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7/21/2019 Funciones de dos o ms variables.pdf

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Folleto Calculo Vectorial

UNIDAD N 3

DERIVADAS PARCIALES

FUNCIONES DE DOS O MS VARIABLES.Hemos trabajado con funciones de una sola variable real , tambin aplicamos una funcincon un nmero real t y un vector llamada funcin vectorial de una variable real, .Pero ahora nos fijaremos en funciones con dos variables reales.

jem.

, 3 y tambin , 2 .!,y son variables independientes, " es una variable dependiente sea #ue es i$ual a

, 3 y , 2jemplo %

&os#ueje la $rafica de, 36 9 4.'olucin.

(bserve #ue 0. ntonces si elevamos al cuadrado ambos lados y simplificamos. (btendremos laecuacin 9 4 9 36.


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&os#ueje la $rafica de , .Solucion)a $r*fica es un paraboloide hiperblico

Curvas ! Niv!l

)as curvas de nivel se obtienen intersectando la superficie

zfx,con uno o varios planos hori"ontales

z!"+na coleccin de estas curvas se denomina mapa de contorno.

E"EMPLO #

race los mapas de contorno para las superficies correspondientes a 36 9 4y


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SOLUCION

)as curvas de nivel de

-apa de contornos

#3 36 9 4

F+C/(' 0 1' ( -2' V31/3&)'4

o se pueden $raficar en los sistemas de coordenadas cartesianas, lo #ue si se puede $raficar son las

superficies de nivel. l dominio natural de una funcin de tres variables es el conjunto de todas los

tercias 5ternas6 ordenadas para las cuales la funcin se puede evaluar.

E"ERCICIO $

0etermine el dominio de cada funcin y describa las superficies de nivel para,, # $ # 0 # 0ominio

%oo lo &u! !s'! !n la su(!r)ici! ! la !s)!ra * lo &u! !s'a )u!ra.

% &' #(0 #


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Folleto Calculo Vectorial$ )# *$ )2 #0$ )37rafica de

#

E"EMPLO +

'ea ,, . 0escriba las superficies de nivel para f y trace las superficies de nivelpara 8%, 9,% y :

# $ 0 0 " # $ # # mpie"a en ";% ,


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01/V303' P31C/3)'

0erivada parcial con respecto a !

+, -./1

,

,

0erivada parcial con respecto a y.

, -./, , E"EMPLO

,

2 0

, 2 , 3 5+ 6 35 3=1C/C/(

'i t5


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, EFACD 2++, # ABCD 6 , G ABCD 2 !HICD 2+, ABCD # !HICD 6+, ABCD # !HICD 6)/-/' 0 F+C/(' 0 V31/3' V31/3&)'

0ecir #ue -./+,J,K, L si$nifica #ue para cada M N 0 5sin importar #ue tan pe#ue?o sea6,e!iste un O N 0correspondiente, de modo #ueP, LPQ M, siempre #ue40 QR, S, TRQ O%!or!,a A

'i, es un polinomio, entonces-./+,J,K, S, T

@ si

, U+,V+,, en donde p y # son polinomios, entonces

-./+,J,K, -./+,J,K W, X,'iempre #ue XS,T Y 0. 3dem*s, si-./+,J,KW, L Y 0 y -./+,J,KX, L 0ntonces

-./+,J,K W, X,o e!iste.


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jemplo4

0etermine si e!isten los si$uientes lAmites.

a6-./+,, 3"-./+,,#Z 2 3 Z 2" [, sA e!iste limite

b6 -./+,, '+7878+7\7 ()a funcin es racional, pero el lAmite del denominador es i$ual a cero, mientras #ue el lAmite del

numerador es %. 3sA, por el teorema 3, este lAmite ( B/'.

E"ERCICIO

Evalu- los siui!n'!s l/,i'!s si !s &u! !0is'!n.

a6-./]^ '_`a]7]7 (")hopital

bcde>]gh_]7?bcdei] #

b6 -./]]7_`ajgh_j]7 es un vector #ue depende de kNO 1A2 LIMI%E+na funcin de dos variables es continua en un punto 53,&6 si -./+,J,K , S, TC(/+/030 0 F+C/(' C(-P+'3'

'i una funcin $ de dos variables es continua en 5a,b6 y una funcin f de una variable es continua en

$5a,b6, entonces la composicin f D $, definida como 5f D $ 65!,y6;f5$5!,y66 es continua en 5a,b6.

jemplo.

0escriba las puntos 5!,y6 para los cuales las funciones si$uientes son continuas siendo una re$inlimitada. 7rafA#uela

a6 l, +8\G+7 4Y 0 4


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Punto interior

m n, o 4p

b6q, EFA 4

Polinomio

Como es un polinomio la funcin es continua para todo nmero 5!,y6.

C(/+/030 + C(=+(

Vecindad

)a vecindad de radio Ode un punto P, es el conjunto de todos los puntos E #ue satisfacenRr sRQ O

Pun'o in'!rior

n dos dimensiones corresponde al interior de una circunferencia, en tres dimensiones corresponde al

interior de una esfera

+n punto P es un punto interior de un conjunto ' si e!iste una vecindad de P contenida en '.

l conjunto de todos los puntos interiores de ' es el interior de '.

P

'

P


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Pun'o )ron'!ra

P es un punto frontera de ' si cada vecindad de P contiene puntos #ue est*n en ' y puntos #ue no est*n

en '.

'

+n conjunto es ai!r'o si todos sus puntos son puntos interiores y es c!rrao si contiene adem*s a

todos sus puntos frontera. s posible #ue en un conjunto no sea abierto ni cerrado. Finalmente un

conjunto es aco'aosi e!iste un 1G9 tal #ue todos los pares ordenados en ' est*n dentro de un cArculo

de radio 1 y con centro en el ori$en.

'i ' es un conjunto abierto, decir #ue f es continua en ' si$nifica #ue f es continua cada punto de '

, t 0, A. u #4, B ESAF EFBvSv.Fs continua dentro del conjunto w n, u #py no se puede decir #ue es continua en todoel plano 5!,y6

%!or!,a

Iuala ! las (arcial!s cru4aas

'i+y+son continuas en un conjunto abierto ', entonces+;+en cada punto de '

E5!rcicio

Cual es el mayor conjunto ' donde sea correcto afirmar #ue F es continua

, y#

# N 0

'i rempla"amos las variables por cual#uier nmero, el resultado va a ser G %

E5!rcicio 66

Punto frontera


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, {AB A. Y 0# A. 0|

m

t 0 } 0 } ~

E5!rcicio

, #w n, u #p


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E5!rcicio

,, #

,, # N 0w ,, ,, Y 0,0,0

0/F1C/3&/)/030

Di)!r!nciailia (ara una )unci7n ! os o ,8s varial!s

)a funcin f es diferenciable en P si es localmente lineal en P.

)a funcin es diferenciable en un conjunto abierto 1 si es diferenciable en cada punto 1.

ormalmente lineal diferentes rectas

El rai!n'!

s un vector dado por

(perador nabla o $radiente '@:+ , @: , @:; " " (

%!or!,a

'i, tiene derivadas parciales continuas+, y, en un disco 0 cuyo interior contiene a5a,b6, entonces, es diferenciable en 5a,b6.


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PLANO %AN9EN%E

)a ecuacin =s=s s s" s s es la ecuacin de un plano tan$ente a la funcinen el punto

s.

E5!,(lo

0emuestre #ue, es diferenciable en todas partes y calcule su $radiente. )ue$odetermine la ecuacin del plano tan$ente en 5:,96.

+ 2

2, 2,0# 0 ,2# 4#,6 2 #,6" , 2,0 2 #,6" 2, 2 2 6 6 6 0

'on continuas en todo ,por lo tanto f es diferenciable

en todo .

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