Función escalón

En ingeniería es común encontrar funciones que corresponden a estados de sí o no, o bien activo o inactivo. Por ejemplo, una fuerza externa que actúa sobre un sistema mecánico o una tensión eléctrica aplicada a un circuito, puede tener que suspenderse después de cierto tiempo. Para tratar de forma efectiva con estas funciones discontinuas conviene introducir una función especial llamada función escalón unitario.

Definición [Función de Heaviside]

La función escalón unitario o función de Heaviside       se define como

Observación: la función de heaviside se definió sobre el intervalo  , pues esto

es suficiente para la transformada de Laplace. En un sentido más general   

para  .

Ejemplo Trazar la gráfica de la función 

.Solución 

La función   está dada por

Y su gráfica se muestra en la figura

Cuando la función de Heaviside   se multilplica por una función  , definida

para  , ésta función se desactiva en el intervalo  , como muestra en siguiente ejemplo.

Ejemplo Trazar la gráfica de la función 

.Solución La función está dada por

La función de Heaviside puede utilizarse para expresar funciones continuas a trozos de una manera compacta, como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo Use la función de Heaviside para rescribir la función

Solución Para rescribir la función basta usar la definición de la función Heaveside

Observación: la función

Se escribe usando la función de Heaviside como:

 Teorema [Transformada de la función Heaviside]

La transformada de la función de Heaviside es

Demostración 

Usando la definición de transformada

 

 

 

 

En el primer teorema de traslación nos permitió calcular la transformada de una

función   al ser multiplicada por una función exponencial  , el segundo teorema

de traslación nos permitirá calcular la trasformada de una función   que es multiplicada por una función escalón.

 Teorema [Segundo teorema de traslación]

Si   y  , entonces

Forma inversa del segundo teorema de traslación:

Demostración Usando la definición

 

 

 

 

 

 

Observación: podemos usar el segundo teorema de traslación para calcular la

transformada de Laplace de la función   haciendo  :

 Ejemplo 

Calcule

Solución 

Para poder usar el segundo teorema de traslación debemos completar   a  

 

 

Ejemplo

 Calcular  , donde

Solución:

Observe que la función   puede reescribirse como 

con lo cual

 

Ejemplo 

Calcule

Solución Para poder usar el segundo teorema de traslación debemos completar de forma adecuada el término  

 

 

 

 

Como lo muestran los ejemplos anteriores algunas veces es necesario sumar y restar algunos términos con la idea de poder usar el segundo teorema de traslación. Pero existe una forma alternativa que nos evita el tener que hacer esto.

 

Corolario [Forma alternativa al segundo teorema de traslación]

Sea       una función continua a trozos y de orden exponencial

en  , entonces

Demostración 

Usando la definición

 

 

 

 

 Ejemplo 

Calcule

Solución Usando la forma alternativa del segundo teorema de traslación

 

 

Los siguientes ejemplos muestran el uso del segundo teorema de traslación en su forma inversa.

Ejemplo 

Calcule

Solución 

En este caso   y

con lo cual

 

 

Ejemplo Calcule

Solución Primero hallemos la descomposición en fraciones parciales

con lo cual

 

 

 

Ejemplo 

Calcule

Solución 

Como el discriminante de   es negativo, no es factorizable en      y debemos completar el cuadrado.

 

 

En este punto debemos usar el primer teorema de traslación para calcular cada una de las transformadas inversas de la siguiente forma:

y

Y de aquí

 

 

Ejemplo 

Calcule

Solución Este ejemplo combina los dos teoremas de traslación

 

 

 

 Teorema  [Multiplicación por  .]

Sea       una función continua a trozos y de orden exponencial en , entonces

Ejemplo 

Calcule

Solución Aplicando el teorema anterior para  , tenemos que

 

 

El siguiente ejemplo muestra una combinación del primer teorema de traslación y el teorema anterior.

Ejemplo 

Calcule

Solución Primero aplicamos el teorema de multiplicación por   y luego el de traslación

 

 

 

Ejemplo 

Calcule el valor de la siguiente integral

Solución Por el teorema de multiplicación por  , tenemos que

 

 

De donde obtenemos que

y tomando 

Existe un caso especial del teorema anterior, cuando  , que es muy útil en el cálculo de transformadas inversas.

Corolario [Multiplicación por  .]

Si  , entonces

Ejemplo Calcule

Solución Si

por el corolario tenemos que

 

 

 

 

Teorema [División por  .]

Sea       una función continua a trozos y de orden exponencial

en   tal que el límite

existe, entonces

Demostración Sea

entonces aplicando transformada de Laplace a ambos lados tenemos que

Integrando

es decir,

Observación: la constante de integración debe escogerse de forma de tal que

.El siguiente ejemplo muestra una aplicación de este teorema.

Ejemplo 

Calcule

Solución Tenemos que

Con lo cual

Ejemplo Calcule el valor de la siguiente integral

Solución Si

entonces

 

 

De donde

y tomando el límite cuando  , tenemos que

Función impulso unitario

Algunos sistemas mecánicos suelen estar sometidos a una fuerza externa (o a una tensión eléctrica en el caso de los circuitos eléctricos) de gran magnitud, que solamente actúa durante un tiempo muy corto. Por ejemplo, una descarga eléctrica podría caer sobre el ala vibrante de un avión; a un cuerpo sujeto a un resorte podría dársele un fuerte golpe con un martillo, una pelota (de béisbol, de golf o de tenis) inicialmente en reposo, podría ser enviada velozmente por los aires al ser golpeada con violencia con un objeto como una bat de béisbol, un bastón de golf o una raqueta de tenis. La función impulso unitario puede servir como un modelo para tal fuerza

Definición [Impulso unitario]

La función       dada por

donde  ,   se conoce como la función impulso unitario. La gráfica de la

función escalón para   y   se muestra en la figura.

Observación: para valores pequeños de  , se tiene que   es una función

constante de gran magnitud que esta activa por un tiempo muy corto alrededor de  .

Teorema [Área bajo la función impulso]

La función impulso unitario satisface la propiedad

y de aquí su nombre.

Demostración 

 

 

 

En la práctica es conveniente trabajar con otro tipo de impulso llamado función de Dirac.

Definición [Función delta de Dirac]

La función delta de Dirac esta dada por

Observación: la función delta de Dirac, no es una función, realmente es lo que se conoce como una función generalizada (o distribución).

Teorema [Propiedades de la función delta]

La función delta de Dirac satisface las siguientes propiedades

 El siguiente teorema establece la transformada de Laplace de la función delta de Dirac.

 Definición [Transformada de delta]

Demostración Para iniciar la prueba debemos escribir la función impulso unitario en términos de la función escalón unitario

De donde tenemos que

 

 

con lo cual

 

 

 

 

 

Observación: a partir de   es razonable concluir que

. Esto reafirma el hecho de que   no es una función ordinaria, puesto que se espera

que   cuando  .

Ejemplo 

Calcule

Solución 

Claramente