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GUIA No. 1
2015-2
Asignatura: Ecuaciones Diferenciales Dependencia: Facultad de Ingenierías
Solución de una E.D 1. Compruebe que la función es una solución de la E.D
2. ¿Para qué valores de la constante la función será una solución de la ecuación
diferencial ?
3. Demuestre que ∫
es solución de .
4. Si ( ) ( ) , comprobar que ( ) ⁄ , es solución
general.
Obtener una E.D. a partir de la solución general 5. Encuentre una E.D. que tenga como solución general
6. a) ¿Cuántas constantes arbitrarias tiene
b) Encuentre una E.D. que tenga esto como solución general.
7. Encuentre una E.D. que tenga como solución general
E.D. de variables separables En los ejercicios 8 a 10. Resuelva las siguientes E.D. 8.
9.
donde
10.
11. Considere la E. D
(
)
UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA
ÁREA DE MATEMÁTICAS
a) Encuentre la solución general.
b) Encuentre la solución particular que verifica ( )
Ecuaciones homogéneas Resolver las siguientes E.D.
12. ( )
13. ( (
)) (
)
14. ( )
E.D. de coeficientes lineales Resolver las siguientes E.D. 15. ( ) ( )
16. ( ) ( )
17. Haciendo los cambios de coordenadas
,
, resuelva la ecuación
( ) ( )
E.D. exactas Resuelva
18.
19. (
) ( )
20. Encuentre la solución particular de la ecuación
[ ( ( ))
] [
( )
( ) ]
que pasa por el punto (
).
E.D. hechas exactas por un factor integrante apropiado
21. Resolver ( )
22. Demuestre que ( ) es factor integrante de la E.D.
( ) ( ) Use este factor integrante para resolver la ecuación. 23. Resolver la E.D ( ) ( ) , sabiendo que existe un
factor integrante de la forma .
E.D. lineal de primer orden.
24. Resolver la E.D. ( )
25. Resuelva
( ) ( ) , donde
( ) {
26. Con un cambio de variable adecuado transforme la E.D.
en una E.D. lineal de primer orden y luego resolverla. E.D. de Bernoulli Resolver:
27.
con ( )
28. ( )
con ( )
29.
√ (
) ⁄
con ( )
30.
( ) ( )
E.D. de Riccati:
31. Resuelva la ecuación
notando que es una solución
conocida.
32. Determine una familia uniparamétrica de soluciones de la E.D.
donde
es una solución conocida de la ecuación.
33. Para considere la ecuación
( )
( )
a) Encuentre la solución particular de la forma ( ) ( )
b) Encuentre su solución general.
34. Se lanza una partícula de masa m con velocidad y con una inclinación respecto a
la horizontal en un medio que ejerce una furza de roce viscoso igual a – . ¿Cuánto
tiempo transcurre antes de que la trayectoria vuelva a formar un ángulo con la
horizontal?
35. Una resistencia de 4 ohmios de 1 henrio se conecta en serie con un voltaje dado por
Encuentre ( )
36. Un inductor de henrios y un condensador de faradios se conectan en serie. Si
, cuando , demuestre que (
√ ) e
√ (
√ ) cuando .
37. En cada punto ( ) de una curva del plano, el ángulo formado por la tangente y la
ordenada es bisecado por la recta que une al punto con el origen. Halle la ecuación de
la curva sabiendo que pasa por el punto ( ).
38. Una partícula de masa constante es atraída al origen con una fuerza proporcional a
la distancia, siendo la constante de proporcionalidad. Determine la posición y la
velocidad de la partícula en todo instante si se suelta desde un punto que dista
metros del origen.
39. En cada punto ( ) de una curva el segmento que la tangente intercepta en el eje
es igual a . Hallar la curva.
40. La ecuación diferencial
(
) modela el crecimiento poblacional y es
conocida como la ecuación logística. En ella ( ) representa el tamaño de la población
en el tiempo y es una constante de proporcionalidad. La cantidad se llama
capacidad de soporte y representa la cantidad máxima de individuos en una población
que el ambiente es capaz de sostener.
Resuelva el problema de valor inicial
(
) ( )
y utilícela para hallar los tamaños de la población ( ) y ( ). ¿En qué momento la población llega a 900?