física computacional

Arturo Martí, Inst. de Física, 2020

Física Computacional

(presentación 4)Arturo Martí

Instituto de Física

Facultad de Ciencias

2020


Cálculo de integrales


Regla trapezoidal


Cómo funciona?

● Dividimos el intervalo (a,b) en N intervalitos● El ancho de cada intervalito h ~ (b-a)/N● El intervalito k → (a + (k-1) h, a + k h)● El área es●

● Cuando sumamos todo:


Regla trapezoidal extendida


Ejercicio

● Buscar trapezoidal.py● Escribir una integral definida● Implementar el programita para calcularla y

comparar con el resutado analítico


Curioso;


Regla de Simpson● En la regla trapezoidal aproximamos la

función por rectas en cada intervalo.● Podemos emplear polinomios de 2do orden:


2 intervalitos → 3 puntos

● Los puntos están en X= -h, 0, h● El polinomio es Ax^2+Bx+C


Reglo de Simpson extendida

● Sumando todo resulta (4/3, ⅔)● N par


Cuál es el error que cometemos?

● Tenemos un error de redondeo● Pero el error importante es el error de

aproximación (aproximar una función por polinomio)

●


Regla trapezoidal

● Desarrolando por Taylor:

●

●


Después de varias cuentas


En conclusión

● El método trapezoidal es de 1er orden en h y el error de aproximación es del orden de h²

● Hasta donde puedo reducir h?● Atención: el error de redondeo aumenta!● Postulamos → error de redondeo es C *

integral● Son del mismo orden si


Integración de orden superior: Newton-Coates


Idea: cuál es el máximo de puntos que puedo tomar?

● En general podría tomar tantos puntos como intervalos

● El orden sería N● Además: en lugar de tomar intervalos

equiespaciados tomamos intervalos separados en forma conveniente

● Cuadratura Gausiana → 2 N grados de libertad


Vamos a buscar abscisas y pesos en forma conveniente para calcular:


Dados N puntos xk bucamos una

función interpolante que pase por todos los puntos


Si definimos un polinomio de grado N-1

El polinomio coincide con f en los puntos x_k (además es único):


Sustituimos la función por la aproximación

Permuntando suma e integral vemos que se desacoplan, la parte de la integral no depende de

la función


Cómo elegir los x_k?

● Lo bueno es que después que los encontremos sirve para cualquier función.

● Es más se puede hacer en un intervalo (-1,1) y luego mapear para un intervalo arbitrario (a,b)

●


Se puede probar que los x_k coinciden con las raíces de P_n(x)

Los pesos resultan:


● Función proporcionada gassxw.py

Mágico: con N=3 llegamos a resultados muy precisos!!!!!!!!!!!!


A trabajar:

● Debye: capacidad calorífica de un sólido


Período del oscilador no armónico

● V(x)=x², V(x)=x⁴

● T(a), a (0,2)● m=1


●Derivadas

* relativamente simple* si conocemos la función es directo

*importancia en ODE y datos experimentales*muchos caminos para hacer lo mismo


Cuál es el error?

Hay dos tipos: Redondeo y aproximaciónHaciendo Taylor y reordenando:

Aproximamos error relativo en la resta por 2C. Resulta el error total:

Derivamos respecto a h para minimizar:

Resulta:H ~ C^(1/2) ~ 10^-8Eps ~ C^(1/2) ~ 10^-8


Diferencias centradas

Desarrollo de Taylor:


En este caso el error es (redondeo más truncamiento):

H ~ C^(1/3) ~ 10^-5Eps ~ C^(2/3) ~ 10^-10

Diferenciando nuevamente:


Problema 3


Derivadas segundas


Interpolación

● Significa hacer hipótesis sobre lo que no sabemos!

● Esta función:


Dos pasos

● Encontrar una función interpolante● Evaluarla!


Lo más simple de todo:


Orden superior● Polinomio de grado N -1 por N puntos

Hay un algoritmo iterativo muy elegante●

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