folleto analisis

Folleto del cursoAnálisis de Sistemas

(IE0409)

José David Rojas FernándezMauricio Espinoza Bolaños

Universidad de Costa Rica

2012

Índice general

Prefacio 1

I. Fundamentos 3

1. Introducción al modelado y análisis de sistemas 51.1. Introducción a la teoría general de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1. Antes de llevar el curso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2. Historia del análisis de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.3. Importancia del análisis de sistemas en la ingeniería eléctrica . . . . . 7

1.2. Concepto de sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.1. Definición de sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.2. Tipos de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.3. Variables de un sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3. Concepto de modelo de un sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.1. Definición de modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.2. Tipos de modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.3. Obtención de los modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

II. Modelado de Sistemas 23

2. Introducción al espacio de estados 252.1. El concepto de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.1.2. Propiedades de las variables de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.1.3. Definiciones Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.1.4. Linealidad e Invarianza en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2. Sistemas eléctricos como prototipos de sistemas lineales . . . . . . . . . . . 302.3. Modelado en variables de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.3.1. Ecuación de estados y salidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3.2. Elección de las variables de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.3.3. Respuesta a entrada cero y respuesta a estado cero . . . . . . . . . . 46

III

IV Índice general

2.4. La función de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.4.1. La función de transferencia a partir de la respuesta a estado cero . . . 542.4.2. La ecuación característica del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.4.3. Función de transferencia para sistemas multivariables . . . . . . . . . 552.4.4. Circuitos eléctricos utilizando funciones de transferencia . . . . . . . 56

2.5. Relaciones entre los modelos matemáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.5.1. Partiendo de la RES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.5.2. Partiendo del MVE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.5.3. A partir de la función de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3. Modelado analítico de sistemas 633.1. Leyes fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.1.1. Balance de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.1.2. Balance de energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.1.3. Conservación de la cantidad de movimiento . . . . . . . . . . . . . . 653.1.4. Otras leyes de conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.1.5. La red generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.2. Modelado de sistemas eléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.3. Modelado de sistemas mecánicos traslacionales . . . . . . . . . . . . . . . . 693.4. Modelado de sistemas mecánicos rotacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.4.1. Conversión entre traslación y rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.5. Modelado de motores DC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.6. Modelado de sistemas térmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.7. Modelado de sistemas hidráulicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.8. Modelos estáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.8.1. A partir del modelo en variables de estado . . . . . . . . . . . . . . . 933.8.2. A partir de pruebas experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3.9. Linealización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

III. Análisis de Sistemas 99

4. Análisis en el espacio de estados 1014.1. Análisis de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.1.1. Relación entre los polos y el MVE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.1.2. Estabilidad BIBO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.1.3. Estabilidad asintótica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.2. Análisis de controlabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.2.1. Forma canónica controlable para sistemas SISO . . . . . . . . . . . . 1084.2.2. Subespacio controlable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.2.3. Cálculo de la entrada para obtener un estado determinado . . . . . . . 110

Universidad de Costa Rica Escuela de Ingeniería Eléctrica

Índice general V

4.3. Análisis de observabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.3.1. Forma canónica observable para sistemas SISO . . . . . . . . . . . . 1124.3.2. Subespacio no-observable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.4. Principio de Dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.5. Descomposición de Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5. Análisis en el dominio del tiempo 1235.1. Representación del retardo en sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . 1235.2. Sistemas de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255.3. Sistemas de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

5.3.1. Especificación de la respuesta subamortiguada . . . . . . . . . . . . 1275.4. Efecto de los ceros en el sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5.4.1. Ceros de fase mínima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315.4.2. Ceros de fase no mínima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5.5. Concepto de polos dominantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1325.5.1. Aproximación de polos con retardos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1335.5.2. Procedimiento utilizando la Half Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

6. Identificación de sistemas en el dominio del tiempo 1416.1. Descripción del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416.2. Algunas definiciones preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1426.3. Modelos utilizados en la identificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

6.3.1. Modelos para sistemas no autorregulados . . . . . . . . . . . . . . . 1446.3.2. Modelos para sistemas autorregulados . . . . . . . . . . . . . . . . . 1466.3.3. Comparación de los modelos en su respuesta temporal . . . . . . . . 148

6.4. Métodos de identificación en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1496.4.1. Método para obtener un modelo integrante . . . . . . . . . . . . . . 1506.4.2. Métodos para obtener un modelo POMTM . . . . . . . . . . . . . . 1536.4.3. Métodos para obtener un modelo SOMTM . . . . . . . . . . . . . . 160

7. Análisis en el dominio de la frecuencia 1657.1. La respuesta en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

7.1.1. Magnitud y fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1657.1.2. Efecto del retardo puro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1697.1.3. Ceros de fase no mínima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

7.2. El diagrama de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1707.2.1. Aproximación Asintótica del diagrama de Bode . . . . . . . . . . . . 1717.2.2. Pico de resonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1777.2.3. Obtención de la FT a partir del diagrama de Bode . . . . . . . . . . . 179

7.3. Diagrama Polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1817.3.1. Construcción de los diagramas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . 1827.3.2. Graficación de diagramas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

Escuela de Ingeniería Eléctrica Universidad de Costa Rica

VI Índice general

8. Representación gráfica de modelos y sistemas 1898.1. Diagramas de bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

8.1.1. Creación del diagrama de bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1918.1.2. Simplificación de diagramas de bloques . . . . . . . . . . . . . . . . 1948.1.3. El modelo en variables de estado a partir del diagrama de bloques . . 196

8.2. Diagramas de flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2008.2.1. Propiedades de los diagramas de flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . 2028.2.2. Fórmula de Mason . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

A. La transformada de Laplace 211A.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211A.2. Tablas de la Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

B. Resumen de álgebra lineal 215B.1. Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215B.2. Determinantes e inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

C. Examenes Viejos 219C.1. Primer Parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219C.2. Segundo Parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255C.3. Tercer Parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

Bibliografía 333


Prefacio

Este folleto corresponde a la parte teórica del curso IE0409: Análisis de Sistemas, de lacarrera de Ingeniería Eléctrica, Universidad de Costa Rica. Este curso introduce al estudianteen el modelado y análisis matemático de sistemas físicos mediante el uso de diversas herra-mientas teóricas y experimentales. Así mismo, se hace uso de software especializado parala simulación de estos modelos de manera que sea un complemento para el análisis de larespuesta de los sistemas tanto en el dominio del tiempo como en el de la frecuencia.

La obtención y análisis de modelos que representen la realidad y permitan derivar con-clusiones y predicciones, es un pilar fundamental tanto en el área de las ciencias como enel de la ingeniería. Es conocido que en la actualidad, los físicos están tratando de derivaruna teoría que unifique todas las leyes de las fuerzas que rigen la naturaleza, de manera que,bajo una sola teoría, sean capaces de explicar los fenómenos electromagnéticos, nuclearesy gravitacionales, tanto a nivel cuántico como a nivel relativista. Esta “teoría del todo” esfundamentalmente, un modelo que explique la interacción entre la masa y la energía del uni-verso.

Específicamente a nivel de ingeniería, los modelos juegan un rol preponderante en el diseñode sistemas. En cualquier proyecto, el paso anterior a la implementación y puesta en marchade un sistema, es realizar una simulación con la que se pueda analizarlo y extraer conclusio-nes, descubrir posibles fallas y proponer áreas de mejora. Por supuesto, esta simulación tieneque estar basada en un modelo que sea reflejo de la realidad que se estudia.

Este curso es el primero en el área de control automático que se imparte en la carrerade Ingeniería Eléctrica. Sin embargo, su contenido es útil para muchas más áreas ademásde la teoría de control pura. Basta darse cuenta de que, en cada curso de la carrera, lo quese hace es estudiar modelos (matemáticos) que ayudan a entender los sistemas eléctricos yelectrónicos. Una vez que se comprende el funcionamiento de estos elementos, se procedea su manipulación de manera que puedan ser utilizados para beneficio de las personas. Esdecir, lo que se hace en cada curso de ingeniería es aprender a analizar sistemas específicospara luego controlarlos.

En este curso, no se trabaja con un sistema en específico, sino que se trata de estudiar lateoría de análisis de sistemas de una manera general utilizando para ello, principios físicos ymatemáticos bien establecidos, porque al final de cuentas, la realidad es elusiva y los modelosson la manera que se tiene para tratar de entenderla y predecirla.

Última revisión: 1 de agosto de 2012

1

Parte I.

Fundamentos

3

1. Introducción al modelado yanálisis de sistemas

1.1. Introducción a la teoría general de sistemas

En este apartado se pretende dar una introducción al análisis de sistemas, enfocándoloparticularmente al curso IE0409 Análisis de Sistemas de la Escuela de Ingeniería Eléctricade la Universidad de Costa Rica.

1.1.1. Antes de llevar el curso

Como el lector notará al ir avanzando en el semestre, este curso está basado en herramien-tas matemáticas vistas en cursos anteriores. Por lo tanto, se sugiere que antes de leer estematerial, el estudiante haga una revisión rápida de los siguientes conceptos:

Álgebra matricial.

Determinantes, autovalores (también llamados eigenvalores o valores propios) y auto-vectores (también llamados eigenvectores o vectores propios).

Ecuaciones diferenciales, incluyendo transformadas de Laplace.

Análisis de circuitos lineales.

Comportamiento de los circuitos ante entradas sinusoidales en régimen permanente yante entradas tipo escalón e impulso.

Impedancias de los circuitos eléctricos en el dominio s y jω y sus diferentes aplicacio-nes.

Leyes de newton del movimiento para sistemas mecánicos.

Este curso es una combinación de ecuaciones diferenciales y álgebra lineal aplicada a siste-mas reales, tales como circuitos eléctricos, sistemas mecánicos, hidráulicos y térmicos.

5

6 1. Introducción al modelado y análisis de sistemas

Figura 1.1: Ludwig von Bertalanffy: padre de la teoría general de sistemas

1.1.2. Historia del análisis de sistemasEn la década de 1950 el biólogo austriaco Ludwig von Bertalanffy (véase la Figura 1.1),

plantea el término Teoría General de Sistemas o TGS.Ludwig, veía la teoría general de sistemas como:

“un esfuerzo de estudio interdisciplinario, que trata de encontrar las propieda-des comunes a los sistemas que se presentan en todos los niveles de la realidad,pero que son objeto tradicionalmente de disciplinas académicas diferentes”. (Lo-ría y Mazón, 1989)

Esta teoría se ha nutrido enormemente por varios estudiosos de varias áreas, incluso desdeantes que Ludwig la propusiera. Algunos ejemplos de estos aportes son:

William Ross Ashby (1903-1972): quien fue uno de los fundadores de la cibernética yde conceptualizar la realimentación de un sistema. Creó la ley de Ashby, la cual indicaque:

“Sólo la variedad absorbe la variedad”

Como se verá en el curso de sistemas de control, esta ley es fundamental, aunque pocomencionada.

Norbert Wiener (1894-1964): fue un matemático estadounidense. Junto con WilliamRoss Ashby, desarrollaron la cibernética.


1.1. Introducción a la teoría general de sistemas 7

Francisco Varela (1946-2001) y Humberto Maturana (1928-): juntos desarrollaron elconcepto de autopoiesis, el cual designa la dinámica de un ser estable para mantenerseestable. Por ejemplo, un ser vivo se mantiene estable, pero debe comunicarse con sumedio, ser dinámico.

Niklas Luhmann (1927-1998): fue el pionero de la aplicación de la teoría general desistemas en la sociología. Expandió el concepto de autopoiesis a los sistemas sociales.

1.1.3. Importancia del análisis de sistemas en la ingenieríaeléctrica

Históricamente, las aplicaciones del análisis de sistemas tuvieron su origen en la ingenieríamecánica, no obstante, el gran número de aplicaciones en el ámbito de los circuitos eléctricosy máquinas eléctricas y el hecho de que la mayoría de instrumentos utilizados para el controlde procesos son electrónicos, han trasladado la mayoría de esta área del conocimiento a laingeniería eléctrica.

Pero, ¿por qué es importante este curso para la formación de un profesional en la ingenieríaeléctrica? Para responder esta pregunta, considérese por ejemplo la tarea típica en la industriade controlar el nivel de los cuatro tanques del sistema de la Figura 1.2a (Este sistema existe yse encuentra en el Laboratorio de Automática). Este proceso se muestra en forma esquemáticaen la Figura 1.2b y corresponde a cuatro tanques “acoplados”. Si el lector es observador,notará que el líquido que sale del depósito inferior puede llegar a cualquiera de los cuatrotanques manipulando las válvulas.

Ahora bien, ¿qué se necesita para controlar este sistema? Al tener conocimientos de elec-trónica uno pensaría en medir el nivel de cada tanque con un sensor de nivel . Esto es fun-damental, pues el nivel del agua no nos sirve de nada si no lo podemos transformar a unavariable eléctrica (tensión o corriente por ejemplo), de esta forma, un sensor podría transfor-mar el nivel en tensión o corriente que ya se puede analizar con instrumentos electrónicos.

Por otro lado, se debe tener un controlador, algo que reciba la señal del sensor de nivel,lo compare con el valor que se desea, y determine qué acción se debe llevar a cabo. Algoimportante del controlador es que alguien o algo le debe decir qué nivel es el que se desea,por lo que el controlador debe admitir señales del exterior.

No obstante, algo le debe sacar el agua al depósito inferior para llevarlo a los tanques. Este“algo” se llama actuador. El actuador debe tomar la señal de salida del controlador y utilizarlapara manipular el agua del depósito según el controlador le indique. Para esta aplicación, unpar de bombas (que ya están en el sistema) son ideales.

Con todos estos elementos se puede formar el esquema de la Figura 1.3, el cual es elesquema del sistema de control que se quiere diseñar.

Para finalizar la justificación del porqué es importante este curso, es válido hacerse lassiguientes preguntas ¿Cómo saber qué sensor se debe conectar al sistema? ¿Qué controladores el ideal para esta aplicación? ¿Cómo se comportará el sistema con las bombas que se leconecten? ¿Vale la pena pensar en controlar este sistema? ¿Qué información se puede obtener



(a) Proceso con cuatro tanques

Depósito de agua

Bombas

(b) Esquema del proceso simplificado

Figura 1.2: Ejemplo de un sistema

del sistema solo con las señales de salida? Es ahí donde entra el análisis de sistemas, ya queesta área del conocimiento brinda herramientas para, entre otras cosas:

Modelar matemáticamente un sistema real.

Determinar las características dinámicas de un sistema ante una entrada determinada.

Analizar la variación de las señales de salida de un sistema de acuerdo con las señalesde entrada.

Conocer el rango de variación de las entradas y las salidas en función de los aspectosconstructivos del sistema.

Comparar el sistema bajo estudio con otros que se comportan en forma análoga.

Representar gráficamente el sistema en diagramas que se pueden manipular para ana-lizarlo en diferentes formas.

Diseñar el controlador del sistema en función de lo que se quiere obtener y los aspectosconstructivos del sistema.

Análisis de Sistemas es el primer curso que se lleva en el área del control automático, puesse centra en el estudio del objeto que se desea controlar o analizar, no obstante, el control


1.2. Concepto de sistema 9

Controlador Actuador Sistema Sensor

Nivelesdeseados

Variableeléctrica

Acciónmecánica

Nivel realSeñales de

nivel

Figura 1.3: Esquema del sistema de control

del sistema se suele estudiar en otras asignaturas. Dentro del área del control automático laescuela ofrece:

Sistemas de control (curso obligatorio). Se diseñan los controladores del sistema decontrol de la Figura 1.3.

Laboratorio de control (curso optativo). Se practica con varios sistemas de control y secontraponen sus características.

Sistemas en tiempo discreto (curso obligatorio para licenciatura). Se analizan los sis-temas pero aplicando principalmente la transformada Z en lugar de la transformada deLaplace.

Control e instrumentación de procesos industriales (curso optativo). Se estudian lossensores y las características prácticas de los sistemas de control.

Sistemas no lineales (curso optativo). Se aplican técnicas de análisis y control especia-les para sistemas que no cumplen con el principio de superposición.

Automatización industrial (curso optativo). Se utilizan un tipo especial de controlado-res (llamados PLC ′s) para controlar un determinado tipo de sistemas.

Redes neuronales y lógica difusa (curso optativo). Se utilizan técnicas avanzadas decontrol basadas en programación y métodos iterativos.

Sistemas de adquisición de datos y diseño de instrumentos virtuales (curso libre). Seanalizan los principios de la adquisición de datos hacia el computador y se diseñan lasinterfases de control y los controladores con software.

1.2. Concepto de sistema

Aunque es muy probable que el lector comprenda a groso modo lo que es un sistema, esnecesario dar una definición más precisa de ello. Esto con el fin de poder diferenciar en formaclara lo que es un sistema y un “modelo de un sistema”.



1.2.1. Definición de sistema

Según Eykhoff (1977), un sistema es:

”Una colección de objetos organizada, la cual está dirigida hacia un objetivo ofin”.

En este punto uno se podría preguntar si varios cuerpos reales son un sistema. Pensandopor ejemplo en un automóvil, el automóvil está formado por varios objetos (ruedas, tornillos,cables, volante, asientos, entre otros). Todos estos objetos están organizados y cumplen unfin, transportar a sus pasajeros, por lo tanto, un automóvil califica como sistema.

1.2.2. Tipos de sistemas

Los sistemas conceptuales son aquellos formados por definiciones, símbolos, nombres,entre otras cosas no palpables. Ejemplos de estos sistemas son las matemáticas, la estructurapolítica de un país, la notación musical y los idiomas.

Todos los sistemas que no son conceptuales son físicos, es decir, se pueden tocar. En el cur-so, se le prestará especial atención a estos últimos, pues tienen la capacidad de intercambiarmateria y energía con el medio.

1.2.3. Variables de un sistema

Al estar formados los sistemas por objetos definidos, se crea directamente una frontera parael sistema, la cual, puede ser incluso función de lo que la persona que lo analiza el sistemacree conveniente para su estudio. Típicamente, un sistema se representa por la letra S. Se diceque el sistema S está dentro de su frontera, y fuera de ella está el universo o medio.

No obstante, el sistema debe comunicarse con su medio para seguir existiendo, por loque se debe dar un traspaso de información, energía o materia. Además, el sistema poseeinternamente objetos o sub sistemas que se deben comunicar entre ellos o que definen sucomportamiento. Esta idea se muestra esquemáticamente en la Figura 1.4. Seguidamente, sehace una serie de definiciones relacionadas a las variables de un sistema.

Variables internas

Las variables internas de un sistema S se pueden dividir en:

Parámetros: Son función de los aspectos constructivos del sistema, por lo que nodependen de las entradas, mas sí pueden depender del tiempo o de las coordenadasespaciales. Cuando se obtiene la ecuación diferencial que describe un sistema, los pa-rámetros son los coeficientes de dicha ecuación.



Sistema

Variables internas

Variables externas

Universo

Frontera

Figura 1.4: Esquema de las variables de un sistema

Figura 1.5: Circuito RC alimentado por distintas fuentes

Para aclarar este punto, tómense en consideración los circuitos de la Figura 1.5, ambosson circuitos RC, la diferencia radica en la fuente utilizada para alimentarlos. Inde-pendientemente del tipo de fuente que tenga el circuito, la ecuación diferencial quedescribe la tensión en el capacitor se describe por medio de:

vin(t) = RCvc(t) +d

dtvc(t) (1.1)

Los coeficientes de esta ecuación diferencial son los parámetros del sistema, es decir,la capacitancia C y la resistencia R. Pero, ¿qué pasa si por desgaste la resistencia y lacapacitancia cambian? En ese caso, sería mejor pensar en una ecuación como:

vin(t) = R(t)C(t)vc(t) +d

dtvc(t) (1.2)

donde la dependencia de los parámetros respecto al tiempo se hace evidente. Es más, sise considera la variación de la resistencia total del circuito por el cable usado, se podríaescribir:

vin(t) = R(t, x)C(t, y)vc(t) +d

dtvc(t) (1.3)

donde x representa una coordenada espacial que se puede utilizar para modelar la re-sistencia total del circuito y y podría tomarse como la distancia entre las placas deun capacitor variable. En todos estos casos, la capacitancia C y la resistencia R sonparámetros del sistema.

Variables de estado: Debido a que el curso está basado en gran medida en las variablesde estado de un sistema, aquí se dará una leve introducción a ellas, en la sección 2.1 semuestran con mayor detalle los conceptos aquí introducidos.



Las variables de estado son las que junto con el conjunto de funciones de entradadeterminan el conjunto de funciones de salida de un sistema.

Por ejemplo, si se trata de despejar la tensión del capacitor del circuito de la Figura 1.5se obtendría la siguiente relación1:

vc(t) = vc(t0)e−t−t0RC +

1

RC

∫ t

t0

e−(t−τ)RC vin(τ)dτ (1.4)

Como es bien conocido, la respuesta total está formada por la respuesta natural y laforzada. La respuesta natural es función de las condiciones iniciales del sistema (lascuales no se pueden considerar cero a menos que se diga lo contrario). Debidoa que se debe conocer la tensión del capacitor para determinar la tensión en todo eltiempo, la tensión inicial del capacitor es una variable de estado de este sistema.

En este caso la salida del sistema (la tensión vc(t)) es también la variable de estado, noobstante, eso no es siempre cierto. Si se considera más bien la salida del sistema comola corriente que pasa por la resistencia, el lector podrá determinar fácilmente que:

iR(t) =1

R[−vc(t) + vin(t)] (1.5a)

=1

R

−[vc(t0)e−

t−t0RC +

1

RC

∫ t

t0

e−(t−τ)RC vin(τ)dτ

]+ vin(t)

(1.5b)

=1

R

−[vc(t0)e−

t−t0RC +

1

RC

∫ t

t0

e−(t−τ)RC vin(τ)dτ

]+

∫ t

t0

δ(t− τ)vin(τ)dτ

(1.5c)

=1

R

−vc(t0)e−

t−t0RC − 1

RC

∫ t

t0

e−(t−τ)RC vin(τ)dτ +

∫ t

t0

δ(t− τ)vin(τ)dτ

(1.5d)

=1

R

−vc(t0)e−

t−t0RC +

∫ t

t0

[− 1

RCe−

(t−τ)RC vin(τ) + δ(t− τ)vin(τ)

]dτ

(1.5e)

=1

R

−vc(t0)e−

t−t0RC +

∫ t

t0

[− 1

RCe−

(t−τ)RC + δ(t− τ)

]vin(τ)dτ

(1.5f)

donde se usó la propiedad∫ tt0δ(t − τ)vin(τ)dτ = vin(t) para diferenciar la respues-

ta forzada (debida a las entradas) de la respuesta natural (debida a los estados). Estapropiedad recibe el nombre de la propiedad de muestreo de la función delta de Dirac.

1Se recomienda que el lector repase los conceptos de convolución y análisis de circuitos de primer orden.



En este último caso, para determinar la salida del sistema (la corriente iR(t)) es nece-sario conocer la tensión inicial del capacitor (vc(t0)) y la señal de entrada (vin(t)). Estees un ejemplo de cómo es posible que una salida del sistema no sea una variable deestado y viceversa. En este caso, la tensión del capacitor sigue siendo una variable deestado.

Aunque más adelante se describirán más propiedades de las variables de estado, algu-nas de las principales son (Loría y Mazón, 1989):

• Definen la respuesta natural del sistema.

• Dependen de las entradas y la historia del sistema (En el ejemplo descrito arriba,el capacitor se cargó por la aplicación de una tensión antes del tiempo t0).

• Constituyen la memoria del sistema, pues no pueden cambiar inmediatamente.

• Permiten asignar un único conjunto de salidas a un determinado conjunto de en-tradas.

Variables externas

Son las variables con la capacidad de traspasar la frontera del sistema. Las hay de dos tipos:entradas y salidas.

Entradas: Son las responsables de definir la evolución forzada del sistema, y a su vezse dividen en:

• Entradas determinísticas: Las cuales son generadas intencionalmente, es de-cir, por el usuario del sistema. Típicamente estas entradas son producidas por unelemento externo al sistema, por ejemplo, fuentes de tensión en un circuito, ungenerador de ondas, una caldera generadora de calor en un sistema de calefac-ción.

• Entradas estocásticas: Las cuales son generadas por señales que no se puedenmanipular, pero que típicamente se pueden medir, además, por lo general se cono-ce algún valor probabilístico de estas (valor promedio, máximo, mínimo, desvia-ción estándar). Por ejemplo, la fuerza generada por la fricción del aire sobre lasalas de un avión no se puede manipular, pero se puede medir (es más, se necesitamedir para poder controlar adecuadamente el sistema), además, dependiendo dela zona, se puede estimar su valor máximo, mínimo y promedio.

Cuando se hace referencia a los sistemas de control, a este tipo de entradas tam-bién se les llama perturbaciones.

Salidas: Son las señales que le brindan información al universo de cómo se encuentrael sistema. Las salidas poseen dos componentes:

• Respuesta forzada: Las cuales son debidas al efecto de las entradas y a los pará-metros del propio sistema.



Figura 1.6: Variables de un sistema

• Respuesta natural: Las cuales son debidas al efecto de los estados del sistema yal de sus parámetros.

Considérese por ejemplo la tensión del capacitor en el circuito de la Figura 1.5. De(1.4) se obtuvo

vc(t) = vc(t0)e−t−t0RC +

1

RC

∫ t

t0


siendo esta expresión la que describe la salida total del sistema. Como es bien conocidode cursos anteriores, la respuesta total se puede dividir en la salida forzada y la salidanatural, a saber:

vc(t) = vc0(t) + vcθ(t) (1.7)

donde para este caso:

vc0(t) = vc(t0)e−t−t0RC (1.8)

es la respuesta natural del sistema y:

vcθ(t) =1

RC

∫ t

t0


es la respuesta forzada.

Para concluir esta sección, en la Figura 1.6 se muestra un esquema de las variables de unsistema cualquiera.


1.3. Concepto de modelo de un sistema 15

1.3. Concepto de modelo de un sistema

1.3.1. Definición de modeloPara manipular o analizar un sistema es necesario primero representarlo de alguna forma.

Esta representación lleva el nombre de modelo, donde el modelo se puede definir como:

Una representación de los aspectos esenciales de un sistema (Loría y Mazón,1989).

Esta definición es en realidad bastante relativa, ¿qué es esencial para representar un siste-ma? Para discutir este punto considérese el circuito de la Figura 1.7, definiendo la fuente detensión como la entrada y la tensión de la resistencia como la salida.

Si se desea representar este sistema por medio de un modelo, tal que represente exclusiva-mente la relación entre la entrada y la salida se tendría, por ejemplo:

Ld

dtvR(t) +RvR(t) = Rvin(t) (1.10)

la cual es la ecuación diferencial que modela al sistema. Obsérvese que en esta ecuación nose consideran los cambios en la temperatura, no obstante, es bien conocido que la resistenciavaría con la temperatura (Dorf y Svoboda, 2000). Tampoco se considera el desgaste de loscomponentes respecto al tiempo ni el posible cambio de la inductancia por un acople magné-tico con algún circuito cercano, es más, tampoco se ha considerado un modelo que incorporela posibilidad de que la fuente de tensión pueda quemar los componentes o la incorporacióndel ruido eléctrico en la señal de salida.

Considerando estos puntos, se puede crear un modelo «más exacto» del sistema:

Si |vin| ≤ vinmax:

L(M)d

dtvR(t) +R(T, t)vR(t) = R(T, t)vin(t) + f(t) (1.11)

Si |vin| > vinmax:vR(t) = 0 (1.12)

donde M es el coeficiente de acoplamiento magnético, T es la temperatura y f(t) es unafunción de ruido eléctrico. En esta discusión, se colocó vR(t) = 0 si |vin| > vinmax paramodelar el hecho de que la resistencia se quemará a una determinada tensión máxima, porlo que no pasará corriente y vR(t) = 0.

Aunque este nuevo modelo puede resultar mucho más completo que el mostrado en (1.10),ciertamente sería muy difícil trabajar con él debido a la gran cantidad de información que senecesita. De hecho, aunque todos los fenómenos que lo definen son reales, muy probablemen-te el lector nunca se preocupó por ellos y siempre a considerado como suficiente el modelomostrado en (1.10), pues representa los aspectos esenciales del sistema bajo estudio.



Figura 1.7: Circuito RL

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5

Tiempo (s)

Sis

tem

a y

mod

elo

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5Tiempo (s) (muestreo cada 0.5s)

Mod

elo

Figura 1.8: Respuesta de un sistema y su modelo en tiempo discreto

1.3.2. Tipos de modelos

Los modelos se pueden clasificar de acuerdo a varios criterios, siendo posible que un mo-delo pertenezca a varias clasificaciones:

De acuerdo a la estructura matemática

Modelos en tiempo continuo. En este tipo de modelos se considera que la variableindependiente es el tiempo t, el cual es continuo, por lo que puede tomar cualquiervalor de la recta real. Cuando se usan este tipo de modelos, por lo general los sistemasse representan con ecuaciones diferenciales o funciones de transferencia en el dominios.

Modelos en tiempo discreto. En este caso la variable independiente tiempo solo puedetomar valores discretos (no necesariamente enteros). Por lo general, estos modelos seutilizan cuando se hace alguna conversión analógica digital en el proceso a analizar,pues se hace un muestreo de las señales cada cierto tiempo. Las ecuaciones en dife-rencias y las funciones de transferencia en el dominio Z son algunos modelos de estetipo.

En la Figura 1.8 se muestra un ejemplo de un modelo discreto con un periodo de mues-treo de 0,5s.



Modelos lineales. Estos modelos corresponden a las estructuras matemáticas que cum-plen con los principios de homogeneidad y aditividad y por tanto se puede aplicar lasuperposición.

El lector debe recordar de cursos anteriores que el principio de homogeneidad es talque:

f(au) = af(u)

donde f es la salida del sistema, u es la entrada y a es un número real. Mientras que elprincipio de aditividad establece que:

f(u1 + u2) = f(u1) + f(u2)

donde ui es la entrada i-ésima del sistema.

Modelos no lineales. Estos son formados por las estructuras matemáticas que no cum-plen con los principios de linealidad y homogeneidad. El tratamiento de estos modeloses muy complejo y requiere de análisis avanzados.

La mayoría de los modelos tratados en este documento son lineales y todos son en tiempocontinuo. En otros cursos se les da énfasis a los demás modelos.

De acuerdo a las características de sus parámetros

Como se ha comentado en varias ocasiones, los parámetros de un sistema varían en eltiempo o pueden depender de coordenadas espaciales. Así, se presentan cuatro posibilidadespara clasificar un modelo de ese sistema:

Modelos variantes en el tiempo. En este caso, los parámetros del modelo son unafunción del tiempo. Trabajar con estos modelos tiene una mayor dificultad, pues lasecuaciones diferenciales resultantes son más complejas y no siempre se pueden resolverfácilmente.

Modelos invariantes en el tiempo. En este caso, los parámetros del modelo son cons-tantes en el tiempo, por lo que su aplicación es limitada a un lapso de tiempo lo suficien-temente pequeño para que los parámetros del sistema no varíen en forma significativa.No obstante, la mayoría de los modelos son invariantes en el tiempo debido a que sonmás fáciles de analizar y representan los sistemas reales con suficiente exactitud.

Parámetros distribuidos. Para estos modelos los parámetros son función de las coor-denadas espaciales. Particularmente estos modelos son adecuados para sistemas de grantamaño, donde es imposible conseguir o suponer que todos los parámetros son homo-géneos. Por ejemplo, el grosor de la carrocería de un automóvil no es uniforme en todoslos puntos debido a que en ciertas zonas se necesita que exista mayor resistencia que enotras. El grosor de la carrocería de un automóvil es por tanto un parámetro distribuido.



Parámetros concentrados. Estos modelos se caracterizan porque sus parámetros noson función de las coordenadas espaciales sino que se mantienen constantes en el es-pacio.

La mayoría de los modelos aquí utilizados son los modelos invariantes en el tiempo y deparámetros concentrados.

De acuerdo a las salidas

La clasificación de los modelos respecto a las salidas son:

Modelos causales (causa-efecto). En estos modelos las salidas dependen de las salidasy entradas pasadas. Todos los sistemas físicos son causales, pues no existe un sistemaque tome en cuenta el futuro para decidir su comportamiento, de lo contrario, se estaríaconociendo el futuro, por tanto, los modelos causales son los más utilizados.

Modelos anticipativos. Los valores actuales de este modelo dependen de los valoresfuturos, para ello, estos modelos deben determinar el futuro2. Por supuesto, debido aesta cualidad, los modelos anticipativos no son físicamente realizables.

Modelos con memoria. Estos son los modelos cuya salida no solo depende de lo queestá pasando en el preciso instante, sino que dependen de lo que ha pasado. Cualquiercircuito con un elemento almacenador de energía «guarda» la historia de lo que hapasado, pues la variable eléctrica que utilizan para almacenar energía no puede cambiarinmediatamente, si la salida es función de esa variable, la salida dependerá de lo que lehaya pasado al elemento almacenador de energía, por lo que tendrá memoria.

Cualquier ecuación que utilice una condición inicial de algún elemento está implicandoel uso de un modelo con memoria.

Modelos sin memoria. Tómese en consideración una resistencia conectada a una fuen-te de tensión, la relación que determina la corriente en la resistencia es:

iR(t) =vin(t)

R

obsérvese que esta relación no toma en cuenta el valor de alguna señal para un tiempot0 < t, donde t es el momento actual. Debido a esto, a este modelo no le interesa loque ha pasado antes, se puede decir que no tiene memoria.

2El lector debe ser cuidadoso, no es lo mismo determinar el futuro que estimarlo, determinar (al menos eneste contexto) implica tener conocimiento perfecto de lo que pasará, estimarlo implica poder suponer con uncierto margen de certeza lo que pasará. Un ejemplo típico son las predicciones del tiempo, se puede estimarsi lloverá, hará sol, etc, pero estas estimaciones no son 100 % confiables.



Figura 1.9: Clasificación de los modelos

No obstante, si se calcula la corriente en un inductor conectado a la misma fuente detensión se tendría que:

iL(t) = iL (t0) +1

L

∫ t

t0

vL(τ)dτ

y como la corriente en el tiempo t dependen de t0 con t0 < t, se tiene que este modelosí tiene memoria.

El uso de modelos con memoria va íntimamente ligado a sistemas con elementos alma-cenadores de energía, en el primer caso, ni la resistencia ni la fuente almacenan energía,por lo que el modelo resulta sin memoria. En el segundo caso, debido a que el inductoralmacena energía, resultó necesario utilizar un modelo con memoria.

En la Figura 1.9 se muestra un esquema para resumir todas las clasificaciones de los mo-delos que aquí se mencionaron.



Figura 1.10: Modelo de un motor DC

1.3.3. Obtención de los modelos

Dado un sistema, existen básicamente tres formas para obtener un modelo de él. Estasformas se pueden representar como cajas, a saber: caja blanca, gris y negra.

Modelado de caja blanca

Este tipo de obtención del modelo también se llama modelado analítico. En él, se suponeque el usuario tiene conocimiento total del sistema (puede medir lo que desee y tiene accesototal al interior del mismo), por lo que utiliza las leyes físicas que lo gobiernan para determi-nar el modelo del mismo. Este tipo de modelado es el más usado en el diseño de sistemas,pues se cuenta con toda la información del sistema.

Modelado de caja gris

Este tipo de modelo se refiere a la determinación de los parámetros de un modelo de unsistema a partir de una estructura conocida. Por ejemplo, se sabe que el circuito equivalentede un motor DC (el circuito que modela la parte eléctrica) con excitación independiente esel mostrado en la Figura 1.10. Todos los motores de este tipo se pueden representar con estemodelo, no obstante, es necesario hacer experimentos y pruebas para determinar el valor delos parámetros del modelo (L, R y kf ), pues no siempre es posible medirlos directamente.

Modelado de caja negra

La idea de esta técnica es hacer un modelo sin conocer nada de la estructura interna delsistema. Para ello se utilizan experimentos sobre las entradas del sistema para investigar cómose comportan las salidas y a partir de eso determinar un modelo del sistema. Por esto, a estetipo de modelado se le llama modelado experimental.

Por ejemplo, en la Figura 1.11 se muestra la respuesta de un sistema ante una entrada. Apartir de esta gráfica, y sin conocer nada más, en este curso se determinará que un posible



15 20 25 3055

60

65

70

75

80

85

Tiempo (s)

Señ

ales

(%

)

SalidaEntrada

Figura 1.11: Respuesta de un sistema ante una entrada

modelo para este sistema es:

G(s) =2e−1,22s

2, 04s+ 1

Aunque este modelado es muy utilizado, también es el más abstracto, pues los modelos en-contrados no dicen nada de la estructura física del sistema, simplemente son entidades mate-máticas que comparten o aproximan algunas de sus propiedades.


Parte II.

Modelado de Sistemas

23

2. Introducción al espacio deestados

Los sistemas que se estudian en este curso pueden ser modelados matemáticamente a par-tir de ecuaciones diferenciales ordinarias. Estas ecuaciones son el punto de partida para elestudio analítico de lo que es el concepto de estado y por ende, del espacio de estados.

En este capítulo, se introduce la formulación matemática del espacio de estados como tal yel análisis y la resolución de las ecuaciones para sistemas lineales e invariantes en el tiempo.En el capítulo 3 se estudia el modelado analítico de sistemas, es decir, la obtención de lasecuaciones diferenciales que representan la dinámica de un sistema a partir de principiosfísicos y químicos establecidos.

Se recomienda que antes de empezar a estudiar este capítulo, el estudiante realice un pe-queño repaso de álgebra matricial y de la transformada de Laplace, que son herramientasindispensables en el análisis de sistemas. Una buena referencia para repasar estos temas, sepuede encontrar en Kuo (1996).

2.1. El concepto de estado

2.1.1. Definición

Intuitivamente, se comprende el término estado como la condición actual de un sistema.Esta condición es producto de la historia del sistema, de las perturbaciones que ha sufrido alo largo del tiempo y han definido su situación presente. Una analogía fácil de entender escuando un médico en una sala de urgencias pregunta por el estado de un paciente. En estecaso, el estado del sistema (el paciente) se refiere a su condición de salud. El médico necesitasaber este estado para poder tomar las acciones necesarias para llevar al paciente a un estado“mejor”.

Ahora bien, desde el punto de vista cuantitativo, es necesario una definición más precisa:

Se define estado de un sistema como la mínima cantidad de informaciónnecesaria en un instante para que, conociendo la entrada a partir de ese instantese pueda determinar cualquier variable del sistema en cualquier instante posterior(Domínguez y otros, 2006)

Esta cantidad mínima de información se refiere precisamente al valor de las variables delsistema. La cantidad mínima de variables que definen de manera única el estado del sistema

25

26 2. Introducción al espacio de estados

se les conoce como variables de estado. Volviendo a la analogía del paciente, las variablesde estado que podrían definir el estado del mismo son su temperatura interna, la cantidad deazúcar en sangre, el colesterol, presencia de erupciones en la piel, etc.

Si se tiene conocimiento de la dinámica del sistema, y además se conoce la entrada que seaplica en el sistema desde un instante inicial t0 hasta un instante final t1, es posible predecir elnuevo estado (es decir, los nuevos valores de las variables de estado del sistema) en cualquierinstante entre t0 y t1. Con el intervalo de observación [t0, t1] se puede denotar la entrada yla salida del sistema como u = u[t0,t1] y y = y[t0,t1] respectivamente. Supongamos que unsistema real se puede representar con un objeto abstracto S (el modelo) de manera que sepueda escribir una relación de la forma:

S(u, y) = 0 (2.1)

A esta relación se le llamará Relación Entrada Salida (RES). Normalmente esta REScorresponderá a la ecuación diferencial que relaciona las salidas del sistema con las entradasdel mismo. Asociado a este objeto abstracto se puede definir un vector variable x(t0) ∈ Σ demanera que la salida y queda totalmente definida teniendo conocimiento de

El valor de x(t0)

La entrada del sistema u

La RES S(u, y) = 0

Al valor de este vector x se le llama entonces, estado del sistema. Σ es el espacio vectorial detodos los posibles estados del sistema. A este espacio se le conoce como espacio de estados.

Si la relación entre la entrada, la salida y los estados se escribe de manera explícita:

y[t0,t] = S(x(t0), u[t0,t]), ∀x(t0) ∈ Σ, ∀t > t0 (2.2)

A la función S se le conoce como Relación Entrada Salida Estado (RESE) . Normal-mente la RESE se obtiene resolviendo la ecuación diferencial definida por la RES.

Ejemplo 2.1

Si se tiene el circuito simple de la Figura 2.1, obtener la RES y la RESE. Más adelante sepresentará la forma de obtener el modelo de los sistemas eléctricos. Por ahora, supongamosque se nos da la ecuación diferencial de este sistema y que está dada por

RCdVout(t)

dt+ Vout(t) = Vin(t)

Basta con escribir esta ecuación como:

S(u, y) = RCdy(t)

dt+ y(t)− u(t) = 0


2.1. El concepto de estado 27

Vin

R

C+

-Vout

Figura 2.1: Circuito simple.

Para obtener la RES del sistema. En este caso u(t) = Vin(t) y y(t) = Vout(t). Para obtener laRESE, basta con encontrar una expresión de la salida en función de la entrada y los estados,es decir, resolver la ecuación diferencial. Existen diferentes métodos para resolver ecuacio-nes diferenciales. Para este caso, vamos a utilizar la transformada de Laplace. Aplicando latransformada de Laplace sobre la RES, se obtiene

RC (sY (s)− y(0)) + Y (s)− U(s) = 0

Despejando Y (s), se encuentra

(RCs+ 1)Y (s) = RCy(0) + U(s)

Y (s) =RC

RCs+ 1y(0) +

1

RCs+ 1U(s)

Aplicando la transformada inversa de Laplace obtenemos la expresión para y(t)

y(t) = y(0)e−1RC

t +1

RC

∫ t

0

e−1RC

(t−τ)u(τ) dτ

Como se puede observar, la salida del sistema depende de los parámetros del sistema (R yC) la entrada u(t) y depende de y(0), además t0 = 0. En este caso, este valor de y(0) esprecisamente el estado inicial del sistema y por lo tanto, la salida del sistema dependerá di-rectamente del valor que tenga. Es decir, que en este caso, la salida del sistema es al mismotiempo una variable de estado. El sistema tiene una sola variable de estado y el espacio deestados será igual a todos los posibles valores que pueda tomar y(0).

2.1.2. Propiedades de las variables de estadoLas variables de estado deben cumplir las siguientes propiedades (Domínguez y otros,

2006):



1. Unicidad: Dadas una condición inicial y una entrada, el valor del estado debe ser único:

∀t ≥ t0, x0 = x(t0), u(τ) t0 < τ ≤ t⇒ x(t) es única

2. Continuidad: Las trayectorias en el espacio de estado son funciones continuas:

lımt→t0

x(t) = x(t0) ∀t, t0

3. Transitividad: Si se tienen 3 tiempos t0 < t1 < t2, entonces para conocer el estado ent2 se tienen dos opciones:

Conocer el estado en t0 y la entrada aplicada desde t0 hasta t2

x(t2) = Ψ(t2, t0,x(t0), u(τ)) con t0 < τ ≤ t2

O conocer el estado en t1 y la entrada aplicada desde t1 hasta t2

x(t2) = Ψ(t2, t1,x(t1), u(τ)) con t1 < τ ≤ t2

Suponiendo que el estado en t1 se alcanzó mediante x(t1) = Ψ(t1, t0,x(t0), u(τ))con t0 < τ ≤ t1

2.1.3. Definiciones ImportantesA partir de la RESE, existen algunas definiciones de estados importantes para el análisis

de sistemas (Loría y Mazón, 1989):

Estado alcanzable: El estado x∗ ∈ Σ se dice alcanzable a partir del estado x ∈ Σ si y sólosi, existe una entrada u(t) tal que el sistema es llevado desde x hasta x∗ en un tiempofinito.

Estado cero: Un estado θ ∈ Σ es un estado cero del objeto S, si para todo t0 y con unaentrada cero, la RESE de S, con S partiendo de θ es una función nula.

S(θ, 0) = 0 ∀t ≥ t0

Respuesta de estado cero: Se le denomina respuesta de estado cero yθ, a la respuesta delobjeto S ante una entrada u cuando parte desde su estado cero θ

yθ(t) = S(θ, u)

Respuesta en estado estacionario: Se define como el límite (si existe) de la respuesta delsistema, cuando el tiempo tiende a infinito.

yss = lımt→∞

S(x, u)

Respuesta a entrada cero: Se define como la respuesta de un sistema S ante una entradanula, partiendo de un estado particular x

yec = S(x, 0)


2.1. El concepto de estado 29

2.1.4. Linealidad e Invarianza en el tiempoEn este curso, se estudiarán solo los sistemas que sean lineales e invariantes en el tiempo.

Sí se debe notar que en la naturaleza, todos los sistemas son no-lineales y variantes en eltiempo, pero, que si el lapso y el rango de acción en el que se estudian es pequeño, estossistemas reales se pueden aproximar bien a sistemas lineales e invariantes que son muchomás sencillos de analizar y para los que existen una extensa cantidad de teoría alrededor.

Linealidad

Un sistema se dice que es lineal si cumple la siguientes propiedades (Loría y Mazón, 1989):

Superposición: Las salidas del sistema obtenidas para cada conjunto de entradas actuandopor separado, pueden sumarse para obtener el efecto de todas las entradas actuando enconjunto. Esto es, para un sistema general y = F (u), con y salida y u la entrada paraun tiempo t0 ≤ t ≤ t1, la superposición se puede escribir matemáticamente como

F (u1 + u2) = F (u1) + F (u2) (2.3)

Homogeneidad: Las salidas del sistema obtenidas a partir de las entradas escaladas en unfactor determinado, es correspondiente a escalar, en ese mismo factor, las salidas delsistema obtenidas a partir de las entradas sin escalar. Matemáticamente

F (ku) = kF (u) (2.4)

Sin embargo, como se ha visto hasta ahora, la salida de los modelos no solo dependen de laentrada sino también de los estados. Por ello, un modelo será lineal si es lineal en los estados(o lo que es equivalente, es lineal a entrada cero), en las entradas (lo que es lo mismo a serlineal a estado cero) y además cumple una propiedad más: la propiedad de descomposición, la cual dice que la salida total de un sistema se puede escribir como la suma de la respuestaa entrada cero más la suma a estado cero. Matemáticamente, se dice que un sistema es linealsi (Canales y Barrera, 1977)

S (k (x1 + x2) , k (u1 + u2)) = kS (x1, u1) + kS (x2, u2) (2.5)

Esta ecuación incluye la propiedad de linealidad a entrada cero, puesto que si u1 = u2 = 0se tiene que

S (k (x1 + x2) , 0) = kS (x1, 0) + kS (x2, 0)

también la de linealidad a estado cero: si los estados son iguales al estado cero θ, x1 = x2 =θ:

S (θ, k (u1 + u2)) = kS (θ, u1) + kS (θ, u2)

Y la de descomposición puesto que si k = 1, x2 = θ y u1 = 0

S ((x1 + θ) , (0 + u2)) = S (x1, 0) + S (θ, u2)



Invarianza en el tiempo

Esta propiedad se refiere a los sistemas en los que no importa en qué tiempo se analicen,puesto que siempre ante una misma entrada y estados resultará la misma salida. Esto esequivalente a decir que las propiedades y parámetros del sistema permanecen constantes enel tiempo.

Formalmente, se puede expresar esta propiedad de la siguiente manera (Canales y Barrera,1977): Sea RT el operador de retardo de tal manera que retarda a una señal T unidades detiempo, esto es:

RT (u(t)) = u(t− T ) (2.6)

Si ante una entrada u, la salida del sistema viene dada por

y = S (x0, u)

Entonces si el sistema es invariante en el tiempo, retardar la señal de salida T unidades detiempo será igual a obtener la salida del sistema, pero con la entrada retardada T unidades detiempo, es decir

RT (y) = S (x0, RT (u)) (2.7)

2.2. Sistemas eléctricos como prototipos desistemas lineales

Los circuitos eléctricos sencillos se pueden modelar como sistemas lineales. Para efectosde este capítulo, se presentarán las ecuaciones de los elementos para tener una base másrealista para estudiar los modelos en variables de estado. En el capítulo 3, se ampliará elestudio del modelado de sistemas a los de tipo mecánico, térmico e hidráulico.

Primero unas cuantas definiciones básicas (Dorf y Svoboda, 2000)

Carga eléctrica: Propiedad de algunas partículas que se ve afectada por campos electromag-néticos.

Electricidad: Fenómeno físico que se origina de la interacción entre cargas eléctricas.

Circuito Eléctrico: Interconexión de elementos eléctricos (elementos que en cierta medida,permiten el flujo de carga a través de ellos) unidos entre sí en una trayectoria cerradade forma que pueda fluir continuamente una corriente eléctrica.

Corriente: Es la tasa de flujo de la carga eléctrica por un punto dado. Su unidad de medidaes el ampere (A).

Tensión: Se define como tensión al trabajo necesario para mover una carga eléctrica unitaria.Su unidad es el volt (V).


2.2. Sistemas eléctricos como prototipos de sistemas lineales 31

Elemento Parámetro Ecuación Símbolo

Fuente detensión Tensión (V) Vin = f(t)

+- Vin

Fuente decorriente Corriente (A) Iin = f(t) Iin

Resistor Resistencia (Ω) VR = RIRR

+ -VR

IR

Capacitor Capacitancia (F) IC = C dVCdt

C

+ -Vc

Ic

Inductor Inductancia (H) VL = LdILdt L

+ -VL

IL

Cuadro 2.1: Modelos de los elementos de los sistemas eléctricos.

Ampere: Es la intensidad de una corriente constante, que mantenida en el vacío entre dosconductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable,y situados a una distancia de un metro entre ambos, producirá entre estos conductoresuna fuerza igual a 2,0×10−7 newton por metro de longitud tal y como se indica enMinisterio de Economía Industria y Comercio (2010).

Volt: Es la diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos de un conductor que transportauna corriente eléctrica constante de un ampere, y cuando la potencia disipada entre esosdos puntos es igual a un watt (Ministerio de Economía Industria y Comercio, 2010).

En el Cuadro 2.1, se presentan los principales elementos que componen los sistemas eléc-tricos. Los llamados elementos activos son los que son capaces de entregar energía al circuitoeléctrico. Estos elementos son las fuentes de tensión y corriente. Una fuente ideal de ten-sión, podrá entregar una tensión definida con cualquier corriente. Esta corriente dependerádel resto del circuito y teóricamente puede tomar cualquier valor. En cambio, una fuente decorriente ideal será capaz de entregar un nivel de corriente definido, sin importar el nivel detensión que se obtenga.

El elemento eléctrico pasivo (que absorbe energía) más simple es el resistor. Nótese en elcuadro 2.1 la convención para elementos pasivos: la corriente siempre irá en sentido contrarioal de la tensión 1. Un resistor es un objeto que obstaculiza en cierta medida el flujo de lacorriente eléctrica. La relación que existe entre la tensión y la corriente en un cuerpo vienedescrita por la ley de Ohm. Esta ley indica que la tensión que se produce en un cuerpo esproporcional a la corriente que la atraviesa. A este parámetro de proporcionalidad se le llama

1La tensión siempre se mide como la resta del potencial del polo positivo menos el potencial del polo negativo



ohm (Ω = 1V/A), y es la unidad con la que se mide la resistencia de un objeto. Esta relacióny el símbolo del resistor se pueden encontrar en el Cuadro 2.1. Matemáticamente, la ley deohm se enuncia como:

VR = RIR (2.8)

donde VR es la tensión que aparece en el resistor, IR es la corriente y R es su resistencia.Como se indicó, el resistor es capaz de absorber energía, pero no es capaz de almacenarla.

Una vez que la corriente deje de circular a través de él, la tensión será nula también. Existendos elementos eléctricos capaces de almacenar energía: el capacitor y el inductor. El capaci-tor (también llamado condensador) es un elemento pasivo que es capaz de almacenar energíagracias al campo eléctrico que mantiene en su interior. En su forma más simple, está formadopor dos placas conductoras que están separadas por un material dieléctrico. Una vez que unatensión se aplica en él, las placas conductoras empiezan a acumular carga, una con carga po-sitiva y otra con carga negativa. La carga de una de estas placas es proporcional a la diferenciade potencial (tensión) aplicado entre las dos placas, es decir:

Q = CVc (2.9)

dondeQ es la carga, Vc es la tensión aplicada al capacitor yC es el factor de proporcionalidad.Este factor recibe el nombre de capacitancia y expresa la cantidad de carga por volts quepuede almacenar un capacitor. La unidad en el SI para la capacitancia es el farad (F). Alderivar a ambos lados con respecto al tiempo, encontramos la siguiente relación:

dQ

dt= C

dVcdt

Ic = CdVcdt

(2.10)

De (2.10) se rescata que la tensión en un capacitor no puede variar de forma instantáneaporque requeriría una corriente infinita.

El otro elemento almacenador de energía es el inductor. En su forma más sencilla, un in-ductor es simplemente una bobina de alambre por el que se hace circular corriente eléctrica.Este elemento es capaz de almacenar energía gracias al campo magnético que se forma cuan-do fluye la corriente a través de sus devanados. La relación entre la tensión y la corriente enun inductor es

VL = LdILdt

(2.11)

es decir, la tensión que se produce en el inductor es proporcional al cambio en la corrientecon respecto al tiempo. De la ecuación (2.11) se observa que no es posible tener un cambioinstantáneo de la corriente en un inductor, puesto que esto implicaría una tensión infinita.La constante L es llamada inductancia y mide la capacidad de un dispositivo de almacenarenergía en la forma de campo magnético. La unidad de medida de la inductancia es el henry(H).

Sumado a las variables físicas del sistema y a los elementos, es necesario contar con lasrelaciones correspondientes que nos permitan analizar el flujo de las variables a través de los



1 2 3

4Figura 2.2: Un circuito con cuatro nodos.

(a) Lazo 1 (b) Lazo 2

(c) Lazo 3

Figura 2.3: Un circuito con 3 lazos. Solo los lazos 2 y 3 son mallas.

elementos. En el caso de los sistemas eléctricos, las dos leyes fundamentales son las leyes deKirchhoff. Para enunciar estas leyes primero se necesita definir lo que es un nodo y un lazoen un circuito eléctrico.

Un nodo se define como el punto donde se conectan dos o más elementos eléctricos. Enel circuito de la Figura 2.2 se pueden observar cuatro nodos. Nótese que el nodo inferiorincluye bastantes líneas de unión (o alambres ideales con resistencia cero, si se quiere verasí), igualmente se podrían dibujar todos los elementos tocándose en un solo punto, pero pornorma general, se trata que los diagramas de los circuitos sean más o menos cuadrados.

Un lazo es una trayectoria cerrada dentro de un circuito que pasa por varios nodos una solavez pero que inicia y termina en el mismo nodo. Un caso especial de un lazo es una malla,que tiene la característica de que no contiene ningún otro lazo. Por ejemplo, en la Figura 2.3se muestra un circuito con 3 lazos de los cuales, solo dos de ellos son mallas. La primera leyde Kirchhoff o ley de nodos indica que la suma algebraica de corrientes en un nodo es iguala cero. Lo que indica esta ley es que en un circuito eléctrico no hay nodos sumideros, esto es,la corriente que entra a un nodo es igual a la corriente que sale. En la Figura 2.4 se muestrantres corrientes que confluyen en un nodo. En este caso, a partir de la ley de nodos se obtiene



i1 i2

i3

Figura 2.4: Ley de nodos de Kirchhoff.

+

-

+

-

+ -

v3v1

v2

Figura 2.5: Ley de lazos de Kirchhoff.

la siguiente relación entre estas corrientes:

i1 − i2 − i3 = 0 (2.12)

como se puede observar, las corrientes positivas que entran al nodo suman en la expresión,mientras que las corrientes positivas que salen del nodo restan.

La segunda ley de Kirchhoff es la ley de lazos que dice que la suma algebraica de tensio-nes para cualquier lazo es igual a cero. En la Figura 2.5 se muestra un lazo con diferenteselementos. La expresión que relaciona las tensiones de los elementos viene dada por:

v1 − v2 − v3 = 0 (2.13)

Las tensiones que van en el sentido de recorrido del lazo, suman en la expresión, mientrasque las tensiones que van en contra del recorrido restan.

Ahora se tienen los elementos básicos para el análisis de sistemas eléctricos. Utilizando lasleyes de Kirchhoff y los modelos de cada uno de los elementos, es posible escribir la ecuacióndiferencial correspondiente que modela la dinámica del circuito eléctrico.

Ejemplo 2.2

Dado el circuito de la figura 2.6, si la entrada es Vin y la salida es iL, obtenga:

La ecuación diferencial que modela iL en función de Vin (RES).

Si R1=R2=10 Ω, L=2 mH y C= 5 µF, encuentre la respuesta en le tiempo de iL enfunción de la entrada (RESE). Suponga que los estados son la corriente en el inductory la tensión en el capacitor.



Grafique la respuesta temporal del sistema si la entrada es un escalón de magnitud 10a partir de t = 0s y los estados iniciales son iguales a cero.

En un caso como este, lo primero que hay que hacer es escribir todas las relaciones querigen la dinámica del circuito. A partir de los modelos de los elementos se tiene:

vR1 = R1i1 (2.14a)vR2 = R2iL (2.14b)

vL = LdiLdt

(2.14c)

iC = Cdvcdt

(2.14d)

Las ecuaciones que se obtienen a partir del análisis de nodos y mallas son:

vR1 − Vin − vc = 0 (2.15a)vC − VL − vR2 = 0 (2.15b)−i1 − iL − iC = 0 (2.15c)

Introduciendo (2.14c) y (2.14b) en (2.15b) se obtiene:

diLdt

=−R2

LiL(t) +

1

Lvc (2.16)

Introduciendo (2.14a) en (2.15a) se obtiene una expresión para i1 que luego es introducidaen (2.15c) y luego en (2.14d) para obtener

dvCdt

=−1

CR1

Vin −1

CR1

vc −1

CiL (2.17)

Estas dos ecuaciones son importantes porque modelan la variación de los estados del sistemaen función de los estados y las entradas. Para la RES, lo que se necesita es una ecuación

R1

Vin

C

L

R2

iLi1

Figura 2.6: Figura del ejercicio 2.2.



diferencial que solo depende de la entrada y la salida. A partir de (2.15b), se sustituye laexpresión de vR2 , se despeja vc y se procede a derivar ambos lados para obtener:

dvCdt

= R2diLdt

+ Ld2iLdt2

(2.18)

Esta expresión luego se introduce en (2.17) para obtener la RES:

Ld2iLdt

+

(R2 +

L

CR1

)diLdt

+1

C

(R2

R1

+ 1

)iL +

1

CR1

Vin = 0 (2.19)

Se obtiene al final una ecuación diferencial lineal de segundo orden. Se debe hacer un co-mentario en este punto: el orden de la ecuación siempre estará asociado a elementos almace-nadores de energía independientes, es decir, si un sistema tiene n elementos almacenadoresde energía independientes, entonces su ecuación diferencial tendrá orden n. En el caso deeste ejemplo, puesto que contamos con un capacitor y un inductor, el orden de la ecuacióndiferencial es dos.

Para obtener la RES, se procede a encontrar una relación entre la salida y los estados. Sise resuelve (2.19), entonces al final, nuestros estados vendrán dados por la corriente iL y suderivada 2. Para que la tensión del capacitor y la corriente del inductor sean los estados, esmejor proceder a resolver las ecuaciones (2.16) y (2.17) al mismo tiempo.

Al aplicar la transformada de Laplace a (2.16) se obtiene

sIL(s)− iL(0) =−R2

LIL(s) +

1

LVC(S) (2.20)

Igualmente, al aplicar la transformada a (2.17) se obtiene

sVC(s)− vC(0) =−1

CR1

Vin(s)− 1

CR1

VC(s)− 1

CIL(s)

VC(s) =CR1

CR1s+ 1vC(0)− 1

CR1s+ 1Vin(s)− R1

CR1s+ 1IC(s) (2.21)

Introduciendo (2.21) en (2.20) y despejando para I(s) se obtiene:

I(s) =L(CR1s+ 1)

(CR1s+ 1)(Ls+R2) +R1

i(0)

+CR1

(CR1s+ 1)(Ls+R2) +R1

vC(0)

− 1

(CR1s+ 1)(Ls+R2) +R1

Vin(s)

(2.22)

2Esto se puede observar puesto que, resolviendo con la transformada de Laplace, la segunda derivada quedaL d

2iLdt2 = IL(s)− siL(0)− iL(0), por lo que al final, iL(0) e iL(0) serán los estados



Esta ecuación representa la transformada de Laplace de la RESE, con los estados definidoscomo la corriente inicial en el inductor y la tensión inicial en el capacitor. Cambiando losparámetros por los valores numéricos indicados en el enunciado del ejemplo, se llega a:

I(s) =1× 10−7s+ 2× 10−3

1× 10−7s2 + 2,5× 10−3s+ 20i(0)

+50× 10−6

1× 10−7s2 + 2,5× 10−3s+ 20v(0)

+1

1× 10−7s2 + 2,5× 10−3s+ 20Vin(s)

(2.23)

Para obtener la transformada de Laplace inversa, lo mejor es dejar los términos en unaforma conocida primero. Para ello, lo primero que se hace es completar cuadrados en losdenominadores de manera que

1× 10−7s2 + 2,5× 10−3s+ 20 = 1× 10−7((s+ 12500)2 + 43,75× 106

)En el caso del término que multiplica a i(0) se procede como sigue:

1× 10−7s+ 2× 10−3

1× 10−7s2 + 2,5× 10−3s+ 20i(0) =

s+ 2× 104

(s+ 12500)2 + 43,75× 106i(0)

=

(s+ 12500

(s+ 12500)2 + 43,75× 106+

7,5× 103

(s+ 12500)2 + 43,75× 106

)i(0)

=

(s+ 12500

(s+ 12500)2 + 43,75× 106+ 1,134

6,6143× 103

(s+ 12500)2 + 43,75× 106

)i(0)

Al aplicar la transformada inversa de Laplace, se obtiene(e−12500t cos (6614,4t) + 1,134e−12500t sen (6614,4t)

)i(0)

e−12500t (cos (6614,4t) + 1,134 sen (6614,4t)) i(0)

e−12500t (1,512 sen (6614,4t+ 0,7227)) i(0)

La última expresión se obtiene a partir de la igualdad:

a sen(ωt) + b cos(ωt) =√a2 + b2 sen

(ωt+ arctan

(b

a

)).

El resto de los términos se obtienen de manera similar. Cuando se han transformado todos,obtenemos la expresión de la RESE en el dominio del tiempo:

i(t) = 1,1512e−12500t sen (6614t+ 0,7227)i(0)

+ 76× 10−3e−12500t sen (6614t)v(0)

+ 1000

∫ t

0

e−12500(t−τ) sen (6614(t− τ))Vin(t) dτ

(2.24)



0 100 200 300 400 500−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Tiempo (µ s)

Cor

rient

e (m

A)

Corriente en el inductor

Figura 2.7: Respuesta del sistema del ejemplo 2.2, ante una entrada escalón de magnitud 10 concondiciones iniciales (estados) iguales a cero.

Si la entrada es un escalón de magnitud 10, bastaría con cambiar Vin = 10 y resolver laintegral. Sin embargo, como lo que se desea es la gráfica de la respuesta y no su expresiónanalítica, se puede utilizar las ecuaciones (2.16) y (2.17) y los comandos ss y step deMATLAB para obtener la respuesta. Estas dos ecuaciones representan el modelo en varia-bles de estado que se estudiará más adelante. La respuesta se presenta en la Figura 2.7.

2.3. Modelado en variables de estado

2.3.1. Ecuación de estados y salidasEn las secciones anteriores se han estudiado dos manera distintas de describir un sistema:

con una relación solo de las entradas y las salidas (la RES) o con una expresión de la salidacon respecto a la entrada y los estados (RESE). Existe una tercera formulación que resultamuy conveniente para el análisis de sistemas: el modelo en variables de estado (MVE).

Los estados de un sistema de orden n (n estados) y p entradas se pueden modelar con necuaciones de la forma:

dxi(t)

dt= fi (x1(t), x2(t), . . . , xn(t), u1(t), u2(t), . . . up(t)) (2.25)

para i = 1, . . . , n, xi(t) el i-ésimo estado y ui(t) la i-ésima entrada. Este conjunto de n ecua-ciones se puede escribir en forma matricial con x(t) = [x1(t), x2(t), . . . , xn(t)]T el vector deestados y u(t) = [u1(t), u2(t), . . . , up(t)]

T el vector de entradas:

x(t) = f(x(t),u(t)) (2.26)


2.3. Modelado en variables de estado 39

x(t) es un vector que representa la derivada con respecto al tiempo de cada elemento delvector de estados. A la ecuación 2.26 se le conoce como ecuación de estados, y muestra lavariación de los estados con respecto a sus valores actuales, las entradas y el tiempo. Hay quenotar que la función f es una función matricial que además puede ser no lineal y variante enel tiempo. No siempre la salida del sistema es igual a uno de los estados, sino que dependendel valor de los estados y las entradas. En un sistema con q salidas, esta dependencia se puedeexpresar de la forma:

yj(t) = gj (x1(t), . . . , xn(t), u1(t), . . . , up(t)) (2.27)

donde j = 1, . . . , q. Esta ecuación también se puede escribir en notación matricial, definiendoel vector de salida y(t) = [y1(t), y2(t), . . . , yq(t)]

T :

y = g (x,u) (2.28)

Esta sería entonces la ecuación de salida del sistema. Ahora bien, si el sistema es lineal einvariante en el tiempo, estas dos ecuaciones se convierten en

x(t) = Ax(t) + Bu(t)

y(t) = Cx(t) + Du(t)(2.29)

donde

A es una matriz de dimensión n× n

B es una matriz de dimensión n× p

C es una matriz de dimensión q × n

D es una matriz de dimensión q × p

Es importante notar que el MVE no es único, puesto que dependerá de los estados que seelijan para representar el sistema. Es más, es posible que estos estados no representen ningunavariable física del sistema, sino que solo sean construcciones matemáticas para modelar elsistema. Aún así, aunque el MVE no sea único, cualquier MVE debe conllevar a la mismaRESE.

Un MVE, deberá cumplir las siguientes condiciones (Domínguez y otros, 2006):

En la ecuación de estado solo pueden estar relacionadas las variables de estado, susprimeras derivadas y las entradas.

En la ecuación de salida solo pueden estar relacionadas las variables de estado, lasentradas y las salidas.

Las variables de estado no pueden presentar discontinuidades.

Las entradas sí pueden tener discontinuidades, por lo que una entrada no puede consi-derarse nunca como estado.



Figura 2.8: Sistema del ejemplo 2.3.

2.3.2. Elección de las variables de estado

Existen algunos criterios estándar para elegir las variables de estado de un Modelo enVariables de Estado (Domínguez y otros, 2006). Dependiendo de las variables de estadoque se elijan, así serán las matrices del MVE. Es posible tener varios MVE para un mismosistema, incluso, es posible que estos distintos MVE tengan diferente número

Las variables de estado representan magnitudes físicas del sistema

En este caso, las variables de estado se eligen variables reales del sistema físico que esténasociadas a los elementos almacenadores de energía. Esto garantiza que las variables de esta-do no presentarán discontinuidades, puesto que no es posible que un elemento transmita todasu energía instantáneamente, sino que debe hacerlo de una manera continua.

Para los sistemas eléctricos se suele elegir como variables de estado la tensión de los capa-citores y la corriente de los inductores. En sistemas mecánicos la posición de las masas y suvelocidad suelen elegirse como variables de estado. Para el caso de los sistemas hidráulicosla altura de los fluidos es una variable de estado que está asociado con la energía (potencial)del sistema. En sistemas térmicos la temperatura de los elementos que se están estudiandofuncionan como variables de estado.

Ejemplo 2.3

Encontrar el modelo en variables de estado del sistema de la Figura 2.8 si los estados sonlas tensiones de los capacitores C1 y C2 y la corriente del inductor L1, las entradas son vine iin y las salidas son las corrientes i1 e i5. A partir del circuito se obtienen las siguientesecuaciones:



De los modelos de los elementos

vR1 = R1i1 (2.30a)vR2 = R2i3 (2.30b)vR3 = R3i5 (2.30c)

i2 = C1dvC1

dt(2.30d)

i4 = C2dvC2

dt(2.30e)

vL1 = L1di3dt

(2.30f)

De la ley de lazos

vin − vR1 − vC1 = 0 (2.31a)vC1 − vL1 − vR2 − vC2 = 0 (2.31b)

vC2 − vR3 = 0 (2.31c)

De la ley de nodos

i1 − i2 − i3 = 0 (2.32a)i3 − i4 − i5 + iin = 0 (2.32b)

A partir de la ecuación (2.31b) e introduciendo (2.30f) y (2.30b) se obtiene

di3dt

=−R2

L1

i3 +1

L1

vC1 −1

L1

vC2 (2.33)

Como se puede observar, la derivada de la corriente del inductor está dada en función delvalor actual de los estados y los parámetros del sistema. Para obtener la expresión parael estado vC1, se procede de la siguiente manera: se despeja i2 en (2.32a), y cambiando elvalor de i1 por el que se obtiene a partir de (2.31a) y (2.30a), se obtiene una ecuación de i2en función de las entradas y los estados. Este resultado se puede sustituir en (2.30d) paraobtener

dvC1

dt=−1

C1

i3 −1

R1C1

vC1 +1

R1C1

vin (2.34)

Se puede realizar un procedimiento semejante para la ecuación de vC2 . Se despeja i5 a partirde (2.30c) y se introduce en (2.32b) para obtener una expresión de i4 en función de lasentradas y los estados. Luego esto se introduce en (2.30e) para obtener:

dvC2

dt=

1

C2

i3 −1

R3C2

vC2 +1

C2

iin (2.35)



Las expresiones para las salidas, se obtienen fácilmente a partir de las ecuaciones (2.31a) y(2.30a) para i1 y a partir de (2.30c) y (2.31c) para i5, de esta manera:

i1 =−1

R1

vC1 +1

R1

vin

i5 =1

R3

vC2

(2.36)

Ya se tienen todas las ecuaciones necesarias para obtener el modelo en variables de estado,se definen los vectores de estado, entradas y salidas como x = [i3, vC1 , vC2 ]

T , u = [vin, iin]T

y y = [i1, i5]T . De esta manera, el modelo en variables de estado queda:

x =

−R2

L1

1L1

−1L1−1

C1

−1R1C1

01C2

0 −1R3C2

x +

0 01

R1C10

0 1C2

u

y =

[0 −1

R10

0 0 1R3

]x +

[1R1

0

0 0

]u

(2.37)

Variables de estado como salida de los integradores

La idea de esta opción es definir las variables de estado como las condiciones iniciales delas ecuaciones dinámicas del sistema (RES). Lo que se hace es expresar las ecuaciones comointegraciones sucesivas y elegir la salida de estas integraciones como las variables de estado.

Introduciendo el operador diferencial p que viene definido por:

pk =dk

dtk(2.38)

es decir

pf(t) =df(t)

dtDe esta manera podemos escribir la RES dada por

dny

dtn+ an−1

dn−1y

dtn−1+ . . .+ a1

dy

dt+ a0y = bn

dnu

dt+ . . .+ b1

du

dt+ b0u

como(pn + an−1p

n−1 + . . .+ a1p+ a0

)y =

(bnp

n + bn−1pn−1 + . . .+ b1p+ b0

)u (2.39)

Para ir obteniendo las ecuaciones de los estados se procede de la siguiente manera: Primerose saca a factor común una de las p:

p[(pn−1 + an−1p

n−2 + . . .+ a1

)y −

(bnp

n−1 + bn−1pn−2 + . . .+ b1

)u]

= b0u− a0y(2.40)



Todo lo que está dentro del paréntesis cuadrado se puede tomar entonces como el primero delos estados, de manera que:

x1 = b0u− a0y (2.41)

x1 =(pn−1 + an−1p

n−2 + . . .+ a1

)y −

(bnp

n−1 + bn−1pn−2 + . . .+ b1

)u (2.42)

Luego se procede a hacer nuevamente el mismo proceso, pero con la ecuación (2.42):

p[(pn−2 + an−1p

n−3 + . . .+ a2

)y −

(bnp

n−2 + bn−1pn−3 + . . .+ b2

)u]

= x1 + b1u− a1y(2.43)

Entonces se elige la nueva variable de estado como el término que está entre paréntesis:

x2 = x1 + b1u− a1y (2.44)

x2 =(pn−2 + an−1p

n−3 + . . .+ a2

)y −

(bnp

n−2 + bn−1pn−3 + . . .+ b2

)u (2.45)

De forma genéricaxi = xi−1 + bi−1u− ai−1y (2.46)

Este proceso se sigue hasta obtener las ecuaciones finales:

xn = xn−1 + bn−1u− an−1y (2.47)xn = y − bnu (2.48)

Con la ecuación (2.48) se obtiene la expresión para la salida y = xn+bnu. Esto se sustituyeen todas las definiciones de los estados, de manera que:

x1 = −a0xn + (b0 − bna0)u, para i = 1 (2.49)xi = xi−1 − ai−1xn + (bi−1 − bnai−1)u, para 1 < i ≤ n (2.50)

que escrito de la forma matricial, con x = [x1, x2, . . . , xn]T toma la forma general:

x =

0 0 · · · 0 −a0

1 0 · · · 0 −a1

0 1 · · · 0 −a2...

... . . . ......

0 0 · · · 1 −an−1

x +

b0 − bna0

b1 − bna1

b2 − bna2...

bn−1 − bnan−1

uy =

[0 . . . 0 1

]x + bnu

(2.51)

Esta misma idea se puede extender para el caso en que se tengan múltiples entradas y múlti-ples salidas.



Variables de estado de fase

Existe una manera alternativa de obtener el MVE desde la RES. Si se parte de la expresióngenérica con el operador p(

pn + an−1pn−1 + . . .+ a1p+ a0

)y =

(bmp

m + bm−1pm−1 + . . .+ b1p+ b0

)u (2.52)

Esta ecuación se puede reescribir de la forma

y =bmp

m + . . .+ b1p+ b0

pn + an−1pn−1 + . . .+ a1p+ a0

u (2.53)

Entonces lo que se hace es dividir el sistema de la siguiente forma

bmpm + . . .+ b1p+ b0

pn + an−1pn−1 + . . .+ a1p+ a0

=y

x1

x1

u

Entoncesx1 =

1

pn + an−1pn−1 + . . .+ a1p+ a0

u (2.54)

y la salida comoy = (bmp

m + . . .+ b1p+ b0)x1 (2.55)

La ecuación (2.54) es precisamente la definición del primer estado del sistema. Si se definenlos otros estados como las derivadas sucesivas de x1 de manera que:

x2 = x1

x3 = x2 = x1

... =...

xn = xn−1 = x′(n−1)1

(2.56)

Entonces a partir de (2.54), se puede obtener una expresión para xn(pn + an−1p

n−1 + . . .+ a1p+ a0

)x1 = u

xn + an−1xn + . . .+ a1x2 + a0x1 = u(2.57)

es decir xn = −a0x1 − a1x2 − . . . − an−1xn + u. Escrito en forma matricial queda de laforma:

x =

0 1 0 0 · · · 00 0 1 0 · · · 00 0 0 1 · · · 0...

......

... . . . ...0 0 0 0 · · · 1−a0 −a1 −a2 −a3 . . . −an−1

x +

000...01

u (2.58)



Para el caso de la ecuación de salida, se dan dos casos. Sim < n, a partir de la ecuación (2.55)

y =[b0 b1 b2 · · · bm 0 · · · 0

]x (2.59)

En el caso de que n = m, queda un término de la forma pnx1 = xn entonces se debeintroducir la expresión para xn en la ecuación que define y. Una vez que se realizan lasoperaciones nos queda:

y = (b0 − bna0)x1 + (b1 − bna1)x2 + . . .+ (bn−1 − bnan−1)xn + bnu (2.60)

Variables de Jordan

Como se ha visto, la elección de las variables de estado depende de las necesidades delmodelo que se está trabajando. Con el método de las variables de Jordan, la elección delas variables de estado busca simplificar la forma matemática de las matrices del MVE, demanera que la matriz A sea “lo más diagonal posible”.

Si se parte de la forma racional de la RES utilizando el operador p (es decir, como enla ecuación (2.53)), es posible escribirla utilizando fracciones parciales. Se encuentran doscasos:

Todos los polos de la ecuación son simples. En este caso, el sistema se puede escribirde la forma

y =

(bn +

ρ1

p− λ1

+ρ2

p− λ2

+ . . .+ρn

p− λn

)u (2.61)

Una vez que se tiene en esta forma, se procede a asignar cada uno de estos componen-tes a una variable de estado de manera que:

x1 = 1p−λ1u ⇒ x1 = λ1x1 + u

x2 = 1p−λ2u ⇒ x2 = λ2x2 + u

· · ·xn = 1

p−λnu ⇒ xn = λnxn + u

de esta manera, se puede escribir el sistema como:

x =

λ1 0 · · · 00 λ2 · · · 0...

... . . . ...0 0 · · · λn

x +

11...1

u (2.62)

y =[ρ1 ρ2 · · · ρn

]x + bnu (2.63)

Existe al menos un polo con multiplicidad r. En este caso, la descomposición en frac-ciones parciales queda de la forma

y =

(bn +

ρ1

(p− λ1)r+ · · ·+ ρr−1

(p− λ1)2+

ρrp− λ1

+ρr+1

p− λr+1

+ · · ·+ ρnp− λn

)u

(2.64)



Entonces, en este caso, la asignación de variables queda:

xn = 1p−λnu ⇒ xn = λnxn + u

· · ·xr+1 = 1

p−λr+1u ⇒ xr+1 = λr+1xr+1 + u

xr = 1(p−λ1)

u ⇒ xr = λ1xr + u

xr−1 = 1(p−λ1)2

u = 1p−λ1xr ⇒ xr−1 = λ1xr−1 + xr

· · ·x2 = 1

(p−λ1)r−1u = 1p−λ1x3 ⇒ x2 = λ1x2 + x3

x1 = 1(p−λ1)r

u = 1p−λ1x2 ⇒ x1 = λ1x1 + x2

De esta manera, el MVE se puede escribir de la forma

x =

λ1 1 · · · 0 0 0 · · · 00 λ1 · · · 0 0 0 · · · 0...

... . . . ......

... . . . ...0 0 · · · λ1 1 0 · · · 00 0 · · · 0 λ1 0 · · · 00 0 · · · 0 0 λr+1 · · · 0...

... . . . ......

... . . . ...0 0 · · · 0 0 0 · · · λn

x +

00...011...1

u (2.65)

y la ecuación de salida vendría dada simplemente por

y =[ρ1 ρ2 · · · ρr−1 ρr ρr+1 · · · ρn

]x + bnu (2.66)

2.3.3. Respuesta a entrada cero y respuesta a estado ceroUna vez que se tiene el modelo en variables de estado, el paso siguiente consiste en ob-

tener la solución de sus ecuaciones diferenciales. Normalmente, este apartado se estudia endos partes. Primero se estudia la solución de la ecuación homogénea, es decir, con entradasiguales a cero. A esta solución se le conoce con el nombre de respuesta a entrada cero. Lametodología que se sigue en esta parte corresponde a la que se presenta en Ogata (2003) yKuo (1996). Primero se analiza el caso escalar, con una ecuación del tipo

x = ax (2.67)

lo que se puede hacer es suponer una solución de la forma:

x(t) = b0 + b1t+ b2t2 + . . .+ bkt

k + . . . (2.68)

Introduciendo esta solución en la ecuación original, se llega a que

b1 + 2b2t+ . . .+ kbktk−1

= a(b0 + b1t+ b2t2 + . . .+ bkt

k)(2.69)



reuniendo los coeficientes que multiplican al mismo grado de t se obtiene

b1 = ab0

b2 =1

2ab1 =

1

2a2b0

b3 =1

3ab2 =

1

6a3b0

......

bk =1

kabk−1 =

1

k!akb0

Si se supone condiciones iniciales iguales a x(0) en t = 0, queda que b0 = x(0) entonces lasolución completa queda

x(t) =

(1 + at+

1

2a2t2 + · · ·+ 1

k!aktk + . . .

)x(0)

= eatx(0)

(2.70)

Claramente la respuesta (2.70) es solución de la ecuación diferencial original. Este mismoprocedimiento se puede generalizar para el caso matricial. Si se tiene la ecuación

x = Ax (2.71)

Se puede suponer una respuesta del tipo

x(t) = b0 + b1t+ b2t2 + . . .+ bkt

k + . . . (2.72)

Siguiendo el procedimiento anterior, se llega a las relaciones:

b1 = Ab0

b2 =1

2Ab1 =

1

2A2b0

b3 =1

3Ab2 =

1

6A3b0

......

bk =1

kAbk−1 =

1

k!Akb0

De igual manera, se tiene que b0 = x0, con lo que se llega a

x(t) =

(I + At+

1

2A2t2 + · · ·+ 1

k!Aktk + . . .

)x(0) (2.73)



Como la expresión en paréntesis es prácticamente igual a la expansión de eat, pero matricial,se le da el nombre de matriz exponencial y se denota como eAt:

eAt =∞∑k=0

Aktk

k!(2.74)

de manera que la solución de la ecuación es entonces

x(t) = eAtx(0) (2.75)

Propiedades de la matriz exponencial Muchas de las propiedades de la matriz exponencialrecuerdan las propiedades de la función exponencial escalar:

1. eA0 = I

2. ddteAt = AeAt

3. eA(t+s) = eAteAs

4. La inversa de eAt es igual a e−At

5. e(A+B)t = eAteBt si y solo si AB = BA

Forma cerrada de la matriz exponencial

Existe una manera de calcular la matriz exponencial sin necesidad de recurrir a la serieinfinita que la define. Aplicando la transformada de Laplace sobre la ecuación homogénea:

L x(t) = L Ax(t)sX(s)− x(0) = AX(s)

(sI −A) X(s) = x(0)

X(s) = (sI −A)−1 x(0)

Al aplicar la transformada inversa, se obtiene que

x(t) = L −1(sI− A)−1x(0) (2.76)

Al comparar (2.76) con (2.75) se llega a la conclusión que:

eAt = L −1(sI− A)−1 (2.77)

Lo que da una forma cerrada de calcular la matriz exponencial y evitar recurrir a la serieinfinita.



Matriz de transición de estados

Se le llama matriz de transición de estados a la matriz Φ(t) de dimensión n × n que essolución de la ecuación de estados homogénea

x(t) = Ax(t) (2.78)

tal que,x(t) = Φ(t)x(0) (2.79)

y además es solución única de

Φ(t) = AΦ(t), Φ(0) = I

La matriz exponencial cumple todos estos requisitos y por lo tanto, puede ser vista como unamatriz de transición de estados, de manera que

Φ(t) = eAt = L −1

(sI−A)−1 (2.80)

Φ(t) es una matriz variable en el tiempo, que realiza una transformación lineal de los estadosiniciales hasta el estado en el instante t cuando las entradas son nulas y el sistema evolucionasolamente como producto de su estado inicial.

Propiedades de la matriz de transición de estados

Φ(0) = I

Φ−1(t) = Φ(−t)

Φ(t1 + t2) = Φ(t1)Φ(t2)

[Φ(t)]n = Φ(nt)

Φ(t2 − t1)Φ(t1 − t0) = Φ(t2 − t1)

Si A es diagonal y tiene n valores propios distintos λ1, λ2,. . .,λn entonces

Φ(t) =

eλ1t 0 0 · · · 00 eλ2t 0 · · · 0...

... . . . ......

......

... . . . ...0 · · · · · · · · · eλnt



−6 −4 −2 0 2 4 6−6

−4

−2

0

2

4

6

x1

x 2

Respuesta a entrada cero de un sistema

Figura 2.9: Figura del ejemplo 2.4.

Ejemplo 2.4

Si se observa cuidadosamente cuando se tiene un sistema del tipo x = Ax, lo que se tienees la descripción de un campo vectorial que muestra la variación del estado en función desu valor. Si se dibujan el vector x en un plano, donde los ejes son precisamente los estadosdel sistema, tendremos un campo vectorial como el que se muestra en la figura 2.9. En estafigura, las flechas representan el valor de x para cada uno de los valores de x, si el sistemaviene dado por

x =

[−1 2−4 −3

]x

La línea continua, representa la trayectoria de los estados desde su estado inicial [−4,−4]T .Como el sistema es LTI y además es estable3 , ante una entrada cero, el sistema terminará enel estado cero cuando t → ∞. Sin embargo la trayectoria que siga estará determinada porla dinámica del sistema (en este caso, la matriz A). También se puede dibujar la trayectoriatemporal que seguirá el sistema, tal y como se muestra en la figura 2.10. Esta respuesta vienedada por la matriz Φ(t).

La respuesta completa del sistema se puede obtener también en función de la matriz detransición de estados. Partiendo de

x(t) = Ax(t) + Bu(t) (2.81)

3Más adelante se estudiará la idea de estabilidad de los sistemas



0 1 2 3 4 5−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

tiempo (s)

Am

plitu

d

Respuesta temporal a una entrada cero

x1

x2

Figura 2.10: Figura para el ejemplo 2.4. Respuesta temporal.

Al aplicar la transformada de Laplace a (2.81) se obtiene la siguiente respuesta en el planocomplejo s

X(s) = (sI−A)−1 x(0) + (sI−A)−1 BU(s) (2.82)

Al aplicar las transformada inversa se llega a

x(t) = Φ(t)x(0) +

∫ t

0

Φ(t− τ)Bu(τ) dτ (2.83)

Y en el caso de que el instante inicial sea diferente de cero, la expresión cambia como:

x(t) = Φ(t− t0)x(t0) +

∫ t

t0

Φ(t− τ)Bu(τ) dτ (2.84)

para cualquier tiempo inicial t0. Si la salida del sistema en el dominio de Laplace está dadapor

Y(s) = CX(s) + DU(s) (2.85)

Al sustituir (2.82) en esta última expresión, la salida queda

Y(s) = C (sI−A)−1 x(0) +(C (sI−A)−1 B +D

)U(s) (2.86)

Al aplicar la transformada inversa de Laplace, se llega a

y(t) = CΦ(t)x(0) +

∫ t

0

(CΦ(t− τ)B + Dδ(t− τ)) u(τ) dτ (2.87)



Y si t0 es diferente de cero

y(t) = CΦ(t− t0)x(t0) +

∫ t

t0

(CΦ(t− τ)B + Dδ(t− τ)) u(τ) dτ (2.88)

para todo t ≥ t0. Nótese que esta expresión es igual a la RESE del sistema obtenido a partirdel MVE.

En caso de que el estado sea igual a cero, la integral de (2.87), sería entonces igual a larespuesta a estado cero del sistema. Es interesante notar que la respuesta a entrada cero y larespuesta a estado cero se pueden calcular de manera independiente y luego sumarse paraobtener la respuesta completa. A esta propiedad se le llama propiedad de descomposición,es decir, si la RESE del sistema viene dada por S(x(t0), u):

S(x(t0), u) = S(x(t0), 0) + S(θ, u) ∀u ∈ Rn, ∀x(t0) ∈ Σ (2.89)

donde x(t0) es el estado inicial, θ es el estado cero del sistema, Σ es el espacio de estados,u(t) es la entrada del sistema.

La respuesta a estado cero tiene otra propiedad interesante si se estudia directamente desdela RESE (Loría y Mazón, 1989). Si se supone un sistema S de una entrada y una salida, conuna RESE S(x(t0), u) y que originalmente se encuentra en su estado cero, la respuesta delsistema ante una entrada impulsiva Delta de Dirac (δ(t)4) se puede escribir como:

h(t− t0) = S(θ, δ(t− t0)) (2.90)

Una entrada particular u(t) se puede escribir en términos la Delta de Dirac de la siguienteforma:

u(t) =

∫ ∞0

δ(t− τ)u(τ) dτ (2.91)

Introduciendo esto en la respuesta a estado cero del sistema

yθ(t) = S

(θ,

∫ ∞0

δ(t− τ)u(τ) dτ

)(2.92)

Si el sistema S es lineal e invariante en el tiempo, entonces (2.92) se puede escribir como

yθ(t) =

∫ ∞0

S (θ, δ(t− τ))u(τ) dτ (2.93)

yθ(t) =

∫ ∞0

h(t− τ)u(τ) dτ (2.94)

Teniendo en cuenta que 0 ≤ t0 < t <∞, (2.94) se puede escribir como:

yθ(t) =

∫ t0

0

h(t− τ)u(τ) dτ +

∫ t

t0

h(t− τ)u(τ) dτ +

∫ ∞t

h(t− τ)u(τ) dτ (2.95)

4Esta función se define como+∞∫−∞

δ(τ)u(τ) dτ = u(0), con δ(t) = 0, ∀t 6= 0 y donde+∞∫−∞

δ(τ) dτ = 1


2.4. La función de transferencia 53

La primera integral es siempre igual a cero, porque el impulso se aplica en t0, por lo que antesde este tiempo, h(t, τ) = 0. Una situación similar ocurre en la tercera integral: puesto quelos valores que toma la variable τ dentro de la integral son todos mayores que t el impulso estambién siempre igual a cero. Por lo tanto, se puede concluir que:

yθ(t) =

∫ t

t0

h(t− τ)u(τ) dτ (2.96)

es decir “La respuesta a estado cero de un modelo lineal se determina como la convoluciónde la entrada y su respuesta impulsional” (Loría y Mazón, 1989)

2.4. La función de transferenciaLa función de transferencia es otra manera de modelar los sistemas físicos. Se define como

la transformada de Laplace de la salida del sistema dividida por la transformada de Laplacede la señal de entrada suponiendo condiciones iniciales nulas:

G(s) =Y (s)

U(s)(2.97)

donde Y (s) = L y(t) y U(s) = L u(t) con las condiciones iniciales iguales a cero. Sisuponemos un sistema lineal dado por:

dny(t)

dtn+ an−1

dn−1y(t)

dtn−1+ . . .+ a1

dy(t)

dt+ a0y(t)

= bmdmu(t)

dtm+ bm−1

dm−1u(t)

dtm−1+ . . .+ b1

du(t)

dt+ b0u(t)

(2.98)

Entonces, aplicando la transformada de Laplace a ambos lados de la igualdad considerandocondiciones iniciales iguales a cero, se obtiene(

sn + an−1sn−1 + · · ·+ a1s+ a0

)Y (s)

=(bms

m + bm−1sm−1 + · · ·+ b1s+ b0

)U(s)

(2.99)

Con lo que la función de transferencia vendría dada por:

G(s) =Y (s)

U(s)=p(s)

q(s)=bms

m + bm−1sm−1 + · · ·+ b1s+ b0

sn + an−1sn−1 + · · ·+ a1s+ a0

(2.100)

La variable s, es una variable compleja que está relacionada con la frecuencia del sistema,como se verá en capítulos posteriores. Normalmente, las componentes de s se escriben como

s = σ + jω

a grandes rasgos, se dice que ω está relacionada con la oscilación de la respuesta del sistema,mientras que σ está relacionada con su amortiguamiento. Las propiedades de la función detransferencia son (Kuo, 1996):



Solo está definida para sistemas lineales e invariantes en el tiempo.

Las condiciones iniciales siempre son iguales a cero.

Es independiente de la entrada del sistema.

La información del cambio de unidades entre la entrada y la salida ya está incluida enla función de transferencia, aunque se pierden los detalles físicos del sistema.

Solo depende de la variable s, es decir, no tiene ninguna dependencia del tiempo.

Una función de transferencia es estrictamente propia si el grado del polinomio p(s)es menor que el grado del polinomio q(s), es decir m < n. Si m = n, se dice que lafunción de transferencia es propia. Si se tiene que m > n, la función de transferenciaes impropia, lo que implica además que el sistema no es físicamente realizable.

2.4.1. La función de transferencia a partir de la respuesta aestado cero

Supóngase que la respuesta a estado cero viene dada por (2.96), es decir:

yθ(t) =

∫ t

0

h(t− τ)u(τ) dτ (2.101)

Al aplicar la transformada de Laplace a ambos lados, se obtiene que

Y (s) = H(s)U(s) (2.102)

Con lo que se llega a que

G(s) =Y (s)

U(s)= H(s) (2.103)

Este es un resultado muy importante, puesto que lo que implica la ecuación (2.103) es que lafunción de transferencia es igual a la transformada de Laplace de la respuesta al impulso delsistema. Aún más, si se conoce la función de transferencia, es posible obtener la respuestadel sistema ante cualquier entrada conocida, puesto que la salida será la multiplicación de lafunción de transferencia por la transformada de Laplace de la entrada.

2.4.2. La ecuación característica del sistema

Se le llama ecuación característica de un sistema, a la ecuación que surge de igualar eldenominador de la función de transferencia a cero, es decir

q(s) = sn + an−1sn−1 + · · ·+ a1s+ a0 = 0 (2.104)



A las raíces de esta ecuación se les conoce como polos del sistema, y entre otras cosas, definenla estabilidad del sistema tal y como se mostrará en capítulos posteriores. La ecuación:

p(s) = bmsm + am−1s

m−1 + · · ·+ b1s+ b0 = 0 (2.105)

no recibe ningún nombre en particular, sin embargo sus raíces son llamadas ceros del sistema.

Ejemplo 2.5

Obtener los polos y los ceros del sistema dado por d3y(t)dt3

+ 2d2y(t)dt2

+ 5dy(t)dt

+ 6y(t) = 3du(t)dt

+u(t). Graficar los polos y ceros en el plano complejo σ + jω.

Primero se obtiene la función de transferencia correspondiente al sistema. Aplicando latransformada de Laplace a ambos lados de la igualdad tomando en cuenta condiciones ini-ciales iguales a cero, se obtiene:

s3Y (s) + 2s2Y (s) + 5sY (s) + 6Y (s) = 3sU(s) + U(s)

La función de transferencia vendría dada entonces por

G(s) =Y (s)

U(s)=

3s+ 1

s3 + 2s2 + 5s+ 6

Los polos entonces se obtienen a partir de la ecuación s3 +2s2 +5s+6 = 0 y los ceros a par-tir de 3s+1 = 0 Resolviendo numéricamente la primera ecuación, se obtienen los siguientespolos: p1 = −1,433, p2 = 0,283 + j2,027, p3 = 0,283 − j2,027. Con la segunda ecuaciónse obtiene un cero en z1 = −1/3. Como convención, se suele utilizar una x para representarlos polos y un para representar los ceros. En la Figura 2.11 se muestra el gráfico de lospolos y ceros del sistema siguiendo esta convención.

2.4.3. Función de transferencia para sistemas multivariablesHasta ahora, la función de transferencia se ha tratado para sistemas de una entrada y una

salida. Si se tienen varias entradas, lo que se se hace es sumar el efecto que tiene cada entradasobre cada una de las salidas, es decir, lo que se hace es una superposición de las entradas.Por ejemplo, si en un sistema de varias entradas y una salida, se tiene que el efecto entre laentrada i y la salida j viene dada por la función de transferencia Gji(s), entonces, la salida jdel sistema dependerá de cada una de las entradas j y la dinámica (función de transferencia)entre estas entradas y la salida, es decir:

Yj(s) = Gj1(s)U1(s) +Gj2(s)U2(s) + · · ·+Gjn(s)Un(s)

Yj(s) =n∑i=1

(Gji(s)Ui(s))(2.106)



−1.5 −1 −0.5 0−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5Mapa de polos y ceros

Eje real (σ)

Eje

imag

inar

io (j

ω)

Figura 2.11: Mapa de polos y ceros para el ejemplo 2.5.

Entonces para un sistema con n entradas y m salidas, se deberán definir n × m funcionesde transferencia. Esto se puede expresar en forma matricial de la siguiente manera: si lasentradas se escriben como U(s) = [U1(s), U2(s), . . . , Un(s)]T y las salidas como Y(s) =[Y1(s), Y2(s), . . . , Ym(s)]T entonces la función de transferencia se transforma en un matrizde transferencia:

Y(s) = G(s)U(s) (2.107)

con

G(s) =

G11(s) G12(s) · · · G1n(s)G21(s) G22(s) · · · G2n(s)

...... . . . ...

Gm1(s) Gm2(s) · · · Gmn(s)

(2.108)

2.4.4. Circuitos eléctricos utilizando funciones de transferencia

Con los circuitos eléctricos es posible obtener la función de transferencia directamente,utilizando para ello las ecuaciones de los elementos en el dominio de Laplace. Por ejemplo,tomemos la ecuación de un resistor

vR(t) = RiR(t)

Al aplicar la transformada de Laplace, se obtiene la relación:

VR(s) = RIR(s) (2.109)



Realizando esto mismo para el modelo de los inductores

vL(t) = LdiL(t)

dt

⇒ L vL(t) = L

LdiL(t)

dt

VL(s) = L (sIL(s)− il(0))

Considerando condiciones iniciales iguales a cero se llega a

VL(s) = sLIL(s) (2.110)

como se puede notar, esta ecuación es prácticamente igual a la ecuación del resistor, pero conla salvedad que la “resistencia” es un valor complejo sL. Es más, de los cursos de análisisde circuitos lineales, se reconoce que si se cambia la variable s por s = jω, obtenemos laexpresión conocida de la reactancia inductiva. Un resistor y un inductor en serie, tendrían unaimpedancia equivalente a R + sL o realizando el mismo cambio de variable R + jωL. Másadelante, se utilizará el cambio s = jω para analizar el comportamiento en frecuencia de lossistemas.

Realizando el mismo procedimiento para el capacitor, se obtiene:

iC(t) = CdvC(t)

dt

⇒ L iC(t) = L

CdvC(t)

dt

IC(s) = C (sVC(s)− vc(0))

Considerando de nuevo condiciones iniciales iguales a cero

IC(s) = sCVC(s)

VC(s) =1

sCIC(s)

(2.111)

En este caso, la reactancia capacitiva vendría dada por 1sC

. Las leyes de Kirchhoff permaneceniguales en el dominio de Laplace, así como las ecuaciones de las fuentes de tensión y decorriente.

Ejemplo 2.6

Obtener la función de transferencia del circuito dado en la figura 2.12 si la entrada es vin(t)y la salida es vout(t)



Vin

R

C

L

Vout

+

-

i

Figura 2.12: Circuito para el ejemplo 2.6.

En este caso, se procede directamente en el dominio de Laplace. Las ecuaciones del cir-cuito serían las siguientes:

VR(s) = RI(s)

VL(s) = sLI(s)

Vout(s) =1

sCI(s)

de la ley de lazos:Vin(s)− VR(s)− VL(s)− Vout(s) = 0

introduciendo las ecuaciones de los elementos se llega a:

Vin(s)−RI(s)− sLI(s)− Vout(s) = 0

Vin(s)− sRCVout(s)− s2LCVout(s)− Vout(s) = 0(s2LC + sRC + 1

)Vout(s) = Vin(s)

Por lo que la función de transferencia es igual a

Vout(s)

Vin(s)=

1LC

s2 + RLs+ 1

LC

2.5. Relaciones entre los modelos matemáticos

Cómo se ha visto a lo largo de este capítulo, existen diferentes maneras de pasar de unmodelo a otro. En esta sección se sistematizan estas transformaciones y se presentan en formaresumida.


2.5. Relaciones entre los modelos matemáticos 59

2.5.1. Partiendo de la RES

Desde la RES es relativamente sencillo obtener cualquiera de los otros modelos. Por ejem-plo, para obtener la RESE, simplemente lo que se hace es resolver la ecuación diferencial quedefine la RES para las condiciones iniciales dadas.

Para obtener el MVE se utiliza alguna de las herramientas que se vieron en la sección 2.3.2,es decir, el método de los integradores puros, estados de fase o el método de Jordan.

Y por último, para obtener la función de transferencia, se aplica la transformada de Laplacea la RES con condiciones iniciales iguales a cero y se obtiene la relación Y (s)/U(s).

2.5.2. Partiendo del MVE

En el caso que se desee la RESE y se tenga el modelo en variables de estado, basta simple-mente con encontrar la matriz de transición de estados como en (2.88) para obtener la RESEdirectamente. En el caso de la función de transferencia, también se puede obtener directa-mente de la aplicación de la transformada de Laplace. Si se parte de la forma general delMVE:


y(t) = Cx(t) + Du(t)

Al aplicar Laplace con condiciones iniciales iguales a cero se obtiene

sX(s) = AX(s) + BU(s)

Y(s) = CX(s) + DU(s)

Así se obtiene una expresión para los estados en el dominio de Laplace:

X(s) = (sI− A)−1 BU(s) (2.112)

Al sustituir esta relación en la ecuación de salida se obtiene

Y(s) =(C (sI− A)−1 B + D

)U(s) (2.113)

De esta manera es posible obtener la función de transferencia directamente desde el MVE

G(s) =(C (sI− A)−1 B + D

)(2.114)

Si lo que se desea es obtener la RES, lo que se debe hacer es obtener la transformada deLaplace inversa de (2.113) para cada uno de los componentes de y(t), pero dejándolo todoen función de las derivadas, sabiendo que:

L sY (s) =dy(t)

dt(2.115)



Cuando se tienen condiciones iniciales iguales a cero, como es el caso de las funciones detransferencia. Hay que notar que cuando las condiciones iniciales son iguales a cero, el ope-rador derivada p actúa igual que la variable compleja s en el dominio de Laplace.

Para obtener la RESE del sistema a partir del MVE, lo que se hace es obtener la matriz detransición de estados calculando la matriz exponencial correspondiente y luego utilizarla en(2.88).

Ejemplo 2.7

Obtener la función de transferencia y la RES a partir del MVE

x(t) =

[−1 5−3 −2

]x(t) +

[10

]u(t)

y =[

1 0]x(t)

A partir de (2.114), la función de transferencia se obtiene como

G(s) = C (sI− A)−1 B

=[

1 0]([ s 0

0 s

]−[−1 5−3 −2

])−1 [10

]=[

1 0]([ s+ 1 −5

3 s+ 2

])−1 [10

]=[

1 0] 1

(s+ 1)(s+ 2) + 15

[s+ 2 5−3 s+ 1

] [10

]=

1

(s+ 1)(s+ 2) + 15

[1 0

] [ s+ 2 5−3 s+ 1

] [10

]=

1

(s+ 1)(s+ 2) + 15

[s+ 2 5

] [ 10

]=

s+ 2

(s+ 1)(s+ 2) + 15

=s+ 2

s2 + 3s+ 17

A partir de acá se puede obtener la RES del sistema puesto que

Y (s)

U(s)=

s+ 2

s2 + 3s+ 17(s2 + 3s+ 17

)Y (s) = (s+ 2)U(s)

s2Y (s) + 3sY (s) + 17Y (s) = sU(s) + 2U(s)

Y aplicando la transformada de Laplace inversa considerando condiciones iniciales igualesa cero

d2y(t)

dt2+ 3

dy(t)

dt+ 17y(t)− du(t)

dt− 2u(t) = 0


2.5. Relaciones entre los modelos matemáticos 61

Figura 2.13: Relación entre los distintos modelos y la forma de obtenerlos.

que es precisamente la RES equivalente del MVE original

2.5.3. A partir de la función de transferenciaObtener la RES a partir de la función de transferencia es sencillo, simplemente hay que

considerar a la variable compleja s equivalente al operador derivada (p) y de esa manera esposible obtener la ecuación diferencial correspondiente. Utilizando esta misma equivalencia,es posible obtener el MVE a partir de la función de transferencia, por medio del métodode variables de estado de fase o con el método de las variables de Jordan. Si se requiere laRESE, es recomendable primero obtener la RES para luego resolver la ecuación diferencialresultante.

En la Figura 2.13 se presenta un diagrama que relaciona los distintos modelos y la manerade pasar de uno a otro.


3. Modelado analítico de sistemasEn esta capítulo se presentan las ecuaciones físicas de varios sistemas comunes. El mode-

lado de los sistemas es el primer paso para el análisis y el diseño de los sistemas de control.En la sección 3.2 se presenta un breve repaso de los sistemas eléctricos, que ya se estudia-ron en la sección 2.2, en la sección 3.3 se introducen los sistemas mecánicos traslacionalesmientras que los rotacionales se presentan en la sección 3.4. En la sección 3.5, el motor decorriente directa se presenta como un ejemplo de un sistema electromecánico. El modeladoanalítico termina con los modelos de sistemas térmicos e hidráulicos, que se presentan en lasección 3.6 y 3.7 respectivamente.

En la sección 3.8, se presenta un tipo de modelo que estudia la relación entre las variablesdel sistema, pero en régimen permanente, es decir, cuando los estados tienen valores constan-tes. Por último, muchos de estos modelos son modelos no lineales que no se pueden escribiren la forma lineal de un MVE. Por ello en la sección 3.9 se presenta un método para linealizarlas ecuaciones diferenciales alrededor de un punto de operación.

3.1. Leyes fundamentalesA partir de la experimentación y la observación, se han encontrado ciertas relaciones en

la naturaleza que al parecer se cumplen siempre. A estas relaciones se les llama “leyes fun-damentales” y están relacionadas con la conservación de la energía y la materia. Sumado aesto, hay algunas características comunes a todos los sistemas que se pueden utilizar comouna forma más general de modelado y que pueden ser útiles a la hora de estudiar y simularlos sistemas bajo estudio.

3.1.1. Balance de masaEste principio establece que en un sistema, la cantidad de masa total permanece constante,

es decir, no se puede crear ni destruir masa. En la actualidad se sabe que existe una relaciónentre masa y energía y por ello, una parte de la masa se puede transformar en energía, pero eltotal, masa más energía, permanece constante. Sin embargo, en los procesos normales (bajastemperaturas y bajas velocidades) esta conversión es tan pequeña, que se suele utilizar unbalance sólo de masa y otro sólo de energía.

En el caso de la masa, la relación se puede escribir como sigue (Loría y Mazón, 1989):n∑i=1

(ρi(t)qi(t))−m∑j=1

(ρj(t)qj(t)) =d (ρv(t)V (t))

dt(3.1)

63

64 3. Modelado analítico de sistemas

donde

ρi(t) es la densidad de la i-ésima sustancia que entra al sistema (kg/m3).

ρj(t) es la densidad de la j-ésima sustancia que sale del sistema (kg/m3).

qi(t) es el caudal de la i-ésima sustancia que entra al sistema (m3/s).

qj(t) es el caudal de la j-ésima sustancia que sale del sistema (m3/s).

ρv(t) es la densidad de la sustancia que está dentro del sistema (kg/m3).

V (t) es el volumen de la sustancia que se encuentra dentro del sistema.

Si se tiene J componentes diferentes, esta ecuación se debe cumplir para la totalidad dela masa del sistema, sin embargo, si ocurre alguna reacción química durante el proceso, estaecuación no será válida para cada componente por separado, puesto que hay transformacionesde por medio. Para tomar en cuenta estas transformaciones, se puede escribir una ecuaciónde continuidad para cada j-ésimo componente:

dmj

dt= ηje − ηjs + ηjf (3.2)

donde:

ηje es el flujo de moles de la j-ésima sustancia que entra al sistema (mol/s).

ηjs es el flujo de moles de la j-ésima sustancia que sale del sistema (mol/s).

ηjf es la tasa de formación de moles, por la reacción química, de la j-ésima sustancia(mol/s).

mj son los moles de la j-ésima sustancia dentro del sistema (mol).

La tasa de formación de moles dependerá de la estequiomería de la reacción y de la canti-dad de reactantes que hayan en el sistema. Si el volumen V (t) del sistema es constante, estareacción se podría escribir como:

ηjf = V υjrj (3.3)

donde υj depende de la estequiometría y rj es la tasa de variación que depende de la natu-raleza de la reacción y de la cantidad de reactantes. Por lo tanto, si se tienen J componentesdentro del sistema, se pueden escribir J ecuaciones de continuidad. Sin embargo, el balancede masas total del sistema no es independiente de estas ecuaciones, por lo que, en realidad,se podrían escribir el balance de masas total y J − 1 ecuaciones que serían linealmente inde-pendientes.


3.1. Leyes fundamentales 65

3.1.2. Balance de energíaAl igual que la masa, la energía no se puede crear ni destruir. La ecuación de balance de

energía se puede plantear de la siguiente forma:

Ue − Us +Q−W =dU

dt(3.4)

donde

Ue es el flujo de energía cinética y potencial que entra al sistema (J/s).

Us es el flujo de energía cinética y potencial que sale del sistema (J/s).

Q es la cantidad de calor agregado al sistema, por unidad de tiempo (J/s).

W es el trabajo hecho por el sistema, por unidad de tiempo, en sus alrededores (J/s).

U es la cantidad de energía interna del sistema (J).

3.1.3. Conservación de la cantidad de movimientoEsta ley indica que en un sistema cerrado la cantidad de movimiento (esto es, el producto

de la masa de un cuerpo y su velocidad) se mantiene constante si no actúan fuerzas sobre él.En caso de que existan fuerzas externas, la razón de cambio de la cantidad de movimiento esigual a la fuerza neta sobre el cuerpo

dMv

dt=

n∑j=1

Fj (3.5)

con

v es el vector de velocidad (m/s).

Fj es el vector de la j-ésima fuerza (N).

M es la masa (kg).

Si la masa no varía, esta ecuación se reduce a la ecuación de la segunda ley de Newton. Estaecuación vectorial se puede dividir en ecuaciones escalares, una para cada dimensión que seesté considerando.

3.1.4. Otras leyes de conservaciónJunto con estas leyes de conservación, existen otras leyes que son importantes en el análisis

de sistemas, como la ley de conservación de la cantidad de movimiento angular, que esuna ley análoga a la de la cantidad de movimiento, pero referido a sistemas que se mueven conrespecto a un punto en particular. También existe la ley de conservación de carga eléctrica,que es similar a la de la conservación de la masa, que indica que la carga neta de un sistemacerrado se mantiene constante, y no se puede crear ni destruir la carga eléctrica.



Figura 3.1: Elemento generalizado y la relación entre pervariables y transvariables.

3.1.5. La red generalizadaLos sistemas que se estudian en este curso pueden ser modelados mediante ecuaciones dife-

renciales lineales de coeficientes constantes. Por lo tanto, es de esperar que entre ellas existanciertas similitudes. Es posible describir estas similitudes de manera que cualquier sistemafísico, se pueda describir como si fuera un circuito eléctrico equivalente. A esta equivalenciase le llama red generalizada (Alfaro, 2005).

Algunas de las variables de los sistemas pueden ser catalogadas como transvariables, esdecir, variables que necesitan de dos puntos para ser medidas. Un ejemplo de esto es la tensióna través de un elemento eléctrico, puesto que la tensión siempre se mide como la diferenciade potencial eléctrico en las dos terminales del circuito 1. Otros ejemplos de transvariablesson la velocidad, la presión y la temperatura. Otras variables son del tipo pervariable, o sea,que sólo se necesita un punto para medirlas. Estas variables se pueden asociar como a unflujo a través de los elementos que no se ve afectado, es decir, el valor de la pervariable enuna de las terminales de un elemento generalizado es igual al valor en la otra terminal, taly como se muestra en la Figura 3.1. Como ejemplos de este tipo de variables se tienen lacorriente eléctrica, la fuerza, el caudal y el flujo de calor. La relación entre las transvariablesy las pervariables viene dada por:

v21(t) = Zg(p)f21(t) (3.6)

Donde Zg(p) es la impendancia generalizada y p es el operador derivada, v21 representa latransvariable medida entre el terminal 2 y el terminal 1, es decir v21 = v20 − v10, donde v10

representa el valor de la transvariable tomando una referencia dada (la tierra generalizada) yf21 es el valor de la pervariable que fluye desde el punto 2 al punto 1.

Cada uno de los elementos generalizados tendrá su propia impedancia generalizada, tal ycomo se muestra en el Cuadro 3.1. Sumados a estos elementos, también se cuenta con fuentes

1El potencial eléctrico de una terminal, tampoco se puede medir con sólo este punto, sino que es necesariomedirlo con respecto a la tierra, que se considera como el cero de referencia.


3.1. Leyes fundamentales 67

ElementoImpedancia

Generalizada

Resistencia generalizada Rg

Capacitancia generalizada 1Cgp

Inductancia generalizada Lgp

Cuadro 3.1: Impendancias generalizadas.

Figura 3.2: Ejemplo de una red generalizada.

generalizadas, tanto de transvariables como pervariables que son análogas a las fuentes detensión y corriente de los circuitos eléctricos. Para formar la red, cada uno de los elementosse debe interconectar y a cada punto de interconeccion se le llama nodo. Cada nodo tiene unatransvariable asociada que se mide con respecto un nodo de referencia que sería la tierra delsistema. Cada elemento o “rama” entre dos nodos tendrá asociada una pervariable.

En la Figura 3.2, se muestra un ejemplo de una red generalizada. Esta red podría representartanto un sistema eléctrico, mecánico, térmico o hidráulico. Sumado a las ecuaciones de loselementos, se deben tener unas leyes de interconexión. Estas leyes son análogas a las leyesde Kirchhoff para circuitos eléctricos:

Ley de incidencias de las pervariables: La suma de todas las pervariables que inciden en unnodo cualquiera de la red generalizada es cero. En el caso de la Figura 3.2 se tendría:

fi − f10 − f12 = 0

f12 − f20a − f20b − f23 = 0

f23 − f30 = 0

Ley de contorno de las transvariables: La suma de todas las transvariables tomadas alrede-dor de cualquier contorno cerrado de la red generalizada es cero. En la Figura 3.2 setendrían las siguientes ecuaciones:

v10 − v12 − v20 = 0

v20 − v23 − vi = 0




Capacitor Capacitancia (F) i21(t) = C dv21(t)dt

+ -

Inductor Inductancia (H) v21(t) = Ldi21dt

+ -

Resistor Resistencia (Ω) v21(t) = Ri21(t)+ -

Transformador -v43(t) = 1

av21(t)

i21(t) = 1ai34(t)

+

-

+

-

Cuadro 3.2: Modelos de los elementos de los sistemas eléctricos.

En las secciones siguientes, se presentarán las distintas ecuaciones que modelan los sistemasfísicos y en forma paralela, se presentará la relación que existe entre estas ecuaciones y la redgeneralizada.

3.2. Modelado de sistemas eléctricos

Los circuitos eléctricos ya fueron estudiados en la sección 2.2. Aquí, sólo se presentaun pequeño resumen de las ecuaciones de los elementos, utilizando la notación de la redgeneralizada. Los principales elementos eléctricos se presentan en el Cuadro 3.2.

La diferencia con respecto a la Sección 2.2, es que se hace énfasis en que, la tensión en loselementos es en realidad una diferencia de potencial, de manera que v21(t) = v2(t)−v1(t) conv2(t) y v1(t) los potenciales de los nodos 2 y 1, medido con respecto a un nodo de referencia(la tierra).

Además se ha agregado un elemento transformador de variables, que en el caso eléctrico esprecisamente un transformador eléctrico. Acá se supone que las pérdidas en el transformadorson despreciables, por lo que, siguiendo la ley de conservación de energía, en un transforma-dor se debe cumplir

v21(t)i21(t) = v43(t)i34(t) (3.7)

es decir, los valores de la corriente y la tensión pueden variar, pero no así, la cantidad deenergía que se está trasegando.


3.3. Modelado de sistemas mecánicos traslacionales 69

3.3. Modelado de sistemas mecánicos traslacionalesLos sistemas mecánicos traslacionales están relacionados con el movimiento de los cuerpos

debido al efecto de fuerzas sobre ellos. Las principales variables implicadas corresponden ala fuerza, velocidad y posición de los distintos elementos. En el cuadro 3.3 se presentan losprincipales elementos y sus ecuaciones. Para efectos de este curso, sólo se considerará elmovimiento en una sola dimensión. En el caso de más dimensiones, estas mismas ecuacionesserán válidas para cada una de las dimensiones consideradas, o bien, se podrá reescribir lasecuaciones en una forma vectorial.

El primer elemento con el que se trabaja en los sistemas mecánicos es la masa. De acuerdocon la segunda ley de Newton, la fuerza que se aplica a un cuerpo es igual al cambio en lacantidad de movimiento del mismo

d (M(t)v(t))

dt= f(t) (3.8)

donde M(t) es la masa del cuerpo medida en kilogramos (kg), v(t) es la velocidad en m/s yf(t) es la fuerza que se aplica sobre el cuerpo medido en newtons (N). Si la masa es constante,se obtiene la forma común de la segunda ley de newton, sabiendo que la aceleración de uncuerpo es igual a la tasa de cambio de la velocidad del mismo.

Md (v(t))

dt= f(t) (3.9)

La masa se considera como un almacenador de energía cinética (gracias a su velocidad). Siel sistema se mueve en dirección vertical bajo el efecto de la gravedad, la masa también escapaz de almacenar energía potencial en función de su altitud con respecto al suelo. Como semencionó en la sección 3.1.5, la velocidad se puede tomar como una transvariable y la fuerzacomo una pervariable, por lo que la masa de un cuerpo es un caso particular de la capacitanciageneralizada en la que la impedancia generalizada vendría dada por Z(p) = 1

pM.

Normalmente se suelen definir los desplazamientos de los sistemas tomando como refe-rencia la posición inicial de las masas. En este curso se supondrá que las masas son cuerposrígidos que no se deforman y que la fuerza y la velocidad de cada cuerpo está aplicada en elcentro de masa.

El otro elemento importante es el resorte lineal ideal. Este elemento es capaz de defor-marse y almacenar energía potencial. La fuerza que se aplica en el resorte es directamenteproporcional a la deformación.

f(t) = k∆x(t)

f(t) = k (x2(t)− x1(t))(3.10)

k es la constante del resorte (N/m), ∆x(t) = x2(t) − x1(t) es la deformación neta 2. Sesupondrá que la masa del resorte es despreciable y por lo tanto las fuerzas que actúa en

2La deformación neta del resorte se mide a partir de una longitud de equilibrio, por lo que las posiciones x1 yx2 se deben elegir de manera que para x1 = x2 = 0 la elongación del resorte sea igual a cero.




Masa Masa (kg)f(t) = Ma(t)

= M d2x(t)dt

= M dv(t)dt

Resorte LinealConstantedel resorte

(N/m)

f(t) = K∆x(t)= K (x2(t)− x1(t))

odf(t)dt

= K (v2(t)− v1(t))

AmortiguadorCoeficientede fricción

(N/m/s)

f(t) = B (v2(t)− v1(t))

f(t) = B d(x2(t)−x1(t))dt

Palanca Ideal -x1(t) = x2(t)a

b

f2(t) = f1(t)ab

Cuadro 3.3: Modelos de los elementos de los sistemas mecánicos.

ambos extremos tienen la misma magnitud y sentido contrario. Derivando a ambos lado de(3.10) se obtiene

df(t)

dt= k (v2(t)− v1(t))

df(t)

dt= kv21(t)

(3.11)

v21(t) es la velocidad relativa del extremo 2 del resorte con respecto al extremo 1. A partirde (3.11), se puede deducir que el resorte lineal ideal, es un caso particular de la inductanciageneralizada, donde la impedancia generalizada vendría dada por Z(p) = 1

kp.

Hasta ahora, sólo se han visto elementos mecánicos almacenadores de energía. El amorti-guador en cambio es un elemento que sólo es capaz de disipar energía. Al igual que el resorte,se considera que su masa es despreciable, y por lo tanto, las fuerzas aplicadas en sus extremosestán balanceadas. La relación entre la fuerza y la velocidad en un amortiguador viene dadapor

f(t) = Bv21(t) (3.12)

el parámetro B se conoce como coeficiente de amortiguamiento y sus unidades vienen dadaspor (N/(m s)). A partir de su ecuación, se puede observar que los amortiguadores son un casoparticular de resistencia generalizada, cuyo valor de impedancia es igual a Z(p) = 1

B.

El último elemento que se considera dentro de los sistemas mecánicos traslacionales es lapalanca ideal. Una palanca ideal se define como “una barra rígida pivoteada en un punto, que



no tiene masa, el pivote no presenta fricción, no tiene momento ni almacena energía”(Loríay Mazón, 1989).

La relación entre el desplazamiento y el ángulo de la barra viene dado por

x1(t) = a sen (θ(t))

x2(t) = b sen (θ(t))(3.13)

pero para desplazamientos pequeños, se puede aproximar a

x1(t) ≈ aθ(t)

x2(t) ≈ bθ(t)(3.14)

Despejando θ en la ecuación de x2 e introduciendo en la ecuación de x1:

x1(t) =a

bx2(t) (3.15)

Al derivar (3.15) con respecto al tiempo, se obtiene

v1(t) =a

bv2(t) (3.16)

Para encontrar la relación entre las fuerzas, como la palanca no tiene momento y el ánguloθ es pequeño, se obtiene que el par producido por la fuerza f1 tiene que ser igual la parproducido por la fuerza f2

f1(t)a = f2(t)b (3.17)

lo que implica que

f1(t) =b

af2(t) (3.18)

Las leyes que relacionan los elementos son la segunda y tercera ley de Newton, y la leyde desplazamientos. La segunda ley de Newton expresa que la aceleración de un cuerpodependerá de su masa y del efecto conjunto de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo:

n∑i=1

fi(t) = Mdv(t)

dt(3.19)

donde n es el número total de fuerzas sobre la masa. Puesto que sólo se trata con el movi-miento traslacional en una dimensión, se supondrá que las fuerzas que actúan hacia la derechaserán positivas mientras que las fuerzas que actúan hacia la izquierda serán negativas.

La tercera ley de Newton indica que que si un elemento ejerce una fuerza sobre otro ele-mento, entonces existe una fuerza de reacción del segundo elemento sobre el primero, deigual magnitud pero sentido contrario. Esto es útil para determinar la dirección de las fuerzasal realizar un diagrama de cuerpo libre para determinar las ecuaciones del movimiento de loselementos.



Figura 3.3: Figura del ejemplo 3.1.

Figura 3.4: Diagrama del cuerpo libre del ejemplo 3.1.

Por último, la llamada ley de desplazamientos indica que, dado que “los puntos de uniónde los elementos mecánicos que están sometidos a una fuerza, se moverán a la misma velo-cidad y su desplazamiento también será el mismo. Por esta razón, la suma algebraica de laselongaciones (tomadas a partir de las referencias) y las velocidades alrededor de cualquierlazo cerrado debe ser cero” (Loría y Mazón, 1989).

Ejemplo 3.1

Encuentre un MVE del sistema presentado en la Figura 3.3, si u es la entrada delsistema y x1 y x2 son las salidas.

Dibujar la red generalizada correspondiente al sistema de la Figura 3.3.

Para escribir las ecuaciones de este sistema, lo primero que se debe hacer es dibujar losdiagramas de cuerpo libre de las masas presentes en el sistema tal y como se presenta enla Figura 3.4. Los diagramas de cuerpo libre representan a la masa y las fuerzas a las quese ve sometida, tomando cada una de las masas presentes por separado. fr1, fr2 y fr3 sonlas fuerzas producidas por los resortes, mientras que fa1 y fa2 son las fuerzas producidaspor los amortiguadores. La variable u es la fuerza externa que mueve el sistema. Nótese quela dirección de la fuerza f3 para el diagrama del cuerpo libre de la masa 1 tiene sentidocontrario a la fuerza f3 del diagrama del cuerpo libre de la masa 2, siguiendo la tercera leyde Newton.

Si x1 y x2 son los desplazamientos de la masa 1 y la masa 2 respectivamente y además v1

y v2 representan sus velocidades, a partir de la segunda ley de Newton se pueden escribir lassiguientes ecuaciones:

u− fr1 − fa1 − fr3 = M1dv1

dt(3.20)

fr3 − fr2 − fa2 = M2dv2

dt(3.21)



Es importante aclarar que x1 y x2 son los desplazamientos de las masas a partir de suposición en reposo y no la posición de las masas con respecto a una referencia. Un valorpositivo de x1 indicará que la masa se ha movido hacia la derecha, mientras que un valornegativo corresponde a un desplazamiento hacia la izquierda. Las ecuaciones de los resortesvendrían dadas por

fr1 = K1x1 (3.22)fr2 = K2x2 (3.23)fr3 = K1 (x1 − x2) (3.24)

para el caso de los amortiguadores:

fa1 = B1v1 (3.25)fa2 = B2v2 (3.26)

Si se introducen las ecuaciones de los elementos en las ecuaciones de la segunda ley deNewton, se obtienen las siguientes relaciones:

u−K1x1 −B1v1 −K3 (x1 − x2) = M1dv1

dt(3.27)

K3 (x1 − x2)−K2x2 −B2v2 = M2dv2

dt(3.28)

Definiendo el vector de estados como x = [x1, v1, x2, v2]T y el vector de salidas comoy = [x1, x2]T . Sabiendo que v1 = dx1

dty v2 = dx2

dt, el MVE del sistema queda de la siguiente

manera:

x =

0 1 0 0

−(K1+K3)M1

−B1

M1

K3

M10

0 0 0 1K3

M20 −(K2+K3)

M2

−B2

M2

x +

1M1

000

uy =

[1 0 0 00 0 1 0

]x

(3.29)

Para obtener la red generalizada de este ejemplo, tenemos que considerar primero el nú-mero de nodos del sistema. A cada nodo se le debe asociar una transvariable y como en estecaso sólo se tienen dos velocidades, la red tendrá sólo dos nodos más el nodo de referencia,que en este caso, son las velocidades del suelo y las paredes que se consideran como cero.Cada masa entonces corresponde a un capacitor generalizado, cada resorte a un inductorgeneralizado y cada amortiguador a una resistencia generalizada. La red equivalente se en-cuentra en la Figura 3.5. Si se aplica la ley de incidencia de pervariables a ambos nodosmarcados con v1 y v2, se obtiene la siguiente relación:



Figura 3.5: Red Generalizada correspondiente al sistema de la Figura 3.4.

u− fr1 − fa1 − fr3 −M1dv1

dt= 0 (3.30)

fr3 − fr2 − fa2 −M2dv2

dt= 0 (3.31)

Y al comparar las ecuaciones (3.20) y (3.21) con (3.30) y (3.31) se puede comprobar queambas ecuaciones son las mismas y, puesto que las ecuaciones de cada elemento son equi-valentes, la red de la Figura. 3.5 representa el mismo sistema original.

3.4. Modelado de sistemas mecánicos rotacionales

Los sistemas mecánicos rotacionales son aquellos en los que se estudian masas en rotacióncon respecto a un eje. Las ecuaciones y los elementos son análogos a los de los sistemasmecánicos traslacionales de la sección 3.3. Las variables que se utilizan normalmente son lassiguientes:

θ(t) es el desplazamiento angular (rad).

τ(t) es el par (N m)

ω(t) es la velocidad angular (rad/s).

α(t) es la aceleración angular (rad/s2).

En este caso, τ es la pervariable mientras que ω es la transvariable correspondiente.Los elementos principales de este tipo de sistemas se presentan en el Cuadro 3.4. El pri-

mero de los elementos es la inercia rotacional. La inercia rotacional J es la propiedad deun elemento de almacenar energía cinética debido a su movimiento rotacional (Kuo, 1996).La inercia rotacional cumple un papel similar a la masa de los sistemas mecánicos, con ladiferencia que la inercia rotacional depende de la densidad y de la geometría del cuerpo. Para


3.4. Modelado de sistemas mecánicos rotacionales 75


Inerciarotacional Inercia J (kg m2)

τ = Jα

= J d2θdt

= J dωdt

Resortetorsional

Constante delresorte K(N m/rad)

τ = K∆θ= K (θ2 − θ1)

odτdt

= K (ω2 − ω1)

Amortiguadortorsional

Coeficientede fricción B

(N/m s)

τ = B (ω2 − ω1)

τ = B d(τ2−τ1)dt

Engranaje Ideal -θ1 = θ2

r2r1

τ2 = −τ1r2r1

Cuadro 3.4: Modelos de los elementos de los sistemas mecánicos rotacionales.



el caso de N masas puntuales mi, i = 1, . . . , N girando alrededor de un eje a una distanciari cada una, la inercia rotacional vendría dado por:

J =N∑i=1

mir2i (3.32)

En el caso de un cuerpo rígido, esta inercia vendría dada por

J =

∫V

ρ(r)r2 dV (r) (3.33)

donde r representa la posición de cada partícula en el cuerpo, r es la distancia de cada partí-cula al eje de rotación, V es el volumen y ρ(r) es la densidad volumétrica de cada partícula.Así por ejemplo, la inercia rotacional de un disco circular rígido con densidad constante quegira alrededor de su eje geométrico (como en la figura del Cuadro 3.4) viene dado por

J =1

2Mr2 (3.34)

La relación entre la inercia rotacional y las variables físicas es una analogía a la relaciónque existe para la masa en movimiento traslacional:

τ(t) = Jα(t)

= Jdω(t)

dt

= Jd2θ(t)

dt2

(3.35)

A partir de (3.35), es posible deducir que la inercia rotacional corresponde a un caso particularde una capacitor generalizado con una capacitancia generalizada de C = J .

El siguiente elemento es el resorte de torsión . Este elemento ofrece resistencia al torqueaplicado. Se puede considerar igual a un resorte, con la diferencia de que la fuerza que pro-duce no se aplica de manera longitudinal sino que se aplica en un arco circular. Se suponeque la masa del resorte de torsión es despreciable, por lo que la magnitud del par aplicado enun extremo es igual al del otro extremo. La ecuación de este resorte viene dada por:

τ(t) = K∆θ(t)

= K (θ2 − θ1)

= Kθ21

(3.36)

con K igual al coeficiente del resorte torsional con unidades N m/rad. Al derivar esta ecua-ción, se obtiene

ω12 =1

K

dτ(t)

dt(3.37)


3.4. Modelado de sistemas mecánicos rotacionales 77

lo que implica que el resorte de torsión es un caso particular de un inductor generalizado coninductancia L = 1

K.

El elemento disipador de energía es el amortiguador torsional. Este elemento opone re-sistencia al movimiento rotacional de los elementos con masa. Al igual que con el resortetorsional, se supone que su masa es despreciable y por lo tanto el par en ambos extremos delelemento tiene la misma magnitud. La relación entre el par y la velocidad angular viene dadapor

τ(t) = Bω21(t) (3.38)

donde B es el coeficiente de amortiguamiento con unidades N m s /rad. Es claro que este esun caso particular de una resistor generalizado con resistencia R = 1

B.

El elemento que funciona como transformador generalizado en el caso rotacional son losengranes. Se supone que la masa y la fricción de los engranes son despreciables. Los dientessobre la superficie de los engranes (N1 y N2) son proporcionales a los radios de los mismos(Kuo, 1996), es decir

r1

r2

=N1

N2

(3.39)

o lo que es lo mismor1N2 = r2N1 (3.40)

Puesto que los engranes están acoplados, la distancia lineal que se recorre es la misma enambos engranes (cubren el mismo arco s), por lo tanto

s1 = s2

r1θ1 = r2θ2

(3.41)

Y como se supone que no hay fricción ni otras irreversibilidades, el trabajo y la potencia quese aplican en un engrane es igual al trabajo y la potencia que se aplica en el otro extremo:

τ1θ1 = τ2θ2

τ1ω1 = τ2ω2

(3.42)

Las leyes que rigen la relación entre los distintos elementos también son análogas a los de lossistemas traslacionales:

La aceleración angular de un cuerpo es proporcional a la suma algebraica de los paresque actúan sobre él

N∑i=1

τi = Jdω(t)

dt(3.43)

donde J es la inercia rotacional del cuerpo

Si dos cuerpos rotan sobre un mismo eje, cualquier par que ejerza el cuerpo 1 sobreel cuerpo 2 existirá un par de igual magnitud, pero de sentido contrario ejercido porel cuerpo 2 sobre el cuerpo 1. En caso de que dos cuerpos se estén tocando, pero notenga un mismo eje de rotación, la fuerza de contacto entre ellos seguirá la tercer leyde newton, pero el par no necesariamente será igual.



(a) Banda y polea (b) Cremallera y piñón

(c) Tornillo sin fin

Figura 3.6: Sistemas para convertir un movimiento rotacional en uno traslacional.

3.4.1. Conversión entre traslación y rotación

Existen dispositivos capaces de transformar un movimiento rotacional en uno traslacional.Estos son especialmente útiles cuando se quiere utilizar el par de un motor eléctrico paratrasladar masas. En la Figura 3.6 se muestran algunos ejemplos de este tipo de sistemas(Ogata, 2003). Uno de los sistemas más simples es el de banda y polea de la Figura 3.6a

En la Figura 3.6c se presenta un tornillo sin fin. Este sistema es capaz de mover una masaM mediante el giro de un tornillo. Si se desprecia la inercia de la polea, la inercia rotacionalequivalente que “siente” el motor es igual a la masa del bloque (M ) a una distancia r deleje de giro, es decir J = Mr2. La relación que existe entre el desplazamiento x(t) y eldesplazamiento angular θ(t) vendría dado por

x(t) = rθ(t) (3.44)

Estas mismas relaciones son equivalentes para el caso de la cremallera y el piñón de la Fi-gura 3.6b, cuando se desprecia la fricción entre los dientes. En el caso de la Figura 3.6c, elsistema también se puede ver como una inercia rotacional equivalente, desde el punto de vistadel motor. Si se define L como la distancia que avanza el tornillo en una revolución, la inerciaequivalente del sistema sería:

J = M

(L

2π

)2

(3.45)

Puesto que cada revolución, el sistema avanza una distancia L, la relación entre el giro del


3.5. Modelado de motores DC 79

motor conectado y el desplazamiento vendría dada por:

x(t) = Lθ(t)

2π(3.46)

3.5. Modelado de motores DC

Un motor DC es un elemento electromecánico que convierte la potencia eléctrica en poten-cia mecánica rotacional. Estos motores “son usados en una variedad de aplicaciones indus-triales, como robots, máquinas herramienta, industrias petroquímicas, de pulpa y de papel,plataformas de perforación petrolera y minería. Además se utilizan extensivamente sistemasautomotores y ferroviarios” (Hubert, 2002).

Estos motores son alimentados con corriente continua. A diferencia de los motores deinducción, dentro del motor no existe un campo magnético giratorio que “arrastre” al rotor,sino que el campo magnético es constante. Lo que se hace es devanar el rotor para que alfluir la corriente, se produzca una fuerza debido al campo magnético circundante y así sehaga girar al rotor. Debido a que en este caso, el rotor es el componente que utiliza la energíaeléctrica para producir el par, al rotor de los motores DC se le llama armadura. El estatores el encargado de producir el campo magnético dentro del motor, por lo que se le llamacampo. Este campo magnético puede producirse mediante una corriente eléctrica que fluyeen los devanados del estator, o mediante imanes permanentes.

Un sistema especial (normalmente unas escobillas de grafito y un conmutador) permite quela corriente en los devanados cambie de dirección para que el par que se ejerce sobre el rotorsiempre vaya en la misma dirección, mientras se mantiene la polaridad de la tensión sin cam-bios. En la Figura 3.7, se muestra el proceso de conmutación en un giro completo del motorDC simplificado para un solo devanado de armadura y con un campo producido con imanespermanentes. Cuando la armadura está en la posición de 0 (Figura 3.7a), el devanado es cor-tocircuitado momentáneamente por el conmutador y las escobillas, produciendo que no fluyacorriente por la armadura. En la posición de 90 y 270, fluye corriente por los devanados,produciendo una fuerza que hace girar la armadura. Hay que notar que la corriente cambiade dirección entre la Figura 3.7c y la Figura 3.7d, sin necesidad de cambiar la polaridad de lafuente. Puesto que la densidad de flujo campo magnético varía conforme la armadura gira, seproduce en los devanados un voltaje contraelectromotriz (vcem) que sigue la ley de Faraday.Este voltaje vendría dado por:

vcem(t) = −NAdφ(t)

dt(3.47)

donde φ(t) es la densidad de flujo y NA es el número de vueltas del devanado. La velocidadangular de la armadura vendría dado por ω(t) = dθ

dt. Despejando dt e introduciéndolo en

(3.47), se obtiene:

vcem(t) = −NAω(t)dφ(t)

dθ(t)(3.48)



+ -

A

BN S

Conmutador

Escobillas

(a) θ = 0

+ -

A

BN S

(b) θ = 90

+ -

A

B

N S

(c) θ = 180

+ -

A

B

N S

(d) θ = 270

Figura 3.7: Conmutación en un motor DC durante un giro completo (adaptado de (Hubert, 2002)).

Conforme el rotor gira, la densidad de flujo efectiva a través del devanado varía casi comouna señal triangular en función del ángulo del rotor. La pendiente de esta señal, es aproxima-damente

dφ(t)

dθ= −2ΦP

π(3.49)

ΦP , es el valor máximo que toma la densidad de flujo de campo magnético Φ(t). Al sustituir(3.49) en (3.48) se obtiene:

vcem(t) =2ω(t)NaΦP

π(3.50)

El valor de Na depende de factores constructivos del motor, por lo que, para una máquinadada, (3.49) se puede escribir como

vcem(t) = KAω(t)ΦP (3.51)

Φ(t) depende de la construcción del campo. Si se utilizan imanes permanentes, ΦP es cons-tante. Si por el contrario, el campo está construido con electroimanes, el campo magnéticoque se produce es proporcional a la corriente de campo iF (t):

ΦP = KF iF (t) (3.52)

por supuesto, si iF (t) es constante Φ(t) también lo será y por lo tanto también ΦP . En el casodel par, este es proporcional al campo generado y a la corriente de armadura

τ(t) = KAiA(t)ΦP (3.53)

Los devanados tanto de la armadura como del campo presentan cierta resistencia e in-ductancia. Esta característica se puede modelar como un resistor y un inductor en serie. La


3.5. Modelado de motores DC 81

Figura 3.8: Diagrama del modelo de un motor DC.

resistencia e inductancia del campo se representan como RF y LF respectivamente, mientrasque en el caso de la armadura, estos corresponden a RA y LA. Tomando en cuenta estos pa-rámetros y las ecuaciones para vcem, τ y ω, el modelo del motor DC se puede presentar comoen la Figura 3.8.

Si vinA es el voltaje de entrada de la armadura y vinF es el voltaje de entrada del campo,las ecuaciones eléctricas correspondiente serían entonces:

vinA(t)− LAdiA(t)

dt−RAiA(t) = vcem (3.54)

vinF (t) = LFdiF (t)

dt+RF iF (t) (3.55)

Por lo tanto el modelo completo vendría dado por:vinA(t)− LA diA(t)

dt−RAiA(t) = vcem

vinF (t) = LFdiF (t)dt

+RF iF (t)ΦP = KF iF (t)

vcem(t) = KAω(t)ΦP

τ(t) = KAiA(t)ΦP

Para poder encontrar tanto el par como la velocidad angular del motor, todavía es necesariauna ecuación que los relacione. Esta ecuación es la que surge de tomar en cuenta la cargaconectada al motor. En el siguiente ejemplo se presenta un ejemplo de este caso.

Ejemplo 3.2

Encuentre el modelo del sistema formado por un motor DC de imán permanente conectadoa una carga con inercia rotacional igual a J y que además se encuentra sometido a unaamortiguación viscosa con coeficiente B. El diagrama del cuerpo libre para la carga sepresenta en la Figura 3.9. τM representa el par aplicado por el motor sobre la carga. Puestoque el motor es de imán permanente, el flujo de campo magnético tiene magnitud constante,por lo que las ecuaciones del par y la velocidad angular se reducen a

vcem(t) = Kω(t)

τM(t) = KiA(t)



Figura 3.9: Diagrama del cuerpo libre para el ejemplo 3.2.

La ecuación de la armadura del motor vendría dada por:

vinA(t)− LAdiA(t)

dt−RAiA(t) = Kω(t) (3.56)

A partir del diagrama del cuerpo libre de la carga se obtiene

Jdω(t)

dt+Bω(t) = τM

E introduciendo la ecuación del par del motor:

Jdω(t)

dt+Bω(t) = KiA(t) (3.57)

Si las salidas que se quieren para el modelo son la velocidad y el par generado por el motor,a partir de (3.56) y (3.57), se puede escribir un MVE tomando la corriente de armadura y lavelocidad como estados. Definiendo x(t) = [iA(t), ω(t)]T , u = vinA(t) y y(t) = [ω, τm]T , elMVE correspondiente es:

x =

[ −RALA

−KLA

KJ

−BJ

]x +

[1LA

0

]y =

[0 1K 0

]x

(3.58)

En el caso de que el campo magnético estuviera en función de la corriente de campo, tambiénse podría escribir un MVE del sistema, pero habría que agregar un estado más (la corrien-te de campo), una entrada extra (el voltaje de campo) y además el sistema sería no lineal,puesto que tanto el par como el voltaje contraelectromotriz dependerían del producto de dosestados.


3.6. Modelado de sistemas térmicos 83

Figura 3.10: Un cuerpo sometido a un gradiente de temperatura.

3.6. Modelado de sistemas térmicos

El modelado de la conducción de calor es un tema complicado, principalmente por el hechode que, en general, la ecuaciones que gobiernan estas dinámicas no sólo dependen del tiempo,sino que tienen una componente espacial. La ley de conducción del calor de Fourier, indicaque el flujo de calor es directamente proporcional al gradiente de temperatura, esto es (Baehry Stephan, 2011):

qA(x, t) = −λ∇T (x, t) (3.59)

donde qA(x, t) es la densidad de flujo de calor, T (x, t) es el campo escalar de temperaturasy λ es la conductividad térmica del material. El signo menos indica que el calor siemprefluye desde la región de mayor temperatura hasta la región de temperatura menor. Cuando seanaliza la variación del campo de temperaturas, utilizando la ley de conservación de energíay la ley de Fourier , se llega a una ecuación en derivadas parciales, esto es, una ecuacióndiferencial que no sólo depende del tiempo, sino que también implica derivadas parcialesde las componentes espaciales. Para el caso en que las propiedades del cuerpo se suponenconstantes, esta ecuación diferencial toma la forma (Baehr y Stephan, 2011):

∂T

∂t= a∇2T +

W

cρ(3.60)

donde a es la difusividad térmica (m2/s), c es el calor específico y ρ es la densidad vo-lumétrica. ∇2 es conocido como Laplaciano y se define en coordenadas cartesianas como∇2Φ = ∂2Φ

∂x2+ ∂2Φ

∂y2+ ∂2Φ

∂z2.

En este curso, no se contemplará los casos en que la variación espacial de la temperaturasea necesaria, es decir se considerarán los parámetros de los cuerpos como concentrados.Considérese primero el caso de un cuerpo que se encuentra entre dos temperaturas distinta T1

y T2 (C) tal y como se muestra en la Figura 3.10. Si se supone que las propiedades del cuerposon constantes y no varían con la posición, se encuentra que, a partir de la ley de Fourier, elflujo de calor q (W) viene dado por:

q(t) =σcA (T2 − T1)

l(3.61)



donde σc es la conductividad térmica (J/(s m C)), A es el área normal a la dirección del flujode calor (m2) y l es el largo en la dirección del flujo (m). Al comparar esta ecuación con la deun resistor, se llega a la conclusión que si la temperatura es tomada como el voltaje y el flujode calor como la corriente, la resistencia térmica vendría dada por Rt = l

σcA(C s/J).

Los cuerpos almacenan energía en función de su temperatura y su masa. Para poder aumen-tar la temperatura de cierta masa, es necesario aplicar cierta cantidad de calor. Esta cantidadde calor es proporcional a la variación de la temperatura y esta constante de proporcionalidades conocida como calor específico Cp (J/(kgC)), de manera que

∆Q = CpM∆T (3.62)

con ∆Q la cantidad de energía entregada al sistema, ∆T es el cambio en la temperatura y Mes la masa. Si se considera sólo incrementos diferenciales y se divide por dt, se obtiene:

dQ

dt= CpM

dT

dt

y la parte izquierda de esta ecuación es igual al flujo de calor q

q = CpMdT

dt(3.63)

La ecuación 3.63, tiene la misma forma que la de un capacitor generalizado con una capa-citancia térmica dada por Ct = CpM . De esta manera, es posible escribir una ecuación querepresenta la evolución temporal de la temperatura de un cuerpo. Entre dos cuerpos, o uncuerpo y fluido, siempre existirá una resistencia térmica que creará el camino para el flujo decalor. Al contrario que en los demás sistemas vistos hasta ahora, no se ha encontrado ningúnfenómeno físico que cumpla el papel de “inductancia térmica”. Esto se debe principalmentea que en los sistemas térmicos sólo existe un tipo de energía (térmica), mientras que en losdemás sistemas se podía determinar siempre dos tipos de energías: una del tipo cinética y otradel tipo potencial.

Hasta ahora se ha mostrado el caso en que el calor fluye por conducción. No obstante, elcalor puede propagarse también por convección (en fluidos) o por radiación (que no necesitaun medio para propagarse). En el caso del flujo de calor entre un sólido y un fluido porconvección se suele hacer una aproximación utilizando la ley de enfriamiento de Newton:

q = h (Ts − Tf ) (3.64)

donde Ts es la temperatura del sólido, Tf es la temperatura del fluido y h es el coeficiente detransferencia de calor (W/(m2C). h es un parámetro difícil de obtener puesto que depende dela velocidad del fluido, la estructura del sólido, la presión entre otros. Por ello, es un valor quese suele determinar de manera empírica. La ecuación 3.64 tiene la misma forma que la de laresistencia térmica en el caso de la conducción, por lo que, para el caso de este curso, cuandoel calor fluya de un sólido a un líquido, se considerará que existe una resistencia térmica enla interfaz ente ellos.


3.6. Modelado de sistemas térmicos 85

Figura 3.11: Intercambiador de calor para el Ejemplo 3.3.

Ejemplo 3.3

Obtener un modelo para el sistema de la Figura 3.11, con TH y TC como entradas y T1 y T2

como salidas. V1 y V2 son los volúmenes dentro del intercambiador de calor, qV 1 y qV 2 sonlos caudales (m3/s) y ρ1 y ρ2 son las densidades de los fluidos (kg/m3).

Un intercambiador de calor es un dispositivo muy utilizado para intercambiar calor en-tre un fluido caliente y otro frío a través de una pared metálica. Utilizando las ecuacionespresentadas en esta sección, es posible construir un modelo muy simple y aproximado delcomportamiento dinámico del sistema. En primer lugar, se deben hacer algunas suposicio-nes importantes para simplificar el problema: se supondrá que los parámetros del sistemano varían con la posición ni con el tiempo, que los fluidos dentro de los volúmenes estánperfectamente mezclados, que podemos despreciar la variación de temperatura a través delintercambiador de calor y que el intercambiador está perfectamente aislado, de manera queno se intercambia calor con el ambiente3.

Si la masa dentro de las cámaras del intercambiador de calor se supone como una masaconcentrada, se le puede asociar una capacitancia térmica. Así, para el caso del fluido 1,esta capacitancia térmica sería Ct1 = Mcp1 = V1ρ1cp1 con cp1 su calor específico. Para elfluido 2, aplica una ecuación similar.

Para la primera masa de fluido se puede escribir la siguiente ecuación:

Ct1dT1

dt=∑

qi

donde los qi son los flujos de calor que afectan a la primera masa de fluido. Uno de losflujos es el intercambio de calor a través de las paredes internas. Este flujo de calor se puederepresentar como una resistencia térmica de manera que:

q1 =Aσcl

(T1 − T2) =1

RT

(T1 − T2)

3Como se puede apreciar, el modelo es muy simple y dependiendo de las necesidades, podría ser un modelopoco apropiado.



+-

+-

Figura 3.12: Circuito equivalente del intercambiador de calor del Ejemplo 3.3.

Intuitivamente, se sabe que la temperatura de salida del intercambiador de calor variarácon la temperatura de entrada de los fluidos. Como se supone que los fluidos en el interiorestán bien mezclados, se puede suponer que hay una transferencia de calor necesaria paraaumentar la temperatura desde la temperatura de entrada hasta la temperatura de salida.Como no se conoce exactamente la relación que existe, pero se sabe que cuanto mayor sea ladiferencia de temperatura entre la salida y la entrada, mayor flujo de calor habrá, se puedesuponer una constante de proporcionalidad k1 que debería encontrarse empíricamente, demanera que:

q2 = k1 (TH − T1)

Lo más probable es que esta constante dependa del calor específico y del flujo másico, demanera que k1 = k

′1ρ1qV 1cp1. Como se desprecia el flujo de calor entre el intercambiador y

el ambiente, sólo estos flujos se considerarían. La ecuación queda entonces de la siguientemanera:

Ct1dT1

dt= k1 (TH − T1)− 1

Rt

(T1 − T2) (3.65)

Lo que dice esta ecuación es que, la temperatura de salida 1 aumenta si la temperaturade entrada aumenta, y disminuye si la temperatura T2 disminuye. Esto último tiene sentidopuesto que el flujo entre la masa 1 y la masa 2 sería mayor, provocando que la masa 1 seenfríe. Para el caso de la masa 2 se puede escribir la siguiente ecuación:

Ct2dT2

dt= k2 (TC − T2) +

1

Rt

(T1 − T2) (3.66)

con Ct2 la capacitancia térmica de la masa 2, k2 su constante de proporcionalidad con res-pecto a la entrada. Nótese que la misma cantidad de calor que sale (enfría) la masa 1 es laque tiene que ingresar (calentar) a la masa 2, por eso, el término 1

Rt(T1 − T2) está restando

en (3.65) mientras que en (3.66) está sumando. (3.65) y (3.66) son el modelo que se estababuscando. Se puede escribir una analogía eléctrica de estas ecuaciones de una manera muysencilla. Si las temperaturas de entrada se representan como fuentes de voltaje, el circuitoequivalente sería como el que se presenta en la Figura 3.12.


3.7. Modelado de sistemas hidráulicos 87


TanqueCapacitanciaHidráulica

(m3/Pa)

dV (t)dt

= qe(t)− qs(t)

dh(t)dt

= 1A

(qe(t)− qs(t))

CHdP (t)dt

= qe(t)− qs(t)

Tuberíalarga

InductanciaHidráulica LH

(kg/m4)

P21(t) = ρlAdq(t)dt

= LHdq(t)dt

Resistenciahidráulica

Resistenciahidráulica K

caso simpleq(t) = 1

RH

√P2(t)− P1(t)

Cuadro 3.5: Modelos de los elementos de los sistemas hidráulicos.

3.7. Modelado de sistemas hidráulicos

Los sistemas hidráulicos son aquellos en los que fluye un líquido (normalmente aceite oagua). Al igual que en el caso de los sistemas térmicos, la distribución espacial también juegaun papel importante en el modelado. Sin embargo, también es posible encontrar modelosrelativamente sencillos utilizando elementos concentrados. El líquido se considera que esincompresible, lo que quiere decir que su densidad no varía con la temperatura ni la presión.

En un sistema hidráulico, se define caudal q como el producto

q = Av (3.67)

donde A es el área de la tubería por donde fluye el líquido y v es su velocidad. Puesto que sesupone que la densidad es constante, en una tubería se debe cumplir que, en dos posicionesgenerales cualesquiera:

A1v1 = A2v2 (3.68)

que es una forma de expresar la ley de conservación de masa y que toma el nombre deecuación de continuidad.



En el Cuadro 3.5, se muestran algunos de los elementos más importantes de los sistemashidráulicos. En este curso se considerarán el tanque abierto de área constante, la tubería largay la resistencia hidráulica.

Para modelar un tanque abierto se debe primero utilizar la ley de conservación de la masa.Pero puesto que se supone que la densidad se mantiene constante, esta ecuación se puedeescribir en función de los caudales y el volumen del tanque:

dV (t)

dt= qe(t)− qs(t) (3.69)

Es más, si se supone que el área del tanque es constante, su volumen se puede escribir comoV (t) = Ah(t) donde h(t) es la altura con respecto a la base del mismo, entonces la ecuaciónse puede escribir como:

dh(t)

dt=

1

A(qe(t)− qs(t)) (3.70)

La presión en el tanque suele ser determinante en el caudal de salida. La presión de salida deltanque está determinada por:

P (t) = PA + ρgh(t) (3.71)

Donde PA es la presión atmosférica (Pa), ρ es la densidad (kg/m3). Derivando esta ecuación:

dP (t)

dt= ρg

dh(t)

dt(3.72)

Introduciendo (3.72) en (3.70), se obtiene

dP (t)

dt=ρg

A(qe(t)− qs(t)) (3.73)

Esta ecuación es similar a la de una capacitor si se considera P (t) como la transvariable yel caudal resultante qe(t) − qs(t) como la pervariable. La capacitancia hidráulica entoncesvendría dada por CH = A

ρg(m4s2/kg).

Otro elemento importante es una tubería larga. En este caso, si se desea acelerar el flujode líquido a través de él, es necesario aplicar una fuerza que logre aumentar la velocidad dellíquido. A partir de la segunda ley de Newton se tiene que:

F = Mdv

dt

A (P2 − P1) = ρAldv(t)

dt

(3.74)

pero la velocidad está relacionado con el caudal v(t) = q(t)/A. Al introducir esta relación en(3.74) se obtiene:

P21(t) =ρl

A

dq(t)

dt(3.75)

esta ecuación es análoga a la de los inductores eléctricos, con una inductancia hidráulica iguala LH = ρl

A(kg/m4).



Figura 3.13: Caso general de una tubería en la que varía la velocidad, la presión y la altura de lasterminales.

Algunos elementos presentan cierta resistencia al flujo de líquido debido a la fricción ya las variaciones en el área de las tuberías. Algunos elementos que presentan este tipo deresistencia son (Alfaro, 2005):

medio o tapón poroso

tubo capilar largo

flujo turbulento en una tubería

flujo a través de una restricción (orificio o válvula)

Para modelar este tipo de elementos, se procede a utilizar la ecuación de Bernoulli. Tómeseel caso general presentado en la Figura 3.13. La ecuación de Bernoulli indica que:

ρv21

2+ ρgz1 + P1 =

ρv22

2+ ρgz2 + P2 (3.76)

g es la aceleración de la gravedad y ρ la densidad del fluido. Esta ecuación es válida parael caso en que la fricción del líquido es igual a cero. En el caso general, se debe tomar encuenta una pérdida de presión debido a estas fricciones. Esta pérdida de presión representauna resistencia al flujo de líquido. Cuando se incorpora la pérdida de presión Pp a (3.76), laecuación queda como:

ρv21

2+ ρgz1 + P1 + Pp =

ρv22

2+ ρgz2 + P2 (3.77)

El valor de Pp depende del régimen del flujo (si es turbulento o laminar). El número deReynolds R es un valor adimensional que indica el régimen del líquido (Loría y Mazón,1989):

R =vd

κ(3.78)

donde v es la velocidad promedio del fluido, d es el diámetro de la tubería y κ es el coeficientede viscosidad cinemática (m2/s) del fluido. Una vez que se calcula el número de Reynolds, sepueden encontrar tres casos:



Si R < 2000 entonces el flujo es laminar.

Si R > 3000 entonces el flujo es turbulento.

Si 2000 < R < 3000, el flujo podría ser laminar o turbulento. Esto dependerá de lascondiciones del sistema.

Entonces, las pérdidas de presión se pueden aproximar mediante

Pp = λv2lρ

2d(3.79)

con l la longitud del tubo en metros. λ se calcula como

λ =

64R

si es un régimen laminar0,025 si es un régimen turbulento (3.80)

Introduciendo (3.79) en (3.77), despejando v y si se considera que el caudal a través del tubose puede aproximar mediante q = Av con A la sección transversal promedio, entonces:

q = A

√2d

λlρ

√ρ

2(v2

2 − v21) + ρg (z2 − z1) + (P2 − P1) (3.81)

A partir de esta ecuación se puede definir la resistencia hidráulica RH como

RH =1

A

√λlρ

2d(3.82)

Aún así, esta ecuación es complicada de utilizar, puesto que v2 y v1 dependen del caudalv2 = q

A2y v1 = q

A1. Sin embargo, se puede simplificar el análisis si sólo se consideran tubos

con área transversal constante A1 = A2, de esta manera:

q =1

RH

√ρg (z2 − z1) + (P2 − P1) (3.83)

Y si la diferencia de altura entre los extremos del tubo es igual a cero la ecuación se simplificatodavía más:

q =1

RH

√P2 − P1 (3.84)

Como se puede observar, esta es una relación no lineal entre el caudal y la presión. Sin em-bargo, si la variación de la diferencia de presión es pequeña, esta relación se puede aproximara una relación lineal4:

q =1

RHf

(P2 − P1) (3.85)

4realizando una expansión de Taylor truncada hasta el elemento de primer orden



Figura 3.14: Sistema hidráulico del Ejemplo 3.4.

Ejemplo 3.4

Encuentre un modelo que prediga la variación de las alturas (h1 y h2) de los tanques de laFigura 3.14. A1 y A2 son las áreas de los tanques, RH es la resistencia hidráulica a la salidadel tanque uno, A3 es el área de la tubería de desagüe. Suponga que no existe resistencia ala salida del tanque dos.

La relación entre las alturas y los caudales se puede encontrar fácilmente a partir de lasecuaciones de conservación de masa:

dh1(t)

dt=

1

A1(qe − q1)

dh2(t)

dt=

1

A2(q1 − q2)

(3.86)

qe es la entrada del sistema, sin embargo es necesario encontrar una expresión para q1 yq2 en función de h1 y h2. En el caso de q1 es sencillo obtener la expresión a partir de laresistencia hidráulica:

q1 =1

RH

√∆P (3.87)

Puesto que la presión a la entrada del tanque y a la salida de la tubería es igual a la presiónatmosférica, se tiene que ∆P = ρgh1, por lo tanto

q1 =1

RH

√ρgh1 (3.88)

Para el caso de q2, se puede utilizar la ecuación de Bernoulli directamente para calcularel flujo de salida. Si se define como v2 a la velocidad del líquido en la parte superior del



tanque dos y v3 a la velocidad de salida del tanque dos y tomando en cuenta que la presión,en ambos extremos del tanque es igual a la presión atmosférica, la ecuación de Bernoullitoma la forma:

1

2v2

2 + gh2 =1

2v2

3 (3.89)

A partir de la ecuación de continuidad, se tiene que:

v2 =A3

A2

v3 (3.90)

Introduciendo (3.90) en (3.89) y despejando v3 se llega a

v3 =

√√√√ 2g

1− A23

A22

h2 (3.91)

Y puesto que q3 = A3v3, se llega a

q2 = A3

√√√√ 2g

1− A23

A22

h2 (3.92)

Entonces introduciendo (3.88) y (3.92) en (3.86) se llega a

dh1(t)

dt=

1

A1

(qe −

1

RH

√ρgh1

)dh2(t)

dt=

1

A2

1

RH

√ρgh1 − A3

√√√√ 2g

1− A23

A22

h2

(3.93)

Que representa la ecuación de estado de un modelo en variables de estado no lineal.

3.8. Modelos estáticosEn las secciones anteriores se ha estudiado cómo modelar la dinámica de un sistema por

medio de ecuaciones diferenciales. Sin embargo, también es útil saber los valores finales delas salidas cuando ha pasado suficiente tiempo después de una variación en la entrada, esdecir, cuando los efectos transitorios del cambio ya han terminado y se ha llegado a un estadoestacionario. A la relación entre la entradas y las salidas en estado estacionario se le conocecon el nombre de modelo estático o curva estática. Dos usos fundamentales de esta curvaes el dimensionamiento de equipos y procesos y la determinación de puntos de operación5

(Loría y Mazón, 1989).

5Se define punto de operación como el conjunto de valores de las variables de estado, entradas y salidas apartir de los cuales se desea operar la planta y que se toma como condición inicial para su estudio.


3.8. Modelos estáticos 93

3.8.1. A partir del modelo en variables de estadoObtener el modelo estático a partir del MVE es sencillo. Puesto que en cada punto de la

curva estática, se ha llegado a un estado estacionario, esos puntos tienen la particularidad quelas derivadas de las variables de estado con respecto al tiempo son iguales a cero. Luego, esposible encontrar una relación entre los estados y las entradas directamente de la MVE.

En el caso particular de un sistema lineal e invariante en el tiempo de la forma:

x = Ax + Bu (3.94a)y = Cx + Du (3.94b)

al hacer x = 0, se obtiene una relación para los estados dado por:

x = −A−1Bu (3.95)

que al introducirlo en (3.94b) se obtiene:

y =(−CA−1B + D

)u (3.96)

Como se puede observar, si el modelo es lineal, el modelo estático corresponde a una trans-formación lineal del espacio de entradas al espacio de salidas.

Cuando el MVE es no lineal y corresponde a la forma

xi = fi (x,u) (3.97a)yj = gj (x,u) (3.97b)

con i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , q, el procedimiento que se debe realizar es similar al casolineal. Lo que se debe hacer es resolver el sistema de ecuaciones:

0 = fi (x,u) (3.98)

despejando cada componente de x para luego introducir el resultado en (3.97b).

Ejemplo 3.5

Se puede obtener el modelo estático del sistema de dos tanques del Ejemplo 3.4 a partir de(3.93).

Haciendo las derivadas iguales a cero y despejando los niveles h1 y h2 se llega a lassiguientes ecuaciones estáticas

h1 =1

ρgR2Hq

2e (3.99)

h2 =1

2g

A22 − A2

3

A22A

23

q2e (3.100)



0 2 4 6 8 100

2

4

6

8

10

Caudal de entrada (m3/s)

Altu

ra d

e lo

s ta

nque

s (m

)

h1

h2

Figura 3.15: Curva estática corresponiente al sistema de dos tanques presentado en el Ejemplo 3.4.

En la Figura 3.15 se puede observar la curva estática del sistema hidráulico presentadoen el Ejemplo 3.4 obtenida con (3.99) y (3.100) para un cierto conjunto de valores de pará-metros6. Cada uno de los puntos de la curva representa el valor final de las alturas h1 y h2 enfunción del valor del caudal de entrada. Cuando la entrada varía, el sistema se desplazaráde un punto a otro de la curva estática, de acuerdo con la dinámica que se representa con sumodelo.

3.8.2. A partir de pruebas experimentalesTambién es posible encontrar la curva estática a partir de pruebas experimentales. En este

caso el procedimiento es como sigue:

1. Se elige un rango para los valores de la entrada del sistema y se escoge al menos 10valores diferentes en ese rango. Se debe tener en consideración la capacidad del sistemay mantenerse siempre en una zona segura de operación.

2. Para cada uno de los valores de entrada seleccionados, se procede a mantener constanteeste valor de entrada hasta que el sistema llegue a un estado estacionario (cuando lavariación en la salida, o el estado que se esté midiendo varíe sólo por los efectos delruido de medición).

3. Se anota el valor alcanzado del estado o la salida y se procede a repetir el proceso paracada uno de los valores de entrada seleccionados.

6Los valores de los parámetros se escogieron solamente con fines ilustrativos.


3.9. Linealización 95

4. Por último se procede a graficar el valor de las salidas o estados en función de losvalores de entrada.

Cuando se realiza la curva estática es importante tomar en cuenta la velocidad del proceso.Por ejemplo, para el caso de sistemas eléctricos, se puede llegar a un nuevo estado estacio-nario en cuestión de microsegundos, mientras que para procesos térmicos podría tardarsehoras en alcanzar un nuevo estado. Incluso, para procesos biológicos (como los que se dan enplantas depuradoras de agua) se puede tardar días en llegar a un nuevo estado estacionario.

3.9. LinealizaciónTodos los sistemas reales son no lineales en cierta medida. Como en el caso de los sistemas

hidráulicos o en el caso del motor DC, a veces las relaciones matemáticas entre las variablesson no lineales (la raíz cuadrada en el caso de los sistemas hidráulicos o la multiplicación deestados en el motor DC); otros tipos de no-linealidades son la saturación o la histéresis.

Sin embargo, analizar estos tipos de sistemas es muy complejo y no existen métodos están-dar para su estudio. Por otro lado, para los sistemas lineales existe una base teórica robustapara su análisis con la ayuda de una serie de herramientas matemáticas y de simulación.

La linealización es un proceso que se puede utilizar para aproximar una relación no linealpor medio de ecuaciones lineales que serán válidas en un rango limitado alrededor de unpunto de operación.

La ecuación de estado de un sistema no lineal viene dado por:

dx(t)

dt= f (x(t),u(t)) (3.101)

El proceso de linealización consiste en obtener la expansión en series de Taylor de f(x(t),u(t))alrededor del punto de operación deseado, pero descartando todos los elementos de orden2 y superior. Si el punto de operación está dado por el estado x(t) = x0(t) con entradau(t) = u0(t), la expansión en series para cada una de las ecuaciones de los estados porseparado viene dado por:

xi(t) = fi(x0,u0)+m∑j=1

(∂fi (x,u)

∂xj

∣∣∣∣x0,u0

(xj − xj0)

)+

p∑j=1

(∂fi (x,u)

∂uj

∣∣∣∣x0,u0

(uj − uj0)

)(3.102)

con i = 1, 2, . . . , n. Si se define los incrementos con respecto al punto de operación comoδxi = xi − xi0 y δui = ui − ui0, se desprende que δxi = xi − xi0, con xi0 = fi (x0,u0).Normalmente, se escoge un punto en estado estacionario como el punto de operación, por loque fi (x0,u0) = 0. Al introducir estas definiciones en (3.102), se obtiene:

δxi(t) =m∑j=1

(∂fi (x,u)

∂xj

∣∣∣∣x0,u0

δxj

)+

p∑j=1

(∂fi (x,u)

∂uj

∣∣∣∣x0,u0

δuj

)(3.103)



Esta ecuación se puede escribir en forma matricial como

δx = A′δx + B′δu (3.104)

donde

A′ =

∂f1∂x1

∂f1∂x2

· · · ∂f1∂xn

∂f2∂x1

∂f2∂x2

· · · ∂f2∂xn

...... · · · ...

∂fn∂x1

∂fn∂x2

· · · ∂fn∂xn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣x0,u0

(3.105)

B′ =

∂f1∂u1

∂f1∂u2

· · · ∂f1∂un

∂f2∂u1

∂f2∂u2

· · · ∂f2∂un

...... · · · ...

∂fn∂u1

∂fn∂u2

· · · ∂fn∂un

∣∣∣∣∣∣∣∣∣x0,u0

(3.106)

La ecuación 3.104, representa el modelo linealizado del modelo no lineal original. El rangoen la que este modelo es válido, depende mucho de las características del sistema y del puntode operación, por lo que podría ser que para incrementos relativamente grandes de δx0 yδu0, sea necesario contar con una batería de modelos linealizados y pasar de uno a otrodependiendo del punto de operación.

Ejemplo 3.6

El modelo del sistema hidráulico en (3.93) es no lineal. Linealizar el modelo a partir delestado estacionario dado por h1 = h10, h2 = h20,qe = qe0.

Si se escribe el sistema como:

dh1

dt= f1(h1, h2, qe) (3.107a)

dh2

dt= f2(h1, h2, qe) (3.107b)

con

f1(h1, h2, qe) =1

A1

(qe −

1

RH

√ρgh1

)(3.108a)

f2(h1, h2, qe) =1

A2

1

RH

√ρgh1 − A3

√√√√ 2g

1− A23

A22

h2

(3.108b)


3.9. Linealización 97

0 20 40 60 80 100 1203

4

5

6

7

8

Tiempo (s)

Niv

el (

m)

h1

h2

h1 linealizado

h2 linealizado

Figura 3.16: Comparación de la respuesta de un modelo linealizado.

La aproximación lineal del sistema en incrementos se puede encontrar mediante:

dδh1

dt=

∂f1

∂h1

∣∣∣∣h10,h20,qe

δh1 +∂f1

∂h2

∣∣∣∣h10,h20,qe

δh2 +∂f1

∂qe

∣∣∣∣h10,h20,qe

δqe

dδh2

dt=

∂f2

∂h1

∣∣∣∣h10,h20,qe

δh1 +∂f2

∂h2

∣∣∣∣h10,h20,qe

δh2 +∂f2

∂qe

∣∣∣∣h10,h20,qe

δqe

definiendo δh1 = h1 − h10, δh2 = h2 − h20 y δqe = qe − qe0. Realizando las derivadasparciales y sustituyendo en (3.108), se obtiene el siguiente modelo

dδh1

dt=

(1

A1

)δqe −

(1

A1RH

ρg

2√ρgh10

)δh1 (3.109a)

dδh2

dt=

(1

A2RH

ρg

2√ρgh10

)δh1 −

A3

A2

g

1− A23

A22

1√2g

1−A23

A22

h20

δh2 (3.109b)

Si se toma como punto de operación qe0 = 8 m3/s, h10 = 5,874 m y h20 = 3,229 m, la res-puesta ante un cambio en la entrada tal que δqe0 = 1, es como se presenta en la Figura 3.16.Como se puede observar, para esa variación de la entrada, el modelo linealizado se apro-xima muy bien al modelo no lineal, tanto en su dinámica (la forma de la curva) como es suvalor final.

Cuando se recalcula el modelo para otro punto de operación (qe0 = 5 m3/s, h10 = 2,296 my h20 = 1,263 m), el resultado es como en la Figura 3.17. Aunque el modelo tiene la mis-



0 20 40 60 80 100 1201

1.5

2

2.5

3

3.5

Tiempo (s)

Niv

el (

m)

h1

h2

h1 linealizado

h2 linealizado

Figura 3.17: Comparación de la respuesta del modelo linealizado para un punto de operación dife-rente.

ma forma de (3.109), este es un modelo lineal diferente al del primer caso, puesto que susparámetros (las matrices del MVE) dependen del punto de operación.

Al compararlo con el caso anterior, se puede notar que la diferencia entre las curvas esmayor, a pesar que δqe0 es igual, la razón por la que esto ocurre se puede explicar observan-do el modelo estático de la Figura 3.15. Para el caso de un caudal igual a 8 m3/s, la curvaestática es casi una línea recta (es decir, muy cercano a un sistema lineal), mientras que parael caso de un caudal igual a 5 m3/s el modelo estático está en un punto donde la curva es máspronunciada, por lo que la aproximación lineal será más cruda. También es importante notarque la forma de las curvas de respuesta al cambio en la entrada (la dinámica) es diferenteen ambos casos, por lo que, dependiendo de la aplicación, podría ser necesario utilizar losdos modelos al mismo tiempo, si se desea estudiar el sistema con una aproximación lineal enun rango más amplio de entrada.


Parte III.

Análisis de Sistemas

99

4. Análisis en el espacio de estados

En los capítulos 2 y 3, se trató el modelado de sistemas físicos en el espacio de estados ycon funciones de transferencia. En este capítulo, se introducirá el análisis de estos modelosen el espacio de estados con los conceptos de estabilidad, controlabilidad y observabilidad.

Ya se sabe que los distintos modelos sólo representan algunos aspectos de los sistemasfísicos. Sin embargo, en este capítulo se supondrá que estos modelos son lo suficientementebuenos como para utilizarlos como si fueran totalmente equivalentes a la dinámica que rige elsistema real en estudio. Por lo tanto, al analizar el modelo en espacio de estados, se supondráque los resultados son inmediatamente trasladables al sistema real.

4.1. Análisis de estabilidad

Existen varias definiciones de estabilidad. Si ante una entrada acotada, la salida de unsistema permanece acotada, se dice que el sistema es BIBO estable (BIBO viene del inglésBounded-Input Bounded-Output). Un sistema es asintóticamente estable cuando, ante unaentrada cero, el sistema tiende a cero cuando el tiempo tiende a infinito. En esta sección seanaliza estas características de estabilidad para los sistemas lineales e invariantes en el tiempo(LTI).

4.1.1. Relación entre los polos y el MVE

Supóngase que se tiene un sistema cuya ecuación diferencial (RES) viene dada por

dny(t)

dtn+ an−1

dn−1y(t)

dtn−1+ · · ·+ a1

dy(t)

dt+ a0y(t)

+ bmdmu(t)

dtm+ bm−1

dm−1u(t)

dtm−1+ · · ·+ b1

du(t)

dt+ b0u(t) = 0

(4.1)

La función de transferencia correspondiente viene dada por

G(s) =bms

m + bm−1sm−1 + · · ·+ b1s+ b0

sn + an−1sn−1 + · · ·+ a1s+ a0

(4.2)

La ecuación característica entonces vendría dada por

sn + an−1sn−1 + · · ·+ a1s+ a0 = 0 (4.3)

101

102 4. Análisis en el espacio de estados

cuyas raíces son los polos del sistema. Partiendo de un MVE equivalente dado por


y(t) = Cx(t) +Du(t)(4.4)

La función de transferencia que se obtendría a partir de este MVE vendría dado por

G(s) = C (sI−A)−1 B +D

= Cadj (sI−A)

|sI−A|B +D

=C adj (sI−A) B + |sI−A|D

|sI−A|

(4.5)

Por lo que la ecuación característica también se podría obtener mediante

|sI−A| = 0 (4.6)

Es más, la expresión en (4.6) es exactamente igual a la ecuación con la que se determinanlos valores propios de la matriz A

|λI−A| = 0 (4.7)

De esto se concluye que los polos del sistema son iguales a los valores propios de la matrizA. Este resultado es muy importante para las pruebas de estabilidad que se realizan másadelante.

4.1.2. Estabilidad BIBOLa estabilidad BIBO de un sistema lineal, se puede estudiar a partir de la respuesta a estado

cero(Ogata, 2003). Sea u(t) una entrada acotada, y(t) la salida del sistema y h(t) la respuestaal impulso. La respuesta del sistema vendría dada por su integral de convolución

y(t) =

∫ ∞0

u(t− τ)h(τ) dτ (4.8)

Puesto que, se quiere verificar que la salida sea acotada, se toma el valor absoluto de (4.8)

|y(t)| =∣∣∣∣∫ ∞

0

u(t− τ)h(τ) dτ

∣∣∣∣ (4.9)

que se puede escribir como

|y(t)| ≤∫ ∞

0

|u(t− τ)| |h(τ)| dτ (4.10)

puesto que u(t) es acotada, es decir |u(t)| ≤M con 0 < M <∞ se obtiene

|y(t)| ≤M

∫ ∞0

|h(τ)| dτ (4.11)


4.1. Análisis de estabilidad 103

y como lo que se quiere es que |y(t)| ≤ N con 0 < N <∞, entonces∫ ∞0

|h(τ)| dτ ≤ N

M∫ ∞0

|h(τ)| dτ ≤ Q <∞(4.12)

por lo tanto, para que una función sea BIBO estable, es necesario que el área bajo la curva|h(τ)| sea finita. Ahora bien, puesto que la función de transferencia es igual a la transformadade Laplace de la respuesta al impulso

G(s) = L h(t) =

∫ ∞0

h(t)e−st dt (4.13)

Aplicando el valor absoluto

|G(s)| =∣∣∣∣∫ ∞

0

h(t)e−st dt

∣∣∣∣ ≤ ∫ ∞0

|h(t)|∣∣e−st∣∣ dt (4.14)

s es un número complejo dado por s = σ + jω, por lo tanto∣∣e−s∣∣ =∣∣e−(σ+jω)

∣∣ =∣∣e−σe−jω∣∣ =

∣∣e−σ∣∣Cuando s es igual a alguno de los polos de G(s), se puede decir que G(s) = ∞, por lo que(4.14) toma la forma

∞ ≤∫ ∞

0

|h(t)|∣∣e−σt∣∣ dt (4.15)

Si alguno de los polos de G(s) (es decir, alguno de los valores propios de A) tiene parte realmayor o igual a cero (esta en el semiplano derecho del plano s o en el eje jω) se deduce que|e−σt| ≤ 1, por lo tanto, para este caso

∞ ≤∫ ∞

0

|h(t)| dt (4.16)

Que no cumple con la condición dada en (4.12). Por lo tanto, si algún polo del sistema se en-cuentra en el eje jω o tiene parte real positiva, no se cumple la condición de estabilidadBIBO y por lo tanto, el sistema es inestable. Sólo los sistemas cuyos polos se encuentranen el semiplano izquierdo cumplen la condición de ser BIBO estables.

4.1.3. Estabilidad asintótica

Si el sistema es estable asintóticamente, cuando se aplica una entrada cero al sistema conuna condición inicial dada, la salida del mismo va desde su estado inicial hasta su estado cerocuando el tiempo tiende a infinito. Matemáticamente, esta condición se escribe de la siguiente



manera. Si existe un número M positivo que depende del estado en el instante inicial t0 talque

|y(t)| ≤M ≤ ∞, ∀t ≥ t0 (4.17)

y ademáslımt→∞|y(t)| = 0 (4.18)

Ahora se buscará la condición de un modelo LTI para que se cumplan Si las entradassiempre son iguales a cero, la ecuación de estado de un MVE, se puede escribir como

x(t) = Ax(t)

y(t) = Cx(t)(4.19)

entonces la transición de estado vendría dada por

x(t) = eAtx(t0) (4.20)

y la salida quedaría entoncesy(t) = CeAtx(t0) (4.21)

La salida del sistema depende de las raíces de la ecuación característica, puesto que, de laSección 2.3.3, se sabe que

eAt = L −1

(sI−A)−1 (4.22)

y dado que

(sI−A)−1 =1

|sI−A|adj (sI−A)

entonces la forma que tome la ecuación de salidas dependerá de los polos del sistema. Si lasn raíces de la ecuación característica se expresan como si = σi + jωi, con i = 1, 2, . . . , n yexisten m raíces simples y el resto son de orden múltiple, (4.21) se puede escribir de la forma

y(t) =m∑i=1

Kiesit +

n−m−1∑i=0

multi(i)−1∑j=0

Ljtjes(m+1+i)t (4.23)

donde Ki y Lj son constantes que dependen de las matrices A, C y de las condiciones inicia-les x(t0) y multi(i) representa la multiplicidad del polo i-ésimo. Los términos exponencialesdefinen la respuesta del sistema cuando t→∞. Por lo tanto para satisfacer las dos condicio-nes en (4.17) y (4.18), es necesario que la parte real de los polos si sean negativos para queel sistema sea asintóticamente estable. Si los polos son imaginarios (se encuentran en el ejejω) la salida del sistema no crecerá indefinidamente, pero será oscilatorio con una amplitudmáxima constante. Cuando un sistema tiene polos imaginarios, se dirá que es marginalmenteestable (o marginalmente inestable).

Esta condición es la misma que para la condición de estabilidad BIBO. Por esta razón, parasistemas LTI, se puede decir que un sistema es estable o inestable, sin necesidad de entrar endetalles del tipo de estabilidad. Entonces, para sistemas LTI un sistema es estable si y sólo si


4.2. Análisis de controlabilidad 105

RegiónEstable

RegiónEstable

RegiónInestable

RegiónInestable

Figura 4.1: Estabilidad de un sistema en función de la posición de sus polos

sus polos tienen parte real negativa (o lo que es lo mismo, sus valores propios tienen partereal negativa). En la Figura 4.1 se muestra el plano complejo s con las áreas en las que unsistema es estable, inestable o marginalmente estable en función de la posición de sus polos:

σi < 0 : Si todos los polos tienen parte real negativa, entonces el sistema es estable.

σi = 0 : Si hay por lo menos un polo simple en el eje imaginario y no hay polos con partereal positiva, el sistema es marginalmente estable.

σi > 0 : Si hay por lo menos un polo con parte real positiva, o un polo de orden múltiple enel eje imaginario, el sistema es inestable.

Esta idea de estabilidad dependiente de la posición de los polos puede observarse en laFigura 4.2, donde se muestra la trayectoria de los estados de diferentes sistemas desde lacondición inicial x(t0) = [1,−1]T durante un tiempo igual a diez segundos. El estado inicialse muestra con un círculo y su estado final con un diamante. En la Figura 4.2a se muestra unsistema cuyos polos son reales y negativos. Sin importar su estado inicial, el sistema siempretiende a su estado cero. En el caso de polos complejos con parte real negativa, los sistemasse comporta como en la Figura 4.2b. En este caso el sistema también tiende hacia su estadocero, pero el valor de las variables de estado oscila un poco antes de alcanzar su estado cero,dando la sensación de rotación.

La Figura 4.2c muestra un sistema oscilatorio, en el que el estado oscila indefinidamentesin alcanzar su estado cero, formando en este caso una trayectoria elíptica. Un caso de sistemainestable se presenta en la Figura 4.2d en el que el valor de los estados tiende a valores cadavez mayores. Las líneas de campo en lugar de apuntar hacia su estado cero, tienden a llevarel sistema hacia “afuera”. La trayectoria en espiral, se debe a que los polos del sistema soncomplejos con parte real positiva.

4.2. Análisis de controlabilidadLa definición de controlabilidad se puede encontrar en Kuo (1996): “Un estado x(t) es

controlable en t = t0 si existe una entrada continua por intervalos u(t) que mueve el estado a



−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x1

x 2Respuesta a entrada cero de un sistema

(a) Sistema estable con polos reales

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

x1

x 2


(b) Sistema estable con polos complejos

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

x1

x 2


(c) Sistema marginalmente estable

−300 −200 −100 0 100 200 300−400

−300

−200

−100

0

100

200

300

400

x1

x 2


(d) Sistema inestable con polos complejos

Figura 4.2: Comportamiento de los estados, en función de la posición de los polos.

cualquier estado final x(tf ) en un tiempo finito tf−t0 ≥ 0. Si cada estado x(t0) es controlableen un espacio de tiempo finito, se dice que el sistema es de estado completamente controlableo simplemente de controlable”.

En otras palabras, un sistema es controlable si es posible encontrar una entrada que lleve alsistema desde un estado inicial a un estado final cualquiera, en un tiempo finito. Si la ecuaciónde estados viene dada por

x = Ax(t) + Bu(t)

partiendo del estado cero hasta un estado particular x(tf ) con una entrada u(t) se cumple que

x(tf ) =

∫ tf

t0

Φ (tf − τ) Bu(τ) dτ =

∫ tf

t0

eA(tf−τ)Bu(τ) dτ (4.24)

Se puede demostrar (ver Ogata (2003)) que la matriz exponencial se puede escribir de la



forma

eAt = α0(t)I + α1(t)A + α2(t)A2 + · · ·+ αn−1(t)An−1 =n−1∑k=0

αkAk (4.25)

Entonces sustituyendo (4.25) en (4.24), se obtiene

x(tf ) =n−1∑k=0

AkB

∫ tf

0

αk(tf − τ)u(τ) dτ (4.26)

Si se define ∫ t1

t0

αk(tf − τ)u(τ) dτ = βk (4.27)

entonces

x(tf ) =n−1∑k=0

AkBβk (4.28)

o de manera equivalente

x(tf ) =[

B AB · · · An−1B]

β0

β1...

βn−1

(4.29)

El estado final es combinación lineal de las columnas de la matriz Q, dada por

Q =[

B AB A2B · · · An−1B]

(4.30)

Por lo tanto, para que x(tf ) pueda ser cualquier punto del espacio de estado, es necesario quehayan por lo menos n columnas linealmente independientes en Q puesto que la dimensióndel vector de estado es igual a n (Domínguez y otros, 2006). De acá se desprende la condiciónde controlabilidad:

Un sistema LTI es totalmente controlable si el rango1 de la matriz de controlabilidad Qdada por (4.30) es n

A esta condición se le conoce como prueba de Kalman para controlabilidad por el ingenieroeléctrico Rudolf Kálmán, quien fue el primero en proponer los conceptos de controlabilidady observabilidad. Si la matriz Q es cuadrada, esta condición se puede verificar simplementecalculando su determinante. Si |Q| 6= 0, entonces la matriz Q es de rango máximo y elsistema es entonces controlable.

1El rango de una matriz viene dada por el número de filas o columnas que son linealmente independientes



4.2.1. Forma canónica controlable para sistemas SISO

Se le llama sistema SISO a aquellos que tienen solamente una entrada y una salida (Single-Input Single-Output). En el caso de que el sistema sea controlable, es posible encontrar unatransformación lineal de los estados que deje el sistema en la forma canónica controlable.

Sea el sistema

x = Ax(t) + Bu(t)

y = Cx(t) + Du(t)(4.31)

Si se define una matriz de transformación T tal que

x(t) = Tx′(t) (4.32)

Al introducir (4.32) en (4.31) se obtiene el sistema equivalente Sea el sistema

x′ = A′x′(t) + B′u(t)

y = C′x′(t) + D′u(t)(4.33)

con A′ = T−1AT, B′ = T−1B, C′ = CT y D′ = D. En el caso específico de latransformación para la forma canónica controlable, si la ecuación característica del sistemaviene dada por

|sI−A| = sn + an−1sn−1 + · · ·+ a1s+ a0 = 0 (4.34)

la matriz de transformación T se define entonces como

T = QM (4.35)

donde Q es la matriz de controlabilidad definida en (4.30) y M es

M =

a1 a2 · · · an−1 1a2 a3 · · · 1 0...

... . . . ......

an−1 1 · · · 0 01 0 · · · 0 0

(4.36)

de esta manera, el sistema queda de la forma

A′ =

0 1 0 · · · 00 0 1 · · · 0...

...... . . . ...

0 0 0 · · · 1−a0 −a1 −a2 · · · −an−1

(4.37)



B′ =

00...01

(4.38)

Las matrices C y D no siguen ningún patrón en particular.

4.2.2. Subespacio controlableEn el caso de que el sistema no sea totalmente controlable, es posible que una parte de él

sí lo sea. En ese caso, es interesante saber cuáles estados son controlables y cuáles no lo son.El subespacio controlable se define de la siguiente manera(Domínguez y otros, 2006): Dadoun sistema LTI de la forma


el conjunto de puntos del espacio de estados alcanzables partiendo del estado inicial ceroforman un subespacio vectorial, al que se le denomina subespacio controlable XC , generadopor los vectores columna de Q.

Para obtener la base que forma este subespacio lo que se debe hacer es seleccionar de lamatriz Q, las columnas que sean linealmente independientes, empezando desde la izquier-da. En el momento que se encuentre una columna que sea linealmente dependiente de lascolumnas anteriores, se descarta esa columna y todas las demás posteriores. Las columnasseleccionadas corresponden a una base del subespacio controlable.

Si la dimensión del subespacio controlable es rC < n, siendo n la dimensión del vector deestado, entonces existe una matriz de transformación TC

x(t) = TCx(t) (4.39)

Entonces, la ecuación de estado del sistema transformado queda de la forma[˙xa(t)˙xb(t)

]=

[Aaa Aab

0 Abb

] [xa(t)xb(t)

]+

[Ba

0

]u(t) (4.40)

El subsistema formado por la la sección del estado xa y cuya dinámica viene representada porAaa y Ba, coincide con la dimensión del el espacio controlable rC . La otra sección constituidapor xb no se ve afectada por la entrada, y por lo tanto corresponde a la parte no controlable.Esta relación se puede representar gráficamente, mediante el diagrama de la Figura 4.3.

La matriz de transformación TC se construye a partir de la base del subespacio controlable.Lo primero que se debe hacer es formar una matriz Ta de dimensiones n× rC a partir de losvectores columna que forman el subespacio controlable. Luego se debe contruir una matrizTb que esté formada por n−rC vectores linealmente independientes entre ellos y los vectorescolumna de Ta. Con estas dos matrices, se construye entonces la matriz de transformación

TC =[

Ta Tb

](4.41)



Subsistema controlable

Subsistema no controlable

Figura 4.3: Separación del sistema en su parte controlable y no controlable.

En caso de que el subsistema controlable tenga algún estado inestable y el subsistema nocontrolable sea estable, entonces se dice que el sistema es estabilizable, es decir, mediante uncontrolador adecuado, es posible estabilizar el sistema.

4.2.3. Cálculo de la entrada para obtener un estadodeterminado

De acuerdo con la Sección 2.3.3, la ecuación de estados de un sistema LTI, viene dado porla ecuación (2.84). Si se sabe que el sistema es controlable y lo que se desea es obtener unestado particular x(t1) a partir de un estado inicial x(t0) en un tiempo finito t1− t0, entoncesel problema consiste en encontrar la entrada u(t) que cumpla

x(t1) = Φ(t1 − t0)x(t0) +

∫ t1

t0

Φ(t1 − τ)Bu(τ) dτ (4.42)

Este problema tiene un infinito número de soluciones. Algunas soluciones se basan encriterios de optimización de energía (como es el caso del control óptimo), o en encontrarciertos parámetros de una entrada con forma predeterminada que cumpla con (4.42).

La entrada más común que se puede calcular es una formada por escalones. Este métodoen su forma más sencilla tiene dos pasos (Domínguez y otros, 2006):

1. Fijar el número de escalones que se utilizarán. En general, si se quieren ajustar n va-riables de estado, se necesitarán n escalones diferentes cuyas alturas deben calcularse.

2. Fijar el intervalo en el que cada cada escalón deberá ser aplicado. Lo normal en estepunto es fijar la longitud arbitrariamente, dándole el mismo tiempo a cada uno de losescalones (n subintervalos de igual longitud).

No obstante, también sería posible incluir dentro del mismo procedimiento de cálculo, laobtención del tiempo en el cada intervalo se debe aplicar, por lo que sería posible tener un


4.3. Análisis de observabilidad 111

sistema con n ecuaciones (cada uno de los estados) pero con 2n − 1 grados de libertad (ndiferentes alturas de escalones y n− 1 longitudes de subintervalos).

4.3. Análisis de observabilidadLa observabilidad se define de la siguiente manera (Kuo, 1996):“Dado un sistema lineal e invariante con el tiempo que se describe mediante las ecuaciones


y(t) = Cx(t) + Du(t)(4.43)

se dice que el estado x(t0) es observable si dada cualquier entrada u(t), existe un tiempofinito tf ≥ t0 tal que del conocimiento de u(t) para t0 ≤ t < tf , las matrices A, B, C,D; y la salida y(t) para t0 ≤ t < tf son suficientes para determinar x(t0). Si cada estadodel sistema es observable para un tf finito, se dice que el sistema es totalmente observable osimplemente observable”.

Es decir, que un sistema es observable si, al tener acceso a la salida y a la entrada de unsistema, es posible calcular el valor del estado. Para ello es necesario que los estados afectenlas salidas de alguna manera. Si un estado no afecta las salidas, entonces no es posible calcularsu valor a partir de la observación de las salidas y las entradas solamente.

La salida de un sistema como el de (4.43) viene dada por

y(t) = CeAtx(0) + C

∫ t

0

eA(t−τ)Bu(τ) dτ + Du(t) (4.44)

El único elemento desconocido de esta ecuación es x(0), por lo que, si se pasa todos loselementos conocidos al lado izquierdo nos queda una ecuación de la forma

y(t) = CeAtx(0) (4.45)

donde y(t) reúne todos los elementos conocidos. Si se procede igual que en el caso de lacontrolabilidad a expresar la matriz exponencial en términos de una serie finita de la forma(4.25) entonces (4.45) se puede escribir de la forma

y(t) =n−1∑k=0

αk(t)CAkx(0) (4.46)

y(t) = α0(t)Cx(0) + α1(t)CAx(0) + · · ·+ αn−1(t)CAn−1x(0) (4.47)

Se puede demostrar (ver Ogata (2003)), que para que se pueda determinar el estado x(0) dadala salida y(t), la matriz P de tamaño nq × n (q salidas y n estados) dada por

P =

C

CA...

CAn−1

(4.48)



debe tener rango n. Entonces para probar si un sistema es observable, se puede recurrir a lasiguiente prueba

Un sistema LTI es totalmente observable si el rango de la matriz de observabilidad Pdada por (4.48) es n

A esta prueba se le conoce como prueba de observabilidad completa de Kalman.

4.3.1. Forma canónica observable para sistemas SISOAl igual que para el caso de la controlabilidad, existe una forma de convertir el MVE

de un sistema observable en un MVE equivalente en su forma canónica. Supóngase que setiene un sistema de la forma (4.31) con una ecuación características dada por (4.34). Latransformación de los estados a la forma canónica observable, viene dada por

x(t) = Tx(t) (4.49)

Al igual que con cualquier transformación, las nuevas matrices del sistema vendrían dadaspor

A = T−1AT B = T−1B C = CT D = D (4.50)

Una vez realizada la transformación, las matrices A y C vendrían dadas por

A =

0 0 · · · 0 −a0

1 0 · · · 0 −a1

0 1 · · · 0 −a2...

... . . . ......

1 0 · · · 0 −an−1

(4.51)

C =[

0 0 · · · 0 1]

(4.52)

Las matrices B y D no siguen ningún patrón particular. Hay que darse cuenta que la matrizA es igual a la transpuesta de la matriz A′ del caso de la forma canónica controlable. Latranspuesta de C es igual a B′.

La matriz de transformación T viene dada por

T = (MP)−1 (4.53)

donde M es la matriz dada en (4.36) y P es la matriz de observabilidad dada en (4.48).

4.3.2. Subespacio no-observableTomando como base Domínguez y otros (2006), es posible definir el subespacio no ob-

servable: “Dado un sistema lineal invariante en el tiempo definido por (4.43), el conjunto depuntos del espacio de estado tales que tomados como estado inicial antes una entrada nula,


4.4. Principio de Dualidad 113

la salida del sistemas es permanentemente nula y denominados no-observables, forman unsubespacio vectorial que se denomina subespacio no-observable”.

Puede parecer extraño que en lugar de definir el subespacio observable, se defina en sulugar el espacio no-observable. Pero esto se debe a que, la base de este subespacio se obtienedirectamente de la matriz P. Si rango(P) = rP y la dimensión del espacio de estados es n,para determinar una base del subespacio no observable, se deben determinar n− rp vectoreslinealmente independientes que sean ortogonales a las filas de la matriz P. Para esto se sigueel siguiente procedimiento: se buscan las filas de la matriz P que sean linealmente indepen-dientes. Una vez que se encuentra una fila que sea linealmente dependiente, se descarta esafila y todas las demás posteriores. Con esas filas se forma la matriz Pr. Con esta matriz sebusca el espacio de todos los vectores que cumplan

Prx = 0 (4.54)

A partir de (4.54) es posible obtener la base del espacio no observable.De igual forma, es posible obtener una transformación lineal que separe el subsistema

observable del no observable. La forma de la matriz de transformación tiene la siguienteforma

TO =[

Ta Tb

](4.55)

Tb representa una base del sistema no observable, mientras que Ta esta formada por rPvectores que sean linealmente independientes entre sí y entre ellos y la base Tb. Al aplicar latransformación x(t) = TOx(t), el sistema queda de la forma[

˙xa˙xb

]=

[Aaa 0

Aba Abb

] [xaxb

]+

[Ba

Bb

]u(t)

y(t) =[

Ca 0] [ xa

xb

]+ Du(t)

(4.56)

El subsistema correspondiente a los estados en xa representa la parte del sistema que es ob-servable. Como se puede observar en la Figura 4.4, la parte del sistema que no es observable,está desconectada de la salida, por lo que, cualquier cambio que ocurra en xb(t) no se veráreflejado en la salida, lo que hace a estas variables de estado no observables.

Si los estados asociados a la parte observable son estables, entonces se dice que el sistemaes detectable

4.4. Principio de DualidadExiste una relación entre controlabilidad y observabilidad para los sistemas LTI (Ogata,

2003). Si se tiene un sistema S1 de la forma


y(t) = Cx(t)



Subsistema observable

Subsistemano observable

Figura 4.4: Sistema separado en su parte observable y no observable.

con n estados, p entradas y q salidas, con las matrices A, B, C de dimensiones correspon-dientes, el sistema dual S2 viene definido por

z(t) = A∗z(t) + C∗v(t)

w(t) = B∗z(t)(4.57)

donde

z(t): es un vector de estado (dimensión n).

v(t): es un vector de entrada (dimensión q).

w(t): es un vector de salida (dimensión p).

A∗: es la transpuesta conjugada de A.

B∗: es la transpuesta conjugada de B.

C∗: es la transpuesta conjugada de C.

El principio de dualidad indica que el sistema S1 es completamente controlable (observable)si el sistema dual S2 es completamente observable (controlable)

4.5. Descomposición de KalmanSi un sistema no es completamente observable ni completamente controlable, es posible

escribirlo de manera que las partes controlables y observables estén separadas (Domínguez yotros, 2006). Partiendo de un sistema en la forma de MVE,


y(t) = Cx(t) + Du(t)


4.5. Descomposición de Kalman 115

existe una TCO invertible con la que se puede realizar un cambio de base de la forma

x(t) = TCOx(t) (4.58)

De manera que las matrices transformadas queden de la forma

A = T−1AT =

Aaa 0 Aac 0

Aba Abb Abc Abd

0 0 Acc 0

0 0 Adc Adc

(4.59)

B = T−1B =

Ba

Bb

00

(4.60)

C = CT =[

Ca 0 Cb 0]

(4.61)

Los estados transformados quedan de la forma

x =[

xTa xTb xTc xTd]T (4.62)

De esta manera, el subsistema asociado a los estados transformados xa, caracterizado por lasmatrices

[Aaa, Ba, Ca

]es totalmente controlable y observable. A este subsistema se le llama

realización mínima del sistema, porque la función de transferencia que se obtiene a partirde él es exactamente igual a la que se obtendría utilizando el sistema completo. Entonces, porello se dice que, un MVE es una realización mínima del sistema si y sólo sí es controlable yobservable.

Los estados formados por xa y xb, son los estados controlables del sistema, asociados alsubsistema [[

Aaa 0

Aba Abb

],

[Ba

Bb

],[

Ca 0]]

Y por último, los estados xa y xc están asociados a un subsistema totalmente observablecaracterizados por las matrices[[

Aaa Aac

0 Acc

],

[Ba

0

],[

Ca Cc

]]Esta separación se puede apreciar gráficamente en la figura 4.5. La parte del sistema que es

totalmente controlable está conectado de alguna manera con las entradas del sistema, por loque, por medio de la manipulación de estas, es posible cambiar el valor de los estados asocia-dos. En el caso de la parte del subsistema observable, los estados están conectados de algunamanera a la salida del sistema, por lo que, es posible detectar variaciones en estos estados apartir de la salida. Hay una parte del sistema que no es ni controlable ni observable, lo que



Subsistema controlable y observable

Subsistema controlabley no observable

Subsistemano controlabley no observable

Subsistema no controlabley observable

Figura 4.5: Separación del sistema en sus partes controlables y observables.

significa que sus estados evolucionan de manera independiente de las entradas y tampocoafectan la salida del sistema. Es claro entonces que si los estados asociados a este subsistemason inestables, será imposible controlar de manera correcta la evolución del sistema puestoque, no habrá opción de cómo controlarlos ni tampoco será posible detectar esta inestabilidaden la salida.

Cálculo de la matriz TOC

La matriz de transformación TOC tiene la forma

TOC =[

Ta Tb Tc Td

](4.63)

Las distintas submatrices se deben calcular en este orden (Domínguez y otros, 2006):

Tb: Es una matriz que contiene una base del subespacio que se obtiene de la intersecciónentre el subespacio no observable y el subespacio controlable. Es decir, se debe en-contrar una base que defina al conjunto de vectores que pertenezcan tanto al espaciocontrolable como al no observable.

Ta: Los vectores columna de Ta junto con los vectores de Tb, tienen que formar una basedel subespacio controlable. Es decir, Ta contiene un conjunto de vectores linealmenteindependientes entre sí y entre los vectores de Tb, que en conjunto forman una basedel subespacio controlable.

Td: Los vectores columna de Td junto con los vectores de Tb, tienen que formar una basedel subespacio no observable. Es decir, Td contiene un conjunto de vectores lineal-



mente independientes entre sí y entre los vectores de Tb, que en conjunto forman unabase del subespacio no observable.

Tc: Es un conjunto de vectores que, en conjunto con Ta, Tb y Td, forman una base delespacio de estado.

Ejemplo 4.1

Obtener un MVE equivalente en el que se separe la parte controlable y la observable delsistema dado por

A =

2 3 −4 0 −1−3 −2 4 0 3−3 0 2 0 3−3 −3 4 −1 13 3 −4 0 −2

B =

0322−2

C =

[−3 3 2 0 5

]Lo primero que se debe hacer en este caso es obtener las bases de los subespacios contro-

lable y observable. Aplicando la prueba de Kalman de controlabilidad se obtiene

Q =[

B AB A2B A3B A4B]

=

0 3 −3 9 −153 −4 6 −10 182 −2 2 −2 22 −5 5 −11 17−2 5 −5 11 −17

(4.64)

El rango de la matriz Q es 3, por lo que el sistema no es completamente controlable. Unabase del sistema vendría dada por las 3 primeras columnas linealmente independientes deQ. Sin embargo, siempre es mejor simplificar estas bases. La manera de simplificar la basees la siguiente: se forma una matriz cuyas filas son iguales a las columnas de los vectoresde la base del subespacio controlable. Se reduce esta matriz hasta que se llegue a una formaescalonada. Las filas que resultan corresponden a la base simplificada del subespacio. Rea-lizando este procedimiento con las primeras tres columnas de Q se obtiene la base para el



subespacio controlable

BC =

100−1

1

,

01000

,

0011−1

(4.65)

Realizando la prueba de Kalman para observabilidad, se obtiene el siguiente resultado

P =

C

CACA2

CA3

CA4

=

−3 3 2 0 5−6 0 8 0 8−12 6 8 0 14−24 −6 32 0 26−48 18 32 0 50

(4.66)

El rango de esta matriz también es igual a 3, lo que significa que la dimensión del subespaciono observable es igual a 2. Para obtener la base del subespacio, hay que resolver el siguientesistema de ecuaciones

−3 3 2 0 5−6 0 8 0 8−12 6 8 0 14

x1

x2

x3

x4

x5

= 0 (4.67)

Puesto que se tienen tres ecuaciones pero cinco variables, el sistema quedará dependiendode dos parámetros f y g. Al reducir el sistema de ecuaciones se encuentran la siguientesolución x1 = 0, x2 = −f , x3 = −f , x4 = g y x5 = f , es decir, la solución general se puedeescribir de la forma

x1

x2

x3

x4

x5

= f

0−1−1

01

+ g

00010

(4.68)

Por lo tanto, una base para el sistema no controlable viene dada por

BO =

0−1−1

01

,

00010

(4.69)

El siguiente paso es encontrar una base para el subespacio que es intersección del subes-pacio controlable y el no observable BC ∩ BO. Una manera para encontrar este espacio es



definir las ecuaciones algebraicas que definen cada uno de estos subespacios y encontrar elvector que satisfaga todas las ecuaciones al mismo tiempo. Para el caso del subespacio noobservable, se verifica que los vectores que pertenecen a este subespacio deben cumplir

x1 = 0x2 = −x5

x3 = −x5

(4.70)

Para el caso del subespacio controlable, la ecuación que define el subespacio viene dadapor

x4 = −x5 (4.71)

Puesto que los componentes x1, x2 y x3 pueden tomar cualquier valor independientemente delos otros componentes del vector de estados. El sistema formado por (4.70) y (4.71), formaun sistema de cuatro ecuaciones con cinco variables, por lo que la solución dependerá de unparámetro. Al resolver el sistema se llega a

x1

x2

x3

x4

x5

= a

0−1−1−1

1

(4.72)

por lo tanto, la base del subespacio que es intersección del subespacio controlable y noobservable, viene dado por

BC∩O =

0−1−1−1

1

(4.73)

Con todas estas bases es posible encontrar las submatrices de TOC

La matriz Tb es la base de BC∩O:

Tb =

0−1−1−1

1

Ta junto con Tb deben ser base del espacio controlable. Entonces, basta tomar dosvectores de BC que sean linealmente independientes de Tb, por lo tanto

Ta =

1 00 10 0−1 0

1 0



Td junto con Tb deben ser una base del subespacio no observable. Por lo que bastatomar un vector de BO que sea linealmente independiente de Tb. Se puede elegir porejemplo

Td =

0−1−1

01

Puesto que el espacio de estados es de dimensión 5 (se trata de R5), y se tienen 4vectores linealmente independientes, sólo es necesario encontrar un vector linealmenteindependiente de los demás para formar el espacio de estados. Por simplicidad, sepuede escoger:

Tc =

10000

Por lo tanto, la matriz de transformación queda definida como

TOC =[

Ta Tb Tc Td

]=

1 0 0 1 00 1 −1 0 −10 0 −1 0 −1−1 0 −1 0 0

1 0 1 0 1

(4.74)

De esta manera, las matrices transformadas quedan de la forma

A = TOC−1ATOC =

1 3 0 0 00 −2 0 0 00 0 −1 3 00 0 0 2 00 0 0 0 −1

(4.75)

B = TOC−1B =

01−2

00

(4.76)

C = CTOC =[

2 3 0 −3 0]

(4.77)

Por lo tanto se obtienen los siguientes resultados



Aaa =

[1 30 −2

]Aac =

[00

]Aba =

[0 0

]Abb = −1

Abc = 3 Abd = 0

Acc = 2 Adc = 0

Add = −1 Ba =

[01

]Bb = −2 Ca =

[2 3

]Cc = −3


5. Análisis en el dominio del tiempo

En este capítulo se presenta un análisis del comportamiento de los sistemas de primer ysegundo orden en el dominio del tiempo. Aunque parezca un poco contradictorio, la maneramás sencilla de caracterizar estos sistemas es utilizando su función de transferencia.

Para estudiar la respuesta, se procede a utilizar una entrada escalón unitario. Sin embargo,como los sistemas son lineales, los resultados se pueden generalizar para cualquier entrada.

En la sección 5.1, se presenta la manera en que se caracteriza el retardo en los sistemaslineales. Luego, en la sección 5.2 se caracterizarán los sistemas de primer orden con retardomientras que en la sección 5.3 se muestra el caso de los sistemas de segundo orden conretardo. En la sección 5.4 se presenta el efecto de los ceros en la respuesta al escalón. En lasección 5.5, se introduce el concepto de dominancia de polos, para mostrar que un sistemalineal de orden alto, se puede aproximar mediante un sistema de orden bajo.

5.1. Representación del retardo en sistemas lineales

Se dice que la versión retardada de una señal f(t) viene dada por

fr(t) = f(t− L)µ(t− L) (5.1)

donde µ(t−L) es el escalón unitario. Esta relación se escribe de esta manera porque, como escostumbre, se supone que antes del instante inicial, el valor de todas las señales eran igualesa cero. Un caso típico en el que una señal aparece retardada son las bandas transportadoras.Véase el caso de la Figura 5.1. Si se está midiendo el peso del material que cae sobre la bandatransportadora, pero el sensor sólo se puede colocar al final de la banda, la señal que se podrárecuperar del sistema tendrá un retardo con respecto al peso en el punto donde cae el material.Por ejemplo, la señal del peso que cae sobre la banda puede ser similar al que aparece en laFigura 5.2. La señal punteada representa el peso del material sobre la banda, mientras que laseñal continua representa la medición del sensor, la cual está atrasada por un valor L = 3 s.Las señales tiene la misma forma, pero están desplazadas temporalmente. La transformadade Laplace de (5.1), viene dada por

L f(t− a)µ(t− a) = e−asF (s) (5.2)

en este caso aparece un factor exponencial en el dominio de la frecuencia que debe ser tomadoen cuenta en los análisis. Supóngase que se tiene un sistema cuya ecuación diferencial viene

123

124 5. Análisis en el dominio del tiempo

Sensor de peso

Figura 5.1: La banda transportadora es un caso típico en el que aparece un retardo.

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Tiempo (s)

Am

plitu

d

Señal originalVersión retardada

Figura 5.2: Señal retardada en el tiempo.

dada por:

dny(t)

dtn+ an−1

dn−1y(t)

dtn−1+ · · ·+ a0y(t) = bm

dmu(t− L)

dtm

+ bm−1dm−1u(t− L)

dtn−1+ · · ·+ a0u(t− L)

(5.3)

donde se está tomando en cuenta el retado del sistema en la entrada. Como se supone que lossistemas son invariantes en el tiempo, da lo mismo obtener la respuesta del sistema con laentrada retardada que obtenerla con la señal sin retardo y luego retardar la salida. Al aplicarla transformada de Laplace con condiciones iniciales iguales a cero, se llega a la siguientefunción de transferencia:

Y (s)

U(s)=

(bmsm + bm−1s

m−1 + · · · b0) e−Ls

sn + an−1sn−1 + · · ·+ ao(5.4)

en donde el retardo del sistema queda representado de manera explícita por el factor e−Ls enel numerador


5.2. Sistemas de primer orden 125

00

ampl

itud

entradasalida

tiempoFigura 5.3: Respuesta al escalón de un sistema de primer orden más tiempo muerto.

5.2. Sistemas de primer ordenLa forma canónica de un sistema de primer orden está dado por

G(s) =Ke−Ls

τs+ 1(5.5)

donde K es la ganancia del sistema en estado estacionario (o simplemente, ganancia), L esel retardo del sistema (también llamado tiempo muerto) y τ se conoce como constante detiempo del sistema. A los sistemas de este tipo se les conoce como sistemas de primer ordenmás tiempo muerto (POTM). La definición de estos tres parámetros es clara si se analiza larespuesta al escalón del sistema. La respuesta de un sistema a una entrada escalón es conocidacomo curva de reacción y es muy utilizada para caracterizar la respuesta transitoria de unasistema. En la Figura 5.3 se muestra una curva de reacción de un sistema POTM en el queun escalón de magnitud u0 fue aplicado en el instante t0. La relación entre los parámetros delsistema y la curva de reacción es:

Ganancia (K): Corresponde a la ganancia en estado estacionario del sistema. Si lamagnitud del escalón es u0 y el valor final de la respuesta del sistema viene dado por

yf = lımt→∞

y(t) = lıms→0

sY (s)

Entonces, la ganancia es simplemente

K =yfu0

(5.6)

Retardo (L) : Es el tiempo que tarda en reaccionar la salida a partir del instante que seaplica el escalón.



Constante de tiempo (τ ): Es el tiempo que tarda el sistema en alcanzar el 63.2 % delvalor final (es decir y = 0,632yf ), una vez que ha pasado el tiempo muerto. Si elinstante en el que la salida llega a y = 0,632yf viene dado por tτ , entonces, la constantede tiempo se puede calcular simplemente como

τ = tτ − t0 − L (5.7)

Existen algunas consideraciones importantes con respecto a la respuesta del sistema de primerorden:

El tiempo que le toma al sistema alcanzar su nuevo valor estacionario viene dado apro-ximadamente por el retardo más cuatro veces la constante de tiempo.

Una vez que ha transcurrido el retardo, el sistema de primer orden reacciona rápida-mente a la respuesta escalón (Su pendiente en t = t0 + L tiene un valor de K

τ.

El polo del sistema de primer orden es igual al inverso de la constante de tiempo,por lo que, polos pequeños representan sistemas lentos (constantes de tiempo grandes)mientras que los polos grandes representan sistemas más rápidos.

5.3. Sistemas de segundo ordenLas funciones de segundo orden tienen un polo más que las funciones de primer orden.

Como el polinomio característico es de orden dos, los polos pueden llegar a ser complejos,lo que produciría una respuesta más oscilatoria. La forma general de un sistema de segundoorden más tiempo muerto (SOTM) viene dado por:

G(s) =Kω2

ne−Ls

s2 + 2ξωn + ω2n

(5.8)

donde K es la ganancia en estado estacionario, ωn es la frecuencia natural del sistema, ξ esel factor de amortiguamiento y L es el retardo. El valor valor de ξ es el que determina si lospolos son complejos o no. Se pueden discernir los siguientes casos:

Caso sobreamortiguado (ξ > 1): En este caso, el sistema tiene dos polos reales dife-rentes. Esto produce que la respuesta del sistema sea muy parecida a la del caso deprimer orden, tal y como se puede observar en la Figura 5.4a. La diferencia es que, alcomienzo, el sistema no empieza a responder de manera casi inmediata, sino que iniciacon una pendiente de cero antes de aumentar su amplitud.

Caso críticamente amortiguado (ξ = 1): En este caso, el sistema tiene dos polos realesiguales. Su respuesta es muy parecida al caso sobreamortiguado, con la diferencia deque es un poco más rápida. De hecho, el sistema críticamente amortiguado es el másrápido sin sobrepaso.


5.3. Sistemas de segundo orden 127

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tiempo (seconds)

Am

plit

ude

(a) Respuesta de un sistema sobreamorti-guado.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tiempo (seconds)

Am

plit

ud

e

(b) Respuesta de un sistema críticamenteamortiguado.

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

(c) Respuesta de un sistema subamortigua-do.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Tiempo (seconds)

Am

plit

ud

e

(d) Respuesta de un sistema oscilatorio.

Caso subamortiguado (ξ < 1): Este es el caso en que los polos son complejos. Estacaracterística produce la aparición de sobrepasos en la respuesta, tal y como se presentaen la Figura 5.4c.

Caso oscilatorio (ξ = 0): Cuando los polos del sistema son imaginarios puros, la res-puesta del sistema presenta una oscilación mantenida en el tiempo con una frecuenciaigual a la frecuencia natural del sistema.

Caso inestable (ξ < 0): En este caso, el sistema tiene polos en el semiplano derecho,por lo que la respuesta tenderá a infinito.

5.3.1. Especificación de la respuesta subamortiguada

La respuesta subamortiguada aparece muchas veces cuando se tiene un sistema controladocon realimentación. Por ello es importante caracterizarla de manera completa. La respuestatípica de este tipo de sistemas se presenta en la Figura 5.4.



00

Tiempo (s)

Am

plitu

d

Toleranciapermitida

Figura 5.4: Caracterización de una respuesta subamortiguada

Si la entrada es un escalón de magnitud u0, la respuesta del sistema sin tomar en cuenta elretardo, vendría dada por:

Y (s) =Kω2

n

s2 + 2ξωns+ ω2

u0

s(5.9)

Nótese que los polos de este sistema vienen dados por

s = −ξωn ± jωn√

1− ξ2 (5.10)

La transformada inversa de Laplace para esta señal es entonces:

y(t) = Ku0

[1− e−ξωnt

(cos(ωdt) +

ξ√1− ξ2

sen(ωdt)

)](5.11)

y(t) = Ku0

[1− e−ξωnt√

1− ξ2sen

(ωdt+ tan−1

(√1− ξ2

ξ

))](5.12)

con ωd = ωn√

1− ξ2, conocida como frecuencia natural amortiguada. Con esta ecuación, sepueden obtener las especificaciones de la respuesta que se detallan en la Figura 5.4:

Tiempo de subida (tr): Se define como el tiempo necesario para que la respuesta del sistemavaya del 0 % al 100 % de su valor final. En (5.11), el valor final de la respuesta vienedado por yf = K ∗ u0, por lo que todo lo que está dentro de los paréntesis cuadradoses precisamente el porcentaje del valor final en función del tiempo. Tomando en cuenta


5.3. Sistemas de segundo orden 129

esto, el tiempo de subida se puede calcular como

y(tr) = 1

1− e−ξωntr(

cos(ωdtr) +ξ√

1− ξ2sen(ωdtr)

)= 1

Como el factor exponencial es diferente de cero siempre, se llega a la ecuación

cos(ωdtr) +ξ√

1− ξ2sen(ωdtr) = 0

Si se define σ = ξωn, se llega a que

tan (ωdtr) = −√

1− ξ2

ξ= −ωd

σ

Es decir el tiempo de subida se puede calcular como

tr =1

ωdtan−1

(ωd−σ

)(5.13)

Tiempo al pico (tp): El tiempo al pico es el tiempo que le toma al sistema alcanzar el valormáximo de la salida. Por lo tanto, para encontrar este tiempo, lo que se debe haceres derivar (5.11), e igualar el resultado a cero. Al hacer esto, se obtiene la siguienteecuación:

dy(t)

dt

∣∣∣∣t=tp

= sen(ωdtp)ωn√1− ξ2

e−ξωntp = 0

Que tiene como soluciónωdtp = 0, π, 2π, . . .

El tiempo al pico que se busca es precisamente el que corresponde al primer sobrepaso,por lo que

tp =π

ωd(5.14)

Sobrepaso (Mp): El sobrepaso corresponde a la sobreelongación máxima del sistema porencima de su valor final. Este parámetro se da en porcentaje con respecto al valor finalde la respuesta. Si se evalúa el valor de la salida en tp, se obtiene

y(tp) = Ku0

[1− e−ξωn

πωd

(cos(π) +

ξ√1− ξ2

sen(π)

)]= Ku0

(1 + e

−σωdπ)

= Ku0

(1 + e(−ξ/

√1−ξ2)π

)



0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

tiempo (s)

ampl

itud

Figura 5.5: Efecto en la respuesta al escalón al variar el factor de amortiguamiento.

Entonces, el sobrepaso vendría dado por

Mp =y(tp)− yf

yf=Ku0

(1 + e

−σωdπ)−Ku0

Ku0

por lo que, se llega a

Mp = e−ξπ√1−ξ2 (5.15)

Como se puede notar, el sobrepaso sólo depende de ξ. En la figura se muestra el efectode variar el valor de ξ desde 1 hasta 0,1. Conforme ξ disminuye, el sobrepaso aumentay el sistema se vuelve más oscilatorio.

Tiempo de asentamiento (ts): Este es el tiempo que le toma al sistema llegar a una franja del±2 % o±5 % alrededor del valor final, para no volver a salir de ella. A partir de (5.12),se puede obtener una aproximación de este tiempo. Los términos exponenciales de estaecuación forman una envolvente dentro de la cual se expande la respuesta del sistema.Estas envolventes vienen dadas por las curvas:

1± e−ξωnt√1− ξ2

De esta ecuación se observa que las curvas envolventes tienen una constante de tiempoigual a T = 1

ξωn. Entonces por conveniencia se utiliza la siguiente definición de tiempo

asentamiento, que es similar a la que se utiliza para los sistemas de primer orden:

ts,2 % = 4T =4

σ=

4

ξωncriterio de 2 % (5.16)

ts,5 % = 3T =3

σ=

3

ξωncriterio de 5 % (5.17)


5.4. Efecto de los ceros en el sistema 131

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

tiempo (s)

ampl

itud

Figura 5.6: Efecto de agregar un cero de fase mínima a un sistema de segundo orden.

Es importante que se note que el tiempo de asentamiento del sistema depende de laparte real de los polos, por lo que la posición de los mismos define la velocidad delsistema.

5.4. Efecto de los ceros en el sistema

5.4.1. Ceros de fase mínimaUn cero de fase mínima es aquel cero que tiene parte real negativa. Su nombre se debe

al efecto que tiene este cero sobre el diagrama de fase del sistema (que se estudiará en elcapítulo 7). Cuando se agrega un cero de fase mínima a una función de segundo orden comola vista en la sección 5.3, disminuye el tiempo de levantamiento e incrementa el sobrepasomáximo de la respuesta escalón (Kuo, 1996). Si se tiene un sistema dado por

G(s) =Kω2(τcs+ 1)

s2 + 2ξωs+ ω2(5.18)

Y se varía τc desde 0 hasta 5 con K = 1, ω = 3 y ξ = 0,5, el efecto de la variación de τcse puede observar en la Figura 5.6. Es claro que la adición de un polo hace que el sistemareaccione más rápido a un cambio en la entrada (un cero en una función de transferenciarepresenta un derivada de la entrada en el dominio del tiempo). Sin embargo, esto provocaque el sobrepaso aumente conforme τc aumenta, es decir, conforme el cero se acerca más aleje imaginario.

5.4.2. Ceros de fase no mínimaLos ceros de fase no mínima son aquellos que tienen parte real positiva . A diferencia de

los polos inestables, los ceros con parte real positiva no vuelven inestable al sistema, pero



0 2 4 6 8 10−4

−3

−2

−1

0

1

2

tiempo (s)

ampl

itud

Figura 5.7: Respuesta de un sistema de segundo orden cuando se agrega un cero de fase no míni-ma.

provocan que la salida presente una respuesta inversa ante una entrada escalón. Es decir,cuando se aplica un escalón positivo al sistema, la respuesta primero se hace negativa paraluego terminar siendo positiva. En la Figura 5.7 se muestra la respuesta ante una entradaescalón del sistema dado por (5.18). La respuesta es similar a la del caso de ceros de fasemínima en el sentido de que el sistema comienza a oscilar más, pero con la diferencia de queel sobrepaso toma más bien valores negativos. Este comportamiento no se debe confundircon la ganancia negativa. Cuando un sistema tiene ganancia negativa, la respuesta al escalóntiende hacia los valores negativos, también, pero siempre varía en la misma dirección. Encambio cuando el sistema presenta ceros de fase no mínima, el sistema primero cambia enuna dirección para luego seguir en sentido contrario al original.

Para efectos de control, la presencia de ceros de fase no mínima limita el desempeño quese puede esperar del sistema y hacen que el sistema sea más difícil de controlar.

5.5. Concepto de polos dominantesCuando los sistemas son de orden superior a dos, normalmente es posible aproximar su

comportamiento mediante un modelo de primer o segundo orden. Esto es debido a que, nor-malmente los polos que dominan la respuesta son los que están más cerca del eje imaginario.

Un polo que está cerca del eje imaginario se dice que es dominante porque su efecto sobrela respuesta tarda más en desaparecer. En la sección 5.2 se observó que la constante de tiempoes la que indica qué tan lento es un sistema. Una constante de tiempo grande conlleva a queel sistema tarde más en alcanzar un nuevo estado estacionario. Pero como el polo del sistemade primer orden es igual al inverso de la constante de tiempo, entonces un sistema lento, tienepolos pequeños, o lo que es lo mismo, polos cercanos al eje imaginario.

En el caso de los sistemas de segundo orden, la parte real de los polos es la que definela velocidad del sistema (el tiempo de asentamiento). Específicamente, el inverso de la parte


5.5. Concepto de polos dominantes 133

real de los polos es proporcional al tiempo de asentamiento.Si un sistema tiene más de dos polos, los que se encuentren más a la izquierda tendrán un

efecto que se desvanecerá más rápido que el de los polos dominantes. Por ello estos polosson menos importantes. De acuerdo con Kuo (1996), si la parte real de un polo es de cinco adiez veces mayor que la de los polos dominantes, entonces esos polos son despreciables enlo que concierne a la respuesta transitoria.

En muchos casos, sobretodo para el área del control de procesos, es normal que los sistemasse aproximen a modelos de primer orden más tiempo muerto o a sistemas de segundo ordensobreamortiguados. Esto se debe a que, normalmente, los sistemas tienen un comportamientoparecido a uno de primer orden (es decir sin sobrepaso) por lo que esta aproximación resultaapropiada, sobre todo para el diseño de controladores.

Una de las reglas más sencillas que se ha presentado en la literatura es la “Half Rule”de Skogestad (Skogestad, 2003) . Este método intenta aproximar un sistema de orden altomediante un sistema de primer o segundo orden más tiempo muerto. El único requisito delsistema es que todos sus polos sean reales.

En general, se desea obtener una planta de la forma:

G(s) =K

(τ1s+ 1)(τ2s+ 1)e−Ls (5.19)

En este caso, K es la ganancia estacionaria, τ1 es la constante de tiempo más grande delsistema, L es el retardo efectivo y τ2 es una constante de tiempo de segundo orden. Si sólo sebusca un modelo de primer orden, τ2 = 0 y τ1 entonces se conoce como constante de tiempoefectiva.

5.5.1. Aproximación de polos con retardosLa primera aproximación que Skogestad propone es la de reunir todas las constantes de

tiempo rápidas del sistema en un solo retardo efectivo. De acuerdo con Skogestad (2003), elretardo podría aproximarse de la siguiente manera:

e−Ls =1

eLs=

1

1 + Ls(5.20)

Por lo que un factor de la forma 1τ0s+1

se podría considerar como un retardo e−τ0s. En laFigura 5.8, se presenta un ejemplo de como un factor de primer orden se aproxima medianteun retardo efectivo.

En el caso de que se tengan ceros de fase no mínima, estos se pueden aproximar tambiénmediante un retardo efectivo:

− T inv0 s+ 1 = e−Tinv0 s (5.21)

Con estos dos criterios, se podría aproximar todos las constantes de tiempo pequeñasmediante retardos y encapsularlos todos junto con el retardo del sistema original, puesto que

−T invo s+ 1

τ0s+ 1e−L0s ≈ e−L0se−τ0se−T

invo s = e−(L0+τ0+T invo )s = e−Ls (5.22)



0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

tiempo (s)

am

plit

ud

Factor original

Aproximación retardo

Figura 5.8: Ejemplo de la aproximación de un factor utilizando un retardo efectivo.

5.5.2. Procedimiento utilizando la Half RuleSi se supone que el sistema viene dado por:∏

j

(−T inv0j s+ 1

)∏i (τ0is+ 1)

e−L0s (5.23)

donde las constantes de tiempo τ0i están ordenados de mayor a menor. Nótese que este siste-ma no tiene polos complejos conjugados, por lo que este método sólo es válido para sistemassobreamortiguados o críticamente amortiguados. La regla del Half Rule dice que “la cons-tante de tiempo en el denominador más grande que se desprecia se debe repartir de maneraequitativa entre el retardo efectivo y la constante de tiempo más pequeña que se retiene”(Skogestad, 2003).

Si por ejemplo se desea representar el sistema sólo un sistema de primer orden más retardodado por

G1(s) =K

τ1s+ 1e−Ls (5.24)

entonces, de todas las constantes de tiempo del sistema, sólo se debe retener la más grande(que se representaría con τ01). La siguiente constante de tiempo más grande (τ02) se deberepartir entre la constante de tiempo efectiva (τ1) y el retardo efectivo (L). Entonces losparámetros del modelo reducido dado en (5.19) se calcularían de la siguiente manera:

τ1 = τ01 +τ02

2(5.25)

L = L0 +τ02

2+∑i≥3

τ0i +∑j

T inv0j (5.26)

τ2 = 0 (5.27)



Si más bien, se desea un sistema de segundo orden dado por:

G2(s) =K

((τ1s+ 1) (τ2s+ 1))e−Ls (5.28)

se deben mantener τ01 y τ02 y empezar a despreciar las constantes de tiempo de ahí en ade-lante. En este caso, los parámetros del sistema se calcularían como:

τ1 = τ01 (5.29)

τ2 = τ02 +τ03

2(5.30)

L = L0 +τ03

2+∑i≥4

τ0i +∑j

T inv0j (5.31)

En ambos casos, la ganancia del modelo equivalente sería igual a la ganancia del sistemaoriginal. No obstante, la forma de la función de transferencia en (5.23) no toma en cuentalos ceros de fase mínima que pueden existir. El método que presenta Skogestad es útil paraefectos de control, pero no representa apropiadamente el efecto de los ceros en el sistema.Por ello, para efectos de este curso, sólo se utilizar la Half Rule para los polos y los ceros defase no mínima del sistema. Los ceros de fase mínima se conservarán en el modelo reducido.

A continuación se presenta unos ejemplos para mostrar el uso de estas reglas en la aproxi-maciones de sistemas

Ejemplo 5.1

Obtener una aproximación de primer orden para el sistema

G(s) =3

(s+ 1)(0,2s+ 1)

En este caso, la ganancia del sistema es K = 3 y la constante de tiempo más grande esτ01 = 1. Esta es la constante que se debe conservar. La siguiente constante más grandeτ02 = 0,2 se debe repartir entre el retardo y la constante de tiempo efectiva. Entonces en estecaso:

τ1 = 1 +0,2

2= 1,1

L =0,2

2= 0,1

Por lo tanto, la aproximación de primer orden G0(s) para este sistema vendría dado por

G0(s) =3

1,1s+ 1e−0,1s



0 1 2 3 4 5 6 70

0.5

1

1.5

2

2.5

3

tiempo (s)

ampl

itud

GG

0

Figura 5.9

En la Figura 5.9 se presenta la respuesta al escalón del sistema original y de la aproxima-ción de primer orden. Como se puede observar, la aproximación es bastante buena, con unpequeño error al inicio debido a las aproximaciones con los tiempos muertos.

Ejemplo 5.2

Obtener una aproximación de primer y segundo orden para el sistema

G(s) =2(15s+ 1)

(20s+ 1)(s+ 1)(0,1s+ 1)2

en este caso el sistema tiene una ganancia K = 2, un cero de fase mínima cuya constante detiempo es T0 = 15. Las constantes de tiempo del sistema vienen dadas por τ01 = 20, τ02 = 1,τ03 = 0,1 y τ04 = 0,1.

Primero se aproximará el sistema con un modelo de primer orden, pero conservando losceros del modelo original. Para este caso la constante de tiempo que se conserva es τ01 y sedesprecian las demás. Por ello, el retardo efectivo viene dado por

L =1

2+ 0,1 + 0,1 = 0,7

La constante de tiempo efectiva vendría dada por

τ1 = 20 +1

2= 20,5

Por lo que el sistema aproximado de primer orden G01(s) vendría dado por

G01(s) =2(15s+ 1)

20,5s+ 1e−0,7s



0 20 40 60 80 100 1200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

tiempo(s)

ampl

itud

G(s)G01(s)

G02(s)

Figura 5.10: Respuesta al escalón del sistema y de los modelos reducidos del ejemplo 5.2.

Para el caso de una aproximación de segundo orden con la misma cancelación de ceros,las constantes de tiempo que se deben conservar son τ01 y τ02. Por lo que, en este caso, elretardo equivalente vendría dado por

L =0,1

2+ 0,1 = 0,15

Las constantes de tiempo del sistema serían entonces

τ1 = 20

τ2 = 1 +0,1

2= 1,05

Puesto que ahora es τ2 el que se tiene que repartir la constante de tiempo más grande que seestá descartando. Con estos cálculos, la aproximación de segundo orden viene dada por

G02 =2(15s+ 1)

(20s+ 1)(1,05s+ 1)e−0,15s

En la Figura 5.10, se muestra el resultado de la respuesta escalón para el sistema y lasdos aproximaciones que se calcularon. Como se puede observar, en este caso el modelo deprimer orden no logra aproximar muy bien la respuesta al inicio, sin embargo, el resultadono es muy malo. El sistema de segundo orden en cambio, es capaz de aproximar muy bien larespuesta del sistema durante toda la prueba. Esto se debe principalmente a que la diferenciaentre el polo más dominante y el resto de polos es muy marcada.

Ejemplo 5.3



Encontrar un modelo de orden reducido para el sistema

G(s) =(−0,3s+ 1)(0,08s+ 1)

(2s+ 1)(s+ 1)(0,4s+ 1)(0,2s+ 1)(0,05s+ 1)3

Este sistema tiene siete polos, un cero de fase mínima y un cero de fase no mínima. El cero defase no mínima se puede aproximar con un retardo puro, el cual se suma al retardo efectivoque aparece con los polos que se descartan.

Si se obtiene un modelo de primer orden, la constante de tiempo que se retiene es τ01 = 2,por lo que, la constante de tiempo efectiva vendría dada por:

τ1 = 2 +1

2= 2,5

El retardo efectivo entonces vendría dado por

L = 0,3 +1

2+ 0,4 + 0,2 + 3 · 0,05 = 1,55

Por lo que el modelo equivalente de primer orden sería:

G01 =0,08s+ 1

2,5s+ 1e−1,55s

Para un sistema de segundo orden, las constantes de tiempo efectivas vendrían dadas por:

τ1 = 2

τ2 = 1 +0,4

2= 1,2

El retardo efectivo se calcula entonces con el resto de constantes de tiempo que se descartan

L = 0,3 +0,4

2+ 0,2 + 3 · 0,05 = 0,85

Entonces el modelo equivalente sería:

G02 =0,08s+ 1

(2s+ 1)(1,2s+ 1)e−0,85s

Al igual que en los ejemplos anteriores, la mejor aproximación se obtuvo mediante el modelode segundo orden más tiempo muerto sobreamortiguado. En este caso, la respuesta del siste-ma real y la del modelo reducido son casi indistinguibles. Por supuesto, si el efecto del cerode fase no mínima fuera más notorio, la aproximación podría no ser muy buena. Sin embargo,es claro que el método “Half Rule” es una manera sencilla de obtener modelos aproximadosde orden bajo.



0 2 4 6 8 10 12 14 16 18−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

tiempo (s)

ampl

itud

G(s)G

01(s)

G02

(s)

Figura 5.11: Respuesta al impulso del sistema del ejemplo 5.3


6. Identificación de sistemas en eldominio del tiempo

En el capítulo 5 se estudió el comportamiento dinámico de los sistemas de primer ordenmás tiempo muerto (POMTM) y segundo orden más tiempo muerto (SOMTM), ante entradastipo escalón. Además, en la sección 5.5 se demostró que un sistema de orden superior a dospodía ser aproximado por un modelo de primer o segundo orden más tiempo muerto.

En el análisis y control de sistemas, es muy común encontrarse con procesos que se com-porten en forma semejante a este tipo de modelos. Por todo esto, surge la pregunta: ¿Esposible encontrar modelos de POMTM y SOMTM que se aproximen al comportamiento realde sistemas más complejos? En este capítulo se mostrará que sí, para ello, se tomará comopunto de partida la respuesta del sistema ante un cambio escalón en la entrada o entradas delsistema que se está analizando.

6.1. Descripción del problema

Si bien es cierto en el capítulo 3 se estudió el modelado analítico de sistemas, en algunasocasiones no es posible, o es poco práctico, determinar un modelo analítico del sistema bajoestudio.

Por ejemplo, considérense los sistemas mostrados en la figura 6.1. Todos estos sistemas seencuentran en el Laboratorio de Automática de la Escuela y se utilizan en cursos posteriores aeste. El sistema de la figura 6.1a está conformado principalmente por motores DC, los cualesya se estudiaron en la sección 3.5, pero, ¿Sería buena idea desarmar el robot para buscar losdatos de placa de cada motor? La respuesta es no (por lo menos si el brazo se quiere volver ausar). Por otro lado, en la figura 6.1b se muestra un proceso de control de caudal de aire. Sesabe qué hace el sistema, pero, a menos que se desarme, no se conocerá nada de su interior,haciendo casi imposible determinar un modelo analítico de este. Por último, el sistema de lafigura 6.1c es un sistema hidráulico, el cual está conformado por todos los elementos vistosen clase. Pero, sus conexiones son tan complejas que un modelo analítico sería muy difícil(pero no imposible) de determinar.

Las características de estos sistemas hacen que sea mejor pensar en realizar pruebas so-bre las entradas y salidas para determinar sus modelos, justificando así las técnicas que sepresentarán más adelante en este capítulo.

Es muy importante que el lector no considere que el modelado analítico es poco útil. En es-te curso simplemente se da un conjunto de herramientas para analizar y modelar los sistemas.

141

142 6. Identificación de sistemas en el dominio del tiempo

Depende del ingeniero o ingeniera determinar cuál es adecuada para resolver un problemaen específico. Por ejemplo, en el proceso de diseño de los sistemas de la figura 6.1, proba-blemente se utilizó el modelado analítico para diseñar los componentes que conforman cadasistema.

6.2. Algunas definiciones preliminares

Antes de comenzar con las técnicas para identificar sistemas en el dominio del tiempo, esnecesario recalcar algunas definiciones ya vistas o presentar nuevas:

Modelo de un sistema: como se mencionó en la sección 1.3, un modelo es:

Una representación de los aspectos esenciales de un sistema (Loría y Ma-zón, 1989).

Particularmente estos aspectos serán el comportamiento en el tiempo de la respuesta delos sistemas ante una entrada.

Curva de reacción: Se definirá la curva de reacción como la respuesta de un sistemaante una entrada determinada (Loría y Mazón, 1989).

Por lo general, la entrada que se utiliza es del tipo escalón. Esto se debe a que es laentrada realizable que provoca un mayor impacto sobre el sistema, permitiendo asíobservar mejor sus características.

Para ilustrar esta idea, obsérvese la figura 6.2, la cual muestra la respuesta en el tiempode dos sistemas (uno de POMTM y otro de SOMTM) ante distintos tipos de entradas(rampa, senoidal y escalón). Nótese que en las figuras 6.2a y 6.2b no se puede apre-ciar fácilmente cuál respuesta es la del sistema de POMTM y cual es del sistema deSOMTM, no obstante, en la figura 6.2c, donde se aplicó una entrada del tipo escalón,se aprecia fácilmente que la salida del sistema de primer orden corresponde a la señalde color verde con tan solo ver la forma en que esta evoluciona (véase la figura 6.2d).

Sistemas autorregulados: Un sistema autorregulado es un sistema cuya salida se man-tiene acotada cuando se aplica una entrada del tipo escalón sobre el sistema. En ciertaforma, esta definición es análoga a la de los sistemas estables según el criterio BIBOexplicado con anterioridad.

Sistemas no autorregulados: Los sistemas no autorregulados son sistemas en los quesu salida no se mantiene acotada si se aplica una entrada escalón. Por lo general, estossistemas son inestables y su salida se satura (llega a un valor máximo o mínimo) porlos aspectos constructivos del sistema.


6.2. Algunas definiciones preliminares 143

(a) Brazo robótico(b) Sistema de caudal

(c) Sistema hidráulico

Figura 6.1: Algunos ejemplos de sistemas



0 5 10 15 200

5

10

15

20

Tiempo (s)

Sal

ida

de lo

s si

stem

as

(a) Entrada rampa

0 5 10 15 20−0.5

0

0.5

1

Tiempo (s)

Sal

ida

de lo

s si

stem

as

(b) Entrada senoidal

0 5 10 150

0.5

1

Tiempo (s)

Sal

ida

de lo

s si

stem

as

(c) Entrada escalón

0 5 10 150

0.5

1

Tiempo (s)

Sal

ida

de lo

s si

stem

as

(d) Entrada escalón

Figura 6.2: Respuesta de dos sistemas a diferentes entradas

6.3. Modelos utilizados en la identificaciónEn su mayoría, los sistemas que se pueden encontrar en la vida diaria se pueden modelar

aceptablemente por unos cuantos modelos (Aström y Hägglund, 2009). A continuación, sepresentan dichos modelos, clasificándolos en el tipo de sistemas que modelan: autorreguladoso no autorregulados.

6.3.1. Modelos para sistemas no autorreguladosComo se mencionó anteriormente, los sistemas no autorregulados tienen la característica

de que su salida se vuelve inestable ante una entrada escalón. Por tanto, para modelar dichocomportamiento, se utilizan modelos con polos en el origen, comúnmente llamados polosintegradores.

Modelos integradores de primer orden

El modelo integrador de primer orden tiene una función de transferencia dada por:

P (s) =Ke−Ls

s(6.1)


6.3. Modelos utilizados en la identificación 145

0 2 4 6 8 10100

0.5

1

1.5

2

2.5

Tiempo (s)

Señ

ales

EntradaSalida

Figura 6.3: Curva de reacción de un modelo integraador de primer orden

donde:

K es la ganancia del modelo (no se debe confundir con la ganancia estática del modelo,pues este modelo no llega a estado estable).

L es el tiempo muerto del modelo.

En la figura 6.3 se muestra la curva de reacción1 de un modelo integrante de primer ordendado por:

P (s) =0,25e−1,25s

s(6.2)

Obsérvese que después de que pasa el tiempo muerto del modelo, la respuesta de estecrece linealmente con una pendiente que dependen del factor K y la amplitud del escalón deentrada.

Modelos integradores de segundo orden

Si se necesita un aumento más “suave” de la respuesta del modelo, pero que al mismotiempo se mantenga la característica no autorregulada del sistema, se puede agregar un poloen el denominador del modelo integrador de primer orden. Con esto, se define el modelointegrador de segundo orden como:

P (s) =Ke−Ls

s(Ts+ 1)(6.3)

1A partir de aquí, se supondrá que se utiliza una entrada tipo escalón cuando se obtiene la curva de reacciónde un sistema o modelo.



0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Señ

ales

Tiempo (s)

EntradaSalida

Figura 6.4: Curva de reacción de un modelo integrador de segundo orden

donde:

K es la ganancia del modelo.

L es el tiempo muerto del modelo.

T es la constante de tiempo del modelo.

De esta forma, la respuesta de un modelo integrante de segundo orden ante una entrada esca-lón unitario es como la mostrada en la figura 6.4, la cual corresponde al modelo dado por:

P (s) =0,2e−0,5s

s(s+ 1)(6.4)

y se observa que el incremento en la salida del modelo no es tan abrupta como la del modelointegrador de primer orden.

6.3.2. Modelos para sistemas autorreguladosDebido a que la salida de los sistemas autorregulados llega a un valor constante al aplicarse

un escalón, estos sistemas se deben modelar por modelos con funciones de transferenciaestables, siendo los modelos más comunes los de POMTM y SOMTM.

Modelos de primer orden más tiempo muerto (POMTM)

El modelo de POMTM posee una función de transferencia dada por:

P (s) =Ke−Ls

Ts+ 1(6.5)


6.3. Modelos utilizados en la identificación 147

0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

Tiempo (s)

Señ

ales

Efecto de la ganancia

0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo (s)

Señ

ales

Efecto de la constante de tiempo

K=0.50K=0.75K=1.00K=1.25K=1.50

T=0.50T=0.75T=1.00T=1.25T=1.50

Figura 6.5: Curvas de reacción de un modelo de POMTM

donde T es la constante de tiempo del sistema2 y define la velocidad de respuesta del modelo.La curva de reacción del modelo de POMTM, para varios valores de K y T , se muestra

en la figura 6.5. Para todos los casos se supuso que las condiciones iniciales del modelo soncero y que el escalón (señal amarilla) es unitario.

Modelos de segundo orden más tiempo muerto sobreamortiguados (SOMTM)

Como puede observarse en la figura 6.5, la respuesta de un modelo de POMTM se inme-diata después de pasar el tiempo muerto, lo cual hace que ciertos sistemas de orden alto nose representen bien por este modelo. Por esto, es común utilizar modelos de SOMTM paraaumentar la precisión en la aproximación del sistema, aunque por supuesto, esto aumenta lacomplejidad del modelo (como máximo, se acostumbran usar modelos de segundo orden).

Si el sistema no posee oscilaciones, un modelo sobreamortiguado del tipo:

Ke−Ls

(T1s+ 1)(T2s+ 1)(6.6)

es en general suficiente para representar adecuadamente a varios sistemas. No obstante, unarepresentación muy utilizada de este modelo es:

Ke−Ls

(Ts+ 1)(aTs+ 1)(6.7)

donde:

T = T1 es la constante de tiempo mayor del modelo.

a = T2/T1 es la relación de constantes de tiempo con 0 < a ≤ 1.

El efecto del parámetro a sobre la respuesta del modelo, ante un cambio escalón, se muestraen la figura 6.6. De la figura se concluye que mientras más se aproxime a a 1, el tiempo deasentamiento de la respuesta aumenta.

2Esta sección está íntimamente ligada al capítulo 5, por lo que se recomienda al lector repasar los temas ahítratados.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo (s)

Señ

ales

Efecto de la razón de constantes de tiempo a

a=0.2a=0.4a=0.6a=0.8a=1.0

Figura 6.6: Efecto de la razón de constantes de tiempo

0 10 20 30 400

0.5

1

1.5

2

Tiempo (s)

Señ

ales

Efecto del coeficiente de amortiguamiento ξ

0 5 10 15 200

0.5

1

1.5

Tiempo (s)

Señ

ales

Efecto de la frecuencia natural ωn

ξ=0.10ξ=0.20ξ=0.40ξ=0.60ξ=0.80

ωn=1.00

ωn=1.41

ωn=1.73

ωn=2.00

ωn=2.24

Figura 6.7: Efecto de los parámetros ξ y ωn sobre la respuesta del modelo subamortiguado

Modelos de segundo orden más tiempo muerto subamortiguados (SOMTM)

Aunque son pocos los sistemas que tienen características subamortiguadas, el modelo mássimple que los representa es el modelo subamortiguado de segundo orden dado por:

Kω2ne−Ls

s2 + 2ξωns+ ω2n

(6.8)

donde ξ es el coeficiente de amortiguamiento y ωn es la frecuencia natural de oscilación delmodelo. El efecto de estos parámetros, sobre la respuesta del modelo ante un escalón unitario,se muestra en la figura 6.7. Es importante notar que el sobre paso del sistema solo dependede ξ.

6.3.3. Comparación de los modelos en su respuesta temporalA modo de resumen, en el cuadro 6.1 se muestran los modelos aquí mencionados, su fun-

ción de transferencia, el tipo de respuesta y su comportamiento ante un escalón de entrada.


6.4. Métodos de identificación en el tiempo 149

Modelo P (s) Respuesta Comportamientotemporal

Integradorprimer orden

Ke−Ls

sNo autorregulada

Tiempo

y m(t

)

Integradorsegundo orden

Ke−Ls

s(Ts+1)No autorregulada

Tiempo

y m(t

)

POMTM Ke−Ls

Ts+1Autorregulada

Tiempo

y m(t

)

SOMTMSobreamortiguado

Ke−Ls

(Ts+1)(aTs+1)Autorregulada

Tiempo

y m(t

)SOMTM

SubamortiguadoKω2

ne−Ls

s2+2ξωns+ω2n

Autorregulada

Tiempo

y m(t

)

Cuadro 6.1: Resumen de los modelos utilizados para representar sistemas

En el cuadro ym(t) es la salida del modelo.Es importante aclarar que aquí solo se mencionaron algunos modelos (los de uso común

en la industria), esto debido a que la cantidad de sistemas existentes es prácticamente infinita,lo que hace imposible tener un modelo para cada uno.

6.4. Métodos de identificación en el tiempo

Ahora que se presentaron varios modelos para representar el comportamiento de los sis-temas, es posible estudiar los métodos de identificación para determinar los parámetros dedichos modelos. Para ello, lo que se suele realizar, es utilizar la información de la salidade los sistemas ante un cambio escalón en la entrada (dicho cambio no necesariamente esunitario).



0 5 10 15 20 25 3070

75

80

85

90

95

100

Tiempo (s)

Señ

ales

(%

)

Entrada u(t)Salida y(t)

Figura 6.8: Curva de reacción de un sistemas no autorregulado

6.4.1. Método para obtener un modelo integranteDe la función de transferencia de un modelo integrador de primer orden se puede obtener

que:

Ym(s) =Ke−Ls

sU(s) (6.9)

siendo Ym(s) la salida del modelo y U(s) la entrada aplicada, ambas en el dominio de lafrecuencia compleja. Si la entrada es un escalón de magnitud ∆U aplicado en un tiempo t0,se tiene:

Ym(s) =Ke−Ls

s

∆Ue−t0s

s(6.10)

lo cual implica que:

ym(t) = K∆U(t− L− t0)u(t− L− t0) (6.11)

donde u(t − L − t0) es la función escalón unitario y se utiliza para hacer que el modelosea causal. Ahora bien, supóngase que se quiere adaptar dicha respuesta del modelo a unarespuesta de un sistema como la que se muestra en la figura 6.8. De la expresión (6.11) sepuede obtener que después de pasar el tiempo muerto, la salida del modelo crece con unapendiente dada por:

mm = K∆U (6.12)

mientras que gráficamente se puede obtener que la pendiente de la respuesta del sistemacuando su crecimiento es constante es:

ms =∆y(t)

∆t(6.13)



0 5 10 15 20 25 3070

75

80

85

90

95

100

Tiempo (s)

Señ

ales

(%

)


Figura 6.9: Cálculo de la ganancia K

por lo tanto, igualando las pendientes dadas en 6.12 y 6.13, el parámetro K del modelo sepuede obtener como:

ms = mm ⇒ (6.14)∆y(t)

∆t= K∆U ⇒ (6.15)

K =∆y(t)

∆t∆U(6.16)

Obsérvese que dicho parámetro se puede obtener completamente, ya que toda la informaciónnecesaria se encuentra en la curva de reacción del sistema.

Hasta el momento, solo se ha encontrado el parámetro K del modelo, por lo que faltael parámetro L para que se tenga el modelo completo. En el ejemplo 6.1 se muestra comodeterminar dicho parámetro.

Ejemplo 6.1

Encuentre un modelo integrante a partir de la curva de reacción del proceso mostrado en lafigura 6.8.

Sobre la figura 6.8 se han marcado las mediciones necesarias para determinar la gananciaK del modelo, tal y como se muestra en la figura 6.9. De la figura, y de 6.16 se obtiene que:

K =∆y(t)

∆t∆U

≈ 7,5

7,5 · 7,5≈ 0,133

Sabiendo que el modelo y el sistema poseen la misma pendiente cuando el crecimiento dela respuesta del sistema es constante, se puede trazar la respuesta del modelo paralela a la



0 5 10 15 20 25 3070

75

80

85

90

95

100

Tiempo (s)

Señ

ales

(%)


Figura 6.10: Determinación del tiempo muerto del modelo

respuesta del sistema, tal y como se muestra en la figura 6.10. De esta misma figura se puedeestimar el tiempo muerto del modelo, en este caso, casi 6 segundos (debe recordarse que altratarse de una medición temporal, es inicia la medición de tiempo desde la aplicación delescalón).

Así, la función de transferencia del modelo del proceso en cuestión es:

P (s) =Ke−Ls

s

=0,133e−6s

s

A modo de comparación, en la figura 6.11 se muestra la respuesta ante un escalón de entradadel sistema y su modelo. Como se observa, existe un error inherente al tipo de modelo que seutilizó para la representación del sistema. No obstante, el modelo sí cumple con representarlos aspectos esenciales del sistema. El lector se puede estar preguntando:

¿Por qué la respuesta del modelo no comienza en cero si se obtuvo una función de trans-ferencia, la cual tiene condiciones iniciales nulas?

Esto se debe a que al ser todas las mediciones relativas (tanto en la magnitud de las se-ñales como en la mediciones de tiempo), para lograr “calzar” la respuesta del modelo conla respuesta del sistema es necesario agregar las condiciones iniciales del sistema a la res-puesta del modelo (la cual sí inicia en cero). Es decir, para graficar la respuesta del modelofue necesario agregar una entrada inicial de 85 % y una salida inicial de 80 % (véase lafigura 6.11).



0 5 10 15 20 25 3070

75

80

85

90

95

100

Tiempo (s)

Señ

ales

(%)

EntradaSalida del sistemaSalida del modelo

Figura 6.11: Curva de reacción del sistema y su modelo

6.4.2. Métodos para obtener un modelo POMTMPuesto que el modelo de POMTM es de la forma:

P (s) =Ke−Ls

Ts+ 1

se necesitan encontrar tres parámetros para definirlo completamente (K, L y T ).La ganancia en estado estacionario se encuentra utilizando el teorema del valor final3, del

cual se deduce que:

K =∆Y

∆U(6.17)

donde ∆Y es el cambio relativo en la salida del sistema (el cual es finito, si se quiere modelarpor un modelo POMTM) y ∆U es el cambio total en la entrada del proceso.

Para encontrar los restantes parámetros se verán dos métodos distintos, aunque se insta allector a buscar más por su cuenta, pues para identificar un modelo de POMTM existen variastécnicas.

Método de Ziegler y Nichols

El primer método para identificar un modelo de POMTM fue presentado por Ziegler yNichols (1942), los cuales se pueden considerar los padres del control automático.

En su método, se traza una recta tangente en el punto de mayor pendiente de la respuestasdel sistema, tal y como se muestra en la figura 6.12, y dos rectas más cuando la respuesta delsistema está en estado estable.

A partir de dichas rectas, es posible definir los parámetros restantes del modelo POMTM.No obstante, el valor de la constante de tiempo del modelo con este método suele causar que

3Se deja como ejercicio para el lector hacer esta demostración.



0 10 20 30 40 50 60 7035

40

45

50

55

Tiempo (s)

Señ

ales

(%)


Figura 6.12: Determinación de los parámetros del modelo POMTM según Ziegler y Nichols (1942)

la respuesta del modelo y del sistema sean muy diferentes, como se observa en el ejemplo 6.2.

Ejemplo 6.2

Determine un modelo de POMTM utilizando el método de Ziegler y Nichols y la curva dereacción mostrada en la figura 6.12.

Como en la figura 6.12 se puede aproximar que:

T ≈ 17,4sL ≈ 6,54s

lo único que queda por determinar es la ganancia en estado estable K, la cual en este casoes negativa debido a que el cambio en la entrada y la salida tienen distinto signo, a saber:

K =∆y

∆u

=yf − yiuf − ui

≈ 52,5− 40

42− 50

≈ −1,56

donde yf es el valor final de la respuesta del sistema y yi es el valor inicial, análogamente,uf es el valor final de la entrada del sistema y ui es el valor inicial de la entrada. De estaforma, el modelo de POMTM según el método de Ziegler y Nichols es:

P (s) =−1,56e−6,54s

17,4s+ 1(6.18)



0 20 40 60 80 100 12040

42

44

46

48

50

52

54

Tiempo (s)

Señ

ales

(%

)

Entrada u(t)Sistema y(t)Modelo y

m(t)

Figura 6.13: Curva de reacción de un sistema y su modelo de POMTM según el método de Zieglery Nichols (1942)

La curva de reacción del sistema y del modelo obtenido se muestran en la figura 6.13. Puedeobservarse a simple vista que el método de Ziegler y Nichols da una mala aproximación delsistema, ¿A qué se debe esto? Se puede notar de la figura 6.12 que la constante de tiempo esmedida de acuerdo a la intersección de dos rectas que no necesariamente se proyectan sobreel 63,2 % de la respuesta final del sistema, al menos en este caso, se proyectan sobre un valormucho mayor (casi 83 %). Debido a esto, el modelo de POMTM tendrá una respuesta muchomás lenta que la del sistema, pues mientras el sistema va por el 83 % de su respuesta final, elmodelo va por el 63,2 % ya que han pasado T + L unidades de tiempo.

Para terminar, otro problema inherente del método de Ziegler y Nichols, y de cualquierotro donde haya que calcular la recta tangente de un sistema en algún punto, es que hay queobtener dicha recta. Esto en la práctica es muy difícil de realizar con exactitud, ya que larespuesta de un sistema real está sometida al ruido de medición. Por lo general, cualquiermétodo que se base en obtener una recta tangente en algún punto de la respuesta del sistemagenerará un modelo poco preciso del sistema.

Métodos de dos puntos

Para mejorar la precisión de un modelo de POMTM, varios autores han recomendado en-contrar los parámetros T y L de forma que la respuesta del modelo y del sistema concuerdenen por lo menos dos puntos. Este procedimiento se basa en la respuesta temporal del modelode POMTM ante un escalón de magnitud ∆u (que por simplicidad se supondrá que se aplicóen t0 = 0). Así, la respuesta del modelo estaría dada por:

ym(t) = L 1

Ke−Ls

Ts+ 1

∆u

s

(6.19)

= K∆u(

1 + e−t−LT

)µ(t− L) (6.20)



tiempo (s)

salid

a

Figura 6.14: Curva de reacción para encontrar identificar un modelo con dos puntos.

Ahora bien, en la expresión (6.20) se tienen solo dos incógnitas, T y L, pues todas las demásvariables se obtienen gráficamente de la curva de reacción del sistema. Por esto, surge lapregunta, si se tuviera otra ecuación ¿Se podrían calcular los parámetros con un sistema deecuaciones? La respuesta es sí, de hecho, la expresión (6.20) da la cantidad de ecuacionesque se requieran, debido a que se tienen tantas ecuaciones como puntos se hayan medido.

Supóngase que se tienen dos instantes t1 y t2, medidos a partir del instante en que seaplicó el escalón de entrada o los que les corresponde un determinado valor de la señal desalida. Normalmente, este valor se da como un porcentaje con respecto al valor final de larespuesta del sistema. Entonces, en el instante t1, el valor correspondiente de la salida esyp1 = yi + p1∆y, siendo p1 el porcentaje con respecto al valor del cambio final ∆y =yf − yi. Por otro lado, en el instante t2, el valor que corresponde de la salida del sistema esyp2 = yi + p2∆y (p1 y p2 siempre se encuentran entre 0 y 1). En la Figura 6.14, se muestragráficamente la relación de estos valores.

A partir de (6.20), sabiendo que∆y = K∆u

la expresión para la señal de salida vendría dada por:

ym(t) = ∆y(

1 + e−t−LT

)(6.21)

esta expresión representa el cambio de la señal de salida del sistema a partir del valor inicialyi. Puesto que ym(t1) = p1∆y y ym(t2) = p2∆y, se puede escribir el siguiente sistema deecuaciones:

p1 = 1− e−(t1−L)

T

p2 = 1− e−(t2−L)

T

(6.22)



La ganancia del sistema se puede encontrar mediante la relación

K =∆y

∆u(6.23)

mientras que los parámetros T y L se pueden encontrar resolviendo el sistema de ecuaciones(6.22). Entonces los parámetros vendrían dados por

T = a(t2 − t1) (6.24)L = bt1 + (1− b)t2 (6.25)

cona =

1

ln(

1−p11−p2

) (6.26)

b = 1− ln (1− p1)

ln(

1−p11−p2

) (6.27)

En particular, Ho y otros (1995) recomiendan utilizar los puntos cuando la respuesta delsistema a alcanzado el 35 % y el 85 % de su cambio total. Los autores, determinaron que losparámetros de un modelo de POMTM se pueden obtener como:

L = 0, 670 (t85 % − t35 %) (6.28)T = 1, 290t35 % + (1− 1, 290)t85 % (6.29)

donde:

t85 % es el tiempo necesario, medido desde la aplicación del escalón (t0), para que larespuesta del sistema llegue al 85 % de su valor final (definido a su vez como y85 %).

t35 % es el tiempo necesario, medido desde la aplicación del escalón (t0), para que larespuesta del sistema llegue al 35 % de su valor final (definido a su vez como y35 %).

Otros posibles valores para un método de dos puntos se presentan en el Cuadro 6.2. Como sepuede observar, los distintos métodos de dos puntos para obtener un modelo POMTM, sólocambian en el valor que se la da a p1 y p2. Teóricamente, la respuesta al escalón del modelodebería coincidir en los dos puntos elegidos con respecto a la respuesta al escalón del sistemareal.

Ejemplo 6.3

A partir de la curva de reacción de la figura6.15 (la misma que se usó en el ejemplo 6.2),determine un modelo de POMTM utilizando el método de Ho y otros (1995) y compare elmodelo obtenido con el modelo de Ziegler y Nichols (1942).



Método p1 p2 a b

Alfaro (123c) 0,25 0,75 0,910 1,262Ho 0,35 0,85 0,670 1,290

Smith 0,28 0,63 1,5 1,5

Cuadro 6.2: Distintos valores para un método de dos puntos.

0 10 20 30 40 50 6035

40

45

50

55

Tiempo (s)

Señ

ales

(%

)

Entrada u(t)Sistema y(t)

Figura 6.15: Curva de reacción de un sistema sobreamortiguado

Si se debe utilizar un método de dos puntos como el de Ho y otros (1995), lo primero esencontrar la ganancia del sistema y los puntos y35 % y y85 %. En particular, para encontrarlos puntos y35 % y y85 % sobre una gráfica que no comence en cero, se recomienda definirloscomo:

y35 % = 0,35 · (yf − yi) + yi

= 0,35 · (52,5− 40) + 40

≈ 44,4

y85 % = 0,85 · (yf − yi) + yi

= 0,85 · (52,5− 40) + 40

≈ 50,6

De esta forma los puntos se podrán encontrar en la gráfica y se tomará en cuenta ademáslas medidas relativas que se deben realizar.

En la figura 6.16 se muestran todas las mediciones necesarias para determinar los pará-



0 10 20 30 40 50 6035

40

45

50

55

Tiempo (s)

Señ

ales

(%)

Entrada u(t)Sistema y(t)

Figura 6.16: Curva de reacción de un sistema autorregulado

metros del modelo de POMTM como:

K =∆y

∆u

≈ 52,5− 40

42− 50

≈ −1,56

T = 0, 670 · (25− 12,9)

= 8,11

L = 1, 290 · 12,9 + (1− 1, 290) · 25

= 9,39

Por lo que la función de transferencia del modelo para el sistema en cuestión es:

P (s) =−1,56e−9,39s

8,11s+ 1(6.30)

En la Figura 6.17 se muestra la curva de reacción del modelo determinado con el método deHo y otros (1995). Debido a la forma en la que se obtiene el modelo, la respuesta del modeloy del sistema deben concordar en los puntos donde la respuesta del sistema es el 35 % y 85 %del valor final.

A modo de comparación, en la Figura 6.18 se muestra también la respuesta del modelodeterminado con el método de Ziegler y Nichols (1942). Puede observarse claramente, queel método de Ho y otros (1995) brinda un mejor modelo que el método de Ziegler y Nichols(1942).



0 10 20 30 40 50 60 70 8035

40

45

50

55

Tiempo (s)

Señ

ales

(%

)

Entrada u(t)Sistema y(t)Modelo y

m(t)

Figura 6.17: Curva de reacción del modelo y el sistema

0 10 20 30 40 50 60 70 8040

42

44

46

48

50

52

54

Tiempo (s)

Señ

ales

(%

)

Entrada u(t)Sistema y(t)y

m1(t) (Ho)

ym2

(t) (Ziegler)

Figura 6.18: Comparación de los modelos de Ho y otros (1995) y Ziegler y Nichols (1942)

6.4.3. Métodos para obtener un modelo SOMTM

Cuando el orden del sistema es alto o se presentan oscilaciones en la curva de reacción delmismo, es posible que un modelo del tipo POMTM no sea suficiente para representar ade-cuadamente las características dinámicas del sistema. En esas ocasiones, se utilizan modelosde SOMTM dados por:

P (s) =Ke−Ls

(T1s+ 1)(T2s+ 1)(6.31)

P (s) =Ke−Ls

(Ts+ 1)(aTs+ 1)(6.32)



en el caso de que la respuesta del sistema no tenga oscilaciones. No obstante, si el sistemaposee oscilaciones, un modelo del tipo:

P (s) =Kω2

ne−Ls

s2 + 2ξωns+ ω2n

(6.33)

es más recomendable para representar al sistema.En los siguiente, se tratan algunos métodos de identificación utilizando modelos de SOMTM,

ya sean modelos sobreamortiguados o subamortiguados.

Para sistemas sobreamortiguados

El modelo dado en (6.31) ó en (6.32) posee tres parámetros que dependen del tiempo; L,T1 y T2 (o en su defecto L, T y a), por lo que si se utilizan métodos basados en los puntosde la curva de reacción del proceso, se necesitarían tres puntos para identificar todos losparámetros del modelo.

No obstante Alfaro (2006a) recomienda el uso del modelo de polo doble más tiempo muer-to (PDMTM), en el cual T1 = T2 (o a = 1). De esta forma, solo se necesitan dos puntos dela curva de reacción para obtener un modelo de la forma:

P (s) =Ke−Ls

(Ts+ 1)2(6.34)

Particularmente el autor recomienda utilizar los puntos donde la respuesta del proceso hallegado al 25 % y al 75 % de la respuesta final del sistema ante un escalón de entrada. Así, losparámetros del modelo PDMTM estarían dados por:

K =∆y

∆u(6.35)

T = 0,5776(t75 % − t25 %) (6.36)L = 1,5552t25 % − 0,5552t75 % (6.37)

donde t25 % es el tiempo necesario para que la respuesta del sistema llegue al 25 % de su valorfinal, y t75 % es el tiempo necesario para que la respuesta llegue al 75 % de su valor final.

Alfaro (2006a) también determinó las ecuaciones para un modelo en general de SOMTMen el que a es distinto de 1. En este caso:

K =∆y

∆u(6.38)

a =−0,6240t25 % + 0,9866t50 % − 0,3626t75 %

0,3533t25 % − 0,7036t50 % + 0,3503t75 %

(6.39)

T =t75 % − t25 %

0,9866 + 0,7036a(6.40)

L = t75 % − (1,3421 + 1,3455a)T (6.41)

Pero como el lector puede notar a simple vista, dichas ecuaciones son mucho más complica-das que las del modelo de PDMTM.



0Tiempo (s)

Am

plitu

d

Figura 6.19: Mediciones necesarias para obtener el modelo de un sistema subamortiguado.

Para sistemas subamortiguados

Para la identificación de sistemas subamortiguados, es necesario tomar en cuenta el sobre-paso y las oscilaciones que presenta la curva de reacción. Para ello se utiliza una función detransferencia de la forma (6.33). Es necesario entonces encontrar tres parámetros: la gananciaK, la frecuencia natural ωn y el factor de amortiguamiento ξ.

Para ello, se utilizan las ecuaciones que describen la respuesta de un sistema sobreamor-tiguado que se presentan en la sección 5.3.1, con algunas consideraciones extras para poderencontrar una aproximación del tiempo muerto del sistema, tal y como lo expone Alfaro(2006b).

En la Figura 6.19, se presentan las mediciones que hay que realizar para poder calcular unmodelo de segundo orden subamortiguado.

La ganancia se calcula como en los demás modelos:

K =∆y

∆u(6.42)

Para obtener el valor del factor de amortiguamiento, se necesita conocer el valor del primerpico yp1 y el valor final de la respuesta yf . Si se define la diferencia entre estos dos valorescomo ∆yos, el valor del factor de amortiguamiento vendría dado por:

ξ =

√(ln(δ))2

π2 + (ln(δ))2 (6.43)



conδ =

∆yos∆y

Si se define el periodo como el tiempo entre dos picos, entonces el tiempo entre el primerpico y el primer valle sería igual a la mitad del periodo, por lo tanto:

T = 2 (tm1 − tp1) (6.44)

Puesto que el periodo es igual al inverso de la frecuencia natural amortiguada, la frecuencianatural vendría dada por:

ωn =2π

T√

1− ξ2(6.45)

Un sistema de segundo orden subamortiguado, llegaría al primer pico en un tiempo igual ala mitad del periodo. Si el sistema que se está identificando tarda más en llegar a este punto,entonces se puede modelar este tiempo extra como un retardo puro, es decir, el retardo vendríadado por:

L = tp1 −T

2(6.46)

De esta manera, se pueden obtener todos los parámetros del modelo de segundo orden suba-mortiguado.


7. Análisis en el dominio de lafrecuencia

Hasta ahora se han analizado los sistemas desde el punto de vista del espacio de estados ydesde el punto de vista del tiempo. En este capítulo se introducirán conceptos y herramientasimportantes para el análisis, pero desde el punto de vista de la frecuencia. Muchas de lastécnicas de control clásico y de análisis de estabilidad de sistemas a lazo cerrado se basanprecisamente en la información que se puede obtener de la respuesta en frecuencia que seintroduce en la Sección 7.1. En la Sección 7.2 se presenta el diagrama de Bode y su cons-trucción asintótica. Por último en la sección 7.3 la curva polar se estudia, como una formacomplementaria de representar el comportamiento en frecuencia de los sistemas.

7.1. La respuesta en frecuencia

En esta sección se introduce el concepto de respuesta en frecuencia y la manera en que seobtiene esta respuesta a partir de la función de trasferencia.

7.1.1. Magnitud y fase

La respuesta en frecuencia se define como la respuesta de un sistema en estado estaciona-rio, ante una entrada sinusoidal. La frecuencia de la señal de entrada se varía dentro de ciertorango para estudiar el efecto sobre la salida del sistema (Ogata, 2003). Para encontrar estarespuesta, se utiliza la información que proveé la función de transferencia del sistema.

Si la entrada del sistema es una senoide dada por:

u(t) = u0 sen(ωt) (7.1)

El sistema se puede modelar mediante la función de transferencia

G(s) =p(s)

q(s)=

p(s)

(s+ s1)(s+ s2) · · · (s+ sn)(7.2)

Por lo que la salida vendría dada por

Y (s) = G(s)U(s) =p(s)

q(s)U(s) (7.3)

165

166 7. Análisis en el dominio de la frecuencia

Como en la respuesta en frecuencia solo se considera el estado estacionario, las condicionesiniciales no son importantes, porque se supone que el efecto de ellas ya ha desaparecido delsistema. Puesto que la entrada es una senoide, (7.3) se puede escribir en la forma

Y (s) = G(s)ωu0

s2 + ω2(7.4)

=a

s+ jω+

a

s− jω+

b1

s+ s1

+b2

s+ s2

+ · · ·+ bns+ sn

(7.5)

a, b1, . . . bn son los coeficientes (algunos incluso complejos) que aparecen cuando se calculanlas fracciones parciales, a es el complejo conjugado de a. Si se obtiene la respuesta en eldominio de tiempo de (7.5), se obtiene el siguiente resultado:

y(t) = ae−jωt + ae−jωt + b1e−s1t + b2e

−s2t + . . .+ bne−snt (7.6)

Si se restringe a que el sistema sea estable, todos los polos−s1,−s2, . . .−sn tienen parte realnegativa, por lo que la función exponencial asociada tiende a cero conforme el tiempo tiendea infinito (estado estacionario). La respuesta en estado estacionario vendría dada entoncespor:

yss(t) = ae−jωt + ae−jωt (7.7)

La constante a se puede calcular mediante el método de residuos como

a =

(G(s)

ωu0

s2 + ω2(s+ jω)

)∣∣∣∣s=−jω

= −u0G(−jω)

2j

a =

(G(s)

ωu0

s2 + ω2(s− jω)

)∣∣∣∣s=jω

=u0G(jω)

2j

G(jω) se puede escribir en forma polar como

G(jω) = |G(jω)| ejφ

con

φ(ω) = ∠G(jω) = tan−1

(=(G(jω))

<(G(jω))

)Entonces se obtiene que:

a =u0 |G(jω)| e−jφ

2j

a =u0 |G(jω)| ejφ

2j


7.1. La respuesta en frecuencia 167

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Entrada

Salida

tiempo (s)

ampl

itud

Figura 7.1: Respuesta de un sistema de primer orden ante una entrada sinusoidal.

Y por lo tanto (7.7) se puede escribir como

yss(t) = u0 |G(jω)| ej(ω+φ) + e−j(ω+φ)

2j

yss(t) = u0 |G(jω)| sen (ωt+ φ) (7.8)

De (7.8), se concluye que, en estado estacionario, para un sistema estable lineal e invarianteen el tiempo, la respuesta de un sistema ante una entrada sinusoidal es una senoide de la mis-ma frecuencia, pero cuya amplitud se ve amplificada por el factor |G(jω)| y con un desfasede φ. Un valor positivo de φ implica que la señal de salida se adelanta en fase, mientras queun valor negativo indica un retado de fase. Es decir, la cantidad de amplificación y desfasesólo depende del sistema, pero esta varía con la frecuencia. Por ello, “la característica de larespuesta en estado estacionario de un sistema para una entrada sinusoidal se obtiene directa-mente de G(jω)” (Ogata, 2003). Es decir, con la función de transferencia es posible obtenertanto la amplificación como el desfase de una señal senoidal en estado estacionario:

|G(jω)| =∣∣∣∣Y (jω)

X(jω)

∣∣∣∣ (7.9)

∠G(jω) = ∠

(Y (jω)

X(jω)

)(7.10)

En la Figura 7.1 se muestra la respuesta de un sistema de primer orden ante una entradasinusoidal. La salida del sistema está retardada en comparación con la entrada. La gananciaen estado estacionario del sistema de primer orden es igual a 100, sin embargo ante una señalde frecuencia 0,5 Hz, su ganancia se ha reducido a cerca de 0,4.

Ejemplo 7.1

Obtenga la amplificación y el desfase de la respuesta en estado estacionario ante una entrada



u(t) = sen(ωt) para un sistema dado por

G(s) =τ1s+ 1

τ2s+ 1

para obtener la amplificación y el desfase en estado estacionario, primero se debe cambiarla variable s por jω:

G(jω) =τ1jω + 1

τ2jω + 1=

√1 + τ 2

1ω2ej tan−1(τ1ω)√

1 + τ 22ω

2ej tan−1(τ2ω)=

√1 + τ 2

1ω2√

1 + τ 22ω

2ej(tan−1(τ1ω)−tan−1(τ2ω))

Por lo tanto, la amplificación del sistema vendría dada por:

|G(jω)| =√

1 + τ 21ω

2√1 + τ 2

2ω2

y el desfase por:∠G(jω) = tan−1 (τ1ω)− tan−1 (τ2ω)

Cuando se habla de la Respuesta en Frecuencia, normalmente lo que se hace es dibujar lavariación de la ganancia y el desfase en función de la frecuencia. Esto es así porque, a partirde (7.8), se puede concluir que la respuesta del sistema ante una entrada senusoidal estátotalmente caracterizada por el módulo y la fase de la función de trasferencia, cuando secambia s por jω.

Ejemplo 7.2

Obtenga un diagrama de la magnitud y el desfase del sistema de la Figura 7.1 si τ1 = 5 yτ2 = 8. En este caso, la función de la magnitud en función de la frecuencia vendría dada por

Magnitud =

√1 + 25ω2

√1 + 64ω2

mientras que la fase se calcularía como

Fase = tan−1 (5ω)− tan−1 (8ω)

En la Figura 7.2a se muestra la magnitud de la función de transferencia mientras que en laFigura 7.2b se presenta la fase.


7.1. La respuesta en frecuencia 169

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

frecuencia (rad/s)

mag

nitu

d

(a) Magnitud de la respuesta en frecuencia.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−0.25

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

frecuencia (rad/s)

fase

(b) Fase de la respuesta en frecuencia.

Figura 7.2: Respuesta en frecuencia del sistema del ejemplo 7.2.

7.1.2. Efecto del retardo puroLos retardo puros, restan fase a la respuesta sin afectar la ganancia del mismo. Para mostrar

esto, supóngase que se tiene un sistema estable dado por la función de transferencia G(s) lacual contiene un retardo L. Esta función de transferencia se puede escribir en la forma

G(s) = G∗(s)e−Ls (7.11)

Donde G∗ corresponde a la función de transferencia sin retardo. Si se desea obtener al res-puesta en frecuencia de esta función, se procede a cambiar s por jω y se busca la magnitud yla fase:

G(jω) = G∗(jω)e−jLω (7.12)

Esta función se puede escribir como:

G(jω) = |G∗(jω)| ejφ∗(ω)e−jLω

= |G∗(jω)| ej(φ∗(ω)−Lω)(7.13)

Por lo tanto, la magnitud de un sistema con retardo puro no se ve afectado, mientras que, elefecto en la frecuencia del retardo es disminuir la fase del sistema (aumentar el desfase) porun término Lω.

7.1.3. Ceros de fase no mínimaEn esta sección se analizará el efecto que un cero de fase no-mínima produce sobre la

respuesta en frecuencia. La respuesta de un cero de fase mínima se puede escribir de lasiguiente manera

Gfm(s) = (τcs+ 1)

Gfm(jω) = (τcjω + 1)



entoncesGfm(jω) =

√1 + τ 2

c ω2etan−1(τcω) (7.14)

Entonces se puede observar que un cero aumenta tanto la ganancia del sistema como su fase(es decir, disminuye el desfase entre la entrada y la salida). Si se examina el efecto de un cerode fase no mínima:

Gfnm(s) = (−τcs+ 1)

Gfnm(jω) = (−τcjω + 1)

Que se puede escribir como

Gfnm(jω) =√

1 + τ 2c ω

2etan−1(−τcω)

=√

1 + τ 2c ω

2e− tan−1(τcω)(7.15)

Como se puede observar, desde el punto de vista de la frecuencia, un cero con parte realpositiva, produce la misma amplificación, pero aumenta el desfase en lugar de reducirlo. Poreso, a estos ceros se les llama ceros de fase no-mínima, porque en lugar de disminuir eldesfase, más bien lo aumenta. Esto produce que el sistema en su totalidad no tenga el menordesfase posible si los ceros sólo tuvieran parte real negativa.

7.2. El diagrama de BodeSe le llama Diagrama de Bode a la representación de la respuesta en frecuencia mediante

dos gráficos:

Un gráfico de magnitud en función de la frecuencia. La magnitud se expresa en decibe-lios (dB) y la frecuencia en radianes por segundo (rad/s). La gráfica se dibuja con unaescala logarítmica en el eje de las frecuencias y una escala lineal en la magnitud. Paraobtener la magnitud en decibelios se aplica el siguiente cálculo:

|G(jω)|dB = 20 log (|G(jω)|) (7.16)

donde log representa el logaritmo de base diez.

Un gráfico de la fase en función de la frecuencia. La fase está en radianes (rad) y lafrecuencia en radianes por segundo (rad/s). En este caso para el eje de la frecuenciatambién se utiliza una escala logarítimica.

La razón por la que se utiliza la magnitud en decibelios es porque los logaritmos conviertenlos productos en sumas. Esto hace posible que, para calcular el efecto total de todos los polosy ceros del sistema sobre la respuesta en frecuencia, sea posible simplemente sumar todos losefectos de ellos por separado. Para ello, se procede a analizar cada uno de los componentesde una función de transferencia general, a saber:


7.2. El diagrama de Bode 171

Ganancia (K)

Factores integrales y derivativos (jω)±1

Factores de primer orden (1 + jωτ)±1

Factores de segundo orden(

1 + 2ξ(j ωωn

)+(jωωn

))±1

Si se tiene una función de la forma

G(jω) =K (1 + jωτ1)

(jω) (1 + jωτ2)

Esta respuesta en frecuencia se podría de escribir en la forma

G(jω) =K√

1 + ω2τ 21

|ω|√

1 + ω2τ 22

e−π/2−tan−1(ωτ2)+tan−1(ωτ1)

Por lo que en la forma de Diagrama de Bbode, se deberían graficar estas dos curvas:

|G(jω)|dB = 20 log (K) + 20 log

(√1 + ω2τ 2

1

)− 20 log (|ω|)− 20 log

(√1 + ω2τ 2

2

)φ(jω) = −π

2− tan−1(ωτ2) + tan−1(ωτ1)

Como se puede observar, la magnitud y la fase del sistema total viene dado por la sumadel aporte de la magnitud y la fase de cada uno de los componentes. Para poder dibujar eldiagrama de bode exacto se debería dibujar |G(jω)|dB y φ(jω) en un papel semilogarítmico,pero como se puede observar, esta relación es algo complicada. Sin embargo, es posiblerealizar un dibujo aproximado de la respuesta en frecuencia mediante asíntotas. El métodopara dibujar esta gráfica aproximada se detalla a continuación.

7.2.1. Aproximación Asintótica del diagrama de Bode

Una función de transferencia se puede factorizar con distintos elementos, a saber:

Ganancias (K)

Factores de primer orden (1 + jω)±1

Factores de segundo orden(

1 + 2ξ(j ωωn

)+(j ωωn

)2)±1



100

101

102

103

−1

−0.5

0

0.5

1

Mag

nitu

d (d

B)

Fas

e (r

ad)

Frecuencia (rad/s)

Figura 7.3: Diagrama de Bode de una ganancia pura.

Ganancia

La ganancia , tal y como se define para los sistemas autoregulados, se refiere a la ampli-ficación que tiene el sistema en todas las frecuencias. En las funciones de transferencia queestán en la forma de constantes de tiempo (es decir, los factores tiene la forma τs + 1 paralos de primer orden y la forma (1 + 2ξ(1/ωn)s + (1/ωn)2s2)), la ganancia K es la contanteque multiplica toda la función de transferencia.

La respuesta en frecuencia de la ganancia es sencilla. El aporte a la magnitud es 20 log(K)mientras que no aporta nada a la fase. El diagrama de Bode de una ganancia pura se muestraen la Figura 7.3. En este caso no se necesita ninguna aproximación por asíntotas.

En el caso que la ganancia fuera negativa (es decir,−K, con K positiva, la magnitud siguesiendo 20 log(K), pero la fase ahora es de −180 para todas las frecuencias.

Elementos integradores y derivativos

Los elementos integradores y derivativos corresponden a los factores que tiene un poloo un cero en el origen respectivamente. Es decir a los factores que tiene la forma s±1. Larespuesta en frecuencia de un polo en el origen viene dada por

1

jω=

1

ωejπ2

=1

ωe−j

π2 (7.17)

Es decir:

Magnitud: 20 log

(1

ω

)= −20 log(ω)

Fase:−π2

Cuando se dibuja el Diagrama de Bode de una polo en el origen, la gráfica de magnitudcorresponde a una línea recta con una pendiente de −20 dB/década. Es importante notar



−40

−30

−20

−10

0

10

20

10−1

100

101

102

−91

−90.5

−90

−89.5

−89

Mag

nitu

d (d

B)

Fas

e (°

)

Frecuencia (rad/s)

−20

−10

0

10

20

30

40

10−1

100

101

102

89

89.5

90

90.5

91

Mag

nitu

d (d

B)

Fas

e (°

)

Frecuencia (rad/s)

Polo en el origen Cero en el origen

-20 dB/década

20 dB/década

Figura 7.4: Diagrama de Bode de un polo y un cero en el origen.

que la magnitud del factor integral siempre tendrá un valor de 0 dB a una frecuecia de ω =1 rad/s. Una década corresponde al rango de frecuencias que va desde ω hasta 10ω, es decir,un rango de frecuencias en la que la frecuencia final es diez veces mayor que la frecuencaoriginal. Es claro que la magnitud de un factor integral tiende a infinito conforme la frecuenciase acerca a cero. Por otra lado, su aporte a la fase es de −90 en todas las frecuencias,por lo que corresponde a una línea horizontal. Cuando se analiza el cero en el origen, losresultados simplemente cambian de signo: la magnitud es una línea reacta con una pendientede 20 dB/década con un aporte a la fase de 90. El diagrama de ambos casos se presenta enla Figura 7.4.

Elementos de primer orden

Los elementos de primer orden tienen la forma (τs + 1)±1. Si se analiza la respuesta enfrecuencia del polo , se encuentra que:

1

τjω + 1=

1√1 + ω2τ 2ej tan−1(τω)

=1√

1 + ω2τ 2e−j tan−1(τω) (7.18)

por lo tanto

Magnitud: 20 log

(1√

1 + ω2τ 2

)= −20 log

(√1 + ω2τ 2

)Fase: − tan−1 (τω)

En este caso, las gráficas de magnitud y fase no son líneas rectas, pero se puedem aproximarmediante sus asíntotas para simplificar el dibujo. A la frecuencia 1/τ se le conoce comofrecuencia de esquina. En el caso de que ω << 1/τ la magnitud del factor de primer orden



Mag

nitu

d (d

B)

-20 dB/década

Frecuencia (rad/s)

Figura 7.5: Magnitud de un factor de primer orden (polo simple).

es cero, lo que representa una línea horizontal en los 0 dB. Si por el contrario, ω >> 1/τ , lamagnitud se puede aproximar como

− 20 log(√

1 + ω2τ 2)≈ −20 log (ωτ) (7.19)

En la frecuencia de esquina estas dos asíntotas se intersecan. En la Figura 7.5, se muestra eldiagrama de magnitud exacto y la aproximación por asíntotas de un polo. La línea puntea-da representa la magnitud exacta y la línea contínua la aproximación por asíntotas. A altasfrecuencias, el aporte del polo es una línea recta que cae a −20 dB/década, mientras que abajas frecuencias, la magnitud que aporta es prácticamente cero. El la frecuencia de esquinaes donde el error de la aproximación es mayor. Este error es de aproximadamente 3dB, porlo que la aproximación es bastante buena.

En el caso de la fase, se debe aproximar la función tangente inversa mediante asítotastambién. En este caso, la aproximación no es tan buena, pero igual permite tener una ideadel comportamiento aproximado de la fase conforme aumenta la frecuencia. Centrando elanálisis en la frecuencia de esquina, uno puede aproximar la tangente inversa de la siguienteforma:

En la frecuencia de esquina, la fase de un factor de primer orden en el denominadordebe ser −45.

Hasta una década antes de la frecuencia de esquina, la fase se puede aproximar comouna línea horizontal en 0.

Desde una década después de la frecuencia de esquina, la fase alcanza su valor máximode −90.

Entre una década antes y una década después de la frecuencia de esquina, la fase sepuede aproximar como una línea recta que cae a −45/década.



Frecuencia (rad/s)

Fas

e (°

)

-45°/década

Figura 7.6: Fase de un factor de primer orden (polo simple).

En la Figura 7.6 se presenta la fase con la línea punteada y la aproximación por asíntotas conlínea continua de un elemento de primer orden. En el caso del cero , el análisis es el mismo,pero los resultados varían de signo. Tal y como se muestra en la Figura 7.7, la asíntota de lamagnitud tiene una pendiente de 20dB/década mientras que la fase máxima que se alcanzaes de 90, con 45 de fase en la frecuencia de esquina. En el caso de los ceros de fase nomínima, la magnitud es igual a la de un cero de fase mínima, pero la fase es igual a la de unpolo. La aproximación por asíntotas se presenta en la Figura 7.8.

Elementos de segundo orden

Los factores de segundo orden viene dado por la forma

(1 + 2ξ

(jω

ωn

)+

(jω

ωn

)2)±1

(7.20)

Considerando nuevamente el caso de los polos, se puede mostrar que la magnitud y la fasede un factor cuadrático vienen dados por

Magnitud: − 20 log

√√√√(1−

(ω

ωn

)2)2

+

(2ξ

ω

ωn

)2

Fase: − tan−1

(ωωn−√

1− ξ2

ξ

)− tan−1

(ωωn

+√

1− ξ2

ξ

)



0

10

20

30

40

50

0

45

90

Frecuencia (rad/s)

Mag

nitu

d (d

B)

Fas

e (°

)20 dB/década

45°/década

Figura 7.7: Magnitud y fase de un cero simple.

0

10

20

30

40

50

Frecuencia (rad/s)

Mag

nitu

d (d

B)

Fas

e (°

)

0

-45

-90

20 dB/década

-45 °/década

Figura 7.8: Magnitud y fase de un cero de fase no-mínima.



Mag

nitu

d (d

B)

Frecuencia (rad/s)

−80

−60

−40

−20

0

20

40

-40dB/década

Figura 7.9: Magnitud de un factor de segundo orden junto con su aproximación asintótica

Se puede intentar aproximar estas ecuaciones, mediante asíntotas. Si ω << ωn, entonces lamagnitud es prácticamente igual a cero. Si ω >> ωn, entonces:

−20 log

√√√√(1−

(ω

ωn

)2)2

+

(2ξ

ω

ωn

)2

≈ −40 log

(ω

ωn

)La magnitud se puede aproximar a una recta con pendiente de −40 dB/década, con frecuen-cia de esquina igual a ωn. Sin embargo se debe notar que estas aproximaciones no toman encuenta el efecto del factor de amortiguamiento (ξ) . En la Figura 7.9 se muestra la aproxima-ción por asíntotas de un factor cuadrático junto con la curva real para algunos valores de ξ. Lalínea continua representa la aproximación asintótica mientras que las punteadas representanla curva real.

En el caso de la fase, se puede realizar una aproximación similar a la que se hizo para elcaso de factores de primer orden. Con la diferencia de que en la frecuencia de esquina, elvalor de la fase es igual a −90, y que una década después de la frecuencia de esquina, elvalor de la fase es igual a −180. Tampoco se toma en cuenta el efecto de ξ, no obstante, taly como se observa en la Figura 7.10, su efecto es importante para valores pequeños de ξ.

Ganancia negativa

Si el sistema presenta una ganancia negativa −K, la magnitud es igual la de una gananciapositiva, pero la fase es constante e igual a −180.

7.2.2. Pico de resonanciaComo se pudo observar, cuando el sistema es de segundo orden subamortiguado, puede

aparecer un pico en la respuesta de frecuencia si el valor de ξ es pequeño. Este valor se puedecalcular a partir de la función de transferencia de este factor.



−180

−135

−90

−45

0

Frecuencia (rad/s)

Fas

e (°

)

-90°/década

Figura 7.10: Variación de la fase para los factores de segundo orden.

El término cuadrático tiene la forma

G(jω) =1

1 + 2ξ(j ωωn

)+(j ωωn

)2

este factor tendrá una magnitud máxima cuando la magnitud de su denominador sea mínimo.La magnitud al cuadrado del denominador viene dada por:

mr(ω) =

(1− ω2

ω2n

)2

+

(2ξ

ω

ωn

)2

(7.21)

Si se minimiza mr también se estará minimizando la magnitud del denominador y por lotanto maximizando la magnitud del factor cuadrático. Al derivar (7.21) e igualar a cero, seobtiene que la frecuencia ωr a la que ocurre este máximo viene dado por

ωr = ωn√

1− 2ξ2 (7.22)

Esta ecuación es válida para 0 ≤ ξ ≤ 0,707. Para valores de ξ mayores a 0,707, no se presentapico de resonancia. El valor del pico Mr en decibelios vendría dado por sustituir el valor deωr en (7.21):

Mr|dB = 20 log |G(jω)|max = 20 log1

m2r(ωr)

= 20 log1

2ξ√

1− ξ2(7.23)

En la Figura 7.11 se muestra cómo se deben medir Mr|dB y ωr en un diagrama de Bode.Conforme ξ tiende a cero, el valor del pico tiende a infinito. Con un valor de ξ = 0,707 elvalor de Mr es igual a 0 dB, tal y como se muestra en la Figura 7.12.



0

Mag

nitu

d (d

B)

Diagrama de Bode

Frecuencia (rad/s)

Figura 7.11: Relación entre el pico de resonancia y la frecuencia de resonancia en un diagrama deBode.

7.2.3. Obtención de la FT a partir del diagrama de Bode

Es posible obtener la función de transferencia de un sistema a partir de su diagrama deBode . Para ello, basta con encontrar las frecuencias en las que la magnitud cambia múltiplosde ±20dB/década para tener una idea de la posición de los polos. Para ello se siguen lasrecomendaciones de (Ogata, 2003) y (Loría, 2008):

Una vez que se tiene la magnitud de la respuesta en frecuencia, se trazan sus asíntotas.Estas asíntotas deben tener pendientes que sean múltiplos de ±20dB/década.

• Si a una frecuencia ω1 hay un cambio de −20dB/década, entonces debe existir unfactor de la forma:

1

1 + j ωω1

• Si la pendiente cambia +20dB/década, quiere decir que se está en la presencia deun cero que tiene la forma:

1 + jω

ω1

• Si la pendiente cambia−40dB/década, se trata de un factor cuadrático de la forma

1

1 + 2ξ(j ωω1

)+(j ωω1

)2

El valor de ξ, se debe ajustar para que la aproximación que se está haciendo seasemeje lo más posible a la curva real con que se cuenta.



0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80

5

10

15

20

25

30

35

ξ

Mr| dB

Figura 7.12: Pico de resonancia en función de ξ.

La aproximación de la ganancia depende de la presencia de polos en el origen. A fre-cuencias muy bajas (es deicr, cuando ningún otro polo ni cero del sistema tiene efectosobre la respuesta en frecuencia), los únicos factores que aportan a la respuesta enfrecuencia vienen dados por:

lımω→0

G(jω) =K

(jω)λ

Donde λ representa la cantidad de polos en el origen. Lo más común es que los sistemastengan, a lo sumo, dos polos en el origen

• Si λ = 0, entonces el sistema no tiene polos en el origen. Debido a esto, a bajasfrecuencias, el diagrama de magnitud de Bode es una línea horizontal en x =20 log(K) dB, donde x es la medición que se realiza sobre la gráfica de magnitud.Por ello, es posible obtener el valor de K directamente mediante k = 10

x20 .

• Si λ ≥ 1, el sistema tiene λ polos en el origen. Esto se nota en el gráfico en elhecho de que, para frecuencias bajas, la pendiente de la curva de magnitud es−20λ dB/década. En este caso, la magnitud a bajas frecuencias viene dada por

magnitud: 20 log(k)− 20 log(ωλ)

Es decir, si la frecuencia a la que la extensión de la pendiente a bajas frecuenciascorta los 0 dB es igual a ωc, entonces el valor de K viene dado por

K = ωλc

Con esto, ya se puede tener una primera aproximación de la función de transferencia.Si se cuenta con la información experimental de la fase, entonces es posible comprobarla presencia de elementos de fase no mínima. Si a altas frecuencias, la fase del modeloencontrado es diferente a 90(m− n) donde m es el número de ceros y n es el númerode polos, entonces se está ante la presencia de elementos de fase no mínima:


7.3. Diagrama Polar 181

• Si a altas frecuencias, la fase de las mediciones experimentales decrece indefini-damente, entonces se tiene un retardo puro en el sistema. Si la escala fuera lineal,la pendiente del la fase a altas frecuencias vendría dado por −57,3L, donde L esel retardo del sistema. El factor −57,3 se debe a la conversión entre radianes ygrados que se debe hacer en el diagrama de fase de Bode.

• Si para bajas frecuencias, el modelo difiere de las mediciones por−180, entoncesel sistema tiene ganancia negativa.

• Si a altas frecuencias la fase de las mediciones difiere de la del modelo en−180z,entonces eso quiere decir que se tienen z ceros de fase no mínima en el sistema.En ese caso, habría que corregir z de los ceros encontrados hasta que el diagramade fase coincida con el diagrama de fase experimental.

7.3. Diagrama Polar

La diagrama polar es otra forma de representar la magnitud y la fase de la respuesta enfrecuencia. En este caso se utiliza un sistema de coordenadas polar, en el que la magnitudde la respuesta en frecuencia se grafica en función de la fase. En un sistema de coordenadaspolar, la magnitud de la respuesta en frecuencia representa la distancia de la curva al origeny la fase de la respuesta en frecuencia es el ángulo que se mide desde el eje horizontal. Eneste caso, la frecuencia es una variable implícita, lo que significa que cada punto de la curvapolar tiene asociado una frecuencia particular, pero esta no se representa explícitamente en elgráfico.

En la Figura 7.13, se muestra un ejemplo de un diagrama polar característico. En este casose trata de la curva polar de un sistema de segundo orden subamortiguado. Para una frecuenciade cero (ω = 0), la fase del sistema tiene un valor de cero y una magnitud igual a la ganancia.

−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

Figura 7.13: Curva polar característica.



Puesto que la fase es cero, la curva corta el eje horizontal. Hay que notar que el eje horizontalrepresenta la parte real de G(jω) mientras que el eje vertical es la parte imaginaria. Cada unode los puntos de la curva está asociado a una frecuencia ω, de manera que la magnitud delvector que inicia en el origen y termina en la curva tiene una longitud igual a |G(jω)| y unángulo de ∠G(jω). Cuando la frecuencia tiende a infinito, la fase tiende a −180 con unamagnitud de 0.

La información que proveé el diagrama polar es exactamente la misma que el diagrama deBode, con la diferencia que en el caso polar, no se necesitan dos gráficos separados, sino quela información de la fase y la magnitud está contenida en un solo gráfico.

7.3.1. Construcción de los diagramas polares

Al contrario de los diagramas de Bode, no se cuenta con una técnica para encontrar unaaproximación asintótica de los diagramas polares. Lo que se debe hacer entonces es dibujaralgunos puntos de la curva y a apartir de ellos, encontrar la forma general que tiene. Noobstante, a continuación se presenta el diagrama polar de algunas funciones de transferenciacomunes, tal y como se presenta en Ogata (2003).

Factores integrales y derivativos

La forma de un factor integral viene dado por

G(jω) =1

jω

=1

ωej−π2

En un diagrama polar, esta respuesta en frecuencia es igual al eje negativo de la parte ima-ginaria, puesto que el ángulo es constante en −90. Cuando ω → 0, la magnitud tiende ainfinito, mientras que si ω → ∞, la magnitud tiende a 0. El diagrama polar de este factor sepresenta en la Figura 7.14. Si fuera un cero en el origen, el único cambio en la gráfica es queel ángulo sería de 90 en lugar de −90.

Factores de primer orden

En el caso de los polos de primer orden, la forma general es

G(jω) =1

1 + jωτ

El diagrama polar es como se muestra en la Figura 7.15. Se puede demostrar que esta curvaes la mitad inferior de un círculo centrado en 1

2, 0. Cuando ω → 0, la magnitud de la gráfica



−1 −0.5 0 0.5 1

−3

−2

−1

0

1

2

3

Figura 7.14: Diagrama polar de un factor integrativo.

0

0

Figura 7.15: Diagrama polar de un factor de primer orden.

polar tiende a 1 con un ángulo 0. Si ω →∞, la magnitud de la curva tiende a 0 con un ángulode −90. En el caso de esta curva, la parte real viene dada por:

1

1 + ω2τ 2

y la parte imaginaria viene dada por:

−ωτ1 + ω2τ 2

Si se varía el valor de τ , la curva polar tiene exactamente la misma forma para todos losvalores de τ . La diferencia está en que, dependiendo del valor de τ , el mismo puntos en lagráfica polar va a estar asociado a diferentes valores de frecuencia ω. Por ejemplo, la gráfica



0 0.5 1 1.5 2

0

Figura 7.16: Diagrama polar de un cero de primer orden.

polar siempre va a pasar por el punto

12, −1

2

, pero la frecuencia asociada a este punto va a

venir dada por ω = 1τ.

El caso de un cero simple es totalmente diferente al caso de un polo simple. La respuestaen frecuencia de un cero simple viene dada por:

G(jω) = 1 + jω

De esta expresión, se puede concluir que la parte real de este factor siempre va a ser igual a1, mientras que la parte imaginaria va a ir desde cero hasta infinito conforme la frecuenciaaumente. Esto se representa en el diagrama polar como se muestra en la Figura 7.16.

Factores Cuadráticos

El factor de segundo orden de la forma:

G(jω) =1

1 + 2ξ(j ωωn

)+(j ωωn

)2

a bajas frecuencias tiene una fase de 0 y magnitud 1, mientras que para frecuencias altas, lamagnitud es prácticamente cero con una fase de −180. Matemáticamente

lımω→0

G(jω) = 1∠0

lımω→∞

G(jω) = 0∠− 180

Cuando ω = ωn, la fase es 90 independientemente del valor de ξ, y la magnitud viene dadapor 1

2ξ. En la Figura 7.17, se muestra cómo varía el diagrama polar de un sistema de segundo

orden con respecto a su factor de amortiguamiento. Al variar ωn, la forma del diagrama



−0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

Figura 7.17: Diagrama polar de un sistema de segundo orden para diferentes valores de ξ.

polar no cambia. Lo que sucede es que, para diferentes valores de ωn, el mismo punto en eldiagrama polar va a estar asociado con diferentes frecuencias. Por ejemplo, el corte con el ejeimaginario siempre se va a dar en el punto

0, −1

2ξ

, pero la frecuencia asociada a este punto

es ωn.

Retardo

Como ya se estudió en la sección 7.1.2, el efecto de un retardo puro en el sistema se observasolamente en la fase, puesto que la magnitud de este factor es 1 para todas las frecuencias.La fase en cambio decrece indefinidamente conforme la frecuencia aumenta. En diagramapolar, esto se puede representar como un círculo de radio unitario, tal y como se muestra enla Figura 7.18. Si en cambio, se tuviera un sistema que además del retardo puro tuviera unpolo simple, su magnitud disminuiría conforme aumenta la frecuencia, pero su fase creceríaindefinidamente también. Esto forma una espiral que empieza en el eje real positivo y tiendehacia el origen conforme la frecuencia tiende a infinito. Un ejemplo de este tipo de curvas sepresenta en la Figura 7.19.

Casos de los polos en el origen junto con otros polos y ceros

En el caso de que el sistema tenga polos en el origen además de otros polos y ceros, elsistema tiene magnitud infinita a frecuencias bajas. En el caso de que se tenga un solo poloen el origen, la fase a frecuencias bajas es de −90 con una magnitud infinita. Por lo que esasintótico a la línea paralela al eje imaginario negativo dada por:

lımω→0

Re G(jω)

tal y como se muestra en la Figura 7.20a.



−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 7.18: Diagrama Polar de un retardo puro.

A altas frecuencias, normalmente la magnitud del sistema tiende a 0 dB (es decir el origendel sistema de coordenadas). Sin embargo el ángulo con el que llega al origen dependerá delresto de polos y ceros del sistema.

Si se tienen dos polos en el origen, el sistema a bajas frecuencias tiene una magnitudinfinita, pero su fase es de −180, es decir, es asintótico a una línea recta paralela al eje realnegativo dada por

lımω→0

Im G(jω)

Pero al igual que en el caso de los sistemas con un polo en el origen, el ángulo de llegada alorigen depende del resto del sistema. Un ejemplo de este tipo de sistemas se muestra en laFigura 7.20b.

7.3.2. Graficación de diagramas polaresAl contrario del caso de los diagramas de Bode, los diagramas polares no se pueden obtener

de la suma de los diagramas de cada componente. En este caso, no queda más que calcular unafunción con respecto a la frecuencia de la magnitud, la fase, la parte real y la parte imaginariade G(jω). Una vez que se calcularon estas relaciones, se deben buscar algunos puntos paradarse una idea de la forma que tiene la curva. Las frecuencias que se van a considerar en eldiagrama dependen de la persona que esté dibujándola, pero lo que siempre debe incluir es latendencia de la curva tanto cuando ω → 0 y cuando ω →∞.



−0.5 0 0.5 1−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

Figura 7.19: Curva polar de un sistema de primer orden más retardo puro.

0

0

(a) Un solo polo en el origen.

0

0

(b) Dos polos en el origen.

Figura 7.20: Sistemas con polos en el origen y otros polos y ceros.


8. Representación gráfica demodelos y sistemas

La representación gráfica de sistemas es una herramienta valiosa para la comprensión dela estructura interna del mismo. Esto debido a que permite saber o explicar cómo se conectanlos distintos subsistemas que conforman al sistema general mediante la relación causa-efectoque los gobierne.

Particularmente, en el análisis de los sistemas de control, la representación gráfica de siste-mas es útil para entender varias estrategias de control, las cuales, se verán en el curso IE0431.

8.1. Diagramas de bloquesEl diagrama de bloques de un modelo o un sistema, es la representación gráfica de las

distintas unidades que lo componen, mostrando además la forma en la que estas se conec-tan. Para ello, se utilizan bloques, los cuales pueden o no ser lineales y puntos de suma yramificación de señales.

Particularmente para la creación de un diagrama de bloques se utiliza una combinación delos siguientes elementos:

Bloques lineales: Los cuales son formados por funciones de transferencia o por ga-nancias estáticas. Cualquiera que sea el caso, la salida de un bloque lineal es:

Y (s) = P (s)U(s)

donde Y (s) es la salida del bloque, P (s) es su relación causa-efecto yU(s) es la entradadel bloque. En la figura 8.1 se muestra la representación de ambos casos. Por lo general,si se habla de una función de transferencia, se utiliza un rectángulo (figura 8.1a) pararepresentar el bloque lineal, mientras que si la relación causa-efecto es una constante,el bloque usado suele representarse por un triángulo (figura 8.1b).

(a) Función de transferencia (b) Ganancia estática

Figura 8.1: Bloques lineales

189

190 8. Representación gráfica de modelos y sistemas

Puntos de suma o resta: Son utilizados, como su nombre lo indica, para sumar o restarseñales. En la figura 8.2 se muestra su símbolo. Por lo general, se coloca el signo dela operación para indicar si las señales se están sumando o restando. No obstante, enalgunos textos el signo de resta se sustituye usando un semicírculo coloreado, como semuestra también en la figura 8.2. Si no se indica la operación, la convención es que lasseñales se están sumando. Por supuesto, la señal de salida para el punto de suma de lafigura 8.2 está dada por:

Y (s) = U1(s)− U2(s)

Figura 8.2: Puntos de suma o resta

Ramificaciones: Son usadas para transmitir señales a más de un bloque o punto desuma. Un ejemplo de una ramificación se muestra en la Figura 8.3, por supuesto, lassalidas del diagrama de bloques de la Figura 8.3 son:

Y1(s) = KP1(s)U(s) (8.1)Y2(s) = KP2(s)U(s) (8.2)

Ramificación

Figura 8.3: Ramificación en un diagrama de bloques

Bloques no lineales: Modelan operaciones no lineales que se aplican a un conjunto deentradas. Debido a que hay un gran número de operaciones no lineales, por lo generalel bloque tiene el símbolo de la función que relaciona la entrada y la salida. Algunosejemplos de estos bloques se muestran en la Figura 8.4. Es importante aclarar quemuchas operaciones no lineales no son formalmente aplicables a señales en el dominiode la frecuencia, mas sí se puede aplicar a su respectiva señal en el dominio del tiempo.


8.1. Diagramas de bloques 191

Figura 8.4: Algunos bloques no lineales

8.1.1. Creación del diagrama de bloques

En esta sección se analizará el problema de obtener un diagrama de bloques, en el dominiode la frecuencia compleja s, a partir de una ecuación diferencial.

Para exponer la metodología a seguir, se considerará una ecuación diferencial dada por:

y(t) + a1y(t) + a0y(t) = bu(t− L) (8.3)

donde y(t) es la salida del modelo y u(t) es la entrada, el lector recordará que esta ecuacióndiferencial corresponde a la de un sistema de segundo orden. Ahora bien, si se despeja y(t)de (8.3) se obtiene:

y(t) = bu(t− L)− a1y(t)− a0y(t) (8.4)

y de (8.4) se deduce que y(t) se puede representar como la suma o resta de varias señales.En la figura 8.5a se muestra un punto de suma con las señales necesarias para “construir” laseñal y(t).

Ese mismo punto de suma y resta puede ser descompuesto aún más si las señales a1y(t),a0y(t) y bu(t− L) se ven como señales multiplicadas por una constante, tal y como muestrala figura 8.5b.

Luego, las únicas señales que no se conocen explícitamente son y(t) y y(t), no obstante, ellector debe estar de acuerdo en que: ∫

y(t) dt = y(t)∫y(t) dt = y(t)

por lo que se puede utilizar el operador integral para obtener y(t) a partir de y(t) y y(t) a partirde y(t). Este procedimiento se muestra en la figura 8.5c. Como se observa en la figura 8.5d,las señales obtenidas en la salida de los integradores se pueden utilizar para ser realimentadasal punto de suma, con esto, ya el diagrama de bloques tiene solo una señal de entrada y unaseñal de salida.

Finalmente, el diagrama de bloques de la figura 8.5d está en el dominio del tiempo, si sedesea un diagrama en el dominio de la frecuencia compleja s, basta con hacer las siguientes



sustituciones:

L y(t) = Y (s)

L y(t) = sY (s)

L y(t) = s2Y (s)

L u(t− L) = U(s)e−Ls∫dt ≡ 1

s

y el diagrama quedará como el mostrado en la figura 8.5e, donde además se representó eltiempo muerto e−Ls como un bloque, siendo por tanto U(s) la entrada del diagrama.

Ejemplo 8.1

Determine un diagrama de bloques que represente la ecuación diferencial:

2y(t) + 4y(t) + y(t) = 5u(t)− u(t) (8.5)

Cuando la entrada se encuentra derivada, lo mejor es utilizar el operador p para lograrformar las derivadas que eventualmente se integrarán para realimentarlas al punto de suma.

Utilizando dicho operador sobre (8.5) resulta:

2p2y(t) + 4py(t) + y(t) = 5pu(t)− u(t) (8.6)

Expresión que se puede reordenar como:

p [2py(t) + 4y(t)− 5u(t)] = −y(t)− u(t)⇒ (8.7)

[2py(t) + 4y(t)− 5u(t)] = −y(t) + u(t)

p(8.8)

De la sección 2.3.2 se sabe que la expresión dada por 2py(t) + 4y(t) − 5u(t) puede selec-cionarse como variable de estado, haciendo esto resulta:

x1(t) = 2py(t) + 4y(t)− 5u(t) (8.9)

siendoX1(s) la salida del punto de suma en la figura 8.6a, que resulta de formar la expresión−y(t)+u(t)

pen un diagrama de bloques.

Como se necesita conocer la señal y(t) para realimentar el diagrama, se puede despejarpy(t) de (8.9) para obtener:

py(t) =x1(t)− 4y(t) + 5u(t)

2(8.10)



(a) Punto de suma (b) Descomposición

(c) Integración (d) Realimentación

(e) Paso al dominio s

Figura 8.5: Construcción de un diagrama de bloques a partir de una ecuación diferencial

y con la información dada por el lado derecho de (8.10) se puede construir el diagrama debloques de la figura 8.6b.

El punto de suma que se muestra en la figura 8.6b recibe el nombre de punto de prealimen-tación, esto debido a que la información transportada tiene una dirección hacia “adelante”y no hacia atrás, como lo es en el caso de la realimentaición.

Así, integrando (8.10) se puede definir un segundo estado, el cual será la salida del sistema,como se muestra en la figura 8.6c

Finalmente, en la figura 8.6d se muestra el diagrama final realimentando las señales deinterés y sin colocar la asignación de estados descrita con anterioridad.



(a) Punto de suma (b) Punto de prealimentación

(c) Definición de la salida (d) Definición de la salida

Figura 8.6: Diagrama de bloques de 2y(t) + 4y(t) + y(t) = 5u(t)− u(t)

8.1.2. Simplificación de diagramas de bloquesUna vez que se ha conformado el diagrama de bloques de un sistema a partir de las ecua-

ciones diferenciales que lo modelan, es posible reducir dicho diagrama para el efecto de laentrada sobre la salida por medio de la función de transferencia del sistema.

Es importante aclarar que la reducción de los diagramas de bloques se puede aplicar solo aciertas estructuras. Por simplicidad, aquí solo se reducirán diagramas de bloques lineales, loscuales son formados por bloques lineales, puntos de suma y ramificaciones.

Considérese por ejemplo el diagrama de la figura 8.7a. Si el objetivo es reducir el diagramaa solo un bloque que relacione r(s) y y(s), lo primero podría ser reducir los dos bloques C(s)y P (s). Para ello, puede observar que:

y(s) = P (s)u(s) (8.11)

y

u(s) = C(s)e(s) (8.12)

sustituyendo (8.12) en (8.11), se obtiene que:

y(s) = P (s)C(s)e(s)︸︷︷︸u(s)

(8.13)



Así, se podría definir que:

A(s) = P (s)C(s) (8.14)

Con lo que el diagrama de bloques se puede simplificar como el mostrado en la figura 8.7b.Por supuesto, a partir de esta deducción, se demuestra que n bloques en serie se puedensimplificar en solo uno que sea equivalente al producto de los n bloques en serie.

Ahora bien, obsérvese en el diagrama de bloques de la figura 8.7b que la señal e(s) sepuede escribir como:

e(s) = r(s)− y(s) (8.15)

Pero además:

y(s) = A(s)e(s) (8.16)

y

y(s) = H(s)y(s) (8.17)

Así, sustituyendo (8.17) y (8.16) en (8.15) se obtiene que:

y(s)

A(s)= r(s)−H(s)y(s)⇒

y(s)

A(s)+H(s)y(s) = r(s)⇒

y(s)

[1

A(s)+H(s)

]= r(s)⇒

y(s)

[1 + A(s)H(s)

A(s)

]= r(s)⇒

y(s) =A(s)

1 + A(s)H(s)r(s) (8.18)

y(s) = M(s)r(s) (8.19)

Con lo que el diagrama queda como el mostrado en la figura 8.7c.Por supuesto, la idea de simplificar un diagrama de bloques no es realizar las operacio-

nes matemáticas necesarias para simplificarlo, sino, más bien trabajar con la estructura deldiagrama y “mover” los bloques adecuadamente.



(a) Diagrama original (b) Cascada

(c) Realimentación

Figura 8.7: Simplificación de un diagrama de bloques

8.1.3. El modelo en variables de estado a partir del diagrama debloques

En la primera parte de este capítulo se explicó como obtener un diagrama de bloques apartir de una ecuación diferencial. Esta idea puede ser extendida a un conjunto de ecuacionesdiferenciales para formar el diagrama de bloques de un sistemas. Pero, es sabido que de unconjunto de ecuaciones diferenciales se puede obtener un modelo en variables de estado,entonces, surge la pregunta ¿Es posible obtener un modelo en variables de estado a partir deun diagrama de bloques? La respuesta es sí.

Para obtener un modelo en variables de estado a partir de un diagrama de bloques, esimportante considerar algunas propiedades de los estados de un sistema, las cuales se citande nuevo por simplicidad:

1. Las variables de estado no pueden cambiar inmediatamente, es decir, deben ser conti-nuas.

2. El conjunto de variables de estado debe ser linealmente independiente.

3. La derivada de un estado se debe poder describir como una función de las entradas yde los estados sin derivar.

Para mostrar el procedimiento de obtener un modelo en variables de estado a partir de undiagrama de bloques, obsérvese el diagrama de bloques de la figura 8.8. En este diagrama sehan marcado varias señales de interés como fi.

Tomando en cuenta que las variables de estado no pueden cambiar continuamente, se puedededucir que la señal:

f1(s) = u1(s)− u2(s)

no puede ser variable de estado, pues depende de las entradas, las cuales pueden cambiarinmediatamente. Caso contrario ocurre con las señales f2, f3, f4, f5, f6 y f7, pues al ser la



Figura 8.8: Diagrama de bloques

salida de bloques con más polos que ceros o venir su entrada de un bloque de este tipo, nopueden cambiar inmediatamente. Se deja como ejercicio al lector probar que estas señales nopueden cambiar inmediatamente.

Por otro lado, obsérvese que:

f4 = f3 − f7

y

f3 = Kf2

lo cual indica que f4, f3 y f7 son señales linealmente dependientes, al igual que f3 y f2. Comolas variables de estado deben ser linealmente independientes, se concluye que entre f4, f3 yf7 solo se pueden elegir dos señales como variables de estado, análogamente, solo se puedeseleccionar f3 o f2 como variables de estado.

Finalmente, si se observa la señal f7 se puede concluir que:

f7(s) =b

a2s2 + a1s+ a0

f6(s)

expresión que si se traslada al dominio del tiempo se tendría:

a2¨f7(t) + a2

˙f7(t) + a0f7(t) = bf6(t) (8.20)

Obsérvese de (8.20) que la ecuación diferencial que relaciona f6 y f7 es de segundo orden,lo cual es incompatible con un modelo en variables de estado. No obstante, el modelo envariable estado de la figura 8.8 puede ser modificado al mostrado en la figura 8.9, donde sedescompuso la función de transferencia de segundo orden utilizando integradores. En estepunto se le deja al lector dos tareas; demostrar esta descomposición y demostrar que lasseñales f7a y f7b son las únicas necesarias para representar los estados de la sección que seextendió.

Así, considerando los análisis realizados sobre el diagrama de bloques, se puede crear unonuevo que incorpore en forma explícita las variables de estado que se pueden elegir. Estediagrama se muestran en la figura 8.10.



Figura 8.9: Diagrama de bloques extendido

Figura 8.10: Diagrama de bloques con la selección de estados

Ahora bien, para formar un modelo en variables de estado se necesitan ecuaciones querelacionen la primera derivada de los n estados con los estados sin derivar y las entradas.Para el caso de x1 se tiene que:

x1(s) =1

Ts+ 1[u1(s)− u2(s)]⇒

Tsx1(s) + x1(s) = u1(s)− u2(s)⇒

sx1(s) =u1(s)− u2(s)− x1(s)

T

si se cambia esta última expresión al dominio de tiempo se tiene que:

x1(t) =u1(t)

T− u2(t)

T− x1(t)

T(8.21)

siendo (8.21) una ecuación válida para el modelo en variables de estado.



Por otro lado, del diagrama se tiene que:

x2(s) = Kx1(s)− x5(s)

s⇒

s [x2(s)−Kx1(s)] = x5(s)⇒x2(t)−Kx1(t) = x5(t)

Esta última expresión no se puede utilizar para un modelo en variables de estado, pues tienela derivada de dos estados. No obstante, sustituyendo el valor de x1(t) usando (8.21) se tiene:

x2(t)−K[u1(t)

T− u2(t)

T− x1(t)

T

]= x5(t)⇒

x2(t) =K

Tu1(t)− K

Tu2(t)− K

Tx1(t) + x5(t) (8.22)

siendo (8.22) una ecuación de la forma buscada. En el caso de x3(s) se tiene:

x3(s) =1

Ts+ 1x2(s)⇒

Tx3(s) + x3(s) = x2(s)⇒T x3(t) + x3(t) = x2(t)⇒

x3(t) =1

Tx2(t)− 1

Tx3(t) (8.23)

con lo que se tiene la expresión necesaria para x3(t).En el caso de x4(s) se cumple que:

x4(s) =1

su2(s)⇒

x4(t) = u2(t) (8.24)

Obsérvese que no se necesito describir x4 en función de los otros estados.Finalmente, para x5(s) se tiene que:

x5(s) =1

s

1

a2

x4(s)− a0 [Kx1(s)− x2(s)]︸︷︷︸f7b

−a1x5(s)

⇒

x5(t) =1

a2

x4(t)− a0K

a2

x1(t)− a0

a2

x2(t)− a1

a2

x5(t) (8.25)



siendo (8.25) la última ecuación necesaria para formar la parte diferencial del modelo envariables de estado.

La única ecuación que se necesita ahora es una que relacione la salida del sistema con laentrada y los estados. Esta se deduce como:

y(s) = x3(s) + u2(s)

o lo que es equivalente:

y(t) = x3(t) + u2(t) (8.26)

Así, a partir de (8.21) a (8.25) y de (8.26) se puede formar el modelo en variables de estadocomo:

x1

x2

x3

x4

x5

=

− 1T

0 0 0 0

−KT

0 0 0 1

0 KT

−KT

0 0

0 0 0 0 0

−Ka0a2

−a0a2

0 1a2−a1a2

·

x1

x2

x3

x4

x5

+

1T− 1T

KT−K

T

0 0

1 0

0 0

·

[u1

u2

](8.27)

y =[

0 0 1 0 0]·

x1

x2

x3

x4

x5

+ u2 (8.28)

8.2. Diagramas de flujoLos diagramas de flujo, también llamados reogramas, son una forma de expresar ecuacio-

nes algebraicas lineales y funciones de transferencias de una manera gráfica. Las ecuacionesque pueden representarse con estos diagramas tienen la forma (Kuo, 1996):

xj =N∑k=1

ajkxk j = 1, 2, . . . , N (8.29)

donde xj es la variable j-ésima del sistema de ecuaciones, ajk es una constante. En el casoque se trate de funciones de transferencia, las ecuaciones que se pueden representar por mediode esta gráfica tiene la forma:

Xj(s) =N∑k=1

Gjk(s)Xk(s) j = 1, 2, . . . , N (8.30)


8.2. Diagramas de flujo 201

Figura 8.11: Diagrama de flujo con 3 nodos y dos ramas.

En este caso, Gjk(s) es la función de transferencia desde Xk(s) hasta Xj(s).Estos diagramas tienen dos elementos fundamentales:

Nodo: Puntos de unión que representan las variables. Se dibujan como pequeños círcu-los con el símbolo de la variable asociada.

Ramas: Segmentos lineales con ganancia y dirección asociada.

Las ramas llevan la señal que corresponde al valor del nodo de origen multiplicada por suganancia asociada. Todas las ramas que llegan a un nodo suman su señal correspondientepara obtener la relación de la variable de ese nodo con respecto a los otros nodos de origen.Por ejemplo, si se tiene que la relación entre tres variables es:

x3 = a31x1 + a32x2

La representación en diagrama de flujo de esta relación vendría dada en la Figura 8.11. Hayque notar que la dirección de las ramas se representa con una flecha en medio de la rama. Engeneral, los nodos se colocan horizontalmente en una sola línea y las ramas se dibujan conlíneas curvas.

Ejemplo 8.2

Considere el conjunto de ecuaciones siguiente (tomado de Kuo (1996))

y2 = a22y1 + a23y3

y3 = a32y2 + a34y4

y4 = a42y2 + a43y3 + a44y4

y5 = a52y2 + a54y4

En este caso se tienen 5 variables diferentes. Cada una de las ecuaciones define la relaciónque existe entre cada variable y las demás. Nótese que no existe una ecuación para y1, loque quiere decir que ninguna rama llega a este nodo, pero sí puede ser que salga de él. Eldiagrama de flujo completo sería como el que se presenta en la Figura 8.12



Figura 8.12: Diagrama de Flujo del Ejemplo 8.2.

Sin nodos de salida Con un nodo de salidaFigura 8.13: Diagrama de flujo en el que se ha creado un nodo de salida.

8.2.1. Propiedades de los diagramas de flujo

De acuerdo con Kuo (1996), los diagramas de flujo tienen las siguientes propiedades

1. Se aplica sólo a sistemas lineales, al contrario de los diagramas de bloques, que podíanutilizarse para sistemas no lineales.

2. Las ecuaciones algebraicas tiene que estar en la forma de causa-efecto.

3. Nodos se utilizan para expresar variables. Se arreglan de izquierda a derecha en unasola línea horizontal, aunque esto puede cambiarse de ser necesario.

4. La señal viaja a través de las ramas en una sola dirección.

5. Una señal yj que viaja a través de una rama entre yj y yk se multiplica por la gananciade la rama akj , por lo que la señal resultante akjyj es entregada en yk.

8.2.2. Fórmula de Mason

La fórmula de Mason permite encontrar la ganancia (o función de transferencia) de undiagrama de flujo, desde un nodo de entrada hasta un nodo de salida, de una manera directasin tener que reducir el diagrama, como es en el caso de los diagramas de bloques. Para poderaplicar esta fórmula, se deben buscar la ganancia de las trayectorias directas y de las mallas.Estos términos se definen a continuación (Kuo, 1996):

Nodo fuente o nodo de entrada: Es un nodo que solo tiene ramas salientes.

Nodo sumidero o de salida: Es un nodo que tiene solo nodos entrantes. Cualquier va-riable puede convertirse en un nodo de salida. Basta simplemente con hacer una copiadel nodo, con una rama de ganancia unitaria, tal y como se muestra en la Figura 8.13.



Trayectoria: Cualquier colección de una sucesión continua de ramas que se dirigen enla misma dirección. Se puede atravesar un mismo nodo varias veces si es necesario yempezar o terminar en cualquier nodo del diagrama.

Trayectoria directa: Trayectoria que empieza en un nodo de entrada y termina en unode salida, a lo largo del cual ningún nodo se atraviesa más de una vez. Por ejemplo, enla Figura 8.12 hay tres trayectorias directas:la trayectoria que pasa por y1y2y3y4y5, laque pasa por y1y2y4y5 y la que pasa por y1y2y5.

Malla: Trayectoria que se origina y termina en el mismo nodo y en donde ningún otronodo se encuentra más de una vez. De nuevo, en la Figura 8.12 hay cuatro mallasdiferentes: y2y3y2, y3y4y3, y4y4 y y2y4y3y2.

Mallas que no se tocan: Dos partes de un diagrama de señal no se tocan si no compartenun nodo en común. En la Figura 8.12 las mallas y2y3y2 y y4y4 son las únicas que no setocan.

Ganancia de trayectoria: Producto de las ganancias de las ramas que atraviesan una tra-yectoria. Si esta trayectoria es directa, se dice que la ganancia es de trayectoria directay si esta es una malla, entonces se dice que es una ganancia de malla.

Con estas definiciones es posible enunciar la fórmula de Mason: Dado un diagrama con Ntrayectorias directas y Lmallas, la ganancia entre el nodo de entrada y el nodo de salida vienedado por:

M =N∑k=1

Mk∆k

∆(8.31)

donde M es la ganancia (o función de transferencia), ∆ es el determinante que viene dadopor:

∆ = 1−∑i

Li1 +∑j

Lj2 −∑k

Lk3 + · · ·

= 1 +∑p

((−1)p

∑q

Lqp

)p = 1, 2, . . .

(8.32)

y se tiene que:∑i Li1 es la suma de las ganancias de todas las mallas individuales.∑j Lj2 es la suma de los productos de todas las combinaciones posibles de dos mallas

que no se tocan.∑j Lj3 es la suma de los productos de todas las combinaciones posibles de tres mallas

que no se tocan.



∑q Lqp es la suma de los productos de todas las combinaciones posibles de p mallas

que no se tocan.

y ∆k se le llama cofactor y se calcula igual que el determinante ∆, pero eliminando antes lasmallas que tocan la k-ésima trayectoria directa.

Para clarificar esta fórmula, se calculará la ganancia del diagrama de flujo de la Figura 8.12.

Ejemplo 8.3

En el diagrama de la Figura 8.12, se pueden encontrar tres trayectorias directas:

P1 = y1y2y3y4y5 que tiene una ganancia de a21a32a43a54.

P2 = y1y2y4y5 que tiene una ganancia de a21a42a54.

P3 = y1y2y5 que tiene una ganancia de a21a52.

y se tiene cuatro mallas:

Pl1 = y2y3y2 que tiene una ganancia de L1 = a32a23.

Pl2 = y3y4y3 que tiene una ganancia de L2 = a43a34.

Pl3 = y2y4y3y2 que tiene una ganancia de L3 = a42a34a23.

Pl4 = y4y4 que tiene una ganancia de L4 = a44.

El determinante se debe obtener utilizando (8.32):

∆ = 1−∑i

Li1 +∑j

Lj2

= 1− (L1 + L2 + L3 + L4) + (L1L4)

= 1− (a32a23 + a43a34 + a42a34a23 + a44) + (a32a23a44)

Y ahora se deben calcular los cofactores. ∆1 se obtiene de quitar del determinante, todas lasmallas que tocan la trayectoria directa P1. Como esta trayectoria toca todas las mallas, ∆1 =1. Lo mismo sucede con el cofactor ∆2 = 1. En el caso de ∆3, las mallas que no tocan estatrayectoria directa son Pl2 y Pl4, por lo que el cofactor queda como ∆3 = 1− a43a34 + a44.Entonces la ganancia que se obtiene a partir del diagrama viene dado por

M =

∑kMk∆k

∆

=a21a32a43a54 + a21a42a54 + a21a52 (1− a43a34 + a44)

1− (a32a23 + a43a34 + a42a34a23 + a44) + (a32a23a44)



Figura 8.14: Diagrama de Flujo para el Ejemplo 8.4.

Ejemplo 8.4

Encontrar la ganancia del diagrama de flujo que se presenta en la Figura 8.14.En este caso, se tienen 3 trayectorias directas, las cuales se presentan en la Figura 8.15.

Las ganancias correspondientes son:

M1 = G1G2G3G4G5G6

M2 = G1G2G7G6

M3 = G1G2G3G4G5G8

Por otro lado, las mallas del sistema se representan en la Figura 8.16 y sus gananciasvendrían dadas por:

L1 = −G1G2G3G4G5G6H3

L2 = −G2G3G4G5H2

L3 = −G2G7H2

L4 = −G1G2G3G4G8H3

L5 = −G1G2G7G6H3

L6 = −G4H4

L7 = −G8H1



(a) Primera trayectoria directa.

(b) Segunda trayectoria directa.

(c) Tercera trayectoria directa.

Figura 8.15: Trayectorias directas del diagrama de flujo.

L8 = −G5G6H1

Hay tres combinaciones de mallas que no se tocan: L6 con L3 , L6 con L5 y L3 con L7,todas las demás mallas se tocan en por lo menos un nodo. Con esta información se puedecalcular el determinante del diagrama:

∆ = 1−∑i

Li1 +∑j

Lj2

= 1− (L1 + L2 + L3 + L4 + L5 + L6 + L7 + L8) + (L3L6 + L3L7 + L5L6)

Para el caso del cofactor ∆k, hay que sustraer de ∆ las mallas que tocan la k-ésima trayec-toria directa:

En el caso de M1, todas las mallas tocan esta trayectoria directa, por lo que ∆1 = 1.

En el caso de M2, sólo la malla L6 no toca esta trayectoria directa, por lo que, si sólose conserva esta del determinante, se obtiene ∆2 = 1− L6.

En el caso de M3 , todas las mallas tocan esta trayectoria directa, por lo que ∆3 = 1.



(a) L1 (b) L2

(c) L3 (d) L4

(e) L5 (f) L6

(g) L7 (h) L8

Figura 8.16: Mallas del diagrama de flujo

Entonces ya se puede calcular la ganancia de este diagrama:

M =

∑kMk∆k

∆

M =G1G2G3G4G5G6 + (G1G2G7G6) (1− L6) +G1G2G3G4G5G8

1− (L1 + L2 + L3 + L4 + L5 + L6 + L7 + L8) + (L3L6 + L3L7 + L5L6)


Apéndices

209

A. La transformada de Laplace

Dentro de la Teoría de Análisis de Sistemas como de Control Automático , la transfor-mada de Laplace es un pilar fundamental en el estudio de los sistemas lineales, puesto quepermite convertir ecuaciones diferenciales a ecuaciones algebraicas. Es más, de acuerdo conOgata1

Una ventaja del método de la Transformada de Laplace es que permite el usode técnicas gráficas para predecir el comportamiento del sistema, sin tener queresolver las ecuaciones diferenciales del sistema. Otra ventaja de este método esque, cuando se resuelve la ecuación diferencial, es posible obtener simultánea-mente tanto la componente transitoria como la estacionaria de la solución.

Desde el punto de vista del estudio de sistemas, la transformada de Laplace nos trasladadesde el dominio temporal (es decir, la variable t, que se utiliza generalmente para denotar eltiempo) al llamado dominio de la frecuencia (que en este caso está denotado con la variablecompleja s, tal que, s = σ + jω.

A.1. DefiniciónSean

f(t): Una función del tiempo t tal que f(t) = 0 para t < 0

s = σ + jω: variable compleja

L : Símbolo que indica que se aplicará la transformada de Laplace a una función

F (s): Transformada de Laplace de f(t)

Entonces la Transformada de Laplace de f(t) se obtiene mediante

L [f(t)] = F (s) =

∫ ∞0

f(t)e−st dt (A.1)

También se puede encontrar la función temporal a partir de la función en el dominio de lafrecuencia mediate la Transformada Inversa de Laplace, definida por:

1Ogata K. Ingeniería de Control Moderna, 4ta edición. Prentice Hall Madrid. 2003

211

212 A. La transformada de Laplace

Propiedad

1 L [af(t)] = aF (s)

2 L[f( 1

at)]

= aF (as)

3 L [f1(t)± f2(t)] = F1(s)± F2(s)

4 L [f(t− α)µ(t− α)] = e−αsF (s)

5 L [e−αtf(t)] = F (s+ α)

6 L[f(ta

)]= aF (as)

7 L [ ddtf(t)] = sF (s)− f(0)

8 L [ d2

dt2f(t)] = s2F (s)− sf(0)− f(0)

9 L [ dn

dtnf(t)] = snF (s)− sn−1f(0)− sn−2f ′(0)− · · · − sf ′(n−2)(0)− f ′(n−1)(0)

10 L tnf(t) = (−1)n dn

dsF (s)

11 L

[∫ t

0

f(t) dt

]=F (s)

s

12 L

[∫ t

0

f1(t− τ)f2(τ) dτ

]= F1(s)Fs(s)

13 lımt→∞

f(t) = lıms→0

sF (s)

Cuadro A.1: Propiedades de la transformada de Laplace

L −1[F (s)] = f(t) =1

2πj

∫ c+j∞

c−j∞F (s)est ds, para t > 0 (A.2)

Donde c, la abscisa de convergencia, es una constante real que se eligió más grande quelas partes reales para todos los puntos singulares de F (s)

Por supuesto, no se va a utilizar estas expresiones para evaluar la transformada cada vez quesea necesaria. Para ello existen tablas con las funciones más importantes de transformación.

A.2. Tablas de la Transformada de LaplaceA continuación se presentan los pares de transformadas más útiles para el estudio de los

sistemas lineales. En textos de matemática u otros de control, se pueden encontrar listas másextensas. El Cuadro A.1 presenta las principales propiedades de la transformada de Laplace,mientras que en el Cuadro A.2, se muestra la transformada de Laplace de las funciones másimportantes en el área del análisis de sistemas lineales


A.2. Tablas de la Transformada de Laplace 213

f(t) F (s)

1 Impulso unitario δ(t) 1

2 Escalón unitario µ(t) 1s

3 t 1s2

4 tn n = 1, 2, 3, n!sn+1

5 e−at 1s+a

6 te−at 1(s+a)2

7 sen(ωt) ωs2+ω2

8 cos(ωt) ss2+ω2

9 1a(1− e−at) 1

s(s+a)

10 1b−a

(e−at − e−bt

)1

(s+a)(s+b)

11 1ab

(1 + 1

a−b

(be−bt − ae−at

))1

s(s+a)(s+b)

12 e−at sen(ωt) ω(s+a)2+ω2

13 e−at cos(ωt) s+a(s+a)2+ω2

14 12ω

(sen (ωt) + ωt cos (ωt)) s2

(s2+ω2)2

15 ωn√1−ξ2

e−ξωnt sen(ωn√

1− ξ2t), (0 < ξ < 1)) ω2n

s2+2ξωns+ω2n

1− 1√1−ξ2

e−ξωnt sen(ωn√

1− ξ2t+ φ)

16 φ = tan−1

(√1−ξ2ξ

)ω2n

s(s2+2ξωns+ω2n)

0 < ξ < 1, 0 < φ <π

2

Cuadro A.2: Pares de transformadas


B. Resumen de álgebra linealEn este apéndice, se presenta un resumen de las propiedades y elementos del álgebra lineal

matricial que más se utilizan en el análisis de sistemas.

B.1. NomenclaturaEn el caso de análisis de sistemas, cuando se hable de un vector, este se va a denotar con

letras minúsculas en negrita y siempre se va a suponer que se trata de un vector columna, amenos que se indique lo contrario:

v =

v1

v2...vn

(B.1)

donde el término vn representa el n-ésimo elemento del vector. Las matrices se van a repre-sentar con letras mayúsculas en negrita:

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

... . . . ...am1 am2 · · · amn

(B.2)

En este caso, la matriz A tiene m filas y n columnas, por lo que se dice que el orden de estamatriz es m × n. El término amn representa el elemento de la matriz que se encuentra enla fila m columna n. La transpuesta de una matriz corresponde a intercambiar de posiciónlas filas y las columnas de cada elemento. La transpuesta de A se denota como AT . Si loselementos de AT se denotan como a′ij , entonces se cumple que:

a′ij = aji (B.3)

La transpuesta de un vector corresponde a un vector fila. Una matriz cuadrada es una matrizque tiene igual número de filas que de columnas. Algunas propiedades de la transposición dematrices son (Kuo, 1996):(

AT)T

= A.

Si k es un escalar, entonces (kA)T = kAT .

215

216 B. Resumen de álgebra lineal

(A + B)T = AT + BT .

(AB)T = BTAT .

B.2. Determinantes e inversasEl determinante de una matriz cuadrada se denota como

det (A) = |A| =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

... . . . ...an1 an2 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ (B.4)

El cofactor de un elemento determinante se define de la siguiente manera (Kuo, 1996): “Dadoun determinante de n-ésimo orden |A|, el cofactor de cualquier elemento aij denotado comoAij , es el determinante que se obtiene al eliminar todos los elementos de la i-ésima fila y laj-ésima columna que después se multiplica por (−1)i+j”. Por ejemplo, si se tiene una matriz3× 3 dada por:

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

el cofactor de elemento a11 viene dado entonces por

A11 = (−1)1+1

∣∣∣∣ a22 a23

a32 a33

∣∣∣∣ = a22a33 − a23a32

y el del término a12 por

A12 = (−1)1+2

∣∣∣∣ a21 a23

a31 a33

∣∣∣∣ = − (a21a33 − a23a1)

Utilizando los cofactores se puede calcular el valor del determinante de una matriz cuadradan× n. Para cualquier fila i = 1, o 2, o . . . , o n:

det A =n∑j=1

aijAij (B.5)

Algunas propiedades de los determinantes se encuentran en Ogata (2003):

Si se intercambian cualquiera dos filas o columnas consecutivas, el determinante cam-bia de signo.

Si cualquier fila o columna está formada por ceros, entonces el determinante es igual acero.


B.2. Determinantes e inversas 217

Si k es un escalar, y A es n× n entonces

|kA| = kn |A|

|AB| = |A| |B|

Se define como matriz adjunta a la matriz cuyo elemento en la i-ésima fila y la j-ésimacolumna es igual al cofactor Aji. Esta matriz se representa mediante adj A:

adj A =

A11 A21 · · · An1

A12 A22 · · · An2...

... . . . ...A1n A2n · · · Ann

(B.6)

Se puede mostrar queA (adj A) = |A| I

lo que permite encontrar una forma de obtener la inversa de una matriz:

A−1 =adj A

|A|=

A11

|A|A21

|A| · · ·An1|A|

A12

|A|A22

|A| · · ·An2|A|

...... . . . ...

A1n

|A|A2n

|A| · · ·Ann|A|

(B.7)

Algunas propiedades de la inversión de matrices son las siguientes:

AA−1 = I.

(A−1)−1

= A

(AB)−1 = B−1A−1

En el caso de una matriz 2× 2, de la forma

A =

[a bc d

]la matriz inversa vendría dada por:

A−1 =1

ad− bc

[d −b−c a

]Y en el caso de una matriz 3× 3, de la forma

A =

a b cd e fg h i


218 B. Resumen de álgebra lineal

la matriz inversa vendría dada por:

A−1 =1

|A|

∣∣∣∣ e fh i

∣∣∣∣ − ∣∣∣∣ b ch i

∣∣∣∣ ∣∣∣∣ b ce f

∣∣∣∣−∣∣∣∣ d fg i

∣∣∣∣ ∣∣∣∣ a cg i

∣∣∣∣ − ∣∣∣∣ a cd f

∣∣∣∣∣∣∣∣ d eg h

∣∣∣∣ − ∣∣∣∣ a bg h

∣∣∣∣ ∣∣∣∣ a bd e

∣∣∣∣

con

|A| = a

∣∣∣∣ e fh i

∣∣∣∣− b ∣∣∣∣ d fg i

∣∣∣∣+ c

∣∣∣∣ d eg h

∣∣∣∣


C. Examenes Viejos

En esta sección se incluyen algunos exámenes viejos del curso. A partir del primer semestrede 2012, el curso sufrió algunos cambios, por lo que es posible que los exámenes antes deese semestre incluyan temas que no estén contenidos en este folleto.

De igual manera, es posible que los temas que se evalúan en un determinado parcial, nocorrespondan a los temas que se evalúan en este semestre.

C.1. Primer ParcialLos temas que se estudian en este parcial corresponden a los Capítulos 1 y 2

219

IE–0409 Análisis de SistemasPrimer ParcialI Ciclo 2007

Instrucciones:1. Terminantemente prohibido el uso de celulares.2. Escriba con lapicero negro o azul para tener derecho a reclamo.3. No se permite el uso de calculadoras programables.4. No se permite el uso de ningún material de apoyo.5. Duración del examen: 2 h:30min6.Para cada problema, indique el procedimiento completo, no omita pasos intermedios y numere las ecuaciones que son

utilizadas en pasos posteriores para hacer la referencia respectiva. Si requiere dibujar un circuito o un gráfico, debe serde excelente presentación, para ello utilice instrumentos apropiados. Si el resultado final del problema es incorrecto,solo aquellos exámenes limpios y ordenados podrán obtener puntos en el procedimiento, los demás serán calificadossegún la respuesta final obtenida.

Nombre_________________________________Carné___________ Profesor________________

Primera ParteSelección única. (2% cada una) Examine cuidadosamente cada opción y marque con una equis laopción correcta.1. ¿Cuál símbolo se utiliza para que Matlab ejecute un comando pero no muestre su resultado en la línea de

comando?a) Un ; al inicio delcomando

b) Un % al inicio delcomando

c) Un % al final delcomando

d) Un ; al final delcomando

2. ¿Cómo se ingresa un comentario en el código de programación en Matlab?a) Un ; al inicio delcomando

b) Un % al inicio delcomando

c) Un % al final delcomando

d) Un ; al final delcomando

3. ¿Cuál es la propiedad de la TGS que designa la dinámica de una estructura no estática, pero capaz demantener estable su estructura durante períodos prolongados?a)Autopoiesis b) Invarianza en el

tiempoc)Consistencia mutua d) Autoconsistencia

4. ¿Cómo se le llama a un Sistema Real que intercambia energía y materia con su entorno?a) Intercambiador b) Bidireccional c)Abierto d) Cooperativo

5. ¿Cómo se llaman las variables internas de un sistema que dependen de la evolución natural, de las entradasy de la historia del sistema?a) Variables naturales b) Variables causales c) Variables de estado d) Variables

determinísticas

6. ¿Cómo se llaman las variables de entrada del sistema que en general son no deseadas, aleatorias y nocontrolables?a) Entrada determinística b) Entrada estocástica c) Entrada suprimida d) Entrada de estado

7. Representación de los aspectos fundamentales de un proceso, planta o sistema, que incluye la informaciónmínima útil que permite realizar análisis u obtener conclusiones válidas sobre ese sistema.

a) Sistema equivalente b) Modelo c) Validación demodelos

d) Estado equivalente

PARTE Puntaje

Primera Parte

Segunda Parte

Tercera Parte

NOTA FINAL

8 ¿Cómo se llama el estado de un modelo S tal que, para todo 0tt , la respuesta de S a una entrada cero, conS partiendo de ese estado es una función nula?

a) Estado de equilibrio b) Estado de referencia c) Estado a entrada cero d) Estado cero

9 Si se definen dos estados )(ti y )(tj de un modelo S tal que para todas las entradas u , el segmento de

salida obtenido y a partir de 0( )i t , es idéntico al que se obtiene a partir de 0( )j t . Entonces )(ti y

)(tj son:a) Equivalentes b) Congruentes c) Similares d) Cero

10 La propiedad de descomposición establece que:a) La ecuacióndiferencial y su soluciónmodelan el mismosistema.

b) Se debe satisfacer laPropiedad de Autoconsistencia y las deconsistencia mutua

c) Es válida paracualquier sistemainvariante con el tiempo.

d) La respuesta de unsistema puededescomponerse como lasuma de la respuesta aestado cero y larespuesta a entrada cero.

Segunda Parte

Asociación de conceptos. (2% cada una)Coloque el número correcto en los ítems de la izquierda según las opciones en la columna derecha.

( ) Método experimental demodelado 1. Variable independiente toma un número finito de

valores

( ) Modelo discreto 2. Dimensión del vector de funciones base

( ) Parámetros distribuidos 3. Solución del modelo en variables de estado

( ) Sistema invariante con eltiempo 4. Unicidad de la salida para una entrada determinada

( ) Funciones Base 5. Depende las coordenadas espaciales

( ) Función de Transferencia 6. Identificación de sistemas

( ) El estado de un modelo 7. Modelo diferencial lineal

( ) Modelo invariante con eltiempo 8. No existe en la realidad física que conocemos

( ) Salidas suprimidas 9 Modelo a estado cero

( ) Orden del modelo 10 Lineal independencia

Tercera Parte

Problema 1 (15%)Para el siguiente sistemaeléctrico, con u(t) la entrada yy(t) la salida:Determine la RelaciónEntrada Salida (RES) enfunción de los parámetros L1,L2, R y C

Problema 2 (15%)Obtenga un MVE para este sistema eléctricoadjunto. Indique la asignación de estados utilizada.

Problema 3 (15%)Considere el siguiente objeto abstracto

0

( )( ) (0) 2 (0) ( )t

tt ty t y y u de e e

a) Determine una RESE equivalente a estemodelo, tal que las Funciones Base asociadas generen una Matriz de Transición de Estados.

b) Calcule la Función de Transferencia del objeto abstracto dado en el enunciado del problema.

Problema 4 (15%)Determine un Modelo en Variables de Estado para el modelo adjunto. Recuerde que siempre debeindicar la asignación de estados utilizada.

0

2( ) 3( )2 3 2 3 1( ) 3 2 (0) (0) ( )3

tt tt t t ty t y y u de e e e e e

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Tabla de Trasformación de Laplace

F(t) f(s)

)(tF )0()( Fssf

)(tF )0()0()(2 FsFsfs

abee atbt

bsas1 ba

abaebe atbt

bsass ba

t

dtGF0

)()( )()( sgsf

IE–0409 Análisis de SistemasPrimer ParcialII Ciclo 2007

Instrucciones:1. Terminantemente prohibido el uso de celulares.2. Escriba con lapicero negro o azul para tener derecho a reclamo.3. No se permite el uso de calculadoras programables.4. No se permite el uso de ningún material de apoyo.5. Duración del examen: 2 h:30min6. Para cada problema, indique el procedimiento completo, no omita pasos intermedios y numere las ecuaciones que son utilizadas en pasos posteriores

para hacer la referencia respectiva. Si requiere dibujar un circuito o un gráfico, debe ser de excelente presentación, para ello utilice instrumentosapropiados. Si el resultado final del problema es incorrecto, solo aquellos exámenes limpios y ordenados podrán obtener puntos en el procedimiento,los demás serán calificados según la respuesta final obtenida.

Nombre_______________________________________Carné__________ Profesor________________

Selección única. (20%) Examine cuidadosamente cada opción y marque con una equis (X) la opción correcta

1. Si en un modelo la salida en un instante determinado depende de la historia del sistema, esto indica que:a) El modelo es variante en el tiempo.b) El sistema es causal.c) El modelo es discreto.d) El sistema tiene almacenadores de energía.

2. ¿Cuál de los siguientes índices de desempeño indica que el modelo obtenido es exacto?a) J1=1.b) J2=15.c) J3=20.d) Ninguna de las anteriores.

3. Si se introduce intencionalmente un voltaje a un circuito, a este se le llama:a) Variable determinística.b) Variable forzada.c) Variable de estado.d) Ninguna de las anteriores.

4. El cuerpo Humano es un ejemplo de un Sistema:a) Predictivo.b) LIT.c) Autopoíetico.d) Cerrado.

5. Para asegurar que la RES y la RESE modelan el mismo sistema se debe cumplir:a) Las condiciones de autoconsistencia.b) La propiedad de Homogeneidad.c) La condición de consistencia mutua.d) La propiedad de descomposición.

6. Si un sistema cumple con la siguiente propiedad: uTtTSutST ),(ˆ),(ˆ00 , se dice que es:

a) Lineal a entrada cero.b) Invariante con el tiempoc) Estable.d) Lineal a estado cero.

7. Se puede afirmar que ningún sistema físico real es:a) LIT.b) SISO.c) Autopoíetico.d) Estocástico.

NOTA

8. Para determinar respuesta a estado cero a un modelo lineal se requiere únicamente de:a) La RESEb) La Entrada y la Respuesta Impulsional.c) La RES y el Estado Cero.d) Ninguna de las anteriores.

9. Si un Modelo cumple con: )(,ˆ0),(ˆ)(),(ˆ00 tuStStutS , se dice entonces que cumple con:

a) La Linealidad a Entrada Cerob) La Linealidad a Estado Ceroc) La Propiedad de Descomposición.d) Ninguna de las anteriores.

Problemas:1) (15%) Determine la RES en función de los

parámetros R1, R2, L y C para el siguientesistema eléctrico, con u(t) la entrada y y(t) lasalida:

2) (15%) Considere un objeto abstracto S conla siguiente RES:

)()(15)(8)(2

2

tutydt

tdydt

tyd

Determine la RESE y demuestre que el modelo es lineal.

3) (15%) Deternine al MVE del siguiente circuito eléctrico,siendo las entradas 1 2( ) ( ) ( )Tu t u t u t y las salidas

1 2( ) ( ) ( )Ty t y t y t

4) (15%) Determine el MVE de un objeto físico cuya FT viene

dada por 3

1( )3 1

H ss

5) (20%) Considere un objeto abstracto cuya RESE viene dada por la ecuación adjunta. Se le solicita determinar el MVEasociado a ese modelo.

0

1 0 2 0( ) sen(2 ) ( ) 2 cos(2 ) ( ) sen[2( )] ( )t

t

z t t t t t t r d

Tabla de Transformación de LaplaceF(t) f(s)

)(tF )0()( Fssf

)(tF )0()0()(2 FsFsfs

abee atbt

bsas1

ba

abaebe atbt

bsass

ba

t

dtGF0

)()( )()( sgsf

+u1(t)

R

L u2(t)

y2(t)

+ y1(t) -

IE–0409 Análisis de Sistemas

Primer Parcial

I Ciclo 2008

Instrucciones:

• Terminantemente prohibido el uso de celulares. • Escriba con lapicero negro o azul para tener derecho a reclamo. • No se permite el uso de calculadoras programables, ni de ningún material de apoyo. • Duración del examen: 2:30 horas • Para cada problema, indique el procedimiento completo, no omita pasos intermedios y numere las ecuaciones que son utilizadas en pasos posteriores

para hacer la referencia respectiva. Si requiere dibujar un circuito o un gráfico, debe ser de excelente presentación, para ello utilice instrumentos apropiados. Si el resultado final del problema es incorrecto, solo aquellos exámenes limpios y ordenados podrán obtener puntos en el procedimiento, los demás serán calificados según la respuesta final obtenida.

PRIMERA PARTE Engrape esta hoja como portada del grupo de hojas que contiene la solución de esta Parte

Nombre_______________________________________ Carné____________Profesor________________

Problema 1. (20%) Determine el MVE del siguiente circuito

eléctrico, siendo las entradas [ ]1 2( ) ( ) ( )Tu t u t u t= y las

salidas [ ]1 2( ) ( ) ( )Ty t y t y t= :

Problema 2. (20%) Si de un modelo SISO, LIT que describe el desplazamiento de una masa, ( )d t (salida) respecto a una fuerza

de entrada ( )f t , se conoce su respuesta impulsional

( )2( ) 5 t th t e e− −= − y su respuesta a entrada cero

( ) ( )2 20 1 2( ) 2 (0) (0)t t t td t e e e eγ γ− − − −= − + − , determine:

El MVE del sistema a partir de la Respuesta Impulsional. El MVE del sistema a partir de la respuesta total (completa) del modelo ( )d t (utilice para este punto la respuesta a entrada cero

0( )d t y la respuesta a estado cero ( )d tθ del modelo).

¿Los MVE determinados en el punto a) y b) son iguales o distintos? Justifique su respuesta

Problema 3. (20%) Para el siguiente modelo en variables de estado:

[ ]

1 2

2 1

1( ) ( ) ( )

1

( ) 1 1 ( )

R R

L Cx t x t u tR R

C L

y t x t

= +

=

ɺ

Determine: La Matriz Modal y el modelo en variables de estado desacoplado La Matriz Exponencial para el MVE desacoplado y la ecuación de estados a partir del MVE desacoplado.

PARTE Puntaje

Primera Parte

Segunda Parte

NOTA FINAL-

SEGUNDA PARTE Engrape esta hoja como portada del grupo de hojas que contiene la solución de esta Parte


Problema 4. (20%) Selección única

1 Al parametrizar el espacio de entradas y salidas de un objeto abstracto a) Se asegura la existencia

del estado para cualquier “t” b) Se asegura la unicidad del estado dada una entrada determinada

c) Se asegura el cumplimiento de la condición de consistencia mutua

d) ninguna de las anteriores.

2 Modelo de parámetros concentrados a) Es un objeto físico en

donde sus parámetros no dependen del tiempo

b) Es un objeto abstracto en donde las entradas no dependen de las coordenadas espaciales.

c) Es un objeto abstracto en donde sus parámetros no dependen de las coordenadas espaciales.

d) ninguna de las anteriores.

3 Un modelo invariante con el tiempo a) Se distingue porque los

coeficientes de la RES son constantes

b) Sus parámetros no dependen de las coordenadas espaciales.

c) Cumple con la propiedad de homogeneidad y linealidad

d) ninguna de las anteriores

4 Las funciones base a) Son l.d. entre sí b) Son l.i respecto a la

respuesta impulsional c) Siempre se cumple que su número es igual al orden del modelo

d) ninguna de las anteriores

5 La Teoría General de Sistemas a) Establece relaciones que

son válidas para describir diferentes tipos de modelos

b) Su aplicación permite determinar si un sistema es autopoiético o no.

c) Fue puesta en marcha por los biólogos chilenos Maturana y Varela.

d) Ninguna de las anteriores.

6 Estructura dinámica capaz de mantenerse estable durante periodos prolongados. a) Propiedad única de los

sistemas conceptuales. b) Propiedad típica de los sistemas autopoiéticos.

c) Propiedad única de los modelos lineales.


7 Las variables internas de un sistema a) Son los parámetros y

estados. b) No tienen efecto en la respuesta natural.

c) En general son invariantes con el tiempo.


8 El método experimental de modelado de sistemas a) Se le conoce también

como modelado analítico. b) Se fundamente en las leyes que gobiernan su comportamiento.

c) Se le conoce también como identificación de sistemas

d) Ninguna de las anteriores

9 Para que un modelo sea válido a) Las salidas del modelo

permanecen por debajo del índice de desempeño

b) Las salidas del modelo permanecen ligeramente alrededor del índice de desempeño

b) El cuadrado de la diferencia entre dos valores consecutivas de la salida del modelo, tiende a cero


10 Si a un modelo, que parte de un estado inicial, al aplicarle una entrada cero el estado permanece en el mismo valor a) Estado estable b) Estado cero c) Estado referencia d) Estado de equilibrio 11 Modelo que su variable independiente toma un número finito de valores a) Modelo discreto b) Modelo finito c) Modelo conceptual d) Modelo discontinuo 12 Un modelo es lineal a) Si cumple con las cuatro

condiciones de consistencia b) Con solo que cumpla la propiedad de consistencia mutua

c) Si su RESE tiene las Funciones Base l.i..


13 Un modelo es de parámetros distribuidos a) Si la RES es de

coeficientes constantes b) Si la RES es de coefi-cientes variantes con el tiempo

c) Si los coeficientes de la RES dependen de coordenadas espaciales


14 Los modelos causales a) No son físicamente

realizables b) Son modelos discretos c) No pueden ser de

parámetros distribuidos d) Ninguna de las anteriores

Problema 5 (10%) Asociación de conceptos

( ) Modelo causal 1. Modelo de la resistencia eléctrica ideal ( ) Unicidad de la salida 2. Caída de tensión en función de a distancia

( ) Entradas estocásticas 3. Colección de objetos organizados en forma ordenada, la cual está dirigida en algún sentido hacia un objetivo

( ) Estado inicial 4. La velocidad de la banda sin fin hay que ajustarla cada mes ( ) Sistema 5. Ráfagas de viento durante el aterrizaje de un avión ( ) Parámetro distribuido 6. El modelo no es anticipativo ( ) Parámetro del sistema 7. Representación de los aspectos esenciales ( ) Modelo lineal 8. Parametrización del espacio de entradas y salidas ( ) Funciones base 9. Modelo a escala de un barco ( ) Estado cero 10. Obtención del modelo en base a pruebas experimentales ( ) Sistema variante con el tiempo 11 Variable independiente toma un número finito de valores ( ) Modelo físico 12 El modelo está en forma reducida ( ) Identificación 13 Define la respuesta natural ( ) Modelo de un sistema ( ) Modelo en tiempo discreto

Problema 6. (10%) Escoja la relación que se adapta al concepto establecido

( ) Entidad material formada por partes organizadas

1 sistema no lineal

( ) Solución del modelo en variables de estado

2 variables de estado

( ) Modelo en variables de estado 3 sistema con memoria ( ) Modelo invariante en el tiempo 4 ecuación de estados en forma diferencial ( ) Sistema variante en el tiempo 5 objeto abstracto ( ) Modelo matemático 6 sistema conceptual ( ) Circuito RLC 7 Propiedad de la autopoiesis

( ) Tensión vrs. corriente en un diodo

8 ecuación de estados

( ) Señales generadas intencionalmente

9 modelo con coeficientes constantes

( ) Su valor depende de las entradas y la historia

10 sistema real

( ) Sistema dinámico pero estable ( ) El sistema de notación musical

Tabla de Transformación de Laplace

F(t) f(s)

)(tF ′ )0()( Fssf −

)(tF ′′ )0()0()(2 FsFsfs ′−−

ab

ee atbt

−−

( )( )bsas −−1

ba ≠

ab

aebe atbt

−−

( )( )bsas

s

−− ba ≠

∫ −t

dtGF0

)()( τττ )()( sgsf


Primer Parcial

II Ciclo 2008 Instrucciones:

• Terminantemente prohibido el uso de celulares. • Escriba con lapicero negro o azul para tener derecho a reclamo. • No se permite el uso de calculadoras programables, ni de ningún material de apoyo. • Duración del examen: 2:30 horas • Para cada problema, indique el procedimiento completo, no omita pasos intermedios y numere las

ecuaciones que son utilizadas en pasos posteriores para hacer la referencia respectiva. Si requiere dibujar un circuito o un gráfico, debe ser de excelente presentación, para ello utilice instrumentos apropiados. Si el resultado final del problema es incorrecto, solo aquellos exámenes limpios y ordenados podrán obtener puntos en el procedimiento, los demás serán calificados según la respuesta final obtenida.

PRIMERA PARTE Engrape esta hoja como portada del grupo de hojas que contiene la solución de esta Parte Nombre_______________________________________ Carné____________Profesor________________ Problema 1. (10%) La Relación Entrada Salida de un sistema es

)()(1214)(

22

2

tutydt

dy

dt

tyd =++

Si el estado inicial del sistema es [ ](0) 1 0x = , determine:

a) ¿Cuál es el valor de la salida del sistema si 1 st = , si la entrada aplicada es un escalón unitario? b) ¿Este modelo está en forma reducida? Justifique su respuesta.

Problema 2. (10%) Para el modelo siguiente:

2

23 2

d y dy duy

dt dt dt+ + =

a) Determine la RESE. b) La asignación de estados asociados a la RESE c) La matriz de transición de estados

Problema 3. (10%) Responda en forma breve.

a. ¿Es el siguiente modelo un modelo invariante o variante con el tiempo? Explique

2 5 1( )( ) ( )

3 0t

td x tx t u t

edt −

= +

b. ¿Si la Matriz de Transición de estados (0) IΩ = , el modelo esta en forma reducida? Explique c. Un sistema invariante con el tiempo es sometido a variables de entrada estocásticas. ¿Será su

comportamiento variante o invariante con el tiempo? Explique d. ¿Toda Matriz de Transición de estados es una Matriz Fundamental? Explique e. ¿Cuál considera Ud. como el factor más importante entre la elección de modelar

matemáticamente un sistema con la Función de Transferencia o con el MVE? f. Mencione las propiedades fundamentales para que un sistema sea lineal.

PARTE Puntaje

Primera Parte

Segunda Parte

Tercera Parte

NOTA FINAL

SEGUNDA PARTE Engrape esta hoja como portada del grupo de hojas que contiene la solución de esta Parte Nombre_______________________________________ Carné____________Profesor________________

Problema 4. (10%) Responda de forma breve a) ¿Qué nombre recibe la representación de la dinámica de un sistema utilizando un conjunto de

ecuaciones diferenciales de orden uno?: _________________________________________________ b) En las Ecuaciones de Estado en Forma Diferencial el número de condiciones iniciales independientes

es igual al orden del modelo, donde el orden del sistema está asociado a _______________________________________________________________________________

c) ¿Qué nombre recibe la solución a la ecuación diferencial matricial (MVE con las matrices A, B, C, D

compuestas por constantes)?: _____________________________________________________________

d) ¿Cuál es la forma general de un MVE lineal e invariante en el tiempo? e) Toda matriz T que produzca que T-1AT sea diagonal, recibe el nombre de: _____________________ f) ¿Cómo se le denomina al término )·det()( AI −=∆ λλ : ______________________________________ g) Responda SI ó NO. Si las FB generan una Matriz Fundamental que es MTE, una posible asignación

de estados ( )x t para el modelo es un vector formado por la salida ( )y t y sus n primeras derivadas: _____

h) Responder SI ó NO. Para queλ sea un autovalor de A se debe cumplir que det( · ) 0I Aλ − = :______ i) Escriba una de las propiedades que presenta la Matriz Exponencial: ___________________________

j) Si la RES de un objeto abstracto puede escribirse de la forma ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )L p y t M p r t N p u t+ = , el

modelo matemático recibe el nombre de: ________________________________________________ Problema 5. (25%) A partir de la siguiente RES:

2 2

2 2

( ) ( ) ( ) ( )9 14 ( ) 2 7 ( )

d y t dy t d u t du ty t u t

dt dt dt dt+ + = + +

Obtenga:

a. El Modelo en Variable de Estado. Indique la asignación de estados realizada b. El polinomio característico, los valores propios y los vectores propios c. El MVE desacoplado d. La Función de Transferencia e. La RESE a partir del MVE desacoplado

TERCERA PARTE Engrape esta hoja como portada del grupo de hojas que contiene la solución de esta Parte Nombre_______________________________________ Carné____________Profesor________________

Problema 6. (15%) Si

1 1

2 1A

− = −

Al aplicar los siguientes comandos escritos en Matlab, escriba el resultado que se obtendrá.

a. A^2 b. A’ c. A(:,1) d. eye(2)-A

e. rank(A) f. A.^2 g. A(:,:)’ h. det(A)

i. inv(A) j. A(:,1)*A(:,1)

Problema 7. (5%) Determine cuál condición de consistencia cumple el siguiente modelo matemático.

2 2( )

0( ) (0) ( )

tt ty t e y e u dτ τ τ− − −= + ∫

Si se cumple que esa relación puede ser determinada a partir de experimentos sobre la entrada aplicada, la cual puede tomar diferentes valores dentro del espacio de entradas y salidas admisibles de S , o sea

[ ], uu u′ ′′ ∈ℜ , [ ], yy y′ ′′ ∈ℜ . 1

1 1

1

11 1

1

2 ( )2( ) ( )10

2 ( )2( ) ( )10

(0) ( )

(0) ( )

t tt t tt t

t

t tt t tt t

t

yy e y e ud e y t e u d

yy e y e ud e y t e u d

τ τ

τ τ

τ τ

τ τ

− − −− − − −

− − −− − − −

′ ′= + + +

′′ ′′= + + +

∫ ∫

∫ ∫

Problema 8. (15%) Determine el estado cero y la respuesta a estado cero si el MVE viene dado por la relación

[ ]

1 0 1

0 2 0

3 0

x x u

y x

− = + −

=

ɺ

Tabla de Transformación de Laplace F(t) f(s)

)(tF ′ )0()( Fssf −

)(tF ′′ )0()0()(2 FsFsfs ′−−

ab

ee atbt

−−

( )( )bsas −−1

ba ≠

ab

aebe atbt

−−

( )( )bsas

s

−− ba ≠

∫ −t

dtGF0

)()( τττ )()( sgsf

Para un Modelo Diferencia Tipo1

[ ]

0 11 2

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 0 0( ) ( ) ( )

1

( ) 1 0 0 0 ( )

n

nn n n n

x t x t u t

a aa a

aa a a a

y t x t

−

= + − − − −

=

⋯

⋯

⋯ɺ

⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮

⋯

⋯

Para un Modelo Diferencial Tipo II

1 1 1

2 2 2

1 1 1

0 0 0

0 0

0 01 1

( ) ( ) ( )

0 0 0

0 0 0 0

1( ) 0 0 ( ) ( )

n n n n n n

n n n n n n

n nn n n

n n

n

n n

a a a b a b

a a a b a b

x t x t u ta a

a a a b a b

a a b a b

by t x t u t

a a

− − −

− − −

− − − − = + − − − −

= +

⋯

⋯

ɺ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮

⋯

Asignación de estados

1(1) (1)

2 1 1

( 1) ( 1)1 1

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

n n

n n n n

n nn n n

x t a y t b u t

x t a y t b u t a y t b u tx t

x t a y t b u t a y t b u t

− −

− −

− − + − = = − + + −

⋮ ⋮

⋯

IE–0409 Análisis de Sistemas Primer Parcial I Ciclo 2009 Instrucciones: • Terminantemente prohibido el uso de celulares. • Escriba con lapicero negro o azul para tener derecho a reclamo. • No se permite el uso de calculadoras programables, ni de ningún material de apoyo. • Duración del examen: 3:00 horas • Para cada problema, indique el procedimiento completo, no omita pasos intermedios y numere las ecuaciones que son utilizadas en pasos

posteriores para hacer la referencia respectiva. Si requiere dibujar un circuito o un gráfico, debe ser de excelente presentación, para ello utilice instrumentos apropiados. Si el resultado final del problema es incorrecto, solo aquellos exámenes limpios y ordenados podrán obtener puntos en el procedimiento, los demás serán calificados según la respuesta final obtenida.



Problema 1. (25%) Para el siguiente MVE de un sistema SISO-LIT :

[ ]

0 1 0( ) ( ) ( )

6 7 0,5

( ) 1 0 ( )

x t x t u t

y t x t

= + − −

=

ɺ

Determine: a) La Respuesta a Estado Cero a partir de la función de transferencia obtenida directamente de las

ecuaciones de estado en forma diferencial. b) La Ecuación de Estados y los Modos de Respuesta del Modelo Desacoplado.

Problema 2. (30%) Si de un modelo de un sistema SISO-LIT se tiene la siguiente información:

3

3

3

1,5 0,5

( ) 0,5 0,5

2,5 2,5

t t

t t

t t

e e

t e e

e e

ψ

− −

− −

− −

− = − −

, 2

1( )

4 3H s

s s=

+ + , Estados Iniciales:

1

2

3

(0)

(0) (0)

(0)

αα α

α

=

Determine: a) La Respuesta a Entrada Cero a partir de la relación entrada salida estado del modelo. b) El Orden del Modelo. (Justifique su respuesta) c) El Modelo en Variables de Estado a partir de la respuesta impulsional del modelo. d) El Modelo en Variables de Estado a partir de la respuesta completa del modelo.


F(t) f(s)

)(tF ′ )0()( Fssf −

)(tF ′′ )0()0()(2 FsFsfs ′−−

ab

ee atbt

−−

( )( )bsas −−1 ba ≠

ab

aebe atbt

−−

( )( )bsas

s

−− ba ≠

∫ −t

dtGF0

)()( τττ )()( sgsf

PARTE Puntaje

Primera Parte

Segunda Parte

NOTA FINAL

Raíces del polinomio: 2ax bx c+ + 2

1,2

4

2

b b acx

a

− ± −=



Problema 3. (25%) Para el siguiente sistema con entrada ( ) ( )u t e t= , salida ( ) ( )cy t V t= , 1 2 1R R R K= = = Ω ,

40L H= y 500C Fµ= determine: a) La Función de Transferencia ( )H s

b) La RESE c) ¿Se obtuvo un modelo reducido en el punto b?

JUSTIFIQUE SU RESPUESTA

Problema 4. (10%) Responda de forma muy breve y específica (puede responder en hoja aparte) 1) La TGS se refiere a____________________________________________________________________ 2) Un sistema lineal invariante en el tiempo es aquel que:________________________________________ 3) ¿Cuando se puede decir que dos estados 1α y 2α son equivalentes?

4) Si la RES de un objeto abstracto S puede escribirse de la forma ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )L p y t M p r t N p u t+ = , el modelo

matemático recibe el nombre de:__________________________________________________________ 5) Utilizando la RESE ¿cuando se puede decir que el modelo esta en su forma reducida? 6) Que significado tiene si la Matriz Fundamental ψ(0) es diferente de la matriz identidad. 7) Cuál es el significado de la Matriz Modal y su aplicación en el MVE 8) ¿Cuando se puede decir que los Autovectores de la matriz A del MVE un constituyen “una base para el

espacio de estados” de un objeto abstracto S? 9) Qué condiciones deben de cumplirse para que el MVE de un sistema sea desacoplado 10) Qué diferencia existe entre el MVE obtenido a partir de la RESE y el MVE obtenido a partir de la RES? Problema 5. (10%) Responda Falso (F) o Verdadero (V)

1. La representación intuitiva de un sistema incluye las variables internas, variables externas y la frontera de interacción.

( )

2. Los modelos se clasifican según su estructura matemática como causales, anticipativos con memoria o sin memoria.

( )

3. Un sistema es lineal si cumple con la propiedad de aditividad u homogeneidad. ( )

4. La FT del modelo de un sistema es la trasformada de Laplace de la respuesta a estado cero. ( )

5. Si la RESE de un objeto abstracto es definida por el conjunto de FB se dice que el modelo esta en su forma reducida.

( )

6. Estructura dinámica capaz de mantenerse estable durante periodos prolongados es típica de los Sistemas Autopoíeticos.

( )

7. Si la matriz fundamental definida a partir de las FB, se evaluada en cero y da como resultado una matriz diferente de la identidad, esta se convierte en la Matriz de transición de estados.

( )

8. El MVE es la representación de la dinámica del sistema con ecuaciones diferenciales de primer orden.

( )

9. La matriz modal T se forma con los autovectores asociados a los autovalores de una matriz A, y en algunos casos pueden diagonalizar esta matriz aplicando la transformación (T -1 A T).

( )

10. El orden del modelo de un sistema utilizando la RESE es igual al numero de funciones base. ( )

de 3

UNIVERSIDAD DE COSTA RICA ESCUELA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

Departamento de Automática

IE-409 Análisis de Sistemas Primer Examen Parcial Primer Ciclo 2010

Nombre: Carné: Grupo: Instrucciones:

• Terminante prohibido el uso de teléfono celular u otros dispositivos semejantes. • Escriba con lapicero azul o negro para tener derecho a reclamos. • No se permite el uso de calculadoras programables. • No se permite el uso de ningún material de apoyo que no sea entregado por los

profesores del curso. • Duración del examen: 3 horas. • Para cada problema, justifique su procedimiento, una respuesta sin procedimiento no

será calificada. • Sólo los exámenes limpios y ordenados obtendrán puntos por el procedimiento, los

demás serán calificados respecto a la respuesta final de cada ejercicio. Problema 1 (5 puntos) Prof. Miguel Ruphuy Explique la definición de la función de transferencia y sus limitaciones. Problema 2 (10 puntos) Prof. Miguel Ruphuy Sea el siguiente circuito:

V R11k

L110u

C21n

0

C11n

L210u

Conteste falso o verdadero y justifique tanto las falsas como las verdaderas:

a) La corriente del capacitor 1 puede ser variable de estado. b) Existen únicamente dos estados independientes. c) Existen cuatro estados independientes. d) Uno de los estados es el voltaje de la resistencia. e) Uno de los estados es la corriente de la resistencia.

Calificación

de 3

Problema 3 (10 puntos) Prof. Miguel Ruphuy Asocie cada término de la izquierda con la respectiva definición de la derecha.

1 Transformaciones Lineales ( ) Salidas en función del estado del sistema y de los parámetros.

2 Variables de estado ( ) Definen junto a las funciones base la evolución natural del sistema.

3 Variables de entrada ( )

Variables que pueden evolucionar en el tiempo o depender de las coordenadas espaciales. Son independientes de las entradas y no almacenan la historia del mismo.

4 Relación Entrada-Salida ( ) Colección de objetos, organizada en forma ordenada la cual está dirigida, en algún sentido, hacia un objetivo o fin.

5 Parámetros del sistema ( ) Causantes de la evolución forzada del sistema.

6 Relación Entrada-Salida-Estado ( ) Relación descrita por la ecuación:

[ ] [ ])),((ˆ ,0, 00 tttt utSy α= .

7 Sistema ( ) Relación descrita por la ecuación 0),( =yuS

8 Salidas Naturales ( ) Se utiliza para facilitar el análisis del comportamiento del modelo, ya que se obtiene una matriz diagonal.

9 Modelos Lineales ( )

Modelo donde las salidas en un instante determinado dependen exclusivamente de las entradas y salidas anteriores. Puede afirmarse que todos los sistemas físicos son causales.

10 Modelos Causales ( ) Debe cumplir con la propiedad de descomposición, ser lineal a estado cero y lineal a entrada cero.

de 3

Problema 4 (25 puntos) Prof. Miguel Ruphuy Sea el siguiente Modelo en Variables de Estado:

( )

( ) )(701

01

)(0

1000)(

701

10001

txty

tutxtx

•

•

−=

⋅

−+

−=&

Obtenga:

a) La matriz modal. b) El modelo desacoplado. c) La ecuación de estados del modelo desacoplado.

d) Ante una entrada nula y el estado inicial [ ]Tx 110 = , explique el comportamiento de

los estados y realice un boceto de su evolución. Problema 5 (10 puntos) Prof. Mauricio Espinoza Un capacitor de 10 mF se conecta por mucho tiempo a una fuente de tensión de 3 V, posteriormente, el nivel de tensión de la fuente se cambia bruscamente a 10 V en s00 =t .

Utilizando los conceptos vistos en clase, determine una expresión para la tensión en el capacitor y demuestre matemáticamente que la tensión en el capacitor no varía de forma inmediata. Modele la fuente de tensión como una fuente ideal en serie con una resistencia de 100 Ω. Problema 6 (25 puntos) Prof. Mauricio Espinoza Determine un posible modelo en variables de estado para el siguiente circuito. Las salidas del sistema son la corriente en la resistencia 1R y la tensión ( )ty2 , la entrada es la fuente de corriente

( )ti . Indique claramente el valor de las matrices A, B, C y D en dicho modelo.

Problema 7 (15 puntos) Prof. Mauricio Espinoza Determine la RES de un sistema sabiendo que su modelo en variables de estado es:

( ) ( ) ( )

( ) [ ] ( )txty

tutxtx

•

•

=

⋅

+

−=

01

5,0

0

20

10&

de 4

UNIVERSIDAD DE COSTA RICA

FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

IE-0409 Análisis de Sistemas

II Ciclo Lectivo 2010

Primer examen parcial

Nombre: ____________________________________________

Carné: ______________________________________________

Grupo: ______________________________________________ Grupo: 01 (Prof. Quesada), 02 (Prof. Espinoza), 03 (Prof. Romero)

Instrucciones:

Terminante prohibido el uso de teléfono celular u otros dispositivos semejantes.

Escriba con lapicero azul o negro para tener derecho a reclamos.

No se permite el uso de calculadoras programables.

No se permite el uso de ningún material de apoyo que no sea entregado por los profesores del curso.

Duración del examen: 3 horas.

Para cada problema, justifique su procedimiento, una respuesta sin procedimiento no será calificada.

Sólo los exámenes limpios y ordenados obtendrán puntos por el procedimiento, los demás serán

calificados respecto a la respuesta final de cada ejercicio si es que se presenta procedimiento.

(Engrape esta hoja a la solución de esta parte)

Parte A (33%) Profesor Roger Quesada T.

Problema I (20%)

Marque con una “x” la opción correcta para cada ítem.

1. (2%) Un Sistema es por definición:

a- Colección de objetos dirigido a realizar diversas funciones

b- Grupo de objetos des-organizados para realizar una función específica

c- Colección de objetos organizada y dirigida a un objetivo específico

2. (2%) Cual es la propiedad de TGS que designa la dinámica de una estructura no estática pero

capaz de mantener estable su estructura por períodos prolongados:

a- Autopoiesis

b- Invarianza en el tiempo

c- Propiedad de autoconsistencia

3. (2%) Las variables Internas de un sistema que evolucionan de acuerdo a las entradas y a la

historia del sistema son:

a- Parámetros del sistema

b- Variables cuasales

c- Variables de Estado

4. (2%) La representación de los aspectos fundamentales de un sistema que incluya la mínima

información útil para el estudio del sistema y obtener conclusiones es:

a- Modelo

b- Sistema equivalente

c- Validación de modelo

5. (2%) Un modelo Lineal cumple con las siguientes propiedades:

a- Aditividad y auto-consistencia

b- Homogeneidad y aditividad

c- Auto-consistencia mutua y homogeneidad

PARTE Puntaje

Parte A

Parte B

Parte C

NOTA FINAL

de 4

6. (2%) Un modelo abstracto S es lineal si cumple con:

a- Lineal a estado cero, lineal a entrada cero y propiedad de descomposición

b- Lineal a estado cero o lineal a entrada cero o propiedad de descomposición

c- Lineal a estado cero y lineal a entrada cero

7. (2%) Un modelo original esta en su forma reducida si:

a- El número de funciones base es igual a número de estados

b- Las funciones base son Linealmente Independientes

c- Los estados reducidos son Linealmente Independientes

8. (2%) La matriz fundamental se genera de la forma siguiente:

a- La primera fila es el vector de funciones base

b- La primera fila es el vector de funciones base y las siguientes filas hasta n se llenan con

sus derivadas

c- Las filas de la 2 a la n-1 son derivadas de la fila anterior y la fila 1 es el vector de

funciones base.

9. (2%) La matriz fundamental genera la MTE si se cumple:

a- La matriz fundamental derivada y evaluada en cero es la matriz unitaria

b- La matriz fundamental inversa es la matriz fundamental

c- La matriz fundamental evaluada en cero es la matriz identidad

10. (2%) La matriz de transición de estados cumple las siguientes propiedades

a- La matriz Ω(t) es no singular, Ω(t-σ) = Ω(t) Ω(σ), es no conmutativa

b- Ω es solución de tt 0 , Ω(0) = I, la inversa de Ω depende del signo del

argumento

c- La matriz Ω(t) es singular, Ω(t-σ) = Ω(t) Ω(σ), es conmutativa .

Problema II (13%)

Conteste los siguientes ítems.

1. (3%) Determine si el sistema cuya respuesta RESE es dada por la siguiente expresión es

lineal:

t

duthtkttty0

2211 )()()()0()()0()()(

2. (3%) Si un sistema tiene funciones base como las siguientes, ¿Cual es la matriz fundamental?

¿Esta Matriz fundamental genera la MTE? Explique.

t

t

e

e

2

2

1

3. (3%) ¿El siguiente modelo estará en su forma reducida? Explique

t

tttt dutheeeety0

3

2

21

2 )()()0()()0()0()(

4. (2%) Determine la función de transferencia del siguiente sistema:

t

tt dutheety0

21

2 )()()0()0()(

5. (2%) Muestre la representación de un sistema mediante la Relación Entrada - Salida

de 4

Nombre: _________________________________________

Carné: ___________________________________________

Grupo: ___________________________________________ Grupo: 01 (Prof. Quesada), 02 (Prof. Espinoza), 03 (Prof. Romero)


Parte B (33%) Profesor Jorge Romero C.

Problema III

Sean las siguientes ecuaciones que definen la RESE de un sistema de dos salidas (y1(t), y2(t)) y dos

entradas (u1(t), u2(t)):

Haga lo siguiente.

1. (6%) Indique la asignación de estados para un MVE.

2. (6%) Escriba las ecuaciones anteriores en forma matricial, en la forma:

tutHTxFy ,0

donde ty es el vector de salidas, F es una matriz, 0x es el vector de estados inicial, T es un

operador integral matricial, tH es una matriz de funciones del tiempo y tu es el vector de

entradas.

3. (6%) Indique el estado cero del sistema pero justifique su respuesta.

4. (5%) Encuentre la ecuación de estados.

5. (5%) Encuentre la respuesta al estado de referencia.

6. (5%) Encuentre la matriz fundamental e indique (de manera justificada) si es una matriz de

transición de estados.

Parte B

de 4

Nombre: _________________________________________

Carné: ___________________________________________

Grupo: ___________________________________________ Grupo: 01 (Prof. Quesada), 02 (Prof. Espinoza), 03 (Prof. Romero)


Parte C (34%) Profesor Mauricio Espinoza B.

Problema IV (20%)

Determine el modelo en variables de estado del siguiente circuito. Las salidas del sistema son la

corriente tiL y la tensión tvC , las entradas son la fuente de tensión tv1 y la fuente de

tensión tv2 . Utilice la siguiente asignación para el vector de estados, entradas y salidas:

TCL

Tvixxtx 21

TTvvuutu 2121

TLC

Tivyyty 21

Matriz A 4%, matriz B 4%, matriz C 3%, procedimiento 9%.

Problema V (14%)

El siguiente modelo en variables de estado:

txty

tutxtx

11

0

1

20

01

Corresponde a un circuito con un inductor y un capacitor donde CL vitx . Se puede

demostrar que una RESE asociada al mismo circuito es:

tttttt dueeeeey

02

2

1

2 002

Encuentre el modelo en variables de estado del circuito a partir de esta RESE y explique porqué

ambos modelos en variables de estado son distintos si modelan el mismo sistema.

Parte C





I Ciclo Lectivo 2011


Nombre: ______________________________________

Carné: ________________________________________

Grupo: ________________________________________ Grupo: 01 (Prof. Romero), 02 (Prof. Espinoza), 03 (Prof. Quesada)

Instrucciones:








calificados con respecto a la respuesta final de cada ejercicio si es que se presenta procedimiento.

Engrape esta hoja a la solución de esta parte.

Parte A (30%) Profesor Roger Quesada T.

Para el sistema cuya RESE es dada por la siguiente expresión:

dττu+z+z=tz

t

τtτt

0

422t4t2t ee0ze0e04e

Determine:

(6%) Si el sistema es lineal.

(3%) Si la entrada u sigue un comportamiento no lineal respecto al tiempo indique si

el sistema es lineal o no y porque.

(4%) Si el modelo está en su forma reducida.

(6%) El espacio de FB y su correspondiente asignación de estados.

(8%) Obtenga la matriz fundamental que genere la MTE, indique la asignación de

estados correspondiente.

(6%) La función de transferencia.

Sea explícito en sus respuestas mostrando los pasos que va siguiendo.

PARTE Puntaje

Parte A

Parte B

Parte C

NOTA FINAL

Nombre: _________________________________________

Carné: ___________________________________________

Grupo: ___________________________________________ Grupo: 01 (Prof. Romero), 02 (Prof. Espinoza), 03 (Prof. Quesada)



Problema I (25%)

Considere los dos modelos en variables de estado siguientes. ¿Son los modelos

equivalentes? Justifique matemáticamente su respuesta. Use la claridad en su

procedimiento y en su razonamiento. Demuestre bien sus pasos.

Modelo I:

txty

tutxtx

01

1

6

02

13

Modelo II:

txty

tutxtx

61

1

0

32

10

Problema II (15%)

Encuentre un modelo en variables de estado para el siguiente modelo diferencial:

tututututytyty 2211 3672

donde ty es la señal de salida, tu1 y tu2 son las señales de entrada.

Parte B

Nombre: _________________________________________

Carné: ___________________________________________

Grupo: ___________________________________________ Grupo: 01 (Prof. Romero), 02 (Prof. Espinoza), 03 (Prof. Quesada)



El siguiente circuito está constituido por un par de sensores de nivel para dos tanques,

donde las tensiones y modelan las lecturas del nivel de cada uno y se consideran

como entradas para el sistema. Para monitorear la diferencia de nivel entre los dos tanques

se ha tomado como salida del sistema la tensión diferencia , tal y como se define en la

figura. Como es importante que la salida del sistema esté monitoreada siempre, se le

solicita determinar una expresión para ello.

Utilizando (e indicando su utilización) los conceptos vistos en el curso, obtenga una

expresión tal que le permita monitorear la salida del sistema en todo momento. Debe

además configurar su respuesta de forma que se aprecie su similitud con alguna forma de

modelado vista en el curso para un sistema lineal e invariante en el tiempo.

Parte C

Formulario


Examen parcial I-2011


f(t) F(s)

)(' tf )0()( fssF

)('' tf )0(')0()(2 fsfsFs

ate

as

1

ab

ee atbt

bsas

1 ba

ab

aebe atbt

bsas

s

ba

t

dtgf0

)()( )()( sGsF

t

t

tAttAduBetxetx

0

0 )()()( )(

0

)(

DBAsICsH 1)()(

tfdftt

0

)()0()('

)(

)0(

00

1

tt

tTT

ac

bd

AA

dc

baA

)det(

11

t

t

tAttAdutDBCetxCety

0

0 )()()()( )(

0

)(

tfdtft

dtfdt

d tt

00

,,

)()(' 00

0

0

0

0

tIt

tt

I

tt

tt

tt

n

LI

n

LD

LI





II Ciclo Lectivo 2011

Segundo examen parcial

Nombre: ______________________________________

Carné: ________________________________________

Grupo: ________________________________________ Grupo: 01 (Prof. Jorge), 02 (Prof. Mauricio), 03 (Prof. Rodolfo)

Instrucciones:









Engrape esta hoja a la solución de esta parte.

Parte A (30%) Profesor Rodolfo Espinoza.

Para el siguiente modelo:

dt

duy

dt

dy

dt

yd 23

2

2

1. (6%) Encontrar la Relación Entrada Salida Estado (R/E/S/E).

2. (6%) ¿Cuál es la asignación de estados?

3. (6%) ¿Está en su forma reducida? Probarlo.

4. (6%) Encontrar el estado cero.

5. (6%) Encontrar el estado de referencia.

PARTE Puntaje

Parte A

Parte B

Parte C

NOTA FINAL

Nombre: _________________________________________

Carné: ___________________________________________

Grupo: ___________________________________________ Grupo: 01 (Prof. Jorge), 02 (Prof. Mauricio), 03 (Prof. Rodolfo)



Responda las siguientes preguntas y haga los ejercicios indicados. Cada item respondido

correctamente vale 3%.

1. Con base en la propiedad de una matriz de transición de estados:

demuestre que tal matriz es solución de la ecuación diferencial matricial:

2. Considere los dos siguientes criterios para la validación de un modelo:

N

=k

s

N

=k

s

kyky=J

kyky=J

0

2

0

2

1

ky es la salida del sistema en el instante k , en tanto kys es la salida del modelo en el

instante k . Ambos criterios se basan en la minimización de ambas cantidades. ¿Qué

diferencia cualitativa encuentra usted entre ambos criterios?

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

3. Suponga que usted es un agente de la bolsa de valores de Wall Street. Ha decidido seguir

la variación diaria de los precios de las acciones de Apple Computer Inc. desde la

separación de Steve Jobs de su puesto de Oficial Ejecutivo en Jefe. ¿Usaría usted un

modelo en tiempo continuo o un modelo en tiempo discreto para describir tal variación

después de 90 días de observación? Justifique su respuesta.

Parte B

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

4. Dé un ejemplo de un modelo causal y con memoria, e indique la razón de que lo sea. Dé

un ejemplo de un modelo causal, invariante en el tiempo y de parámetros distribuidos, e

indique la razón de que lo sea.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

5. Dé dos ejemplos de una variable externa de un sistema y dos ejemplos de una variable

interna de un sistema.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

6. Dé una definición de identificación experimental de un sistema.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

7. Se estudió más de una definición de modelo lineal, pero una de ellas habla de dos

propiedades para definirlo. ¿Cuáles son esas dos propiedades?

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

8. Suponga que tiene entre manos la descripción de un objeto S, lineal e invariante con el

tiempo, de múltiples entradas y múltiples salidas, que toma la siguiente forma:

Describa lo que cada una de las cantidades indican.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

9. Observe la siguiente RESE:

¿Cuál es la función de transferencia correspondiente al objeto S representado por esta

RESE?

10. Las siguientes son las entradas de la segunda fila de una matriz fundamental de tamaño

2x2:

3t5t3t5t e2

3e

2

5e

2

15e

2

15

A partir de esta información, escriba tal matriz fundamental y examine si es una matriz de

transición de estados.

Nombre: _________________________________________

Carné: ___________________________________________

Grupo: ___________________________________________ Grupo: 01 (Prof. Jorge), 02 (Prof. Mauricio), 03 (Prof. Rodolfo)



El siguiente problema debe ser resuelto utilizando los conceptos del curso y valiéndose de

herramientas de cursos anteriores. Justifique todo el procedimiento e indique claramente

cualquier concepto del curso que utilice. Si no explica su procedimiento o no indica algún

concepto, el procedimiento realizado no será tomado en cuenta.

Dos automóviles distintos están corriendo en una pista de carreras de 400m en línea recta.

El sistema de enfriamiento de los dos automóviles determina la temperatura de cada motor

en función de la velocidad y la distancia recorrida por el automóvil, siendo el modelo en

variables de estado de cada dispositivo de enfriamiento:

tv

tdtT

tutv

td

tv

td

unoautoelPara

1

1

1

1

1

1

1

22

15

0

12.00

10

tv

tdtT

tutv

td

tv

td

dosautoelPara

2

2

2

2

2

2

2

23

10

0

1.00

10

donde en ambos casos d significa distancia, v velocidad, T temperatura y u la fuerza

aplicada al pedal de aceleración (en este caso la misma para los dos autos). Al iniciar la

carrera, los autos estaban detenidos y la entrada para ambos fue del tipo escalón, con una

magnitud de 1. Si usted sabe que la carrera duró casi 8,5 segundos:

1. (30%) ¿Cuál automóvil ganó, el uno o el dos?

2. (10%) Antes de terminar la carrera, ¿Algún automóvil se quedó varado en el camino?

Parte C

Formulario


Examen parcial II-2011


f(t) F(s)

)(' tf )0()( fssF

)('' tf )0(')0()(2 fsfsFs

ate

as

1

ab

ee atbt

bsas

1 ba

ab

aebe atbt

bsas

s

ba

t

dtgf0

)()( )()( sGsF

t

t

tAttAduBetxetx

0

0 )()()( )(

0

)(

DBAsICsH 1)()(

tfdftt

0

)()0()('

)(

)0(

00

1

tt

tTT

ac

bd

AA

dc

baA

)det(

11

t

t

tAttAdutDBCetxCety

0

0 )()()()( )(

0

)(

ttfdtft

dtfdt

d tt

,,,00

)()(' 00

0

0

0

0

tIt

tt

I

tt

tt

tt

n

LI

n

LD

LI







Nombre: ______________________________________

Carné: ________________________________________

Grupo: ________________________________________ Grupo: 01 y 02 (Prof: José David), 03 (Prof. Mauricio)

Instrucciones:









Engrape esta hoja a la solución del problema 1

Problema 1 (20%) Profesor José David Rojas.

a) (7%) Utilizando las pruebas vistas en clase, muestre que un sistema dado por el

modelo en variables de estado u

y

x Ax B

Cx

es lineal.

b) (13%) Dado un sistema cuya RESE viene dada por

5 2 3( )

1 1 2 20

(0) ( ) (0)( ) cos( ) ( )dt

t t ty t e u t x e t ue x

con un vector de estados igual a 1 2[ ,( ) ( )]Tx xt tx y un vector de entradas igual a

1 2[ ,( ) ( )]Tu ut tu

i. (5%) ¿Es lineal a entrada cero?

ii. (5%) ¿Es lineal a estado cero?

iii. (3%) ¿El sistema es lineal o no lineal?

Problema Puntaje

Part

e 1

Prob. 1

Prob. 2

Part

e 2

Prob. 3

Prob. 4

NOTA

FINAL

Nombre: ______________________________________

Carné: ________________________________________


(Engrape esta hoja a la solución del problema 2)

Problema 2 (30%) Profesor José David Rojas.

1) (20%) Un sistema tiene un cero doble en 4s y polos en 1s , 2s y 3s

a) (7%) Encuentre un modelo en variables de estado para ese sistema.

b) (7%) Escriba una expresión para la respuesta al impulso.

c) (6%) ¿Cuál es la respuesta a estado cero del sistema?

2) (10%) Si se tiene un sistema dado por

0 0

0

0.1( ) 0.2( ) 3( )

1 0 2 0( ) ( ) ( )( d)t

t t t t t

tt e t e e uy t x x

¿Cuáles deberían ser los valores iniciales de las variables de estado ( 1 0( )x t y 2 0( )x t )

para que la respuesta natural del sistema empiece en 3y y que, transcurridos 5

segundos haya llegado a 1y ?

Problema 2

Nombre: ______________________________________

Carné: ________________________________________


(Engrape esta hoja a la solución de la parte 2)

Problema 3 (35 %) Profesor Mauricio Espinoza.

Existe un elemento eléctrico denominado fuente dependiente. Para estas fuentes, su

corriente o tensión depende de una corriente o tensión de otra sección del circuito. De esta

forma, se define la ganancia de la fuente dependiente, la cual determina la variable eléctrica

que la fuente entrega.

En el siguiente circuito, si es posible, usted debe diseñar el valor de las ganancias m y K

para que la matriz de transición de estados de un MVE asociado a este circuito sea

diagonal. Si eso no es posible, indique por qué.

Problema 4 (15 %) Profesor Mauricio Espinoza.

Suponga en el circuito anterior que 0 mK . Realice un análisis sobre la corriente y

tensión de cada elemento pasivo y determine cuales variables pueden o no ser estados.

Independiente de qué variables pueden ser variables de estado ¿Cuántos estados debe tener

un MVE asociado a este circuito?

Problema 3

Problema 4

Formulario


Examen parcial II-2011


f(t) F(s)

)(' tf )0()( fssF

)('' tf )0(')0()(2 fsfsFs

ate

as

1

ab

ee atbt

bsas

1 ba

ab

aebe atbt

bsas

s

ba

t

dtgf0

)()( )()( sGsF

sen( )ate t

2 2( )s a

cos( )ate t

2 2( )

s a

s a

tfdftt

0

ttfdtft

dtfdt

d tt

,,,00

1 1a b d bA A

c d c aA

1 1

a b c

A d e f

g h i

e f b c b c

h i h i e f

d f a c a cA

g i g i d fA

d e a b a b

g h g h d e

C.2. Segundo Parcial 255

C.2. Segundo ParcialLos temas que se estudian en este parcial corresponden a los Capítulos 3, 4 y 5


IE–0409 Análisis de SistemasSegundo ParcialI Ciclo 2007

Instrucciones:1. Terminantemente prohibido el uso de celulares.2. Escriba con lapicero negro o azul para tener derecho a reclamo.3. No se permite el uso de calculadoras programables.4. No se permite el uso de ningún material de apoyo.5. Duración del examen: 2 h:30min6.Para cada problema, indique el procedimiento completo, no omita pasos

intermedios y numere las ecuaciones que son utilizadas en pasos posteriorespara hacer la referencia respectiva. Si requiere dibujar un circuito o un gráfico, debe ser de excelente presentación,para ello utilice instrumentos apropiados. Si el resultado final del problema es incorrecto, solo aquellos exámeneslimpios y ordenados podrán obtener puntos en el procedimiento, los demás serán calificados según la respuesta finalobtenida.

Nombre_________________________________Carné___________ Profesor________________

Problema 1 (25%)Simplifique el siguiente

diagrama de bloques medianteálgebra de bloques para obtenerla función de transferencia

)()()(

sRsCsG . Indique en cada

paso las reglas de simplificaciónutilizadas.

Problema 2 (25%)

Obtenga el Diagrama de Bode para la Función de Transferencia 221 9)2(5)(

ssssG .

Grafique el diagrama en papel semi-logarítmico por aparte del procedimiento. Indiqueclaramente la función de transferencia en frecuencia, las frecuencias de transición, valor de lasasíntotas, desplazamiento debido a la ganancia, error asociado a cada frecuencia de transición, ycualquier otro dato que considere conveniente

Problema 3 (25%)Observando la respuesta en frecuencia adjunta, determine la información solicitada. Cada

respuesta debe estar justificada.a) (5%) Valor de la gananciab) (5%) Fase mínima o no mínima.c) (5%) Coeficiente de amortiguamientod) (5%) Frecuencia naturale) (5%) Valor del tiempo muerto

PARTE Puntaje

Problema 1

Problema 2

Problema 3

Problema 4

NOTA FINAL

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

Mag

nitu

de (d

B)

10-1 100 101 102 103-90

-45

0

45

90

135

180

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Problema 4 (25%)

Utilizando el Teorema de Mason, determine la relación( )( )( )

Y sG sU s

correspondiente al

diagrama de bloques adjunto.

IE–0409 Análisis de SistemasSegundo ParcialII Ciclo 2007

Instrucciones:Terminantemente prohibido el uso de celulares.Escriba con lapicero negro o azul para tener derecho a reclamo.No se permite el uso de calculadoras programables.No se permite el uso de ningún material de apoyo.Duración del examen: 2 h:30minPara cada problema, indique el procedimiento completo, no omita pasos intermedios ynumere las ecuaciones que son utilizadas en pasos posteriores para hacer la referenciarespectiva. Si requiere dibujar un circuito o un gráfico, debe ser de excelente presentación,para ello utilice instrumentos apropiados. Si el resultado final del problema es incorrecto, soloaquellos exámenes limpios y ordenados podrán obtener puntos en el procedimiento, losdemás serán calificados según la respuesta final obtenida.

Nombre_______________________________________ Carné______________ Profesor____________________

Problema 1. (15%) Utilizando el Teorema de Mason, determine la relación)()()(

sRsCsG correspondiente al

diagrama de bloques adjunto.

Problema 5. (20%) Trace el Diagrama de Bode con correcciones incluidas para la siguiente Función deTransferencia. Como parte del desarrollo indique claramente la función de transferencia en frecuencia, lasfrecuencias de transición, valor de las asíntotas, desplazamiento debido a la ganancia, error asociado a cadafrecuencia de transición, y cualquier otro dato que considere conveniente.

207)1(50)( 2 sss

ssH

Problema 3. (15%) Considere el siguiente modelo131

3)( 2 sssG

Determine:a) La FT en frecuencia, su magnitud y faseb) Diagrama polar.c) Intersecciones con los ejes Real e Imaginario (si estas existen).d) En el Diagrama Polar, marque los puntos en donde se medirían c y . Determine además el valor de .

PARTE Puntaje

Problema 1

Problema 2

Problema 3

Problema 4

Problema 5

Problema 6

NOTA FINAL

Problema 4. (20%) Determine la FT del sistema cuya respuesta en frecuencia se muestra a continuación.

Problema 5. (15%) Trace el Diagrama Polar de un sistema cuya representación en Bode es la siguiente

10

15

20

25

30

35

Mag

nitu

d (d

B)

10-1

100

101

102

103

-45

0

45

90

Fase

(deg

)

Diagrama de Bode

Frecuencia (rad/sec)

Problema 6. (15%) Trazando el diagrama de Bode, determine la ganancia K tal que la frecuencia de corte de

ganancia del siguiente modelo sea 10 rad/s .( 4)( )

( 10)K sG ss s


Segundo Parcial

I Ciclo 2008

Instrucciones:

• Terminantemente prohibido el uso de celulares. • Escriba con lapicero negro o azul para tener derecho a reclamo. • No se permite el uso de calculadoras programables, ni de ningún material de apoyo. • Duración del examen: 2:30 horas • Para cada problema, indique el procedimiento completo, no omita pasos intermedios y numere las ecuaciones que son utilizadas en pasos posteriores

para hacer la referencia respectiva. Si requiere dibujar un circuito o un gráfico, debe ser de excelente presentación, para ello utilice instrumentos apropiados. Si el resultado final del problema es incorrecto, solo aquellos exámenes limpios y ordenados podrán obtener puntos en el procedimiento, los demás serán calificados según la respuesta final obtenida.



Problema 1. (25%) Considere el proceso térmico en donde el líquido procesado tiene un calor específico cp. Su densidad ρ prácticamente no cambia con las temperaturas del proceso. Las paredes y tapa del tanque 1, de volumen V1 están aisladas térmicamente del medio ambiente. Solamente el fondo de área A1, de espesor d y de conductividad térmica σ está expuesto a una superficie caliente que se encuentra a una temperatura T3. Las paredes y fondo del tanque 2, de volumen V2 , están aislados térmicamente del medio ambiente, solamente la tapa de área A2 de espesor d y de conductividad térmica σ , permite un proceso de enfriamiento lento con relación a la temperatura externa Te. Todo el sistema hidráulico opera por rebalse. Utilizando la teoría de redes generalizadas, determine la magnitud de:

1. (5%) las fuentes de pervariable. 2. (5%) las fuentes de transvariable. 3. (5%) las inductancias generalizadas 4. (5%) las capacitancias generalizadas 5. (5%) las resistencias generalizadas

Problema 2. (25%) Para la antena parabólica adjunta, considere la entrada como la tensión del motor y la salida su acimut ( )tθ . El sistema de engranajes son ideales

con 1 20,1 m 1 mR R= = . La antena tiene una inercia 22 kg mJ = ⋅ con una

fricción rotacional -14 N m s radB = ⋅ ⋅ ⋅ . El motor DC tiene los siguientes

parámetros -1 -11 20,1 1 H 5 N m A 5 V s radf fR L K K= Ω = = ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ .

Si la FT de la salida respecto a la entrada se expresa como el cociente dos polinomios, determine el valor de cada coeficiente ia y jb , esto es,

0

0

( )( )

( )

mi

iin

jj

j

a ss

G sV s b s

=

=

Θ= =∑

∑

PARTE Puntaje

Primera Parte

Segunda Parte

NOTA FINAL

SEGUNDA PARTE. Engrape esta hoja como portada del grupo de hojas que contiene la solución de esta Parte


Problema 3. (25%) Un sistema hidráulico constituido por dos tanques de almacenamiento de agua se muestra en la figura 1. El agua del tanque T1 se transporta al Tanque T2 por la acción de la bomba que inyecta el agua por la tubería de longitud no despreciable L . El Tanque T2 se utiliza para suministrar agua a un sistema de irrigación continuo, de forma que el agua sale por un orificio lateral pequeño del tanque por la acción de la gravedad únicamente. La entrada del sistema es la presión ( )ep t del agua que entra a la válvula y la presión atmosférica ATMP . La salida del sistema es

el nivel ( )1h t del tanque T1 y el caudal de salida ( )sq t del tanque T2. 1K es la constante asociada a la válvula del

caudal eq . T1A y T2A , corresponden a las áreas de sección transversal de cada tanque. 1A y 2A , corresponden a las

áreas de sección transversal de la tubería que entra y sale de la bomba respectivamente.

Figura 2: Sistema hidráulico del Problema 1

Determine:

1. El MVE del sistema no lineal, considere los estados del sistema como

2. Determine el punto de operación del sistema si

=

*2

*1* )(

u

utu .

3. Encuentre el MVE linealizado del sistema para el punto de operación encontrado.

NO utilice la Red generalizada para este problema.

11

2

2

( ) , ( ) , ( )e

sATM

hhp

x t h u t y tqP

q

= = =

Problema 4. (25%) La figura 2 muestra la variación en la deformación ( )( )x t del sistema de amortiguamiento

mecánico de un camión cuando se colocan sobre el mismo cuatro contenedores iguales de forma simultánea. Determine el modelo del sistema utilizando el método de Smith y Stark.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10-14

-13

-12

-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Tiempo (s)

Curva de Reacción del Sistema de Amortiguamiento

Figura 2: Curva de reacción para el Problema 2

Fórmulas de utilidad:

45 15

75 15

t tx

t t

−=−

,( )2

0,0805 5,547 0,475

0,356

x

xς

− −=

−, ςς

ςς)811,2(708,0)(

60,06,2)(

2

2

=

−=

f

f, 2

75 15

( )n

f

t t

ςω =−

, 3( ) 0,922(1,66)f ςς = ,

345

( )m

n

ft

ςτω

= − , n

Tωςς 12

2,1

−±=

contenedores

( )x cm


Segundo Parcial




PRIMERA PARTE Engrape esta hoja como portada del grupo de hojas que contiene la solución de esta Parte Nombre_______________________________________ Carné____________Profesor________________ Problema 1. Sean las siguientes curvas de reacción de un sistema S.

Figura Nº 1 Curva de reacción de un sistema S, para método de Ziegler-Nichols

PARTE Puntaje

Primera Parte

Segunda Parte

Tercera Parte

NOTA FINAL

Figura Nº 2 Curva de reacción de un sistema S, para método de Smith

a) (10%) Determine un modelo de primer orden más tiempo muerto para el sistema S (utilice la figura 1), mediante el Método de Ziegler-Nichols

b) (10%) Determine un modelo de primer orden más tiempo muerto para el sistema S (utilice la figura 2), mediante el Método de Smith

c) (5%) Grafique, en las mismas figuras, las respuestas esperadas que se obtendrían con los modelos. ¿Cuál es la principal diferencia en las gráficas de estos modelos? d) (5%) (Respuesta única).Observando la figura 1 o 2, la curva de reacción del sistema S corresponde a un sistema:

( ) Primer Orden ( ) Segundo Orden Sobreamortiguado ( ) Segundo Orden Subamortiguado ( ) Segundo Orden o Superior Sobreamortiguado ( ) Segundo Orden o Superior Subamortiguado


Problema 2. (35%) Se extraen piedras, se fragmentan y posteriormente son depositadas de forma continua sobre una faja

transportadora. Esta banda recibe la piedra en el extremo inicial, la transporta y la deposita fuera en el otro extremo. La velocidad lineal de la banda determina la cantidad de producto (grosor) que es depositada sobre la misma, en este problema, la velocidad es tal que el grosor se puede considerar constante.

El proceso consiste de un motor c.d. controlado por armadura, el cual debe hacer moverse la faja junto con el material transportado.

Obtenga la función de transferencia del sistema siendo la entrada el voltaje aV y la salida es la

velocidad angular ω . Lf : Inductancia de campo La : Inductancia de armadura Rf: Resistencia de campo Ra : Resistencia de armadura Ia : Corriente de armadura kc : Constante del motor [V s rad -1] Jm: Inercia del motor c.d. Bm: Fricción viscosa del motor Para la carga se tiene la siguiente información: Jc [ kg m2] Inercia de la carga (piedra + banda transportadora) Bc : [N m s-1] Fricción viscosa de la carga


Problema 3.

a) (10%) Dibuje la red generalizada correspondiente al siguiente diagrama tecnológico.

M

f

K

B

R

b) (10%) Dibuje el diagrama tecnológico del proceso asociado a la siguiente red generalizada

c) (15%) Dado el proceso adjunto, si el nivel ( )h t es el estado y, si además, sp es una presión

manométrica (no es absoluta), determine: las matrices A y B del MVE lineal asociado, puede utilizar un

punto de operación general, por ejemplo ( )* *,x u

qe

Ps

qs K

ah

IE–0409 Análisis de Sistemas Segundo Parcial I Ciclo 2009 Instrucciones: • Terminantemente prohibido el uso de celulares. • Escriba con lapicero negro o azul para tener derecho a reclamo. • No se permite el uso de calculadoras programables, ni de ningún material de

apoyo. • Duración del examen: 2:30 horas • Para cada problema, indique el procedimiento completo, no omita pasos intermedios y numere las ecuaciones que son

utilizadas en pasos posteriores para hacer la referencia respectiva. Si requiere dibujar un circuito o un gráfico, debe ser de excelente presentación, para ello utilice instrumentos apropiados. Si el resultado final del problema es incorrecto, solo aquellos exámenes limpios y ordenados podrán obtener puntos en el procedimiento, los demás serán calificados según la respuesta final obtenida.

PRIMERA PARTE

Engrape esta hoja como portada del grupo de hojas que contiene la solución de esta Parte


Problema 1. Un sistema de calefacción constituido por un tanque de almacenamiento y bombeo de agua caliente y un intercambiador de calor se muestra en la figura N°1. El agua caliente se almacena en el tanque T1 para luego ser transportada por el serpentín de longitud no despreciable L por la acción de la bomba. El serpentín está instalado en una habitación en donde se necesita calefacción, esta se obtiene al pasar el agua caliente por el serpentín. El material de las paredes de la habitación no es aislante térmico.

Figura N°1: Sistema hidráulico del Problema 1

PARTE Puntaje

Primera Parte

Segunda Parte

NOTA FINAL

Habitación

1. Para el sistema Hidráulico determine: a. (15%) El MVE, sin utilizar red generalizada, del sistema no lineal, considerando que:

b. (10%) Determine el punto de operación del sistema y las matrices A y B del MVE linealizado si

=

*2

*1* )(

u

utu , utilizando el MVE obtenido en el punto anterior.

c. (5%) Dibuje La red Generalizada.

Considere que L es la longitud no despreciable del serpentín, 1K es la constante asociada a la válvula

del caudal eq , TA corresponde al área de sección transversal del Tanque de almacenamiento. 1A y 2A ,

corresponden a las áreas de sección transversal de la tubería que entra y sale de la bomba respectivamente. Además, considere que la presión a través del serpentín se puede establecer como

2 ATMP P− .

2. Para el sistema Térmico Determine:

a. (10%) La Red Generalizada.

b. (15%) El MVE a partir de la Red Generalizada, considerando que :

Considere que iT es la temperatura del agua caliente entrando al serpentín, 1T es la temperatura del agua

que sale del serpentín, 2T es la temperatura interna de la habitación, aT es la temperatura del ambiente

fuera de la habitación.TSR es la resistencia térmica de la pared del serpentín y THR es la resistencia

térmica de las paredes externas de la habitación. El agua caliente tiene una densidad ρ y un calor

específico pc . El Aire dentro de la habitación tiene una densidad Hρ y un calor específico pHc

2 1

( ) , ( ) , ( )e

ATM

H p Hx t u t y t

q P P

= = =

( )12

2

( ) , ( ) , ( )i

a

TTx t u t y t T t

TT

= = =



Problema 2. (20%) En siguiente figura se muestra la curva de reacción de una planta a una entrada escalón. Obtenga un modelo de primer orden más tiempo muerto para representarla, empleando un método de identificación de dos puntos. Dibuje sobre la curva de reacción, la curva de respuesta esperada del modelo obtenido a ese mismo escalón de entrada.

Problema 3. (25%) Para el sistema mostrado en la figura N°3 obtener la función de transferencia de la

posición x al voltaje de entrada Vf.

Figura N°3: Sistema electro-mecánico del Problema 3



IE-409 Análisis de Sistemas Segundo Examen Parcial Primer Ciclo 2010





demás serán calificados respecto a la respuesta final de cada ejercicio. Problema I 15% (Profesor Miguel Ruphuy C.) Sea el siguiente sistema térmico:

Cada pared externa tiene una resistencia térmica eR y la pared interna tiene una resistencia iR .

1. (10%) Obtenga el circuito equivalente de la red generalizada indicando claramente todas las

pervariables, transvariables y elementos del mismo. La referencia de la red generalizada debe ser AT .

2. (5%) Sea la masa adentro de cada habitación 4 kg y su calor específico 0.897 Jkg-1K-1. La conductividad térmica de las paredes (tanto internas como externas) es 209.3 W/mk, tienen un espesor de 0.5 mm y un área de 1 m2. Obtenga la resistencia térmica de cada pared interna y externa y la capacitancia de cada capacitor térmico.

Calificación

Problema II 10% (Profesor Miguel Ruphuy C.) (10%) Sea la siguiente red generalizada de un sistema mecánico rotacional, donde los componentes corresponden a elementos generalizados. Dibuje el diagrama tecnológico y asigne tanto en el diagrama tecnológico como en la red generalizada los nombres de las transvariables y de las pervariables correspondientes.

L2L1

0

C2C1

R1

Problema III 25% (Profesor Miguel Ruphuy C.) Sea el siguiente sistema hidráulico:

Donde el volumen del tanque cónico viene dado por 3

1hV = . La salida del sistema es 2h , la

entrada es el caudal eq , considere k1, k2 y la presión atmosférica constantes.

1. (15%) Obtenga el modelo en variables de estado del sistema sin usar red generalizada y con

la siguiente asignación de estados:

( ) [ ]Teqhhtx 21=

2. (10%) Linealice el modelo en variables de estado si el punto de operación del mismo es:

( ) [ ]Teqhhtx 020100 =

Problema IV 25% (Profesor Mauricio Espinoza B.) Determine el modelo en variables de estado del siguiente sistema si la asignación de estados es:

( ) [ ]T

mmm ddtx τθθ ɺɺ=

Siendo mτ el par de salida del motor, mθ el ángulo de giro del motor y ( )td es la distancia

recorrida por el bloque. Las salidas del sistema son la distancia ( )td , el ángulo mθ y la corriente

del motor ai . Las entradas son la tensión aV y la fuerza externa ( )tf . El sistema parte del reposo.

Indique claramente la asignación del vector de estados, el vector de salidas y el vector de entradas. Procedimiento 10%, matriz A 5%, matriz B 5%, matriz C 5%.

Problema V 25% (Profesor Mauricio Espinoza B.) En las siguientes figuras se muestran dos curvas que representan el comportamiento de un sistema no lineal cuyo punto de operación es 60%. Una se obtuvo con un cambio en la entrada de 0% a 80% en t = 1.5s y la otra se obtuvo con un cambio en la entrada de 80% a 90% en t = 8s. No necesariamente el orden de las curvas corresponde al orden de la explicación anterior. A partir de la información brindada: 1. (5%) ¿Cuál de estas dos curvas proporcionaría un mejor modelo dinámico para el sistema si

éste se mantiene cerca de su punto de operación? 2. (15%) A partir de la curva elegida en el punto 1., encuentre un modelo matemático para

este sistema. Indique claramente: a. (3%) De que orden es el sistema de acuerdo a la curva elegida, si es sub-amortiguado

o sobre-amortiguado y si es autorregulado, parcialmente autorregulado o no autorregulado.

b. (2%) De que orden va a ser su modelo. c. (10%) La ecuación de su modelo con todos los parámetros identificados. Indique que

método utiliza y porqué lo utiliza. 3. (5%) Realice un boceto de la curva de reacción de su modelo ante una entrada escalón que

varíe de 0% a 20% en t = 2s. Indique puntos importantes en dicha curva. Justifique todas sus respuestas con argumentos vistos en clase o razonamientos válidos. Indique cualquier punto que utilice para el modelado del sistema.

Nombre: Carné: Grupo:

Formulario Segundo Examen Parcial Análisis de Sistema Primer Ciclo 2010. xKfxBfxmF KB ∆⋅=∆⋅=∆=∑ ɺɺɺ

mfmafmb

a

b

a

a

b

b

aKB KViK

R

R

R

RKBJ θτ

ττ

θθθτθτθτ ɺɺɺɺ

21 ,,,,,, ====∆⋅=∆⋅=∆=∑

nP

P

q

qPPqL

dt

dVqqghAqhhkqPPkq

o

i

i

ooioioi ==−==−=−=−= ,,,2,', 21 ɺ

( )A

lRTT

RMcC

dt

dTC

CT

TpToiT σ

ωωω =−==−= ,1

,, 12

TfgTfgfg RRRB

RCCCJmCLLK

L ≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡ 1,,

1

( )( )

+=+=

∆=∆=

∆∆=

∆∆∆=

Tt

Tt

yty

yty

u

yk

u

tyk

m

m

ττ

2

1

2

1 3/,

632.0

284.0,,

/

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) xaxb

a

xb

xa

dx

d

tg

tftgtgtf

tg

tf

dt

d222 2

3,

−=

−=ɺɺ

de 4

UNIVERSIDAD DE COSTA RICA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA IE-0409 Análisis de Sistemas II Ciclo Lectivo 2010 Segundo examen parcial Nombre: _______________________________________ Carné: _________________________________________ Grupo: _________________________________________ Grupo: 01 (Prof. Quesada), 02 (Prof. Espinoza), 03 (Prof. Romero) Instrucciones:

• Terminante prohibido el uso de teléfono celular u otros dispositivos semejantes. • Escriba con lapicero azul o negro para tener derecho a reclamos. • No se permite el uso de calculadoras programables. • No se permite el uso de ningún material de apoyo que no sea entregado por los profesores del curso. • Duración del examen: 3 horas. • Para cada problema, justifique su procedimiento, una respuesta sin procedimiento no será calificada. • Sólo los exámenes limpios y ordenados obtendrán puntos por el procedimiento, los demás serán calificados respecto a la respuesta

final de cada ejercicio si es que se presenta procedimiento.

Parte A (33%) Profesor Jorge Romero Problema I (16%) Sea la siguiente RES de un sistema dado:

Lo anterior es un modelo diferencial tipo II. Encuentre un modelo en variables de estado correspondiente y expréselo en forma matricial. Problema II (17%) Se tiene el sistema de la figura. Se trata de una masa de M kilogramos, sujeta a una pared por un resorte de constante 1K y por un amortiguador de constante 1B . La masa a su vez está siendo

jalada por medio de un resorte de constante 2K por un tambor cilíndrico de radio R que gira a ω radianes por segundo. El tambor tiene un momento de inercia J y es obligado a girar por un torque

aτ . El tambor experimenta un amortiguamiento en su giro debido a un amortiguador viscoso de

constante 2B . Suponga que la entrada del sistema es el torque aτ y que la salida de interés es el

desplazamiento x de la masa. Encuentre un modelo en variables de estado para este sistema, tomando como las variables de estado el desplazamiento angular θ y la velocidad angular ω del tambor, el desplazamiento x y la velocidad v de la masa.

PARTE Puntaje

Parte A

Parte B

Parte C

NOTA FINAL

de 4

Nombre: _________________________________________ Carné: ___________________________________________ Grupo: ___________________________________________ Grupo: 01 (Prof. Quesada), 02 (Prof. Espinoza), 03 (Prof. Romero) Parte B (34%) Profesor Mauricio Espinoza. Problema III Al siguiente sistema de tanques se le incorporó un calentador controlado por la altura de la columna

de agua, este calentador es tal que produce un flujo de calor dado por R

ahw = , donde h es la altura

de la columna de agua, R es una resistencia eléctrica y a es una constante de proporcionalidad. Además, se da un flujo de calor entre el interior del tanque, que se encuentra a una temperatura T y el ambiente, que se encuentra a una temperatura aT . Cualquier otro flujo de calor puede ser

despreciado. Las entradas del sistema son la presión inP , la presión atmosférica atmP y la

temperatura ambiente aT .

L

K2

q0

Ta, Patm

q1

-+

+-

aR

0

Pin

h

A

T

K1

1. (20%) Demuestre que las ecuaciones de estado en forma diferencial para este sistema son:

atmin

a

TpTpp

PPA

kq

Ah

h

T

RAch

T

RAcRAc

aT

qkL

hL

gq

−+⋅−=

⋅+⋅−=

⋅−⋅=

10

202

2

0

1

11

1

&

&

&

ρρρ

ρ

dondeρ es la densidad del líquido, pc su calor específico, TR es la resistencia térmica de todo el

tanque, A es el área del fondo del tanque y:

[ ] [ ] [ ]00 ,, qTyTPPuhTqx Taatmin

TT ===

2. (14%) Determine el modelo en variables de estado linealizado si el punto de operación se

define como:

[ ] [ ] [ ]0000000000000 ,, qTyTPPuhTqx Taatmin

TT ===

Suponga, por simplicidad, que todos los parámetros del sistema tienen un valor unitario (incluida la constante gravitacional). Deje el modelo de forma matricial.

Parte B

de 4

Nombre: _________________________________________ Carné: ___________________________________________ Grupo: ___________________________________________ Grupo: 01 (Prof. Quesada), 02 (Prof. Espinoza), 03 (Prof. Romero) Parte C (33%) Profesor Roger Quesada Problema IV (11%) Obtener la Red Generalizada del siguiente sistema.

Problema V (11%) Considere el siguiente modelo en variables de estado

[ ] )(01)(

)(7

0)(

)155.1(7

10)(

txty

tuK

txKTK

tx

=

+

+−−=

Determine el valor de K y T tal que la sobre-elongación máxima no exceda 25% y que el tiempo de asentamiento al 2% sea de 3.0s. Problema VI (11%) Considere la siguiente FT y determine el valor de P para obtener una respuesta:

( ) ( )( )PssssG

+++=

155

102

a) Dominante sub-amortiguada. b) Dominante de primer orden c) Respuesta de tercer orden

Parte C

de 4

Formulario Segundo Examen Parcial Análisis de Sistema Segundo Ciclo 2010. xKfxBfxmF KB ∆⋅=∆⋅=∆=∑ &&&

mfmafmb

a

b

a

a

b

b

aKB KViK

R

R

R

RKBJ θτ

ττ

θθθτθτθτ &&&&

21 ,,,,,, ====∆⋅=∆⋅=∆=∑

nP

P

q

qPPqL

dt

dVqqghAqhhkqPPkq

o

i

i

ooioioi ==−==−=−=−= ,,,2,', 21 &

( )A

lRTT

RMcC

dt

dTC

CT

TpToiT σ

ωωω =−==−= ,1

,, 12

TfgTfgfg RRRB

RCCCJmCLLK

L ≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡ 1,,

1

−−

=⇒

= −

ac

bd

AA

dc

baA

)det(

11 DBAsICsH +−= −1)()(

( ) ( ) ( )

[ ] ( )txy

tu

a

tx

a

a

a

a

a

a

a

a

tx

nn

n

nnn

•

•

−

=

⋅

+

−−−−

=

001

1

0

0

0

0000

0100

0010

1210

L

M

L

MOMMM

L

L

L

&

de 5

UNIVERSIDAD DE COSTA RICA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA IE-0409 Análisis de Sistemas I Ciclo Lectivo 2011 Segundo examen parcial Nombre: __________________________________________ Carné: ____________________________________________ Grupo: ____________________________________________ Grupo: 01 (Prof. Romero), 02 (Prof. Espinoza), 03 (Prof. Quesada) Instrucciones:

• Terminante prohibido el uso de teléfono celular u otros dispositivos semejantes. • Escriba con lapicero azul o negro para tener derecho a reclamos. • No se permite el uso de calculadoras programables. • No se permite el uso de ningún material de apoyo que no sea entregado por los profesores del curso. • Duración del examen: 3 horas. • Para cada problema, justifique su procedimiento, una respuesta sin procedimiento no será calificada. • Sólo los exámenes limpios y ordenados obtendrán puntos por el procedimiento, los demás serán

calificados respecto a la respuesta final de cada ejercicio si es que se presenta procedimiento. (Engrape esta hoja a la solución de esta parte) Parte A (30%) Profesor Mauricio Espinoza B. El siguiente problema debe ser resuelto utilizando los conceptos del curso y valiéndose de herramientas de cursos anteriores. Justifique todo el procedimiento e indique claramente cualquier concepto del curso que utilice. Si no explica su procedimiento o no indica algún concepto, el procedimiento realizado no será tomado en cuenta. El siguiente circuito, es equivalente a tres tanques (representados por los capacitores) conectados por dos válvulas (representadas por las resistencias) y a una válvula de salida (representada por la resistencia en paralelo con un capacitor). Usted está interesado(a) en que cada tanque posea un nivel determinado, lo que es equivalente a que cada capacitor tenga una tensión determinada. Para ello, usted puede depositar un caudal en uno de los tres tanques, lo que equivale a conectar una fuente de corriente en paralelo con uno de los capacitores. ¿En cuál capacitor conectaría usted la fuente de corriente, en el de la izquierda, en el de la derecha o en el del centro?

0.25

0.5

0.5

1 1 1

PARTE Puntaje

Parte A

Parte B

Parte C

Extra

Total

de 5

Nombre: _________________________________________ Carné: ___________________________________________ Grupo: ___________________________________________ Grupo: 01 (Prof. Romero), 02 (Prof. Espinoza), 03 (Prof. Quesada) (Engrape esta hoja a la solución de esta parte) Parte B (40%) Profesor Roger Quesada T El siguiente es un banco de prueba para medir la deformidad de un cuerpo, con constante de elasticidad k . El sistema consta de un motor DC alimentado por la tensión aV , en la salida del

motor se tiene un momento de inercia MJ . La presencia de los roles, implica una fricción viscosa

B . El eje del motor se conecta a una caja de transmisión con engrane de radios 2R , 1R ( 2R < 1R )

para reducir la velocidad de giro de la carga y aumentar el par aplicado al cuerpo. Al engrane 1R se

conecta el cuerpo de estudio, cuya inercia rotacional es PJ . Para determinar su resistencia, uno de sus extremos se conecta a un soporte fijo. La idea del sistema es determinar el máximo ángulo de giro pθ antes de que el cuerpo se destruya, por lo general esta prueba es destructiva. Para verificar

la resistencia sin llegar a la destrucción, se toma una de las salidas de la caja con engranaje 3R y se

aplica a un cuerpo patrón con inercia rJ y elasticidad Rk . Determine el modelo en variables de estado del sistema si la entrada es la tensión aV y las

salidas son los ángulos pθ y rθ (posición angular del cuerpo bajo prueba y el de la carga de

referencia).

Parte B

de 5

Nombre: _________________________________________ Carné: ___________________________________________ Grupo: ___________________________________________ Grupo: 01 (Prof. Romero), 02 (Prof. Espinoza), 03 (Prof. Quesada) (Engrape esta hoja a la solución de esta parte) Parte C (30%) Profesor Jorge Romero C. Problema I (15%) Las siguientes ecuaciones normalizadas provienen del modelado de un sistema combinado térmico-hidráulico, e identifican un MVE:

Las entradas del sistema representado son: 1eq , 2eq (caudales); 1ew , 2ew (flujos de calor), aT

(temperatura ambiente). Las variables de estado son: 1h , 2h (alturas del líquido en dos tanques distintos); 1T , 2T (temperaturas de los líquidos dentro de cada tanque).

a) (5%) Utilice el concepto de modelos estáticos y encuentre los puntos de operación para las alturas del líquido (1h , 2h ) y las temperaturas (1T , 2T ).

b) (10%) Encuentre las entradas de la matriz de estados del modelo linealizado, en términos de las constantes definidas.

Problema II (15%) El sistema de la figura, describe tres receptáculos contiguos a temperaturas 1T , 2T y 3T , con sus

capacitancias térmicas respectivas 1TC , 2TC y 3TC . Entre el receptáculo 1 y el 2 hay una pared

metálica de resistencia térmica 1TR , y entre los receptáculos 2 y 3 hay otra pared de resistencia

térmica 2TR . A todo este arreglo lo rodea una superficie de resistencia térmica 3TR ; fuera de esta

superficie está una región a temperatura ambiente aT . Los receptáculos 1 y 3 reciben flujos de calor

1Ew y 2Ew , respectivamente. Estos flujos de calor junto con la temperatura aT , son las entradas del

sistema. Tome como variables de estado las temperaturas 1T , 2T y 3T , y escriba las ecuaciones del

MVE, poniendo como salida la temperatura 2T . Disponga su solución en forma matricial.

Parte C

de 5

Formulario Segundo Parcial Análisis de Sistemas Primer Semestre 2011

)()(' txWtx =

)()(')(' 1 tuWBtxWAWtx += −ɺ

)()(')( 1 tuDtxCWty += −

)()( * txTtx =

)()()( 1*1* tuBTtxATTtx −− +=ɺ

)()()( * tuDtxCTty +=

xKfxBfxmF KB ∆⋅=∆⋅=∆=∑ ɺɺɺ

mfmafmb

a

b

a

a

b

b

aKB KViK

R

R

R

RKBJ θτ

ττ


21 ,,,,,, ====∆⋅=∆⋅=∆=∑

oioioi PPqLdt

dVqqghAqhhkqPPkq −==−=−=−= ɺ,,2,', 21

( )A

lRTT

RMcCTC

C

T

T

pToiTσ

ωωω =−==−= ,1

,, 12ɺ

TfgTfgfg RRRB

RCCCJmCLLK

L ≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡ 1,,

1

de 5

Nombre: _________________________________________ Carné: ___________________________________________ Grupo: ___________________________________________ Grupo: 01 (Prof. Romero), 02 (Prof. Espinoza), 03 (Prof. Quesada) (Engrape esta hoja a la solución de esta parte) Extra (10%) Profesor Mauricio Espinoza B. El siguiente problema debe ser resuelto utilizando los conceptos del curso y valiéndose de herramientas de cursos anteriores. Justifique todo el procedimiento e indique claramente cualquier concepto del curso que utilice. Si no explica su procedimiento o no indica algún concepto, el procedimiento realizado no será tomado en cuenta. Cualquier error de concepto anulará inmediatamente todo el puntaje que se asigne al problema. Se dice que en el siguiente circuito, al cerrar el interruptor, el inductor eventualmente se quemará debido a un exceso de corriente ¿Es cierto?

+Vx-

1

2

2Vx Vin1

Extra

UNIVERSIDAD DE COSTA RICA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA IE-0409 Análisis de Sistemas II Ciclo Lectivo 2011 Segundo examen parcial Nombre: ______________________________________ Carné: ________________________________________ Grupo: ________________________________________ Grupo: 01 (Prof. Jorge), 02 (Prof. Mauricio), 03 (Prof. Rodolfo) Instrucciones:


calificados con respecto a la respuesta final de cada ejercicio si es que se presenta procedimiento. • Engrape esta hoja a la solución de esta parte.

Parte A (30%) Profesor Rodolfo Espinoza. Para el sistema de tanques mostrado obtener:

1. Modelo en variables de estado. (10%)

2. Modelo en variables de estado linealizado. (10%)

3. Muestre el modelo obtenido sustituyendo los valores de los parámetros dados. (10%)

El tanque de área A es un tanque cerrado y H0 es la presión interna. Las entradas son: q1(t), q2(t) la salida el nivel del tercer tanque h2(t), K = 1/Rh.

Para la parte 3 utilizar: g = 10 m2/s, ρ = 1000 Kg/m3, A = A1 = A2 = 1 m2. Suponga H0 = 104 (presión constante), K = 0.01 Puntos de operación: q1* = 1 m 3/s, q2* = 1 m3/s, Patm* = 1x105 Pa (Presión atmosférica)

PARTE Puntaje

Parte A

Parte B

Parte C

NOTA FINAL

Nombre: _________________________________________ Carné: ___________________________________________ Grupo: ___________________________________________ Grupo: 01 (Prof. Jorge), 02 (Prof. Mauricio), 03 (Prof. Rodolfo) (Engrape esta hoja a la solución de esta parte) Parte B (30%) Profesor Jorge Romero C. El sistema físico que se muestra en la figura, está compuesto por un circuito electromecánico interconectado con un tanque. La resistencia aR calienta el fluido dentro

del tanque, en tanto que el motor de corriente directa, que está unido a una carga inercial con momento de inercia J , está girando a una velocidad angular mω y agita al fluido

dentro del tanque para uniformizar su temperatura T . Como se muestra, la carga inercial sufre un amortiguamiento de constante B . Del tanque, sale un cierto caudal q . La

temperatura del fluido es T , su densidad volumétrica ρ , su calor específico es pc y su

volumen es V .

1. Obtenga el modelo en variables de estado. Tome como variables de estado (en ese

orden) a la corriente ai , a la velocidad angular mω y a la temperatura T . (20%)

2. Suponiendo un modelo estático, encuentre una relación entre la corriente ai y la

temperatura del fluido T . (10%)

Nota: el flujo de calor generado por la resistencia es igual a la potencia consumida por esta.

Parte B

Nombre: _________________________________________ Carné: ___________________________________________ Grupo: ___________________________________________ Grupo: 01 (Prof. Jorge), 02 (Prof. Mauricio), 03 (Prof. Rodolfo) (Engrape esta hoja a la solución de esta parte) El siguiente problema debe ser resuelto utilizando los conceptos del curso y valiéndose de herramientas de cursos anteriores. Antes de aplicar cualquier procedimiento justifique por qué lo hace e indique claramente cualquier concepto del curso que utilice. Si no explica su procedimiento, no lo justifica antes de hacerlo o no indica algún concepto, el procedimiento realizado no será tomado en cuenta. Parte C (40%) Profesor Mauricio Espinoza B. En el siguiente circuito, se debe diseñar el valor de Rmca y,, para lograr los siguientes objetivos simultáneamente: 1. Que cualquier tensión o corriente eléctrica del circuito, una a la vez, pueda poseer

cualquier valor que se desee modificando las entradas de este por un tiempo acotado. (20%)

2. Que cuando las entradas se apaguen, cualquier tensión o corriente en el circuito tienda a cero conforme el tiempo tienda a infinito, independientemente de las condiciones iniciales del circuito. (20%)

Si es posible, diseñe el valor de los anteriores parámetros, sino, indique por qué. El valor de los parámetros tienen las siguientes restricciones; 33 ≤≤− a , 14 ≤<− c , 33 ≤≤− m y

1001 << R . Suponga que el sistema es invariante en el tiempo y que cualquier tipo de modelo que determine para el sistema (MVE, RES, RESE, FT, etc) lo va a representar perfectamente si se determinó correctamente.

Parte C

Formulario Segundo Examen Parcial Análisis de Sistema

xKfxBfxmF KB ∆⋅=∆⋅=∆=∑ ɺɺɺ

mfmafmb

a

b

a

a

b

b

aKB KViK

R

R

R

RKBJ θτ

ττ


21 ,,,,,, ====∆⋅=∆⋅=∆=∑

oioioi PPqLdt

dVqqghAqhhkqPPkq −==−=−=−= ɺ,,2,', 21

( ) TqcA

lRTT

RMcC

dt

dTC p

C

T

T

pToiT ∆==−==−= ρωσ

ωωω ,,1

,, 12

TfgTfgfg RRRB

RCCCJmCLLK

L ≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡ 1,,

1

UNIVERSIDAD DE COSTA RICAFACULTAD DE INGENIERÍAESCUELA DE INGENIERÍA ELÉCTRICAIE-0409 Análisis de Sistemas

I Ciclo Lectivo 2012Segundo examen parcial

Problema Puntaje

PrimeraParte

Problema 1 (20%)

Problema 2 (20%)

Problema 3 (10%)

SegundaParte

Problema 4 (20%)

Problema 5 (30%)

Total

Nombre: ______________________________________Carné: ________________________________________Grupo: ________________________________________

Grupo: 01 (mañana) y 02 (tarde) (Prof: José David), Grupo 03 (Prof. Mauricio)

Instrucciones:• Terminante prohibido el uso de teléfono celular u otros dispositivos semejantes.• Escriba con lapicero azul o negro para tener derecho a reclamos.• No se permite el uso de calculadoras programables.• No se permite el uso de ningún material de apoyo que no sea entregado por los profesores del curso.• Duración del examen: 3 horas.• Sólo los exámenes limpios y ordenados obtendrán puntos por el procedimiento, los demás serán calificados con

respecto a la respuesta final de cada ejercicio si es que se presenta procedimiento.• Engrape la solución de cada parte del examen por separado con sus respectivos enunciados. Cada profesor va

a revisar los problemas que propuso.• Para la solución de cada problema, el razonamiento realizado debe ser explicado ampliamente. Una respuesta

sin razonamiento o explicación del procedimiento no será calificada. Además, debe justificar cualquier suposición o elección de variables que realice

Problema 1(20%): En la figura siguiente se muestra un sistema hidráulico que contiene una bomba y una válvula de control.

1/5

La bomba hace que el caudal de salida esté dado por:

donde es la tensión de alimentación de la bomba y es la diferencia de presiones en la bomba (la cual descarga a la atmósfera). Por otro lado, el caudal de entrada se controla mediante la variación del coeficiente de apertura de la válvula de control 1 y depende también del valor de la presión de entrada . Se puede considerar que la presión atmosférica, la constante gravitacional, el área transversal del tanque y la densidad del líquido poseen un valor unitario.Existen algunas restricciones en las entradas que se deben tomar en cuenta

1. Determine un modelo del sistema que describa la dinámica del nivel del tanque. (5%)

2. Determine el valor máximo de la presión para que el tanque no se desborde en ningún caso. (15%)

Problema 2 (20%): Para el mismo sistema del Problema 1, si además se sabe que la presión de entrada cumple que

con N/m2

1. ¿Cuál es el punto de operación del sistema en el cual se llega más rápidamente a un nuevo estado estacionario si se aplica una entrada escalón en alguna de sus entradas y cuánto tarda aproximadamente en alcanzarlo? (15%)2. ¿Cuál es el punto de operación del sistema en el cual se llega más lentamente a un nuevo estado estacionario si se aplica una entrada escalón en alguna de sus entradas y cuánto tarda aproximadamente en alcanzarlo? (5%)

Problema 3 (10%): Suponga que, para el mismo sistema del Problema 2, en el punto de operación , , y , la función de transferencia del

sistema viene dada por:

1. ¿Es posible lograr que el nivel del tanque no varíe si se da un cambio en y se puede manipular ?. Suponga que . Si es posible ¿Cuánto tendría que ser ? Si no es posible, indique por qué.

1 El coeficiente de apertura de la válvula es el inverso de su resistencia hidráulica

2/5



Problema 4

Problema 4 (20%) Se desea obtener una función de transferencia de un sistema en un punto de operación particular. Partiendo de este punto de operación, se aplica una entrada escalón y se grafica la respuesta del sistema junto con la entrada, tal y como se muestra en la figura siguiente. La salida que se midió sufre de ruido de medición, pero no se espera que el modelo final incluya una aproximación del ruido.

A partir de esta curva de reacción,

1. ¿Indique que modelo usaría y por qué? (3pts)

2. Obtenga un modelo del tipo que indicó en el punto anterior que represente bien la dinámica del sistema para ese punto de operación. Indique claramente el procedimiento que utilizó para obtener los parámetros del modelo y marque en la curva de reacción dada todas las mediciones que realice (17pts)

3/5



Problema 5

Problema 5 (30%) Suponga que el anclaje de un camión con su remolque se puede modelar como en la figura siguiente

donde y son los desplazamientos del cabezal y el remolque respectivamente, es la fuerza que entrega el motor del camión, es la masa del cabezal, es la masa del remolque, es la constante de amortiguación del anclaje, es la constante del resorte y además se supone que la fricción se podría modelar también como un amortiguamiento con constante de amortiguación . Con esta información:

1. Obtenga un modelo en variables de estado del sistema si las salidas son y y la entrada es . (15pts)

2. Dibuje la red generalizada del sistema donde las transvariables sean las velocidades y las pervariables las fuerzas. (10pts)

3. Suponga que, dando ciertos valores a los parámetros del sistema, se llega a la siguiente función de transferencia entre la entrada y el desplazamiento del remolque:

Encuentre una función de transferencia de orden 2 a partir de esta función de transferencia (5pts)

4/5

Formulario 2do Parcial Análisis de SistemasTabla de Transformación de Laplace

f(t) F(s)

)(' tf )0()( fssF −

)('' tf )0(')0()(2 fsfsFs −−

ate−

as +1

ab

ee atbt

−−

( ) ( )bsas −−1

ba ≠

ab

aebe atbt

−−

( ) ( )bsas

s

−− ba ≠

∫ −t

dtgf0

)()( τττ )()( sGsF

sen( )ate tω−2 2( )s a

ωω+ +

cos( )ate tω−2 2( )

s a

s a ω+

+ +

K (1−e−tτ )

Ks (τ s+1)

K [1−e−ξωn t(cos(ωn √1−ξ2 t)+

ξ

√1−ξ2sen (ωn √1−ξ

2t))] K ωn2

s (s+2ξωn s+ωn2)

ωd=ωn√1−ξ2

σ=ξωn

t r=1ωd

tan (−ωdσ ) t p=

πωd

M p=100 e−ξπ

√1−ξ2

t s ,2%=4σ

t s ,5%=3σ

Φ(t )=L−1 (s I−A )−1

1 1a b d bA A

c d c aA− − = ⇒ = ÷ ÷−

1 1

a b c

A d e f

g h i

e f b c b c

h i h i e f

d f a c a cA

g i g i d fA

d e a b a b

g h g h d e

−

÷= ⇒ ÷ ÷

− ÷

÷ ÷ ÷= − − ÷ ÷ ÷− ÷

ρ v12

2+ρgh1+P1=

ρ v22

2+ρgh2+P2

5/5

C.3. Tercer Parcial 293

C.3. Tercer ParcialLos temas que se estudian en este parcial corresponden a los Capítulos 6, 7 y 8


IE–0409 Análisis de SistemasTercer ParcialII Ciclo 2007

Instrucciones:1. Terminantemente prohibido el uso de celulares.2. Escriba con lapicero negro o azul para tener derecho a reclamo.3. No se permite el uso de calculadoras programables.4. No se permite el uso de ningún material de apoyo.5. Duración del examen: 2 h:30min6. Para cada problema, indique el procedimiento completo, no omita pasos intermedios y

numere las ecuaciones que son utilizadas en pasos posteriores para hacer la referenciarespectiva. Si requiere dibujar un circuito o un gráfico, debe ser de excelente presentación, para ello utilice instrumentos apropiados.Si el resultado final del problema es incorrecto, solo aquellos exámenes limpios y ordenados podrán obtener puntos en elprocedimiento, los demás serán calificados según la respuesta final obtenida.

Nombre_______________________________________ Carné______________ Profesor____________________

1. Problema 1. (25%) Un sistema hidráulico constituido por dos tanques de almacenamiento de agua se muestraen la figura N°1. La entrada del sistema es el caudal )(tqe y la presión atmosférica ATMP , la salida del sistemaes el nivel 2h del tanque 2T . 1K es la constante asociada a la restricción de salida. Debido a la gran distanciaentre los tanques se colocó una bomba a la salida del tanque 1, la cual inyecta el agua por la tubería de longitudno despreciable L . 1A y 4A , corresponden a las áreas de sección transversal de cada tanque. La relación de

bombeo es “n”, donde 2

3

AnA

, y 2A y 3A corresponden a las áreas de sección transversal de la tubería que

entra y sale de la bomba respectivamente.

Figura N°1: Sistema hidráulico del Problema 1

Determine:1. El MVE del sistema no lineal, considere los estados del sistema como

2. Determine el punto de operación del sistema si *2

*1* )(

uu

tu .

3. Encuentre el MVE linealizado del sistema para el punto de operación encontrado.No utilice la Red generalizada para este problema.

PARTE Puntaje

Problema 1

Problema 2

Problema 3

Problema 4

NOTA FINAL

ATM

e

Pq

tuqhh

tx )(,)(

2

2

1

Problema 2. (25 %) La figura N°2 muestra la evolución del nivel de líquido en un tanque cuando el caudal desalida se incrementa a sm32 desde el caudal normal de de operación (referencia marcada como 0). El niveldel líquido disminuye hasta 6m por debajo del nivel de operación. Determine el modelo del sistema utilizandoel método de Smith y Stark.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

Tiempo

Curva de Reacción del Sistema

Figura N°2: Curva de reacción para el Problema 2

Fórmulas de utilidad:

45 15

75 15

t txt t

,20,0805 5,547 0, 475

0,356x

x,

)811,2(708,0)(60,06,2)(

2

2

ff

, 2

75 15

( )n

ft t

, 3 ( ) 0,922(1,66)f ,

345

( )m

n

ft ,n

T12

2,1

smq 3

mh)(s

Problema 3. (25%) (Grúa de carga)Se tiene una grúa que permite el transporte de contenedores de gran peso. Por razones de seguridad, se hace imprescindible elmonitoreo de la deformación de la barra de transmisión, por lo que su deformación neta 2 3 constituirá la salida de este

sistema. El sistema se gobierna haciendo ajustes sobre el voltaje de armadura del motor DC ( )aV y la carga a la cual está

sometida, por efecto del transporte de los contenedores es cf . Su trabajo consiste en determinar, sin utilizar la teoría de la RedGeneralizada, el MVE, sabiendo que tanto la corriente de armadura como la velocidad angular del momento de inercia debenser estados del modelo.

RaLa

VaK

1 2

J

XXXXXXXXXXX

XXXXXXXXXXX

B

R

fc

Problema 4 (25%) (Proceso de enfriamiento no forzado)Considere un sistema compuesto por un contenedor con glicerina, el cual se alimenta en lotes (proceso “batch”) y se dejaenfriar hasta que el mismo alcance la temperatura externa. Como es por lotes, no hay entradas ni salidas de glicerina hasta quela temperatura interna sea igual a la temperatura externa al tanque.a) Dibuje la Red Generalizada del sistema.b) Determine su MVE, considerando la salida como la temperatura interna T1. Los elementos de las matrices del MVE debenser números y no en términos de los parámetros del sistema.

Información adicional:La transferencia de calor es por conducción a través de las paredes y la tapa del contenedor.El recipiente es cilíndrico con un radio de 0,5 m y una altura de 1 m.Las paredes y la tapa tienen un grosor de 2 cm.El nivel de glicerina es de 1 m.El material del tanque es de hierro (conductividad térmica de -1 -180,2 W m K y el de la tapa es debronce -1 -1116 W m K .El calor específico de la glicerina es de -1 -18,86 J kg K .La densidad de la glicerina es de -31260 kg mTemperatura externa 280 K


Tercer Parcial

I Ciclo 2008 Instrucciones:

Terminantemente prohibido el uso de celulares. Escriba con lapicero negro o azul para tener derecho a reclamo. No se permite el uso de calculadoras programables, ni de ningún material de apoyo. Duración del examen: 2:30 horas. Para cada problema, indique el procedimiento completo, no omita pasos intermedios y numere las ecuaciones que son utilizadas en pasos posteriores para hacer la referencia respectiva. Si requiere dibujar o un gráfico, debe ser de buena presentación, para ello utilice instrumentos apropiados. Si el resultado final del problema es incorrecto, solo aquellos exámenes limpios y ordenados podrán obtener puntos en el procedimiento, los demás serán calificados según la respuesta final obtenida.

PRIMERA PARTE. Engrape esta hoja como portada de esta sección. Engrape esta hoja como portada del grupo de hojas que contiene la solución de esta parte

1. Problema 1. (25%) Para el siguiente Diagrama de Bloques, determine:

a. El reograma equivalente.

b. Utilizando el Teorema de Mason, determine las relaciones ( ) 0

( )( )

( )yr

D s

Y sG s

R s =

= , ( ) 0

( )( )

( )ru

D s

U sG s

R s =

= y

( ) 0

( )( )

( )yd

R s

Y sG s

D s =

= .

PARTE Puntaje

Primera Parte

Segunda Parte

NOTA FINAL-

Problema 2. (25%) Determine la FT del sistema cuya respuesta en frecuencia se muestra a continuación. Indique claramente el procedimiento de solución y Exprese su resultado final en términos de la variable compleja s.

-60

-40

-20020406080 Magnitud (dB)

10-2

10-1

100

101

102

103

-180

0

-162

0

-144

0

-126

0

-108

0

-900

-720

-540

-360

-1800

180

Fase (deg)

Diag

ram

a de

Bod

e

Frec

uenc

ia (

rad/

sec)

SEGUNDA PARTE. Engrape esta hoja como portada de esta sección. Nombre________________________________ Carné____________Profesor____________

Problema 1. Para la siguiente FT ( )

2

2 25( )

6 5

K sG s

s s

+=

+ + .

a. (7%) Si K=1, trace el diagrama de Bode asintótico. Utilice el gráfico adjunto y calibre los ejes apropiadamente b. (3%) Para el gráfico obtenido en el punto anterior, trace el diagrama con los ajustes respectivos.

Problema 2. (15%) Con herramientas analíticas determine el valor de K tal que la FT del problema 1 tenga una frecuencia de cruce de magnitud de 150 rad/s. Verifique el resultado gráficamente.

Problema 3. Para la FT definida en el problema 1, con K=1, determine, vía analítica (ecuaciones de módulo y ángulo), la

gráfica polar (7%). Además, Marque en el diagrama polar el punto donde se mediría πω (3%)

Problema 4. (15%) Si el modelo definido en el problema 1, con K=1, tuviese tiempo muerto, determine su valor en segundos de tal forma que la frecuencia de cruce de fase sea de 100 rad/s.


Tercer Parcial




PRIMERA PARTE Engrape esta hoja como portada del grupo de hojas que contiene la solución de esta Parte Nombre_______________________________________ Carné____________Profesor________________ Problema 1 (35%).

Mediante pruebas experimentales realizadas a un proceso industrial estable, LIT, utilizando un generador de ondas sinusoidal y un osciloscopio de doble canal, se levantó la tabla adjunta, la cual muestra la frecuencia de la señal de entrada, la ganancia en dB de la respuesta del sistema y el desfase entre entrada y salida. Realice la identificación experimental del proceso utilizando técnicas de respuesta en frecuencia.

ω (rad/s) Ganancia (dB) Fase (grados) 0,01 -40 0 0,1 -38 40 0,3 -30 50 1 -22 40 5 -20 -25 10 -12 -120 100 -75 -252

nPARTE Puntaje

Primera Parte

Segunda Parte

Tercera Parte

NOTA FINAL


Problema 2. (35%) Trace el diagrama de Bode (Magnitud y Fase) de un modelo cuya FT se muestra a continuación. Incluya los ajustes necesarios, especialmente los correspondientes al pico de resonancia si es que existe

)1·25.0·(

)49.0·14.0)·(2.0·(25)(

2

2

++++=

ss

ssssG


Problema 3 (10%). Realice el Diagrama Polar correspondiente a la siguiente FT. Incluya, en el caso de que existan, las

intersecciones en los ejes y los puntos donde se medirían las frecuencias de corte de fase y magnitud.

1( 1)

( )2

sG s

s

−=+

Problema 4 (10%).

Por el Teorema de Mason determine la FT 1( ) ( ) / ( )G s Y s U s= .

A1( )U s

B

F

C

( )Y s

J2( )U s

D

Problema 5 (10%). Trace el Diagrama Polar

aproximado del sistema cuyo Diagrama de Bode aparece adjunto. Indique claramente los puntos, si es que existen, donde ocurren las frecuencias de corte de fase y magnitud, así como sus valores.

-200

-150

-100

-50

0

50

Mag

nitu

d (d

B)

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

-360

-270

-180

-90

0

Fas

e (d

eg)

Diagrama Bode


IE–0409 Análisis de Sistemas Tercer Parcial I Ciclo 2009 Instrucciones: • Terminantemente prohibido el uso de celulares. • Escriba con lapicero negro o azul para tener derecho a reclamo. • No se permite el uso de calculadoras programables, ni de ningún material de apoyo. • Duración del examen: 3:00 horas • Para cada problema, indique el procedimiento completo, no omita pasos intermedios y

numere las ecuaciones que son utilizadas en pasos posteriores para hacer la referencia respectiva. Si requiere dibujar un circuito o un gráfico, debe ser de excelente presentación, para ello utilice instrumentos apropiados. Si el resultado final del problema es incorrecto, solo aquellos exámenes limpios y ordenados podrán obtener puntos en el procedimiento, los demás serán calificados según la respuesta final obtenida.

PRIMERA PARTE

Engrape esta hoja como portada del grupo de hojas que contiene la solución de esta Parte


Problema 1. 1. Problema 1. (25%) Para el siguiente Diagrama de Bloques de un sistema lineal, determine:

a. (10%) El reograma equivalente.

b. (15%) Utilizando el Teorema de Mason, determine las relaciones 4

1

( )( )

( )

X sM s

X s= , y 4

5

( )( )

( )

X sL s

X s= .

¿cuál sería la función de transferencia completa para la salida del sistema 4( )X s ?

Figura N°1: Diagrama de bloques del sistema lineal, Problema 1

2. Problema 2. (20%) Realice el Diagrama Polar correspondiente a la siguiente FT.

( ) ( )( )2 ( 1)

( )1 2 7

K sL s

s s s

−=+ + + , 0K >

Indique, además del diagrama polar, lo siguiente: • Función de Transferencia en Frecuencia y su Ganancia.

• Ecuación de Magnitud ( )L jω

• Ecuación de Fase ( )L jω∠ , considere la siguiente propiedad: ( ) ( )Arctan 180 Arctanθ θ− = ° −

• Tabla de límites • Indique en el diagrama donde se miden las frecuencias de corte ( cω y πω ). Justifique su respuesta.

PARTE Puntaje

Primera Parte

Segunda Parte

NOTA FINAL



Problema 2. (30%) Trace el diagrama de Bode (Magnitud y Fase) de un modelo cuya FT se muestra a continuación. Incluya los ajustes necesarios, especialmente los correspondientes al pico de resonancia si es que existe.

2

100( 0,2)( 3)( )

(3 0,4 12)

s sG s

s s s

+ −=+ +

Problema 3. (25%) Determine la FT del sistema cuya respuesta en frecuencia se muestra a continuación. Indique claramente el procedimiento de solución y exprese su resultado final en términos de la variable compleja s.

-80

-60

-40

-2002040

Magnitud (dB)

Diag

ram

a de

Bod

e

Frec

uenc

ia (

rad/

sec)

10-1

100

101

102

-150

00

-125

00

-100

00

-750

0

-500

0

-250

0

-90

Fase (deg)



IE-409 Análisis de Sistemas Segundo Examen Parcial Primer Ciclo 2010





demás serán calificados respecto a la respuesta final de cada ejercicio. Problema I 40% (Profesor Miguel Ruphuy C.) Sea una planta controlada cuyo modelo está dado por la siguiente FT:

( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )20

52 ++++

+==sdcssbs

sasGsGsG pc

Donde a, b, c, d son variables controlables. Utilizando las especificaciones en el dominio del tiempo de los modelos de segundo orden, 1. (20%) Determine los valores de a, b, c, y d; y los valores de la frecuencia natural y del

coeficiente de amortiguamiento, tal que se obtenga una respuesta sub-amortiguada cuyo sobrepaso máximo sea del 20%, se obtenga un tiempo de retardo mínimo y una ganancia Ko de 0.1. Justifique claramente las simplificaciones que realice y el cumplimiento de los parámetros de diseño solicitados.

2. (5%) Determine el tiempo de asentamiento en la banda del 5% y el tiempo de retardo. 3. (10%) Grafique la respuesta (y(t) únicamente) ante una entrada escalón unitario e indique

los valores de Mp, Ko y los parámetros determinados en el punto b. 4. (5%) Marcar en el plano complejo “s” la ubicación de los polos y ceros de la función de

transferencia original G(s), con los valores obtenidos en el punto a. (Utilice una ‘x’ para marcar los polos y un ‘o’ para marcar los ceros).

Calificación

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

Problema II 30% (Profesor Mauricio Espinoza B.) Para el siguiente modelo en variables de estado:

( ) ( ) ( )

( ) [ ] ( )txaty

tua

txtx

•

•

=

⋅

+

−−

=

2

111

41ɺ

1. (10%) Determine el valor de la constante a para que un estado no se vea afectado por la

entrada. Suponga que 0≥a . 2. (20%) Si 1=a y se tienen los siguientes vectores fila:

[ ] [ ]2112 =−= YX WW

determine la forma canónica de reconstructibilidad formando la matriz W con XW y YW .

Justifique e indique claramente el orden que deben tener XW y YW para obtener la forma canónica solicitada.

3. (5%) Demuestre que si un estado no se puede determinar por la salida entonces el estado

tenderá a un valor finito conforme el tiempo tiende a infinito. Indique claramente cualquier concepto que utilice.

Problema III 30% (Profesor Mauricio Espinoza B.) Para el siguiente modelo en variables de estado:

( ) ( ) ( )

( ) [ ] ( )txbty

tub

txtx

•

•

=

⋅

−+

−−−

=

1

110

12ɺ

Siendo los auto-vectores de la matriz A:

−=

=

1

1

0

121 vv

1. (10%) Determine el valor de b para que sólo un estado no se pueda determinar a partir de

las mediciones de la salida. Suponga 0>b . 2. (20%) Para 1=b , determine la forma canónica de controlabilidad e indique si el estado

( )tx2 es controlable. 3. (5%) Demuestre que si un estado no se puede manipular por la entrada entonces el estado

tenderá a un valor finito conforme el tiempo tiende a infinito. Indique claramente cualquier concepto que utilice.

de 5

UNIVERSIDAD DE COSTA RICA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA IE-0409 Análisis de Sistemas II Ciclo Lectivo 2010 Tercer examen parcial Nombre: ____________________________________________ Carné: ______________________________________________ Grupo: ______________________________________________ Grupo: 01 (Prof. Quesada), 02 (Prof. Espinoza), 03 (Prof. Romero) Instrucciones:


calificados respecto a la respuesta final de cada ejercicio si es que se presenta procedimiento. (Engrape esta hoja a la solución de esta parte) Parte A (33%) Profesor Mauricio Espinoza B. La siguiente gráfica corresponde a la respuesta de un sistema a una entrada desconocida. Explicando ampliamente su razonamiento en cada punto conteste las siguientes preguntas: 1. (4%) ¿Con sólo ver la respuesta del sistema, se puede afirmar que la entrada del sistema fue

un escalón? 2. Si usted conoce los siguientes datos:

• El tiempo requerido para que la respuesta llegue al 33.3% de su valor en estado estacionario es s4 .

• La ganancia del sistema es 75.0− , y se le aplicó un escalón como entrada, el valor final del escalón fue 70.

Entonces: a) (10%) Dibuje en la misma gráfica el escalón de entrada, si esto es posible, sino, indique

porqué. b) (10%) Obtenga un modelo de primer orden más tiempo muerto para el sistema

utilizando el método de Smith. Indique claramente cualquier punto y medición que necesite sobre la gráfica. De su modelo como una función de transferencia.

c) (10%) Dibuje en la gráfica dada la respuesta de su modelo ante un cambio escalón de entrada de 0 a 20 en st 2= , sea consistente con las mediciones tomadas sobre el sistema del punto anterior. Marque cualquier punto de interés.

PARTE Puntaje

Parte A

Parte B

Parte C

NOTA FINAL

de 5

14 16 18 20 22 24 26 28 3070

75

80

85

90

95

Tiempo (s)

Am

plitu

dRespuesta de un sistema de orden dos o superior

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

Tiempo (s)

de 5

Nombre: _________________________________________ Carné: ___________________________________________ Grupo: ___________________________________________ Grupo: 01 (Prof. Quesada), 02 (Prof. Espinoza), 03 (Prof. Romero) (Engrape esta hoja a la solución de esta parte) Parte B (33%) Profesor Roger Quesada T Problema I (25%) Para el siguiente sistema en MVE: 1. (5%) Determine si el sistema es completa o parcialmente controlable. 2. (5%) Determine la matriz de transformación T hacia la forma canónica de controlabilidad.

Indique explícitamente T1 y T2. 3. (5%) Determine la forma canónica de controlabilidad. 4. (5%) Cual o cuales son los autovalores no controlables (si existiesen). 5. (5%) Determine si el sistema es estabilizable.

[ ] )(101)(

)(

1

0

1

)(

310

232

053

)(

txty

tutxtx

⋅=

⋅

−+⋅

−−

−=ɺ

Se tiene además:

0.7071

0

0.7071-

0.1622

0.5620-

0.8111

0.1622-

0.5620-

0.8111-

346.6464.0

321

321

=

=

=

−=−==

vvv

λλλ

=−

0.5137 0.8898- 0.5137

0.5137- 0.8898- 0.5137-

1.1785 0 0.2357-1T

(Para calcular T no puede simplemente invertir esta matriz) Problema II (8%) Sea un circuito RLC con MVE siguiente; determine el valor de R para que el sistema no sea controlable

( )( )

( )( ) ( )

( ) [ ] ( )( ) ( )tVti

tvtv

tV

L

RCti

tv

L

CRCti

tv

L

CL

L

C

L

C

+

⋅−=

⋅

+

⋅

−

−

=

01

1

1

01

12

ɺ

ɺ

Parte B

de 5

Nombre: _________________________________________ Carné: ___________________________________________ Grupo: ___________________________________________ Grupo: 01 (Prof. Quesada), 02 (Prof. Espinoza), 03 (Prof. Romero) (Engrape esta hoja a la solución de esta parte) Parte C (34%) Profesor Jorge Romero C. Considere el siguiente modelo en variables de estado:

( ) ( ) ( )

( ) [ ] ( )txty

tutxtx

⋅−=

⋅

−+⋅

−−−

=

12

1

4

62

13ɺ

1. (7%) Encuentre la matriz exponencial de este modelo, justificando todos los pasos y dejando

claro el procedimiento. Asimismo, escriba la ecuación de estados. 2. (7%) Haga el análisis de reconstructibilidad del modelo dado. Indique si el modelo es parcial

o completamente reconstructible, justificando su respuesta. 3. (7%) Encuentre la forma canónica de reconstructibilidad. ¿Hay polos no reconstructibles? Si

los hay, diga cuáles son y dé la razón de que lo sean. 4. (6%) Haga el análisis de detectabilidad del sistema. ¿Es detectable el sistema? Justifique su

respuesta. 5. (6%) Calcule la matriz de transformación que convierte el modelo dado en un modelo

desacoplado. Haga una prueba para demostrar que su respuesta es correcta

Parte C

de 5

Formulario Tercer Parcial Análisis de Sistemas

( )( )

+=+=

∆=∆=

∆∆=

∆∆∆=

Tt

Tt

yty

yty

u

yk

u

tyk

m

m

ττ

2

1

2

1 3/,

632.0

284.0,,

/

)()(' txWtx =

)()(')(' 1 tuWBtxWAWtx += −ɺ

)()(')( 1 tuDtxCWty += −

)()( * txTtx =

)()()( 1** tuBTtxtx −+Λ=ɺ

)()( * txCTty =

ATT 1−=Λ

UNIVERSIDAD DE COSTA RICA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA IE-0409 Análisis de Sistemas I Ciclo Lectivo 2011 Tercer examen parcial Nombre: __________________________________________ Carné: ____________________________________________ Grupo: ____________________________________________ Grupo: 01 (Prof. Romero), 02 (Prof. Espinoza), 03 (Prof. Quesada) Instrucciones:


calificados respecto a la respuesta final de cada ejercicio si es que se presenta procedimiento. • (Engrape esta hoja a la solución de esta parte)

Parte A (30%) Profesor Roger Quesada T. Problema I (20%) 1. (10%) Para el siguiente sistema modelado por su función de transferencia, construya el diagrama polar

si 0>k . 2. (5%) Determine el cruce del diagrama por el eje real e imaginario y represente en la gráfica los puntos

donde se encuentran Cω y πω si 1=k .

3. (5%) ¿Cómo se modifica el diagrama si el polo )3( +s se modifica a )3( −s ?

( )( )3

1)(

++=

ss

sksG

Problema II (10%) Dibuje el diagrama polar del siguiente sistema de fase no mínima si 3.0=k .

12

1)(

2 ++−=kss

ssG

Nota: Si lo desea, para la elaboración de ambos problemas, puede utilizar el papel polar al reverso de esta hoja, de lo contrario, haga el diagrama de la mejor forma posible en su cuaderno de examen.

deePARTE

Puntaje

Parte A

Parte B

Parte C

Extra

Total

Nombre: _________________________________________ Carné: ___________________________________________ Grupo: ___________________________________________ Grupo: 01 (Prof. Romero), 02 (Prof. Espinoza), 03 (Prof. Quesada) (Engrape esta hoja a la solución de esta parte)

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

Nombre: _________________________________________ Carné: ___________________________________________ Grupo: ___________________________________________ Grupo: 01 (Prof. Romero), 02 (Prof. Espinoza), 03 (Prof. Quesada) (Engrape esta hoja a la solución de esta parte) Parte B (40%) Profesor Mauricio Espinoza B. La siguiente curva de reacción muestra el comportamiento de un sistema ante una entrada escalón. Pero, resulta que la señal de salida del sistema tiene mucho ruido. Por ello, usted va donde un vendedor y él le muestra tres diagramas de Bode de tres posibles dispositivos para eliminar el ruido. Usted necesita comprar el que le garantice que la curva de reacción del sistema, junto con el dispositivo para eliminar el ruido, no varíe mucho de la que tomó sin el dispositivo. ¿Cuál dispositivo elegiría usted, el primero, el segundo o el tercero? Sugerencias: 1. Antes de comenzar con la solución del problema, escriba el procedimiento que seguirá, eso le

garantizará puntos (si lo hace bien). 2. Para tener un criterio de comparación, sería bueno que usted tuviera un modelo del sistema (se

recomienda uno de primer orden más tiempo muerto) y de cada dispositivo para eliminar ruido. 3. Una vez que tenga el modelo del sistema y de los dispositivos, recuerde que usted debe lograr que el

conjunto “sistema y dispositivo” sea semejante al sistema original.

3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.55

10

15

20

25

30

35

Tiempo (s)

Señ

ales

Parte B

Diagrama de Bode del primer dispositivo

-40

-30

-20

-10

0

10

Mag

nitu

de (

dB)

10-1

100

101

-180

-135

-90

-45

0

Pha

se (

deg)

Frequency (rad/sec) Diagrama de Bode del segundo dispositivo

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

Mag

nitu

de (

dB)

100

101

102

103

-90

-45

0

Pha

se (

deg)

Frequency (rad/sec) Diagrama de Bode del tercer dispositivo

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

Mag

nitu

de (

dB)

100

101

102

103

90

135

180

Pha

se (

deg)

Frequency (rad/sec)

Nombre: _________________________________________ Carné: ___________________________________________ Grupo: ___________________________________________ Grupo: 01 (Prof. Romero), 02 (Prof. Espinoza), 03 (Prof. Quesada) (Engrape esta hoja a la solución de esta parte) Parte C (30%) Profesor Jorge Romero C. Problema I (15%) A partir del modelo en variables de estado indicado, encuentre un diagrama de bloques (en el dominio de la variable compleja s) que lo represente. Suponga condiciones iniciales nulas. Utilice en su representación del diagrama de bloques, nodos para suma y resta, multiplicadores y cajitas rectangulares.

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( )( )

( )( )( )

( )( )( )

+

=

+

=

tu

tu

tu

tx

tx

tx

ty

ty

tu

tu

tu

tx

tx

tx

cfe

bd

a

tx

tx

tx

3

2

1

3

2

1

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

200

002

101

010

006

050

301

0

00

&

&

&

Al construir su diagrama de bloques, ubique las entradas a mano izquierda y las salidas a mano derecha, en tanto que las variables de estado debe indicarlas sobre el diagrama de bloques donde aparezcan. Así:

3

22

11

u

yu

yu

Problema II (15%) Utilice el teorema de Mason y la teoría de diagramas de flujo o reogramas para encontrar el valor de la variable 2x del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

321

321

321

5.34.22.68.5

2.52.25.12.7

1.52.35.27.3

xxx

xxx

xxx

++=++=++=

Sugerencia: Despeje de la primera ecuación la variable 1x , de la segunda 2x y de la tercera 3x . Luego,

coloque los nodos en la siguiente secuencia: 1 x1 x2 x3 y luego aplique a continuación lo que sabe.

Parte C

Nombre: _________________________________________ Carné: ___________________________________________ Grupo: ___________________________________________ Grupo: 01 (Prof. Romero), 02 (Prof. Espinoza), 03 (Prof. Quesada) Extra (5%) Profesor Mauricio Espinoza B. Trabajo para la casa. Fecha de entrega miércoles 6 de julio a las 2 p.m. A continuación se harán las siguientes definiciones:

=:)(sG Modelo del sistema (el que determinó en este examen). =:)(sH Modelo del dispositivo para eliminar el ruido (el que determinó en este examen). =:)(sF Sistema (el bloque de Simulink® del sistema se encuentra en el sitio virtual de la cátedra del curso

en la carpeta de “documentos y enlaces” y se llama “examen.mdl”). 1. Anote el modelo (la función de transferencia) del sistema de la parte B: =)(sG 2. Anote el modelo (la función de transferencia) del dispositivo para eliminar el ruido que usted eligió en

la parte B: =)(sH 3. Utilizando el programa Simulink®, aplique un escalón de 0 a 10 en st 1= a )(sG y a )(sF . Muestre el

escalón, la respuesta de )(sF y la respuesta de )(sG en una misma gráfica y con un mismo eje y. Comente si )(sG se aproxima )(sF .

4. Aplique un escalón de 0 a 10 en st 1= a )(sF y a )()( sHsF ⋅ . Muestre el escalón, la respuesta de

)()( sHsF ⋅ y la respuesta de )(sF en una misma gráfica y con un mismo eje y. Comente si la respuesta de )()( sHsF ⋅ se aproxima a la respuesta de )(sF .

5. Aplique un escalón de 0 a 10 en st 1= a )(sG y a )()( sHsF ⋅ . Muestre el escalón, la respuesta de

)()( sHsF ⋅ y la respuesta de )(sG en una misma gráfica y con un mismo eje y. Comente si )(sG se aproxima a )()( sHsF ⋅ .

Notas:

• No se permiten impresiones de pantalla de las gráficas, las curvas se deben copiar apropiadamente a un procesador de texto.

• Por cada gráfica que se muestra, se debe presentar el diagrama de bloques usado para su elaboración. No se permiten impresiones de pantalla del diagrama de bloques.

• El documento donde se muestren todos los puntos aquí solicitados debe ser realizado en forma digital y subido al sitio virtual de la cátedra del curso en la sección de tareas, en la tarea llamada “examen”.

• Se debe indicar claramente el nombre de la persona, su grupo y su carné de la misma forma que se hace en este examen.

• Se debe entregar el documento en formato .doc y en formado .pdf.

Extra

Formulario

( )( )

p

nr

r

n

jjj

jG

jG

M

G

G

7943.05.0

3.57

21

212

1

2

2

1

=

−=∠−=∠−=

−=

∆

∆=∑

=

ς

ωτωωτω

ςωω

ςς

( )( )

+=+=

∆=∆=

∆∆=

∆∆∆=

Tt

Tt

yty

yty

u

yk

u

tyk

m

m

ττ

2

1

2

1 3/,

632.0

284.0,,

/

IE-409 Análisis de Sistemas Tercer Examen Parcial Segundo Ciclo 2011

Nombre: __________________________________ Carné: ____________________________________ Grupo: ____________________________________ (Grupo 1: Jorge Romero, Grupo 2: Mauricio Espinoza, Grupo 3: Rodolfo Espinoza)

Instrucciones:

• Terminante prohibido el uso de teléfono celular u otros dispositivos semejantes.

• Escriba con lapicero azul o negro para tener derecho a reclamos. • No se permite el uso de calculadoras programables. • No se permite el uso de ningún material de apoyo que no sea entregado por los profesores del curso. • Duración del examen: 3 horas. • Para cada problema, justifique su procedimiento, una respuesta sin procedimiento no será calificada. • Sólo los exámenes limpios y ordenados obtendrán puntos por el procedimiento, los demás serán

calificados respecto a la respuesta final de cada ejercicio. Parte A (25%) Profesor Mauricio Espinoza En la figura 1 se muestra la respuesta de un sistema a un escalón de entrada (no se sabe ningún otro dato de la entrada). Por otro lado, en la figura 2 se muestra parte de la respuesta en frecuencia del mismo sistema. A partir de la información de ambas gráficas y los datos conocidos, complete la respuesta en frecuencia que se muestra en la figura 2 hasta una frecuencia de 0.1rad/s.

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

55

60

65

70

75

80

85

Tiempo (s)

Sal

ida(

%)

Figura 1: Respuesta al escalón de un sistema

Parte Nota

A

B

C

Total

Figura 2: Respuesta en frecuencia de un sistema Formulario


Parte B (35%) Profesor Rodolfo Espinoza. El siguiente es un diagrama de bloques del sistema de control de velocidad de una turbina:

en donde:

RP∆ es la referencia de potencia (valor deseado de potencia, watts).

gT es la constante de tiempo del sistema de control de velocidad (gobernador).

tT es la constante de tiempo de la turbina.

H es la inercia de la turbina [ Hz / Watts].

mP∆ es el cambio de la potencia mecánica entregada por la turbina

dP∆ es el cambio de la potencia eléctrica de la carga (cambio en la demanda, watts)

R es el ajuste de sensibilidad del gobernador de velocidad [watts/Hz]. Cuando se produce un cambio en la carga eléctrica, se produce un desbalance con la potencia mecánica entregada por la turbina (mP∆ ), esto produce un cambio en la frecuencia

( ( )sF∆ ) de la red (normalmente 60 Hz). El control debe enviar señales a la turbina para restablecer la frecuencia nominal.

1. (10%) Hallar la función de transferencia ( ) ( )( )sP

sFsG

d∆∆=

2. (15%) Para sTt 3,0= , sTg 2,0= , 1,0=R W/Hz y 101,0 ≤≤ H , hallar valores de H

de forma que el sistema responda de forma: a. Subamortiguada 5%. b. Sobreamortiguada 5%. c. Inestable 5%. Explique desde el punto de vista físico, la razón de cada uno de estos comportamientos.

3. (10%) Para 1=H , hallar la función de transferencia aproximada para un sistema de II orden (polos dominantes).

Parte B


Parte C (40%) Profesor Jorge Romero. Primer problema (15%) El siguiente circuito es un circuito paralelo RLC, con una fuente de corriente descrita por:

Encuentre la expresión en el dominio del tiempo en estado estacionario correspondiente a la tensión, a partir de los parámetros R, L, C y de la expresión de la fuente de corriente. Sugerencia: no hace falta usar la transformada de Laplace; no es necesario. Segundo problema (10%) Observe las gráficas de magnitud y fase siguientes. Hay una de las siguientes funciones de transferencia que corresponde a tales gráficas. Indique la función correcta pero justifique su respuesta.

Tercer problema (15%) Dibuje la gráfica polar que corresponde a la siguiente función:

Siga el siguiente procedimiento para hacer tal dibujo:

a. Reemplace la variable s por ωj .

b. Separe ( )ωjG en parte real y en parte imaginaria. c. Encuentre los cruces por los ejes real e imaginario y los valores de ω donde tales

cruces se dan, junto con el valor de ( )ωjG correspondiente.

d. Evalúe ( )ωjG en los valores de 0=ω y ∞=ω .

Parte C






Tercer examen parcial

Problema Puntaje

Primera

Parte Problema 1 (30%)

Segunda

Parte

Problema 2 (30%)

Problema 3 (40%)

Nombre: ______________________________________

Carné: ________________________________________

Grupo: ________________________________________

Instrucciones: Revise que este examen conste de 2 páginas impresas por los dos lados de la hoja y una página con el formulario.





Duración máxima del examen: 4 horas.

Sólo los exámenes limpios y ordenados obtendrán puntos por el procedimiento, los demás serán calificados con

respecto a la respuesta final de cada ejercicio si es que se presenta procedimiento.

Engrape la solución de cada parte del examen por separado con sus respectivos enunciados. Cada profesor va a

revisar los problemas que propuso.

Para la solución de cada problema, el razonamiento realizado debe ser explicado ampliamente. Una respuesta sin

razonamiento o explicación del procedimiento no será calificada. Además, debe justificar cualquier suposición o

elección de variables que realice.

Problema 1 (30%)

En la Figura 1 y Figura 2 se muestra el diagrama polar y la respuesta al escalón de un sistema. A partir de estas

dos gráficas responda las siguientes preguntas:

1. (7.5%) ¿Cuál sería el valor de la constante de tiempo de un modelo de primer orden más tiempo muerto para

el sistema?

2. (7.5%) ¿Cuál es el valor del tiempo muerto del sistema?

3. (7.5%) ¿Cuál es el valor de la ganancia en estado estacionario del sistema? ¿Cuál fue el valor de la magnitud

del escalón que se le aplicó al sistema?

4. (7.5%) ¿Se puede asegurar que la cantidad de polos del sistema menos la cantidad de ceros del sistema es 4?

Figura 1: Primer diagrama para el problema 1

Figura 2: Segundo diagrama para el problema 1

-4 -2 0 2 4 6 8 10-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

Re[H(i)]

Im[H

( i)]

=0=

8 10 12 14 16 18 20 22 24 2636

40

44

48

52

56

60

64

Tiempo (s)

Sa

lida

(%

)

Nombre: ______________________________________

Carné: ________________________________________

Grupo: ________________________________________

Problema 2 (30%):

1. (15%) Obtenga un diagrama de bloques del sistema representado por el siguiente sistema de ecuaciones

3

1 112 11 10 1 10 13 2

221

2

1

2

2 22

2

20 21 20 22

1 2

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

d x t d x t dx ta a a x t b u t

dt dt dt

d x t dx t du ta a x t b b u

dt dt dt

y xx

t

t t u t

Sólo se puede utilizar puntos de suma (resta), bloques integradores, bloques de ganancias y un solo

bloque no lineal.

2. Considere el siguiente sistema donde la entrada es Vin y la salida es V3:

Vin

R

C

L

R

R C

R

V1V2 V3

Figura 3: Sistema del Problema 2

a. (15%) Obtenga un diagrama de bloques para este sistema. Este diagrama de bloques debe

cumplir las condiciones siguientes:

Las funciones de transferencia de cada bloque no pueden ser genéricas (es decir, no se

puede escribir la función de transferencia sólo como G(s), por ejemplo), sino que se

deben expresar en términos de los parámetros del sistema y de la variable s.

Las funciones de transferencia de cada bloque deben ser propias.

Problema 3 (40%): Obtenga la función de transferencia del sistema cuyo diagrama de Bode se presenta en la

Figura 4 . Debe marcar sobre el diagrama de Bode todas las mediciones que realice y justificar cada paso que

necesite para obtener la función de transferencia final. No puede utilizar el color rojo para las marcas sobre el

diagrama de Bode.

¡Puntos extras! (15%): En el caso de que haya respondido todas las preguntas del examen, puede optar por

realizar el siguiente ejercicio para ganar puntos extras. Los puntos extra sólo contarán, si la nota total de los 3

problemas es mayor a 50:

1. Obtenga la función de transferencia entre Vin y V3, para el sistema de la Figura 3. Engrape esta parte junto

con los problemas 2 y 3

Nombre: ______________________________________

Carné: ________________________________________

Grupo: ________________________________________

Figura 4: Diagrama de Bode del problema 3

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

Magnitud (

dB

)

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

104

-450

-405

-360

-315

-270

-225

-180

-135

-90

Fase (

deg)

Diagrama de Bode


Formulario

Identificación

En todos los casos: Ky

u

T representa la constante de tiempo y L el retardo

Planta de primer orden más tiempo muerto (Método de Ho)

85 35

35 85

0,670

1,290 (1 1.290)

L t t

T t t

Planta de polo doble más tiempo muerto (Método 123c)

75 25

25 75

T = 0,5776(t -t )

L = 1,5552t -0,5552t

Planta de segundo orden sobreamortiguada (Método 123c)

25 50 75

25 50 75

75 25

75

0,624 0,9866 0,3626

0,3533 0,7036 0.3

0,9866 0.7036

(1,3421 1,3

50

)

3

455

t t

a

t t ta

t t t

L T

T

t a

Fórmula de ganancia de Mason

1

Nk k

k

MM

1 2 31 i j k

i j k

L L L

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333

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Índice alfabético

Actuador, 7

Bode inverso, 179

Cajablanca, 20gris, 20negra, 20

Ceros, 55, 175, 184de fase no mínima, 131, 169

Controlabilidad, 105Controlador, 7Curva de reacción, 125

Delta de Dirac, 52Descomposición, 29Descomposición de Kalman, 114Detectabilidad, 113Diagrama de bloques, 189Diagrama de Bode, 170Diagrama de flujo, 200Diagrama polar, 181

Ecuación característica, 101Ecuación de Bernoulli, 89Engranes, 77Entradas, 13

determinísticas, 13estocásticas, 13

Estabilidad, 101Estabilizabilidad, 110Estado, 25, 26

alcanzable, 28cero, 28

estacionario, 28, 92

Factor de amortiguamiento, 177Factor derivativo, 172, 182Factor integral, 172, 182Forma canónica

controlable, 108observable, 112

Función de transferencia, 53

Ganancia, 125, 172

Half rule, 133Homogeneidad, 29

Impedancia, 57Inercia rotacional, 76

Ley de Fourier, 83Ley de Ohm, 31Leyes de Kirchhoff, 33, 57Linealidad, 29Linealización, 95Ludwig von Bertalanffy, 6

Masa, 69Matriz de transición de estados, 49Matriz exponencial, 48Medio, 10Modelado

analítico, 20experimental, 20

Modelosanticipativos, 18causales, 18

335

336 Índice alfabético

con memoria, 18definición, 15estáticos, 92invariantes en el tiempo, 17lineales, 17no lineales, 17parámetros concentrados, 18parámetros distribuidos, 17sin memoria, 18tiempo continuo, 16tiempo discreto, 16variantes en el tiempo, 17

Motor de corriente directa, 79

Parámetros, 10Perturbaciones, 13Pervariable, 66Pico de resonancia, 177Polos, 55, 102, 173, 182

dominantes, 132Principio de dualidad, 113Propiedad

de muestreo, 12

Reactanciacapacitiva, 57inductiva, 57

Red generalizada, 66Relación Entrada Salida, 26Relación Entrada Salida Estado, 26Resorte de torsión, 76Respuesta

a entrada cero, 46, 54a estado cero, 52al impulso, 53en frecuencia, 165forzada, 12, 13natural, 12, 14

Retardo, 123, 125, 169, 185

Salidas, 13Segunda ley de Newton, 69Sensor de nivel, 7

Sistema, 10, 25conceptual, 10dual, 114eléctrico, 30, 68físico, 10hidráulico, 87mecánico rotacional, 74mecánico traslacional, 69térmico, 83

Sistema de primer orden más tiempo muer-to, 125

Sistema de segundo orden más tiempo muer-to, 126

Skogestad, 133Superposición, 17, 29

Teoría General de Sistemas, 6Tiempo muerto, 125Transformada de Laplace, 27Transvariable, 66

Universo, 10

Valores propios, 102Variables de estado, 11, 26, 40, 44

propiedades, 27


folleto analisis

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