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FUNDAMENTOS DE MECANICA

DE ROCAS Y MACIZOS

AUTOR: DR. Prof. IVAN M. PAIN

TRADUCCION:

DR. HUMBERTO SOSA GONZALEZ

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QUITO - 1994

I N T R O D U C C I O N La mecnica de rocas y masivos constituye parte de la geomecnica, ciencia que estudia la gravitacin, la sismicidad y otros fenmenos naturales, as como tambin los diferentes procesos mecnicos que aparecen en la corteza terrestre como resultado de la actividad industrial del hombre. La tarea ingenieril principal de la mecnica de rocas y masivos constituye la fundamentacin cientfica y la elaboracin de los mtodos de control de los procesos mecnicos en los macizos rocosos para permitir la seguridad en los trabajos mineros y alcanzar una alta efectividad y confiabilidad en los procesos tecnolgicos. La mecnica de rocas y macizos incluye dentro de s una serie de ramas cientficas, de las cuales las principales son: - Propiedades fsico-mecnicas de las rocas y los macizos. - Procesos mecnicos en las rocas y macizos durante el

cumplimiento de los trabajos mineros a cielo abierto y subterrneos.

- Mecnica del trozamiento de las rocas. - Procesos dinmicos y fenmenos en los macizos

rocosos. En el presente curso se estudia, bsicamente las dos primeras ramas. La dinmica de los procesos en los macizos rocosos y la mecnica de su trozamiento se estudia en el curso "trozamiento de las rocas". La resolucin de los problemas de mecnica de rocas y macizos se realiza tanto por mtodos analticos como por mtodos experimentales. En calidad de mtodos analticos, en forma ms amplia, se emplean los mtodos de la mecnica del medio continuo: mecnica de los cuerpos duros deformables, de los cuerpos viscosos y lquidos; se tiene experiencia en el empleo de los mtodos de mecnica del medio corpuscular. Las investigaciones experimentales se realizan tanto en los laboratorios (con amplio empleo de la

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modelacin), como en condiciones naturales (en la industria). La mecnica de rocas y macizos es una ciencia joven. El primer texto dentro de esta rama del conocimiento fue escrita por el profesor P. M. Tsimbarievichen en 1934. En la actualidad la mecnica de rocas y macizos ha recibido un amplio reconocimiento. El estudio de sta es indispensable en la preparacin de ingenieros de minas en todos los pases del mundo. Los xitos en la elaboracin metodolgica y el empleo prctico de las computadoras en la ciencia y tcnica abre ante la mecnica de rocas y macizos grandes perspectivas. CLASIFICACION DE LAS ROCAS Y MACIZOS Del sinnmero de clasificaciones, solamente veremos algunas que tienen una ms cercana relacin con el presente curso. Por el carcter de la ligazn entre las partculas minerales, las rocas se dividen en cohesionadas y granulares. Las rocas cohesionadas a su vez se dividen en duras con cohesin rgida (cristalinas) y suaves con cohesin plstica (arcillas). Las rocas granulares se dividen en sueltas (por ejemplo la arena en estado seco) y fluyentes (rocas de granulacin fina saturadas de agua). Por el fracturamiento los macizos rocosos se dividen en: - No fracturados (macizos) - Poco fracturados; con un sistema de fracturamiento y distancia entre fracturas de mas de 1 m. - Medianamente fracturados: con dos sistemas de fracturas cuyos planos se cortan entre s y con distancia entre fracturas de ms de 1 m.

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Muy fracturados: con algunos sistemas de fracturamiento cuyos planos se cortan entre s y con una distancia media entre fracturas de 0.5 m. Altamente fracturados: con algunos sistemas de fracturamiento que se cortan entre s y distancia media entre fracturas de menos de 0.2 m. Los macizos rocosos por su laminacin (foliacin estratigrfica) se dividen en: - De laminacin muy fina, cuando la potencia de las capas es de menos de 0.2 m. - De laminacin fina, con potencia de las capas entre 0.20 - 1.0 m. - De laminacin media, con potencia de las capas de 1 - 3 m. - De laminacin gruesa, con potencia de las capas de 3 - 10 m. - De laminacin muy gruesa, con potencia de las capas de ms de 10 m. Por la estabilidad de los denudamientos los macizos rocosos se dividen en: - Inestables: producen desprendimientos a continuacin del avance de la frente. - Dbilmente estables: en el sector junto a la frente con ancho de 1 m, es estable durante 2 - 3 horas. - De estabilidad media: en el sector junto a la frente con ancho de 2 m es estable hasta 1 da. - Estables: en el sector junto a la frente con ancho de 2 m, es estable hasta 2 das. - Altamente estables: en el sector junto a la frente con ancho de hasta 5 - 6 m, existe estabilidad por largo tiempo.

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PRINCIPALES PROPIEDADES FISICO-MECANICAS DE LAS ROCAS Rocas Cohesionadas 1. Elasticidad Generalidades Por elasticidad de un cuerpo se comprende la capacidad de este de variar de forma y dimensiones bajo la accin de una fuerza y de volver a su estado anterior despus de que la fuerza deja de actuar. Un cuerpo elstico se somete a la ley de Hook: la deformacin es proporcional a la accin de la fuerza. Bajo traccin simple (uniaxial) o compresin simple (Fig. 1) la expresin para la ley de Hook tiene la siguiente forma: Pl l = ---- ES Donde: P - Accin de la fuerza l - Longitud de la base de medicin de la muestra antes de que actue la fuerza. E - Coeficiente de proporcionalidad (mdulo de elasticidad de I orden) S - Superficie de la seccin transversal de la probeta de roca, antes de que actue la fuerza

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Fig. 1. Compresin elstica

De acuerdo con la Fig. 1

l = l - l - deformacin longitudinal absoluta de la 1 probeta. d = d - d - deformacin transversal absoluta de la 1 probeta. La relacin 1 = l/l , se denomina deformacin longitudinal relativa de la probeta. La relacin 2 = l/d , se denomina deformacin transversal relativa de la probeta. La relacin = 2/ 1, se denomina coeficiente de deformacin transversal de la probeta o tambin coeficiente de Poisson. La frmula ms arriba expresada, tambin se la puede escribir de la siguiente forma: l P 1 ----- = --- . --- o = ---- l S E E de donde = .E Donde: = P/S, esfuerzo normal

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La dependencia grfica entre y , lleva el nombre de diagrama "esfuerzo deformacin" (Fig. 2-5). Por la forma del diagrama "esfuerzo-deformacin" los cuerpos se dividen en cuerpos absolutamente elsticos, totalmente elsticos, elsticos e inelsticos o no elsticos. Para los cuerpos absolutamente elsticos (Fig. 2). E = ---- = tg = const Para el cuerpo totalmente elstico (Fig. 3) d E = ----; Emd = ---- = tgmd d

Fig. 2. Cuerpo absolutamente Fig. 3. Cuerpo totalmente elstico. elstico.

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Fig. 4. Cuerpo elstico Fig. 5. Cuerpo inelstico:

" - deformacinn residual `- " - secuela elstica. Para el cuerpo elstico (Fig. 4) los mdulos de elasticidad bajo carga Ec y descarg a Ed son diferentes. El trabajo de la carga Ac es mayor que el trabajo bajo descarga Ad, en la magnitud de diseminacin de la energa L. Ac = Ad + L El trabajo de deformacin elstica es reversible para los cuerpos absolutamente elsticos y cuerpos totalmente elsticos. Ac = Ad Para los cuerpos elsticos (Fig. 4) e inelsticos (Fig. 5) el trabajo de deformacin es irreversible Ac > Ad. Las propiedades fsico-mecnicas de las rocas varan con la variacin de la magnitud del esfuerzo. Bajo esfuerzos pequeos la mayora de los cuerpos expresan sus propieades elsticas.

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Fig. 6 Cizallamiento elstico

Bajo cizallamiento elstico (Fig. 6) la expresin de la ley de Hook tiene la siguiente forma: T = ----- = ----- SG G Donde: T - Fuerza de cizallamiento S - Superficie de la seccin transversal de la probeta G - Coeficiente de proporcionalidad (mdulo de elasticidad de II orden) T = --- - Esfuerzo tangencial S de donde = G Entre las magnitudes E y G se tiene la siguiente relacin: E G = ------------ < E 2 (1 + ) Mtodos para la determinacin de las propiedades elsticas de las rocas Los mtodos para la determinacin de las propiedades elsticas de las rocas se dividen en estticos y dinmicos.

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Los mtodos estticos se fundamentan en la medicin de las deformaciones elsticas de las muestras de roca bajo carga. Para medir las deformaciones longitudinales y transversales se emplean tensmetros de alambres micromtricos (detectores) o indicadores de tipo reloj. Los ensayos se efectan sobre probetas cilndricas con dimetro de 40 - 43 mm y relacin altura - dimetro, generalmente no menor a 2. Los extremos de las probetas se pulen. Las cargas se efectan con prensa. Los tensmetros se colocan en las partes medias de las probetas en altura y en no menos de dos lados para el control de las mediciones. Al inicio la probeta se carga paulatinamente hasta un esfuerzo , que corresponde a cerca del 10% de la resistencia temporal a la compresin (= 0,1 cop) y se anotan las mediciones de todos los tensmetros. Cuando las diferencias en las mediciones anotadas no es mayor al 15 - 20%, la probeta puede considerarse aceptable para la continuacin del ensayo. Posteriormente se efecta un doble cargado y descargado de la probeta (al inicio hasta = 0,3 cop y despus hasta "' = 0,6 cop) y al final la probeta se carga hasta su destruccin. Durante el proceso de cargado y descargado de la probeta, en forma continua se lleva a cabo las anotaciones de las deformaciones con ayuda de aparatura automtica de anotaciones o en su defecto se anotan las deformaciones cada determinado escaln de carga y descarga. El mdulo longitudinal de elasticidad E y el coeficiente de deformacin transversal se calcula con las frmulas: 4 K P E = --------- d2 1 2 = ---- 1 Donde: K - Coeficiente de tara de los tensmetros.

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P - Carga sobre la probeta. d - Dimetro de la probeta. 1 - 2 - Deformacin relativa longitudinal y transversal de la probeta. Las deformaciones elsticas se miden, solamente en rgimen de carga de la probeta, para excluir las deformaciones plsticas. Cuando se realizan los clculos por deformaciones, en rgimen de carga, se determina el mdulo de deformacin de la roca el cual siempre es menor que el mdulo de elasticidad. En el mtodo dinmico de impulsos la base del mismo se halla en el hecho de hacer pasar a travs de la probeta impulsos repetidos de oscilaciones ultrasnicas y por cuyos valores de velocidad de difusin se calcula las caractersticas elsticas de la probeta de roca. La determinacin de las propiedades elsticas se realiza mediante golpeteo directo o perfilaje longitudinal de la probeta. Para el golpeteo en un extremo (o superficie lateral) de la probeta se coloca el gefono receptor (cristales de curzo, cermicos, titanato de bario, transformadores magnticos y otros). La velocidad de las ondas elsticas se calcula por la frmula: l V = -------- t - ti Donde: l - Longitud de la probeta. t - Tiempo para el paso de las ondas longitudinales a travs de la probeta. ti - Tiempo de retencin del instrumento. Mediante golpeteo directo se puede determinar: la velocidad de las ondas longitudinales en un medio ilimitado VPM La velocidad de las ondas en barra Vpc La velocidad de las ondas transversales Vs (gefono irradiador de oscilaciones cortantes)

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La velocidad de las ondas superficiales Vr (los gefonos de irradiacin y de recepcin se colocan en las superficies laterales de la probeta). Las caractersticas elsticas se calculan por las frmulas siguientes: Para el mdulo de elasticidad 1 (1 + ) (1 - 2) E = --- V2PM g (1 - )

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Donde: g - Aceleracin de la fuerza de gravedad. - Densidad de la probeta de roca. - Coeficiente de deformacin transversal (se toma de acuerdo a la Fig. 7) Para el mdulo de cizallamiento E G = ---------- 2 (1 + ) Para el mdulo de deformacin volumtrica (compresin multilateral) E K = ----------- 3 (1 - 2) El mdulo dinmico de elasticidad E, generalmente es algunas veces mayor que el esttico. Esta diferencia esta condicionada por la falta de elasticidad ideal de las rocas, especialmente de las rocas de baja densidad.

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Fig. 7 Diagrama de valores de en dependencia de la relacin VR/VPM

La relacin entre las velocidades longitudiales Vp, transversales Vs y superficiales VR de las ondas se caracterizan por la desigualdad. Vp > Vs > VR Bajo esta premisa E (1 - ) VPM = --- . ---------------- (1+ ) (1-2) E Vpc = --- G E 1 Vs = --- = --- . ---------- 2 (1 + ) VR = Kv Vs Donde: Kv - Coeficiente adimensional (cuando = 0,25, Kv = 0,9194; para = 0,5, Kv = 0,9553).

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2. Plasticidad y fragilidad Un mtodo nico para la valoracin de las propiedades plsticas y frgiles de las rocas no existe. Por ejemplo el Buro Internacional de Mecnica de Rocas toma como ndice bsico de las propiedades plsticas el lmite normativo de corrimiento plstico. Las probetas para los ensayos a la compresin simple tienen la relacin l/d = 2. La carga sobre la probeta se efecta por ciclos "carga-descarga" (Fig. 8). Como lmite normativo del corrimiento plstico Kc se toma el esfuerzo c, bajo el cual despus de la compresin por carga la deformacin residual res es igual a la deformaci elstica y. Kc =c res = y L. A. Shpeiner propuso para la determinacin del ndice de plasticidad la metdica de aplastamiento con un punsador plano sobre la probeta de roca. El coeficiente de plasticidad por este mtodo es igual a la relacin de la magnitud de todo el trabajo gastado en el aplastamiento del punsador hasta la destruccin de la roca que se encuentra debajo, para la magnitud del trabajo de la deformacin elstica (ver Fig. 9).

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Fig. 8 Esquema para la deter- Fig. 9 Valoracin de la minacin del lmite normativo fragilidad y plasticidad de corrimiento plstico. de las rocas por el grfico de deformacin. o a b c d o Kp = -------------- > 1 o k h o para las rocas frgiles Kp = 1 L. I. Baron determina el coeficiennte de fragilidad como la relacin de la magnitud de trabajo en el campo puro de la elasticidad para el trabajo total en la destruccin de la probeta cilndrica bajo compresin uniaxial (ver Fig. 9). o a f . a K = ----------- < 1 F o a c d o 3. Diagrama total "esfuerzo-deformacin" de una roca verdadera En la Fig. 10a se muestra la curva completa de la relacin "fuerza-deformacin absoluta" de una probeta de roca verdadera HP = F (s) bajo cargado de la probeta por una sola vez hasta su destruccin. El punto A corresponde al lmite de resistencia de la roca bajo compresin simple. La curva OAB se denomina caracterstica de resistencia total de la roca, la parte AB se denomina caracterstica de sobre resistencia lmite (resistencia despus del lmite). Hasta la magnitud de deformacin S ? SA la resistencia de la roca crece, cuando S > SA la resistencia de la roca con el incremento de la deformacin disminuye. La superficie rayada OABO correspondiente a la caracterstica de resistencia constituye el trabajo gastado en la deformacin y destruccin de la probeta de roca. En la figura 10b, se muestra el grfico de la derivada F'(s), m es el valor mnimo de F'(s), que corresponde a la inclinacin mxima de la curva F (s) en la zona despus del lmite. Como ser demostrado posteriormente, la curva

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total "fuerza- deformacin" puede ser obtenida exclusivamente en mquinas "rgidas" de experimentacin.

Fig. 10 Diagrama total "esfuerzo-deformacin" de una probeta de roca verdadera:a- grfico de P = F (s); b- grfico de la derivada = F'(s). En la Fig. 11a, se muestra en forma esquemtica el trabajo conjunto de la mquina para ensayos y la probeta de roca bajo compresin uniaxial. Colocando la carga P, sta deforma elasticamente la mquina (simbolicamente se muestra en forma de resorte con rigidez K) y la probeta de roca. Bajo la carga P los puntos 01 y 02 se desplazan hacia abajo correspondientemente en las magnitudes Y y S.

Fig. 11 Trabajo conjunto de la probeta de roca y la mquina de ensayo:a - esquema de la instalacin; b - dependencia P = F (s)

Es evidente P = K (Y - S)

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El grfico de esta dependencia para la mquina de ensayo se muestra en la Fig. 11b. La inclinacin de la recta con respecto a la horizontal es: dP tg = ------ = - K dS La superficie rayada bajo la recta corresponde a la energa acumulada en la deformacin elstica en la mquina de ensayo. En las Figs. 12 y 13 se muestra las caractersticas conjuntas de la probeta de roca y la mquina de ensayos.

Fig. 12 Cargado de la probeta en mquina "suave" de ensayos: a - grfico de la dependencia P = F (s); b - grfico de la derivada = F'(s). En la Fig. 12a, el ngulo de inclinacin de la caracterstica de la mquina de ensayo con respecto a la horizontal es menor que el ngulo mximo de inclinacin de la caracterstica de resistencia de la probeta de roca en la zona despus del lmite (Fig. 12b) K < m. En el punto C estas caractersticas se topan. Cuando la deformacin S > So (parte derecha al punto C) la superficie bajo la

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caracterstica de la mquina de ensayo es mayor que la superficie bajo la caracterstica de la probeta. Esto significa que la energa acumulada en la deformacin elstica de la mquina de ensayo es mayor que el trabajo que se necesita para destruccin de la probeta. Este tipo de mquina se llama "suave". En el punto C se producir la destruccin instantnea de la probeta y el exceso de energa de la mquina ocasionar el lanzamiento de los pedazos destrozados de la probeta con gran velocidad.

Fig. 13 Cargado de la probeta en mquina "rgida" de ensayos:a - grfico de la dependencia P = F (s); b - grfico de la derivada = F' (s). En la Fig. 13a, el ngulo de inclinacin de la caracterstica de la mquina de ensayo es mayor que el ngulo mximo de inclinacin de la caracterstica de resistencia de la probeta de roca en la zona despus del lmite. De la Fig. 13b, se observa que K > m. La caracterstica de la mquina de ensayo corta a la caracterstica de resistencia de la probeta de roca. Esto significa que la energa acumulada en la mquina de ensayo durante la deformacin elstica es insuficiente para la destruccin de la probeta de roca. Este tipo de mquina se llama "rgida". El incremento de la deformacin de la probeta llevar a esta a una destruccin pasiva. el

detenimiento de la mquina de ensayos impide la destruccin ulterior de la probeta de roca.

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Fig. 14 Diagrama "esfuerzo-deformacin relativa" de la probeta de roca bajo cargado cclico. En la Fig. 14, se muestra el diagrama total "esfuerzo-deformacin relativa" de la probeta de roca bajo carga y descarga cclica en mquina "rgida" de ensayo. Aqu OAB constituye el campo elstico; BC - el campo plstico; CD - el campo de trozamiento frgil; c - es el lmite de resistencia a la compresin; KL - consolidacin; MN - prdida de la resistencia; ' - deformacin residual en el campo de la plasticidad; " - deformacin residual en el campo de la destruccin frgil; P-P' y Q-Q' - consecuencias elsticas. 4. Esponjamiento y contraccin Por esponjamiento se comprende el aumento de volumen de la roca cuando ella pasa de un estado compacto (en el macizo) a un estado suelto (bajo trozamiento). La valoracin cuantitativa del esponjamiento de la roca se efecta por el coeficiente de esponjamiento. Vs Ke = ------- > 1 V Donde: V - Volumen de roca trozada. V - Volumen antes del trozamiento (en el macizo). El coeficiente de esponjamiento depende de muchos factores: regularidad del trozamiento, forma de los pedazos, humedad, tiempo y otros. Cuando la roca tiene que cargarse a

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recipientes, el coeficiente de esponjamiento depende, tambin de la forma del recipiente y de la correlacin entre las dimensiones del recipiente y los pedazos de roca. Las rocas esponjadas con el tiempo se compactan, lo cual lleva a la disminucin de su volumen (contraccin). La contraccin mas intensiva de la roca tiene lugar bajo compactacin artificial. La cantidad de contraccin de la roca se caracteriza por el coeficiente de contraccin. Ve - Ve' Kc = --------- Ve Donde: Ve - Volumen de roca esponjada fresca. Ve' - Volumen de roca despus del encojimiento. Para las rocas peascosas Ke' > Kc. Para las rocas sedimentarias con alta porosidad inicial (antes del esponjamiento) como en los loess, capa de tierra vegetal, material limo - arenoso puede ocurrir que Ke < Kc . 5. Rozamiento Rozamiento - es una fuerza superficial que aparece en la resistencia al desplazamiento de la roca sobre otro material o sobre la roca misma. La fuerza de rozamiento siempre esta dirigida en sentido contrario al movimiento. Casos fundamentales de rozamiento I Rozamiento externo (por las superficies existentes): A. Bajo movimiento uniforme: a) Por una superficie: - La roca con otro material. - La roca con roca. b) Por varias superficies: - La roca con otro material. - La roca con roca. B. Bajo movimiento circular:

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1) La roca con otro material. 2) La roca con roca. II Rozamiento interno (por superficies que se forman Durante el trozamiento): a) Corte directo; b) Corte por compresin

Fig. 15 Rozamiento exterior por una superficie: a - roca con otro material; b - roca sobre roca.

El rozamiento externo de la roca sobre otro material tiene lugar, cuando se saca el mineral a travs de enrejado (Fig. 15a), bajo corte (Fig. 16a) y en el proceso de perforacin diamantina de la roca (Fig. 17a).

Fig. 16 Rozamiento exterior por varias superficies: a - roca sobre otro material; b - roca sobre roca.

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El rozamiento exterior de roca sobre roca tiene lugar cuando se arrastra el mineral con rastrillos por el piso de la galera (Fig. 15b), en el saque del mineral quebrado (Fig. 16b) y en el automolido del mineral en los molinos (Fig. 17b). El rozamiento interno en corte directo (Fig. 18a) en minera, se observa rara vez. Generalmente el rozamiento interno tiene lugar con la compresin (Fig. 18b).

Fig. 17 Rozamiento externo bajo rotacin:a - roca con otro material;b - roca sobre roca.

Fig. 18 Rozamiento interno:a - bajo corte directo; b - bajo corte por compresin.

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Fig. 19 Grfico F = f (P):a - aproximado;b exacto. Una expresin simple para la fuerza de rozamiento constituye la frmula (Fig. 19a). F = P Donde: - Coeficiente medio de rozamiento (generalmente 1). P - Presin. Una expresin ms exacta tiene la forma siguiente (Fig. 19b): F = K + P Donde: K - Constante para las condiciones dadas. - Coeficiente de rozamiento. El valor , depende del estado de las superficies en friccin, y puede ser menor o mayor que la unidad. Particularidades de las rocas pulverulentas 1. Generalidades Las rocas pulverulentas se caracterizan por la presencia de superficies de separacin entre partculas duras

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distribuidas en forma catica. Esto precisamente determina la ausencia de resistencia de la roca a la traccin, y de resistencia a la compresin (rozamiento entre partculas). Las partculas de rocas se apoyan unas sobre otras en puntos aislados y en superficies pequeas con diferente orientacin lo que condiciona la alta porosidad de las rocas pulverulentas y su significativa compresibilidad por cuenta de la disminucin de la porosidad. Para las rocas pulverulentas se distingue: la masa a granel (peso), la masa volumtrica (peso) y la masa especfica (peso). Masa suelta se llama a la masa de la unidad de volumen vertida libremente (sin compactacin); masa volumtrica se llama a la masa de la unidad de volumen de roca pulverulenta bajo cualquier presin (compactacin); masa especfica se llama a la masa de la unidad de volumen de partculas duras de roca. El ngulo de inclinacin de la superficie de las rocas pulverulentas libremente vertidas con respecto a la horizontal se denomina ngulo de talud natural. 2. Composicin granulomtrico (C G) La composicin granulomtrica constituye el contenido relativo (en % de peso) de partculas de diferente grosura existentes en la roca pulverulenta. La composicin granulomtrica se determina por anlisis en tamices y se la representa en forma de grfico (Fig. 20). Para una mejor visualidad y comodidad de empleo la grosura de las partculas d, se coloca a escala logartmica. La grosura de las partculas que corresponden al 10% de la roca, se denomina dimetro actuante. En la fig. 20 el dimetro actuante es de = d10 = 0.4 mm.

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Fig. 20 Grfico de la composicin granulomtrica La relacin del dimetro de las partculas d60, que corresponden al 60% del contenido en la roca, para el dimetro de, se denomina coeficiente de heterogeneidad Kh. En la Fig. 20. d60 2,4 Kh = ------ = ------ = 6,0 d10 0,4 La composicin granulomtrica y por consiguiente K , determinan las principales propiedades fsico-mecnicas de las rocas pulverulentas: porosidad, compresibilidad, filtracin, peso a granel, resistencia al cizallamiento y otros. 3. Compresibilidad de las rocas pulverulentas Por compresibilidad de las rocas pulverulentas se comprende la disminucin del volumen por cuenta de la disminucin de la porosidad. La compresibilidad de las rocas pulverulentas se determina en el edmetro (Fig. 21). Para disminuir la

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influencia de la friccin por las paredes verticales se toma D/h 4.

Fig. 21 Esquema del edmetro: 1 - roca;2 - cilindro de acero; 3 - fondo;4 - plancha de acero;P - presin.

Con los datos de los ensayos en el edmetro se construye la curva de compresibilidad (Fig. 22), que muestra la dependencia del coeficiente de porosidad en funcin de la presin P. = f (P) El coeficiente de porosidad constituye la relacin del volumen de los poros Vp para el volumen de la roca pulverulenta V. Vp V - Vs = ---- = -------- = 1 - ----- V V Donde: Vs - Volumen de las partculas slidas. - Peso a granel de las rocas. - Peso especfico de las rocas (partculas slidas).

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Fig. 22 Curva de compresibilidad:a - bajo una sola etapa de cargado;b - bajo varias etapas de carga y descarga; Po - presin inicial. Incluso bajo altas presiones P, el coeficiente de porosidad (ver Fig. 22) no puede llegar a cero ( > 0). La inclinacin de la curva = f(P) con respecto a la horizontal caracteriza la compresibilidad de la roca bajo presin, cuya magnitud tg , se denomina coeficiente de compresibilidad. 4. Resistencia al corte (cizallamiento) La resistencia al corte en las rocas pulverulentas se determina en el instrumento de corte (Fig.23). El grfico de la resistencia al corte de las rocas pulverulentas en dependencia de la magnitud de desplazamiento del anillo superior del instrumento de corte se muestra en la Fig. 24.

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Fig. 23 Esquema del instrumento de corte:1 - anillo superior mvil; 2 - anillo inferior fijo; 3 - lmina de acero; 4 - roca pulverulenta; P - fuerza de compactacin; T esfuerzo cortante; - resistencia

especfica al corte.

Fig. 24 Resistencia al corte en dependencia del desplazamiento: A - roca compacta;B - roca suelta.

Como puede verse en la Fig. 24, en el segmento 1-3 la resistencia al corte depende de la porosidad inicial de la roca y de la magnitud de desplazamiento del anillo superior del instrumento de corte. En el punto 3, la resistencia al corte para una roca dada es constante y no depende de la porosidad inicial. Esta resistencia al corte se denomina lmite lim y el correspondiente desplazamiento del anillo superior del instrumento de corte, desplazamiento lmite llim. El crecimiento de la resistencia al corte en el campo del punto 2, se explica por la presencia de las fuerzas de cohesin, de las partculas dispuestas caoticamente en el plano de corte. Desde que se inicia el punto 3, la disposicin de las partculas en el plano de corte es ordenada y la resistencia al corte se vuelve una magnitud constante lim.

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Fig. 25 Coeficiente de porosidad en dependencia de la magnitud de desplazamiento:A - roca compacta; B - roca suelta.

En la Fig. 25 se muestra el valor del coeficiente de porosidad en dependencia de la magnitud de desplazamiento del anillo superior del instrumento de corte l. Como puede verse en la Fig. 25 en el segmento 1 - 2 el valor del coeficiente de porosidad depende de la compactacin inicial de la roca. En el punto 2 el coeficiente de porosidad llega a un valor constante lim (que se llama lmite) que es independiente de la densidad inicial de la roca. Rocas fluyentes Se distingue las rocas pseudofluyentes y verdaderamente fluyentes. Las pseudofluyentes son las arenas de grano fino y medio sin mayor mezcla de partculas limosas y arcillosas. Cuando se extrae el agua (disminucin artificial del nivel de agua hidrosttica) ellas facilmente se pueden secar y transformar en compactas y rocas suficientemente estables. Las rocas verdaderamente fluyentes son las arenas de grano fino y medio con un gran contenido de mezcla de limo orgnico e inorgnico y partculas arcillosas que contienen agua de ligazn debido a la presencia de formaciones arcillosas y coloidales; con frecuencia poseen propiedades tixotropa; cuando se baja el nivel de agua (drena) practicamente ellas no se secan; producen grandes dificultades cuando se las atraviesa con galeras. Las aguas subterrneas que saturan a las rocas fluyentes producen presin hidrosttica sobre los granos de roca, ocasionando su suspensin. La masa volumtrica de las rocas permeables que yacen por debajo del nivel de las aguas

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subterrneas se determina tomando en cuenta la accin de las aguas colgadas (de acuerdo con la ley de Arqumedes). - 1 = ------- 1 + Donde: - Masa especfica (peso) de las partculas duras (esqueleto) de la roca. 1 - Masa especfica (peso) del agua. - Coeficiente de porosidad de la roca. Si las aguas subterrneas se encuentran en movimiento entonces a la presin hidrosttica hay que agregar la presin dinmica, cuya magnitud se determina por la cada de presin (gradiente hidrulica de la corriente). La fluidez en las rocas no cohesionadas y saturadas, cuando se denudan, aparece a consecuencia de que las fuerzas de friccin interna y cohesin de las rocas resultan insuficientes para vencer la presin hidrodinmica creada por la corriente de filtracin que se desplaza con direccin a la superficie de denudamiento.

ESTADO DE LOS ESFUERZOS EN LAS ROCAS. ENERGIA DE LA DEFORMACION ELASTICA

Conceptos bsicos Supongamos que el cuerpo duro U (Fig. 26a) se encuentra en equilibrio bajo la accin de las fuerzas P1, P2, P3, P4. En una seccin las fuerzas exteriores se equilibran con las fuerzas internas (esfuerzos). Analicemos una pequea superficie S (Fig. 26b), dentro del area S, cerca al punto A. Supongamos que sobre la superficie S, actua la fuerza PA. Entonces el esfuerzo medio sobre la superficie S ser: PA

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PCA = -------- S

Fig. 26 Esquema del estado de los esfuerzos en un cuerpo duro:a - las fuerzas P1, P2, P3,P4,se encuentran en estado de equilibrio; b - esfuerzos en la superficie S. El esfuerzo real en el punto A es: Pa P = lim ------ A S S 0 El esfuerzo en el punto A se puede descomponer en dos componentes _ _ _ PA = A + A Donde: Na = lim ----- , esfuerzo normal A S S 0 TA A = lim ----- , esfuerzo tangencial S S 0

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En la teora de la elasticidad se demuestra que para cualquier punto de un cuerpo, bajo cualesquier estado de los Esfuerzos existen tres planos perpendiculares entre s, en los cuales los esfuerzos tangenciales no existen. Los esfuerzos normales en estas superficies se denominan esfuerzos normales principales y se designan por 1, 2 y 3, y adems 1 > 2 > 3. Las normales a estas superficies se denominan ejes principales de los esfuerzos y se designan correspondientemente 1, 2, 3. Los esfuerzos tangenciales en las superficies que dividen por la mitad el ngulo entre los ejes principales se denominan esfuerzos tangenciales principales y se designan como sigue (Fig. 27). 12 = 21 ; 23 = 32 ; 31 = 13

Fig. 27 Superficies de los esfuerzos tangenciales principales. La magnitud de los esfuerzos tangenciales principales son: 1 - 2 2 - 3 3 - 1 = -----------; = ------------ = ------- 12 23 31 2 2 2 En las superficies de los esfuerzos tangenciales principales los esfuerzos normales son: 1 - 2 2 - 3 3 - 1

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12 = --------; 23 = ----------; 31 = ---------- 2 2 2 Particularidades de las rocas como medio fsico 1. Dimensiones mnimas para las probetas Los mtodos de la mecnica del medio continuo (teora de la resistencia de los materiales, elasticidad, plasticidad, etc.) se basan en examinar el estado del cuerpo tomado en un volumen infinitamente pequeo. De esta manera se permite la posibilidad de dividir al cuerpo en una infinita cantidad de pequeos volmenes los mismos que poseen todas las propiedades del cuerpo. Las rocas se hallan constitudas de partculas minerales ya sea ligadas con cemento o separadas una de otras. En vista de este tipo de estructura de las rocas surge la siguiente pregunta: es posible en las rocas emplear los mtodos del medio continuo?. Hablando rigurosamente, no. Practicamente es permisible pero con determinadas limitaciones. Los clculos que se emplean para las rocas se efecta no sobre volmenes infinitamente pequeos sino sobre volmenes elementales (volumen representativo mnimo), que poseen en suficiente medida las propiedades de todo el volumen de roca. En vista de esto el esfuerzo real en un punto se reemplaza por el esfuerzo medio sobre la denominada superficie elemental, la cual constituye la superficie de una seccin del volumen elemental. La dimensin de la superficie elemental se toma partiendo de la condicin de que en ella exista no menos de 30 partculas minerales de la roca. Como muestra los clculos,la dimensin lineal de la superficie elemental se puede determinar por la frmula: = 6,7 d Donde: d - Dimensin media de los granos componentes de la roca.

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El error (variacin) del esfuerzo medio calculado para la superficie elemental con relacin al esfuerzo real en el punto, se determina por la frmula de F. Yasinskiy.

= 100 L

, % Donde: - Dimensin de la superficie elemental. L - Dimensin menor de la probeta. La frmula antes indicada permite determinar la dimensin mnima de la probeta de roca para la determinacin de sus caractersticas fsico-mecnicas. 1002 67000 d Lmin = --------- = --------- 2 2 Donde: L min y - Se expresan en cm. - Error permisible en % La disminucin de las dimensiones en la probeta es ventajosa desde el punto de vista de la disminucin de la trabajosidad en la preparacin de ella, dimensiones y potencia de la maquinaria para los ensayos. 2. Cantidad confiable de ensayos de probetas de roca La tarea de los ensayos mecnicos constituye el establecimiento de las caractersticas de la roca que determinan su comportamiento en unas u otras condiciones del estado de los esfuerzos. Los resultados de los ensayos constituyen magnitudes estadsticas.

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La confiabilidad de los ensayos mecnicos de las rocas esta dada por la cantidad de correspondencia de los valores del ndice que se determina para la finalidad de su empleo (empleo de los ndices para los clculos en los proyectos de trabajos mineros). El concepto matemtico de confiabilidad (seguridad) esta ligado con la magnitud de probabilidad confiable en la determinacin del ndice (y del coeficiente de variancia de este ndice) en base a la media estadstica de la repeticin de sucesos unitarios dentro de un grupo limitado de ensayos. En los ensayos de laboratorio de n probetas de roca la variacin del ndice determinado encuentra su reflejo en la diferencia de los resultados en los ensayos. X1, X2, X3,........ Xi,.......Xn La media aritmt_ca para el grupo dado de probetas es el valor del ndice X la desviacin estandar y el coeficiente de variancia V se determinan por las frmulas: _ 1 i = n X = --- Xi ; n i = 1

=

2

1)(

11 =

=

ni

iXXi

n ; V = ----- . 100% X _ El valor medio calculado X, debido al nmero limitado n de ensayos de probetas se diferenciar del verdadero valor medio Xo, el cual puede ser determinado solamente por los resultados de un grupo infinitamente grande de probetas ensayadas. Cuando mayor sea el nmero_de probetas ensayadas tanto ms cerca estarn los valores X y Xo y tanto mayor ser la confiabilidad del valor medio obtenido para el ndice.

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La cantidad mnima confiable de probetas para ensayos se establece de acuerdo con la magnitud caracterstica (en base a ensayos preliminares) para cada tipo dado de roca, del coeficiente de variancia del ndice dado y del error permisible para los resultados de los ensayos. El clculo se realiza con la frmula: V2 Nmin = t2 ----- K2p Donde: t - Variacin normal (se toma de tablas en depen- dencia de la confiabilidad optada para los ensayos). V - Coeficiente de variancia del ndice. Kp - Error permisible en la determinacin del ndice. Para ensayos de rocas en grandes cantidades la confiabilidad se toma dentro de los lmites de 0,8 - 0,85, lo que corresponde a t = 1,28 ? 1,44. Los esfuerzos en el macizo rocoso Examinemos el estado de los esfuerzos en un cubo dentro del macizo rocoso, ubicado a la profundidad H = Z con respecto a la superficie (Fig. 28). El esfuerzo vertical designemos z y las horizontales por x y y. Bajo estas condiciones las deformaciones relativas del cubo se pueden expresar de la siguiente forma: 1 z = --- [z - (x + y)] E 1 x = --- [x - (y + z)] E 1

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y = --- [y - (x + z)] E Donde: E - Mdulo de elasticidad del macizo en estado simple de esfuerzos.

Fig. 28 Esquema del estado tensional del macizo rocoso.

En 1952 Terzaghi y Richart propusieron se tome x = y = 0. De esto resulta que x = y ------ z 1 Esta relacin, por lo visto, tiene lugar en rocas resistentes y bajo esfuerzos pequeos. En 1912 Heim propuso tomar x = y =z basndose en el hecho de que con el pasar del tiempo el estado de los esfuerzos en las rocas se iguala. La proposicon de Heim, por lo visto, se puede aceptar para las rocas plsticas especialmente a profundidades de ms de 1 km.

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En la Fig. 29, se muestra la dependencia del esfuerzo vertical z en el macizo rocoso de la profundidad Z, en base a observaciones realizadas en la naturaleza. Esta dependencia se expresa como z = .Z Donde: - Peso volumtrico medio de las rocas. Z - Profundidad desde la superficie.

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Fig. 29 Esfuerzo vertical en dependencia de la profundidad: Austria, Canad, EE.UU., Pases escandinavos, Africa del Sur, otras regiones. En la Fig. 30 se muestra en funcin de la profundidad la relacin de los esfuerzos horizontales medios para los verticales. Esta relacin se encuentra dentro de un campo delimitado por lneas curvas. 100 1500 ----- + 0,3 Kp ------ + 0,5 Z Z

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Fig. 30 Relacin de los esfuerzos horizontales medios Para verticales en funcin de la profundidad. Del grfico 30 se observa que a pequeas profundidades (hasta 500 m) los esfuerzos horizontales son mucho mas grandes que los verticales. A la profundidad de 1 Km y ms el valor de los esfuerzos horizontales y verticales se igualan. Todo esto habla sobre la importancia de las mediciones del estado de los esfuerzos de las rocas en el macizo cuando se resuelven problemas mineros. Modulo de elasticidad en estado complejo de los esfuerzos Bajo estado simple de esfuerzos (ver Fig. 1) el mdulo de elasticidad E se determina experimentalmente. La deformacin relativa longitudinal 1 se calcula por la frmula: 1 1 = ----- E Donde: 1 - Esfuerzo de compresin o traccin La deformacin relativa tranversal se calcula por la frmula: 1 2 = ---- E Donde: - Coeficiente de Poisson

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En los casos de estado complejo de esfuerzos (ver Fig. 28) la deformacin relativa vertical, tiene la siguiente expresin: 1 z = --- [z - (x - y)] E Si tomamos que x = y = ------- z 1 - entonces despus de las respectivas transformaciones obtenemos: z (1 + ) (1 - 2 ) z = ---- . ------------------- E (1 - ) Expresando z a travs del mdulo de elasticidad volumtrico Eo, obtenemos: z z = ------ Eo Igualando los miembros derechos de la expresin z, obtenemos la expresin del mdulo de elasticidad bajo estado complejo de esfuerzos Eo a travs del mdulo de elasticidad bajo estado simple de esfuerzos E. (1 - ) Eo = ------------------ E > E (1 + ) (1 - 2 ) ESTADO DE LOS ESFUERZOS EN LAS ROCAS CERCA DE GALERIAS MINERAS AISLADAS

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1. Pique vertical de seccin circular Cuando no existen fuerzas tectnicas, antes de la excavacin del pique, los esfuerzos en el macizo son (Fig. 31a). Los esfuerzos verticales P = 1 = H Los esfuerzos horizontales: Q = 2 = 3 = ------- 1 = ------- H 1 - 1 - Despus de la excavacin del pique, bajo estado elstico de las rocas, en el plano horizontal I - I aparecen los esfuerzos siguientes (Fig. 31b) a2 n = Q (1 + ----) r2 a2 r = Q (1 - ----) r2 a2 r = Q ----

r2

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Fig. 31 Estado de los esfuerzos en las rocas cerca de Un pique de seccin circular: a - antes de la xcavacin; b - despus de la excavacin; e - diagrama de esfuerzos despus de la excavacin de la galera. En la pared del pique (r = a) obtenemos na = 2Q ra = 0 a = Q Fuera de la zona de influencia del pique (r = ) obtenemos na = 2Q ra = Q a = 0 El diagrama de los esfuerzos se muestra en la Fig. 31c. Si la resistencia de la roca al corte K > Q, el radio de despedazamiento de las rocas en el pique ser (ver Fig. 31c): Q C' = a --- K El grosor de la zona de despedazamieto ser C = c - a

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2. Galera horizontal de seccin circular Supongamos que antes de la excavacin de la galera en el macizo rocoso se tienen los esfuerzos siguientes (Fig. 32a): P - verticales; Q - horizontales. Despus de excavar la galera los esfuerzos en la zona de influencia de la galera seran: a2 P+Q P-Q a4 n = (1 + ----) ----- + ----- (1 - 3 ----) cos 2 r2 2 2 r4 a2 P+Q P-Q a2 r = (1 - ----) [----- - ----- (1 - 3 ----) cos 2] r2 2 2 r2 a2 r = ---- [P + Q + 2(P - Q) cos 2 ] 2r2 En las paredes de la galera (r = a) obtenemos: na = P + Q + 2 (P-Q) cos 2; ra = 0 P+Q a = ----- + (P - Q) cos 2 2 Determinemos el sitio en la pared de la galera, donde na tenga su mximo valor.

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Fig. 32 Estado de los esfuerzos en las rocas cerca de una galera horizontal circular:a - esquema de los esfuerzos; b - contorno de los esfuerzos cortantes limites. De la condicin de que dna ------- = 0 d obtenemos dna --------- = - 4 (P - Q) Sen 2 = 0 d entonces = 0 o 180 (puntos A en la Fig. 32a) por consiguiente na max = P + Q + 2(P+Q) = 3P - Q

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Los esfuerzos normales mnimos se encuentran actuando en los planos perpendiculares, o sea, bajo = 90 o 270 (puntos b en la Fig. 32a). na min = P + Q - 2 (P-Q) = 3Q - P si = 0,25 Q = ------ P = 1/3 P 1 - y por consiguiente P na min = 3 Q - P = 3 --- - P = 0 3 De esta manera, cuando > 0,25 sobre el contorno de la galera se produce el aparecimiento de esfuerzos de compresin.Cuando < 0,25 en la parte superior e inferior de la galera aparecen esfuerzos de traccin (na min < 0). El contorno de los esfuerzos cortantess destructores en la parte superior de la galera se muestra en la Fig. 32 b. De la Fig. 32b, se observa que la zona de rocas despedazadas tienen forma abovedada. El radio de la zona de despedazamiento se puede determinar por la frmula: A C = ----- 2cos)(2 QPQP ++ K2 Donde: K - Resistencia temporal de la roca al corte. Como se demostrar mas abajo, el despedazamiento de la roca se produce no por las lneas de los esfuerzos tangenciales principales bajo = 45, sino por el ngulo: 1 = 45 + --- 2 Donde:

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- Angulo de friccin interna de las rocas. Por esto el contorno real de las rocas despedazadas ser mucho menor que lo que se muestra en la Fig. 32b. 3. Galeras horizontales con secciones diferentes a la circular Cuando el problema se plantea dentro del campo elstico los esfuerzos en las paredes de las galeras horizontales con diferente forma de la seccin transversal, se pueden calcular con las frmulas siguientes: En el techo de la galera K= z (AKL - 1) En las paredes laterales P = z (B - KL ) Donde: z = .Z Esfuerzo vertical a la profundidad de ubicacin de la galera. h KL = ----- - Coeficiente de empuje lateral z Donde: h - Esfuerzo horizontal A y B - Coeficientes por la forma de la galera (Tabla 1) TABLA - 1

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Energia en la deformacion elstica de las rocas 1. Estado simple de esfuerzos En el estado simple de esfuerzos, el trabajo elemental es igual a (Fig. 33): dW = dt pero de acuerdo con la ley de Hook d = --- , d = ----- E E Donde: E - Mdulo de elasticidad por consiguiente d dW = ---- E

W = = 0 Ed

E2

2

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Fig. 33 Energa en la deformacin elstica bajo compresin simple:a - esquema de clculo;b - grafico = f(). 2. Estado complejo de los esfuerzos En el caso de los esfuerzos normales principales (Fig. 34) para el clculo de la energa elstica de deformacin se emplea el mtodo de las superposiciones. Cuando se aplica solamente 1 (estado simple de esfuerzos) la energa de deformacin elstica es: 2 1 W1 = ------ 2E Cuando se aplica a continuacin el esfuerzo 2 obtenemos: 2 2 . 2 W2 = ----- - 1 -------- 2E E

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Cuando se aplica el esfuerzo 3 obtenemos: 2 2 2 3 3 3 W3 = ------ - 1 ------- - 2 ------- 2E E E La sumatoria del trabajo de deformacin elstica 1 2 2 2 W = W1 + W2 + W3 = ---- (1 + 2 + 3) - --- . 2E E .( 1.2 + 2.3 + 3.1) Si la direccin de los ejes de las coordenadas no coinciden con la direccin de los esfuerzos normales principales entonces tendr lugar los esfuerzos tangenciales y la magnitud de la energa de deformacin elstica se expresa con la frmula: 1 2 2 2 W = ---- (x + y + z) - --- (x.y + y.z + x.z)+ 2E E 1+ 2 2 2 + ----- (xy +yz +xz) E

Fig. 34 Esquema de los esfuerzos normales principales

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