flujo_compresible_isotermico

Flujo_Compresible_Isotermico_080417_V0 1 de 7

Ingeniera de las Operaciones Fsicas

Desarrollo de las ecuaciones necesarias para realizar el clculo de caeras simples.

Flujo compresible isotrmico.

2008

Ing. Guillermo SIRI


FLUJO COMPRESIBLE Flujo isotrmico en un conducto de seccin constante Aplicando los distintos balances a un elemento diferencial de una caera de seccin constante tenemos: Balance de energa mecnica

2 dPvd + g dh + + We + Ev = 0

2

(1) El balance de energa mecnica y el de cantidad de movimiento generan la misma informacin por lo que son mutuamente excluyentes. En este caso el Balance de Energa Mecnica se puede reducir a:

2 dPvd + + Ev = 0

2

(2) ya que la variacin de energa potencial en el caso de gases es despreciable y el sistema no realiza trabajo sobre los alrededores por medio de superficies mviles. El trmino que considera la conversin irreversible de energa mecnica en calor se puede expresar como:

2dL vEv = 4 f

D 2

(3)

reemplazando la ecuacin (3) en el balance de energa mecnica (2) tenemos

2 2dP dLv vd + + 4 f = 0

2 D 2

(4) Suponiendo que el gas que circula en el sistema es un gas que cumple con la ley del los gases ideales se debe cumplir PV RT= (5)

RTVP

= (6) este volumen est dado en m3/mol, para pasar a m3/kg debemos dividir por el peso molecular del gas

mRTV

P PM= (7)

la densidad del gas es la inversa del volumen por unidad de masa por lo que


P PMR T

= (8)

P R TPM

= (9) reemplazando la ecuacin (8) en el balance de energa mecnica (ecuacin (4)):

2 2dP R T dLv vd + + 4 f = 0

2 P PM D 2

(10) Dividiendo por v2/2 nos queda:

2

2 2

d 2R T 1 dP dLv + + 4 f = 0PM P Dv v

(11) Despejando P de la ecuacin de estado (9) y diferenciando se obtiene la siguiente relacin:

RP = TPM

(12)

R Rd P = dT + T d PM PM

(13) dividiendo miembro a miembro las dos ecuaciones anteriores obtenemos:

d P d T d = + P T

(14) teniendo en cuenta que el caso que estamos considerando es isotrmico,

d P d = P

(15) del balance de materia tenemos v S = cte (16) diferenciando S d v + S vd + v dS = 0 (17) dividiendo las dos ecuaciones anteriores miembro a miembro nos queda:


d v d dS + + = 0v S

(18) para este sistema

d dv = - v

(19) ya que hemos restringido el estudio a conductos de seccin constante, adems,

2

2

d v 1 d v = v 2 v

(20) por lo que

2

2

d P 1 d v = - P 2 v

(21) reemplazando en el balance de energa mecnica queda:

2 2

2 4

d R T dLv dv - + 4 f = 0PM Dv v

(22) Recordando la definicin del nmero de Mach,

2

2 v = Ma R TPM

(23)

2 2R = T v MaPM (24)

2 2 2R R = dT + T dv Ma dMaPM PM (25) dividiendo las dos ecuaciones anteriores miembro a miembro

2 2

2 2

dTdv dMa = +Tv Ma

(26) como el caso que estamos analizando es isotrmico nos queda:

2 2

2 2dv dMa = v Ma

(27)


reemplazando v por Ma en el balance de energa tenemos:

2 2

2 4

d 1 dLMa dMa - + 4 f = 0DMa Ma

(28) El resultado de la integracin de la ecuacin (28) es:

ln 21 2 1

2a

i2 2 2a a a

1 1 1 LM + - = - 4 f + KDM M M

(29)

El mximo nmero de Mach que se puede alcanzar en rgimen isotrmico en un conducto de seccin constante es igual a ()-0,5, reemplazando este valor en la ecuacin anterior

ln1 1

*

i2 2a a

1 1 1 L+ - = - 4 f + KDM M

(30)

donde L* indica que es la mxima longitud de caera por la que se podr circular el caudal msico indicado con la presin de entrada definida para generar el valor de Ma1 a la entrada de la caera.

ln1 1

*

i2 2a a

1 1 L+ 1- = - 4 f + KDM M

(31)

ln1 1

*

i2 2a a

1 1 L- = - 4 f + -1KDM M

(32)

Tambin se pudo integrar la ecuacin diferencial en funcin de v con el siguiente resultado

ln22

i2 2 21 2 1

RT 1 1 Lv + - = - 4 f + KPM Dv v v

(33)

Teniendo en cuenta que v=G/ y reemplazando en la ecuacin anterior

( )ln2

2 21i2 12 2

2

1 RT L+ - = - 4 f + KPM DG

(34)

y que P1/P2=1/2 , 1 =P1 PM/RT, 2 =P2 PM/RT tenemos

( )ln21 2 2

2 1 i222

1 PM LP + - = - 4 f +P P KRT DGP

(35) recordando que RT/PM=P/ y que para sistemas isotrmicos RT/PM=P1/1=P2/2

( )ln2

2 211i2 12 2

12

1 LP+ - = - 4 f + KDG

(36)


( )ln 1 2 21 2 1 i22 1

1 LP2 + - = - 4 f +P P KDGP P

(37) Si despejamos de la ltima ecuacin el flujo msico nos queda:

( )

ln

2 211 2

2 1

1i

2

-P PP = G

L P4 f + +2 KD P

(38)

del anlisis de la misma vemos que si P2 = P1 no existe flujo, si disminuimos P2 el flujo comienza a ser mayor que cero, pero en el caso de que P2 tienda a cero el denominador tiende a infinito por lo que G tiende a cero. Este comportamiento indica que el flujo msico presenta un valor mximo en funcin de P2. Derivando el flujo msico G con respecto a P2 e igualando a cero obtendremos el valor de P2 que hace mximo al flujo msico.

( ) ( )ln

ln

1 2 21 12 i 1 2

1 2 1 22

2 1i

2

L 2P- 2 4 f + +2 - - - P K P PDdG P P P P2G = dP L P4 f + +2 KD P

(39)

en el mximo la dG/dP debe ser cero para lo cual el numerador debe ser cero.

( ) ( )ln 1 2 21 12 i 1 21 2 1 2

L 2P0 = - 2 4 f + +2 - - - P K P PDP P P P

(40)

( ) ( )ln 1 2 21 12 i 1 21 2 1 2

L 2P 2 4 f + +2 = - P K P PDP P P P

(41)

recordando que

( ) ln 122 21 1 2 i1 2

L P - = 4 f + +2 GP P KDP P

(42)

y reemplazando en la ecuacin anterior

( ) ln ln1 121 2 i i1 2 2 2

L L 2P P 2 4 f + +2 = 4 f + +2 GP K KD DP P P P

(43)

simplificando


( ) 21 21 2

2 2 = GPP P (44)

max max22 221 2 21

= = G vPP

(45) por lo que vmax es

max22 22 12

1 22

P P = = vP

(46)

ya que en los sistemas isotrmicos RT/PM=P1/1=P2/2 = cte. Teniendo en cuenta esta velocidad mxima posible en el sistema isotrmico, el nmero de Mach mximo es:

2

2maxiso2 2

maxiso

P R T 1v PM = = = =Ma R R R T T TPM PM PM

(47)

2maxiso 1 = Ma (48)

maxiso 1 = Ma (49) 0.5maxiso = Ma (50)

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