Flujo de FluidosFlujo de Fluidosyy

Transporte de MasaTransporte de Masa

Objetivos:Objetivos:•• Se introducirSe introduciráá los conceptos fundamentales que los conceptos fundamentales que

gobiernan el flujo de fluidos cercanos a la superficie gobiernan el flujo de fluidos cercanos a la superficie del medioambiente. del medioambiente.

•• Comenzaremos con la discusiComenzaremos con la discusióón de los siguientes n de los siguientes conceptos:conceptos:

1. Presión de Fluido (fluid pressure)2. Carga Hidráulica (hydraulic head) 3. Potencial de Fluido (fluid potential)

Donde cada uno constituye una medida de energDonde cada uno constituye una medida de energíía. a.

1. Presión de Fluido

•• Consideraremos en primer caso la presiConsideraremos en primer caso la presióón en tierra n en tierra agua y a medida que avancemos se introduciragua y a medida que avancemos se introduciráá el el concepto de carga hidrconcepto de carga hidrááulica. ulica.

•• Para poder entender al concepto de presiPara poder entender al concepto de presióón de n de fluido consideremos el siguiente experimento.fluido consideremos el siguiente experimento.

ExperimentoExperimentoTomamos un cilindro ligeramente mTomamos un cilindro ligeramente máás alto de 1.0m de largo s alto de 1.0m de largo cerrado en el fondo excepto por un mecanismo que permita el cerrado en el fondo excepto por un mecanismo que permita el control del drenaje del agua desde la base de la columna si se control del drenaje del agua desde la base de la columna si se desea (Ver figura 2.1). desea (Ver figura 2.1). Comenzaremos en la parte inferior de la columna moviComenzaremos en la parte inferior de la columna moviééndonos ndonos hacia arriba, el mecanismo de medicihacia arriba, el mecanismo de medicióón presin presióónn--agua estagua estááinstalado en intervalos de 10cm de longitud. Asinstalado en intervalos de 10cm de longitud. Asíí tenemos 11 tenemos 11 puntos de medida de presipuntos de medida de presióón a lo largo de la longitud de la n a lo largo de la longitud de la columna. columna. Ahora llenamos la columna con arena hasta la parte superior Ahora llenamos la columna con arena hasta la parte superior hasta el valor 1m, ashasta el valor 1m, asíí que la arena llena todo el cilindro excepto que la arena llena todo el cilindro excepto una pequeuna pequeñña distancia de 1cm en el tope, la cual permanece a distancia de 1cm en el tope, la cual permanece vacvacíía. a. En seguida llenaremos el recipiente con agua con tinta azul hastEn seguida llenaremos el recipiente con agua con tinta azul hasta a aparecer saturada, con ningaparecer saturada, con ningúún desbordamiento del agua en la n desbordamiento del agua en la parte superior de la columna. Asparte superior de la columna. Asíí que tomamos nuestra columna que tomamos nuestra columna de agua que llena el espacio del poro de los 100cm de arena, de agua que llena el espacio del poro de los 100cm de arena, ademademáás del cents del centíímetro extra de la parte superior de la columna. metro extra de la parte superior de la columna.

Si el agua en la columna está estática y la parte superior de la columna está abierto a la atmósfera, entonces el mecanismo de medición de presión muestra la figura 2.1. La presión se incrementa linealmente mientras se incrementa en el fondo. La pendiente que muestra la función presión contra profundidad es igual a la densidad del agua multiplicada por el valor constante de la gravedad que es:

donde,; denota la presión del agua [M/LT2]; está denotada como la densidad del agua [M/L3]; es la constante de aceleración de la gravedad [L/T2]

Podemos entender esto por una simple consideración del peso del agua. Para el sistema de la columna, la presión de la parte superior de la columna es igual a la presión atmosférica, la cual es una medida del peso de lo gases atmosféricos por encima de la superficie de la tierra, expresada como medida fuerza por área.

gz

pw

w ρΔΔ

=

gz

pw

w ρΔΔ

=

wρwp

g

Mientras nos movemos en forma decreciente hacia el fondo de la columna d, entonces buscamos que la presión del agua empuje en forma ascendente debe balancear el peso del aire y el agua empujada Recordemos que la presión tiene unidades de fuerza por área. Así que la fuerza de balance toma la forma (ver figura 2.2)

( ) ( ) ( )2a

2w

2w rprgdrp ππρπ +=

donde,r; es el radio del cilindro pa ;denotado como la presión del aire (presión atmosférica).Observamos que directamente que la presión está en función del fondo d es:

aww pgdp += ρ

Si definimos el indicador de presión como la presión relativa hacia la presión atmosférica, así que la referencia de presión (la presión donde colocamos a p=0) corresponde a la presión atmosférica, entonces la presión del agua es simplemente la gravedad especifica del agua, definida como la densidad, la constante de gravedad el fondo. Si z es una coordenada vertical, definida positiva creciente, y si la referencia de elevación está marcada como z=0 corresponde a la parte baja de la columna, entonces la presión del agua es:

( ) ( )zLgzp ww −= ρ (2.1)

donde,L; es el longitud de la columna.Finalmente usaremos una medida de presión que tiene la dimensión del largo de la columna. Llamaremos esta medida normalizada presión de carga (pressure head), denotada por el símbolo , definida por:wψ

gpw

ww ρ

ψ = (2.2)

Notemos que la presión de carga muestra en nuestra columna de agua estática estádada, por la ecs (2.1) y (2.2), por

( ) ( )zLzw −=ψA continuación consideraremos un experimento más interesante y complejo

•Vaciar algo de agua de la columna por la parte inferior hasta el nivel de 50cm.

Examinando la medida de la presión para este drenado parcial del sistema estático, de nuevo indica una relación lineal con el fondo de 50cm, como se muestra en la figura 2.3. Sin embargo, ahora la localización de pw=pa está en el fondo de 50cm. Por que la función pw(z) tiene una pendiente igual a ρwg, la región de la columna donde z>50cm la región de la columna donde z>50cm muestra que la presión está por debajo de la presión atmosférica. Significa un indicador de presión negativo. Tal presión negativa del agua, relativa a la presión atmosférica es característico en la zona de la tierra donde coexisten agua y aire. La cuestión puede surgir como negativa puede recibir presión negativa del agua. La presión atmosférica es equivalente a la presión ejercida por 10.3m de agua. Una vez que estemos a una distancia más grande que 10.3m por encima de la superficie freática (la elevación donde la presión es atmosférica), tenemos un problema.

Si el agua es continua (en el sentido relacionado al límite de la zona de saturación), y el agua está estacionaria, el peso del agua conduciría a un decrecimiento continuo en la presión como un incremento en la elevación. Pero entonces la presión en el agua estaría por encima 10.3m para convertirse menos que presión absolutamente cero. Esto no es posible, una de nuestras suposiciones estaría en un error. La suposición invalida es que el agua podría ser continua en está elevación. Por que la presión máxima negativa podría encontrase en -10.3m de agua, este es el máximo peso por encima de la superficie freática en la cual la continuidad del agua puede fundirse en la tierra, suponiendo que el fluido está estático. Por encima de la elevación del agua estará solamente existe un paquetes de aislantes tal como (pendular rings) alrededor de los puntos de contacto de dos granos de tierra, o como películas delgadas que podrían cubrir los granos de tierra. Los resultados de esta información se muestran en la figura (2.3).

2. Carga Hidr2. Carga Hidrááulica ulica Para examinar el perfil de la presión más de cerca, no trazaremos solamente la presión pero también la elevación a lo largo de la columna (ver la figura 2.3). Note que en el caso no hay fluido en movimiento tal como se indica en la figura 2.3, esas dos líneas con pendiente en direcciones opuestas. En otras palabras, la presión de carga (pressure head), expresada en unidades largas, incrementando en el fluido como la elevación de la medida del punto de decrecimiento. Esto parece razonable, en menor que la proporción de la columna bajo 50cm puesto que el peso del agua en un punto inferior a la elevación podría ser muy grande debido al incremento demasiado de la altura del agua en la columna. La existencia de presión negativa o presión menor que la atmosférica más de 50cm es muy curiosa.

Vamos a tomar el asunto un paso más legos. La suma de los valores que aparecen sobre las dos curvas se basan en la figura 2.3 presentan una tercera curva tal como se basan en la figura 2.4.

La suma de las cargas de las presiones, de nuevo expresan unas largas unidades, más la elevación, ambas medidas están en algún punto a lo largo de la columna, está base es una constante. Denotamos está suma como la carga hidráulica. En algún tiempo esta fue llamada “carga total”, por que estaba hecha de dos partes, de la carga de la presión como se ilustra en la primera grafica a lo adecuado de nuestro experimento. Así si asumimos por el momento que el agua es incompresible, observamos que tenemos la siguiente relación:

( ) ( ) ( )zzhzh p ξ+= (2.3)

h(z); representa la carga total(una función de coordenadas verticales de z).h(z); es la carga de la presión. ξ(z);es la elevación de la carga.

Notemos que al asegurar este análisis se hace sentido, deberíamos usar como punto de referencia, además de unidades comunes de medición de cada una de esas cantidades. En otras palabras la referencia de presión es ser medido de algún punto físico como la referencia de la elevación. También recordamos que la carga de presión corresponde a definida en la ec. (2.2). por lo tanto tenemos:

( )gzph wp ρ

ψ == (2.4)

Notamos que en nuestra columna contiene arena y agua que el color cambiante hasta la marca de 50cm. La razón de esto es que la cantidad de agua en el poro es cambiante: la menor tinta de agua está sostenida en la tierra por la tensión superficial, muchos como una esponja huecos en el agua. La capacidad para suspender la capacidad en un medio poroso por medio de la tensión superficial es llamada capilaridad.

3.Fluido Potencial3.Fluido PotencialLa teoría fundamental que gobierna los conceptos de flujo de fluidos en medios porosos es que los fluidos se mueven principalmente en respuesta al gradiente de la energía potencial nosotros estamos interesados en esto por que algo que usa la velocidad como una variable (o estado) principal preferiríamos expresar la velocidad en términos de más variables principales practicas. Un candidato es el fluido potencial, el cual observaremos anteriormente, está cercanamente relacionado con el concepto de la presión del fluido y el concepto de carga.La energía potencial total reservada en una unidad de masa del fluido en un estado específico es el trabajo requerido para transformar el fluido desde un estado de referencia arbitraria desde un estado específico bajo consideraciones. Por ejemplo, si estábamos por transformar una parte de la unidad de masa del liquido inicial en el estado de referencia, con elevación z=0, presión p=patm,, volumen especifico V=V(patm,)2, y la velocidad v=0 a otros estados z,p,V(p), y v el potencial total por unidad de masa con respecto a la referencia del estado, el cual denotamos por y esta dado por:

( ) 2v

pdpdzggh

2p

p

z

z atm0

++== ∫∫ ρφ (2.5)

•Desde una perspectiva física, uno puede describir la presión del fluido desde nuestra referencial parcial.

•Como el cambio del estado de energía por unidad de masa como el fluido parcial experimenta un cambio en la presión desde patm, hacia p, es decir V(patm) hacia V(p), el cual para la unidad de masa constante, está relacionado a la densidad como ρ(p)=1/V(p)

•Puede ser debido al movimiento parcial a través de demasiada agua estática en la columna o una presión adicional incrementada debido al flujo de fluido dentro del sistema.

•Así la elasticidad del fluido en los resultados parciales resultan un incremento (o decremento) en la energía de reserva por unidad de masa requerida hacia la aceleración parcial desde el resto de la velocidad v.

•El potencial de un fluido en un punto específico es el trabajo requerido para transformar una unidad de masa del fluido desde un estado estándar elegido arbitrariamente hacia un estado en un punto bajo consideración.

Podemos también notar que la densidad es reciproca al volumen estático: V=1/ρ. Desearíamos buscar el trabajo requerido para transformar la unidad de masa de un fluido desde el inicio hasta el estado final y hacer esto, imaginemos una bomba construida a lo largo de las líneas indicadas por la figura 2.5. Esto consiste en un de un cilindro con un pistón con baja fricción sobre frente está la cámara del fluido y en la parte posterior un perfecto vacío. La entrada y salida de las válvulas están suministrando.

Imaginemos la transformación de ser efectuada por los siguientes pasos:

1. Bajo condiciones estándar, retirando lentamente el pistón y la carga del cilindro con la unidad de masa del fluido. El trabajo hecho por el pistón sobre el fluido es entonces

• A continuación levantamos la bomba con este fluido contenido en el punto P de la elevación z. el trabajo expresado para esto es:

donde gz es el trabajo requerido para levantar la unidad de masa del fluido, mpgz es lo que se requiere para levantar la bomba sola.

001 Vpw −=

gzmgzw p2 += (2.6)

• el contenido del cilindro es inyectado dentro del sistema en el punto P. el trabajo requerido para esto es:

pVpdVw 0V

V3 += ∫ (2.7)

El primer termino del lado derecho de la ec. (2.7) es el trabajo de comprensión del fluido en orden a subir está presión desde p0 hacia p antes puede ser inyectado. La el termino pV es el trabajo de la inyección contra la presión p.

1. El fluido se acelera desde una velocidad de cero que estas dada por v, requiriendo una cantidad de trabajo.

.2vw

2

4 = (2.8)

1. El cilindro está de vuelta en la posición inicial es decir en elevación cero, asícompletando el ciclo. Así requerimos una cantidad de trabajo

.gzmw p5 −= (2.9)

La suma de estás está separada por una cantidad de trabajo que es el potencial del fluido en el punto P. ejecutando la adición y la cancelación de términos que se repiten en la igualdad entonces tenemos:

∫ +++−= 0V

V

2

00 2vpVpdVVpgzφ (2.10)

En está ecuación. El primer y el último término del lado derecho son la energía potencial gravitacional y la energía cinética, respectivamente. El significado del tercer término es mejor visualizarlo por el significado del el “diagrama indicador”de la figura 2.6, en el cual la presión del cilindro está contra el pistón desplazado por ambos fluidos compresible e inmiscible.

Si el fluido es inmiscible, una condición que satisface aproximadamente por líquidos rangos ordinarios de presión.

∫ == 0VV0pdV , (2.11)

En este caso la presión-volumen trabajo disminuye a (p-p0)V, y la ec.(2.10) se simplifica de la siguiente manera:

( )2vVppgz

2

00 +−+=φ (2.12)

Por una transformación matemática podemos convertir la ec.(2.10) en otra forma que tiene un significado físico puede no ser inmediatamente aparente, pero el cual

se demostrara de gran utilidad después. Para este efecto haremos uso del factor que

d(pV)=pdV+Vdp

∫ ∫∫ −= VdpdpVpdV (2.13)

Entonces por definición de integral, está se convierte

∫∫∫ −= 000 p

p

pV

pV

V

VvdpdpVpdV

∫+−=p

p000

VdppVVp (2.14)

Sustituyendo este valor por en la ec. (2.10) transformamos la ecuación dentro

2vVdpgs

2p

p0

++= ∫φ

∫0V

VpdV

(2.15)

El cual cuando se sustituye 1/ρ por V, tememos:

2vdpgz

2p

p0

++= ∫ ρφ (2.16)

Una interpretación grafica de la ec. (2.14) es fácilmente proporcionar por nada que el área encerrada por el diagrama indicador de la figura 2.6 (a) es igual al trabajo llevado acabo por la bomba por ciclo y de esto obtenemos:

∫p

p0

Vdp ∫p

p0

dpρ

o

Nótese que la ec. (2.16) es esencialmente como nuestra ec. (2.5) obtenida Φ≡gh y alguna condición de referencia usada por Gubert.Por que la velocidad del flujo en agua subterránea es pequeña, la energía cinética potencial es normalmente ausente y estará ausente de nuestra formulación, así que hay dos componentes mayores de nuestro mecanismo de energía potencial la cual contribuye significativamente al flujo de fluido en agua subterránea: el potencial gravitacional y la presión potencial. La exposición a la relación entre el fluido potencial y la carga hidráulica define pronto, rescribiremos la ec. (2.5) en términos de potencial por unidad de peso, el cuales Φ/g esto produce:

∫∫ +==p

p

z

z atm0 pgdpdz

gh

)(ρφ

(2.17)

Donde tenemos que dividir ambos lado por g y por ρ(p) está definida por una relación de fluido compresible. Notemos que el potencial total por unidad de peso, h, tiene unidades de longitud. También observamos que esta expresión corresponde a nuestra definición temprana de carga total, h, como se introdujo en la ec. (2.17). para un caso especial donde ρ es constante y z0=0, ec. (2.17) llega a ser:

gppzh atm

ρ−

+= (2.18)

donde

wpatm h

gpp ψ

ρ==

−

Es llamada presión de carga y fue presentada anteriormente en la ec. (2.4).El camino más general para la aproximación del concepto de potencial es en términos de potencial por unidad de volumen:

( ).atmppgzgh −+= ρρ (2.19)

Está forma de potencial tiene unidades de presión y no añadiremos las restricciones sobre la función de densidad. La presión potencial de un fluido puede ser cualquiera positivo o negativo dependiendo respectivamente si el fluido saturado al espacio poroso o partes del espacio poroso con uno o más fluidos.El termino (p-patm) fue considerado anteriormente en nuestra discusión de presión menos la atmosférica, en la ec. (2.19) observamos cuando el agua está en reposo, el incremento en la elevación de 10.3 por arriba de la tabla del agua (la superficie donde p-patm) es aprovechada. La altura por arriba de los 10.3m por arriba de la tabla del agua uno podría mantener un concepto de potencial solamente si la presión p estádebajo del cero absoluto, el cual es imposible. En tal caso, las fuerzas adicionales entran en la definición de potencial incluyendo el rango corto de la fuerza superficial asociada con la capa fina del agua sobre la superficie sólida.El valor de la carga puede ser medido en un punto con un aparato llamado piezómetro de carga. El adjetivo piezómetro no tiene otro significado físico.