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Física

BEA. Bachillerato de Educación para Adultos

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FÍSICA Siendo una ciencia experimental la física, promueve el desarrollo de la curiosidad; una cualidad que todo estudiante posee; el aliento de búsqueda, de indagación se verá satisfecho con una serie de experimentos, que desarrollarán al resolver un problema o al encontrar una respuesta, y no se limitarán sólo a observar y a comprobar; en los que deberán adoptar estrategias y procedimientos característicos del trabajo científico, también tendrán la oportunidad de diseñar experimentos o prototipos en donde apliquen y demuestren los aprendizajes. Haciendo énfasis en la formación y desarrollo de habilidades de razonamiento crítico y pensamiento científico, búsqueda de información, de trabajo en grupo y de resolución de problemas, teóricos y experimentales; así mismo adquirirá competencias genéricas del perfil de egreso y disciplinares específicamente fortaleciendo el campo de las ciencias experimentales.

COMPETENCIAS “Pretende desarrollar el pensamiento científico en los alumnos, mediante la observación, la experimentación, el análisis y la argumentación, así como la aplicación en situaciones reales, de los principios, modelos y teorías básicas de las ciencias de la naturaleza.” Relacionado el ámbito con la unidad de aprendizaje, le corresponden los atributos:

“Comprende la estructura, el desarrollo y el funcionamiento del mundo orgánico e inorgánico de los sistemas naturales y del ser humano.

Valora las relaciones causales de los fenómenos de la naturaleza y sus implicaciones sociales, personales, éticas y económicas.

Aprecia la vida y la naturaleza; comprende las implicaciones que la acción humana tiene en el medio ambiente y, amplía su sentido de responsabilidad para su preservación.”

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COMPETENCIAS GENÉRICAS: → Se expresa y comunica

Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Propiedades de la competencia:

Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.

Aplica distintas estrategias comunicativas según quienes sean sus interlocutores, el contexto en el que se encuentra y los objetivos que persigue.

→ Piensa crítica y reflexivamente

Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. Propiedades de la competencia:

Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.

Identifica los sistemas y reglas o principios medulares que subyacen a una serie de fenómenos.

Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. Sintetiza evidencias obtenidas mediante la experimentación para producir

conclusiones y formular nuevas preguntas. → Aprende de forma autónoma

Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. Propiedades de la competencia:

Identifica las actividades que le resultan de menor y mayor interés y dificultad, reconociendo y controlando sus reacciones frente a retos y obstáculos

Articula saberes de diversos campos y establece relaciones entre ellos y su vida cotidiana.


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→ Trabaja en forma colaborativa

Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Propiedades de la competencia:

Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos

Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva

Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

OBJETIVO GENERAL El educando cuando termine la unidad de aprendizaje; tendrá la capacidad de valorar el impacto de la física en su vida cotidiana, para resolver diversos problemas y desarrollar propuestas de solución; a través de las leyes de la física y del uso de la metodología, aplicando está en su entono. Propiedades de la competencia CONOCIMIENTOS (SABERES TEÓRICOS Y PROCEDIMENTALES)

1. Conceptos básicos, procesos y fenómenos, infieren resultados en la experimentación, datos basados en la experiencia.

2. Conceptos básicos, tablas y gráficos, variables de una investigación, lectura de instrumentos y resultados de mediciones, resultados y mediciones

3. Metodología de las ciencias, tablas y gráficos. 4. Estrategias meta cognitivas para comprender la información. 5. Fenómenos, objetos, cambios y transformaciones, la naturaleza física de los cuerpos. 6. Organizadores gráficos para representar causalidad y predicción.

HABILIDADES (SABERES PRÁCTICOS)

1. Búsqueda y procesamiento de la información. 2. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva. 3. Experimenta diversos procesos, a través de técnicas de trabajo, para comprobar sus

hipótesis, presentar resultados y dar conclusiones a sus proyectos de investigación con la aplicación de un método científico.

4. Juzga problemas tecnológicos y ambientales, implicaciones del desarrollo científico. 5. Evalúa, valora aportes de la ciencia y la tecnología, uso racional de los recursos

ambientales del entorno, estrategias meta cognitivas para emitir juicios de valor.

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ACTITUDES (DISPOSICIÓN)

1. Disposición para el trabajo de manera autónoma. 2. Trabaja de manera colaborativa y cooperativa. 3. Actitud crítica y respetosa ante los diferentes contextos. 4. Escucha activamente sus compañeros y compañeras, reconoce otros puntos de vista,

compara con sus ideas y amplia sus criterios para modificar lo que piensa ante argumentos más sólidos

VALORES (SABERES FORMATIVOS).

1. Responsabilidad y puntualidad para participar en las actividades y proyectos que se le encomienden.

2. Solidaridad con sus compañeros aportando soluciones para la resolución de problemas.

3. Respetar los acuerdos establecidos en el aula. 4. Tolerancia para trabajar en equipo con sus compañeros.


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Contenido

Contenido 232MÓDULO 1: LA FÍSICA, MEDICIONES TÉCNICAS Y VECTORES La Física como ciencia 234 Sistema de unidades 242 Notación científica 250 Magnitudes físicas y su medición 252 Suma de vectores y escalares 261MÓDULO 2: FORMAS DE MOVIMIENTO MECÁNICO Rapidez y velocidad 264 Movimiento acelerado 269 Movimiento uniformemente acelerado 275 Gravedad y caída libre de los cuerpos 278 Leyes de Kepler 283 Ley de la Gravitacion Universal 287MÓDULO 3: LEYES DE LA CONSERVACION Impulso y cantidad de movimiento 290 Ley de la conservación del movimiento 294 Cantiodad de movimiento angular 298 Conservación de la cantidad del momento angular 302 Momento de torsión 305 Movimiento de torsión resultante 307MÓDULO 4: TRABAJO ENERGIA Y POTENCIA Trabajo 308 Energía cinética y potencial 311 potencia 313 Conservación de la energía 317 Calor y temperatura 318 Electricidad, carga eléctrica y fuerza entre cargas 324Bibliografia 329

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INTRODUCCIÓN

En el transcurso de nuestras vidas nos hemos encontrado como testigos y

participantes de innumerables fenómenos físicos, la luz que emite un relámpago,

la descarga eléctrica que se hace presente después de la fricción de dos

materiales y tocas un cuerpo, la utilidad de un rayo láser, cuando en un cruce

vehicular se ven obligados a frenar repentinamente y los cuerpos de los pasajeros

se disparan hacia el frente del vehículo, etc. Todos estos fenómenos son físicos y

para entenderlos es necesario estudiar la FÍSICA.

La física en una de las Ciencias Naturales que más ha contribuido al desarrollo y

bienestar del hombre, porque gracias a su estudio y a su investigación les ha sido

posible encontrar, en múltiples casos, una explicación clara y útil a los fenómenos

que se presentan en nuestra vida diaria.


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Son transformaciones permanentes, donde una o varias sustancias desaparecen,

y una o varias sustancias nuevas se forman, es decir hay alteraciones en su estructura íntima o molecular. No es reversible mediante procesos físicos.

Actividad

Coloca una “x” en la columna correspondiente, según el tipo de fenómeno que

represente

FENÓMENO FÍSICO QUÍMICO

Evaporación del agua de mar (ebullición) Fundición del hierro Fermentación de la glucosa (C6H12O6) El aceite flotando en agua Respiración Encender un fosforo Digestión de los alimentos Congelamiento del agua

La relación de la física con otras ciencias La física es una de las ciencias más antigua, por lo tanto de ella se derivan las

demás ciencias naturales. Por lo tanto la física tiene relación con:

Las Matemáticas

La Química

La Biología

Ingeniería

Computación

Geología

La Astronomía

Meteorología


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Actividad

Investiga ¿Cómo se relaciona la física con las siguientes ciencias?

Ciencia Relación

Matemáticas

Química

Biología

Ingeniería civil

Computación

Geología

Sismología

División de la física

Para facilitar su estudio, la física se divide de la siguiente manera:

Clásica

Moderna

Mecánica Termología Acústica Óptica Electromagnetismo

Mecánica cuántica Atómica Nuclear

Cinemática Dinámica Estática

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Física clásica: fenómenos, en los que su velocidad es muy pequeña en

comparación de la velocidad de la luz.

Física moderna: fenómenos, en los que su velocidad es muy cercana a la

velocidad de la luz.

Mecánica: movimiento de los cuerpos, así como también su estado bajo la

acción de fuerzas.

Cinemática: diferentes tipos de movimientos de los cuerpos, así como su

descripción, es decir, ¿Cómo se mueven los cuerpos?

Dinámica: causas que provocan el movimiento de los cuerpos, es decir,

¿Por qué se mueven los cuerpos?

Estática: equilibrio de los cuerpos, ya sea en reposo o en movimiento.

Termología: calor y temperatura.

Acústica: movimiento ondulatorio, como el sonido.

Óptica: luz.

Electromagnetismo: electricidad y magnetismo.

Mecánica cuántica: escala atómica, donde participan masas diminutas con

energías y velocidades sumamente grandes.

Física atómica: propiedades y comportamiento de los átomos.

Física nuclear: propiedades y comportamiento de los núcleos atómicos.

La física es una ciencia experimental donde los científicos observan fenómenos

naturales y tratan de encontrar patrones y principios que logren explicar el por qué

de las cosas, a partir de estos patrones también llamadas teorías, cuando están

bien fundamentadas y sobre todo comprobadas llegan a ser leyes o principios físicos y, con base en éstas, es posible desarrollar algún nuevo invento o

descubrimiento.


240

Método científico

La ciencia para su investigación utiliza el llamado método científico, el cual se

define como el conjunto de pasos ordenados y sistematizados que conducen una

mayor certeza a la elaboración de la ciencia.

Este método consta de varios pasos o procedimientos que permiten al

investigador la posibilidad de explicar algún principio o suceso cuando se

presente, o conocer más acerca de ellos.

Los pasos del método científico de manera general son:

1. Cuerpo de conocimiento disponible. Es la interpretación clara del problema

que desea investigar.

2. Observación del problema.

3. Planteamiento sobre cómo resolver el problema.

4. Formulación de preguntas e hipótesis que tratan de explicar el problema,

aún sin comprobación.

Para que comprendas cuál es la mejor manera de resolver problemas de física,

planteamos cuatro pasos que te ayudaran a resolverlos:

1. IDENTIFICAR: consiste en comprender todos los conceptos que se puedan

relacionar con el problema, para tener una idea precisa del tema a que se

refiere. Es importante que leas el enunciado tantas veces como sea

necesario, hasta que comprendas en totalidad el problema, pues no podrás

resolverlo si no sabes de qué se trata. Realízate las siguientes preguntas

¿Cuál es la incógnita? ¿Qué datos me están proporcionando? ¿Qué datos

me hacen falta? ¿Qué principios de la física me pueden ayudar a

resolverlo? ¿en qué unidades tengo mis datos?, etc.

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2. PLANTEAR: lo que sigue es partir de los datos y conceptos que ya

identificaste, plantéate el problema de la forma más adecuada para que lo

resuelvas, te puede ayudar la realización de dibujos que representen

gráficamente la cuestión, elige la(s) fórmula(s) que vas a utilizar y la forma

de utilizarla(s) cuando sea necesario.

3. EJECUTAR: aquí “ejecutaras” las ideas de resolución o resuelves las

ecuaciones matemáticas formadas.

4. EVALUAR: en este último paso verificaras que hayas llegado a la

verdadera solución, revisa si estás dando respuesta a la necesidad del

problema, si la cantidad o las cantidades están en las unidades adecuadas.

Una parte esencial de este punto es evaluar si tu respuesta es lógica o no.

Si tus resultados no son los esperados se deberá iniciar con el paso No.1.


242

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SISTEMA DE UNIDADES.

Existe una gran variedad de magnitudes que se eligen para el estudio de física, al

conjunto de todas ellas se le conoce como sistema de unidades.

El sistema internacional de unidades se llama Sisteme International d’Unités (SI)

y, en esencia, es el mismo que conocemos como sistema métrico.

El Comité Internacional de Pesas y Medidas ha establecido cantidades básicas, y

ha asignado unidades básicas oficiales a cada cantidad y en la actualidad se

clasifican en dos tipos:

I. Unidades del SI Base o Fundamentales

II. Unidades del SI Derivadas

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Unidades del SI base o fundamentales

Son 7 y son consideradas fundamentales, pues a partir de ellas es posible obtener

las llamadas unidades derivadas.

Definiciones de las unidades base

Sistema Internacional de Unidades (SI)

Unidades del SI Base o Fundamentales

Unidades del SI Derivadas


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Metro: es la longitud de la trayectoria recorrida por la luz en el vacío en un lapso

de 1/299 792 458 de segundos.

Kilogramo: es la masa a la del prototipo internacional del kilogramo.

Segundo: es la duración de 9 192 631 770 períodos de la radiación

correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado

fundamental del átomo de cesio 133.

Ampere: es la intensidad de una corriente constante, que mantenida en dos

conductores paralelos, rectilíneos de longitud infinita, de sección circular

despreciable, colocados a un metro de distancia entre sí, en el vacío, producirá

entre ellos una fuerza igual a 2x10-7 newton por metro de longitud.

Kelvin: es la fracción de 1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto

triple del agua.

Candela: es la intensidad luminosa en una dirección dada de una fuente que

emite una radiación monocromática de frecuencia 540x1012 hertz y cuya

intensidad energética en esa dirección es 1/683 watt por esterradián.

Mol: es la cantidad de sustancia que contiene tantas entidades elementales como

existen átomos en 0,012 kg de carbono 12.

Física

245

Unidades del SI derivadas

Este sistema de unidades se obtiene a partir de las unidades base, por lo tanto

están expresadas en términos de las fundamentales.


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Unidades del SI derivadas especiales

Esta subdivisión fue creada para ayudar a la representación de unidades formadas

por combinaciones de las unidades base, unidades con nombre y símbolos

especiales.

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Prefijos del SI

Con el uso del SI se ha caído en la necesidad de utilizar “prefijos” para representar

e interpretar fácilmente cantidades muy pequeñas o muy grandes, en la actualidad

se cuenta con 20 de ellos y en alguno de los casos se dificulta su uso debido al

gran número existentes. Todos los prefijos pueden ser utilizados para todas y cada

una de las unidades que estén dentro del SI y las que no lo están.

Puntos a considerar para escribir de manera correcta el prefijo y la unidad correcta

para la representación de alguna medición.

Escribir las unidades y sus prefijos con letras y números rectos y evita

escribir con letra cursiva.


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Los símbolos los deberás escribir con minúscula o mayúscula, según

corresponda.

Evita escribir abreviaturas y no coloques punto al final de la unidad o

símbolo.

No agregues letras a las correspondientes a cada símbolo.

Los números los deberás escribir en tipo romano (recto) para que se te

facilite la lectura con varios dígitos a partir del punto decimal hacia la

derecha o izquierda. Las separaciones las puedes hacer con pequeños

espacios y nunca con puntos, comas u otros medios.

En la expresión de una magnitud, los símbolos de la unidad se escriben

después del valor numérico, dejando un espacio entre éste símbolo.

Ejemplos:

Representa las siguientes cantidades con el prefijo y símbolo correcto:

300 M

300 000 000 ohms = 300 M = Trescientos mega ohms.

Representa en forma desarrollada la siguiente expresión con prefijo:

150 A = 0.000 150 Amperes = Ciento cincuenta micro amperes

Símbolo del prefijo mega

Número Símbolo de la unidad derivada especial

“Ohms”

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Actividad

Representa las siguientes cantidades con el prefijo y símbolo correcto o en forma

desarrollada, según lo que te pida.

a) 35 000 Voltios = _________________________ = __________________

b) 26 000 000 000 000 Candelas = _____________ = ___________________

c) 0.000 030 Faradios = ______________________ = ___________________

d) 0.000 000 021 Teslas = ____________________ = ___________________

e) 52 000 000 Watts = _______________________ = ___________________

f) 71 GHz = _______________________________ = ___________________

g) 926 mA = _______________________________ = ___________________

h) 6 Mlm = ________________________________ = ___________________

i) 54 m = ________________________________ = ___________________

j) 531 nF = _______________________________ = ____________________


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25

NOTACIÓN CIENTÍFICA.

La notación científica (o notación índice estándar) es una manera rápida de

representar un número utilizando potencias de base diez. Esta notación se utiliza

para poder expresar muy fácilmente números muy grandes o muy pequeños.

Los números se escriben como un producto:

Siendo:

Un número entero o decimal mayor o igual que 1 y menor que 10, que

recibe el nombre de coeficiente.

Un número entero, que recibe el nombre de exponente u orden de

magnitud.

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Suma y resta

Siempre que las potencias de 10 sean las mismas, se deben sumar los

coeficientes (o restar si se trata de una resta), dejando la potencia de 10 con el

mismo grado. En caso de que no tengan el mismo exponente, debe convertirse el

coeficiente, multiplicándolo o dividiéndolo por 10 tantas veces como se necesite

para obtener el mismo exponente.

Ejemplo:

2×105 + 3×105 = 5×105

3×105 - 0.2×105 = 2.8×105

2×104 + 3 ×105 - 6 ×103 = (tomamos el exponente 5 como referencia)

= 0,2 × 105 + 3 × 105 - 0,06 ×105 = 3,14 ×105

Multiplicación

Para multiplicar cantidades escritas en notación científica se multiplican los

coeficientes y se suman los exponentes.

Ejemplo:

(4×1012)×(2×105) =8×1017

División

Para dividir cantidades escritas en notación científica se dividen los coeficientes y

se restan los exponentes.

Ejemplo: (48×10-10)/(12×101) = 4×10-11

Potenciación

Se eleva el coeficiente a la potencia y se multiplican los exponentes.

Ejemplo: (3×106)2 = 9×1012.


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MAGNITUDES FÍSICAS Y SU MEDICIÓN.

Una magnitud es la propiedad física que posee un cuerpo para ser medido, por

ejemplo su longitud, volumen, masa, velocidad, etc. Las magnitudes las

encontramos de dos formas escalares y vectoriales.

→ Magnitud escalar: posee un valor numérico, es cual se determina

mediante un número real, sin que tenga dirección, ni sentido, un claro

ejemplo es la temperatura.

→ Magnitud vectorial: posee un valor numérico así como una dirección y

sentido, los cuales se simbolizan con un vector o flecha, el ejemplo más

característico es el peso.

Las magnitudes para que puedan ser estudiadas se dividen de la siguiente

manera:

→ Magnitudes fundamentales: estas no dependen de otras para ser

utilizadas y, por el contrario, son la base de otro tipo de magnitudes.

→ Magnitudes derivadas: dependen de las magnitudes fundamentales, ya

que resultan de su división o multiplicación. Ejemplo: al multiplicar L

(longitud) por sí misma da como resultado L2, equivalente a la magnitud

derivada área, al dividir Kg (kilogramo) entre el área nos resulta P (presión).

Física

253

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La medición es una actividad experimental la cual nos permite determinar

magnitudes físicas (escalar y vectorial) con relación a una unidad de patrón

adecuada. En toda medición tenemos que tener presentes los siguientes

aspectos:

Precisión: es el grado de exactitud con el que se mide una magnitud escalar o

vectorial, esta limita por la división minúscula de su escala.

Valor verdadero: (Vv) es el valor asignado a la magnitud de un objeto desde su

fabricación.

Valor medio (promedio) (X): es el valor que resulta de la suma de las lecturas de

varias mediaciones registradas en un mismo evento dividido entre el número de

mediciones realizadas.

X = X1 + X2 + X3 +… Xn; n = número de mediciones

n

Valor medido (VM): es el valor de la medición de una magnitud de un objeto o

fenómeno físico, siendo en la mayoría de los casos dicho valor, diferente al valor

verdadero (VV)

Error absoluto (EA): es la diferencia que hay entre el valor verdadero del objeto a

medir y el valor medido.

EA = VM - VV

Error relativo (ER): es una forma de representar la calidad de una medición de

una magnitud y es el cociente del error absoluto y el valor medido verdadero.

ER = EA


254

VV

Ejemplo 1. Medidas de tiempo de un recorrido efectuadas por diferentes

alumnos: 3,01 s; 3,11 s; 3,20 s; 3,15 s

Valor que se considera exacto:

Física

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Errores absoluto y relativo de cada medida:

Medidas Errores absolutos Errores relativos

3,01 s 3,01 - 3,12 = - 0,11 s -0,11 / 3,12 = - 0,036 (- 3,6%)

3,11 s 3,11 -3,12 = - 0,01 s -0,01 / 3,12 = - 0,003 (- 0,3%)

3,20 s 3,20 -3,12 = + 0,08 s +0,08 / 3,12 = + 0,026 (+

2,6%)

3,15 s 3,15 - 3,12 = + 0,03 s +0,03 / 3,12 = + 0,010 (+

1,0%)

Ejemplo 2. Obtenemos el error absoluto y relativo al considerar:

a) 3,5 m como longitud de un terreno que mide realmente 3,59 m.

b) 60 m como la distancia entre dos postes que están situados a 59,91 m.

a) Ea = |3,59 - 3,5| = 0,09 m

E r = | 3 , 59 - 3 , 5 | 3 , 59 = 0 , 025 = 2 , 5 %

b) Ea = |59,91 - 60| = 0,09 m

E r = | 59 , 91 - 60 | 59 , 91 = 0 , 0015 = 0 , 15 %

Observamos que el error absoluto es el mismo en ambos casos, pero el error

relativo es considerablemente mayor en el primer caso y, por tanto, la

aproximación es menos precisa.

Por ejemplo, si redondeamos el número 2,387 a las centésimas:

Error absoluto: Ea = |2,387 - 2,39| = 0,003.


256

Error relativo: Er = 0,003 / 2,387 = 0,0013 . Es decir, el 0,13%.

Actividad

Resuelve los siguientes ejercicios de cálculo de errores:

1. Queremos determinar la distancia que hay entre dos columnas con una cinta

métrica que aprecia milímetros. Realizamos cinco medidas y obtenemos los

siguientes valores:

80,3 cm; 79,4 cm; 80,2 cm; 79,7 cm; y 80,0 cm.

¿Cuál es el resultado de ésta medida? ¿Cuál es el error absoluto y relativo de ésta

medida?

2. Para determinar la longitud de una mesa se han realizado cuatro mediciones

con una cinta métrica. Los valores obtenidos son los siguientes:

75,2 cm; 74,8 cm; 75,1 cm; y 74,9 cm.

Expresa el resultado de la medida acompañado del error absoluto. ¿Entre qué

márgenes se encuentra el valor real de la longitud de la mesa?

3. Completa la siguiente tabla:

Número exacto Aproximación décimas Error absoluto Error relativo 11/3 3,7 5/11 0,5 3,24 3,2

2,888888…. 2,9 7/13 0,5 4/3 1,3

2,93333… 2,9 4,66666 4,7

13/6 2,2 4,11111… 4,1

15,2377945 15,2

4. En la medida de 1 m se ha cometido un error de 1 mm, y en 300 Km, 300 m.

¿Qué error relativo es mayor?

Física

257

5. Como medida de un radio de 7 dm hemos obtenido 70.7 cm. Calcula el error

absoluto y el relativo.


258

INSTRUMENTOS DE MEDICIÓN

La elección de un instrumento de medición depende de la precisión que sea

requerida y de las condiciones físicas que rodeen la medición.

Los instrumentos de medición son el medio por el que se hace esta conversión o

medida. Dos características importantes de un instrumento de medida son la

apreciación y la sensibilidad.

Apreciación es la mínima cantidad que el instrumento puede medir (sin

estimaciones) de una determinada magnitud y unidad, o sea es el intervalo entre

dos divisiones sucesivas de su escala.

Algunos instrumentos de medición

Para medir longitud:

regla y metro

Calibre

micrómetro

reloj comparador

Física

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Para medir ángulos:

escuadras

goniómetro

sextante

transportador

Para medir magnitudes eléctricas:

amperímetro (mide la corriente eléctrica en Amper A)

óhmetro (mide la resistencia eléctrica en ohms Ω)

voltímetro (mide la tensión eléctrica en voltios V)

multímetro (mide todas las anteriores magnitudes)

wattímetro (mide la potencia eléctrica)

puente de Wheatstone (resistencia Elec. En μΩ)

osciloscopio

electrómetro (mide la carga)

galvanómetro (mide pequeñas corrientes μA)

Para medir masa:

balanza

báscula

espectrómetro de masa

Para medir tiempo:

calendario

cronómetro


260

reloj

Para medir temperatura:

termómetro

termopar

pirómetro

Para medir presión:

barómetro

manómetro

Para medir flujo:

caudalímetro (utilizado para medir caudal de un flujo)

Física

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SUMA DE VECTORES Y ESCALARES

En Física existen magnitudes (todo aquello susceptible de ser medido -medir, es

comparar magnitudes de la misma especie una de las cuales se ha tomado como

unidad-) que quedan perfectamente determinadas dándoles un valor a la magnitud

expresada en una unidad conveniente. Estas son las magnitudes escalares, así

tenemos la presión ejercida por un gas en el interior de un recipiente, la

temperatura en un lugar del espacio, el trabajo que se realiza al arrastrar un bulto

desde un lugar a otro..., luego; la presión, la temperatura, el trabajo, etc., son

magnitudes escalares.

Sin embargo, existen otras magnitudes que necesitan, además del valor

asignado, una dirección y un sentido para quedar perfectamente determinadas.

Nos referimos a las magnitudes vectoriales. Si queremos situar (saber su posición)

a un alumno/a en el interior de una clase respecto de la puerta, no nos bastaría

con medir la distancia que existe entre el alumno/a y la puerta sino que además

habría que especificar la dirección. La posición de un objeto respecto de otro es

una magnitud vectorial, también lo son la velocidad, la aceleración... Se ha

desarrollado un modelo matemático para representar a dichas magnitudes, los

VECTORES.

Un vector es un segmento orientado en el espacio. Se puede caracterizar por:

Origen a considerar cuando interese conocer el punto de aplicación del

vector.

Dirección o línea de acción coincidente con la de la recta que la contiene o

cualquier otra recta paralela.

Sentido viene determinado por la punta de flecha localizada en el extremo

del vector.

Módulo es la distancia entre el origen y el extremo del vector.


262

Un vector puede venir representado mediante una letra en negrita o bien,

situando encima de la letra una flecha y su módulo se representa en cursiva o

bien, colocando entre barras a la letra con la flecha.

Operaciones básicas: Vamos a estudiar, ahora, las operaciones básicas entre

vectores. Los vectores que utilizaremos para definir las operaciones serán libres.

Suma de vectores.

La suma de dos vectores A y B es un nuevo vector S. A+B=S. Gráficamente

puede obtenerse mediante la regla del paralelogramo, o bien usando el método

que consiste en colocar uno de ellos y en el extremo de éste se coloca el origen

del otro siendo el vector resultante aquel que tiene de origen el del primero y de

extremo el del segundo.

La suma de vectores posee la propiedad conmutativa y asociativa. A + B = B + A;

Física

263

(A + B) + C=A + (B + C).

Vector opuesto.

El vector opuesto a uno dado (A) es otro vector de igual

módulo dirección pero de sentido contrario al dado (-A).

Diferencia de vectores.

La resta de dos vectores A y B

(A-B) es igual a la suma de A con el

opuesto de B [A+(-B)].

La suma de un vector con su opuesto nos da el vector cero (0). A+(-A)=0

Producto de un escalar por un vector. Vector unitario.

Sea un escalar μ y un vector v. Se define al producto del escalar

por el vector (μ v) a un nuevo vector V de módulo μ veces el

módulo de v (V=μv), de la misma dirección que y de sentido igual

al de v si μ>0. Si μ<0 el sentido de V será contrario al de v

Vectores en el sistema de coordenadas cartesianas.

En el sistema de coordenadas cartesianas un punto

en el plano viene determinado por una pareja de

números reales P(x,y) y en el espacio por una terna

P(x,y,z), también llamados coordenadas cartesianas.


264

RAPIDEZ Y VELOCIDAD

El movimiento de los objetos es algo que ocurre continuamente a nuestro

alrededor. El cambio continuo en la posición de un objeto sugiere que puede haber

un movimiento. Se puede describir ese movimiento de un objeto si se conoce su

posición a través del tiempo. Aunque los conceptos distancia y

desplazamiento ayudan en la descripción del movimiento, lo cierto es que

podemos utilizar otros conceptos para describir el movimiento en forma más

específica. En nuestra vida diaria a veces utilizamos los conceptos de rapidez o

velocidad como si fueran lo mismo, en realidad no lo son. La rapidez y la

velocidad en cinemática tienen distinto significado físico.

Considera un objeto que se mueve a lo largo de una línea recta desde el punto P

hasta el punto Q en el espacio. Por tratarse de un movimiento en línea recta, la

distancia recorrida por el objeto es igual a la magnitud del desplazamiento.

El espacio entre ambos puntos sería la distancia recorrida por el objeto o la

magnitud de su desplazamiento.

Podríamos establecer un marco de referencia utilizando una recta numérica en la

que los positivos sean hacia la derecha y la posición inicial esté en el origen. Xf =

9 y que Xi = 0. Así que la magnitud del desplazamiento y la distancia serían igual a

nueve unidades. El desplazamiento sería de nueve unidades hacia la derecha. No

olvides la dirección del desplazamiento.

Aunque hemos

descrito el movimiento del objeto a partir de la distancia y el desplazamiento del

objeto utilizando un marco de referencia espacial, podemos describir en forma

Física

265

más específica el movimiento a partir del tiempo que tarda el objeto en completar

el recorrido. Varios objetos pueden recorrer la misma distancia en distintos

tiempos, así que el tiempo es un parámetro que nos ayudaría a describir el

movimiento de un objeto.

El movimiento no se da de forma súbita, este ocurre dentro de un marco de

tiempo. Si tomamos un cronómetro y lo ajustamos en cero (tiempo inicial, ti)

cuando el objeto está en su posición inicial y lo echamos a correr una vez el objeto

comienza a moverse; deteniéndolo (tiempo final, tf) una vez el objeto haya llegado

a su posición final, obtendremos el tiempo que el objeto tarda en completar el

recorrido (t = tf – ti). Es importante mencionar que siempre el tiempo será positivo,

toda vez que el tiempo siempre aumenta por lo que el tiempo final siempre es

mayor que el tiempo inicial. Un tiempo negativo, significaría retroceder en el

tiempo.


266

Imagina que el objeto tardó diez segundos en completar el recorrido desde el

punto P hasta el punto Q. Podemos entonces representar este movimiento en

forma gráfica en la que el tiempo estará en el eje horizontal y la distancia en el eje

vertical. A este tipo de gráfica lo llamamos, gráfica de posición versus tiempo.

Si el objeto se mueve rítmicamente, es

decir la misma distancia por cada unidad de tiempo que transcurre, entonces la

gráfica será una lineal. La gráfica representa como cambia la posición respecto al

tiempo. Esta idea trae como consecuencia el concepto de rapidez. La rapidez se

refiere a cuan continuo un objeto se está moviendo. Un objeto rápido cambia su

posición en forma más apresurada que un objeto lento. Un objeto en reposo

tendría una rapidez igual a cero.

En ocasiones, la rapidez de un objeto

varía en el tiempo y no es

constante. Considera la siguiente gráfica. Al igual que la anterior, el objeto ha

recorrido una distancia de nueve metros en diez segundos. Sin embargo, la

segunda gráfica presenta un objeto con rapidez variable. Al principio el mismo

viajaba lentamente y más rápido al final. Esto lo sabemos al observar que el

cambio en la posición por cada segundo que transcurre es cada vez mayor.

Al hablar de la rapidez en este segundo caso, tenemos que hablar de la rapidez

promedio. Matemáticamente se define la rapidez como: v = d/t. Donde d es la

Física

267

distancia y t es el tiempo. En el caso de nuestro objeto en ambos casos la rapidez

promedio es de 0.9 m/s

Si durante el recorrido del primer caso, observaras el velocímetro del objeto,

notarías que el mismo estaría marcando 0.9 m/s todo el tiempo. Sin embargo en el

segundo caso, observarías como el velocímetro cambia a cada instante siendo el

promedio de las lecturas 0.9 m/s. Sin embargo, la rapidez en cualquier instante, se

conoce como la rapidez instantánea.

La rapidez instantánea de un objeto, es la rapidez con la que el objeto se mueve

en un instante dado. Si el objeto se moviera exactamente la misma distancia por

cada unidad de tiempo, entonces la rapidez sería constante, por lo que la rapidez

instantánea sería igual a la rapidez promedio.

Otro concepto que podemos utilizar para describir el movimiento de un objeto es la

velocidad (v). La velocidad es una cantidad vectorial, por lo que requiere de una

magnitud con sus unidades de medida y una dirección para referirnos a ella. La

magnitud de la velocidad es la rapidez del objeto. Al igual que la rapidez, también

nos referimos a la velocidad como velocidad promedio. La velocidad promedio se

puede calcular a partir de la ecuación: v = d/t donde d es el desplazamiento.

Utilizamos letras en negritas para las cantidades escalares. Por tal motivo: v es la

rapidez mientras que v es la velocidad.


268

Ejemplo: A un tren, le toma 2.0 horas en viajar entre las ciudades de París y Lion

que se encuentra a 454 km hacia el sur. ¿Cuál es la velocidad promedio del tren?

Dado: Desplazamiento (d): 454 km, sur

Tiempo (t): 2.0 horas

Velocidad promedio (v): ?

Ecuación: v = d / t

Solución: v = d / t = 454 km / 2 h = 227 km/h, sur.

Un objeto que se mueve con velocidad constante tendrá un desplazamiento igual

durante cada segundo de movimiento. Así que el desplazamiento será

proporcional al tiempo, siendo la velocidad la constante de proporción. Si la

velocidad aumenta, el desplazamiento por segundo será mayor. La ecuación que

describe esta relación es d = vt. Fíjate que esta ecuación está escrita de la forma y

= mx + b. Esta es la ecuación que describe las gráficas lineales, donde m es la

pendiente y b el intercepto en el eje de y. La pendiente se refiere a la inclinación

de la gráfica y la llamamos constante de proporción. Indica cuanto cambia la y por

cada cambio en x. El intercepto en el eje de y indica el valor de y cuando la x es

igual a cero.

Como mencionáramos anteriormente, la gráfica de posición versus tiempo para un

objeto que se mueve con velocidad constante será una línea recta. Como la

pendiente de una gráfica lineal indica el cambio en la posición respecto al cambio

en el tiempo, entonces la pendiente de la gráfica es la velocidad.

Considera que un objeto se mueve durante 5 segundos recorriendo una distancia

de 300 metros. Al observar el movimiento, se obtuvieron los siguientes datos:

La pendiente de esta gráfica representa la razón de cambio de la posición

respecto al cambio en el tiempo. Es decir, por cada segundo que transcurre, el

objeto se desplaza 60 metros. Como esta razón de cambio se mantiene constante,

la gráfica resulta ser lineal, por lo que decimos que el objeto se mueve con

velocidad constante.

Física

269

MOVIMIENTO ACELERADO

Aceleración

En el transitar de nuestra vida cotidiana observamos distintos cuerpos en

movimiento. La mayoría no se mueven con una velocidad constante, pues ésta

siempre varía, ya sea que aumente o disminuya su valor.

El ejemplo más claro es el de un autobús de pasajeros en un día de tráfico pesado

aumenta y disminuye constantemente su velocidad, lo que nos fuerza a nosotros

como pasajeros a mantenernos alertas, sujetándonos fuertemente para no sufrir

una caída.

Al contrario de este, un auto de carreras aumenta su

velocidad cuando la pista tiene un tramo recto; sin

embargo al acercarse a la curva, disminuye su velocidad

y luego vuelve a aumentar.

Siempre que un cuerpo tiene un cambio en su velocidad, ya sea positivo, cuando

la velocidad final es mayor que la velocidad final o bien un cambio negativo,

cuando la velocidad final es menor a la velocidad inicial, decimos que ha tenido

una aceleración. Cuando una aceleración es negativa, es común decir que existe

una desaceleración, así pues, la aceleración será positiva si el cambio en la

velocidad también es positivo, y será negativa si el cambio en la velocidad es

negativo.


270

Entonces tenemos que la aceleración es una magnitud vectorial, pues requiere de

la especificación de su dirección y sentido para que quede definida.

Física

271

46

En conclusión: la aceleración representa el cambio en la velocidad de un cuerpo

en un tiempo determinado, por tanto:

Aceleración = cambio de velocidad = V

Tiempo en que ocurre el cambio t

Como: v = vf – v0

a = vf – v0

t

Donde:

a = aceleración del móvil en m/s2 o cm/s2

vf = velocidad final del móvil en m/s2 o cm/s2

vo = velocidad inicial del móvil en m/s2 o cm/s2

t = tiempo en que se produce el cambio de velocidad en segundos (s)

Cuándo el móvil parte del reposo, su velocidad inicial es igual a cero (vo = 0) y su

aceleración es igual a:

a = v

t

Para determinar las unidades de aceleración, sustituimos las unidades de

velocidad y tiempo, según el sistema de unidades utilizado:

m s m s = s2


272

Sistema Internacional (SI): a =

Sistema cegesimal (CGS): a =

cm s cm s = s2

Física

273

Cuando el móvil no parte del reposo, entonces en el intervalo de tiempo en el cual

se considera su movimiento, ya lleva una velocidad inicial diferente de cero (vo =

0) y su aceleración se determina de la siguiente manera:

at = vf – v0 vf = v0 + at

Ejemplos

Un tren reduce su velocidad de 80 a 20 km/h en un tiempo de 8 s. Encuentre la

aceleración en unidades del SI

Solución:

Primero se convierte la velocidad de kilómetros por hora a las unidades del SI que

son m/s.

60 km = 1000 m = 1h = 16.7 m/s h 1m 3600 s

De igual manera, se determina que 20 km/h es igual a 5.56 m/s. Sustituyendo

estos valores en la ecuación se tiene

a = vf – v0 = 5.56 m/s – 16.7 m/s

t 8s

a = - 1.39 m/s

Un automóvil mantiene una aceleración constante de 8 m/s2. Si su velocidad inicial

era de 20 m/s, ¿cuál es su velocidad después de 6 s?

Solución:


274

vf = v0 + at = 20 m/s + (8m/s2)(6s)

o bien, vf = 20 m/s + 48 m/s

Así, la velocidad final es

vf = 68 m/s

Física

275

MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE ACELERADO

El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado es un tipo de movimiento

frecuente en la naturaleza. Una bola que rueda por un plano inclinado o una piedra

que cae en el vacío desde lo alto de un edificio son cuerpos que se mueven

ganando velocidad con el tiempo de un modo aproximadamente uniforme; es

decir, con una aceleración constante.

Este es el significado del movimiento uniformemente acelerado, el cual “en

tiempos iguales, adquiere iguales incrementos de rapidez”.

En este tipo de movimiento sobre la partícula u objeto actúa una fuerza que puede

ser externa o interna.

En este movimiento la velocidad es variable, nunca permanece constante; lo que

sí es constante es la aceleración.

Entenderemos como aceleración la variación de la velocidad con respecto al tiempo. Pudiendo ser este cambio en la magnitud (rapidez), en la dirección o en

ambos.

Las variables que entran en juego (con sus respectivas unidades de medida) al

estudiar este tipo de movimiento son:

Velocidad inicial Vo (m/s)

Velocidad final Vf (m/s)

Aceleración a (m/s2)

Tiempo t (s)

Distancia d (m)


276

Para efectuar cálculos que permitan resolver problemas usaremos las siguientes

fórmulas:

Consejos o datos para resolver problemas:

La primera condición será obtener los valores numéricos de tres de las cinco variables. Definir la ecuación que refleje esas tres variables. Despejar y resolver

numéricamente la variable desconocida.

Tener cuidado con que en algunas ocasiones un dato puede venir disfrazado; por

ejemplo:

"un móvil que parte del reposo.....", significa que su velocidad inicial es Vo = 0; "en

una prueba de frenado...", significa que su velocidad final es Vf = 0.

Veamos un problema como ejemplo

En dirección hacia el sur, un tren viaja inicialmente a

16m/s; si recibe una aceleración constante de 2

m/s2. ¿Qué tan lejos llegará al cabo de 20 s.? ¿Cuál

será su velocidad final en el mismo tiempo?

Veamos los datos que tenemos:

Física

277

Conocemos tres de las cinco variables, entonces, apliquemos las fórmulas:

Averigüemos primero la distancia que recorrerá durante los 20 segundos:

Conozcamos ahora la velocidad final del tren, transcurridos los 20 segundos:

Respuestas:

Si nuestro tren, que viaja a 16 m/s, es acelerado a 2 m/s recorrerá 720 metros

durante 20 segundos y alcanzará una velocidad de 56 m/s.


278

GRAVEDAD Y CAÍDA LIBRE DE LOS CUERPOS

La gravedad (o más correctamente aceleración de gravedad) es la aceleración con

la cual se mueven los cuerpos al caer. El fenómeno de la caída de un cuerpo se

produce debido a la fuerza de gravedad.

El valor de la gravedad es de 9,81m/s2. Sin embargo, para simplificar las

operaciones al momento de hacer cálculos, suele utilizarse el valor de 10m/s2.

Al ser la gravedad un tipo de aceleración sus unidades se expresan en metros

sobre segundos al cuadrado.

La aceleración de gravedad tiene dirección vertical y sentido hacia abajo. La

aceleración de gravedad es la misma sobre toda la superficie terrestre, por lo que

no depende de ningún factor. En ciertos casos puede parecer que cambia como,

por ejemplo, cuando dejamos caer una piedra y una pluma; la piedra caerá

primero, pero esto se debe a que la resistencia del aire influye sobre la caída de la

pluma.

CAIDA LIBRE

Todo cuerpo al caer será constante ya que ésta es, precisamente, la aceleración

de gravedad, sin incluir la influencia de otros factores presentes como a

resistencia del aire.

Ejemplo

Si dejamos caer una pelota de hule macizo y una hoja de papel, al mismo tiempo y

de la misma altura, observaremos que la pelota llega primero al suelo. Pero, si

Física

279

arrugamos la hoja de papel y realizamos de nuevo el experimento observaremos,

al mismo que el tiempo de caída son casi iguales.

El movimiento vertical de cualquier objeto en movimiento libre, para es que se

pueda pasar por alto la resistencia entonces la resistencia del aire, se resume

entonces mediante las ecuaciones:

a) V = -gt + vO

b) Vm = (Vo + v)/2

c) y = -0.5 gt2 + Vot + yO

d) v2 = -2gt(y – yO)

Ejemplo Una pelota de béisbol arrojada verticalmente hacia arriba desde la azotea de un

edificio alto tiene una velocidad inicial de 20 m/s.

Calcule:

a) El tiempo necesario para alcanzar la altura máxima.

b) Encuentre la altura máxima.

c) Determine la posición y su velocidad después de 1.5 s.

d) ¿Cuáles son su posición y su velocidad después de 5 s?


280

Solución: (a) Enligamos la dirección hacia arriba como positiva, puesto que la velocidad

inicial se dirige hacia arriba. En el punto más alto, la velocidad final de la

pelota será igual a cero. Organizando los datos, tenemos que:

Datos:

V0 = 20 m/s

Vf = 0

G = -9.8 m/s2

Física

281

Encontrar: T = ¿?

S = ¿?

El tiempo requerido para llegar a la altura máxima se determina a partir de la

ecuación.

T = (Vf – V0)/g = - V0 / g

= -20 m/s / -9.8 m/s2 = 2.04 s.

Solución (b):

La altura máxima se calcula estableciendo que Vf = 0 en la ecuación:

S = (Vf + V0 / 2 ) t = V0/2 (t)

= -20 m/s / 2 (2.04 s) = 20.4 m

Solución (c): Para averiguar la posición y la velocidad después de 1.5s, debemos establecer

nuevas condiciones.

Datos:

V0 = 20 m/s

G = -9.8 m/s2

T = 1.5 s

Encontrar:

S = ¿?

Vf = ¿?


282

Ahora ya es posible calcular la posición con la siguiente fórmula:

S = V0t + ½ gt2

= (20 m/s) (1.5 s) + ½ (-9.8 m/s2)(1.5 s)2

=30 m – 11 m = 19 m

La velocidad después de 1.5 s se obtiene así:

Vf = V0 + gt

= 20 m/s + (-9.8 m/s2) (5s) + ½ (-9.8 m/s2)(5 s)2

= 100 m – 123 m = -23 m

Física

283

LEYES DE KEPLER.

En el siglo XVI, el astrónomo polaco Nicolás Copérnico remplazó la tradición de la

tierra como centro del movimiento planetario con uno en el cual el sol es el centro

y los planetas se mueven alrededor en círculos y los astrónomos comenzaron a

aceptar la idea de que la Tierra y los planetas giraban alrededor del Sol, en lugar

de que el Sol y los planetas giraran alrededor de la Tierra.

A través del modelo de Copérnico llegó a ser cercana la predicción correcta del

movimiento de los planetas. Esto llega a ser particularmente evidente en el caso

del planeta Marte, cuya órbita fue medida muy exactamente por el astrónomo

danés Tycho Brahe, sin embargo los astrónomos no eran capaces aún de

describir el movimiento de los planetas con precisión.

El astrónomo alemán Johannes Kepler fue quien finalmente tuvo la capacidad de

describir el movimiento planetario utilizando tres expresiones matemáticas, las

cuales llegaron a ser conocidas como las leyes de movimiento planetario de

Kepler, quien además encontró que las órbitas planetarias no eran circulares, sino

elípticas.

Las tres leyes referentes al movimiento de los planetas en sus órbitas alrededor

del Sol, descubiertas por Kepler.

Las leyes de Kepler no solo se aplican a los planetas que orbitan alrededor del

Sol, sino todos los casos de cuerpos celestes que orbitan otro bajo la influencia de

la gravedad.


284

PRIMERA LEY DE KEPLER (ÓRBITAS ELÍPTICAS)

Los planetas describen órbitas elípticas estando el Sol en uno de sus focos.

La elipse se ve como un

círculo alargado: un eje

largo, llamado eje mayor;

perpendicular a el eje mayor está el eje menor el más corto. Los 2 focos están

simétricamente localizados en cada lado del eje mayor.

SEGUNDA LEY

Los cuerpos celestes describen trayectorias en las que se cumple que: las áreas

barridas por el radio vector en tiempos iguales son iguales. El radio vector va

desde el foco de la elipse a la posición del planeta en cada instante.

La ley de las áreas es equivalente a la

constancia del momento angular, es decir,

cuando el planeta está más alejado del Sol

(afelio) su velocidad es menor que cuando está

más cercano al Sol (perihelio). La demostración

de la segunda ley de Kepler, se fundamenta en

la conservación del momento angular lo cual es

consecuencia de que la fuerza de gravedad

corresponde a una fuerza central.

Para ver esto, consideremos un planeta de

masa, m, moviéndose alrededor del sol en una órbita elíptica.

Física

285

La fuerza gravitacional que actúa sobre el planeta siempre se dirige a lo largo del

radio vector, hacia el sol. Se le llama fuerza central a la fuerza de este tipo,

dirigida hacia un punto fijo o en sentido contrario a él. El torque (momento de la

fuerza) que actúa sobre el planeta debido a esta fuerza central es cero, ya que la

fuerza F es paralela al radio r, esto es:

M =r x F = 0

Si consideramos que M = dL/dt = 0 , esto implica que el momento angular L(t) es

constante, es decir no varía con el tiempo:

L = r x p = m r x v = vector constante (donde p = mv es el momento lineal)

Como L es un vector constante, perpendicular a a r y a v, vemos que el

movimiento del planeta, su radio vector, r, y su velocidad, v, en cualquier instante

están restringidos al plano perpendicular al vector constantes L.

Relacionándolo geométricamente podemos ver que el radio r barre un área dA

en un tiempo dt. Esta area es igual a la mitad del área del paralelogramo formado

por los vectores r y dr ( || r x dr || ) .

Como el desplazamiento del planeta en un tiempo dt es dr = vdt , obtenemos:

dA = 1/2 || r x dr || = 1/2 || r x vdt || = ||L||/2m dt

Por lo tanto,


286

TERCERA LEY

Los cuadrados de los periodos

de revolución son proporcionales

a los cubos de la distancia

promedio al sol. Es decir el

cuadrado del periodo del planeta

es proporcional al cubo de la

distancia promedio de la órbita

del planeta. A partir de la tercera

ley, puede calcularse la distancia

de un planeta al Sol una vez que

se conoce su período.

La Ley de la Gravitación Universal permite explicar las leyes de Kepler sobre las

órbitas planetarias:

Para un planeta de masa m a una distancia r del Sol, la atracción gravitatoria será

la que obliga al planeta a describir su órbita, por lo que ha de ser la fuerza

centrípeta que actúa sobre el planeta. Igualando ambas fuerzas, la masa del

planeta puede simplificarse y podemos obtener el cuadrado de la velocidad

angular del planeta, lo que nos indica que cuanto mayor sea la distancia al Sol (r),

menor será la velocidad del planeta. La velocidad angular del planeta se puede

escribir en función del periodo de su órbita. Si ahora realizamos el cuadrado y

agrupamos periodo y radio en un miembro de la ecuación lo que aparece en el

segundo miembro de la igualdad es una constante, que es justamente la tercera

ley de Kepler.

Física

287

LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL

En su teoría de la gravitación universal Isaac Newton (1642-1727) explicó las

leyes de Kepler y, por tanto, los movimientos celestes, a partir de la existencia

de una fuerza, la fuerza de la gravedad, que actuando a distancia produce una

atracción entre masas. Esta fuerza de gravedad demostró que es la misma

fuerza que en la superficie de la Tierra denominamos peso.

Newton demostró que la fuerza de la gravedad

tiene la dirección de la recta que une los centros de

los astros y el sentido corresponde a una atracción.

Es una fuerza directamente proporcional al

producto de las masas que interactúan e

inversamente proporcional a la distancia que las

separa. La constante de proporcionalidad, G, se

denomina constante de gravitación universal.

Newton consiguió explicar con su fuerza de la

gravedad el movimiento elíptico de los planetas. La fuerza de la gravedad sobre

el planeta de masa m va dirigida al foco, donde

se halla el Sol, de masa M, y puede

descomponerse en dos componentes:

existe una componente tangencial (dirección tangente a la curva

elíptica) que produce el efecto de

aceleración y desaceleración de los

planetas en su órbita (variación del

módulo del vector velocidad);


288

la componente normal, perpendicular a la anterior, explica el cambio de

dirección del vector velocidad, por tanto la trayectoria elíptica. En la figura

adjunta se representa el movimiento de un planeta desde el afelio (B) al

perihelio (A), es decir, la mitad de la trayectoria dónde se acelera. Se

observa que existe una componente de la fuerza, la tangencial que tiene el

mismo sentido que la velocidad, produciendo su variación.

se estudia la gravedad, a partir

de la teoría de Newton, suponiendo

que la estrella se halla en reposo y

los planetas giran a su alrededor con

movimiento circular uniforme. Se

indica que en realidad la trayectoria

es elíptica aunque en el sistema solar

las órbitas son casi circulares. Sin

embargo no se comenta,

generalmente, que también se realiza

otra aproximación: se supone que la masa del Sol es mucho mayor que las

de los planetas, que se cumple en nuestro sistema solar. Pero si orbitan

dos cuerpos masivos, o sea, dos estrellas (estrellas binarias) o una estrella

y un planeta masivo, se describe mejor su movimiento tomando como

referencia el centro de masas de ambos cuerpos. En este caso, estrella y

planeta, orbitan alrededor del centro de masas.

Supongamos el sistema de la figura formado por una estrella de masa

M* y un planeta de masa m. Consideremos, para simplificar, movimientos

circulares y uniformes. Nombremos la distancia que separan el planeta del

centro de masas (CM) como a y la distancia que separa la estrella del

centro de masas (CM) comor*. Ambos cuerpos se mueven con

velocidades lineales constantes, v el planeta y v* la estrella.

Física

289

Definamos ahora el centro de masas: En general para un conjunto de n

cuerpos la posición del centro de masas (XCM, YCM, ZCM) viene dado por la

expresión, en coordenadas rectangulares o cartesianas (x, y, z):

Como nuestro problema se limita a

movimientos en un plano (el de la órbita) y

con trayectoria circular usaremos un sistema

de coordenadas polares (r, q) con origen en la

misma posición del centro de masas, o

searCM = 0, y tomando el eje polar hacia el planeta en la posición actual.

Calculemos, a partir de la figura, rCM, tendremos:

La 1ª ley de la dinámica de Newton indica que un sistema sobre el que

no actúen fuerzas externas se moverá con movimiento rectilíneo y

uniforme (o estará en reposo) respecto de un sistema inercial. Por ello el

sistema estrella-planeta debe cumplir esta ley ya que las fuerzas que

actúan son internas (la gravedad). Y será el centro de masas del sistema

que deberá moverse con movimiento rectilíneo y uniforme.

Las velocidades angulares de ambos cuerpos respecto del centro de

masas deben ser iguales (ver animación) para que se conserve su

posición relativa, de donde deducimos que también serán iguales los

periodos (T* periodo de la estrella y T periodo del planeta):


290

MODULO III LEYES DE LA CONSERVACIÓN

Impulso y cantidad de movimiento

Impulso

El impulso es el producto entre una fuerza y el tiempo durante el cual está

aplicada. Es una magnitud vectorial.

El módulo del impulso se representa como el área bajo la curva de la fuerza en el

tiempo, por lo tanto si la fuerza es constante el impulso se calcula multiplicando la

F por Δt, mientras que si no lo es se calcula integrando la fuerza entre los

instantes de tiempo entre los que se quiera conocer el impulso.

Cantidad de Movimiento

La cantidad de movimiento es el producto de la velocidad por la masa. La

velocidad es un vector mientras que la masa es un escalar. Como resultado

Física

291

obtenemos un vector con la misma dirección y sentido que la velocidad.

La cantidad de movimiento sirve, por ejemplo, para diferenciar dos cuerpos que

tengan la misma velocidad, pero distinta masa. El de mayor masa, a la misma

velocidad, tendrá mayor cantidad de movimiento.

m = Masa

v = Velocidad (en forma vectorial)

p = Vector cantidad de movimiento

Relación entre Impulso y Cantidad de Movimiento

El impulso aplicado a un cuerpo es igual a la variación de la cantidad de

movimiento, por lo cual el impulso también puede calcularse como:

Dado que el impulso es igual a la fuerza por el tiempo, una fuerza aplicada durante

un tiempo provoca una determinada variación en la cantidad de movimiento,

independientemente de su masa:


292

Ejemplo n° 1)

Una pelota de béisbol de 0,15 kg de masa se está moviendo con una velocidad

de 40 m/s cuando es golpeada por un bate que invierte su dirección adquiriendo

una velocidad de 60 m/s, ¿qué fuerza promedio ejerció el bate sobre la pelota si

estuvo en contacto con ella 5 ms?.

Desarrollo

Datos:

m = 0,15 kg

vi = 40 m/s

vf = - 60 m/s (el signo es negativo ya que cambia el sentido)

t = 5 ms = 0,005 s

Δp = I

pf - pi = I

m.vf - m.vi = F.t

F = m.(vf - vi)/t

F = 0,15 kg.(- 60 m/s - 40 m/s)/0,005 s

F = 0,15 kg.(- 100 m/s)/0,005 s

F = - 3000 N

Ejemplo n° 2)

Física

293

Se rocía una pared con agua empleando una manguera, la velocidad del chorro de

agua es de 5 m/s, su caudal es de 300 cm ³/s, si la densidad del agua es de 1

g/cm ³ y se supone que el agua no rebota hacia atrás, ¿cuál es la fuerza promedio

que el chorro de agua ejerce sobre la pared?

Desarrollo

Datos:

Φ V = 300 cm ³/s (caudal volumétrico)

Vi = 5 m/s

vf = 0 m/s (porque el chorro no rebota)

Δ = 1 g/cm ³

Primero debemos hallar la masa de agua y el tiempo de acción:

Φ M = Φ V. Δ

ΦM = 300 cm ³/s.1 g/cm ³

ΦM = 300 g/s (caudal másico)

Φ M = 0,3 kg/s éste dato nos dice que en t = 1 s la masa de agua es m = 0,3 kg

Δp = I

pf - pi = I

m.vf - m.vi = F.t

F = m(vf - vi)/t

F = 0,3 kg.(5 m/s - 0 m/s)/1 s

F = 1,5N


294

ACTIVIDADES.

Problema n° 1) Un taco golpea a una bola de billar ejerciendo una fuerza

promedio de 50 N durante un tiempo de 0,01 s, si la bola tiene una masa de 0,2

kg, ¿qué velocidad adquirió la bola luego del impacto?

Problema n° 2) Una fuerza actúa sobre un objeto de 10 kg aumentando

uniformemente desde 0 hasta 50 N en 4 s. ¿Cuál es la velocidad final del objeto si

partió del reposo?

LEY DE LA CONSERVACION DEL MOVIMIENTO

Las leyes de conservación se refieren a las leyes físicas que postulan que durante

la evolución temporal de un sistema aislado ciertas magnitudes tienen un valor

constante. Puesto que el universo entero constituye un sistema aislado pueden

aplicársele diversas leyes de conservación.

Las leyes de conservación más importantes en mecánica y electromagnetismo

clásicos son: Conservación de la energía. Conservación del momento lineal.

Conservación del momento angular. Conservación de la carga eléctrica. Conservación

del movimiento lineal. Pero en este trabajo las leyes de conservación más

importantes son las de los momentos y movimientos.

Aquí se representara un ejemplo del funcionamiento de la ley de la conservación del

movimiento.

Física

295

Ejemplo 1: Choque de bolas Consideremos primero el caso más simple, la

colisión entre una bola de masa

m

Incidente con velocidad

v

Contra otra bola idéntica que está en reposo.

Por la conservación del momento lineal

mv = mv1+ mv2

Por la conservación de la energía La solución de este sistema de dos ecuaciones

con dos incógnitas es

v2 =0

v1=v

Que son los datos de partida y

v2 = v


296

v1=0

En un choque de dos bolas idénticas, una de las cuales está en reposo, hay un

intercambio de momento lineal, la primera se lo cede a la segunda, quedando aquella en

reposo. En una sucesión de bolas, la primera choca con la segunda, la segunda

bola choca con la tercera, etc.

El momento lineal de la bola incidente se transfiere a la siguiente y así sucesivamente.

Esto solamente ocurre si las bolas no están en contacto, en caso contrario el

comportamiento es complejo.

Ley de la Conservación de la Cantidad de Movimiento

(Lineal)

Para que se conserve la cantidad de movimiento lineal de una partícula o de un objeto se

debe mantener una condición.

Esta condición es aparente a partir de la forma de momento de la segunda ley de

Newton.

La conservación de la cantidad del movimiento se puede extender fácilmente a un

sistema de partículas si se utiliza la segunda ley de Newton en términos de sumas

(resultantes) de las fuerzas que actúan sobre el sistema y de las cantidades de

movimiento de las partículas y con ello si no hay una fuerza neta que actúa sobre

el sistema, esta condición generalizada se conoce como ley de la conservación de

la cantidad de movimiento lineal.

La cantidad de movimiento lineal total de un sistema se conserva si la fuerza externa neta

que actúa sobre el sistema es cero.

Física

297

PROBLEMAS

1.-Un hombre de 70kg se encuentra sentado sobre una pista de hielo con una

escopeta en las manos. Dispara un proyectil de 60g horizontalmente hacia

adelante a una velocidad de 1000m/s.

¿Qué distancia resbalará el hombre hacia atrás si el coeficiente de rozamiento

dinámico es 0.15?


298

2.-Lanzamos un objeto hacia arriba con una velocidad inicial de 100m/s. En ese

mismo instante, dejamos caer, sin velocidad inicial, un segundo objeto que se

encuentra inicialmente a 200m de altura.

¿A qué altura del suelo se cruzan?¿Qué velocidad posee cada objeto en ese

instante?¿En qué sentido se mueve cada uno?

Cantidad de movimiento angular

El momento angular o momento cinético es una magnitud de gran importancia en

todas las teorías físicas de la mecánica, desde la mecánica clásica a la mecánica

cuántica, pasando por la mecánica relativista. Su importancia en todas ellas se

debe a que está relacionada con las simetrías rotacionales de los sistemas físicos.

Bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas es una magnitud

que se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona, lo

cual da lugar a una ley de conservación conocida como ley de conservación del

momento angular. El momento angular para un cuerpo rígido que rota respecto a

un eje, es la resistencia que ofrece dicho cuerpo a la variación de la velocidad

angular. En el Sistema Internacional de Unidades el momento angular se mide en

Física

299


300

Física

301

Donde “a” es la aceleración de la partícula, de modo que ma=F es la fuerza que

actúa sobre ella. Puesto que el producto vectorial de “r” por la fuerza es el

momento o momento dinámico aplicado a la masa, tenemos:

Así, la derivada temporal del momento angular es igual al momento dinámico que

actúa sobre la partícula.

Hay que destacar que en esta expresión ambos momentos, L y M deberán estar

referidos al mismo punto O.

Velocidad angular en movimiento circular uniforme

La velocidad angular es la rapidez con la que varía el ángulo en el tiempo y se

mide en radianes / segundos.

(2 π [radianes] = 360°)


302

Física

303

1.1 Sistema aislado: momento angular total nulo.

a) Las interacciones internas de un sistema no producen modificaciones en el

momento angular total L.

b) Para modificar L son necesarios momentos exteriores al sistema

PROCEDIMIENTO:

El estudiante estará sentado en reposo sobre el banco giratorio con velocidad

angular inicial y momento angular inicial nulo.

A partir de esta condición intentará realizar cualquier tipo de movimientos que no

impliquen interacción con el pié del banco ni con el suelo. De esta manera se

observará que la ω (velocidad angular) continúa siendo cero.

Para modificar L (momento angular) el estudiante interactuará con el piso (el

sistema deja de ser aislado) o se le proporcionará un par de masas y se le pedirá

que arroje una de ellas.

En este caso la masa arrojada adquiere un momento angular L1 igual y contrario a

L2 (momento que adquiere el estudiante) de manera que L1 + L2= 0

1.2 Sistema aislado: momento angular total NO nulo.

a) Las interacciones internas de un sistema no producen modificaciones en el

momento angular total L cuando este no es nulo.


304

b) Para modificar L son necesarios momentos exteriores al sistema

c) La velocidad angular ω de un sistema aislado para el que L permanece

constante es función inversa del momento de inercia I. constante

PROCEDIMIENTO:

El estudiante estará sentado sobre el banco giratorio con los brazos extendidos y

en sus manos llevará dos masas.

A partir de esta condición se lo hace rotar aplicándole un momento exterior. Una

vez en rotación debe acercar sus manos hacia el centro de giro.

De esta manera se observará que la ω (velocidad angular) aumentará. El

momento angular L del estudiante no ha variado.

Esto se demuestra pidiéndole al estudiante que vuelva sus brazos a la posición

extendida con lo que la velocidad angular disminuirá al valor inicial.

If ωf = I0 ω0

Cantidad del mov. Angular final = cantidad del mov. Angular inicial

Física

305

MOMENTO DE TORSIÒN

Se ha definido la fuerza como un tirón o un empujón que tiende a causar

movimiento.

El momento de torsión (T) se define como la tendencia a producir un cambio en

el movimiento rotacional. En algunos textos se le llama también momento de

fuerza. Como ya hemos visto, el movimiento rotacional se ve afectado tanto por la

magnitud de una fuerza (F) como por un brazo de palanca (r). Por lo tanto,

definiremos el momento de torsión como el producto de una fuerza por su brazo

de palanca.

T = momento de torsión

F = Fuerza T = Fr


306

r = Brazo de palanca

La dirección del momento de torsión depende de si éste tiende a producir la

rotación en el sentido de avance de las manecillas del reloj, o sentido retrogrado

(sr), o en dirección contrarias a ella o sentido directo (sd), seguiremos la misma

convención que para medir ángulos,

Si la fuerza (F) tiende a producir una rotación contraria a la de las manecillas con

respecto a un eje, el momento de torsión se considera positivo. Los momentos de

torsión en el sentido de las manecillas del reloj se consideran negativos.

EJEMPLO:

Se ejerce una fuerza de 20 N sobre un cable enrollado alrededor de un tambor de

120 mm. ¿Cuál es el momento de torsión producido aproximadamente al centro

del tambor?

(Véase la figura)

Física

307

0.12m

(Figura) 20 N

Fuerza tangencial por el cable

Enrollado alrededor de un tambor.

MOMENTO DE TORSIÒN RESULTANTE

En el capítulo 3 se demostró que la resultante de varias fuerzas se puede determinar

sumando las componentes x y y de cada fuerza, y así obtener las componentes de la

resultante.

RX = AX + BX + CX +… RY = AY + BY + CY +…

Este procedimiento se aplica a fuerzas que tienen un punto de intersección

común. Las fuerzas que no tienen una línea de acción común producen una

resultante del momento de torsión, además de una de la fuerza traslacional.


308

Cuando las fuerzas aplicadas actúan en el mismo plano, el momento de torsión

resultante es la suma algebraica de los momentos de torsión positivos y negativos

debido a cada fuerza.

TR = ∑T = T1 + T2 + T3 + …

Hay que recordar que los momentos de torsión en sentido contrario al avance de las

manecillas del reloj son positivos, y los que tienen el mismo sentido de las manecillas

son negativos.

Un elemento esencial en las técnicas efectivas para resolver problemas es la

organización. El siguiente procedimiento resulta útil para calcular el momento de

torsión resultante

MODULO IV TRABAJO, ENERGÍA Y POTENCIA.

TRABAJO.

Es una cantidad escalar igual al producto de la magnitud del desplazamiento y la componente de la fuerza en dirección del desplazamiento.

Física

309


310

EJEMPLO:

1.- Un remolcador ejerce una fuerza constante de 4000 N sobre un barco y lo mueve una distancia de 15 m a través del puerto. ¿Qué trabajo realizó el remolcador?

DATOS FÓRMULA CÁLCULOS RESULTADOS

F = 4000N T = Fs T = 4000N X 15m T = 6000N

S =15 m T = ?

2.- ¿qué trabajo realiza una fuerza de 65 N al arrastrar un bloque como el de la figura 8.1 a través de una distancia de 38 m, cuando la fuerza es trasmitida por medio de una cuerda de 60° con la horizontal

DATOS FÓRMULA CALCULOS RESULTADOS F=65 N T =FxS FX = 65 N (cos 60°) T = 1235 j

S = 38m Fx = 32.5 N

Θ = 60° T = Fx s = 32.5N X 38 m = 1235Nm

ACTIVIDADES.

1.- Un mensajero lleva un paquete de 35 N desde la calle hasta el quinto piso de un edificio de oficinas, a una altura de 15 m. ¿Cuánto trabajo realiza?

2.- Julio realiza un trabajo de 176 J al subir 3 m. ¿Cuál es la masa de Julio?

Trabajo resultante es la suma algebraica de los trabajos de las fuerzas

individuales que actúan sobre un cuerpo en movimiento La realización de un

trabajo necesita la existencia de una fuerza resultante

Física

311

Para distinguir la diferencia entre trabajo positivo y negativo se sigue la

convención de que el trabajo de una fuerza es positivo si el componente de la

fuerza se encuentra en la misma dirección que el desplazamiento y negativo si

una componente de la fuerza se opone al desplazamiento real

Por ejemplo el trabajo que realiza una grúa al levantar una carga es positivo pero

la fuerza gravitacional que ejerce la tierra sobre la carga ejerce un trabajo

negativo.

ENERGÍA CINÉTICA Y POTENCIAL

ENERGÍA: es todo aquello que puede realizar un trabajo. Si un objeto tiene

energía quiere decir que es capaz de ejercer una fuerza sobre otro objeto para

realizar un trajo sobre él y si realizáramos una trabajo sobre un objeto, le

proporcionamos a éste una cantidad de energía igual al trabajo realizado.

Estudiaremos dos tipos de energía

ENERGÌA CINÉTICA: es aquella que tiene un cuerpo en virtud de su movimiento.

ENERGÍA POTENCIAL: es la energía que tiene un sistema en virtud de su

posición o condición


312

.-Aplicación de la energía potencial y cinética

ENERGÍA CINÉTICA

La relación entre la energía cinética y el trabajo, considerando una fuerza F que

actúa sobre un bloque como se indica en la figura:

Si el bloque tiene una velocidad inicial v0 y la fuerza F actúa através de la

distancia s y la velocidad aumenta hasta la velocidad final vf .

El cuerpo tiene una masa m y la segunda ley de newton está dada por a proporción a= F / m ecc 1

Y se alcanza una velocidad final vf y quedar así 2as = v2f– v20 despejando a = v2f– v20 / 2s sustituyendo en la ecuación 1

F / a= v2f– v20 / 2s resolviendo para Fs Fs = ½ mvf – ½mv0

Como la cantidad del lado izquierdo de la ecuación representa el trabajo realizado

sobre la masa m y la cantidad del lado derecho de la ecuación es el cambio de la

energía cinética como resultado del trabajo.

Por lo tanto: Ek = ½ mv2 EJEMPLO:

Un rifle dispara una bala de 4.2 g con una rapidez de 965 mIs. a) Encuentre la energía cinética de la bala. b) ¿Cuánto trabajo se realiza sobre la bala si parte del reposo? c) Si el trabajo se realiza sobre una distancia de 0.75 m, ¿cuál es la fuerza media sobre la bala?

Física

313

DATOS FÓRMULA CALCULOS RESULTADOS

m = 4.2 g Ek = ½ mv2 Ek = ½(.0042kg) (965m/s)2 Ek = 1955.6 j

v= 965 m/s

T =½ mv2f- ½ mv20

si v0 = o quedaría: T =½

mv2f

T = ½(.0042kg) (965m/s)2 Ek = 1955.6 j

g = 9.9 m / s2

Fxs = ½ mv2f F =½ mv2f / S

F =1955.6 j / .75m F = 2607 N

ACTIVIDADES.

1.- Un vagón de 15 Kg se mueve por un corredor horizontal con una velocidad de

7.5 m/s. Una fuerza constante de 10 N actúa sobre el vagón y su velocidad se

reduce a 3.2 m/s.

a) ¿Cuál es el cambio de la energía cinética del vagón? b) ¿Qué trabajo se realizó sobre el vagón? c) ¿Qué distancia avanzó el vagón mientras actuó la fuerza?

2.- ¿Qué fuerza media se requiere para que un objeto de 2 Kg aumente su

velocidad de 5 m/s a 12 m/s en una distancia de 8 m? Verifique su respuesta

calculando primero la aceleración y aplicando luego la segunda Ley de Newton

POTENCIA En la vida cotidiana, interesa saber no sólo el trabajo que se pueda efectuar, sino también la rapidez con que se realiza.


314

Una persona está limitada en el trabajo que pueda efectuar, no sólo por la energía total necesaria, sino también por la rapidez con que transforma esa energía. Se define potencia como la rapidez a la cual se efectúa trabajo, o bien, como la rapidez de transferencia de energía en el tiempo.

Potencia = W/t = trabajo/tiempo = energía transformada/tiempo. En el Sistema Internacional la potencia se expresa en Joules por segundo, unidad a la que se le da el nombre: Watt (W), 1 W = 1J/s. Cuando decimos que una ampolleta consume 60 watts, estamos diciendo que transforma en cada segundo 60 Joules de energía eléctrica en energía luminosa o térmica. Para potencias elevadas se usa el caballo de fuerza, abreviado hp, que equivale a 746 Watts.

1 hp = 746 watts A veces conviene expresar la potencia en términos de la fuerza neta F aplicada a un objeto y de su velocidad. P = W/t. P = W/t. Como W = Fuerza (F) * desplazamiento (x) = Fx, P = Fx/t. Si la velocidad v es constante, v = x/t obteniendo,

P = Fv, esto es, fuerza por velocidad. Si la velocidad v es variable se usa la potencia instantánea definida como

P = dW/dt donde p es el símbolo de derivada. O sea la potencia instantánea es el trabajo por unidad de tiempo durante un pequeñísimo intervalo de tiempo dt. Como dW = Fdx y v = dx/dt resulta

P = Fv esto es, fuerza por velocidad instantánea.

Ejemplo. 1 Calcule la potencia que requiere un automóvil de 1.200 kg para las siguientes situaciones:

Física

315

a) El automóvil sube una pendiente de 8º a una velocidad constante de 12 m/s. b) El automóvil acelera de 14 m/s a 18 m/s en 10 s para adelantar otro vehículo, en una carretera horizontal. Suponga que la fuerza de roce o fuerza de retardo es constante e igual a Fr = 500 N.

F denota la fuerza que impulsa al auto. SOLUCION. a) A velocidad constante la aceleración es cero, de modo que podemos escribir: F = Fr + mgsen F = 500 N + 1200 kg•9,8 m/s2 •sen8º = 2.137 N Usando P = Fv, resulta P = 2.137N•12m/s = 25644 watts, que expresada en hp resulta 34,3 hp. b) La aceleración es (18m/s - 14m/s)10s = 0,4 m/s2. Por 2ª ley de Newton, la resultante de las fuerzas externas debe ser igual a ma, masa por aceleración. F - Fr = ma F = 1200kg•0,4m/s2 + 500N = 980 N La potencia requerida para alcanzar los 18 m/s y adelantar es P = Fv = 980N•18m/s = 17.640 watts ó 23,6 hp.


316

. EJEMPLO 2. La correa transportadora de una estación automática levanta 500 toneladas de mineral hasta una altura de 90 ft en una hora. ¿Qué potencia en caballos de fuerza se requiere para esto?

DATOS FÓRMULA CALCULOS RESULTADOS

W= 500 Ton

P = T / t P

=500ton(2000lb/ton)(90ft) / 3600s

P = 25000 ftlb/s

H= 50 ft 1hp = 550 ft lb / s 45.45 hp.

t = 3600 s

hp = 25000 ft lb/sx1hp / 550 ft lb/s

ACTIVIDADES.

1.-Una masa de 40 Kg se eleva hasta una distancia de 20 m en un lapso de 3 s. ¿Qué potencia promedio ha utilizado? 2.- Una carga de 70 Kg se eleva hasta una altura de 25 m. Si la operación requiere 1 minuto, encuentra la potencia necesaria. Reporte su resultado en Watts y en caballos de fuerza.

ENERGÍA POTENCIAL:

La energía potencial implica que debe haber un potencial para realizar un trabajo.

La fuerza externa F necesaria para elevar un cuerpo debe ser igual al peso w y el trabajo realizado esta dado por

Trabajo = Wh= mgh

Este trabajo puede ser realizado por el cuerpo después de haber caído una

distancia h por lo tanto el cuerpo tiene una energía potencial igual al trabajo

externo necesario para elevarlo. a partir de estos datos se puede calcular la

energía potencial

Física

317

Ep= mgh

EJEMPLO. 1.- Un libro de 2 Kg reposa sobre una mesa de 80 cm del piso. Encuentre la energía potencial del libro en relación a) con el piso b) con el asiento de una silla, situado a 40 cm del suelo c) con el techo que está a 3 m del piso

DATOS FÓRMULA CALCULOS RESULTADOS m= 2kg Ep= mgh a) Ep = (2kg)(9.8m/s2)(0.8m) = 17.7 J

h= 80 cm b) Ep = (2kg)(9.8m/s2)(0.4M) = 7.84 J g = 9.8 m/s^2 c) Ep = (2kg)(9.8m/s2)(-2.2m) = -43.1 J

ACTIVIDAD.

1.- Un ladrillo de 1.2 kg está suspendido a dos metros por encima de un pozo de inspección. El fondo del pozo está 3 m por debajo del nivel de la calle. En relación con la calle ¿Cuál es la energía potencia del ladrillo en cada uno de los lugares?

CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA

Suponiendo una masa levantada a una altura h y luego se deja caer según la figura en el punto más alto la energía potencial es mg. a medida que la masa cae la energía potencial disminuye hasta llegar a cero, (en ausencia de la fricción del aire ) pero comienza a aparecer la energía cinética en forma de movimiento y al final la energía cinética es igual a la energía total .

Es importante señalar que durante la caída: Energía total = Ep + Ek = constante

A esto se le llama conservación de la energía; en ausencia de resistencia del aire, o cualquier fuerza, la suma de las energías potencial y cinética es una constante siempre que no se añada ninguna otra energía al sistema.

(Ep + Ek )inicial = (Ep +Ek ) final mgh0 + ½ mv20 = mghf + ½ mv2f

Si el objeto cae a partir del reposo la energía total inicial es½ mv2f


318

mgh0 = ½ mv2f

y por lo tanto

EJEMPLO.

1.- ¿Qué velocidad inicial debe impartirse a una masa de 5 kg para que se eleve a una altura de 10 m? ¿Cuál es la energía total en cualquier punto durante su movimiento?

ACTIVIDADES. 1.-un proyectil de 20 g choca contra un banco de fango y lo penetra una distancia de 6 cm antes de detenerse. Calcule la fuerza de frenado F si la velocidad de entrada fue de 80 m/s. 2.-Un péndulo simple de 1 m de longitud tiene en su extremo un peso de 8 Kg. ¿Cuánto trabajo se requiere para mover el péndulo desde su punto más bajo hasta una posición horizontal? Calcule la velocidad del peso cuando pasa por el punto más bajo de su trayectoria.

CALOR Y TEMPERATURA.

Transferencia de calor, en física, proceso por el que se intercambia energía en forma de calor entre distintos cuerpos, o entre diferentes partes de un mismo cuerpo que están a distinta temperatura. El calor se transfiere mediante convección, radiación o conducción. Aunque estos tres procesos pueden tener lugar simultáneamente, puede ocurrir que uno de los mecanismos predomine

Física

319

sobre los otros dos. Por ejemplo, el calor se transmite a través de la pared de una casa fundamentalmente por conducción, el agua de una cacerola situada sobre un quemador de gas se calienta en gran medida por convección, y la Tierra recibe calor del Sol casi exclusivamente por radiación.

El calor puede transferirse de tres formas: por conducción, por convección y por radiación. La conducción es la transferencia de calor a través de un objeto sólido: es lo que hace que el asa de un atizador se caliente aunque sólo la punta esté en el fuego. La convección transfiere calor por el intercambio de moléculas frías y calientes: es la causa de que el agua de una tetera se caliente uniformemente aunque sólo su parte inferior esté en contacto con la llama. La radiación es la transferencia de calor por radiación electromagnética (generalmente infrarroja): es el principal mecanismo por el que un fuego calienta la habitación. CONDUCCIÓN En los sólidos, la única forma de transferencia de calor es la conducción. Si se calienta un extremo de una varilla metálica, de forma que aumente su temperatura, el calor se transmite hasta el extremo más frío por conducción. No se comprende en su totalidad el mecanismo exacto de la conducción de calor en los sólidos, pero se cree que se debe, en parte, al movimiento de los electrones libres que transportan energía cuando existe una diferencia de temperatura. Esta teoría explica por qué los buenos conductores eléctricos también tienden a ser buenos conductores del calor. En 1822, el matemático francés Joseph Fourier dio una expresión matemática precisa que hoy se conoce como ley de Fourier de la conducción del calor. Esta ley afirma que la velocidad de conducción de calor a


320

través de un cuerpo por unidad de sección transversal es proporcional al gradiente de temperatura que existe en el cuerpo (con el signo cambiado). El factor de proporcionalidad se denomina conductividad térmica del material. Los materiales como el oro, la plata o el cobre tienen conductividades térmicas elevadas y conducen bien el calor, mientras que materiales como el vidrio o el amianto tienen conductividades cientos e incluso miles de veces menores; conducen muy mal el calor, y se conocen como aislantes. En ingeniería resulta necesario conocer la velocidad de conducción del calor a través de un sólido en el que existe una diferencia de temperatura conocida. Para averiguarlo se requieren técnicas matemáticas muy complejas, sobre todo si el proceso varía con el tiempo; en este caso, se habla de conducción térmica transitoria. Con la ayuda de ordenadores (computadoras) analógicos y digitales, estos problemas pueden resolverse en la actualidad incluso para cuerpos de geometría complicada. CONVECCIÓN Si existe una diferencia de temperatura en el interior de un líquido o un gas, es casi seguro que se producirá un movimiento del fluido. Este movimiento transfiere calor de una parte del fluido a otra por un proceso llamado convección. El movimiento del fluido puede ser natural o forzado. Si se calienta un líquido o un gas, su densidad (masa por unidad de volumen) suele disminuir. Si el líquido o gas se encuentra en el campo gravitatorio, el fluido más caliente y menos denso asciende, mientras que el fluido más frío y más denso desciende. Este tipo de movimiento, debido exclusivamente a la no uniformidad de la temperatura del fluido, se denomina convección natural. La convección forzada se logra sometiendo el fluido a un gradiente de presiones, con lo que se fuerza su movimiento de acuerdo a las leyes de la mecánica de fluidos. Supongamos, por ejemplo, que calentamos desde abajo una cacerola llena de agua. El líquido más próximo al fondo se calienta por el calor que se ha transmitido por conducción a través de la cacerola. Al expandirse, su densidad disminuye y como resultado de ello el agua caliente asciende y parte del fluido más frío baja hacia el fondo, con lo que se inicia un movimiento de circulación. El líquido más frío vuelve a calentarse por conducción, mientras que el líquido más caliente situado arriba pierde parte de su calor por radiación y lo cede al aire situado por encima. De forma similar, en una cámara vertical llena de gas, como la cámara de aire situada entre los dos paneles de una ventana con doble vidrio, el aire situado junto al panel exterior —que está más frío— desciende, mientras que al aire cercano al panel interior —más caliente— asciende, lo que produce un movimiento de circulación. El calentamiento de una habitación mediante un radiador no depende tanto de la radiación como de las corrientes naturales de convección, que hacen que el aire

Física

321

caliente suba hacia el techo y el aire frío del resto de la habitación se dirija hacia el radiador. Debido a que el aire caliente tiende a subir y el aire frío a bajar, los radiadores deben colocarse cerca del suelo (y los aparatos de aire acondicionado cerca del techo) para que la eficiencia sea máxima. De la misma forma, la convección natural es responsable de la ascensión del agua caliente y el vapor en las calderas de convección natural, y del tiro de las chimeneas. La convección también determina el movimiento de las grandes masas de aire sobre la superficie terrestre, la acción de los vientos, la formación de nubes, las corrientes oceánicas y la transferencia de calor desde el interior del Sol hasta su superficie. RADIACIÓN La radiación presenta una diferencia fundamental respecto a la conducción y la convección: las sustancias que intercambian calor no tienen que estar en contacto, sino que pueden estar separadas por un vacío. La radiación es un término que se aplica genéricamente a toda clase de fenómenos relacionados con ondas electromagnéticas. Algunos fenómenos de la radiación pueden describirse mediante la teoría de ondas, pero la única explicación general satisfactoria de la radiación electromagnética es la teoría cuántica. En 1905, Albert Einstein sugirió que la radiación presenta a veces un comportamiento cuan tizado: en el efecto fotoeléctrico, la radiación se comporta como minúsculos proyectiles llamados fotones y no como ondas. La naturaleza cuántica de la energía radiante se había postulado antes de la aparición del artículo de Einstein, y en 1900 el físico alemán Max Planck empleó la teoría cuántica y el formalismo matemático de la mecánica estadística para derivar una ley fundamental de la radiación. La expresión matemática de esta ley, llamada distribución de Planck, relaciona la intensidad de la energía radiante que emite un cuerpo en una longitud de onda determinada con la temperatura del cuerpo. Para cada temperatura y cada longitud de onda existe un máximo de energía radiante. Sólo un cuerpo ideal (cuerpo negro) emite radiación ajustándose exactamente a la ley de Planck. Los cuerpos reales emiten con una intensidad algo menor. Según la ley de Planck, todas las sustancias emiten energía radiante sólo por tener una temperatura superior al cero absoluto. Cuanto mayor es la temperatura, mayor es la cantidad de energía emitida. Además de emitir radiación, todas las sustancias son capaces de absorberla. Por eso, aunque un cubito de hielo emite energía radiante de forma continua, se funde si se ilumina con una lámpara incandescente porque absorbe una cantidad de calor mayor de la que emite. La energía radiante del Sol, máxima en las longitudes de onda visibles, se transmite a través del vidrio y entra en el invernadero. En cambio, la energía emitida por los cuerpos del interior del invernadero,


322

predominantemente de longitudes de onda mayor, correspondiente al infrarrojo, no se transmiten al exterior a través del vidrio. Así, aunque la temperatura del aire en el exterior del invernadero sea baja, la temperatura que hay dentro es mucho más alta porque se produce una considerable transferencia de calor neta hacia su interior. Además de los procesos de transmisión de calor que aumentan o disminuyen las temperaturas de los cuerpos afectados, la transmisión de calor también puede producir cambios de fase, como la fusión del hielo o la ebullición del agua. En ingeniería, los procesos de transferencia de calor suelen diseñarse de forma que aprovechen estos fenómenos. Por ejemplo, las cápsulas espaciales que regresan a la atmósfera de la Tierra a velocidades muy altas están dotadas de un escudo térmico que se funde de forma controlada en un proceso llamado ablación para impedir un sobrecalentamiento del interior de la cápsula. La mayoría del calor producido por el rozamiento con la atmósfera se emplea en fundir el escudo térmico y no en aumentar la temperatura de la cápsula. TEMPERATURA: La temperatura es una magnitud referida a las nociones comunes de caliente, tibio, frío que puede ser medida, específicamente, con un termómetro. En física, se define como una magnitud escalar relacionada con la energía interna de un sistema termodinámico, definida por el principio cero de la termodinámica. Más específicamente, está relacionada directamente con la parte de la energía interna conocida como "energía cinética", que es la energía asociada a los movimientos de las partículas del sistema, sea en un sentido traslacional, rotacional, o en forma de vibraciones. A medida de que sea mayor la energía cinética de un sistema, se observa que éste se encuentra más "caliente"; es decir, que su temperatura es mayor. En el caso de un sólido, los movimientos en cuestión resultan ser las vibraciones de las partículas en sus sitios dentro del sólido. En el caso de un gas ideal monoatómico se trata de los movimientos traslacionales de sus partículas (para los gases multiatómicos los movimientos rotacional y vibracional deben tomarse en cuenta también). Dicho lo anterior, se puede definir la temperatura como la cuantificación de la actividad molecular de la materia. El desarrollo de técnicas para la medición de la temperatura ha pasado por un largo proceso histórico, ya que es necesario darle un valor numérico a una idea intuitiva como es lo frío o lo caliente. Multitud de propiedades fisicoquímicas de los materiales o las sustancias varían en función de la temperatura a la que se encuentren, como por ejemplo su estado (sólido, líquido, gaseoso, plasma), su volumen, la solubilidad, la presión de vapor, su color o la conductividad eléctrica.

Física

323

Así mismo es uno de los factores que influyen en la velocidad a la que tienen lugar las reacciones químicas. La temperatura se mide con termómetros, los cuales pueden ser calibrados de acuerdo a una multitud de escalas que dan lugar a unidades de medición de la temperatura. En el Sistema Internacional de Unidades, la unidad de temperatura es el kelvin (K), y la escala correspondiente es la escala Kelvin o escala absoluta, que asocia el valor "cero kelvin" (0 K) al "cero absoluto", y se gradúa con un tamaño de grado igual al del grado Celsius. Sin embargo, fuera del ámbito científico el uso de otras escalas de temperatura es común. La escala más extendida es la escala Celsius (antes llamada centígrada); y, en mucha menor medida, y prácticamente sólo en los Estados Unidos, la escala Fahrenheit. También se usa a veces la escala Rankine (°R) que establece su punto de referencia en el mismo punto de la escala Kelvin, el cero absoluto, pero con un tamaño de grado igual al de la Fahrenheit, y es usada únicamente en Estados Unidos, y sólo en algunos campos de la ingeniería. Escalas de temperatura A lo largo de los años se establecieron diferentes escalas. En 1967 se adoptó la temperatura del punto triple del agua como único punto fijo para la definición de la escala absoluta de temperaturas y la separación centígrada de la escala Celsius. El nivel cero quedaba a -273,15 K del punto triple y se definía como el cero absoluto o 0 K. Esta escala sustituyó a la escala centígrada o Celsius al definir el cero como el punto más bajo posible e inalcanzable en la práctica. A la temperatura del cero absoluto no hay movimiento y desde él no se puede sacar calor. En ese estado todo el movimiento atómico y molecular se detiene, es la temperatura más baja posible. Todos los objetos tienen una temperatura más alta que el cero absoluto y por lo tanto emiten energía térmica o calor. El espacio interestelar casi vacío tiene temperatura ligeramente superior al 0 K. En este esquema comparativo puedes ver las escalas más importantes:


324

Conversión de valores de temperaturas

La escala Celsius y la escala Kelvin tiene una transformación muy sencilla: Grados K=273.15 + grados C

En la transformación de grados centígrados a grados Fahrenheit debes tener en cuenta que cada grado centígrado vale 1,8 ºF (0 - 100 en la escala centígrada equivale a 32 - 210 en la escala Fahrenheit). Por lo tanto debes multiplicar los grados centígrados por 1,8 que equivale a 9/5. Como el cero Celsius corresponde al 32 Fahrenheit debes sumar 32:

Grados F= (9/5)*gradosC+32 Para la transformación inversa se despeja y queda:

Grados C= (5/9)*( grados F-32) ELECTRICIDAD, CARGA ELECTRICA Y FUERZA ENTRE CARGAS.

La electricidad es un fenómeno físico cuyo origen son las cargas eléctricas y cuya energía se manifiesta en fenómenos mecánicos, térmicos, luminosos y químicos, entre otros. Se puede observar de forma natural en fenómenos atmosféricos, por ejemplo los rayos, que son descargas eléctricas producidas por la transferencia de energía entre la ionosfera y la superficie terrestre (proceso complejo del que los rayos solo forman una parte). Otros mecanismos eléctricos naturales los podemos encontrar en procesos biológicos, como el funcionamiento del sistema nervioso. Es la base del funcionamiento de muchas máquinas, desde pequeños electrodomésticos hasta sistemas de gran potencia como los trenes de alta velocidad, y de todos los dispositivos electrónicos. Además es esencial para la producción de sustancias químicas como el aluminio y el cloro. También se denomina electricidad a la rama de la física que estudia las leyes que rigen el fenómeno y a la rama de la tecnología que la usa en aplicaciones

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prácticas. Desde que, en 1831, Faraday descubriera la forma de producir corrientes eléctricas por inducción fenómeno que permite transformar energía mecánica en energía eléctrica se ha convertido en una de las formas de energía más importantes para el desarrollo tecnológico debido a su facilidad de generación y distribución y a su gran número de aplicaciones. La electricidad es originada por las cargas eléctricas, en reposo o en movimiento, y las interacciones entre ellas. Cuando varias cargas eléctricas están en reposo relativo se ejercen entre ellas fuerzas electrostáticas. Cuando las cargas eléctricas están en movimiento relativo se ejercen también fuerzas magnéticas. Se conocen dos tipos de cargas eléctricas: positivas y negativas. Los átomos que conforman la materia contienen partículas subatómicas positivas (protones), negativas (electrones) y neutras (neutrones). También hay partículas elementales cargadas que en condiciones normales no son estables, por lo que se manifiestan sólo en determinados procesos como los rayos cósmicos y las desintegraciones radiactivas.

La electricidad y el magnetismo son dos aspectos diferentes de un mismo fenómeno físico, denominado electromagnetismo, descrito matemáticamente por las ecuaciones de Maxwell. El movimiento de una carga eléctrica produce un campo magnético, la variación de un campo magnético produce un campo eléctrico y el movimiento acelerado de cargas eléctricas genera ondas electromagnéticas (como en las descargas de rayos que pueden escucharse en los receptores de radio AM). Debido a las crecientes aplicaciones de la electricidad como vector energético, como base de las telecomunicaciones y para el procesamiento de información, uno de los principales desafíos contemporáneos es generarla de modo más eficiente y con el mínimo impacto ambiental. La electricidad o energía eléctrica se produce porque la materia se puede cargar eléctricamente. ¿Qué significa esto? Veamos: los electrones poseen una carga negativa y los protones una carga positiva. Estas cargas se contrarrestan unas a otras para que el objeto resulte neutro (no cargado). Pero al frotar,


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Configuración electrónica del átomo de cobre. Sus propiedades conductoras se deben a la facilidad de circulación que tiene su electrón más exterior (4s). CARGA ELECTRICA. La carga eléctrica es una propiedad que poseen algunas partículas subatómicas y que se manifiesta mediante las fuerzas observadas entre ellas. La materia cargada eléctricamente es influida por los campos electromagnéticos siendo, a su vez, generadora de ellos. La interacción entre carga y campo eléctrico es la fuente de una de las cuatro interacciones fundamentales, la interacción electromagnética. La partícula que transporta la información de estas interacciones es el fotón. Estas fuerzas son de alcance infinito y no se manifiestan de forma inmediata, sino que

tardan un tiempo , donde “ ” es la velocidad de la luz en el medio en el que se transmite y la distancia entre las cargas. Las dos partículas elementales cargadas que existen en la materia y que se encuentran de forma natural en la Tierra son el electrón y el protón, aunque pueden encontrarse otras partículas cargadas procedentes del exterior (como los muones o los piones). Todos los hadrones (como el protón y el neutrón) además, están constituidos por partículas cargadas más pequeñas llamadas quarks, sin embargo estas no pueden encontrarse libres en la naturaleza.

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Interacciones entre cargas de igual y distinta naturaleza.

Cuando un átomo gana o pierde un electrón, queda cargado eléctricamente. A estos átomos cargados se les denomina iones. Los trabajos de investigación realizados en la segunda mitad del siglo XIX por el premio Nobel de Física Joseph John Thompson, que le llevaron en 1897 a descubrir el electrón, y de Robert Millikan a medir su carga, determinaron la naturaleza discreta de la carga eléctrica. En el Sistema Internacional de Unidades la unidad de carga eléctrica se denomina culombio (símbolo C) y se define como la cantidad de carga que pasa por una sección en 1 segundo cuando la corriente eléctrica es de 1 amperio. Se corresponde con la carga de 6,24 × 1018 electrones aproximadamente. La carga más pequeña que se encuentra en la naturaleza es la carga del electrón (que es igual en magnitud a la del protón y, de signo opuesto): e = 1,602 × 10-19 C (1 eV en unidades naturales). FUERZA ENTRE CARGAS. Coulomb fue el primero en determinar, en 1785, el valor de las fuerzas ejercidas entre cargas eléctricas.12 Usando una balanza de torsión determinó que la magnitud de la fuerza con que se atraen o repelen dos cargas eléctricas puntuales en reposo es directamente proporcional al producto de las magnitudes de cada carga e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.

donde y son las cargas, es la distancia que las separa y la constante de proporcionalidad “k” depende del sistema de unidades. Una propiedad fundamental de estas fuerzas es el principio de superposición que establece que, cuando hay varias cargas , la fuerza resultante sobre una cualquiera de ellas es la suma vectorial de las fuerzas ejercidas por todas las


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demás. La fuerza ejercida sobre la carga puntual en reposo está dada en el SI por:

donde denota el vector que une la carga con la carga .

Cuando las cargas están en movimiento aparecen también fuerzas magnéticas. La forma más sencilla de describir el fenómeno es con el uso de campos eléctrico ( ) y magnético ( ), de los que a su vez se pueden derivar las fuerzas a partir de la fórmula de Lorentz:

En el caso general de cargas distribuidas de manera arbitraria, no es posible escribir expresiones explícitas de las fuerzas. Hay que resolver las ecuaciones de Maxwell, calcular los campos y derivar las fuerzas a partir de las expresiones de la energía electromagnética.

Física

329

BIBLIOGRAFÍA

Ayala, M. (2001). Tipos de razonamiento y su aplicación estratégica en el

aula. México: Trillas

Física 1 “Texto de acuerdo con el programa de competencias” José

Coronado Torres, Víctor Justo Hdez Ochoa, Horacio Coronado Torres, Ma

del Rosario García Curiel, Norma Alicia Gómez Torres, Luis Ricardo

Cazares García, Eduardo Zaragoza Ramos, Enrique Gaytán Ramírez, Luis

Mexitli Orozco Torres, José Pedro Hdez Lizardi. NOVAARS editores

Física 1. TIPPENS. McGrawHill

Física 2. TIPPENS. McGraw-Hill

Física general. Héctor Pérez Montiel. PUBLICACIONES CULTURAL. 2000

Física, Conceptos y Aplicaciones, Paul Tippens

Fundamentos de física, Bueche Cuarta Edicion.

Giancoli, D. (2004.). Física. México: Pearson Educación.

Gómez Gutiérrez, H.M. y Ortega Reyes, R. (2010). Física I. México:

Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

González Lee, L., (2010). Física I Enfoque por competencias. México.

Editorial Santillana

Híjar Juárez, H.J. et al. (2010). Física I. México: Santillana

Lara, A. (2006). Física para bachillerato. Dinámica. México: Pearson,

Prentice Hall.


330

105

Lara, A.(2006). Física para bachillerato. Cinemática. México: Pearson,

Prentice Hall.

Secretaria de Educación Pública. (23 de Junio de 2009). ACUERDO

número 444 por el que se establecen las competencias que constituyen el

marco curricular común del. Diario oficial, pág. Primera sección.

Secretaria de Educación Pública. (29 de Octubre de 2008). ACUERDO

número 447 por el que se establecen las competencias docentes para

quienes impartan educación. Diario oficial, págs. Tercera sección 1-6.

Serway, R. (). Física. 2da. Edición. México: Pearson Educación.

Sistema de Educación Media Superior. (2008). Bachillerato General por

Competencias del SEMS de la U. de G. Documento base. Guadalajara,

Jalisco, México: s/e.

Vázquez, A. (2009). Física I. Bachillerato General. México: Pearson.

Wilson, J. (2004). Física, 6ta. Edición. México: Pearson, Prentice Hall.

Zitzewitz, W. (1999). Física 1, principios y problemas: México: Mc Graw Hill.

Web grafía y bibliografía

http://apuntes.infonotas.com/pages/fisica/aceleracion-y-caida-libre/faq-

aceleracion-fisica-4.php

http://es.scribd.com/doc/20759139/Ley-de-Conservacion-Del-Movimiento-Angelica-Zamorano

http://es.wikipedia.org/wiki/Electricidad#cite_note-enciclopediacumbre-1

http://es.wikipedia.org/wiki/Temperatura

http://genesis.uag.mx/edmedia/material/fisica/trabajo.htm

http://guillermoga.galeon.com/enlaces13781.html

http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/fisicaInteractiva/Calor/index.htm

Física

331

http://www.fisicanet.com.ar/fisica/impulso/tp02_cantidad_de_movimiento.php

http://www.fisicapractica.com/

http://www.frcon.utn.edu.ar/deptos/matbas-frcon/04-Analisis_dinamico_de_la_rotacion.pdf

http://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r3732.DOC

http://www.jfinternational.com/mf/potencia.html

http://www.monografias.com/trabajos15/transf-calor/transf-calor.shtml

MATERIAL DE TRABAJO RECOPILADO Y REALIZADO POR:

DR. ROBERTO RODRIGUEZ NAVA

Q.F.B FILISHIA LUCIA HERNANDEZ CARRILLO

ING. JUAN MIGUEL RIOS RIOS

MTRA. ROCIO PONCE ORTEGA

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