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APLICACIÓN DEL ALGEBRA LINEAL
OPTIMIZACION DE LAS MATERIAS PRIMAS EN LAS EMPRESAS
AUTORES:
CÓDIGOS:
E-MAILS:
DIRIGIDO A: INGENIERO HUGO MALDONADO
ASIGNATURA:ALGEBRA LINEAL
UNIVERSIDAD DE SANTANDER UDESSEDE CÚCUTA
FACULTAD DE ADMINISTRACIÓN E INGENIERÍASINGENIERÍA INDUSTRIAL
Y ADMINISTRACION FINANCIERA
14 DE NOVIEMBRE DEL 2013
ALGEBRA LINEAL
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APLICACIÓN DEL ALGEBRA LINEAL
ÍNDICE GENERAL
SINTESIS
CAPITULO I: EL PROBLEMA Pág.
1.1 Planteamiento del Problema 3 1.2 Objetivos 3 1.3 Justificación de la Investigación 3 1.4 Alcance 3 1.4.1 Limitaciones 4
CAPÍTULO II: MARCO DE REFERENCIA
2.1 Estado Actual 4 2.2 Marco Legal 4 2.3 Marco Contextual 4 2.4 Datos Generales 5 2.4.1 Reseña Histórica de SUPERTEX 5 2.4.2 Dirección 5 2.4.3 Teléfono 5 2.4.4 Nombre del Gerente de Supertex 5 2.4.5 Productos Y Servicios 5 2.5 Misión 16 2.6 Visión 16
CAPÍTULO III: CONTENIDO DEL PROYECTO
3.1 Marco Teórico 16 3.1.1 Fundamentos Teóricos en Base al Algebra Lineal Como Ciencia 16 3.2 Solución del Problema 32 3.2.1 Solución 32 3.2.3 Respuesta 36 3.3 Conclusiones 36 3.4 Referencias Bibliográficas 36
INTRODUCCIÓN
CAPÍTULO I
EL PROBLEMA
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1.1. Planteamiento del Problema
1.1.1 La fábrica de telas Supertex dos telas de calidad diferente, T1 y T2, se dispone de 500kg de hilo de calidad A, 300 kg de hilo de calidad B y 108 gramos de hilo de calidad C. Para obtener un metro de T1 diariamente se necesitan 125 gr de hilo A, 150 gr de hilo B y 72 gr de hilo C, para producir un metro de T2 por día se necesitan 200 gr de hilo A, 100 gr de hilo B y 27 gr de hilo C.T1 se vende a $40.000 y T2 se vende a $50.000 el metro, si se debe obtener el máximo beneficio, ¿Cuántos metros de T1 y T2 se deben producir consumiendo todo el material?
1.2. Objetivos:
1.2.1 Mejorar la productividad de la empresa1.2.2 Tener la máxima optimización y aprovechamiento de las materias primas
(Telas)
1.3. Justificación de la Investigación:
Dentro del campo de desempeño de los Ingenieros Industriales, de sistemas y administradores de empresas, un área muy importante es la investigación de operaciones y en especialmente la toma de decisiones, allí el profesional debe tener un conocimiento de las operaciones que se llevan a cabo en cada uno de los departamentos de la empresa, esto con el ánimo de determinar, escoger y optimizar los procesos, para economizar tiempo, materias primas, talento humano, todo lo cual redunda en reducción de costos y gastos en las empresas.
1.4 Alcance:
El proyecto de la aplicación del algebra lineal, tiene como alcance optimizar los procesos operacionales para economizar tiempo, materias primas y talento humano como lo es la automatización industrial también sistematizar toda la información de la empresa y dar una mejor organización o distribución de planta con el fin de la reducción de costos y gastos en las empresas y de esta manera alcanzar la máxima productividad.
1.4.1 Limitaciones:
Seria no tener claro los conceptos claros y las tecnologías respectivas para desarrollar el problema en la aplicación de las posibles soluciones y métodos propuestos.
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CAPÍTULO II
MARCO DE REFERENCIAEMPRESA SUPERTEX
2.1. Estado Actual:
Somos una gran empresa con más de 50 años de experiencia en el Sector Médico y con más de 10 años en el Sector Textil.Todos nuestros productos son elaborados y manipulados cumpliendo con los más altos estándares internacionales de calidad.
2.2 Marco Legal:
2.2.1 Nuestra Política de CalidadEn Supertex Medical S.A. trabajamos bajo una cultura de la calidad fundamentada en un Sistema de Gestión, con lo cual se pretende
El cumplimiento de los requisitos establecidos para el producto.
La administración efectiva de los recursos para obtener altos indicadores de calidad y ambientales.
La satisfacción de las necesidades y expectativas de los clientes.
El fomento al desarrollo del talento humano.
2.3 Marco Contextual:2.3.1 Estudios elaborados sobre la optimización de las telas o materia prima con
las aplicaciones del algebra lineal en la elaboración de prendas de vestir para las personas de la ciudad de Medellín.
2.4 Datos Generales:
2.4.1 RESEÑA HISTORICA: SUPERTEX
SUPERTEX MEDICAL S.A. es una empresa fundada en 1960. En sus comienzos la producción de vendas se convirtió en la razón de ser del negocio y unos años más tarde introdujo la gasa como un soporte fundamental en el desarrollo de una línea orientada al campo médico-quirúrgico. Durante los siguientes años sus mercados objetivos fueron las instituciones prestadoras de servicios de salud y los
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canales de distribución orientados a suministrar directamente al público insumos médico-quirúrgicos y materiales de curación.El desarrollo y diversificación de la línea, así como la diferenciación de sus productos se convirtió en estrategia fundamental para garantizar el crecimiento y el posicionamiento de su imagen.
En la década de los 90 la ampliación de los mercados y la segmentación de los mismos fueron los instrumentos claves para mejorar el desempeño y garantizar un crecimiento sostenido, lo cual a su vez, permitió la ampliación de su línea en el campo de la salud y fortaleció más su proceso de expansión.
Comenzando un nuevo siglo, su filosofía está orientada a satisfacer las necesidades de sus clientes no sólo en el ramo médico-quirúrgico y de insumos para la salud, sino además en otras líneas ligadas al campo textil. El desarrollo de los negocios está fundamentado en una visión globalizada.
2.4.2 Dirección:
Cra 45 No. 32-47 Medellín-Colombia
2.4.3 Teléfono:
Teléfono: (57) (4) 2621120 PBX: (574) 262 11 20
2.4.4 Nombre del gerente de supertex
Señor Eduardo Herrera Botta
2.4.5 Productos Y Servicios:
LINEA DE MODA
Pantalonera Texas
FICHA TÉCNICA: Tejido: Tafetán.Ancho: 150 cms.Peso: 185 g/m².
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País de origen de elaboración: Colombia
Producidas en algodón 100% y algodón con elastómero; fondo entero y con hilos preteñidos en diferentes tipos de tejidos.
Múltiples Diseños
Camisera Versalles
FICHA TÉCNICA
Tejido: Versalles. Ancho: 150 cms.Peso: 120 g/m².
País de origen de elaboración: Colombia.
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Producidas en algodón 100%, con hilos preteñidos.
Múltiples diseños
Camisera Marsella
FICHA TÉCNICA
Tejido: Marsella. Ancho: 150 cm.Peso: 120 g/m².
País de origen de elaboración: Colombia.
Producidas en algodón 100%, con hilos preteñidos.
Múltiples Diseños
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Camisera Verona
FICHA TÉCNICA
Tejido: Marsella. Ancho: 150 cm.Peso: 110 g/m².
País de origen de elaboración: Colombia.
Producidas en algodón 100%, con hilos preteñidos.
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Múltiples Diseños
Camisera Finlandia
FICHA TÉCNICA
Tejido: Finlandia. Ancho: 150 cms.Peso: 116 g/m².
País de origen de elaboración: Colombia.
Producidas en algodón 100%, con hilos preteñidos.
Múltiples Diseños
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LINEA DE PAQUETE COMPLETO
Vestuario
Desarrollamos prendas para vestuario. Ofrecemos camisas, pantalones y bermudas en tejido plano.
Múltiples Diseños
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LINEA INDUSTRIALTela 1435 Supertex
FICHA TÉCNICA
Composición: 100% Algodón.Acabado: Crudo.Ancho: 150 cms.Peso: 148 - 141 g/m².
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Usos:Forros muebles, cortinería, tapicería, plantilla de zapatos, bolsillos, accesorios de confección, entre otros.
Lienzo Superquímica
FICHA TÉCNICA
Composición: 100% Algodón.Acabado: Crudo.Ancho: 150 cms.Peso: 95 g/m².Tejido: Tafetán. Usos:Forros muebles, cortinería, tapicería, plantilla de zapatos, bolsillos, accesorios de confección, entre otros.
Lienzo Supertex
FICHA TÉCNICA Composición: 100% AlgodónAcabado: CrudoAncho: 150 cmsPeso 95 g/m² Tejido: Tafetán Usos:Forros muebles, cortinería, tapicería, plantilla de zapatos, bolsillos, accesorios de confección, entre otros.
Toldillo Supertex
FICHA TÉCNICA Acabado: Crudo sin apresto.Composición: 100% Algodón.Ancho: 150 cms.Peso: 52 g/m².
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Usos:Forros muebles, cortinería, tapicería, plantilla de zapatos, bolsillos, accesorios de confección, entre otros.
Twill Encantador
FICHA TÉCNICA
Composición: 100% Algodón.Ancho: 150 cms.Peso: 250 g/m².Acabado: Crudo.Uso: Industrial.Tejido: Diagonal. Usos:Forros muebles, cortinería, tapicería, plantilla de zapatos, bolsillos, accesorios de confección, entre otros.
LINEA DE TELA PARA COLCHON
Estampado
FICHA TÉCNICA Acabado: Apresto rígido.Composición: 100% Poliéster.Ancho: 150 cms.Peso: 103 g/m².
Múltiples Diseños
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Raya Clásica
FICHA TÉCNICA Acabado: Apresto rígido.Composición: 100% Poliéster. Ancho: 150 cms Peso: 103 g/m².
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Raya Ambassador
FICHA TÉCNICA
Acabado: Apresto rígido.Composición: 100% Poliéster. Ancho: 150 cms.Peso: 103 g/m².
2.5 Misión:
Supertex Medical S.A., tiene como misión la producción y el suministro de insumos médico-quirúrgicos.
Aprovechando sus fortalezas y su conocimiento en el campo textil, ha ampliado
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su cobertura a la fabricación de telas para vestuario, confección y línea industrial, como complemento a su estructura básica de producción.
2.6 Visión:
En los próximos 5 años Supertex Medical S.A., estará posicionada en el mercado nacional e internacional de productos médico-quirúrgicos y textiles, como una excelente opción reconocida por su calidad, precio, servicio e innovación
CAPÍTULO III
CONTENIDO DEL PROYECTO
3.1 MARCO TEORICO
3.1.1 FUNDAMENTOS TEORICOS EN BASE AL ALGEBRA LINEAL COMO CIENCIA (Conceptos Y Leyes):
ALGEBRA LINEAL Optimización: Máximos Y Mínimos
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Gráfico de un paraboloide dado por f(x, y) = -(x²+y²)+4. El máximo global en (0, 0,
4) está indicado por un punto rojo.
En matemáticas, estadísticas, ciencias empíricas, ciencia de la computación,
o ciencia de la administración, optimización matemática (o bien, optimización o
programación matemática) es la selección del mejor elemento (con respecto a
algún criterio) de un conjunto de elementos disponibles.1
En el caso más simple, un problema de optimización consiste en maximizar o
minimizar una función real eligiendo sistemáticamente valores
de entrada (tomados de un conjunto permitido) y computando el valor de la
función. La generalización de la teoría de la optimización y técnicas para otras
formulaciones comprende un área grande de las matemáticas aplicadas. De forma
general, la optimización incluye el descubrimiento de los "mejores valores" de
alguna función objetivo dado un dominio definido, incluyendo una variedad de
diferentes tipos de funciones objetivo y diferentes tipos de dominios.
El álgebra lineal es una de las ramas de las matemáticas que estudia conceptos
tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y su enfoque en
un enfoque más formal, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales.
Es un área activa que tiene conexiones con muchas áreas dentro y fuera de las
matemáticas como ser el análisis funcional, las ecuaciones diferenciales,
la investigación de operaciones, las gráficas por computadora, la ingeniería, etc.
La historia del álgebra lineal moderna se remonta a los años
de 1843 cuando William Rowan Hamilton (de quien proviene el uso del
término vector) creó los cuaterniones; y de 1844 cuando Hermann
Grassmann publicó su libro Die lineare Ausdehnungslehre (La teoría lineal de
extensión)
Contexto general:
De manera más formal, el álgebra lineal estudia conjuntos denominados espacios vectoriales, los cuales constan de un conjunto de vectores y un conjunto de escalares (que tiene estructura de campo, con una operación de suma de vectores y otra de producto entre escalares y vectores que satisfacen ciertas propiedades (por ejemplo, que la suma es conmutativa).(métodos cuantitativos).
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Estudia también transformaciones lineales, que son funciones entre espacios vectoriales que satisfacen las condiciones de linealidad:
A diferencia del ejemplo desarrollado en la sección anterior, los vectores no necesariamente son n-adas de escalares, sino que pueden ser elementos de un conjunto cualquiera (de hecho, a partir de todo conjunto puede construirse un espacio vectorial sobre un campo fijo).
Finalmente, el álgebra lineal estudia también las propiedades que aparecen cuando se impone estructura adicional sobre los espacios vectoriales, siendo una de las más frecuentes la existencia de un producto interno (una especie de producto entre dos vectores) que permite introducir nociones como longitud de vectores y ángulo entre un par de los mismos...
Espacios vectoriales de uso común:
Dentro de los espacios vectoriales de dimensión finita, son de amplio uso los tres tipos siguientes de espacios vectoriales:
Vectores en Rn [editar · editar código]
Este espacio vectorial está formado por el conjunto de vectores de n dimensión (es decir con n número de componentes). Podemos encontrar un ejemplo de ellos en los vectores R2, que son famosos por representar las coordenadas cartesianas: (2,3), (3,4),...
Matrices
Es un arreglo rectangular de números, símbolos o expresiones, cuyas dimensiones son descritas en las cantidades de filas (usualmente m) por las de columnas (n) que poseen. Los arreglos matriciales son particularmente estudiados por el álgebra lineal y son bastantes usados en las ciencias e ingeniería.
Espacio vectorial de polinomios en una misma variable
Un ejemplo espacio vectorial está dado por todos los polinomios cuyo grado es menor o igual a 2 con coeficientes reales sobre una variable x.
Ejemplos de tales polinomios son:
La suma de dos polinomios cuyo grado no excede a 2 es otro polinomio cuyo grado no excede a 2:
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El campo de escalares es naturalmente el de los números reales, y es posible multiplicar un número por un polinomio:
Donde el resultado nuevamente es un polinomio (es decir, un vector).
Un ejemplo de transformación lineal es el operador derivada D, que asigna a cada polinomio el resultado de derivarlo:
El operador derivada satisface las condiciones de linealidad, y aunque es posible demostrarlo con rigor, simplemente lo ilustramos con un ejemplo la primera condición de linealidad:
y por otro lado:
Cualquier espacio vectorial tiene una representación en coordenadas similar a , lo cual se obtiene mediante la elección de una base (álgebra) (es decir, un conjunto especial de vectores), y uno de los temas recurrentes en el álgebra lineal es la elección de bases apropiadas para que los vectores de coordenadas y las matrices que representan las transformaciones lineales tengan formas sencillas o propiedades específicas.
MATRICES (ALGEBRA LINEAL)
En matemáticas, una matriz es un arreglo bidimensional de números, y en su
mayor generalidad de elementos de un anillo. Las matrices se usan generalmente
para describir sistemas de ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones
diferenciales o representar una aplicación lineal (dada una base). Las matrices se
describen en el campo de la teoría de matrices.
Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para
representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para
representar las aplicaciones lineales; en este último caso las matrices
desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones
lineales.
Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también
las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.
Definiciones Y Notaciones:
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Una matriz es un arreglo bidimensional de números (llamados entradas de la matriz) ordenados en filas (o renglones) y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con n filas y m columnas se le denomina matriz n-por-
m (escrito ) donde . El conjunto de las matrices de
tamaño se representa como , donde es el campo al cual pertenecen las entradas. El tamaño de una matriz siempre se da con el número de filas primero y el número de columnas después. Dos matrices se dice que son iguales si tienen el mismo tamaño y los mismos elementos en las mismas posiciones.
A la entrada de una matriz que se encuentra en la fila ésima y la columna
ésima se le llama entrada o entrada -ésimo de la matriz. En estas expresiones también se consideran primero las filas y después las columnas.
Casi siempre se denotan a las matrices con letras mayúsculas mientras que se utilizan las correspondientes letras en minúsculas para denotar las entradas de las mismas. Por ejemplo, al elemento de una matriz de tamaño que se encuentra en la fila ésima y la columna ésima se le denota como , donde y . Cuando se va a representar explícitamente una entrada la cuál está indexada con un o un con dos cifras se introduce una coma entre el índice de filas y de columnas. Así por ejemplo, la entrada que está en la primera fila y la segunda columna de la matriz de tamaño se representa como mientras que la entrada que está en la fila número 23 y la columna 100 se representa como .
Además de utilizar letras mayúsculas para representar matrices, numerosos autores representan a las matrices con fuentes en negrita para distinguirlas de otros objetos matemáticos. Así es una matriz, mientras que es un escalar en esa notación. Sin embargo ésta notación generalmente se deja para libros y publicaciones, donde es posible hacer ésta distinción tipográfica con facilidad. En otras notaciones se considera que el contexto es lo suficientemente claro como para no usar negritas.
Otra notación, en si un abuso de notación, representa a la matriz por sus entradas,
i.e. o incluso .
Otra definición, muy usada en la solución de sistemas de ecuaciones lineales, es la de vectores fila y vectores columna. Un vector fila o vector renglón es cualquier matriz de tamaño mientras que un vector columna es cualquier matriz de tamaño .
A las matrices que tienen el mismo número de filas que de columnas, , se
les llama matrices cuadradas y el conjunto se denota o
alternativamente .
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Ejemplo:
Dada la matriz
es una matriz de tamaño . La entrada es 7.
La matriz
Es una matriz de tamaño : un vector fila con 9 entradas.
Operaciones básicas
Las operaciones que se pueden hacer con matrices provienen de sus aplicaciones, sobre todo de las aplicaciones en álgebra lineal. De ese modo las operaciones, o su forma muy particular de ser implementadas, no son únicas.
Suma o adición
Sean . Se define la operación de suma o adición de matrices como una operación
binaria tal
que y donde en el que la operación de suma en la última expresión es la operación binaria correspondiente pero en el campo . Por ejemplo, la entrada es igual a la suma de los elementos y lo cual es .
Veamos un ejemplo más explícito. Sea
No es necesario que las matrices sean cuadradas:
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APLICACIÓN DEL ALGEBRA LINEAL
A la luz de estos ejemplos es inmediato ver que dos matrices se pueden sumar solamente si ambas tienen el mismo tamaño. La suma de matrices en el caso de que las entradas estén en un campo será la asociatividad, la conmutatividad, existencia de elemento neutro aditivo y existencia de inverso aditivo. Esto es así ya que éstas son propiedades de los campos en los que están las entradas de la matriz. A continuación se presentan las propiedades.
Propiedades
Sean , donde es un campo entonces se cumplen las siguientes propiedades para la operación binaria
Asociatividad
Demostración. Dada la definición de la operación binaria se sigue el resultado
ya que debido a que para todo .
Conmutatividad
Demostración Dada la definición de la operación binaria se sigue el resultado ya
que debido a que para todo .
Existencia del elemento neutro aditivo
Existe tal que
Demostración Tómese tal que para cualquier (dónde este último es el elemento neutro aditivo en el campo, el cual existe
necesariamente). Entonces para cualquier se sigue
que ya que para cualquier , dado que las entradas están en un campo.
Existencia del inverso aditivo
Existe tal que
a esta matriz se le denota por .
Demostración Dada tómese tal que
. Entonces ; luego, por las propiedades de
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campo donde es el inverso aditivo de en el campo para cualquier .
En efecto, estas propiedades dependen el conjunto en el que estén las entradas, como se ha dicho antes, aunque en las aplicaciones generalmente los campos usados son (los números reales) y (los números).
Por cómo se definió la operación binaria adición se dice que ésta operación es una operación interna por lo que se cumple intrínsecamente la propiedad de
que es cerrado bajo adición. Con estas propiedades se tiene
que es un grupo abeliano.
En el caso en que el conjunto al que pertenecen las entradas de la matriz sea
un anillo , la operación de adición de matrices continúa dotando de
estructura de grupo abeliano a , ya que bajo
un anillo se tiene que es un grupo abeliano. En el caso de
que las entradas estén en un grupo , éste necesita ser un grupo abeliano para que la adición de matrices siga dotando de estructura de grupo
abeliano a .
Producto por un escalar
Sean y . Se define la operación de producto por un
escalar como una función tal
que y donde en donde el producto es la operación binaria correspondiente pero en el campo . Por ejemplo, la entrada es igual al producto .
Veamos un ejemplo más explícito. Sea y
También es inmediato observar que el producto por un escalar da como resultado una matriz del mismo tamaño que la original. También el producto por un escalar dependerá de la estructura algebraica en la que las entradas están. En el caso de que estén en un campo serán dos distributividades (una respecto de suma de matrices y otra respecto de suma en el campo), asociatividad y una propiedad concerniente al producto por el elemento neutro multiplicativo del campo. A continuación se presentan las propiedades.
Propiedades
Sean y , donde es un campo, entonces se cumplen las siguientes propiedades para la operación producto por un escalar
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APLICACIÓN DEL ALGEBRA LINEAL
Asociatividad
Demostración. Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya
que debido a que para todo .
Distributivita respecto de la suma de matrices
Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya
que debido a que para todo .
Distributivita respecto de la suma en el campo
Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya
que debido a que para todo .
Producto por el neutro multiplicativo del campo
Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya
que debido a que para todo .
Por cómo se definió la operación de producto por escalares se dice
que es cerrado bajo producto por escalares. Con éstas propiedades y
las de la adición se tiene que es un espacio con las operaciones de suma y producto por escalares definidas antes.
En el caso de que las entradas y los escalares no estén en un campo sino en un anillo entonces no necesariamente existe el neutro multiplicativo. En caso de
que exista, con lo cual el anillo es un anillo con uno, se dice que es un módulo sobre .
Ahora, a partir de las propiedades básicas se puede demostrar inmediatamente que
Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya
que para todo .
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APLICACIÓN DEL ALGEBRA LINEAL
Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya
que para todo debido a que para todo .
Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que
como en un campo no hay divisores de cero entonces para todo
implica que o para todo , i.e. . No es posible un caso en el que sólo algunas entradas de la matriz sean cero y el escalar sea no nulo ya que en esos casos estaríamos diciendo que hay divisores de cero y llegaríamos a una contradicción, ya que la suposición es que las entradas y los escalares están en un campo.
Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya
que
debido a que para todo .
Este último resultado permite usar la notación sin riesgo de ambigüedad.
Producto:
Diagrama esquemático que ilustra el producto de dos matrices y dando como
resultado la matriz .
El producto de matrices se define de una manera muy peculiar y hasta caprichosa cuando no se conoce su origen. El origen proviene del papel de las matrices como
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representaciones de aplicaciones lineales. Así el producto de matrices, como se define, proviene de la composición de aplicaciones lineales. En este contexto, el tamaño de la matriz corresponde con las dimensiones de los espacios vectoriales entre los cuales se establece la aplicación lineal. De ese modo el producto de matrices, representa la composición de aplicaciones lineales.
En efecto, en ciertas bases tenemos que se puede representar
como donde es la representación de un vector de en la base que se ha elegido para en forma de vector columna. Si tenemos dos aplicaciones
lineales y entonces y , luego la aplicación se representará
como donde es el producto de las representaciones matriciales de . Nótese que la composición no se puede dar entre cualquier aplicación sino entre aplicaciones que vayan de , en particular debe de haber una relación entre las dimensiones de los espacios vectoriales. Una vez dicho esto podemos definir el producto de la siguiente manera.
Sean y . Se define el producto de
matrices como una función tal
que y donde para toda , es
decir . Por ejemplo, la
entrada .
Veamos un ejemplo más explícito. Sean y
Dónde la matriz producto es como habíamos establecido en la definición: una
matriz .
Sin tomar en cuenta la motivación que viene desde las aplicaciones lineales, es evidente ver que si ignoramos la definición de la función de producto de matrices y sólo se toma en cuenta la definición de las entradas, el producto no estará bien definido, ya que si no tiene el mismo número de columnas que de filas entonces no podremos establecer en donde acaba la suma: si la acabamos en el mayor de éstos números habrá sumandos que no están definidos ya que una de las matrices no tendrá más entradas, mientras que si tomamos el menor habrá entradas de alguna de las matrices que no se tomen en cuenta. Así es necesario que tenga el mismo número de columnas que de filas para que exista.
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Como se puede suponer también, las propiedades de ésta operación serán más limitadas en la generalidad ya que además de las limitaciones impuestas por la naturaleza de las entradas está esta limitación respecto a tamaño. Es claro, además, que el producto de matrices no siempre es una operación interna.
Propiedades:
Sean matrices con entradas en , donde es un campo, entonces se cumplen las siguientes propiedades para el producto de matrices (considerando que los productos existan)
Asociatividad
Demostración. Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que, si
, y por lo
que
donde debido a que para todo . Aquí estamos considerando que es , es y es .
Distributivita respecto de la suma de matrices por la derecha
Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya
que debido
a que para todo . Aquí estamos considerando que es, es y es .
Distributivita respecto de la suma de matrices por la izquierda
Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya
que
debido a que para todo . Aquí estamos considerando que es, es y es .
El producto de matrices no es conmutativo, si lo fuera la composición de funciones lineales sería conmutativa y eso en general no sucede. Obviamente existen casos
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particulares de algunos tipos de matrices en los que si hay conmutatividad. En el
caso en que tengamos tendremos que el producto entre matrices
en también está en . En ese caso además de espacio vectorial es un álgebra sobre un campo. En el caso de que el conjunto al que
pertenecen las entradas sea un anillo conmutativo con uno entonces
además de módulo es un álgebra sobre un anillo. Más aún con el producto de matrices es un anillo.
Rango
Rango de una matriz
El rango de una matriz es la dimensión de la imagen de la aplicación lineal representada por , que coincide con la dimensión de los espacios vectoriales generados por las filas o columnas de .
Traspuesta
Artículo principal: Matriz traspuesta
La traspuesta de una matriz , donde no es necesariamente un
campo, es una matriz tal que . Por ejemplo la entrada.
Veamos un ejemplo más explícito. Sea
Entonces su traspuesta es
Así, informalmente podríamos decir que la traspuesta es aquella matriz que se obtiene de la original cambiando filas por columnas. Las notaciones usuales para
denotar la traspuesta de una matriz son .
La trasposición de matrices tiene las siguientes propiedades (donde ahora si el conjunto de entradas debe ser al menos un anillo conmutativo):
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APLICACIÓN DEL ALGEBRA LINEAL
Si representa una aplicación lineal, entonces la matriz describe la traspuesta de la aplicación lineal.
Matrices cuadradas y definiciones relacionadas
Una matriz cuadrada es una matriz que tiene el mismo número de filas que de columnas. El conjunto de todas las matrices cuadradas n-por-n junto a la suma y la multiplicación de matrices, es un anillo que generalmente no es conmutativo.
M(n, R), el anillo de las matrices cuadradas reales, es un álgebra asociativa real unitaria. M(n, C), el anillo de las matrices cuadradas complejas, es un álgebra asociativa compleja.
La matriz identidad In de orden n es la matriz n por n en la cual todos los elementos de la diagonal principal son iguales a 1 y todos los demás elementos son iguales a 0. La matriz identidad se denomina así porque satisface las ecuaciones MIn = M y InN = N para cualquier matriz M m por n y N n por k. Por ejemplo, si n = 3:
La matriz identidad es el elemento unitario en el anillo de matrices cuadradas.
Los elementos invertibles de este anillo se llaman matrices invertibles, regulares o no singulares. Una matriz A n por n es invertible si y sólo si existe una matriz B tal que
AB = In = BA.
En este caso, B es la matriz inversa de A, identificada por A-1. El conjunto de todas las matrices invertibles n por n forma un grupo (concretamente un grupo de Lie) bajo la multiplicación de matrices, el grupo.
Si λ es un número y v es un vector no nulo tal que Av = λv, entonces se dice que v es un vector propio de A y que λ es su valor propio asociado. El número λ es un valor propio de A si y sólo si A−λIn no es invertible, lo que sucede si y sólo si pA(λ) = 0, donde pA(x) es el polinomio característico de A. pA(x) es un polinomio de grado n y por lo tanto, tiene n raíces complejas múltiples raíces si se cuentan de acuerdo a su multiplicidad. Cada matriz cuadrada tiene como mucho n valores propios complejos.
3.5 Sistema de ecuaciones lineales
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En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también
conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un
conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde
cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo
conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:
El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las
variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.
El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de
la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital
de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente
en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales
de análisis numérico.
En general, un sistema con m ecuaciones lineales y n incógnitas puede ser escrito en forma normal como:
Donde son las incógnitas y los números son los coeficientes
del sistema sobre el cuerpo . Es posible reescribir el sistema separando con coeficientes con notación matricial:
(1)
ALGEBRA LINEAL
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APLICACIÓN DEL ALGEBRA LINEAL
Si representamos cada matriz con una única letra obtenemos:
Donde A es una matriz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector columna de longitud m. El sistema de eliminación de Gauss-Jordán se aplica a este tipo de sistemas, sea cual sea el cuerpo del que provengan los coeficientes. La matriz A se llama matriz de coeficientes de este sistema lineal. A b se le llama vector de términos independientes del sistema y a x se le llama vector de incógnitas.
Sistemas lineales reales
En esta sección se analizan las propiedades de los sistemas de ecuaciones lineales sobre el cuerpo , es decir, los sistemas lineales en los cuales los coeficientes de las ecuaciones son números.
3.2 SOLUCION DEL PROBLEMA:
3.2.1 SOLUCION:
3.2.2 El problema consiste en producir una cantidad tal de T1 y T2 de manera que la ganancia que se obtenga sea máxima.
Sea x la cantidad de tela T1 a producir.
Sea y la cantidad de tela T2 a producir.
Debemos maximizar zMáx.= 40000x + 50000y (1)
Restricciones 0,125 x + 0,2 y ≤ 500 (2)
0,15 x + 0,1 y ≤ 300 (3)
0,072x + 0,027 y ≤108 (4)
ALGEBRA LINEAL
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APLICACIÓN DEL ALGEBRA LINEAL
Reemplacemos el signo ≤, por iguales y hallemos los puntos de corte de cada una de estas ecuaciones lineales.
Para (2), tenemos que 0,125x+0,2y= 500
Si x= 0 entonces y= 500/0,2= 2500
Si y=0 entonces x=500/0,125 =4000
Para (3), tenemos que 0,15x+0,1y= 300
Si x=0 entonces y= 300/0,1=3000
Si y=0 entonces x= 300/0,15=2000
Para (4), tenemos que 0,072x + 0,027y = 108
Si x=0 entonces y= 108/0,027=4000
Si y=0 entonces x= 108/0,072=1500
ALGEBRA LINEAL
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APLICACIÓN DEL ALGEBRA LINEAL
El polígono ABCDE de la figura nos delimita la zona de las posibles soluciones, los valores extremos de la solución viene dado por las coordenadas de los puntos A, B, C, D, E.
Hallemos las coordenadas de C:
ALGEBRA LINEAL
T2
T1
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APLICACIÓN DEL ALGEBRA LINEAL
0,15x+0,1y= 300 (3)
0,072x + 0,027y = 108 (4)
De (2) y= (300-0,15x)/0,1
De (3) y= (108-0,072x)/0,027
Igualando y tenemos que:
(300-0,15x)/0,1= (108-0,072x)/0,027
0,027(300-0,15x) = 0,1 (108-0,072x)
8,1 -0,00405x= 10,8 – 0,0072x
-0,00405x+ 0,0072x = 10.8 – 8,1
0,00315x = 2,7
X= 2,7/0,003125=864
Hallemos y= (300-0,15*864)/0,1 = 1704
Ahora resolvamos el sistema para encontrar las coordenadas de D:
0,15x+0,1y= 300 (3)
0,125x+0,2y= 500(4)
Resolvemos el sistema:
De (2) y= (300-0,15x)/0,1
De (1) y= (500-0,125x)/0,2
Igualando (300-0,15x)/0,1= (500-0,125x)/0,2
(0,2) (300-0,15x) = (0,1) (500-0,125x)
60 – 0,03x = 50 – 0,0125x
60 -50 = -0,0125x + 0,03
10 = 0,0175 x
ALGEBRA LINEAL
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APLICACIÓN DEL ALGEBRA LINEAL
X = 10/0,0175 = 571,428
Luego y = (300- 0,14*571,428)/ 0,1 = 2142,858
Los puntos de B (1500; 0), C (864; 1704), D (571,428; 2142,858) y E (0,2500) nos muestran las cantidades de T1 y T2 que pueden producirse consumiendo todo del material.
El punto A (0,0), debemos descartarlo puesto que no nos da ninguna producción.
Reemplazando las coordenadas x e y de los puntos B, C, D, E en la función objetivo tenemos que:
Zmáx.B = 40000(1500) + 50000(0) = $60.000.000
Zmáx. C= 40000(864) + 50000(1704) = $119.760.000
Zmáx. D= 40000(571,428) + 50000(2142,858) = $130.000.020
Zmáx. E= 40000(0) + 50000(2500) = $125.0000.000
3.2.3 RESPUESTA:
Nos damos cuenta el valor máximo de la función objetivo se da en el punto D (571,428;2142,858), lo que nos dice que para que la ganancia sea máxima debemos producir 571,428 metros de tela T1 y 2142,858 metro de tela T2 se recaudaran $130.000.020.
3.3 Conclusiones:
ALGEBRA LINEAL
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APLICACIÓN DEL ALGEBRA LINEAL
El trabajo con los contenidos de la asignatura Álgebra Lineal por parte del profesor tiene altísimas posibilidades para que nosotros los alumnos adquiramos formas de pensar que aunque propias de la Matemática (Álgebra) puede usarse en la vida privada y profesional; dado que ante un problema práctico vinculado con su especialidad y donde su solución sea usando los conocimientos del Álgebra Lineal le exige desarrollar nuestras capacidades mentales generales, es decir, adquirir un método de razonamiento que puede transpolar a otras situaciones futuras en nuestra vida.
Con esta manera de trabajar en la asignatura, nosotros como estudiantes nos probamos con situaciones que tiene que usar formas de trabajo ya conocidas de la matemática (Álgebra), lo que induce en la necesidad de buscar relaciones para arribar a conocimientos nuevos y seamos nosotros mismos los "descubridores del conocimiento buscado".
La contribución de la asignatura Álgebra Lineal al desarrollo de nosotros los alumnos no se radica esencialmente en los contenidos de la asignatura, sino en las posibilidades que estos conocimientos nos brindan para el desarrollo de nuestras actividades mentales.
Los profesores no tienen que demostrar solamente que tienen un buen dominio de los conocimientos de la asignatura, sino que saben extraerle a estos las potencialidades para trabajar y desarrollar en el alumno métodos de razonamientos válidos para la vida y ahí está el aporte de esta asignatura a la formación de la vida para nosotros los estudiantes y futuros profesionales.
3.4 Referencias Bibliograficas:
3.4.1 Teoría y Problemas de Matrices. Ayres, Frank, JR. Serie de compendios Schaum.
3.4.2 Algebra de Matrices. Franz E. Hohn. Editorial Trillas.
3.4.3 Introducción al Álgebra Lineal. Larson – Edwards. México. Editorial Limusa. 1994
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