7/25/2019 full7

1/1

Equacions diferencials

Problemes Full 7

Series de potencies i polinomis ortogonals

1. Desenvolupant en series de potencies, demostreu les seguents igualtats:

(a) eax ebx = e(a+b)x.

(b)

sin xdx= cos x.

2. Trobeu la solucio general de lequacioy +(cos x)y= 0 al voltant de lorigen (avalueunomes els tres primers termes de les dues solucions del conjunt fonamental). Quin eslinterval de convergencia de la solucio?

3. Resoleu lequacio diferencial dAiry:

y xy= 0

pel metode de series de potencies (al voltant de x= 0). Concretament:

(a) Escriviu la solucio general fins a ordre x4.

(b) Trobeu la formula de recurrencia i doneu el radi de convergencia de la solucio.

(c) Escriviu la solucio general a tot ordre.

4. Resoleu pel metode de les series de potencies (potencies de x) lequacio diferencial

4xy + 2y +y = 0.

Concretament:

(a) Identifiqueu quina mena de punt es x= 0.

(b) Trobeu la(es) formula(es) de recurrencia i, si cal, lequacio indicial.

(c) Doneu els quatre primers termes de la serie que representa la solucio general delequacio diferencial

(d) Trobar el terme general de la serie esmentada.

5. Resoleu pel metode de les series de potencies (potencies de x) lequacio diferencial

x2y xy + (1 x)y= 0.

Concretament:

(a) Identifiqueu quina mena de punt es x= 0.

(b) Trobeu la(es) formula(es) de recurrencia i, si cal, lequacio indicial.

(c) Trobeu el terme general de una serie que representi una solucio particular delequacio diferencial.

(d) Trobeu la serie que representa la solucio generalde lequacio diferencial.