franka miriam bruckler - pmfprelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/mat1-tjedan9.pdf · 2017-11-21 ·...
TRANSCRIPT
Neodredeni integrali Odredeni integrali Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja
Integriranje
Franka Miriam Bruckler
Neodredeni integrali Odredeni integrali Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja
Antiderivacije
Koja je veza izmedux2 i 2x?
Antiderivacija (primitivna funkcija) zadane funkcije F : I→R (gdjeje I otvoren interval) je svaka funkcija f : I→R sa svojstvomf ′(x) = F (x) za sve x ∈ I .Mora li antiderivacija postojati? Ako postoji, ima li ih vise? Kakoih naci?
Neodredeni integrali Odredeni integrali Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja
Antiderivacije
Koja je veza izmedux2 i 2x?
Antiderivacija (primitivna funkcija) zadane funkcije F : I→R (gdjeje I otvoren interval) je svaka funkcija f : I→R sa svojstvomf ′(x) = F (x) za sve x ∈ I .Mora li antiderivacija postojati? Ako postoji, ima li ih vise? Kakoih naci?
Neodredeni integrali Odredeni integrali Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja
Teorem
Ako funkcija F : I→R ima antiderivaciju, onda ih ima beskonacnomnogo. Ako je f jedna antiderivacija od f , onda je za svakukonstantu C ∈ R funkcija fC zadana s fC (x) = f (x) + C takoderantiderivacija od F i sve antiderivacije su tog oblika.
Primjer
Za F (x) = 1x lako se pogodi fC (x) = ln x + C . No, ln je definiran
za x > 0, a f za x 6= 0?!
fC (x) = C + ln |x |, x ∈ I ′ ∪ I = R.
Neodredeni integrali Odredeni integrali Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja
Teorem
Ako funkcija F : I→R ima antiderivaciju, onda ih ima beskonacnomnogo. Ako je f jedna antiderivacija od f , onda je za svakukonstantu C ∈ R funkcija fC zadana s fC (x) = f (x) + C takoderantiderivacija od F i sve antiderivacije su tog oblika.
Primjer
Za F (x) = 1x lako se pogodi fC (x) = ln x + C . No, ln je definiran
za x > 0, a f za x 6= 0?!
fC (x) = C + ln |x |, x ∈ I ′ ∪ I = R.
Neodredeni integrali Odredeni integrali Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja
Teorem
Ako funkcija F : I→R ima antiderivaciju, onda ih ima beskonacnomnogo. Ako je f jedna antiderivacija od f , onda je za svakukonstantu C ∈ R funkcija fC zadana s fC (x) = f (x) + C takoderantiderivacija od F i sve antiderivacije su tog oblika.
Primjer
Za F (x) = 1x lako se pogodi fC (x) = ln x + C . No, ln je definiran
za x > 0, a f za x 6= 0?!
fC (x) = C + ln |x |, x ∈ I ′ ∪ I = R.
Neodredeni integrali Odredeni integrali Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja
Neodredeni integral
Neodredeni integral funkcije F : I → R je skup svih njenihantiderivacija. Oznaka neodredenog integrala funkcije F snezavisnom varijablom x , je ∫
F (x) dx
Funkcija F zove se podintegralna funkcija. Trebali bismo pisati∫F (x) dx = {fC : C ∈ R}, ali iz prakticnih razloga uobicajen je
jednostavniji zapis: ∫F (x) dx = f (x) + C .
Konstanta C zove se konstanta integracije.
Primjer
Pisemo npr. ∫3x2 dx = x3 + C .
Neodredeni integrali Odredeni integrali Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja
Linearnost neodredenog integrala
Pod tablicnim integriranjem podrazumijeva se integriranjetemeljem osnovne tablice integrala uz eventualno koristenjesvojstva linearnosti i transformacija podintegralne funkcijeformulama iz elementarnije matematike.
Teorem
Neka su funkcije F i G zadane na istom intervalu te K nekakonstanta. Tada vrijedi:∫
(F (x) + G (x)) dx =
∫F (x) dx +
∫G (x) dx ,
∫KG (x) dx = K
∫G (x) dx .
Neodredeni integrali Odredeni integrali Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja
Primjer ∫cos2
x
2dx =
∫1
2+
1
2cos x dx =
=1
2
∫dx +
1
2
∫cos x dx =
x
2+
sin x
2+ C .
Primijetimo da imamo sljedece korespondencije:
s(t) ↔ F (t)
↓ ddt ↑
∫. dt
v(t) ↔ f (t)
Neodredeni integrali Odredeni integrali Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja
Primjer ∫cos2
x
2dx =
∫1
2+
1
2cos x dx =
=1
2
∫dx +
1
2
∫cos x dx =
x
2+
sin x
2+ C .
Primijetimo da imamo sljedece korespondencije:
s(t) ↔ F (t)
↓ ddt ↑
∫. dt
v(t) ↔ f (t)
Neodredeni integrali Odredeni integrali Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja
Zadatak
Kolika je povrsina omedena grafom y = sin x izmedu x = 0 ix = 3π
2 ?
Ukoliko je f pozitivna i neprekidna na segmentu [a, b], onda je po
iznosu∫ ba F (x) dx isto sto i povrsina omedena s osi apscisa,
vertikalama x = a i x = b te grafom y = F (x). Ako je Fneprekidna, ali dijelom negativna na tom segmentu, povrsinedijelova ispod osi apscisa pribrajaju se s negativnim predznakom.
Neodredeni integrali Odredeni integrali Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja
Zadatak
Kolika je povrsina omedena grafom y = sin x izmedu x = 0 ix = 3π
2 ?
Ukoliko je f pozitivna i neprekidna na segmentu [a, b], onda je po
iznosu∫ ba F (x) dx isto sto i povrsina omedena s osi apscisa,
vertikalama x = a i x = b te grafom y = F (x). Ako je Fneprekidna, ali dijelom negativna na tom segmentu, povrsinedijelova ispod osi apscisa pribrajaju se s negativnim predznakom.
Neodredeni integrali Odredeni integrali Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja
Odredeni integrali
Simbol ∫ b
aF (x) dx
je oznaka za odredeni (ili: Riemannov) integral funkcije F ugranicama a i b (tj. na podrucju integriranja [a, b]).Pojednostavljeno, za neprekidne funkcije, on se moze definiratipreko povrsine (vidi prethodni slide), no on ima smisla i za mnogefunkcije koje nisu neprekidne na podrucju integriranja.
Primjer ∫ 2
−1sgn x dx = 1.
Uz to, prethodna”definicija” ima isti problem kao
”definicija”
derivacije kao koeficijenta smjera tangente: Kaze nam smisaodobivenog rezultata, ali u opcem slucaju ne pomaze za njegovoizracunavanje.
Neodredeni integrali Odredeni integrali Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja
Primjer
Kolika je povrsina koju s x-osi zatvara graf pozitivne funkcijef : [0, L]→ R, a koja je omedena vertikalama x = 0 i x = L? Akof nije afina, nema jednostavnog nacina za izracunavanje tepovrsine. Aproksimativno, mogli bismo interval [0, L] podijeliti napuno dijelova sirine 4x i ukupnu povrsinu aproksimirati zbrojempovrsina pravokutnika sirine ∆x i visine f (xi ). Dobili bismo
P ≈ ∆x∑i
f (xi ).
Neodredeni integrali Odredeni integrali Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja
Neka je f : [a, b]→ R neka ogranicena1 funkcija. Podijelimo interval[a, b] na puno dijelova (kaze se: napravimo subdiviziju:a = x0 ≤ x1 ≤ . . . ≤ xn = b). U pravoj definiciji odredenog integralarazmaci izmedu dva susjedna xi -a ne trebaju biti jednaki, ali cemo radijednostavnosti pristupa uzeti da jesu: xi+1 − xi = ∆x za sve indekse i .
Donja i gornja integralna (Darbouxova) suma
s =n−1∑i=0
mi∆x , S =n−1∑i=0
Mi∆x
1Funkcija je ogranicena na svojoj domeni ako joj se graf moze nacrtatiizmedu dva horizontalna pravca y = m i y = M.
Neodredeni integrali Odredeni integrali Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja
Neka je f : [a, b]→ R neka ogranicena1 funkcija. Podijelimo interval[a, b] na puno dijelova (kaze se: napravimo subdiviziju:a = x0 ≤ x1 ≤ . . . ≤ xn = b). U pravoj definiciji odredenog integralarazmaci izmedu dva susjedna xi -a ne trebaju biti jednaki, ali cemo radijednostavnosti pristupa uzeti da jesu: xi+1 − xi = ∆x za sve indekse i .
Donja i gornja integralna (Darbouxova) suma
s =n−1∑i=0
mi∆x , S =n−1∑i=0
Mi∆x
1Funkcija je ogranicena na svojoj domeni ako joj se graf moze nacrtatiizmedu dva horizontalna pravca y = m i y = M.
Neodredeni integrali Odredeni integrali Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja
Ocigledno ce za razlicite odabire subdivizije slike izgledati doneklerazlicito: svaka subdivizija odreduje po jednu gornju i jednu donjusumu. Nadalje, intuitivno je jasno da sto je manji ∆x (uzipravokutnici) to ce gornja i donja suma biti blize tocnoj povrsiniizmedu grafa funkcije i osi apscisa (odnosno tamo gdje je funkcijanegativna, bit ce blize tocnoj povrsini s predznakom minus).
Neodredeni integrali Odredeni integrali Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja
Definicija (Odredeni (Riemannov) integral)
Gornji integral I ogranicene funkcije f : [a, b]→ R je limes gornjihintegralnih suma kad ∆x → 0 (ako taj limes postoji). Donjiintegral I ogranicene funkcije f : [a, b]→ R je limes donjihintegralnih suma kad ∆x → 0 (ako taj limes postoji). Ako postojei gornji i donji integral i jednaki su, onda se broj I = I = I zoveodredenim (ili Riemannovim) integralom funkcije f : [a, b]→ R i
oznacava s
∫ b
af (x) dx; kazemo da je f (Riemann-)integrabilna na
segmentu [a, b]. Brojevi a i b zovu se granice (donja i gornja)
odredenog integrala
∫ b
af (x) dx.
Neodredeni integrali Odredeni integrali Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja
Osnovna svojstva odredenog integrala
∫ a
aF (x) dx = 0 za svaku funkciju F definiranu u a (jer
povrsina duzine iznosi 0);
∫ b
aF (x) dx =
∫ c
aF (x) dx +
∫ b
cF (x) dx za c ∈ [a, b]
(povrsinu mozemo razbiti na dva dijela vertikalom x = c);
ne sasvim ocito, ali takoder direktno iz definicije2 slijedi i∫ b
aF (x) dx = −
∫ a
bF (x) dx (zamjena granica integrala
mijenja predznak odredenog integrala).
2Radi se o sljedecem: u definiciji smo od a do b isli tako da je svaki sljedecixi bio veci, tj. uz pozitivan ∆x . Ako pak trebamo ici od b do a moramo iciulijevo, tj. dodavati negativan ∆x .
Neodredeni integrali Odredeni integrali Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja
Osnovna svojstva odredenog integrala
∫ a
aF (x) dx = 0 za svaku funkciju F definiranu u a (jer
povrsina duzine iznosi 0);∫ b
aF (x) dx =
∫ c
aF (x) dx +
∫ b
cF (x) dx za c ∈ [a, b]
(povrsinu mozemo razbiti na dva dijela vertikalom x = c);
ne sasvim ocito, ali takoder direktno iz definicije2 slijedi i∫ b
aF (x) dx = −
∫ a
bF (x) dx (zamjena granica integrala
mijenja predznak odredenog integrala).
2Radi se o sljedecem: u definiciji smo od a do b isli tako da je svaki sljedecixi bio veci, tj. uz pozitivan ∆x . Ako pak trebamo ici od b do a moramo iciulijevo, tj. dodavati negativan ∆x .
Neodredeni integrali Odredeni integrali Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja
Osnovna svojstva odredenog integrala
∫ a
aF (x) dx = 0 za svaku funkciju F definiranu u a (jer
povrsina duzine iznosi 0);∫ b
aF (x) dx =
∫ c
aF (x) dx +
∫ b
cF (x) dx za c ∈ [a, b]
(povrsinu mozemo razbiti na dva dijela vertikalom x = c);
ne sasvim ocito, ali takoder direktno iz definicije2 slijedi i∫ b
aF (x) dx = −
∫ a
bF (x) dx (zamjena granica integrala
mijenja predznak odredenog integrala).
2Radi se o sljedecem: u definiciji smo od a do b isli tako da je svaki sljedecixi bio veci, tj. uz pozitivan ∆x . Ako pak trebamo ici od b do a moramo iciulijevo, tj. dodavati negativan ∆x .
Neodredeni integrali Odredeni integrali Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja
I odredeni integral, kao i neodredeni, ima svojstvo linearnosti:∫ b
a(F (x) + G (x)) dx =
∫ b
aF (x) dx +
∫ b
aG (x) dx ,∫ b
aKF (x) dx = K
∫ b
aF (x) dx .
Takoder, ako je F integrabilna na simetricnom segmentu [−c , c] iparna je ili neparna, imamo jos dva korisna svojstva:Ako je F parna, onda je∫ c
−cF (x) dx = 2
∫ c
0F (x) dx ,
a ako je F neparna, onda je∫ c
−cF (x) dx = 0.
Neodredeni integrali Odredeni integrali Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja
I odredeni integral, kao i neodredeni, ima svojstvo linearnosti:∫ b
a(F (x) + G (x)) dx =
∫ b
aF (x) dx +
∫ b
aG (x) dx ,∫ b
aKF (x) dx = K
∫ b
aF (x) dx .
Takoder, ako je F integrabilna na simetricnom segmentu [−c , c] iparna je ili neparna, imamo jos dva korisna svojstva:Ako je F parna, onda je∫ c
−cF (x) dx = 2
∫ c
0F (x) dx ,
a ako je F neparna, onda je∫ c
−cF (x) dx = 0.
Neodredeni integrali Odredeni integrali Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja
Ako je F : [a, b]→ R funkcija koja ima najvise konacno mnogotocaka prekida u segmentu [a, b], onda je ona integrabilna na
[a, b], tj. moze se izracunati∫ ba F (x) dx . Ako su sve tocke prekida
c1, c2, . . . , cm (nabrojane po velicini, tj.a < c1 < c2 < . . . < cm < b), onda je∫ b
aF (x) dx =
∫ c1
aF (x) dx +
∫ c2
c1
F (x) dx + . . . +
∫ b
cm
F (x) dx .
Iz derivabilnosti slijedi neprekidnost, a iz neprekidnostiintegrabilnost.
Neodredeni integrali Odredeni integrali Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja
Ako je F : [a, b]→ R funkcija koja ima najvise konacno mnogotocaka prekida u segmentu [a, b], onda je ona integrabilna na
[a, b], tj. moze se izracunati∫ ba F (x) dx . Ako su sve tocke prekida
c1, c2, . . . , cm (nabrojane po velicini, tj.a < c1 < c2 < . . . < cm < b), onda je∫ b
aF (x) dx =
∫ c1
aF (x) dx +
∫ c2
c1
F (x) dx + . . . +
∫ b
cm
F (x) dx .
Iz derivabilnosti slijedi neprekidnost, a iz neprekidnostiintegrabilnost.
Neodredeni integrali Odredeni integrali Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja
Newton-Leibnizova formula
Teorem (Osnovni teorem infinitezimalnog racuna)
Neka je realna funkcija F neprekidna na segmentu [a, b]. Tada jeformulom
f (x) =
∫ x
aF (t) dt, x ∈ [a, b]
definirana funkcija f i ona je antiderivacija za F na 〈a, b〉. Nadalje,za svaku antiderivaciju f od F vrijedi Newton-Leibnizova formula∫ b
af (x) dx = F (x)|ba = F (b)− F (a).
Neodredeni integrali Odredeni integrali Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja
Zapravo je samo jedan integral
Korolar
Za realnu funkciju F neprekidnu na [a, b] i njenu antiderivaciju fvrijedi:
f (x) = f (a) +
∫ x
aF (t) dt, x ∈ [a, b],
F (x) =
(∫ x
aF (t) dt
)′.
U terminima neodredenih integrala:
d
dx
(∫F (x) dx
)= F (x),
∫df
dxdx = f (x) + C .
Neodredeni integrali Odredeni integrali Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja
Primijetimo da Newton-Leibnizova formula vrijedi samo zaneprekidne funkcije, no moze se primijeniti i za funkcije s konacnomnogo tocaka prekida c1, c2, . . . , cm ∈ [a, b].Uz oznake c0 = a i cm+1 = b dobivamo formulu∫ b
aF (x) dx =
m∑i=0
∫ ci+1
ci
F (x) dx =∑i
fi (x)
∣∣∣∣∣ci+1
ci
,
gdje su fi antiderivacije od F na pojedinim podintervalima.
Zadatak
Za
F (x) =
ex , x > 0x2, −1 < x ≤ 0x + 2, x ≤ −1
.
izracunajte∫ 2−2 f (x) dx.
Neodredeni integrali Odredeni integrali Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja
Parcijalna integracija
d
dx(uv) =
du
dx· v + u · dv
dx⇒
u · dv
dx=
d
dx(uv)− du
dx· v ⇒∫
u dv = uv−∫
v du (
∫u(x)v ′(x) dx = u(x)v(x)−
∫v(x)u′(x) dx).
Najcesci slucajevi primjene ovog pravila su sljedeci:
Funkcija u ima relativno jednostavnu derivaciju, a dv = dx ;
Funkcija u je potencija od x (u pravilu u(x) = xn, n ∈ N), adv je eksponencijalna ili trigonometrijska funkcija pomnozenas dx ;
Funkcija u je neka logaritamska funkcija, a dv je oblika xn dxza n ∈ R.
Neodredeni integrali Odredeni integrali Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja
Parcijalna integracija
d
dx(uv) =
du
dx· v + u · dv
dx⇒
u · dv
dx=
d
dx(uv)− du
dx· v ⇒∫
u dv = uv−∫
v du (
∫u(x)v ′(x) dx = u(x)v(x)−
∫v(x)u′(x) dx).
Najcesci slucajevi primjene ovog pravila su sljedeci:
Funkcija u ima relativno jednostavnu derivaciju, a dv = dx ;
Funkcija u je potencija od x (u pravilu u(x) = xn, n ∈ N), adv je eksponencijalna ili trigonometrijska funkcija pomnozenas dx ;
Funkcija u je neka logaritamska funkcija, a dv je oblika xn dxza n ∈ R.
Neodredeni integrali Odredeni integrali Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja
Metoda supstitucije
Lancano pravilo:dF
dx=
dF
dy· dy
dx;
Neka je dFdy = f (y) pri cemu je y = y(x). Slijedi
dF = f (y(x))y ′(x) dx odnosno (jer dF = f (y) dy)∫f (y) dy =
∫f (y(x))y ′(x) dx , dakle:∫
f (y(x))y ′(x) dx =
∫f (y) dy .
Primjer∫dx
ax+b =?
Primjer∫xe−x
2dx =?
Neodredeni integrali Odredeni integrali Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja
Primjer
Promotrimo integral∫
sin(√
x) dx. Kod njega nema vidljivekombinacije funkcije i njene derivacije. Pokusajmo vidjeti sto binam dao jedini moguci pokusaj supstitucije u ovom integralu:y =√
x, tj. dy = 12√x
dx. Prema posljednjem imamo
dx = 2√
x dy = 2y dy. Dobili bismo∫sin(√
x) dx =
∫2y sin y dy , . . .
Neodredeni integrali Odredeni integrali Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja
Integriranje racionalnih funkcija
Primjer
Zadan je integral∫
x3
x2−1 dx. Prvo dijelimo
x3 : (x2 − 1) = x
i ostatak je x te je
x3
x2 − 1= x +
x
x2 − 1,
dakle ∫x3
x2 − 1=
x2
2+
∫x
x2 − 1dx .
Dakle: Ukoliko je brojnik racionalne funkcije stupnja veceg ilijednakog stupnju nazivnika, prvi korak je dijeljenje brojnika snazivnikom kako bismo izdvojili polinomijalni dio.
Neodredeni integrali Odredeni integrali Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja
Integriranje pravih racionalnih funkcija
Ukoliko treba integrirati pravu racionalnu funkciju, koristi se rastavna parcijalne razlomke, u kombinaciji s metodom supstitucije itablicnim integriranjem.Rastav na parcijalne razlomke racionalne funkcije p(x)
q(x) je njezinzapis u obliku zbroja razlomaka koji su oblika
A
(ax + b)kili
Ax + B
(ax2 + bx + c)k.
Neodredeni integrali Odredeni integrali Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja
Iskljucivo jednostruke realne nultocke nazivnika
Najjednostavniji slucaj: q(x) ima tocno onoliko (razlicitih) realnihnultocaka koliki mu je stupanj. U tom slucaju mozemo dobitirastav oblika
p(x)
q(x)=
n∑i=1
Ai
aix + bi,
gdje su aix + bi razliciti faktori nazivnika, a treba odreditikonstantne brojnike A1, . . . ,An. Ilustrirajmo to nastavkom primjera
Primjer
x
x2 − 1=
A
x − 1+
B
x + 1/ · (x2 − 1)
x = A(x + 1) + B(x − 1).
Uvrstimo x = 1 i x = −1 i dobivamo 1 = 2A, −1 = −2B. Stoga je
x
x2 − 1=
1
2
(1
x − 1+
1
x + 1
).
Neodredeni integrali Odredeni integrali Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja
Iskljucivo realne nultocke nazivnika
Ako se u q(x) neki faktor aix + bi pojavljuje s potencijom k vecomod 1, tom faktoru odgovara k parcijalnih razlomaka po principu
p(x)
(ax + b)k=
B1
ax + b+
B2
(ax + b)2+ . . .+
Bk−1(ax + b)k−1
+Bk
(ax + b)k.
Primjer ∫x
(2x + 3)(x − 3)2dx =?.
Primijetimo: Kad god q(x) ima samo realne nultocke, integriranjeracionalne funkcije se svodi na integriranje funkcija oblika(ax + b)−n dx koje je lako integrirati afinom supstitucijom.
Neodredeni integrali Odredeni integrali Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja
Kompleksne nultocke nazivnika
U slucaju da q(x) nema samo realne nultocke u rastavu se poslicnom principu pojavljuju parcijalni razlomci oblika Ax+B
(ax2+bx+c)k,
tj. parcijalni razlomci kojima su brojnici afine funkcije, a nazivnicipotencije promatranog faktora.
Primjer
Izracunajmo∫
dx(x2+1)(x−1) .