n=0 e nx (1.17) donde x = "0 kT .

Efectuando la suma X1 n=0 e nx = 1 1 e x (1.18) y derivando esta igualdad se tiene

que X1 n=1 nenx = e x (1 e x) 2 (1.19) Sustituyendo los dos ˙ltimos resultados en la

ecuaciÛn 1.17 se obtiene: " = "0 e "0 kT 1 (1.20) Finalmente, sustituyendo " en la

ecuaciÛn 1.11, utilizada anteriormente para obtener la fÛrmula de Rayleigh-Jeans,

obtenemos la fÛrmula de Plank: T () = 82 c 3 "0 e "0 kT 1 (1.21) En el lÌmite cuando

"0 ! 0 debemos obtener la fÛrmula cl·sica de RayleighJeans, que supone la variaciÛn

de energÌa en forma continua. En efecto, e "0 kT 1 + "0 kT , y de la ecuaciÛn 1.21 se

obtiene 1.1. CUERPO NEGRO. HIP”TESIS DE PLANK. 17 T () = 82 c 3 kT (1.22)

Procediendo de forma similar a como se hizo anteriormente (ver 1.13), podemos

obtener la formula de Plank en tÈrminos de la longitud de onda: T () = 8 4 "0 e "0 kT 1

(1.23) Esto nos conduce a que la funciÛn f(T) de la ley de Wien es igual a: f(T) = 8"0 e

"0 kT 1 (1.24) "0 es una caracterÌstica de los osciladores, por lo tanto no depende de la

temperatura (caracterÌstica macroscÛpica) y depende solamente de las frecuencias

propias de estos "0 = h= hc=. h = 6; 625 1034J s recibe la denominaciÛn de

constante de Plank. Sustituyendo el valor de "0 en la ecuaciÛn 1.24, la funciÛn f(T) se

transforma en: f(T) = 8hc e hc kT 1 (1.25) Analicemos ahora los casos extremos para

la densidad espectral de energÌa del cuerpo negro . El lÌmite para pequeÒas

(frecuencias altas) es: T () = 8h c 3 3 e h kT 1 ! 8h c 3 3 e h kT (1.26) T () = 8 5 hc e

hc kT 1 ! 8hc5 e hc kT (1.27) Esta fÛrmula fue propuesta por Wien en 1896 y fue

obtenida de forma empÌrica. La misma describe sÛlo los valores experimentales para

frecuencias altas y trabaja mal en la regiÛn infrarroja donde trabaja bien la de

RayleighJeans que se obtiene en el limite cuando "0 ! 0, es decir, para frecuencias

bajas. En un gr·Öco (x; y); tomando x = h kT ; y = x 3 e x 1 (1.28) de forma tal que T

(x) = 8 h 2c 3 (kT) 3 x 3 e x 1 = Constante y (1.29) 18 CAPÕTULO 1. CUANTOS DE

LUZ. 0 2 4 6 8 10 0.0 0.5 1.0 1.5 x y Plank Wien Rayleigh-Jeans Figura 1.1: Densidad

espectral de energÌa. x = h=kT; y = C T (x) se obtiene el gr·Öco 1.1. Utilizando la

fÛrmula de Plank 1.21 se pueden obtener facilmente las leyes fenomenolÛgicas de

Stefan-Boltzmann y la ley de Wien para el desplazamiento. 1.2. EFECTO FOTOEL…

CTRICO. 19 Resumen La radiaciÛn tÈrmica en equilibrio no depende de la forma ni

del material de las paredes de la cavidad. Es una radiaciÛn homogÈnea, isotrÛpica y

no polarizada. Las energÌas que absorbe o emite un cuerpo son directamente

proporcionales a las intensidades de la radiaciÛn que incide o emite respectivamente:

Ea = aIi ; Ee = eIe: Se denomina cuerpo negro al cuerpo para el cual a = e = 1 en el

equilibrio tÈrmico. Leyes fenomenolÛgicas de la radiaciÛn del cuerpo negro: I = T4 ; T

m = b ; T () = f(T) 5 HipÛtesis de Plank: La emisiÛn y absorciÛn de la luz por la

sustancia no ocurre de forma continua, sino por porciones Önitas denominadas

cuantos de energÌa o cuantos de luz. FÛrmula de Plank: T () = 8h c 3 3 e h kT 1 ; T () =

8 5 hc e hc kT 1 1.2. Efecto FotoelÈctrico. Experimentos de Hertz y Thomson.

ExplicaciÛn cl·sica del fotoefecto. DeÖciencias. ExplicaciÛn cu·ntica del fotoefecto.

HipÛtesis de Einstein. Trabajo de extracciÛn. FÛrmula de Einstein. Frecuencia de

corte. Propiedades ondulatorias en el fotoefecto. Car·cter dual de la luz. Como

analizamos en el epÌgrafe anterior, la teorÌa ondulatoria de la luz no es capaz de

explicar el comportamiento de la radiaciÛn tÈrmica en equilibrio de un cuerpo negro.

Fue Max Plank, quien introduciendo una nueva hipÛtesis acerca de la emisiÛn y

absorciÛn de la luz por la sustancia no de forma continua, sino en 20 CAPÕTULO 1.

CUANTOS DE LUZ. porciones o cuantos ("0 = h), logrÛ dar una explicaciÛn adecuada

a este fenÛmeno. Sin embargo, el propio Plank sÛlo consideraba las propiedades

cu·nticas de la luz en los actos de emisiÛn y absorciÛn, es decir, en la interacciÛn de

la luz con la sustancia. La propagaciÛn en el espacio la seguÌa considerando en su

forma continua, descrita por las ecuaciones de Maxwell. En 1905, Einstein de una

forma radical proporcionÛ una teorÌa cu·ntica m·s acabada de la luz. …l, a partir de los

resultados experimentales y de representaciones teÛricas, llegÛ a la conclusiÛn de

que tambiÈn en su propagaciÛn la luz se comporta como un conjunto de determinadas

partÌculas, cuyas energÌas se determinan seg˙n las energÌas de los cuantos de Plank.

M·s tarde, estas partÌculas recibieron el nombre de fotones. 1.2.1. Experimentos de

Hertz y Thomson. Uno de los fenÛmenos importantes que condujo a la hipÛtesis de

los fotones fue el efecto fotoelÈctrico, tambiÈn conocido como fotoefecto. En 1887,

Henry Hertz descubriÛ que iluminando con luz ultravioleta un electrodo negativo

sometido a una tensiÛn, se produce un arco elÈctrico entre los electrodos. Hertz no le

diÛ importancia al fenÛmeno debido a lo ocupado que estaba en la investigaciÛn de

las ondas electromagnÈticas. La esencia del fenÛmeno consiste en que al iluminar

con luz ultravioleta un cuerpo met·lico cargado negativamente este pierde parte de su

carga. Si se ilumina un cuerpo cargado de forma positiva no se observa esta pÈrdida

de carga y m·s a˙n, si se ilumina un cuerpo neutro, Èste se carga positivamente. Las

propiedades fotoelÈctricas aparecen no sÛlo en los metales, estas est·n presentes

tambiÈn en los dielÈctricos y semiconductores. La ˙nica condiciÛn necesaria, aunque

no suÖciente, es que exista suÖciente absorciÛn de luz. Por otro lado, no sÛlo ocurre

bajo luz ultravioleta, en metales alcalinos (sodio, litio, etc) aparece en luz visible. En

superÖcies muy trabajadas se puede obtener fotoefecto hasta con rayos infrarrojos.

En 1897, Thomson descubre el electrÛn en el estudio de los rayos catÛdicos, y

conjuntamente con Lenard mide la relaciÛn carga-masa (e=m) de las partÌculas que se

emiten en el fotoefecto, quedando demostrado que estas son electrones. Debemos

diferenciar el fotoefecto externo del interno. En el externo, los electrones son liberados

por la luz de la capa superÖcial de la sustancia, pasando al vacÌo o a otro medio. En el

interno, los electrones se quedan dentro del cuerpo, a pesar de ser excitados.

Analicemos con m·s detalles el primero por ahora. 1.2. EFECTO FOTOEL…CTRICO.

21 Figura 1.2: Esquema de una instalaciÛn donde se obtiene el efecto fotoelÈctrico. La

Ögura 1.2 muestra un esquema de una instalaciÛn donde se obtiene el efecto

fotoelÈctrico. Los electrones que se desprenden del c·todo, se ven sometidos al

potencial del ·nodo, cerrando el circuito. Por medio de la velocidad con que se carga el

electrÛmetro se puede determinar la corriente del circuito y la cantidad de

fotoelectrones que alcanzan el ·nodo en la unidad de tiempo. El fotoefecto depende

del estado de la superÖcie del c·todo y del gas, si existe este en el espacio

comprendido entre el ·nodo y el c·todo, pues complica el fenÛmeno debido a las

ionizaciones que pudieran aparecer. Se trata de llevar a cabo el experimento en un

buen vacÌo y en superÖcies muy limpias. Se estudia el fotoefecto para una intensidad

y frecuencia de la luz de incidencia, variando la tensiÛn V entre el c·todo y el ·nodo.

Se construye la dependencia de la corriente I en funciÛn de V , que recibe el nombre

de caracterÌstica del fotoelemento. En el experimento se observa que al aumentar V se

llega a una corriente m·xima que recibe el nombre de corriente de saturaciÛn. Esta

corriente se alcanza cuando todos los electrones liberados del c·todo por la luz

alcanzan el ·nodo. Un aumento posterior de V no aumenta la corriente I, ya que la

cantidad de electrones arrancados en la unidad de tiempo no varÌa. La corriente de

saturaciÛn depende proporcionalmente de la intensidad de la luz incidente para una

frecuencia dada. 1.2.2. ExplicaciÛn cl·sica del fotoefecto. DeÖciencias. Se podrÌa

intentar dar una explicaciÛn cl·sica del fenÛmeno desde el punto de vista ondulatorio.

Consideremos primero a los electrones libres, es decir, a aquellos electrones que est·n

en el metal sometidos a la acciÛn de un campo 22 CAPÕTULO 1. CUANTOS DE LUZ.

-5 0 5 0 2 4 6 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Vs V 0 i

i s V I Figura 1.3: CaracterÌstica del fotoelemento. que los retiene, existente en la

frontera del metal. Para extraer uno de estos electrones es necesario realizar un

trabajo de unos pocos electrÛn-voltios. Bajo el efecto del campo elÈctrico de la onda

electromagnÈtica de la luz incidente, estos electrones comienzan a oscilar, y cuando la

energÌa es suÖcientemente grande el electrÛn puede vencer el campo que lo retiene y

salir del metal. Para los electrones enlazados la explicaciÛn es similar, sÛlo que la

dependencia de las oscilaciones tendr· un car·cter mas complejo debido a la

resonancia. Seg˙n esta explicaciÛn la energÌa del electrÛn que sale deber· ser mayor

si la intensidad de la luz aumenta. En efecto, la intensidad lumÌnica es proporcional a

la amplitud de las oscilaciones electromagnÈticas, y esto aumentarÌa el campo

elÈctrico que actua sobre el electrÛn por parte de la onda. Sin embargo, en el

experimento queda demostrado que la m·xima velocidad, y por ende la energÌa

cinÈtica m·xima, que poseen los electrones no depende de la intensidad de la luz, sino

de su frecuencia. Otro punto importante donde falla esta explicaciÛn concierne al

tiempo necesario de apariciÛn del fotoefecto. Supongamos se tiene una fuente de luz

puntual, isotrÛpica y continua de potencia P = 100W, que ilumina un c·todo plano

perpendicular de zinc, a una distancia r = 1m. La energÌa luminosa que se trasmite al

fotoc·todo en la unidad de tiempo y de superÖcie ser·: P 4r2 (1.30) Conociendo el

trabajo A de extracciÛn (' 3; 74 eV para el zinc), y con- 1.2. EFECTO FOTOEL…

CTRICO. 23 siderando que la energÌa m·xima que alcanzan los electrones en las

oscilaciones debe ser Emax = P 4r2 t (1.31) donde representa la secciÛn eÖcaz para

un ·tomo y t al tiempo de exposiciÛn, podemos obtener una valoraciÛn del tiempo que

requiere la apariciÛn del fotoefecto: Emax = P 4r2 t > A ) t > 4r2A P 1; 25seg (1.32)

De acuerdo con la fÌsica cl·sica, el fotoefecto siempre debe ocurrir con retraso. El

experimento muestra que el fotoefecto ocurre instant·neamente con la iluminaciÛn.

1.2.3. ExplicaciÛn cu·ntica del fotoefecto. FÛrmula de Einstein. Veamos al fotoefecto

desde el punto de vista corpuscular. Supongamos la luz est· compuesta por partÌculas

denominadas fotones, que poseen determinada energÌa e impulso y que viajan a la

velocidad c. Seg˙n la hipÛtesis de Einstein la energÌa de los fotones viene dada por la

fÛrmula de Plank: E = h (1.33) øCu·l ser· la cantidad de movimiento lineal de estas

partÌculas?. De la teorÌa relativista sabemos que se cumple la siguiente relaciÛn entre

la energÌa E y la cantidad de movimiento lineal p: E c 2 p 2 = (m0 c) 2 (1.34) Estamos

considerando que durante el movimiento el estado interno de la partÌcula, y por tanto

su masa m0; no varÌa. Por otro lado, la energÌa de una partÌcula satisface la ecuaciÛn

relativista: E = m0 c 2 q 1 v c 2 (1.35) De acuerdo con la ecuaciÛn anterior, si el fotÛn

posee masa m0 6= 0, su energÌa se torna inÖnita al viajar este con la velocidad de la

luz c. La masa del 24 CAPÕTULO 1. CUANTOS DE LUZ. fotÛn debe ser por lo tanto

nula. De la ecuaciÛn 1.34 obtenemos la siguiente relaciÛn modular entre p y E: E = pc

(1.36) Debemos observar que el signo negativo de la raÌz desaparece si se considera

que el vector p est· dirigido en la direcciÛn de propagaciÛn de la luz, tomada como

positiva. Introduzcamos el vector de ondas k, dirigido en la direcciÛn de propagaciÛn y

de magnitud: jkj = 2 (1.37) Se cumple entonces h = pc ) p = h ; p = hk (1.38)

Retornemos al fotoefecto. El proceso de interacciÛn de la luz con el c·todo se puede

considerar ahora como choques entre partÌculas, es decir, el fotoefecto surge en los

choques inel·sticos de los fotones con los electrones. En estos choques, el fotÛn es

absorbido y su energÌa se trasmite a los electrones. De esta forma, los electrones

adquirien la energÌa cinÈtica de forma instant·nea, y esta depende de la frecuencia de

radiaciÛn incidente. La energÌa del fotÛn incidente puede consumirse al liberar un

electrÛn enlazado a un ·tomo. Adem·s, un electrÛn liberado puede interactuar con los

·tomos dentro del metal, cediendo energÌa en forma de calor. La m·xima energÌa de

los fotoelectrones se obtiene cuando el electrÛn es libre (no enlazado a un ·tomo en

especÌÖco), y cuando no cede energÌa en forma de calor al salir del metal. En tal caso,

se produce sÛlo perdida de energÌa al vencer las fuerzas que lo mantienen en el metal

y que act˙an en la superÖcie, energÌa conocida como trabajo de extracciÛn (A).

Supongamos se ha producido el choque del electrÛn con un solo fotÛn, entonces la

energÌa cinÈtica m·xima se determina por la fÛrmula de Einstein: Tmax = 1 2 mev 2

max = h A (1.39) El tÈrmino de electrÛn ìlibreî en el metal no es del todo correcto,

pues el electrÛn se encuentra como en una caja dentro de la cual existe un campo que

lo retiene. El fotÛn interactua con el electrÛn y con el metal como un todo. Por

supuesto, como el c·todo tiene una masa que podemos considerar inÖnita, la energÌa

del fotÛn es pr·cticamente absorbida por el electrÛn. Para un electrÛn realmente libre

sÛlo puede ocurrir la dispersiÛn, y Èste no puede absorber o emitir un fotÛn. En

efecto, tomemos un sistema de 1.2. EFECTO FOTOEL…CTRICO. 25 referencia

donde el electrÛn se encuentra inicialmente en reposo. Supongamos que el electrÛn

emite un fotÛn con las magnitudes pf y Ef , y sus energÌa y cantidad de movimiento

despuÈs de la emisiÛn son Ee y pe respectivamente. De las leyes de conservaciÛn

tenemos: pe + pf = 0 ; Ee + Ef = me c 2 (1.40) donde me representa a la masa del

electrÛn en reposo.Tomando en cuenta la relaciÛn 1.36 entre la energÌa y la cantidad

de movimiento del fotÛn, la ecuaciÛn 1.34 para estas magnitudes en el caso del

electrÛn, y combinando las ecuaciones anteriores es f·cil obtener la siguente relaciÛn

Ef me c 2 = 0 que posee como ˙nica soluciÛn Ef = 0; indicando la imposibilidad de la

emisiÛn de un fotÛn para un electrÛn totalmente libre. De forma similar se demuestra

la imposibilidad de la absorciÛn. De la fÛrmula de Einstein 1.39 se desprenden 2

conclusiones importantes: 1. La energÌa cinÈtica m·xima depende linealmente de la

frecuencia y no depende de la intensidad de la luz. La intensidad sÛlo ináuye en la

cantidad de electrones que se producen en el fotoefecto. Notemos que la tangente del

·ngulo del gr·Öco: energÌa cinÈtica vs frecuencia, coincide con la constante de Plank

h; y constituye su construcciÛn un mÈtodo para determinar a h: 2. Existe una frontera

en las frecuencias bajas 0, denominada frecuencia de corte, por debajo de la cual no

se observa el fotoefecto. Si tomamos el trabajo de extracciÛn A = h0, la fÛrmula de

Einstein 1.39 adopta la forma: Tmax = h( 0) (1.41) SÛlo ocurre el fotoefecto para > 0,

de lo contrario el miembro derecho de la ecuaciÛn 1.41 se torna negativo, lo cual es

imposible para la energÌa cinÈtica. La existencia de esta frontera es incomprensible

desde el punto de vista ondulatorio. Para comprobar experimentalmente la validez de

la fÛrmula de Einstein, es necesario determinar la energÌa cinÈtica m·xima de los

electrones. Retornemos al gr·Öco 1.3, que nos da la caracterÌstica del fotoelemento.

Como se puede apreciar, el estudio se realiza para tensiones negativas entre el c·todo

y el ·nodo, potencial retardador, y para tensiones positivas, potencial acelera- dor. El

hecho de que el campo elÈctrico acelera los electrones en el 26 CAPÕTULO 1.

CUANTOS DE LUZ. sentido del aumento de la tensiÛn V , conduce al aumento de la

corriente I. Para un potencial negativo Vi , denominado potencial de interrupciÛn, la

corriente desaparece. Cuando el voltÌmetro muestra tensiones ligeramente superiorers

a Vi ; los electrones comienzan a llegar al ·nodo, fenÛmeno que sÛlo pueden rea- lizar

aquellos electrones que poseen la velocidad m·xima. Por consiguiente, podemos

escribir: Tmax = eVi (1.42) donde e denota al valor modular de la carga del electrÛn.

Las comprobaciones experimentales exactas del fotoefecto fueron efectuadas por

primera vez por Richard y Compton en 1912, aun m·s exactas fueron las de Milliken en

1916. La posiciÛn de Vi varÌa seg˙n el valor de la frecuencia de la luz incidente, ya

que Tmax depende de esta. La posiciÛn de Vs no depende de : Para esta tensiÛn

incluso los electrones con velocidad cero llegan al ·nodo, es decir, Vs depende sÛlo de

la estaciÛn experimental. 1.2.4. Propiedades ondulatorias en el fotoefecto Hasta ahora

habÌamos acentuado las propiedades corpusculares de la luz en el fotoefecto, sin

embargo, las propiedades ondulatorias tambiÈn se maniÖestan en este fenÛmeno.

Estas ˙ltimas propiedades se maniÖestan en el llamado fotoefecto selectivo.

Representemos con is a la corriente de saturaciÛn que se alcanza por intervalo de

longitud de onda . Si el vector del campo elÈctrico E de la onda incidente no es

perpendicular al plano de incidencia, en los metales, fundamentalmente en los

alcalinos, se observa un m·ximo alrededor de los 400 nm. Este fenÛmeno se puede

explicar si consideramos que los electrones poseen frecuencias propias de oscilaciÛn,

en la vecindad de las cuales se produce una especie de resonancia. Otra

particularidad de este fenÛmeno radica en que la intensidad de la corriente depende

de la polarizaciÛn y del ·ngulo de incidencia. La selectividad del fotoefecto ocurre en

mayor grado cuando la luz cae tangencialmente a la superÖcie y est· polarizada,

encontr·ndose E en el plano de incidencia. Todo indica que la introducciÛn de las

propiedades corpusculares no es tan simple como regresar a la mec·nica Newtoniana.

No se puede ver a los fotones como simples partÌculas que se mueven por

determinadas trayectorias en el espacio, como predice la fÌsica cl·sica. A los fotones le

son inherentes 1.2. EFECTO FOTOEL…CTRICO. 27 0 0 I nm 400 700 - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Figura 1.4: Fotoefecto selectivo. propiedades

ondulatorias como son la difracciÛn, la interferencia, la polarizaciÛn, etc. La

manifestaciÛn de propiedades corpusculares y de onda por los fotones es conocida en

la fÌsica como dualidad partÌcula-onda. No tiene sentido tratar de interpretar esta

dualidad desde las representaciones de la fÌsica cl·sica. El pensamiento humano no es

capaz de crear un ente material que tenga a la vez propiedades de corp˙sculo y de

onda, pero la naturaleza es m·s rica que nuestro pensamiento o imaginaciÛn, como

demuestra la pr·ctica. Resumen El efecto fotoelÈctrico consiste en la emisiÛn de

electrones por una sustancia al encontrarse expuesta a la luz. Ocurre normalmente

bajo luz ultravioleta y en superÖcies muy trabajadas se puede obtener fotoefecto hasta

con rayos infrarrojos. La energÌa cinÈtica m·xima que poseen los fotoelectrones no

depende de la intensidad de la luz incidente, sino de su frecuencia. El fotoefecto

ocurre instant·neamente con la iluminaciÛn. 28 CAPÕTULO 1. CUANTOS DE LUZ. La

hipÛtesis de Einstein consistiÛ en considerar a la luz compuesta por corp˙sculos de

masa nula denominados fotones. La energÌa y cantidad de movimiento de estas

partÌculas viene dada por la fÛrmulas: E = hy p = hk: El fotoefecto puede ser

interpretado como el resultado de choques inel·sticos entre los fotones y los

electrones. La energÌa cinÈtica m·xima de los electrones que se liberan se determina

por la fÛrmula de Einstein Tmax = h A: La frontera 0 por debajo de la cual no se

observa el fotoefecto se denomina frecuencia de corte. Existe un potencial negativo Vi

de interrupciÛn para el cual la corriente desaparece en el efecto fotoelÈctrico. Este

depende de la energÌa cinÈtica m·xima de los electrones: Tmax = eVi : La selectividad

por determinada longitud de onda, polarizaciÛn y ·ngulo de incidencia en el fotoefecto

reáejan las caracterÌsticas ondulatorias de la luz. La luz presenta propiedades

corpusculares y ondulatorias que se maniÖ- estan en diferentes observaciones,

incluso de un mismo fenÛmeno. Esta propiedad se conoce como dualidad partÌcula-

onda. 1.3. Efecto Compton. Corrimiento de Compton. ExplicaciÛn de Compton y

Debay. Cuantos de luz y el fenÛmeno de la interferencia. En 1922, Arthur Compton

descubriÛ otro fenÛmeno que tambiÈn habla a favor de la hipÛtesis de los fotones.

Este cientÌÖco se encontraba estudiando la radiaciÛn Rˆentgen en cuerpos

compuestos por ·tomos ligeros: graÖto, paraÖna, etc. Un esquema de su instalaciÛn

aparece en la Ögura 1.5, donde C es el cuerpo que dispersa el haz de luz incidente, K

es un espectrÛgrafo, y P constituye una fotocelda o c·mara de ionizaciÛn. En el

experimento, Èl observÛ que en la luz dispersada, adem·s de encontrarse la longitud

de onda original, aparecÌa un corrimiento en una longitud de onda 0 > . Este

fenÛmeno se denomino efecto Compton y a la diferencia = 0 se le llamÛ corrimiento

de Compton. 1.3. EFECTO COMPTON. 29 Figura 1.5: Esquema de una instalaciÛn

donde se observa el efecto Compton. En la Ögura 1.6 aparecen representados los

resultados de un experimento en el graÖto utilizando la lÌnea K del Moligdeno ( =

0;07nm), para distintos ·ngulos de dispersiÛn . AquÌ podemos apreciar la lÌnea original

de la radiaciÛn, es decir, la distribuciÛn angular de la intensidad de la lÌnea. M·s abajo,

se observa que la lÌnea original ˙nica se divide en dos lÌneas como resultado de la

dispersiÛn. El ensanchamiento de ambas componentes se debe a los movimientos de

los electrones y los ·tomos, en los cuales se produce la dispersiÛn como se ver· m·s

adelante. El experimento demuestra que el corrimiento no depende de la composiciÛn

del cuerpo que dispersa la luz, ni de la longitud de onda incidente. Este depende en

forma proporcional del sen2 =2: El corrimiento descubierto por Compton resulta

imposible de explicar desde posiciones cl·sicas, si suponemos que el cambio en la

longitud de onda es el resultado de la interacciÛn de una onda electromagnÈtica con

un electrÛn. En los ·tomos ligeros, la energÌa de enlace del electrÛn con el ·tomo se

puede considerar pequeÒa respecto a la energÌa de interacciÛn con la onda.

Podemos entonces tomar a los electrones como libres. De acuerdo con la teorÌa

cl·sica, si un electrÛn est· libre, este no posee ninguna frecuencia propia de

oscilaciÛn, y por lo tanto se pondrÌa a oscilar con la misma frecuencia de la onda

electromagnÈtica incidente. En consecuencia, la onda dispersada tendrÌa la misma

frecuencia que la onda incidente y no se observarÌa ning˙n corrimiento. 30 CAPÕTULO

1. CUANTOS DE LUZ. Figura 1.6: Efecto Compton 1.3.1. TeorÌa de Compton y Debay.

El comportamiento experimental fue entendido sÛlo despuÈs de la teorÌa cu·ntica

propuesta independientemente por Compton y Debay. En la nueva teorÌa la dispersiÛn

del cuanto de rayos X, con el correspondiente cambio en la longitud de onda, es

resultado del choque ˙nico de un fotÛn con un electrÛn. La energÌa de enlace del

electrÛn con el ·tomo se puede considerar pequeÒa nuevamente respecto a la

energÌa que le cede el cuanto en el choque, siendo esta energÌa mayor cuando mayor

es el ·ngulo de dispersiÛn. Podemos considerar a los electrones como libres, lo cual

explica tambiÈn porque es el mismo para las sustancias con que se experimentaba.

Para los electrones internos de ·tomos pesados esta consideraciÛn ya no es v·lida, y

si aparece dependencia del material como lo demuestra el experimento.

Consideremos ahora el choque de un fotÛn con un electrÛn libre. Pueden surgir altas

velocidades, por lo tanto debemos considerar las ecuaciones relativistas. Tomemos un

sistema de referencia donde el electrÛn se encuentra inicialmente en reposo.

Introduzcamos las siguientes notaciones, pf , Ef : Momentum y energÌa del fotÛn antes

de la dispersiÛn p 0 f , E 0 f : Momentum y energÌa del fotÛn despuÈs de la dispersiÛn

0 , Ee = mec 2 : Momentum y energÌa del electrÛn antes de la dispersiÛn p 0 e , E 0

e : Momentum y energÌa del electrÛn despuÈs de la dispersiÛn 1.3. EFECTO

COMPTON. 31 De acuerdo con las leyes de conservaciÛn de la energÌa y la cantidad

de movimiento tenemos: Ee + Ef = E 0 e + E 0 f ; pf = p 0 f + p 0 e (1.43) Despejando

de las ecuaciones anteriores las energÌa y momentum Önales del electrÛn, elevando

al cuadrado, dividiendo la primera de las ecuaciones obtenidas por c 2 ; y restando

ambas expresiones, se llega a la siguiente ecuaciÛn: E 0 e c 2 p 02 e = Ee + Ef E 0 f

2 c 2 pf p 0 f 2 (1.44) Tomemos en cuenta ahora las relaciones relativistas 1.34 y 1.36

entre E y p para el electrÛn y el fotÛn, entonces: E 0 e c 2 p 02 e = (mec 2 ) 2 c 2 =

Ee c 2 Ef c 2 = p 2 f ; E 0 f c 2 = p 02 f (1.45) Desarrollando los parÈntesis de la

ecuacion 1.44, sustituyendo los resultados de 1.45, y despuÈs de algunas operaciones

algebraicas sencillas es f·cil llegar al siguiente resultado: = 0 = h mec (1 cos ) = 2h

mec sen2 (1.46) donde se tuvo en cuenta la ecuaciÛn 1.38 y la deÖniciÛn del

producto escalar de los vectores pf y p 0 f : pf p 0 f = pf p 0 f cos (1.47) La magnitud

h mec = C = 2; 4263096 1010cm recibe el nombre de longitud de Compton para el

electrÛn. Como se observa de la fÛrmula 1.46, el corrimiento no depende de la

longitud de onda de incidencia. Esta ecuaciÛn demuestra que la dispersiÛn de los

fotones en los electrones libres inmÛviles siempre trae consigo un aumento de la

longitud de onda. øCu·l es la causa del surgimiento de la lÌnea sin corrimiento?. La

lÌnea sin corrimiento aparece debido a los choques con los electrones enlazados, es

decir, la dispersiÛn ocurre realmente con los ·tomos. La masa de estos ˙ltimos se

puede considerar inÖnitamente grande en comparaciÛn con 32 CAPÕTULO 1.

CUANTOS DE LUZ. la del fotÛn, por ende su longitud de Compton C v 1=m es muy

pequeÒa, y tambiÈn entonces el corrimiento que estos choques producen. El ·tomo

adquiere momentum, pero su energÌa se puede despreciar. Con el aumento del

n˙mero atÛmico, aumentan tambiÈn el n˙mero de electrones enlazados, ocurre asÌ un

aumento de la intensidad de la lÌnea no desplazada con relaciÛn a la que si tiene

corrimiento. Un dato interesante lo constituye que la dispersiÛn en los electrones libres

es no coherente. Los electrones libres efect˙an sus movimientos independientes y por

tanto ser·n independientes las dispersiones en los mismos. En el caso de los

electrones enlazados la dispersiÛn si resulta coherente. Las oscilaciones que efect˙an

los electrones enlazados producto de la onda que cae est·n en concordancia con esta.

Por tal razÛn las ondas dispersadas en los electrones enlazados pueden tener

interferencia con las ondas que llegan. Esta interferencia fue observada por Laue y

Bulf-Breg al lanzar rayos X a cristales. Notemos que estas son caracterÌsticas

ondulatorias del fenÛmeno. En nuestra deducciÛn se tomo al electrÛn inicialmente en

reposo. Si el electrÛn se mueve, este puede en el choque ceder su energÌa cinÈtica al

fotÛn y despuÈs detenerse. Este proceso se denomina efecto Compton inverso y trae

consigo una disminuciÛn de la longitud de onda del fotÛn dispersado. El efecto

Compton puede ser observado en otras partÌculas como neutrones, protones, etc. La

fÛrmula 1.46 continua siendo v·lida con la sustituciÛn de me por las masas

respectivas de estas partÌculas. Es importante seÒalar adem·s, que para considerar al

electrÛn libre es necesario experimentar con rayos X de altas energÌas. De hecho, en

la regiÛn visible del espectro luminoso, la energÌa de enlace de los electrones es

mayor que la del cuanto, y el efecto Compton no se observa. Para energÌas muy altas,

mayores que 2mec 2 ; el efecto tambiÈn deja de aparecer. En tales circunstancias

predomina la formaciÛn de pares de electrones y positrones. El ·ngulo de salida ' del

electrÛn despuÈs del choque viene dado por la ecuaciÛn tan ' = sen 0 cos (1.48)

Esta relaciÛn proponemos la obtenga el lector a partir del paralelogramo que forman

los vectores p 0 e y p 0 f , cuya diagonal es el vector pf . Este paralelogramo puede ser

observado en una c·mara de Wilson. Por supuesto, se ve la traza del electrÛn por ser

una partÌcula cargada, mientras que la traza del fotÛn dispersado se conoce cuando

este se dispersa nuevamente en un nuevo electrÛn.