formul
TRANSCRIPT
4
Integrales
f y g integrables en [a,b] !! b
a c f = c! b
a f , c"R ;! b
a [ f +g] =! b
a f +! b
a g .
m# f#M en [a,b] ! m(b$a)#! b
a f#M(b$a) . f # g en [a,b] !! b
a f #! b
a g .""! b
a f""#
! ba | f | . Si f es impar
! aa f = 0 . Si f es par
! a$a f = 2
! a0 f .
! ba f =
! ca f +
! bc f
#para a,b,c cualesquiera si
! aa f =0 e
! ba f =$
! ab f
$.
f continua a trozos en [a,b] ! f integrable en [a,b] ! F(x)=! x
a f continua en [a,b] .Si ademas f es continua en x"(a,b) entonces F es derivable en x y F %(x)= f (x) .
Si f es continua en [a,b] y f =g% ( g primitiva de f ) es! b
a f = g(b)$g(a)& g%b
a .
Si f continua y a,b derivables, H(x)=! b(x)
a(x) f ! H %(x)= f [b(x)]b%(x)$ f [a(x)]a%(x) .
!f (x)g%(x)dx= f (x)g(x)$
!f %(x)g(x)dx ;
! ba f (x)g%(x)dx= f (x)g(x)
%ba$
! ba f %(x)g(x)dx .
!f (g(x))g%(x)dx =
!f (u)du
""u=g(x) ;
! ba f (g(x))g%(x)dx =
! g(b)g(a) f (u)du
& P(x)Q(x) dx , P , Q polinomios. Si gr P' gr Q , P
Q = C + RQ . Si Q=(x$a)m · · ·
#x2+cx+d
$n
se descompone en fracciones simples RQ = · · ·+ A j
(x$a) j +· · ·+ Bkx+Ck
(x2+cx+d)k +· · · , 1# j#m1#k #n .
!R(ex)dx , funcion racional de ex , se convierte en racional con el cambio u = ex .
!R(senx,cosx)dx , se hace racional con:
u=cosx , si R($senx,cosx)=$R(senx,cosx) ;u=senx , si R(senx,$cosx)=$R(senx,cosx) ;u= tanx , si R($senx,$cosx)=R(senx,cosx) ;
u= tan x2
'senx= 2u
1+u2 , cosx= 1$u2
1+u2 , dx= 2du1+u2
%(siempre).
!R#x, n(
ax+b$dx se convierte en racional haciendo u = n
(ax+b ;!
R#x,(
x2+a$dx se convierte en racional haciendo u = x+
(x2+a ;!
R#x,(
a2$ x2$dx se convierte en trigonometrica haciendo x = asenu .
! !a f = lım
b)!
! ba f ,
! b$! f = lım
a)$!
! ba f ,
! ba+ f = lım
t)a+
! bt f ,
! b$a f = lım
t)b$
! ta f , si los lımites existen.
Si 0# f (x)#g(x) para x'a ,! !
a g converge !! !
a f converge, e! !
a f #! !
a g .
f ,g'0 y f (x)g(x) )x)!
c<! , entonces: Si c>0 ,! !
a g converge *! !
a f converge.Si c=0 ,
! !a g converge !
! !a f converge.
! !a | f | convergente !
! !a f convergente.
'Analogos para
! ba+ , . . .
%.
! !1
dxxs
converge si s>1diverge si s#1
! !1 eaxdx converge si a<0
diverge si a'0! b
a+dx
(x$a)sconverge si s<1diverge si s'1
Si { fn} converge uniformemente hacia f en [a,b] entonces! b
a f = lımn)!
! ba fn .
f (x)=!
"n=0
anxn !! x
a f (t)dt =!
"n=1
anxn+1
n+1 = a0x+a1x2 + · · · , para |x|<R .
Area comprendida entre las graficas de f y g en el intervalo [a,b] :! b
a | f $g| .
Area de la region acotada por ! =" , ! =# y la curva r= f (!) , f (!)'0 : 12! #
"'
f (!)%2d! .
Longitud de la grafica de f en el intervalo [a,b] : L=! b
a(
1+[ f %(x)]2 dx .
1
Preliminares
Progresion aritmetica: a1 , a2 =a1+d , . . . , an =a1+(n$1)d . Su suma: S = na1+n(n$1)
2 d = a1+an2 n .
Progresion geometrica: a1 , a2 = a1r , . . . , an = a1rn$1 . Su suma: S = a11$rn
1$r = a1$anr1$r .
Binomio deNewton: (a+b)n =an+
#n1$
an$1b+#n
2$
an$2b2+· · ·+# n
n$1$
abn$1+bn,#n
k$= n!
k!(n$k)!=n(n$1)···(n$k+1)
k!
a<b ! a+c < b+c , a$c < b$c a < b , c < d ! a+ c < b+d , a$d < b$ ca<b , c>0 ! ac < bc , a/c < b/c a < b , c < d ! ac < bd , si a,b,c,d >0a<b , c<0 ! ac > bc , a/c > b/c a/c < b/d * ad < bc , si a,b,c,d >01<a! a<a2 ; 0<a<1! a>a2 a<b * 1/a>1/b , a2 <b2,
(a <
(b , si a,b>0
|x|=(
x2 =) x , x'0$x , x#0
|x|#a * $a#x#a .|x|<a * $a<x<a .
|x+ y |# |x|+ |y| (desigualdad triangular);|x|$|y|# |x$y|# |x|+|y| ;
"" |x|$|y|""# |x$y| .
A+R esta acotado superiormente si existe k"R tal que a# k para todo a"A . s"R es elsupremo de A si es la menor de sus cotas superiores. M"A es el maximo de A si a#M , ,a"A .Todo conjunto no vacıo de numeros reales acotado superiormente posee extremo superior.
Entorno es B(a,r)={x : |x$a|<r} . a"A+R es interior a A si existe r>0 tal que B(a,r)+A .A es abierto si todos sus puntos son interiores. p es punto de acumulacion de A si en todo entornode p existen infinitos puntos de A . A es cerrado si contiene a todos sus puntos de acumulacion.
f es inyectiva en A+R si f (x)= f (x-) ! x=x-, ,x,x-"A , o sea si, x .=x- ! f (x) .= f (x-) .Si f es inyectiva en A existe la funcion inversa f$1 : f (A)) A ; y= f (x) * x= f$1(y) .f estrictamente monotona en A! f inyectiva en A . f es par
impar si f ($x)=± f (x) .
logx& lnx&! x
1dtt , x>0 . log(a ·b)=loga+logb , log a
b =loga$logb , log(ac)=c loga , a,b>0 .ex es la inversa de lnx . bx & ex logb , b>0 , ,x . b0 =1 , bx+y = bxby , b$x = 1
bx , (bx)y = bxy .xb & eb logx , x>0
'si m,n"Z , xm/n = n
(xm
%. shx = ex$e$x
2 , chx = ex+e$x
2 , thx = shxchx , ,x .
$/ 3.14,(
2/ 1.41,(
3/ 1.73,(
5/ 2.24, e/ 2.72, e2/ 7.39, e$1/ 0.37, ln2/ 0.69, ln3/ 1.10, ln5/ 1.61,6!=720, 7!=5040, 8!=40320, 9!=362880, 27 =128, 28 =256, 29 =512, 36 =729, 37 =2187, 38 =6561.
sen(k$)=cos#$
2 +k$$=tan(k$)=0 , sen
#$2 +2k$
$=cos(2k$)=1 , sen
#$ $
2 +2k$$=cos[(2k$1)$]=$1 ,
sen $6 =cos $
3 = 12 , sen $
4 =cos $4 =
(2
2 , sen $3 =cos $
6 =(
32 , tan $
6 =(
33 , tan $
4 =1 , tan $3 =
(3 .
sen2x+cos2x=1 , 1+tan2x= 1cos2x , sen(a±b)=senacosb±cosasenb , cos(a±b)=cosacosb0senasenb ,
tan(a±b)= tana± tanb10 tana tanb , sen2a= 1
2 [1$cos2a] , cos2a= 12 [1+cos2a] , senA$senB=2sen A$B
2 cos A+B2 ,
senasenb = cos(a$b)$cos(a+b)2 , cosacosb = cos(a+b)+cos(a$b)
2 , senacosb = sen(a+b)+sen(a$b)2 .
2
!/2
arctan
1–1
-!/2
!/4
!arccos
arcsen
sh
ch
th
logx
ex
1
1
Derivadas.
f , g derivables " (f±g)' = f '±g' ; (f.g)' = f ' g+fg' ; (1/g)' = –g' /g2 [g#0] .
g derivable en a y f derivable en g(a) " fog derivable en a y (fog)' = f'[g(a)].g '(a) .
f derivable en f–1(b) y f '[f–1(b)]#0 " f–1 es derivable en b y (f–1)'(b) = 1
f'[f–1(b)] .
[log|x|]'= 1
x , x#0 | [ex]'= ex , $x | [xb]'= bxb–1
, x>0 | [ bx]'= bx logb , b>0, $x
[sh x]'= ch x , [ch x]'= sh x , [th x]'= 1
ch2x = 1–th2x $x
[sen x]'= cos x = sen(x+!2
) , [cos x]'= –sen x , $x | [tanx]'= 1
cos2x = 1+tan2x , x#
!2
+k!
[arcsen x]'= 1
%& & &1–x2 , [arccos x]'= –
1
%& & &1–x2 , x'(–1,1) | [arctanx]'=
1
1+x2 , $x
Si f posee un extremo local en un x interior y f es derivable en x " f '(x)=0 .
Si f es continua en [a,b] , derivable en (a,b) y f(a)=f(b) " (c'(a,b) con f'(c)=0 .
Si f es continua en [a,b] , derivable en (a,b) " (c'(a,b) tal que f'(c) = f(b)–f(a)
b–a .
Si f es continua en [a,b] y f")0 (f"*0) en (a,b) " f es + (,) en [a,b] .
Si f es continua en a y f ' tiene límite cuando x-a " f '(a) = límx-a
f '(x) .
f es Cn(I) , I intervalo abierto, si existe f(n)(x) $x'I y f(n) es continua en I .
La gráfica de g(x)=f(x)+c es la de f(x) trasladada hacia arriba (si c>0) o abajo (c<0).La de g(x)=f(x+c) es la de f(x) trasladada hacia la izquierda (si c>0) o derecha (c<0).La de g(x)=–f(x) es la reflexión de la gráfica de f(x) respecto a y=0 .La de g(x)=f(–x) es la reflexión de la de f(x) respecto a x=0 .La de g(x)=cf(x) con c>1 (0<c<1) es la de f(x) estirada (comprimida) verticalmente.La de g(x)=f(cx) con c>1 (0<c<1) es la de f(x) comprimida (estirada) horizontalmente.La de g(x)=|f(x)| se obtiene reflejando hacia y>0 las partes de la de f(x) que están en y<0.La de g(x)=f(|x|) es la parte de la gráfica de f(x) para x)0 y más su reflejo respecto a x=0.
Todo polinomio Pn(x) de grado n posee n raíces (reales o complejas).
Una raíz de Pn es múltiple si y sólo si es raíz también de su derivada.
Una raíz entera de Pn , si existe, se encuentra entre los divisores del término independiente.
Si r es el número de raíces positivas de Pn y s el número de cambios de signoen la sucesión de sus coeficientes, s–r es un número par.
3
Series, Taylor y límites indeterminados.
.n=0
/
r n =
1
1–r si |r |<1 .
n=1
/
[bn–bn+1] = b1– límn-/
bn
.an es convergente " an-0 . |an | convergente " .an convergente
cr i t er ioin tegra l :
Sea f(x)>0 y decreciente si x)1. Entonces .n=1
/
f(n) converge 0 1/1 f(x)dx converge.
El error está acotado por 1/ k+1 f(x)dx * S–Sk * 1
/k f(x)dx .
.
criterio decomparación p o rdesigualdades:
Si 0*an*bn , entonces .bn converge " .an converge y .n=1
/
an * .n=1
/
b n
criterio decomparaciónpor límites:
an,bn)0 , límn-/
an
bn = c</ . Entonces:
Si c>0, .an converge 0 .bn convergeSi c=0, .bn converge " .an converge .
criterio deL e i b n i z :
{an})0 decreciente y límn-/
an = 0 " .(–1)n+1an = a1–a2+… converge
y el error absoluto |S–SN| < aN+1 (primer término que se omite)..
criterio delc o c i e n t e : Sea lím
n-/ | an+1|
|an | = r . Entonces: si r<1, .an converge y si r>1, .an diverge
criterio dela raíz: Sea lím
n-/ %& & &
n
|an| = r . Entonces: si r<1, .an converge y si r>1, .an diverge.
{fn} converge uniformemente hacia f en I si $2>0 (N tal que si n)N " |f(x)–fn(x)| < 2 $x'ISi las fn son continuas en un intervalo I y {fn}- f uniformemente en I " f es continua en I .
|fn(x)|*Mn $x' I y .Mn convergente " .fn converge uniformemente en I .
A cada serie de potencias está asociado un radio de convergencia R tal que:si R=0, la serie converge si x=0 ; si R'(0,/), converge para |x|<R y diverge para |x|>R ;
si R=/ converge $x . Si 0<x0<R , la serie converge uniformemente en [–x0,x0].
f(x)=.n=0
/
anxn , |x|<R " f '(x)=.n=1
/
nanxn–1 , |x|<R.
f(x)=.n=0
/
anxn si |x|<Rf , g(x)=.n=0
/
bnxn si |x|<Rg " f(x)+g(x) =.n=0
/
[an+bn]xn ,
f(x)g(x) = a0b0 + (a0b1+a1b0)x + (a0b2+a1b1+a2b0)x2 + … si |x|<min(Rf,Rg).
Si f'Cn+1([a,x]) ( ó [x,a] ) , f(x) = f(a) + f '(a)[x–a] + f"(a)
2![x–a]2 + … +
f(n)(a)n!
[x–a]n + Rn,a(x)
con Rn,a(x) = f(n+1)
(c)(n+1)!
[x–a]n+1 para algún c'(a,x) si x>a [ ó c'(x,a) si x<a ]
f(x) =.n=0
/
f(n)
(0)
n! xn 0 RN(x) -
3-/0 : ex =.
n=0
/
x n
n! , senx =.
n=0
/
(–1)nx2n+1
(2n+1)! , cosx =.
n=0
/
(–1)nx2 n
(2n)! $x'R
log(1+x) =.n=0
/
(–1)nxn+1
n+1 , arctanx =.
n=0
/
(–1)nx2n+1
2n+1 , [1+x]p =
1+px+ p(p–1)
2! x
2+ p(p–1)(p-2)
3! x
3+… si |x|<1
f'Cn+1 en un entorno de a " f(x)=Pn,a(x)+o([x–a]n) [ f(x)=o(g(x)) cuando x-a si límx-a
f(x)
g(x) = 0 ]
f(x),g(x)-x-•
0 ( ó -x-•
/ ) y existe límx-•
f'(x)
g '(x) " lím
x-• f(x)
g(x) = lím
x-• f'(x)
g '(x) ( • = a, a+, a– , / ó –/ )
límx-/
(logx)b
xa = 0 , límx-/
xb
eax = 0 , a ,b>0 límx-/
f(1/x) = límt-0+ f(t) , lím
x-0+ f(1/x) = límt-/
f(t)
2
!/2
arctan
1–1
-!/2
!/4
!arccos
arcsen
sh
ch
th
logx
ex
1
1
Derivadas.
f , g derivables " (f±g)' = f '±g' ; (f.g)' = f ' g+fg' ; (1/g)' = –g' /g2 [g#0] .
g derivable en a y f derivable en g(a) " fog derivable en a y (fog)' = f'[g(a)].g '(a) .
f derivable en f–1(b) y f '[f–1(b)]#0 " f–1 es derivable en b y (f–1)'(b) = 1
f'[f–1(b)] .
[log|x|]'= 1
x , x#0 | [ex]'= ex , $x | [xb]'= bxb–1
, x>0 | [ bx]'= bx logb , b>0, $x
[sh x]'= ch x , [ch x]'= sh x , [th x]'= 1
ch2x = 1–th2x $x
[sen x]'= cos x = sen(x+!2
) , [cos x]'= –sen x , $x | [tanx]'= 1
cos2x = 1+tan2x , x#
!2
+k!
[arcsen x]'= 1
%& & &1–x2 , [arccos x]'= –
1
%& & &1–x2 , x'(–1,1) | [arctanx]'=
1
1+x2 , $x
Si f posee un extremo local en un x interior y f es derivable en x " f '(x)=0 .
Si f es continua en [a,b] , derivable en (a,b) y f(a)=f(b) " (c'(a,b) con f'(c)=0 .
Si f es continua en [a,b] , derivable en (a,b) " (c'(a,b) tal que f'(c) = f(b)–f(a)
b–a .
Si f es continua en [a,b] y f")0 (f"*0) en (a,b) " f es + (,) en [a,b] .
Si f es continua en a y f ' tiene límite cuando x-a " f '(a) = límx-a
f '(x) .
f es Cn(I) , I intervalo abierto, si existe f(n)(x) $x'I y f(n) es continua en I .
La gráfica de g(x)=f(x)+c es la de f(x) trasladada hacia arriba (si c>0) o abajo (c<0).La de g(x)=f(x+c) es la de f(x) trasladada hacia la izquierda (si c>0) o derecha (c<0).La de g(x)=–f(x) es la reflexión de la gráfica de f(x) respecto a y=0 .La de g(x)=f(–x) es la reflexión de la de f(x) respecto a x=0 .La de g(x)=cf(x) con c>1 (0<c<1) es la de f(x) estirada (comprimida) verticalmente.La de g(x)=f(cx) con c>1 (0<c<1) es la de f(x) comprimida (estirada) horizontalmente.La de g(x)=|f(x)| se obtiene reflejando hacia y>0 las partes de la de f(x) que están en y<0.La de g(x)=f(|x|) es la parte de la gráfica de f(x) para x)0 y más su reflejo respecto a x=0.
Todo polinomio Pn(x) de grado n posee n raíces (reales o complejas).
Una raíz de Pn es múltiple si y sólo si es raíz también de su derivada.
Una raíz entera de Pn , si existe, se encuentra entre los divisores del término independiente.
Si r es el número de raíces positivas de Pn y s el número de cambios de signoen la sucesión de sus coeficientes, s–r es un número par.
3
Series, Taylor y límites indeterminados.
.n=0
/
r n =
1
1–r si |r |<1 .
n=1
/
[bn–bn+1] = b1– límn-/
bn
.an es convergente " an-0 . |an | convergente " .an convergente
cr i t er ioin tegra l :
Sea f(x)>0 y decreciente si x)1. Entonces .n=1
/
f(n) converge 0 1/1 f(x)dx converge.
El error está acotado por 1/ k+1 f(x)dx * S–Sk * 1
/k f(x)dx .
.
criterio decomparación p o rdesigualdades:
Si 0*an*bn , entonces .bn converge " .an converge y .n=1
/
an * .n=1
/
b n
criterio decomparaciónpor límites:
an,bn)0 , límn-/
an
bn = c</ . Entonces:
Si c>0, .an converge 0 .bn convergeSi c=0, .bn converge " .an converge .
criterio deL e i b n i z :
{an})0 decreciente y límn-/
an = 0 " .(–1)n+1an = a1–a2+… converge
y el error absoluto |S–SN| < aN+1 (primer término que se omite)..
criterio delc o c i e n t e : Sea lím
n-/ | an+1|
|an | = r . Entonces: si r<1, .an converge y si r>1, .an diverge
criterio dela raíz: Sea lím
n-/ %& & &
n
|an| = r . Entonces: si r<1, .an converge y si r>1, .an diverge.
{fn} converge uniformemente hacia f en I si $2>0 (N tal que si n)N " |f(x)–fn(x)| < 2 $x'ISi las fn son continuas en un intervalo I y {fn}- f uniformemente en I " f es continua en I .
|fn(x)|*Mn $x' I y .Mn convergente " .fn converge uniformemente en I .
A cada serie de potencias está asociado un radio de convergencia R tal que:si R=0, la serie converge si x=0 ; si R'(0,/), converge para |x|<R y diverge para |x|>R ;
si R=/ converge $x . Si 0<x0<R , la serie converge uniformemente en [–x0,x0].
f(x)=.n=0
/
anxn , |x|<R " f '(x)=.n=1
/
nanxn–1 , |x|<R.
f(x)=.n=0
/
anxn si |x|<Rf , g(x)=.n=0
/
bnxn si |x|<Rg " f(x)+g(x) =.n=0
/
[an+bn]xn ,
f(x)g(x) = a0b0 + (a0b1+a1b0)x + (a0b2+a1b1+a2b0)x2 + … si |x|<min(Rf,Rg).
Si f'Cn+1([a,x]) ( ó [x,a] ) , f(x) = f(a) + f '(a)[x–a] + f"(a)
2![x–a]2 + … +
f(n)(a)n!
[x–a]n + Rn,a(x)
con Rn,a(x) = f(n+1)
(c)(n+1)!
[x–a]n+1 para algún c'(a,x) si x>a [ ó c'(x,a) si x<a ]
f(x) =.n=0
/
f(n)
(0)
n! xn 0 RN(x) -
3-/0 : ex =.
n=0
/
x n
n! , senx =.
n=0
/
(–1)nx2n+1
(2n+1)! , cosx =.
n=0
/
(–1)nx2 n
(2n)! $x'R
log(1+x) =.n=0
/
(–1)nxn+1
n+1 , arctanx =.
n=0
/
(–1)nx2n+1
2n+1 , [1+x]p =
1+px+ p(p–1)
2! x
2+ p(p–1)(p-2)
3! x
3+… si |x|<1
f'Cn+1 en un entorno de a " f(x)=Pn,a(x)+o([x–a]n) [ f(x)=o(g(x)) cuando x-a si límx-a
f(x)
g(x) = 0 ]
f(x),g(x)-x-•
0 ( ó -x-•
/ ) y existe límx-•
f'(x)
g '(x) " lím
x-• f(x)
g(x) = lím
x-• f'(x)
g '(x) ( • = a, a+, a– , / ó –/ )
límx-/
(logx)b
xa = 0 , límx-/
xb
eax = 0 , a ,b>0 límx-/
f(1/x) = límt-0+ f(t) , lím
x-0+ f(1/x) = límt-/
f(t)
z=a+ib=r(cos! + i sen!)=rei! , r= |z|=(
a2+b2 , tan! = ba , |ei! |=1 ; z =a$ib , |z|2 =z · z .
Si w=c+id =sei" , z ·w = (ac$bd)+ i(ad+bc) = rsei(!+") , zw = (a+ib)(c$id)
c2+d2 = rs ei(!$") .
zn = rn ein! . n(
z = n(
r ei% = n(
r (cos% + i sen%) con % = !+2k$n , k=0, . . . ,n$1 .
2
Sucesiones, lımites y continuidad
lımn)!
an = a si para todo & >0 existe N"N tal que para todo n'N es |an$a| < & .
{an} diverge hacia +! ($! ) si ,K 1N tal que ,n'N se cumple an'K#
an#K$.
{an} convergente ! {an} acotada. {an} monotona y acotada ! {an} convergente.
Sean {cn}) 0 , {bn}) b , {pn}) p > 0 , {qn}) q < 0 , {an} acotada , {in}) ! . Entonces:{an ± in})± ! , {cn an}) 0 ,
*anin
+) 0 , {pn in})! , {qn in})$! ,
* inpn
+)! ,
* inqn
+)$! ,
*pbn
n+) pb ,
*i pnn
+) ! ,
*iqnn
+) 0 ,
*pin
n+)
*! si p>10 si 0< p<1 ,
*(1+cn)1/cn
+) e .
lımx)a
f (x)=L si ,& >0 1' >0 tal que si x cumple 0< |x$a|<' entonces | f (x)$L|<&* toda sucesion {an}+dom f${a} con {an} )n)!
a satisface { f (an)} )n)!L .
lımx)a+
f (x)=L [ lımx)a$
f (x)=L ] si ,& >0 1' >0 tal que si 0<x$a<' [ 0<a$x<' ] ! | f (x)$L|<& .
lımx)!
f (x)=L'
lımx)$!
f (x)=L%
si ,& >0 1M tal que si x>M [ x<M ]! | f (x)$L|<& .lımx)a
f (x)=! [$! ] si ,K 1' >0 tal que si 0< |x$a|<' ! f (x)>K [ f (x)<K ].
f continua en a interior al dom f si lımx)a
f (x)= f (a)*,& >0 1' >0,|x$a|<' ! | f (x)$ f (a)|<& .
f continua en [a,b] ! f toma todos los valores comprendidos entre f (a) y f (b) .f continua en [a,b] ! existen los valores maximo y mınimo de f en [a,b] .
Derivadasf , g derivables ! ( f ±g)%= f %±g% ; ( f g)%= f %g+ f g% ; (1/g)%=$g%/g2 [ g .=0 ].
g derivable en a y f derivable en g(a) ! f 2g derivable en a y ( f 2g)%= f %[g(a)]g%(a) .f derivable en f$1(b) y f %[ f$1(b)] .=0 ! f$1 derivable en b y ( f$1)%(b)=1/ f %[ f$1(b)] .
[log |x|]%=1x , x .=0 ; [ex]%=ex, ,x ; [xb]%=bxb$1, x>0 ; [bx]%=bx logb , b>0 , ,x ;
[shx]%=chx , [chx]%=shx , [thx]%= 1ch2 x
=1$th2x ,x ;
[senx]%=cosx=sen#x+$
2$
, [cosx]%=$senx , ,x ; [tanx]%= 1cos2x =1+tan2x , x .= $
2 +k$ ;[arcsenx]%= 1(
1$x2 , [arccosx]%=$ 1(1$x2 , x"($1,1) ; [arctanx]%= 1
1+x2 , ,x.
f es C1(I) , I intervalo abierto, si f es derivable ,x" I y f % es continua en I .Si f posee un extremo local en un x interior y f es derivable en x ! f %(x)=0 .f continua en [a,b], derivable en (a,b) y f (a)= f (b) ! 1c"(a,b) con f %(c)=0 .f continua en [a,b] y derivable en (a,b) ! 1c"(a,b) tal que f %(c)= f (b)$ f (a)
b$a .Si f es continua en a y f % tiene lımite cuando x) a ! f %(a)= lım
x)af %(x) .
f continua en [a,b] y f %% '0 [ f %% #0 ] en (a,b) ! f es ! [ " ] en [a,b] .
La grafica de f (x)+c es la de f trasladada c unidades hacia arriba (c>0) o abajo (c<0).La de f (x+c) es la de f trasladada c unidades a la izquierda (c>0) o derecha (c<0).La de c f (x) con c>1 ( 0<c<1 ) es la de f estirada (comprimida) verticalmente.La de f (cx) con c>1 ( 0<c<1 ) es la de f comprimida (estirada) horizontalmente.La de $ f (x) [ f ($x) ] es la reflexion de la grafica de f respecto a y=0 [ x=0 ].La de | f (x)| se obtiene reflejando hacia arriba las partes de la de f (x) bajo y=0 .La de f (|x|) es la parte de la grafica de f para x'0 mas su reflejo respecto a x=0 .
Todo polinomio Pn(x) de grado n posee n raıces (reales o complejas). Una raız de Pn esmultiple si y solo si es raız tambien de P%n . Una raız entera de Pn , si existe, se encuentraentre los divisores del termino independiente. Si r es el numero de raıces positivas de Pn y sel numero de cambios de signo en la sucesion de sus coeficientes, s$r es un numero par.
3
Series, Taylor y lımites indeterminados!
"n=0
rn = 11$r si |r|<1
!
"n=1
[bn$bn+1]= b1$ lımn)!
bn!
"n=1
1ns converge si s>1 y diverge si s#1
"an convergente ! an ) 0 . " |an| convergente ! "an convergente.
Criteriointegral:
Si f (x)'0 y decreciente si x'1 , entonces!
"n=1
f (n) converge*! !
1 f (x)dx converge.
Error acotado por! !
k+1 f (x)dx# S$Sk #! !
k f (x)dx .
Criterio de comparacionpor desigualdades: Si 0#an#bn , entonces "bn converge ! "an converge y
!
"n=1
an#!
"n=1
bn
Criterio decomparacionpor lımites:
an,bn'0 , lımn)!
anbn
=c<! . Entonces:Si c>0 , "an converge * "bn converge.Si c=0 , "bn converge ! "an converge.
Criterio deLeibniz:
an'0 decreciente y an )n)!0 !
!
"n=1
($1)n+1an = a1$a2 +a3$ · · · converge.
El error absoluto |S$SN |# aN+1 (primer termino que se omite).
Criterio delcociente: Sea lım
n)!
|an+1||an|
= r . Entonces: Si r < 1 , "an converge (absolutamente).Si r > 1 (o r = ! ) , "an diverge.
Criterio dela raız: Sea lım
n)!n(
|an|= r . Entonces: Si r < 1 , "an converge (absolutamente).Si r > 1 (o r = ! ) , "an diverge.
n(
n)1 logn 3 na, a>0 3 bn, b>1 3 n! 3 nn
{ fn}) f uniformemente en A si ,& >01N tal que n'N ! | f (x)$ fn(x)|<& , ,x"A .Si | fn(x)$ f (x)|<an ,x"A y an) 0 entonces fn(x)) f (x) uniformemente en A .fn continuas en un intervalo I y { fn}) f uniformemente en I ! f continua en I.| fn(x)|#Mn ,x"A y "Mn convergente ! " fn(x) converge uniformemente en A .
A cada serie de potencias esta asociado un radio de convergencia R tal que: si R=0 , la seriesolo converge en x = 0 ; si 0 < R < ! , la serie converge si |x|< R y diverge si |x|> R ; siR = ! , la serie converge ,x . Si 0<x0 <R , la serie converge uniformemente en [$x0,x0] .
f (x)=!
"n=0
anxn, |x|<R ! f %(x)=!
"n=1
nanxn$1, |x|<R . g(x)=!
"n=0
bnxn , |x|<R- y |x|<mın(R,R-) :
f (x)+g(x) =!
"n=0
[an+bn]xn , f (x)g(x)=a0b0+(a0b1+a1b0)x+(a0b2+a1b1+a2b0)x2+· · ·
Si f "Cn+1([a,x]) [o [x,a] ], f (x)= f (a)+ f %(a)[x$a]+ f %%(a)2! [x$a]2+· · ·+ f (n)(a)
n! [x$a]n+Rn,a(x)
con Rn,a(x) = f (n+1)(c)(n+1)! [x$a]n+1 para algun c"(a,x) si x>a [o c"(x,a) si x<a ].
ex =!
"n=0
xn
n! , senx =!
"n=0
[$1]nx2n+1
(2n+1)! , cosx =!
"n=0
[$1]nx2n
(2n)! , shx =!
"n=0
x2n+1
(2n+1)! , chx =!
"n=0
x2n
(2n)! , ,x"R
log(1+x) =!
"n=0
[$1]nxn+1
n+1 , arctanx =!
"n=0
[$1]nx2n+1
2n+1 , [1+ x ]r = 1+rx+ r(r$1)2! x2+· · · , |x|<1
f "Cn+1 en un entorno de 0 ! f (x) = Pn(x)+o#xn$ '
f (x)=o#g(x)
$, x) a , si f (x)
g(x) )x)a0
%.
Si f (x),g(x))x)•
0#o )
x)•±!
$y existe el lım
x)•f %(x)g%(x) ! lım
x)•f (x)g(x) = lım
x)•f %(x)g%(x) .
xa logx )x)0+
0 , (logx)b
xa )x)!
0 , xb
eax )x)!
0 , a,b>0 . lımx)!
f (1x )= lım
t)0+f (t) , lım
x)0+f (1
x )= lımt)!
f (t) .