formulas

Elementos de Estadstica Estadstica Analtica

1

PPRROOBBAABBIILLIIDDAADD

1) TEOREMA DE LA SUMA DE PROBABILIDADES

2) PROBABILIDAD CONDICIONAL

3) TEOREMA DEL PRODUCTO DE PROBABILIDADES 4) ESPERANZA MATEMATICA

Sea x una variable aleatoria con funcin de probabilidad p(x) o f(x):

5) DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD A) DISTRIBUCIONES DISCRETAS:

A.1) DISTRIBUCION DE BERNOULLI

x 1-x(1- p para x = 0 y x = 1 ; 0 p 1p )

p(x)= 0 para otros valores de x

donde: E(X) = p ; V(X) = p(1-p)

A.2) DISTRIBUCION BINOMIAL

x n-xn

(1- p para x = 0,1,...,n ; 0 p 1p )p(x)= x

0 para otros valores de x

donde: 0

rx n-xn

P(X r)= Bi(r, p,n)= (1- pp )x

E(X)= np ; V(X)= np(1- p)

cantidad de casos favorablesP(A)=

cantidad de casos posibles

P(A B)= P(A)+ P(B)- P(A B)

P(A B)P(A/B)=

P(B)

)P(B/A).P(A =)P(A/B).P(B =B) P(A

.

i i

+

-

1)E(X)= p( ) si x es v. a. discretax x

2)E(X)= x.f(x).dx si x es v. a. continua


2

z

-

F(Z z)= f(Z).dZ

Nota : f(-z)= f(z) (-z)= 1- (z)

A.3) DISTRIBUCION DE POISSON

donde: La constante es considerada la tasa media de ocurrencia de los sucesos por unidad de tiempo o espacio. B) DISTRIBUCIONES CONTINUAS:

B.1) DISTRIBUCION NORMAL

Condiciones:

La funcin de distribucin de probabilidad acumulada se define como: B.2) DISTRIBUCION NORMAL ESTANDARIZADA

Sea la variable aleatoria: (X - )

Z =

con funcin de densidad:

2

2

Z1f(z)= para - Z +e

2

recibe el nombre de Distribucin Normal Estandarizada o N(0;1), donde:

E(Z) = 0 ; V(Z) = 1

La funcin de distribucin de probabilidad acumulada est definida por:

x- .e para x = 0,1,... ; > 0p(x)= x!

0 para otros valores de x

0

r - x.eP(X r)= Po(r, ,n)=

x!

E(X)= ; V(X)=

2

212

22

, , - xx1

f (x )= e2

; ;

2

x (- ;+ ) (- ;+ ) > 0

E(X)= ; V(X)=

x

-

F(X)= f(y).dy


3

B.3) DISTRIBUCION JI CUADRADO

Sea la variable aleatoria: 2

2n n

i ii

i ii

xV z

con funcin de densidad: 1

2 2

2

1 para 0

22

0 para 0

x

x e x

f x

x

recibe el nombre de funcin de densidad Ji cuadrado. Donde la letra representa el nmero

de trminos independientes y recibe el nombre de grados de libertad y:

E(V) = ; V(V) = 2

B.4) DISTRIBUCION t DE STUDENT

Sea la variable aleatoria: Z

tV

12 2

12

1

2

tf t

recibe el nombre de funcin de densidad t de Student con grados de libertad, donde:

;1-t

;1- ;1-

-

E(t) = 0 para > 1 V(t)= para > 2- 2

f(t).dt = 1- = F( )= P( )t t t

B.5) DISTRIBUCION F DE SNEDECOR

donde 1

2~U y 22~V Sea la variable aleatoria:

11

1 2

/2/2 1

1 2 1

/2

1 2 21

2

( ) / 2 para

/ 2 / 21

+

+ Fg(F)= . . F > 0

+ F

recibe el nombre de funcin de densidad F de Snedecor con 1 y 2 grados de libertad,

donde:

1 2 1 2 1 2

1 22 22 2

2 1 22

1 2

para para

2

2

( , );1- ( , ) ( , );1-

0

F( , );1-

2 ( + - 2)E(F)= > 2 V(F)= > 4

- 2 ( - 4)( - 2)

g(F).dF = 1- = G( ) = P( < )F F F

1

2

U

F = V


4

EESSTTAADDIISSTTIICCAA DDEESSCCRRIIPPTTIIVVAA

1) MEDIDAS DE POSICION

A.- MEDIA ARITMETICA ( x )

* Para n valores observados no agrupados: ixx =

n

* Cuando los n valores estn ordenados en una tabla de frecuencias:

'i ii i

fxx = x h

n

B.- MEDIANA (Me) Dados n valores ordenados de menor a mayor o de mayor a menor, se define como Me:

Si n es impar: Me es la observacin de la posicin (n+1)/2 (PosMe)

Si n es par: Me es la media aritmtica de las observaciones que correspondan a los 2 valores centrales.

Cuando la variable es cuantitativa continua y los datos estn agrupados en una tabla de frecuencias:

Donde: Li: Lmite inferior del intervalo mediana. c: Amplitud del intervalo. F(i-1): Frecuencia acumulada del intervalo anterior al intervalo mediana. fi: Frecuencia absoluta del intervalo mediana.

C.- MODO (Md o Mo) Para variables cuantitativas discretas, el modo es el valor de la variable de mayor frecuencia simple. Cuando la variable es cuantitativa continua y los datos estn agrupados en una tabla de frecuencias:

Li: Lmite inferior del intervalo Modal. c: Amplitud del intervalo Modal. f(post): Frecuencia absoluta del intervalo posterior al intervalo Modal. f(ant): Frecuencia absoluta del intervalo anterior al intervalo Modal.

f(Max): Frecuencia absoluta del intervalo Modal.

2) MEDIDAS DE DISPERSION

A.- VARIANZA (sx2)

Para n valores observados no agrupados:

2

2

2 iix

( x1 )s = - x

n -1 n

1

1 2

1

2

Donde:

i

(ant)(Max)

(post)(Max)

Mo = + c L+

f f

f f

(i-1)

ix

i

PosMe - FMe = + c L

f


5

Cuando los n valores estn ordenados en una tabla de frecuencias:

B.- DESVIO ESTANDAR (sx)

C.- COEFICIENTE DE VARIACION (C.V.)

2

x xs = s

% xxs

C.V. = 100x

2

2

i2 iix i

( f1 )xs = f - x

n -1 n


6

EESSTTAADDIISSTTIICCOOSS MMAASS EEMMPPLLEEAADDOOSS A) NORMAL ESTANDAR

1 2 1 2

2 2

1 2

1 2

0;1X X

Z N

n n

1 2 1 2 1 2 1 21 21 2 1 2

1 2

0;1 ; ;

1 1 1

p p p p x x x xZ N p p p

n n n np p

n n

1 2 1 2

1 1 2 2

1 2

0;1

1 1

p p p pZ N

p p p p

n n

B) t DE STUDENT

1nX

xt t

s

n

1 2

1 2 1 2

2

1 2

1 1n n

a

x xt t

sn n

2 21 1 2 22

1 2

1 1

2a

n s n ss

n n

1 2 1 22 2

1 2

1 2

x xt t

s s

n n

22 2

1 2

1 2

2 22 2

1 2

1 2

1 21 1

s s

n n

s s

n n

n n

~x -

Z = N(0;1)/ n

p - pZ = N (0;1)

p(1 - p)/n

p - pZ = N (0;1)

p(1 - p)/n


7

1 2 1 ; D

i i i nD

dd x x t t

s

n

2nn

ini11 2

d i1

dd1

d = = d -snn n -1

;

C) JI CUADRADO

22

1~2 x

n2

(n -1)s=

; donde y 2k

2 2i i

i i(k-1)

i=1 i

( - )o e= e = n.p k = N clases

e

; donde y

2f c2 2ij ij

(f -1)(c-1)

iji=1 j=1

( - )o e= f = N filas c = N columnas

e

D) F DE SNEDECOR

1 2 1 2

2 2

1 1

2 2

1 2( 1),( 1) ( 1),( 1)2 2

2 1

2 2

2 2

~ o ~n n n n

s s

sF F F F

s

E) CORRECCIN DE TAMAO DE MUESTRA PARA POBLACIONES FINITAS

N = Tamao de la poblacin; n0= tamao de muestra hallado; nf = tamao de muestra corregido

0

01f

nn

n

N

F) PRUEBA DE WILCOXON DE RANGOS SIGNADOS

T+ = sumando los rangos correspondientes a las diferencias Positivas T- = sumando los rangos correspondientes a las diferencias Negativas

Suma total de rangos: 1

2

n nT T T

1. sup.= . inf .

2

n nV crtico V crtico

Si n > 25:

( 1) ( 1)(2 1)T N (E(T), V(T)) ;

4 24

d n n n n nN


8

G) PRUEBA DE MANN WHITNEY

1

; siendo los rangos de una de las muestrasn

i i

i

T r r

1 1

1 2 1

2 2'

1 2 2

'

1 2

1*

2

1*

2

*

n nU n n T

n nU n n T

U U n n

Si n1 > 20 y n2 > 40:

1 1 2 2 1 2

1 2

1 1

2 2

n n n n n nE T E T

1 2 1 2

1 2

* 1

12

n n n nV T V T

( )(0;1)

( )

T E TZ N

V T


9

ANALISIS DE REGRESION a) Estimacin de la ecuacin de la regresin

a.1) Estimacin de y

2 22

i i

i ii i i i i i

2 2

i i iii

x yx y -x - x y - y n. x y -( x )( y )nb = = =

( x n. x -( x) )x - xx -

n

a = y - bx

a.2) Estimacin de 2

2 2

2 2

2 22

2 22

2

i i2 2e i i

e ebb

i i i

i

y x1= y - - x -s b

n - 2 n n

n.s s= s = =V

n x - x xx -

n

b) Estimacin por intervalo de confianza

b.1) Para

b.2) Para E(Yi)

Dados n pares de valores (xi; yi), se estiman los parmetros del modelo: Yi = + xi + ei

2 00

2

y

2

(n-2);(1- / 2) e 2

ii

(x - x1 )a + bx s +t

n ( x )x -

n

a : Estimador de ( ) b : Estimador de ( )

c) Docimasia de hiptesis

Para

2~

0

0(n-2)H

b

b -= t t

s

2~ (n-2)

b

b - t = t

s

i iy = a + bx ecuacin de regresin estimada


10

d) Coeficiente de determinacin (R)

2

2 2

i2 2i22

i2

i 2 i

i

x -b x

n(x - x )b = = R

y y y-y

n

e) Intervalo de prediccin

2

12

1 2;1 22

1

1 1 nn n n

i

i

x xY t s

nx x

2 11

2

1

2

n(n-2);(1- / 2)n e 2

ii

(x - x1 )a + bx s +t

n ( x )x -

n

f) Anlisis de varianza en Regresin Lineal Simple Fuentes de Variacin

G.L.

Suma de Cuadrados

Cuadrados

Medios

F

Debida a la Regresin

1

2

2 2 i

i

xb x

n

1

REG REG

REG

SC SC

GL

;~ REG RESREG

GL GL

RES

CMF

CM

Residual

n-2

2

i iy a bx

2

RES RES

RES

SC SC

GL n

TOTAL

n-1

2

2 i

i

yy

n

21

2e TOTAL REGs SC SC

n


11

AANNAALLIISSIISS DDEE VVAARRIIAANNZZAA DDIISSEEOO CCOOMMPPLLEETTAAMMEENNTTEE AALLEEAATTOORRIIZZAADDOO

Fuentes de Variacin

G.L.

Suma de Cuadrados

Cuadrados

Medios

F

Modelo o Tratamiento

k-1

2

..

1

k

i i

i

n y y

1TRATSC

k

TRAT

ERROR

CM

CM

Error n-k 21

1 *k

i i

i

n s

2 ERRORP

SCs

n k

TOTAL

n-1

2 21 121

1 * ... 1 *

...

k k

P

k

n s n ss

n n k

Prueba de Kruskal Wallis

.

1

123( 1)

( 1)

ki

i i

RH N

N N n

Donde: N es el total de observaciones

Ri. es el rango total de la muestra i

Bajo Ho 2

1kH


12

AANNAALLIISSIISS DDEE CCOORRRREELLAACCIIOONN a) Estimacin del coeficiente de correlacin():

1 2

1 21 1 2 2

2 2 2 2

2 21 1 2 2 1 2

1 2

i i

i ii i

i i i i

i i

x xx x -x - x x - x n = r = =

x - x x - x x xx - x -

n n

b) Docimasia de hiptesis

Para 0= : ~0 (n-2)H 2

r (n - 2)= t t

(1- )r

NOTA: Para los fines prcticos el valor del Coeficiente de Determinacin (R2) coincide numricamente con: c) Coeficiente de correlacin de Spearman

26 1

( 1) ( 1)

iS

dr

n n n

n: nmero de diferencias

2 2 = R r

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