Alfredo Olvera GAlfredo Olvera Góómezmez

Condiciones de Superficie LibreCondiciones de Superficie LibreReducciReduccióón de dimensin de dimensióón n IntrusiIntrusióón Salinan SalinaFormulaciFormulacióón de una Dimensin de una Dimensióón n Coordenadas CilCoordenadas Cilííndricasndricas

Condicione de superficie libreCondicione de superficie libre

Cuando analizamos nivel freCuando analizamos nivel freáático del acutico del acuíífero, en fero, en ocasiones tomamos el nivel freocasiones tomamos el nivel freáático como la tico como la frontera superior de nuestro dominio. Nosotros frontera superior de nuestro dominio. Nosotros ya sabemos que, por definiciya sabemos que, por definicióón que la presin que la presióón n del nivel fredel nivel freáático es igual a la presitico es igual a la presióón n atmosfatmosféérica, el nosotros trica, el nosotros tíípicamente asignamos picamente asignamos como una referencia de la presicomo una referencia de la presióón de cero. Por n de cero. Por lo tanto mientras sabemos estas condiciones, el lo tanto mientras sabemos estas condiciones, el problema observamos que usualmente no problema observamos que usualmente no sabemos la localizacisabemos la localizacióón del nivel fren del nivel freáático, que es tico, que es una parte importante que deseamos predecir.una parte importante que deseamos predecir.

El nivel freático se muestra como la superficie se etiqueta en la figura 4.7.

DefiniciDefinicióón:n:

Sea Sea z=(z=(x,y,tx,y,t)) una funciuna funcióón de altura del nivel n de altura del nivel frefreáático, donde z esttico, donde z estáá en funcien funcióón de n de x,yx,y y y tt, la , la localizacilocalizacióón del nivel fren del nivel freáático varia con respecto tico varia con respecto ((x,yx,y) espacio y tiempo. Una equivalencia a la ) espacio y tiempo. Una equivalencia a la funcifuncióón anterior, sabemos que por definicin anterior, sabemos que por definicióón n asumiremos que la funciasumiremos que la funcióón es igual a cero n es igual a cero cuando, cuando, z=bz=b entonces elegimos la funcientonces elegimos la funcióón de la n de la siguiente manera siguiente manera F(x,y,z,tF(x,y,z,t)=z)=z--b(x,y,tb(x,y,t)) esto esto significa que un punto sobre la superficie de la significa que un punto sobre la superficie de la funcifuncióón corresponde a un punto del nivel n corresponde a un punto del nivel frefreáático tendrtico tendráá siempre un valor de . siempre un valor de . F(x,y,z,tF(x,y,z,t)=0)=0

Haciendo uso del concepto introducido de derivada substancial (o derivada material) y sabemos que siempre está definida por F(x,y,z,t)=0, si permanecemos sobre la superpie, entonces

(1)

donde hp es la presión de la carga, ζ carga de elevación. También sabemos que la presión de carga está dada por:

(5)

(6)

(7)

ReducciReduccióón de Dimensin de DimensióónnCuando uno trabaja con modelos continuos en general siempre se trabajan con el espacio tridimensional, más la variable del tiempo, si el problema es transitorio, esto en ocasiones es conveniente reducirlo de dimensión. Por ejemplo la mayoría de los acuíferos tienen poco espesor en su dimensión vertical, sobre el orden de los diez metros, relativamente a su área extendida, la cual en ocasiones son miles de kilómetros. Por lo tanto es razonable eliminar la dimensión vertical .

Modelo de dimensiones físicasEn general se asume que el estudio del flujo y transporte de agua subterránea necesita una representación de tres dimensiones. Sin embargo en ocasiones lo más común es simplificar el modelo a tres dimensiones de flujo y reducirlo a un modelos de dos dimensiones tomando la coordenada vertical como el promedio.

Considerando la representación de tres dimensiones del acuífero. Para poder eliminar la dimensión vertical hacemos que la distancia que (b-a) sea parte de mi dominio, que involucra el proceso de integración.

Integral vertical de la ecuaciIntegral vertical de la ecuacióón de flujon de flujo

Para poder entender como un modelo complicado se puede transformase en un modelo de menor dimensión, despreciaremos la dimensión vertical en el modelo de flujo agua subterránea uno debe revisar que es lo que pasa desde el punto de vista matemático y físico. Comenzaremos flujo de fluidos en aguas subterráneas ecuación de conservación de la masa.

Para poder eliminar la dimensión vertical sacamos el promedio vertical y normalmente es reemplazado por sumas que en un concepto más abstracto se hace uso de la integral la cual hace uso de que b-a es la altura del acuífero.

(7)

(8)

donde como ya sabemos b(x,y,t) representa la parte superior del acuífero y a(x,y,t) la parte inferior del acuífero, haciendo uso de la regla de Leibnitz, uno puede mostrar la siguiente equivalencia

)(⋅∇ xy está definido como el gradiente en dos dimensiones

La expansión de las coordenadas por ecuación (8) produce lo siguiente

(9)

(10)

(11)

El termino de la derivada de tiempo es tratado de la misma forma

Donde usando un promedio de valores para Sh que es de acuerdo a la ley de Darcy sabemos que

Integrando obtenemos el siguiente resultado:

(12)

(13)

(14)

K es un vector unitario en la dirección de las coordenadas en z. Combinando las ecuaciones (12), (13),(14) y (15) en ecuación (1) obtenemos:

(15)

Está ecuación es equivalente a la ecuación de flujo subterráneo integrada verticalmente.

(16)

Ahora procedemos a simplificar la ec. (16) por eliminar la dimensión vertical haciendo uso de nuestra definición de promedios:

donde l(x,y,t)=b(x,y,t)-a(x,y,t), a continuación haciendo uso de la suposición que h|a≈ h|b≈ h, por lo tanto por el significado del gradiente vertical, usando el área de dos dimensiones de la ecuación de flujo subterráneo no es apropiada a menos que h|a y h|b sean conocidos. La ecuación es sólo apropiada paraacuíferos esencialmente flujo horizontal. Sustituyendo en tal suposición tenenos:

Tal ecuación puede simplificarse como:

Donde el coeficiente de almacenamiento esta definido como S=Sl y el tensor de transmisión está dado por T=lK. Los términos denotado por las letras A y B son el flujo neto a través de la superficie z=b(x,y,z) y z=a(x,y,z). Denotamos a qT el flujo a través de la parte superior y qB el promedio de flujo y como la locación del área qext(x,y), uno obtiene:

Condiciones de Superficie Libre en el Condiciones de Superficie Libre en el Modelo de Modelo de ÁÁrearea

El análisis anterior supusimos acuífero confinado en donde existe permeabilidad relativa debajo del reservorio, tal que permanece totalmente saturado todo el tiempo. Consideraremos el caso cuando el acuífero ilimitado, esto es, el reservorio contiene nivel freático. Tal como se muestra en la siguiente figura.

Haciendo uso de análisis de la sección 4.4 tenemos lo siguiente

Por ley de Darcy tenemos:

Dado que b=h en el manto freático, podemos escribir la ecuación anterior como

(20)

Está ecuación puede ser usada para sustituir el flujo superior qT antes de multiplicarlo por la ecuación (20) por εD, sustituido por qT y subsecuentemente sustraído de la ecuación (19). produce

donde

Representa el flujo neto fuera del acuífero a través del nivel freático. Notamos que los coeficientes Kl y Ssl son funciones de h por que l=(b-a)=(h-a) y por lo tanto la ecuación diferencial parcial es no lineal. Tomemos en cuenta que el termino involucrado en la derivada de tiempo de h con coeficiente εD.

(21)

La porosidad drenadle en ocasiones es reemplazada por el termino equivalente llamado “producto especifico” denotado por Sy, y definido como el volumen del agua que drena por unidad de área del acuífero cuando el nivel freático está bajo por una unidad. Así la ecuación (21) podemos escribirla como

(22)

IntrusiIntrusióón Salinan SalinaPara poder hablar de intrusión salina es necesario considerar el transporte de masa de solutos. La lógica de está dependencia en el factor intrusión salina, como se describió en capítulos anteriores vía dos fluidos, la interfase entre estos dos fluidos agua salada y agua dulce, es dispersiva. Por lo tanto en algunas zonas existe una zona dispersa tal como se muestra en la figura las cuales son consideradas como pequeño sistema de agua salada y agua dulce.

El diagrama anterior nos permite visualizar y definir el concepto físico y la notación que necesitamos para poder modelar las ecuaciones que gobiernan la interfase del agua salada. En este sistema se asume que existen dos pseudofases el agua salada y agua dulce las cuales no se comportan independientemente. Así podemos escribir las ecuaciones de carga para cada una de las fluidos en una elevación z1 sobre la interfase como

Haciendo un poco de algebra podemos obtener

Notemos que en un sistema en equilibrio, la elevación de la interfase, z, podemos determinar la constante de carga y sus respectivas densidades para casos dinámicos.

(23)

De las condiciones de superficie libre, tenemos la siguiente relación

Si suponemos fundamentalmente un flujo horizontal para los dos fluido es apropiado aplicar el método de promedio de flujo vertical. Aplicando el proceso de integración para el agua dulce por capas obtenemos.

(24)

(25)

Y aplicado para la sal tenemos

Multiplicando las ecuaciones (20) y (24) por la porosidad ε y sumando el resultado a la ecuación (26) produce la siguiente ecuación

(26)

(27)

Similarmente multiplicar la ecuación (24) por ε y subsecuentemente sustrayendo el resultado de la ecuación (27) podemos obtener

(28)

Derivamos la ecuación (24) con respecto al tiempo y tenemos:

donde

Sustituimos en ley de Darcy y dado que la presión sobre el nivel freático es cero tenemos

En estás ecuaciones supusimos que:

1. El flujo es esencialmente horizontal.

2. Todo el flujo de la superficie está incorporado al termino R

3. No hay flujo de la base del acuífero.

4. El agua no se mueve a través de la interfase agua dulce y agua salina.

5. Los subíndices s y f identifican a agua dulce y agua salada respectivamente.

FormulaciFormulacióón de una Dimensin de una Dimensióón n Nosotros hemos visto como uno podría formalmente reducir la dimensión de un problema de tres a dos dimensiones. Cuando uno reduce de dimensión, es cierto que facilitan los cálculos, pero también hay que tomar en cuenta que se pierde información, especialmente con respecto a la dimensión perdida la cual la integración fue se llevo a cabo. En está breve sección pasaremos de a tomar el problema de dos dimensiones a una dimensión.

Usemos la siguiente ecuación

(31)

La cual describe el flujo subterráneo en tres dimensiones

Consideraremos la integral como cambio en las direcciones x, y y la ecuación sólo dependerá de las variables independientes z y t. denotamos el plano en tres dimensiones que tiene como dominio Ωxy(z). Tal notación queda visualizada e la figura 4.11. Entonces tenemos

Proporcionando la divergencia en tras términos así que tenemos que incluir el tiempo, nos da un total de cuatro términos a considerar, primero consideraremos la derivadas de x e,y

Usando el teorema de Gauss podemos reescribir la ecuación anterior de la siguiente forma

(32)

El componente qz es muy cambiante. Agregamos este termino, empleando la regla de Leibnitz para dos dimensiones para la diferenciación de una integral y tenemos

Donde k usualmente es un vector de coordenadas verticales de z. la derivada de tiempo también puede ser usada con la regla de Leibnitz. Para el caso de un acuífero fijo, la forma de la regla es

(33)

(34)

Ahora definimos el promedio de valores del flujo qz y de la carga h como

(36)

(35)

Donde Axy(z) es el área del plano xy. Ahora reunimos los términos considerando por separado en la ecs. (32) y (34) y los porcentajes introducidos en ecs. (35) y (36)

En general la ecuación anterior es una ecuación de una dimensión de flujo en agua subterránea e términos del flujo de fluido. Ahora consideremos el promedio de la ley de Darcy. Ejecutando la integración de x y y tenemos

La cual usando notación de porcentaje queda de la siguiente forma

La cual sustituyendo en ec (37) tenemos

Si suponemos que el acuífero es vertical y que no hay flujo entrante a lo largo del acuífero la ecuación anterior se reduce a una ecuación de una dimensión.

Coordenadas CilCoordenadas Cilííndricasndricas

Cuando tenemos problemas que envuelven un pozo, el flujo en la vecindad del pozo tiende a ser radial. Por lo tanto estamos motivados a escribir nuestras ecuaciones en coordenadas cilíndricas. Para comenzar reescribiremos la ecuación de balance de flujo.

La divergencia del operador presentado en está expresión ha sido considerado en el sistema de coordenadas cartesianas estas son (x,y,z,t). Por lo tanto uno también puede reescribir en el sistema de coordenadas cilíndricas definidas sobre (r,θ,z,t,), la cual es ilustrada en la siguiente figura.

La dimensión vertical está denotada por z, el radio como r, el ángulo por θ y el tiempo por t. en el sistema coordenado, el gradiente está definido de la siguiente forma

Y el vector q como

Donde z, r, y θ son vectores unitarios en las direcciones z, r, y θ, respectivamente. Regresemos a la ecuación de flujo para coordenadas cilíndricas, comenzamos por sustituir (41) en (40) para obtener

(40)

(41)

Sustituimos el gradiente en la ecuación de flujo y tenemos

Las variables q y h no cambian con respecto al ángulo θ. Cuando uno hace uso de está suposición el segundo termino de la ecuacion desaparece or lo tanto no queda

Hacemos uso del método de reducción de dimensión y obtenemos

Aplicamos la regla de Leibnitz y tenemos que

(42)

Ahora definimos el promedio de las cantidades

Sustituyendo en la ec. (43) tenemos que

donde

De manera similar lo aplicamos a la ley de Darcy al promedio vertical

Si tomamos como suposición la parte superior del acuifero es horizontal tenemos

Donde qi ahora contiene sólo el flujo vertical, la ecuación anterior se puede rescribir como