formulario para algebra

Matemáticas para Arquitectura y Diseño

Capitulo 1 geometría analítica unidimensional�� entre cualesquiera dos puntos a y b con

coordenadas m y n es

� CAPITULO 2

�� Se llama ángulo a la abertura comprendida entre dos semirectas que tienen un punto en

común. Este punto en común es llamado vértice del ángulo.

Un ángulo se representa como,

��

Matemáticas para Arquitectura y Diseño Lic. Mireya Isabel Sánchez Velázquez

geometría analítica unidimensional

entre cualesquiera dos puntos a y b con �� Si las coordenadas de los puntos finales de

b, y m es la coordenada del

punto medio M, entonces:

Ángulos

Se llama ángulo a la abertura comprendida entre dos semirectas que tienen un punto en

común. Este punto en común es llamado vértice del ángulo.

Un ángulo se representa como, o con letras del alfabeto griego como ��

Lic. Mireya Isabel Sánchez Velázquez

1

geometría analítica unidimensional

Si las coordenadas de los puntos finales de son a y

Se llama ángulo a la abertura comprendida entre dos semirectas que tienen un punto en

o con letras del alfabeto griego como


��

pero

mide pero

pero menos de 360°


�� : mide más de 0°

pero menos de 90°

��: mide 90°

��: mide más de 90°

pero menos de 180°

��: mide 180°

��: Mide más 180°

pero menos de 360°

��: mide 360°

Complementarios�� Suplementarios��

Conjugados��


2


3

CAPITULO 3 Rectas Perpendiculares y paralelas

Cuando dos rectas se cortan y forman 4 ángulos rectos,

a estas rectas se les conoce como rectas

perpendiculares. Para denotar que es una recta

perpendicular, se utiliza el símbolo

Dos rectas que no comparten ningún punto y siempre

están a una misma distancia se les conocen como rectas

paralelas. Para denotar que dos rectas son paralelas se

utiliza el símbolo �� se trazan varias rectas oblicuas y una

perpendicular que va desde un punto exterior a una

recta como se muestra abajo:

Se verifica lo siguiente:

Es decir, si entonces y

• Si entonces

• Si entonces

��

Son aquellos que tienen un vértice en común y los lado de un de los ángulos son prolongación de los lados del otro ángulo.

es opuesto a y es opuesto a . Además es opuesto a es opuesto a y �� son aquellos que tienen un

vértice y un lado en común.

es contiguo al ángulo , además

�� son ángulos que tienen el

vértice y un lado en común, cuya característica es que la

suma de los ángulos es 180°


Cuando dos rectas paralelas son cortadas por una recta secante, se forman ángulos que según sus característireciben un nombre:

CAPITULO 4 Triángulos

��

��


Cuando dos rectas paralelas son cortadas por una recta secante, se forman ángulos que según sus características

Ángulos internos:

y

Ángulos externos

y

Ángulos correspondientes:

, ,

Ángulos colaterales internos (suplementarios):

y

Ángulos colaterales externos (suplementarios): y

Triángulos

��

El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado del triángulo e igual a un medio de la longitud del tercer lado.

La suma de dos lados cualesquiera es mayor que la longitud del tercer lado. Además la diferencia de menor a la longitud del lado restante.

Si dos de los lados y 2 ángulos del triángulo son distintos a mayor lado se opone mayor ángulo y viceversa.


4

y

Ángulos colaterales internos (suplementarios):

Ángulos colaterales externos (suplementarios):

El segmento que une los puntos medios de dos lados de un lo es paralelo al tercer lado del triángulo e igual a un

medio de la longitud del tercer lado.

La suma de dos lados cualesquiera es mayor que la longitud del tercer lado. Además la diferencia de estos dos lados es menor a la longitud del lado restante.

Si dos de los lados y 2 ángulos del triángulo son distintos a mayor lado se opone mayor ángulo y viceversa.


5

�� Los triángulos congruentes son aquellos que tienen la misma forma y tamaño es decir, 2 triángulos son congruentes si:

a) Sus lados homólogos son iguales b) Sus ángulos homólogos son iguales

Teorema LLL Dos triángulos son congruentes si tienen sus lados iguales.

Teorema ALA Dos triángulos son congruentes si tienen 2 ángulos y el lado adyacente a ellos son iguales.

Teorema LAL Dos triángulos son congruentes si 2 lados y el ángulo comprendido entre ellos son iguales, respectivamente a su homólogo del otro.

�� Recuerda que si 2 triángulos son congruentes entonces se verifica que tanto sus lados como sus ángulos homólogos son iguales. Por ejemplo:

Sea y dos triángulos congruentes:

Entonces:

, Y

, y �� Una razón es una comparación de dos cantidades semejantes. La razón puede escribirse de varias formas:

, , y la razón de a Cuando dos razones se igualan una a otra se forma una proporción.

Teorema 1: En toda proporción el producto de los medios es igual al producto de los extremos.

a:b=c:d b:c=a:d

Teorema 2: En una proporción pueden intercambiarse el segundo y tercer miembro y se obtiene la misma proporción.

a:b=c:d a:c=b:d b:c=a:d

Teorema 3: En una proporción pueden invertirse las razones.

a:b=c:d b:a=d:c


�� Los lados homólogos son aquellos cuyos ángulos adyacentes son iguales.

Dos triángulos son semejantes o tienen la misma forma, pero no el mismo tamaño. Propiedades de triángulos semejantes. Si

��

Estas propiedades se cumplen entre cualquier par de triángulos semejantes.

Teorema (AA). Dos triángulos son semejantes si tienen 2 ángulos homólogos.

��

Teorema (LLL). Dos triángulos son semejantes si sus tres lados son proporcionales.

�� Lic. Mireya Isabel Sánchez Velázquez

son aquellos cuyos ángulos

Dos triángulos son semejantes o tienen la misma forma,

Estas propiedades se cumplen entre cualquier par de

Dos triángulos son semejantes si tienen 2 ángulos

Dos triángulos son semejantes si sus tres lados son

�

Teorema (LAL). Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales.

�� El Teorema de Tales nos dice que si por un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, los triángulos resultantes son semejantes.entonces

�� El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual a la hipotenusa.

De la misma forma, el cuadrado de un cateto es igual a la diferencia de los cuadrados de la hipotenusa y del

otro cateto. o


6

son semejantes si tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales.

�� nos dice que si por un triángulo se

cualquiera de sus lados, los triángulos resultantes son semejantes. Si

establece que en un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es

De la misma forma, el cuadrado de un cateto es igual a la diferencia de los cuadrados de la hipotenusa y del


Cuando se tiene un triángulo con lados , b donde es el lado mayor, este triángulo puede ser rectángulo. acutángulo u obtusángulo.

Si entonces el triángulo es rectángulo Si entonces el triángulo es acutángulo Si entonces el triángulo es obtusángulo

Teorema 1: La altura de un triángulo rectángulo que va de un vértice a la hipotenusa forma dos triángulos rectángulos que son semejantes entre sí y al original.

La medida proporcional es cada uno de los términos medios de una proporción.


, b y , lado mayor, este triángulo puede ser

rectángulo.

acutángulo.

obtusángulo.

que va de un tenusa forma dos triángulos rectángulos

La medida proporcional es cada uno de los términos

Teorema 2: En un triángulo rectángulo la altura trazada sobre la hipotenusa es media proporcional entre las dos partes en que divide la hipotenusa.

Teorema 3: En un triángulo rectángulo cada cateto es mediaproporcional de la hipotenusa y su proyección sobre ésta.


7

En un triángulo rectángulo la altura trazada sobre la hipotenusa es media proporcional entre las dos partes

En un triángulo rectángulo cada cateto es media proporcional de la hipotenusa y su proyección sobre


8

CAPITULO 5 Cuadriláteros

La diagonal es una recta que une 2 vértices no

consecutivos de un polígono.

y Son diagonales

La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es

igual a 360º.igual a 360º.igual a 360º.igual a 360º.

Algunas propiedades de los paralelogramos son las

siguientes:

Los lados opuestos tienen la

misma medida.

y y y y

Ángulos opuestos tienen la misma

medida.

y y y y

Los ángulos adyacentes a un

mismo lado son suplementarios.

Las diagonales se bisecan

mutuamente.

La diagonal divide el cuadrilátero

en 2 triángulos iguales.

Para que un cuadrilátero sea un paralelogramo se debe cumplir una condición:

• 2 de sus lados son paralelos e iguales.


9

Algunas propiedades de los paralelogramos son Algunas propiedades de los paralelogramos son Algunas propiedades de los paralelogramos son Algunas propiedades de los paralelogramos son las siguientes:las siguientes:las siguientes:las siguientes:

1°1°1°1° Los rectángulos tienen sus ángulos rectos.

2°2°2°2° Las diagonales de un rectángulo son iguales.

3°3°3°3° Las diagonales de un rectángulo forman 2 pares de

triángulos congruentes.

4°4°4°4° Las diagonales de un rombo son perpendiculares entre

sí y se bisecan mutuamente, esto es, una diagonal es

mediatriz de la otra.

5°5°5°5° Las diagonales de un rombo son bisectrices de los

ángulos formados por el rombo.

6°6°6°6° Las diagonales de un rombo forman 4 triángulos

congruentes.

7°7°7°7° Las propiedades del 1 al 6 se cumplen para los

cuadrados ya que son rectángulos y rombos.


Las Las Las Las propiedades de los trapecios son las siguientes:propiedades de los trapecios son las siguientes:propiedades de los trapecios son las siguientes:propiedades de los trapecios son las siguientes:

1°1°1°1° En un trapecio su longitud de la línea media es igual a

la semisuma de las bases del trapecio.


propiedades de los trapecios son las siguientes:propiedades de los trapecios son las siguientes:propiedades de los trapecios son las siguientes:propiedades de los trapecios son las siguientes:

En un trapecio su longitud de la línea media es igual a

2° 2° 2° 2° Las bisectrices de los ángulos adyacentes al lado

lateral del trapecio son perpendiculares y el punto de

intersección se encuentra en su línea media.

y son bisectrices.

3°3°3°3° En un trapecio isósceles los ángulos de la base son

iguales, así como las diagonales.


10

Las bisectrices de los ángulos adyacentes al lado

perpendiculares y el punto de

intersección se encuentra en su línea media.

En un trapecio isósceles los ángulos de la base son

iguales, así como las diagonales.


11

CAPITULO 6 Polígonos

Un polígono es una figura plana y cerrada,

esta figura está delimitada por segmentos de

recta.

Los polígonos se clasifican de acuerdo a sus

lados o a la magnitud de sus ángulos.

Polígonos por sus ladosPolígonos por sus ladosPolígonos por sus ladosPolígonos por sus lados

Regulares:Regulares:Regulares:Regulares: polígonos con todos sus lados

iguales

Irregulares:Irregulares:Irregulares:Irregulares: La medida de sus lados es

diferente

Polígonos por sus ángulosPolígonos por sus ángulosPolígonos por sus ángulosPolígonos por sus ángulos

ConvexosConvexosConvexosConvexos: Polígono en el que todos sus

ángulos son menores a 180º.

CóncavosCóncavosCóncavosCóncavos: Polígono en el que al menos hay un

ángulo mayor a 180º.

Los polígonos reciben su nombre según el

número de lados que tengan.

Número de ladosNúmero de ladosNúmero de ladosNúmero de lados NombreNombreNombreNombre

3333 Triángulo

4444 Cuadrilátero

5555 Pentágono

6666 Hexágono

7777 Heptágono

8888 Octágono

9999 Nonágono o Eneágono

10101010 Decágono

11111111 Undecágono

12121212 Dodecágono

13131313 Tridecágono

14141414 Tetradecágono

15151515 Pentadecágono

16161616 Hexadecágono

17171717 Heptadecágono

18181818 Octadecágono

19191919 Nonadecágono

20202020 Icoságono


12

Los elementos de un polígono son los

siguientes:

Vértice: Punto donde se unen 2

lados consecutivos.

Ángulo interior: Ángulo dentro

de una figura, que se forma

con dos lados adyacentes del

polígono.

Ángulo exterior: Ángulo que se

forma entre la prolongación de

uno de sus lados y su lado

adyacente.

Diagonal: Segmento de recta

que une 2 vértices no

adyacentes.

Un polígono tiene el mismo número de lados

que de ángulos interiores, así como de

exteriores.

DiagonDiagonDiagonDiagonalesalesalesales desde un sólo vértice.desde un sólo vértice.desde un sólo vértice.desde un sólo vértice.

donde es el número de lados del

polígono.

La fórmula para calcular el número total de número total de número total de número total de

diagonalesdiagonalesdiagonalesdiagonales en un polígono es:

donde es el número de lados del polígono.

La suma de los ángulos interioressuma de los ángulos interioressuma de los ángulos interioressuma de los ángulos interiores de

cualquier polígono de lados se determina

con la siguiente expresión:

La magnitud de uno de los ángulos interioresángulos interioresángulos interioresángulos interiores

de un polígono regular de lados se

determina con la siguiente expresión:

La suma de los ángulos exterioressuma de los ángulos exterioressuma de los ángulos exterioressuma de los ángulos exteriores de

cualquier polígono de lados es:

La magnitud de uno de los ángulos exterioresángulos exterioresángulos exterioresángulos exteriores

de un polígono regular de lados se

determina con la siguiente expresión:


CAPITULO 8 Circunferencia y Círculo

La circunferencia

conjunto de todos los puntos

que equidistan un punto fijo

llamado centro.

Un círculo es la superficie

limitada por una

circunferencia.

La longitud de la circunferencia representa

el perímetro del círculo.

El arco es una parte de la

circunferencia y se denota

por el símbolo

Una semicircunferencia es un

arco igual a la mitad de la

circunferencia.

Las rectas notables de una

circunferencia son las

siguientes:

Radio: Segmento que va

desde el centro a un

punto de la

circunferencia.

Cuerda: Segmento de

recta que une dos puntos

de la circunferencia.

Diámetro: Cuerda más

grande que pasa por el

centro del círculo.

Secante: Recta que pasa por

dos puntos de la

circunferencia.

Tangente: Recta que toca a la

circunferencia en un sólo

punto, a este punto se le

llama punto de tangencia.

Flecha o sagita: Recta

perpendicular trazada desde

un punto de la circunferencia

al punto medio de una cuerda.


Circunferencia y Círculo

circunferencia es el

conjunto de todos los puntos

que equidistan un punto fijo

es la superficie

limitada por una

Las rectas notables de una

circunferencia son las

Segmento que va

desde el centro a un

circunferencia.

Segmento de

recta que une dos puntos

de la circunferencia.

Cuerda más

grande que pasa por el

centro del círculo.

Recta que pasa por

dos puntos de la

Recta que toca a la

circunferencia en un sólo

punto, a este punto se le

llama punto de tangencia.

Recta

perpendicular trazada desde

un punto de la circunferencia

al punto medio de una cuerda.

Las porciones de un círculo son las superficies limitadas

por un arco y ciertas rectas.

Sector circular:

Porción del círculo limitada por dos

radios.

Segmento circular:

Porción del círculo limitada por una

cuerda

y el arco correspondiente.

Semicírculo:

Porción del círculo limitada por el

diámetro

y la semicircunferencia.

La circunferencia inscrita es aquella que es tangente a los

lados de un polígono

Al polígono donde sus lados son tangentes a la

circunferencia se le llama

polígono circunscrito.

La circunferencia circunscrita es aquella que pasa por

vértices de un polígono.

El polígono inscrito es aquel donde sus lados son

cuerdas de la circunferencia.


13

son las superficies limitadas

Porción del círculo limitada por dos

Porción del círculo limitada por una

Porción del círculo limitada por el

es aquella que es tangente a los

Al polígono donde sus lados son tangentes a la

circunferencia se le llama

es aquella que pasa por los

es aquel donde sus lados son


14

Los ángulos notablesángulos notablesángulos notablesángulos notables son los ángulos que se

forman con las rectas notables. La clasificación

de los ángulos notables es:

Ángulo central: Ángulo comprendido entre dos radios o

bien por un radio y el diámetro. Este ángulo tiene su

vértice en el centro. La medida de un ángulo central es igual al arco comprendido

entre los radios.

Ángulo inscrito: Ángulo que tiene su vértice sobre la

circunferencia y está comprendido entre dos cuerdas .

La medida de un ángulo inscrito es igual a la mitad del arco

comprendido entre las cuerdas.

Ángulo semiinscrito: Ángulo comprendido entre una

cuerda y una tangente. Su vértice se encuentra en un

punto de la circunferencia.

La medida de un ángulo semiinscrito es igual a la mitad del arco

entre la cuerda y la tangente.

Ángulo interior: Ángulo comprendido entre dos

cuerdas que se cortan y su vértice se encuentra en un

punto interior de la circunferencia. La medida de un ángulo interior es igual a la semisuma de los

arcos comprendidos entre los lados y su prolongación.

Ángulo exterior: Ángulo formado por dos secantes

y su vértice está en un punto exterior a la

circunferencia. La medida de un ángulo exterior es igual a la

semidiferencia de los arcos comprendidos.

Ángulo circunscrito: Ángulo que se forma entre 2

tangentes trazadas desde un punto exterior a la

circunferencia. La medida de un ángulo circunscrito es igual a la semidiferencia

de los arcos comprendidos entre sus lados.


Teorema 1:Teorema 1:Teorema 1:Teorema 1:Si 2 ángulos centrales del mismo círculo o de

círculos congruentes, son congruentes entonces los

arcos intersecados por estos dos ángulos son

congruentes.

Teorema 2:Teorema 2:Teorema 2:Teorema 2:Si tenemos 2 cuerdas iguales dentro de una

circunferencia, entonces los arcos delimitados por estas

cuerdas son iguales y viceversa.

Si

Si

Teorema 3:Teorema 3:Teorema 3:Teorema 3:Cualquier ángulo inscrito en una

semicircunferencia es un ángulo recto.

90°90°90°90°

Teorema 4:Teorema 4:Teorema 4:Teorema 4:Si una recta que pasa por el centro de un

círculo es perpendicular a una cuerda, entonces la recta

biseca a la cuerda y al arco delimitado por la misma

cuerda.

entonces y


Si 2 ángulos centrales del mismo círculo o de

círculos congruentes, son congruentes entonces los

arcos intersecados por estos dos ángulos son

Si tenemos 2 cuerdas iguales dentro de una

circunferencia, entonces los arcos delimitados por estas

inscrito en una

i una recta que pasa por el centro de un

círculo es perpendicular a una cuerda, entonces la recta

biseca a la cuerda y al arco delimitado por la misma

Teorema 5:Teorema 5:Teorema 5:Teorema 5:Una recta tangente a un círculo es

perpendicular al radio trazado al punto de tangencia.

Si es tangente a la circunferencia

punto , entonces el radio es

Teorema 6:Teorema 6:Teorema 6:Teorema 6:Dos cuerdas que se encuentran a la misma

distancia del centro son iguales.

Teorema 7:Teorema 7:Teorema 7:Teorema 7:Si es un punto fuera de la

circunferencia y se trazan dos segmentos tangentes

desde el punto a la circunferencia

dos segmentos son congruentes.

Además, la recta que cruza por el centro y el punto

forma ángulos congruentes.


15

Una recta tangente a un círculo es

perpendicular al radio trazado al punto de tangencia.

es tangente a la circunferencia con centro en en el

es a .

Dos cuerdas que se encuentran a la misma

distancia del centro son iguales.

es un punto fuera de la

y se trazan dos segmentos tangentes

a la circunferencia ; entonces estos

segmentos son congruentes.

Además, la recta que cruza por el centro y el punto


Teorema 8:Teorema 8:Teorema 8:Teorema 8:Si 2 cuerdas se intersecan dentro de un

círculo en un punto , entonces el producto de los

segmentos de una cuerda es igual al producto de los

segmentos de la otra cuerda.

Teorema 9: Teorema 9: Teorema 9: Teorema 9: Si de un punto exterior a un círculo, se

traza una tangente y una secante, la medida de la

tangente es media proporcional entre la medida de la

secante y su segmento externo.

Teorema 10:Teorema 10:Teorema 10:Teorema 10:Si desde un punto exterior a un círculo se

trazan 2 rectas secantes, el producto de la medida de

una secante y su segmento exterior es igual al producto

de la medida de la otra secante por su segmento

exterior.


Si 2 cuerdas se intersecan dentro de un

, entonces el producto de los

segmentos de una cuerda es igual al producto de los

exterior a un círculo, se

traza una tangente y una secante, la medida de la

medida de la

exterior a un círculo se

trazan 2 rectas secantes, el producto de la medida de

una secante y su segmento exterior es igual al producto

secante por su segmento

La longitud de la tangente es el segmento trazado desde

un punto exterior al punto de tangencia.

longitud de la tangente

Las propiedades de las rectas tangentes son las

siguientes:

1-. Toda tangente es perpendicular al radio que pasa por

el punto de tangencia.

2-. La recta que es perpendicular a una recta tangente

trazada por el punto de tangencia, pasa por el centro de

la circunferencia.

3-. Las tangentes trazadas desde un punto exte

circunferencia son iguales.

4-. La recta que une un punto exterior y el centro de una

circunferencia es bisectriz del ángulo formado por las

tangentes trazadas del punto a la circunferencia.

es bisectriz del


16

es el segmento trazado desde

un punto exterior al punto de tangencia.

longitud de la tangente

Las propiedades de las rectas tangentes son las

Toda tangente es perpendicular al radio que pasa por

. La recta que es perpendicular a una recta tangente

trazada por el punto de tangencia, pasa por el centro de

. Las tangentes trazadas desde un punto exterior a la

. La recta que une un punto exterior y el centro de una

circunferencia es bisectriz del ángulo formado por las

tangentes trazadas del punto a la circunferencia.

es bisectriz del


Las circunferencias concéntricas son aquellas que tienen

el mismo centro y diferente radio.

Las circunferencias exteriores son aquellas que se

encuentran en una región exterior una de la otra, no

tienen puntos en común y la distancia entre los

es mayor a la suma de sus radios.

La circunferencia interior es aquella en la que todos sus

puntos son interiores a otra circunferencia y la distancia

entre los centros es menor que la diferencia de sus

radios.

Se les llama circunferencias tangentes exteriores

que tienen un sólo punto en común y la distancia entre

los centros es igual a la suma de sus radios.


son aquellas que tienen

son aquellas que se

encuentran en una región exterior una de la otra, no

tienen puntos en común y la distancia entre los centros

es aquella en la que todos sus

puntos son interiores a otra circunferencia y la distancia

entre los centros es menor que la diferencia de sus

circunferencias tangentes exteriores a las

que tienen un sólo punto en común y la distancia entre

los centros es igual a la suma de sus radios.

Las circunferencias tangentes interiores

tienen un punto en común y la distancia entre sus

centros es igual a la diferencia de sus radios.

Las circunferencias secantes son aquellas que se

intersecan en 2 dos puntos y la distancia entre sus

centros es menor que la suma de sus radios.

Dos circunferencias secantes son

ortogonales, si en los puntos de intersección los radios

forman ángulos de 90º, es decir, son perpendiculares en

los puntos de intersección.


17 circunferencias tangentes interiores son aquellas que

y la distancia entre sus

centros es igual a la diferencia de sus radios.

son aquellas que se

intersecan en 2 dos puntos y la distancia entre sus

centros es menor que la suma de sus radios.

Dos circunferencias secantes son circunferencias

, si en los puntos de intersección los radios

forman ángulos de 90º, es decir, son perpendiculares en


CAPITULO 9 Perímetros y superficies

Triangulo equilátero

��Triangulo isósceles

��Triangulo escaleno

�� Lic. Mireya Isabel Sánchez Velázquez

Perímetros y superficies

Rectángulo

��

Paralelogramo

��

Rombo

��

�� Pentagono o Hexagono

��


18

Trapecio

�� Pentagono o Hexagono

��


19

Circulo

��

��

CAPITULO 10 Cuerpos geométricos, áreas y volúmenes ��

!��

"�� #��

��


��

��


� ��

��


20

��


21

��

��

��

��

��

��

��

�� ! �� "��

��


CAPITULO 11 Funciones Trigonométricas

Seno de un ángulo

Coseno de un ángulo

Tangente de un ángulo Cotangente de un ángulo

� ��


Funciones Trigonométricas

Seno de un ángulo Cosecante de un ángulo

Coseno de un ángulo Secante de un ángulo

Tangente de un ángulo Cotangente de un ángulo

��

��


22

Funciones Trigonométricas


23

��

I cuadrante

II cuadrante

III cuadrante

IV Cuadrante

Seno � � � �Coseno � � � �Tangente � � � �Cotangente � � � �Secante � � � �Cosecante � � � ��

Una función trigonométrica con ángulo obtuso se puede transformar a una función equivalente de ángulo agudo, expresando el ángulo obtuso de

las siguientes formas: �Donde es un número positivo y un ángulo agudo.

�� !�� es un número par� ��

a la misma función con ángulo � � �� es un número impar� ��

a la cofunción con ángulo � � ��


24

CAPITULO 15 Triángulos Rectángulos

Para los triángulos rectángulos basta con conocer el valor de uno de los lados y algún otro dato, el cual puede ser un

ángulo u otro lado, debido a que el tercer dato siempre está dado ya que, al ser triangulo rectángulo, uno de los ángulos

siempre es 90°

Se usara teorema de Pitágoras CAPITULO 4 y funciones trigonométricas CAPITULO 11

CAPITULO 16 Triángulos Oblicuángulos

Ley de senosLey de senosLey de senosLey de senos

o

Se utiliza cuando

• 2 lados y un ángulo opuesto a uno de ellos.

• 2 ángulos y cualquier lado.

Ley de cosenosLey de cosenosLey de cosenosLey de cosenos

)

Se utiliza cuando

• 2 lados y el ángulo comprendido entre ellos

• 3 lados.


25

CAPITULO 19 Geometría analítica bidimensional

��

� ��

Las coordenadas para calcular el punto medio son:

��


26

CAPITULO 20 Pendiente de una recta

Pendiente de una rectaPendiente de una rectaPendiente de una rectaPendiente de una recta

Donde

,si

,si

La pendiente de una recta que pasa por dos puntosLa pendiente de una recta que pasa por dos puntosLa pendiente de una recta que pasa por dos puntosLa pendiente de una recta que pasa por dos puntos

Rectas son paralelasRectas son paralelasRectas son paralelasRectas son paralelas

Si entonces,

Rectas son perpendicularesRectas son perpendicularesRectas son perpendicularesRectas son perpendiculares

Para calcular el Para calcular el Para calcular el Para calcular el ánguloánguloánguloángulo que formanque formanque formanque forman yyyy , se , se , se , se

utiliza la siguiente fórmula:utiliza la siguiente fórmula:utiliza la siguiente fórmula:utiliza la siguiente fórmula:

Donde :

: ángulo agudo entre las rectas

pendiente inicial

: pendiente final


27

CAPITULO 22 Línea Recta

Ecuación generalEcuación generalEcuación generalEcuación general de una recta:de una recta:de una recta:de una recta:

Donde , y son constantes.

Ecuación puntoEcuación puntoEcuación puntoEcuación punto----pendientependientependientependiente

La ecuación de una recta que es perpendicular La ecuación de una recta que es perpendicular La ecuación de una recta que es perpendicular La ecuación de una recta que es perpendicular

al ejeal ejeal ejeal eje se define como:

Ecuación de la recta Ecuación de la recta Ecuación de la recta Ecuación de la recta en su forma pendienteen su forma pendienteen su forma pendienteen su forma pendiente----

ordenada al origen o forma ordinaria o ordenada al origen o forma ordinaria o ordenada al origen o forma ordinaria o ordenada al origen o forma ordinaria o

reducida.reducida.reducida.reducida.

Donde es la pendiente y la ordenada del

punto de intersección con el eje .

Transformando la ecuación general a una

ecuación de la forma ordinaria

Comparando con la ecuación donde

Ecuación de la recta en su forma simétrica

Donde y . Donde es la abscisa del

punto de intersección con el eje y la

ordenada del punto de intersección con el eje

.

Familia de rectasFamilia de rectasFamilia de rectasFamilia de rectas

Si se considera fijo

Si se toma fijo

Las familias de recta se clasifican en:

Rectas paralelasRectas paralelasRectas paralelasRectas paralelas

Tienen la misma pendiente y es un

parámetro.

Rectas concurrentesRectas concurrentesRectas concurrentesRectas concurrentes

Tienen la misma intersección en el

eje y es un parámetro.


28

DDDDistancia de un punto a una rectaistancia de un punto a una rectaistancia de un punto a una rectaistancia de un punto a una recta

a

Distancia dirigidaDistancia dirigidaDistancia dirigidaDistancia dirigida permite localizar un punto con

respecto a una recta y el origen.

El signo que tomará la distancia depende de la recta y ubicación del punto.

CAPITULO 23 Circunferencia

La circunferencia se define como el lugar geométrico que

describe un punto que se mueve en el plano, de tal

manera que la distancia del punto a un punto fijo

llamado centro siempre es la misma.

Observa que,

Donde es el centro, el radio de la circunferencia

y un punto cualesquiera de la circunferencia.

La La La La ecuación de una circunferenciaecuación de una circunferenciaecuación de una circunferenciaecuación de una circunferencia En forma

ordinaria :

Donde es el centro y el radio de la

circunferencia.

La ecuación de una circunferenciaLa ecuación de una circunferenciaLa ecuación de una circunferenciaLa ecuación de una circunferencia ecuación

general:

Donde .

La La La La ecuación de una circunferenciaecuación de una circunferenciaecuación de una circunferenciaecuación de una circunferencia en su forma

canónica: Si el centro de la circunferencia se

encuentra en el origen, entonces la ecuación de la

circunferencia se define como:

TRANSFORMACIÓN DE LA ECUACIÓN GENERAL A LA FORMA ORDINARIA

Comparando con la ecuación

, los valores de las coordenadas del centro y el radio se

definen como:


29

CAPITULO 25 Parábola

Ecuación de la parábola con vértice en el origen

Tiene su vértice en el origen y su foco está

sobre el ejeel ejeel ejeel eje se define con la siguiente ecuación

canónica:

Vértice:

Foco:

Directriz:

Lado recto:

Parámetro:

Eje de la parábola:

Son llamadas parábolas horizontales.

Éstas pueden ser cóncavas a la izquierda o derecha

dependiendo del valor de

Si

Si

Ecuación de la parábola con vértice en el origen

Tiene su vértice en el origen y su foco está

sobre el ejeel ejeel ejeel eje se define con la siguiente ecuación

canónica:

Vértice:

Foco:

Directriz:

Lado recto:

Parámetro:


Son llamadas parábolas verticales.

Éstas pueden ser cóncavas hacia arriba o abajo

dependiendo del valor de

Si

Si

Ecuación de la parábola con vértice en el punto (h,k)

Tiene su vértice en y su foco está

sobre el ejeel ejeel ejeel eje se define con la siguiente

ecuación canónica:

Vértice:

Foco:

Directriz:

Lado recto:

Parámetro:


Su ecuación Su ecuación Su ecuación Su ecuación general es:general es:general es:general es:

Ecuación de la parábola con vértice en el punto (h,k)

Tiene su vértice en y su foco está

sobre el ejeel ejeel ejeel eje se define con la siguiente

ecuación canónica:

Vértice:

Foco:

Directriz:

Lado recto:

Parámetro:


Su ecuación general es:Su ecuación general es:Su ecuación general es:Su ecuación general es:


CAPITULO Elipse

Horizontal

Ecuación canónica:

Vértice:

Foco:

Extremos del eje

menor:

Lado recto:

excentricidad:

Eje mayor

Eje focal

Eje menor

CAPITULO 29 Coordenadas Polares

Entonces la relación entre coordenadas polares y

rectangulares se puede ver de la siguiente manera:

Coordenada

polar

Coordenada

rectangular


CAPITULO Elipse con centro en el origen

Extremos del eje

Vertical

Ecuación canónica:

Vértice:

Foco:

Extremos del eje

menor

Lado recto:

excentricidad

Eje mayor

Eje focal

Eje menor

Coordenadas Polares

Entonces la relación entre coordenadas polares y

rectangulares se puede ver de la siguiente manera:

Coordenada

rectangular

Distancia entre dos puntos para

y para obtenerla se puede aplicar la ley de los

donde:

El áreaáreaáreaárea del triángulo


30

con centro en el origen

Vertical

Vértice:

Foco:

Extremos del eje

menor:

Lado recto:

excentricidad:

Eje mayor

Eje focal

Eje menor

para coordenadas polares

y para obtenerla se puede aplicar la ley de los cosenos, en

del triángulo es::::

formulario para algebra

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