flujo combinado magnetohidrodinámico-presión de...

MEMORIAS DEL XXIII CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 20 al 22 DE SEPTIEMBRE DE 2017 CUERNAVACA, MORELOS, MÉXICO

Tema A4 Termofluidos: Magnetohidrodinámica

Flujo combinado magnetohidrodinámico-presión de tres fluidos pseudoplásticos inmiscibles en un conducto de placas planas paralelas

Escandón Colin Juan Pablo*, Rodríguez Rodríguez Jovany Antonio, Gómez López Juan Rolando

Instituto Politécnico Nacional, SEPI-ESIME Azcapotzalco, Av de las Granjas No. 682, Col Santa Catarina, Del. Azcapotzalco, Ciudad de México, C.P.

02250, México

*Autor contacto.Dirección de correo electrónico: [email protected]

R E S U M E N

La presente investigación analiza el flujo combinado magnetohidrodinámico-presión de tres fluidos pseudoplásticos

inmiscibles en un conducto de placas planas paralelas. Los fluidos son eléctricamente conductores y el material del

conducto es dieléctrico. El modelo matemático se basa en las ecuaciones de conservación de la cantidad de movimiento y

constitutivas de fluidos de ley de potencia para la reología de los fluidos y de la ley de Ohm para los efectos magnéticos.

Los perfiles de velocidad del flujo se obtienen resolviendo un sistema cerrado de ecuaciones diferenciales ordinarias en

conjunto de las condiciones de frontera en las paredes del conducto e interfases entre los fluidos. Los resultados muestran

que el flujo es controlado por parámetros adimensionales que surgen del modelado matemático como lo son un parámetro

que indica la competencia de las fuerzas de presión a las magnéticas, parámetros magnéticos relacionados a números de

Hartmann, razones de viscosidades entre los fluidos y posición adimensional de las interfases.

Palabras Clave: Magnetohidrodinámica, fluidos inmiscibles, fluidos pseudoplásticos, perfiles de velocidad.

A B S T R A C T

The present research analyzes the combined magnetohydrodynamic-pressure flow of three immiscible pseudoplastic fluids

in a parallel flat plate channel. The fluids are electrically conducting and the channel material is dielectric. The

mathematical model is based on the equations of conservation of momentum and constitutive fluids of power law for the

rheology of fluids and Ohm's law for magnetic effects. The velocity profiles of the flow are obtained by solving a closed

system of ordinary differential equations together of the boundary conditions in the channel walls and interfaces between

the fluids. The results show that the flow is controlled by dimensionless parameters that arise from the mathematical

modeling as they are a parameter that indicates the competition of the forces of pressure to the magnetic ones, magnetic

parameters related to Hartmann numbers, viscosities ratios between the fluids and dimensionless position of the interfaces.

Keywords: Magnetohydrodynamics, immiscible fluids, pseudoplastic fluids, velocity profiles.

Nomenclatura

B vector de campo magnético, T

By campo magnético en la coordenada y, T

E vector de campo eléctrico, V m-1

Ez campo eléctrico en la coordenada z, V m-1

F vector de fuerzas de cuerpo, N m-3

H altura del conducto, m

Ha número de Hartmann

J densidad de corriente eléctrica, A m-2

V vector de velocidad, m s-1

m coeficiente de consistencia de flujo, Pa sn

n índice de comportamiento del flujo

p presión, Pa

px gradiente de presión, Pa m-1

t tiempo, s

u velocidad del fluido, m s-1

u velocidad adimensional del fluido

uc velocidad característica, m s-1

y1,2 posición de las interfases, m

Símbolos griegos

razón de fuerzas de presión a las magnéticas

Ω* parámetro de carga

γi razón de viscosidades aparentes

γ tensor de deformación, s-1

η coordenada transversal adimensional

ISSN 2448-5551 TF 9 Derechos Reservados © 2017, SOMIM

mailto:[email protected]


viscosidad aparente, Pa s

ρ densidad del fluido, kg m-3

σ conductividad eléctrica, S m-1

τ tensor de esfuerzos, Pa

1,2 posición adimensional de las interfases

Subíndices

i fluido, i=1,2,3

1. Introducción

La magnetohidrodinámica estudia la interacción entre

campos magnéticos y eléctricos, y el movimiento de fluidos

eléctricamente conductores [1]. Sus aplicaciones se

encuentran en generadores, bombas, aceleradores y

flujometros magnetohidrodinámicos, así como reactores

nucleares [2-4]. Los fluidos involucrados en estas

aplicaciones deben ser eléctricamente conductores y no

magnéticos, lo cual limita su uso a metales líquidos, gases

ionizados (plasma) y fuertes electrolitos [1, 5, 6]. De esta

forma, los campos de la aplicación de la

magnetohidrodinámica abarcan las áreas de geofísica,

astrofísica e ingeniería [4]. El uso de la

magnetohidrodinámica se ha extendido también en

plataformas de dispositivos microfluídicos para el manejo

de fluidos biológicos [7,8].

El bombeo de fluidos conductores es una de las tareas de

la magnetohidrodinámica. La teoría básica del flujo de

Hartmann como método de bombeo magnetohidrodinámico

de fluidos newtonianos en conductos rectangulares y de

placas planas paralelas, se ha estudiado en los trabajos de

Müller y Büller [2], así como en el realizado por Davison

[3]. Sin embargo, aunque el estudio de flujo de fluidos

newtonianos en ingeniería ha sido de importancia

fundamental para obtener soluciones analíticas exactas,

aproximadas o numéricas para explicar fenómenos de flujo,

el estudio de aplicaciones en donde se conduzcan fluidos no

newtonianos es también de gran importancia en el caso de

procesos manejando plásticos, pinturas, alimentos,

polímeros o petróleo [9], ciertos aceites y biofluidos como

la sangre [10]. Es por eso que en la literatura científica se

han realizado investigaciones con fluidos siguiendo

características reológicas complejas como el realizado por

Khan eta al. [11] el cual resuelve el campo de flujo

magnetohidrodinámico de un fluido de segundo grado a

través de un medio poroso en un conducto rectangular. Sus

resultados muestran la influencia del parámetro

adimensional de la fuerza del campo magnético externo, el

parámetro adimensional de permeabilidad y el parámetro

reológico, sobre los perfiles de velocidad. Los autores

determinan que los fluidos de segundo grado tardan más

tiempo en alcanzar el régimen permanente de velocidad. En

este contexto y con el objetivo de incrementar los estudios

teóricos sobre flujos magnetohidrodinámicos con fluidos no

newtonianos, se han reportados trabajos empleando fluidos

de ley de potencia [12], de Casson [13], viscoelásticos de

Phan-Thien-Tanner [14], entre otros.

Los estudios anteriores, consideran un solo fluido

transportándose por los conductos. Sin embargo, en diversos

problemas de flujo de fluidos involucran el transporte de

multicapas de fluidos conductores inmiscibles. Nikodijević

et al. [15], estudian el flujo de Coutte combinado

magnetohidrodinámico-presión de dos fluidos inmiscibles

en un canal horizontal en la presencia de un campo eléctrico

y magnético inclinado. En sus resultados, los efectos

magnéticos a través del número de Hartmann actúan en

sentido contrario al movimiento del efecto viscoso

provocado por la placa en movimiento, mientras que el

gradiente de presión actúa a favor; esta combinación de

condiciones de flujo produce perfiles de velocidad

curvilíneos característicos. Por su parte, Mateen [16], realiza

el análisis hidrodinámico y transferencia de calor de un flujo

magnetohidrodinámico de dos fluidos inmiscibles en un

conducto horizontal incluyendo el efecto de calentamiento

Joule. En este trabajo el campo de flujo esta desacoplado del

análisis de transferencia de calor y los perfiles de velocidad

solo depende del parámetro magnético adimensional y de la

razón de viscosidades entre los fluidos; aquí, la posición de

la interfase es fija al centro del conducto. Malashetty et al.

[17] estudian el flujo magnetohidrodinámico

completamente desarrollado de dos fluidos inmiscibles en

un conducto inclinado. Se observa que el flujo es controlado

por el espesor de las capas de los fluidos, razones de

conductividades eléctricas y viscosidades entre los dos

fluidos y el ángulo de inclinación.

El interés por la comunidad científica en el movimiento

de fluidos inmiscibles ha sido extendido al movimiento

simultáneo de multicapas de fluidos, esto debido a procesos

de coextrusión, procesos de recubrimientos de película y

procesos de transporte lubricado [18]. De esta forma,

Nikodijević et al. [19] realizan el estudio de un flujo

magnetohidrodinámico de tres fluidos inmiscibles en un

conducto horizontal. Los resultados muestran un análisis

paramétrico de los efectos involucrados en el flujo a través

de los números de Hartmann y razones de viscosidades entre

los fluidos. El campo de flujo está directamente relacionado

con las condiciones de flujo impuestas de interfase entre los

fluidos.

Es importante mencionar que los trabajos citados

anteriormente sobre flujo de fluidos inmiscibles, han sido

realizados en fluidos de tipo newtonianos. Por esta razón, el

presente trabajo realizará un estudio paramétrico de un flujo

magnetohidrodinámico de tres fluidos eléctricamente

conductores e inmiscibles en un conducto de placas planas

paralelas, considerando que los fluidos siguen un

comportamiento reológico de fluidos de ley de potencia de

tipo pseudoplástico. Esta combinación en las condiciones

de flujo y reología de los fluidos no ha sido tratada aún por

otras investigaciones en magnetohidrodinámica.

2. Formulación del problema

2.1. Descripción del modelo físico

El presente trabajo considera el flujo de tres fluidos

inmiscibles en un conducto horizontal de placas planas

paralelas con altura H, longitud L y ancho W. El sistema de



coordenadas Cartesiano se localiza como es mostrado en la

Fig. 1; el eje x y y son paralelo y perpendicular a las placas,

respectivamente, mientras que el eje z, es perpendicular al

plano x-y. Los tres fluidos son eléctricamente conductores

con conductividad eléctrica i , donde i=1, 2, 3. Además,

los fluidos siguen un comportamiento no newtoniano de ley

de potencia con un índice de comportamiento de flujo ni y

un coeficiente de consistencia del flujo de mi. El

movimiento de los fluidos se debe a la presencia de las

fuerzas de Lorentz generadas por un campo magnético By

que se aplica perpendicular a las placas, un campo eléctrico

Ez perpendicular al plano x-y, y a un gradiente de presión

constante px. Las posiciones de las interfases entre los

fluidos se localizan a una distancia y1 y y2, respectivamente.

2.2. Ecuaciones gobernantes y constitutivas

El campo de flujo está gobernado por la ecuación

modificada de Cauchy

,i

i i i

Dp

Dt

Vτ F (1)

donde V, ρ, t, p, τ y F son el vector de velocidad, la densidad

del fluido, el tiempo, la presión, el tensor de esfuerzos y el

vector de fuerzas de cuerpo, respectivamente. El

comportamiento reológico del fluido está dado por el

modelo reológico de ley de potencia siguiente [20]

ˆ ,i i i τ γ (2)

donde la viscosidad aparente del fluido está definida por 1

ˆ ii i i

nm

γ y el tensor de deformación por

( ) ( )i i i TV Vγ . La fuerza de Lorentz de campo

magnético se define por

,i i F J B (3)

donde B es el vector de campo magnético y la densidad de

corriente eléctrica J se define de la manera siguiente por la

ley de Ohm como

,i i i J E V B (4)

donde E es el vector de campo eléctrico.

2.3. Simplificación de las ecuaciones gobernantes

La formulación matemática asume las siguientes

consideraciones: i) el fluido es incompresible, ii) el flujo en

estado permanente y completamente desarrollado, iii) el

flujo es laminar, iv) L>>H y W>>H, v) propiedades físicas

de los fluidos constantes y vi) flujo unidimensional.

Atendiendo lo anterior, la ecuación gobernante de

conservación de la cantidad de movimiento, ec. (1), queda

simplificada de la siguiente manera en coordenadas

Cartesianas:

20 ,i

x i i i y i z y

indud

p m u B E Bdy dy

(5)

donde ui es la velocidad de cada fluido en la coordenada x

del conducto.

Las condiciones de frontera aplicables al campo de flujo

de la ec. (5) son las siguientes:

Condiciones de no deslizamiento en las paredes del

conducto:

1 3( 0) 0, ( ) 0.u y u y H (6)

Condiciones de interfase entre los fluidos, siendo estas de

continuidad de velocidad:

1 1 2 1 2 2 3 2( ) ( ), ( ) ( ),u y y u y y u y y u y y

(7)

y de igualdad de esfuerzos:

1 2

1 2

32

2 3

1 2

1 1

2 3

2 2

,

.

y y y y

y y y y

n n

n n

du dum m

dy dy

dudum m

dy dy

(8)

Figura 1 – Esquema del flujo combinado magnetohidrodinámico-

presión en un conducto de placas planas paralelas.



2.4. Modelo matemático adimensional

Para normalizar el modelo matemático conformado por las

ecs. (5)-(8), se introducen las siguientes variables

adimensionales:

, ,i

i

c

uyu

H u (9)

donde la velocidad característica del flujo es definida como

11

1/1/1 1

nnE B H mz ycu . Introduciendo la ec. (9) en ec. (5),

se tiene la siguiente ecuación de cantidad de movimiento

adimensional:

2 * 20 ,i

i

i i i

indud

Ha u Had d

(10)

y correspondientemente las condiciones de frontera:

1 3( 0) 0, ( 1) 0.u u (11)

1 1 2 1 2 2 3 2( ) ( ), ( ) ( ),u u u u

(12)

1 1

2 2

1 2

2 1

32

3 2

1 2

2 3

,

,

n n

n n

du du

d d

dudu

d d

(13)

donde los parámetros adimensionales que surgen son los

siguientes:

´ 1

1

1

1, ,x c

i

ic

in n

n

p um

m Hum

H H

(14)

1

,i

i

i y n

i c

Ha HBm u H

(15)

* 1 2

1 2, , ,z

c y

E y y

u B H H (16)

donde es la razón de las fuerzas de presión a las

magnéticas, i representa las razón de viscosidades aparentes

de los fluidos, Hai es el número de Hartmann que indica la

competencia entre las fuerzas magnéticas a las viscosas, Ω*

es un parámetro de carga, 1 y 2 son las posiciones

adimensionales de las interfases. Siendo el fluido 1 el fluido

de referencia, se considera que 1=1 en este trabajo.

3. Metodología de solución

La ec. (10) es una ecuación diferencial ordinaria no lineal,

de coeficientes constantes y no homogénea. Se toma en

cuenta primeramente que el número de Hartmann es muy

pequeño, i. e., Ha<<1. Seguidamente los siguientes casos

en donde existe una solución analítica exacta de los perfiles

de velocidad:

Caso I: n1=n2=n3=1 (caso de fluidos newtonianos)

Integrando dos veces la ec. (10) y aplicando las condiciones

de frontera de las ecs. (11)-(13) se obtienen los siguientes

perfiles de velocidades:

2

1 1 2

1,

2u A C C (17)

2

2 3 4

1,

2u B C C (18)

2

3 5 6

1,

2u D C C (19)

donde para el caso de fluidos newtonianos 1 1 1 ,

2 1 2 y 3 1 3 , ya que para este caso 1 1m ,

2 2m y 3 3m . Siendo 1 , 2 y 3 los coeficientes

de viscosidad para fluidos newtonianos. Por simplicidad, las

constantes de integración C1, C2, C3, C4, C5 y C6 se presentan

en el Apéndice A.

Caso II: n1=n2=n3=1/3




34 2 3 2 2 3

1 1 1 1 2

3,

4 2

A Au A C C C C

(20)

34 2 3 2 2 3

2 3 3 3 4

3,

4 2

B Bu B C C C C

(21)

34 2 3 2 2 3

3 5 5 5 6

3,

4 2

D Du D C C C C

(22)



donde las constantes de integración C1, C2, C3, C4, C5 y C6

se presentan en el Apéndice B.

Caso III: n1=n2=n3=1/5




6

1

1 2 ,6

A Cu C

A

(23)

6

3

2 4 ,6

B Cu C

B

(24)

6

5

3 6 ,6

D Cu C

D

(25)

donde las constantes de integración C1, C2, C3, C4, C5 y C6

se presentan en el Apéndice C.

4. Resultados

Los parámetros físicos y geométricos para la estimación de

los parámetros adimensionales utilizados en este trabajo son

los siguientes: σi~10-3 Sm-1, 100≤Ez ≤ 102 Vm-1,10-2 ≤ By ≤ 100

T, 10-2≤mi ≤10-4 Pasn y 10-2≤H≤10-1 m.

La Fig. 2 presenta los perfiles de velocidad adimensional

u de tres fluidos inmiscibles como función de la coordenada

transversal η y diferentes combinaciones del parámetro

magnético * 2

iHa . Los fluidos en estudio se toman con

valores de n=1 y n=1/3, siendo estos considerados como un

fluido newtoniano y pseudoplástico, respectivamente. Los

demás parámetros adimensionales fijados son 1 ,

γ2=γ3=1. Los perfiles de velocidad tienen forma parabólica y

típica de un flujo impulsado por fuerzas de presión y

magnéticas. Las posiciones de las interfases se toman como

1=1/3 y 2=2/3. El efecto magnético sobre los perfiles de

velocidad se observa con el aumento de * 2

iHa , el cual se

identifica con los casos 1 , 2 y 3 , respectivamente,

mostrando un aumento de la velocidad. Es notable que los

fluidos pseudoplásticos (n<1) son más sensibles al efecto de

las fuerzas de Lorentz para los valores más altos de del

parámetro * 2

iHa , mostrando aumentos de velocidad más

significativos y de mayor magnitud que los newtonianos.

También es observable que en el caso de los fluidos

pseudoplásticos, los perfiles de velocidad tienden a tener

forma plana en la región central del conducto.

En la Fig. 3 se muestra el efecto del parámetro

adimensional ( 1, 2) , sobre los perfiles de velocidad

de los fluidos inmiscibles. Se realiza el estudio de tres

fluidos, con ni=1 (newtoniano), ni=1/2 y ni=1/5

(pseudoplásticos). Como se observa en la presente figura,

fluidos newtonianos incrementan su perfil de velocidad de

forma gradual y uniforme con el aumento del parámetro Γ.

Sin embargo, los fluidos pseudoplásticos, tienen otro

comportamiento no uniforme con la variación de Γ, cuando

Γ=-1, los fluidos pseudoplásticos tienen una velocidad en

magnitud inferior a la del caso newtoniano; en el caso

cuando Γ=-2, el comportamiento anterior se invierte y la

magnitud de las velocidades de los fluidos pseudoplásticos

son superiores al del caso newtoniano. De esta forma, se

predice que la magnitud de velocidad de los fluidos

pseudoplásticos, es más sensible a la variación de las fuerzas

de presión que los fluidos newtonianos, experimentando

cambios drásticos en su física de comportamiento.

En la Fig. 4 se muestra el efecto del parámetro

adimensional γ2,3 sobre los perfiles de velocidad

adimensional. Los fluidos considerados son ni=1, ni=1/2 y

ni =1/5. Para esta gráfica se han seleccionado los siguientes

valores de las razones de viscosidad, γ2 =4 y γ3 =0.5, por lo

que el fluido 2 es cuatro veces menos viscoso que el fluido

Figura 2 – Velocidad de un flujo magnetohidrodinámico-presión

con diferentes valores de y dos valores de ni.


con diferentes valores de y tres valores de ni.



1, mientras que el fluido 3 es dos veces más viscoso que el

fluido 1, respectivamente. Al comparar esta grafica con las

anteriores, se observa claramente el efecto de la viscosidad

variable entre los fluidos sobre los perfiles de velocidad.

Como era de esperarse, el fluido menos viscoso (fluido 2)

opone menos resistencia al movimiento, teniendo un perfil

de velocidad más alto comparado con los otros dos fluidos

que son más viscosos. Adicionalmente, se aprecia que en la

interfase entre el fluido 2 y el fluido 3, siendo estos el menos

viscoso y el más viscoso entre los tres fluidos inmiscibles,

existe una diferencia de los perfiles de velocidad más

notoria, lo que representa el grado de resistencia al flujo por

efecto viscoso en estas capas de fluidos. Por otra parte, se

observa que los fluidos pseudoplásticos con valores de ni

decrecientes, en este caso ni=1/5 (valor más pequeño), son

más sensibles al cambio de viscosidad, presentando los

perfiles de velocidad más alto (fluido 2) y más bajo (fluido

3) en magnitud.

En la Fig. 5, se presentan los perfiles de velocidad para

diferentes posiciones de las interfases 1,2. El primer caso es

con una combinación de 1=0.1 y 2=0.5, y el segundo caso

con 1=0.25 y 2=0.75. Los otros parámetros

adimensionales seleccionados son Γ=-1, γ2=4, γ3=0.5 y tres

fluidos con ni=1, ni=1/3 y ni=1/5. Se puede observar que, con

el control de las posiciones de las interfases, conforme se

propongan espesores de fluidos más grandes, para cada

fluido en particular, este va a tender a incrementar su

velocidad comparado con fluidos con espesores en magnitud

más pequeños.

5. Conclusión

En la presente investigación, se analizaron los diferentes

efectos combinados de fuerzas conductoras,

comportamiento reológico del fluido y posición de

interfases sobre un flujo combinado magnetohidrodinámico-

presión que conduce tres fluidos inmiscibles de ley de

potencia. Con los resultados obtenidos y las condiciones de

trabajo impuestas, se listan a continuación los siguientes

aspectos relevantes:

La separación entre placas H, la conductividad

eléctrica de los fluidos i , la intensidad del campo

magnético aplicado By y el campo eléctrico transversal

al flujo Ez, tienen un rol importante en la magnitud de

las fuerzas de Lorentz. Con el aumento individual o en

conjunto de la magnitud de las variables geométricas y

físicas antes mencionadas, las fuerzas por efecto

magnético también se incrementan a través del

parámetro adimensional * 2

iHa , produciendo perfiles

de velocidad mayores.

El aumento del gradiente de presión impuesto a los

fluidos inmiscibles newtonianos es siempre

directamente proporcional al aumento de la velocidad.

El comportamiento anterior se repite para fluidos

pseudoplásticos cuando Γ=-2, pero inversamente

proporcional cuando Γ =-1; de esta forma, se concluye

que la influencia del gradiente de presión impuesto es

no lineal con la reología de los fluidos de ley de

potencia de tipo pseudoplásticos.

Las razones de viscosidades aparentes entre los fluidos

inmiscibles, γ2,3, tienen un papel relevante en el campo

de flujo, modificando los perfiles de velocidad por

efecto viscoso en las interfases. Como era de esperarse,

los fluidos más viscosos ofrecen mayor resistencia al

flujo y viceversa. Sin embargo, la influencia del índice

de comportamiento de flujo con ni, en combinación con

las variaciones de las razones de viscosidades γ2,3, deja

comportamientos no lineales en las magnitudes de los

perfiles de velocidad.

Observando las ecs. (57)-(61), las cuales están

relacionadas a las constantes de integración mostradas

los Apéndices A, B y C del presente trabajo, se deduce

que los espesores de las capas de los fluidos con los

parámetros adimensionales 1 y 2, están también

directamente relacionados con la magnitud de las

fuerzas de combinadas de Lorentz y de presión sobre

los perfiles de velocidad. De esta forma, y siendo las


con diferentes valores de ni y viscosidad variable 2 3.


con diferentes valores de 1,2 y tres valores de ni.



fuerzas magnéticas de Lorentz de tipo volumétricas,

entre más grande sea el espesor de la capa del fluido,

este experimentará una mayor influencia del campo

magnético aplicado; por lo tanto, a mayor espesor de la

capa de fluido mayor será el perfil de velocidad.

La variación en la velocidad de los fluidos por los

parámetros adimensionales estudiados aquí, se acentúa

notablemente cuando ni0. Lo anterior es claramente

mostrado a través de las ecs. (17)-(19) para fluidos

newtonianos (ni=1) en comparación con las ecs. (23)-

(25) para fluidos pseudoplásticos (ni=1/5=0.2), donde

las potencias en los términos que conforman los

perfiles de velocidad se incrementan cuando ni0,

aumentando de esta manera también la no linealidad

del comportamiento del flujo.

Finalmente, la presente investigación abre un panorama

de trabajos futuros al considerar las siguientes vertientes:

Determinación de perfiles de velocidad a través de

procedimiento numéricos para fluidos inmiscibles de

ley de potencia tanto pseudoplásticos como dilatantes,

con cualquier valor de ni.

Consideración de efectos térmicos acoplados a los

perfiles de velocidad cuando las propiedades físicas de

los fluidos son dependientes de la temperatura.

Resolver el campo de flujo en otras geometrías como

conductos cilíndricos y rectangulares.

Agradecimientos

Este trabajo de investigación contó con el respaldo del

proyecto de investigación SIP-20171035 del Instituto

Politécnico Nacional en México.

Apéndice A. Constantes de integración: ni=1

Las constantes de integración de las ecs. (17)-(19) son las

siguientes:

3

1

2

,C

C E

(26)

2 0,C (27)

2 2

1 2

2 1

3

32 1 2

2 2

2 2

12

,1

1 1

B A B D

DF E

C

(28)

2

1

4 1 1 3 2 ,2

C B A C C C

(29)

3

5 3

2

,C C F

(30)

6 5 .2

DC C (31)

Apéndice B. Constantes de integración: ni=1/3

Las constantes de integración de las ecs. (20)-(22) son las

siguientes:

3

1

2

,C

C E

(32)

2 0.C (33)

La constante C3 se determina a partir de la siguiente

ecuación cubica

3 2

3 1 3 2 3 3 0,C a C a C a (34)

donde

32 4

1 2 3

1 1 1

, , ,XX X

a a aX X X

(35)

3

3

1 1 2 23

22

11 1 ,X

(36)

2 2 2

2 1 1 1 22

2

2

23

2 2

2

3 1 33 6

2 22

31 3 1 ,

2

B BX A D

DF

(37)

2 3 2 3 2 2 2 3

3 1 1 1 1 2

2

2 3 3 23

2 2 2

2

13 3

1 3 1 3 1 ,

X B A AE E B

D DF F

(38)



4

3 3 2 3 2 2 31

4 1 1 1

4 33 32

2 3 2 2 3

2 2 2

3

4 2

4 4

31 1 1 .

2

X B A A E AE E

DB A

D F DF F

(39)

Por lo tanto, al aplicar la solución de Cardan-Tartaglia para

resolver ecuaciones algebraicas cubicas, la constante C3 de

ec. (34) es

2 2 23 3

1 1 1 13 33 ,

2 4 27 4 27 3

b b b aa aC (40)

donde

2 3

1 1 2 1

2 1 3

2, .

3 3 27

a a a aa a b a (41)

El resto de las constantes son

4

3 3 3 2 31

4 1 3 1

2 2 2 3 3

1 3 1 1 3 1 2

4

3,

2

C B A B C A C

BC AC C C C

(42)

3

5 1

2

,C C F

(43)

32 2 3

6 5 5 5

3.

4 2

DC D C DC C (44)

Apéndice C. Constantes de integración: ni=1/5

Las constantes de integración de las ecs. (23)-(25) son:

3

1

2

,C

C E

(45)

6

1

2 .6

CC

A (46)

La constante C3 se determina por el método de Ruffini a

partir de la siguiente ecuación algebraica a la quinta

potencia:

5 4 3 2

1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 0,X C X C X C X C X C X (47)

donde:

5

3

1 1 1 25

22

1 1 1 , X

(48)

4

2

24

3

2

22

12 2

1 2

2 2

2

15,

6

BA

X

D

E A E

D F D F

(49)

33

2 3 3

3

2

3 3

1

1 2

3 3

32

2

20,

6

E A E

D

B

D

AX

D

F F

(50)

44

3

2

2

4 4

14 4

1 2

4 2

3

2

2

15,

6

E A E

D

B

D

AX

D

F F

(51)

1

1 2

2

55

4 5 5

2

5 5 5

3

2

,

BA

X

E A E

D

D F D F

(52)

6

1

1

6

5 6

2

2

6

6 6 6

1.

6

E A E

D F D F

BA

X

D

(53)

El resto de las constantes son

6 6

1 3 1 1

4 2 ,6 6

B C A CC C

B A

(54)

3

5 3

2

,C C F

(55)

6

5

6 .6

D CC

D

(56)



Para todos los apéndices, se tiene que

* 2

1 ,A Ha (57)

* 2

2 2 ,B Ha (58)

* 2

3 3 ,D Ha (59)

1

2

,B

E A

(60)

3

2

2

.F B D

(61)

REFERENCIAS

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flujo combinado magnetohidrodinámico-presión de...

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