flujo bifasico agua petroleo

7/24/2019 Flujo bifasico agua petroleo

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Divulgaciones Matematicas Vol. 16 No. 1(2008), pp. 195219

Formulacion variacional y analisis de un

modelo linealizado no axisimetrico en 2-D

para un flujo bifasico agua-petroleo

Variational formulation and analysis of a linearized 2-D model

with no axial symmetry for a two-phase water-petroleum flow

W. Angulo ([email protected])Decanato de Ciencias y Tecnologa,Universidad Centroccidental Lisandro

Alvarado, Barquisimeto, Venezuela y Postgrado en Matematica de laFacultad de Ciencias, Universidad Central de Venezuela, Caracas, Venezuela.

H. Lopez ([email protected])Centro de Calculo Cientfico y Tecnologico, Facultad de Ciencias,

Universidad Central de Venezuela, Caracas. Venezuela

Resumen

Maury et al. en [6] formulo un problema 2-D axisimetrico para la

simulacion numerica de un paso de tiempo de un flujo bifasico agua-petroleo en tub eras horizontales. En este artculo, tratamos este pro-blema linealizado, pero sin simetra axial: presentamos una formulacionvariacional y demostramos que esta bien planteada, para futuras simu-laciones numericas usando elementos finitos conformes y no conformes.Palabras y frases clave: flujo bifasico, formulacion variacional, buenplanteamiento.

Abstract

Maury et al. formulated in [6] a 2-D axisymmetric problem for thenumerical simulation of a one-time step of a two-phase water-petroleumflow in horizontal pipes. In this article, we address this linear problem,but with no axial symmetry: we present a variational formulation and

show that it is well-posed, for future numerical simulations using con-forming and non-conforming finite elements.Key words and phrases: two-phase flow, variational formulation,well-posedness.

Recibido 2006/02/28. Revisado 2006/06/13. Aceptado 2006/06/20.MSC (2000): Primary 65N30; Secondary 74S05, 74G15.


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196 W. Angulo, H. Lopez

1 Introduccion.

En muchas aplicaciones dentro de la ciencia y la tecnologa, el flujo de dosfluidos no miscibles e incompresibles en tuberas, o flujo bifasico, juega unrol importante [1], [2]. En particular, las tecnicas de transporte lubricado seusan frecuentemente para facilitar el movimiento de aceites viscosos a travesde una tubera lubricada con un lquido de baja viscosidad tal como lo esel agua. Para que este proceso sea exitoso el fluido de baja viscosidad debeintroducirse y mantenerse entre el aceite viscoso y la pared de la tubera,formando una capsula entre la pared y el fluido de alta viscosidad [3]. Estepatron de flujo es llamado flujo centro-anular, y el modelo fsico propuestopara estudiarlo considera que en tal configuracion ambos fluidos viajan enel espacio y el tiempo de manera adyacente, siendo la interfaz una superficienatural de separacion entre los dos fluidos.

En este orden de ideas Mauryet al.(ver [6]) en el 2000 propone un estudiosobre elflujo bifasico lineal en dimension dos (D= 2)de un fludo compuestode agua y petroleo en una tubera horizontal y modelado por el sistema deecuaciones en derivadas parciales (EDPs) de Navier-Stokes. En una primeraetapa, Maury en [6] planteo el modelo matematico basado en estas ecuacionescon fronteras adecuadas en una configuracion axisimetrica. Esta configura-cion de axisimetra adiciono una frontera ficticia que se ubico en el eje central

imaginario a lo largo de la tubera, y sobre tal frontera se impuso otra condi-cion poco real pero que simplifico el estudio, en el sentido de que la interfazentre ambos fluidos se represento como una sola frontera libre. Esta fronteralibre es una incognita a determinar en el problema, y esto; aunque aparen-temente sencillo, dificulta el problema al adicionar la ecuacion de transporteque modela la evolucion espacio temporal de la interfaz a medida que se de-forma debido a la accion de esfuerzos producidos por la tension superficialentre los dos fluidos. Posteriormente, Girault, Lopez y Maury (ver [7]) discre-tizaron en espacio las ecuaciones obtenidas en cada paso del tiempo cuandose discretizan las ecuaciones de Navier-Stokes en el tiempo. En cada paso deltiempo el sistema se redujo a un problema de Stokes Generalizado con con-dicionesno estandaren la frontera y en la interfaz entre los dos fluidos. Estadiscretizacion se realizo usando elmini-elementoo elemento finito de Arnold-

Brezzi-Fortin como elemento conforme, y se establecieron estimaciones parael error numerico. Como una segunda etapa, en este traba jo presentamos unaextension de este problema bidimensional un poco mas realista, pues la condi-cion de axisimetra no es considerada y esto, a parte de eliminar la condicionde frontera ficticia, complica el problema porque en efecto se presentan dossuperficies libres que se deforman de manera distinta y arbitraria en el espacio



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Formulacion Variacional de un Modelo para Flujo Bifasico. 197

y el tiempo. Igual que en el problema anterior, sobre estas superficies libresse imponen condiciones debidas a los esfuerzos ocasionados por la tension su-perficial fluido-fluido, y cada una es modelada mediante un problema de valorinicial y de frontera con la ecuacion de transporte que se acopla al sistema deNavier-Stokes sujeto a las condiciones de contorno adecuadas que simulan elproblema de flujo bifasico agua-petroleo. Por esto, en este trabajo desarrolla-mos la formulacion variacional y los resultados sobre el buen planteamientode tal extension como paso previo al analisis numerico usando el metodo delos elementos finitos (MEF) conformes y no conformes.

Este artculo esta organizado de la siguiente manera. En la seccion 2 seintroducen los espacios de Sobolev, normas y desigualdades que se emplearonen el artculo. En la seccion 3, plantearemos las ecuaciones no lineales comple-tas y describiremos su discretizacion temporal y el problema lineal que resultay debe ser resuelto en cada paso del tiempo. Finalmente en la seccion 4, pre-sentaremos el desarrollo de la formulacion variacional del problema lineal ysu buen planteamiento en terminos de tal formulacion debil.

2 Preliminares.

En esta seccion se introducen los espacios de Sobolev, las normas y desigualda-des que principalmente se emplearon en este artculo. Para detalles remitimosal lector a las referencias [8] y [9].

Dado un dominio R2 de frontera, el espacio de Sobolev de funcio-nesHm() se define como:

Hm() =

v L2(); kv L2() |k| m

,

donde|k|= k1+ k2 con (k1, k2) un par de enteros no negativos (en dimensiondos) y

kv= |k|v

xk11 xk22

.

Este espacio esta dotado con la seminorma

|v|Hm()=

|k|=m

kv2 d1/2



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y es un espacio de Hilbert para la norma

vHm() =

0km

|v|2Hk()

1/2 .El producto escalar en L2() es denotado por (, ). Las definiciones de esteespacio se extienden sin problemas a vectores, con la misma notacion.

Por otro lado D() denota el espacio de las funciones infinitamente dife-renciables con soporte compacto en ,D () denota el espacio dual de D()y D() coincide con C(). En la referencia [8] se encuentra muy bien ex-puesta la definicion de espacios de orden fraccional tal como Hs() donde ses un numero real. En particular, denotaremos por H1/2() el espacio delas funciones trazas de H1() sobre el borde y por H1/2() su espaciodual. La traza es una aplicacion continua de H1() en H1/2() y existeuna constante C tal que

v H1(), vH1/2() CvH1() .

Finalmente, consideraremos que la desigualdad de Poincare es valida en elsiguiente subespacio de H1(): sea una parte de con medida positiva,||> 0, y sea

H10,() = v H1(); v| = 0 .Entonces existe una constante P, dependiente solo de y tal que

vL2() P vL2() .

Ademas, equipamos a H10,() con la seminorma vL2()= |v|H1() .

3 El modelo no lineal de flujo bifasico 2-D

En este estudio consideraremos que los dos componentes del fluido, el agua yel petroleo, son no miscibles e incompresibles de manera que las ecuaciones

deNavier-Stokesmodelan el comportamiento del flujo en la tubera tal comolo establece Maury et al. en [6].

En una seccion longitudinal de un trozo de tubera, el fluido de baja visco-sidad (agua) es adyacente a la pared de la misma y est a envolviendo al fluidode alta viscosidad (petroleo). Se supone que el flujo es suficientemente suave,Reynolds bajos, de tal manera que esta situacion se tiene hasta cierto tiempo



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T. Siendo la viscosidad,, una propiedad de los fluidos que mide la resistenciaal flujo, el numero adimensional de Reynoldsdefinido por

Re =vD

,

en donde es la densidad del fluido, vla velocidad promedio del fluido en unatubera de diametroD, es usado formalmente para establecer el regimen deflujo: diremos que el flujo es suave o laminar si Re < 2000 [10]. En regimen

laminar, podemos considerar que las interfaces entre los dos fluidos, las cua-les son superficies libres a determinar, pueden ser parametrizadas de maneraconveniente y, ademas, que nunca son adyacentes a las paredes de la tuberay siempre hay una distancia suficiente entre las dos interfaces [11]. Las ecua-ciones de las superficies libres estan dadas por laecuacion de transportey lascondiciones de transmision sobre cada interfaz son:

1) la continuidad de la velocidad y

2) el balance de esfuerzos normal con la tension superficial.

3.1 Formulacion fuerte del problema.

Consideraremos el flujo bifasico 2 D ilustrado en la figura 1 que muestra eldominio fsico, , formado por un trozo de seccion transversal de la tubera.

Figura 1: Geometra del problema.



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Entonces, para cada t [0, T], el dominio se descompone en dos sub-dominios 1(t) y 2(t). Aqui, el subdominio 1 es la region ocupada por elfluido pesado (el petroleo) y 2 es la region ocupada por el agua. Esta ultimaregion, 2, topologicamente esta dividida en dos subregiones: una superior yotrainferiorque denotaremos por 2

y 2b , respectivamente, y tales que

2(t) = 2(t) 2b(t).

Por otro lado la frontera de i, respectivamente para cadai = 1, 2, viene dada

por:1(t) = 1ent

1sal (t) b(t),

2(t) = 2ent 2sal (t) b(t) 0 0b ,

(1)

donde 1ent y 2ent =

2ent

2entb representan las fronteras de entrada para

cada i, 1sal y 2sal =

2sal

2salb representan las fronteras de salida para

cada subdominio i. Denotaremos, entonces, por ent= 1ent

2ent y sal=

1sal 2sal las fronteras de entrada y de salida, respectivamente, para todo el

dominio . Por otro lado 0 y 0b representan las fronteras correspondientesa las paredes rgidas de la tubera, y finalmente las interfaces de separacion

entre ambos componentes dadas por: (t) = 1

(t) 2

y b(t) = 1

(t) 2

b

en la parte superior y en la parte inferior respectivamente.En vista de que en el tiempo inicial las interfaces de separacion entre ambos

componentes son lneas rectas y el flujo es suave durante un cierto tiempo,entonces la parametrizacion conveniente de estas interfaces viene dada por:

: (x, t)(x, t),

b: (x, t)b(x, t),

de manera tal que la condicion de que ambas interfaces no se tocan puede serexpresada matematicamente de la siguiente manera:

0x L , (x, t) b(x, t)> >0; (2)

los subdominios estan dados por:

1

(t) = {(x, y) ; 0 x L, b(x, t)< y


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dondeD >0 es el radio de la tubera y L es la longitud.Para describir la densidad y la viscosidad, introduciremos las cantidades

constantes y dadas por:

=

2i=1

ii y =

2i=1

ii, (6)

coni la funcion caracterstica del subdominio i y donde para i = 2

2 =22b

=2

+ 2b .

Por otro lado, para i = 1, 2, i y i son las densidades y las viscosidadesconstantes, respectivamente.

Denotaremos los camposde velocidad y de presion de la forma siguiente:

ui =ui(x, t) =

uix, uiy

, pi =pi(x, t) para todo (x, t) i [0, T], i= 1, 2.

Entonces, para cada tiempo t [0, T] R el problema de Navier-Stokes eneste caso se escribe como

i

ui

t

+ ui ui iui + pi =ig en cada i, i= 1, 2, ui = 0 en i, i= 1, 2,

(7)

donde g es la gravedad y

ui ui =uixui

x + uiy

ui

y, i= 1, 2.

Este sistema de EDPs se complementa con una condicion inicial adecuada

ui(x, 0) = Ui0(x), x i, i= 1, 2, (8)

en donde Ui0 es una funcion suave tal que Ui0 = 0 en

i, i = 1, 2, y tal

queU

i

0(0j 2

ent) = 0 para cada j =

, b. Por otro lado, las condiciones defrontera que se imponen son las siguientes:ui =Ui sobre ent,

u2 =0 sobre 0j para j = , b,

n= psaln sobre sal,

(9)



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y las condiciones en las interfaces (continuidad de la velocidad y el balance deesfuerzos con la tension superficial, en las interfaces):

uij

=0, []j n1j =

jRj

n1j para i = 1, 2 y j = , b, (10)

donde Ui sobre iin para i = 1, 2 denota el vector de velocidad de entrada,dado e independiente del tiempo, psal es la presion exterior dada en el bordede salida, n es el vector normal exterior principal a i, n1j denota el vector

normal a j

para cada j = , b, exterior a 1, []j

denota el salto sobre j

en la direccion de n1j por cada j = , b:

[f]j =f|1 f|2j .

Fsicamente, la primera condicion en (9) representa el campo de velocidad conel cual los fluidos entran a i, i = 1, 2, a traves de ent, la segunda se refierea la condicion de no deslizamiento que se impone al campo de velocidad delfluido 2 por estar en contacto con las paredes de la tubera, 0j , j = , b,como elemento solido del subdominio 2(t), y por ultimo la tercera condicionrepresenta el balance de fuerzas de tension superficial normal respecto a lapresion exteriornecesario para establecer el equilibrio con los esfuerzos queambos fluidos ejercen sobre la frontera de salida sal. Para detalles sobre estetipo de condiciones de fronteras ver [12], [13] y [14]. Por otro lado, j > 0,

j = , b, son constantes geometricas, dadas, que se relacionan con la curvaturamediade las interfaces, Rj para cadaj = , bdenota el radio de la curvaturacon el signo apropiado, es decir, con la convencion de que Rj >0 si el centrode la curvatura de j esta localizado en

1 para cada j = , b, y es eltensor de esfuerzos dado, para cada i = 1, 2, por la ecuacion constitutiva deNavier-Stokes para fluidos Newtonianos no compresibles:

=

ui, pi

= iA1

ui

piI,

en dondeA1(ui) =

ui +

uit

es el tensor de tasa de deformacion (ver

[3], [10], [12] y [15]).Consideraremos que la velocidad entrante Ui, i = 1, 2, tiene la forma:

Ui

=Ui

(y)n= Ui(y), 0t , Ui(y)> 0 y (D, D), (11)es decir, la velocidad entrante es paralela al vector normal n y esta dirigidahacia dentro de i. Aun mas, consideraremos que Ui(D) =Ui(D) = 0; asique Ui satisface la condicion de compatibilidad:

U2

0j 2ent

= 0 por cada j = , b. (12)



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Finalmente, la ecuacion para el movimiento de las superficies libres j ,j = , b, viene dada por

jt

+ uxjx

=uy para cada j = , b, (13)

con la condiciones inicial y de borde, para cada j = , b, siguientes

j(x, 0) = y0 x [0, L] ,

j(0, t) = y0 t [0, T] ,

donde y0 (0, D) es una constante dada que toma el signo + si j = yel signo si j = b.

En esta etapa de la investigacion la ecuacion (13) junto con sus condicionesinicial y de frontera no se utilizan explcitamente en el problema linealizado,pues consideraremos que la posicion de cada interfaz es conocida; en una etapaposterior se usara para resolver el problema no linealcompleto.

3.2 Semi-discretizacion en tiempo

Para resolver numericamente el problema se utilizara una combinacion del

MEF con el metodo implcito ALE (Arbitrary Lagrangian Eulerian) [16]. Conesta tecnica, las magnitudes escalares, vectoriales y/o tensoriales asociadasal problema de flujo se expresan en un tipo de coordenadas especficas querelacionan las coordenadas espaciales y materiales del dominio i, i = 1, 2.Esto se justifica por el hecho de que i tiene condiciones de fronteras prees-critas sobre puntos espaciales fijos y sobre puntos materiales; es decir sobrelas interfaces j , para j = , b, que se mueven y se deforman. Bajo estas pre-misas se tiene que la trayectoria de las partculas esta basada en la velocidadrelativa del fluido con respecto a la del dominio en movimiento, y no basadaen el campo de velocidad ui para cada i = 1, 2. Entonces, cuando el terminode conveccion no-lineal en las ecuaciones de Navier-Stokes (7) es discretizadopor el metodo de las caractersticas (ver [17], [18] y [19]), la posicion x de lapartcula del fluido en el tiempo t es una funcion de t, y la expresion

ui

t + ui ui

es de hecho la derivada total (o en su efecto la material) du

i

dt ,i = 1, 2. Para de-talles, referimos al lector a Maury y Pironneau en [16] y [20] respectivamente.



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Ahora, si el dominio se esta moviendo con velocidad ci, la velocidad relativade la partcula es ui ci. Por tanto, reemplazamos

ui

t + ui ui por

ui

t + (ui ci) ui

y usamos la aproximacion

ui

t + (ui ci) ui

1

t ui(x, t + t) ui(X, t) ,

donde X es la posicion inicial de la caracterstica al tiempo t, conveccionadapor ui ci. Asi cada ecuacion de (7) esta discretizada, en el tiempo, por:

iui,m+1m u

im(X

m)

t iui,m+1m + p

i,m+1m =

ig, (14)

donde ui,m+1m es una aproximacion de la velocidad del fluido en el tiempotm+1, definida sobre el dominio aproximante en el tiempo tm, y Xm es unaaproximacion de la posicion ocupada por la partcula-fluido en tm. Lo anteriorno es mas que el resultado de una discretizacion en diferencias finitas, haciaadelante con respecto al tiempo, deloperador diferencial total; es decir:

dui

dt

ui,m+1m uim(X

m)

t .

En cada tiempo tm las ecuaciones (14), conocidas como ecuaciones demomentum, son de la forma (para simplificar, suprimimos la dependenciasobrem):

iui iui + pi =ig+ iwi en cada i, i= 1, 2,

ui = 0 en cada i, i= 1, 2,(15)

donde se usa para representar a 1/t y wi para representar a uim(Xm)

(conocida en un paso anterior tm1). Las condiciones de borde estan dadaspor (9) y al problema planteado en estos terminos se le conoce con el nombrede problema de Stokes generalizado (ver [4] y [21]), el cual debe ser resuelto

en cada paso del tiempo dada la superficie que describe a cada interfaz. Laprimera condicion para las interfaces (10) queda igual, y ya que la posicionde cada interfaz es ahora conocida, la segunda condicion se simplifica y (10)se transforma en:

uij

=0, []j n1j =Kjn

1j parai = 1, 2 y j = , b, (16)



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donde Kj , que se usa para representar a j/Rj para cada j = , b, es ahorauna funcion conocida. Finalmente (15), (9) y (16) son las expresiones quedefinen al problema de Stokes generalizado con condiciones de frontera noestandar.

4 Formulacion variacional y el buen

planteamiento del problema

La tecnica de discretizacion espacial de nuestro problema en cada paso deltiempo estara basada, tal como indicamos en la seccion precedente, en elMEF. Esta tecnica es una de las mas usadas y desarrolladas matematica-mente para estudiar problemas relacionados con el flujo de fluidos viscosose imcompresibles [22], pues existe una gran cantidad de resultados te oricos,fundamentados en el analisis funcional, que se usan para establecer el buenplanteamientode los mismos en pro de obtener tambien buenas simulacionescomputacionales del proceso o fenomeno asociado con tales problemas [23].Basicamente, el MEF requiere de una formulacion variacional adecuada delproblema y de la eleccion de espacios funcionales admisiblespara el analisisteorico continuo, discreto y posterior implementacion computacional [24]. Enproblemas de Stokes generalizado como el que estamos tratando, en donde las

incognitas son campos vectoriales y escalares mezclados, es necesario plan-tear unaformulacion variacional mixta equivalente(ver [25]) para estudiar subuen planteamientoo, lo que es igual, la existencia, unicidad y estabilidaddela solucion (ui, pi) del problema en el dominio por cada paso de tiempo;este es el objetivo principal de esta secci on.

4.1 Formulacion variacional

A continuacion plantearemos el problema (15), (9), (16) en una formulaci onvariacional equivalente. No tomaremos en cuenta la interpretacion deKj paracada j = , b, por tanto es suficiente considerar que las interfaces j soncontinuas Lipschitz al igual que cada subdominio i. Por otro lado, la funciondada U pertenece al espacio H1(D, D), la presion de salida psal al espacio

L2 (sal) y las funciones conocidas Kj al espacio L2 (j) para cada j = , b.En primer lugar, consideraremos el problema donde la primera ecuacion

dada en las condiciones de frontera (9) es reemplazada por Ui = 0, i = 1, 2,clasicamente conocida como condicion de Dirichlet homogenea:

ui =0 sobre ent.



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Posteriormente, una extension adecuada de Ui sera considerada para resolverel problema (15), (9), (16). En vista de las condiciones de frontera podemosentonces elegir el siguiente espacio para la velocidad:

X=

v

H1()2

; v|ent =0, v|0j =0 para j = , b

. (17)

Por otro lado, como las condiciones de transmision sobre las interfaces y lacondicion de flujo a la salida involucran al tensor de esfuerzos , entonces lapresion no tiene ninguna constante indeterminada y por tanto el espacio parala presion es:

M=

q: R; q L2()

, (18)

y como es usual, definimos el espacio de las velocidades con divergencia cerocomo:

V ={v X; v= 0} . (19)

Ahora, dado que v = 0, para la formulacion variacional tenemos en cadai la siguiente identidad

ui =A1(ui).

A continuacion tomaremos el producto escalar de la primera ecuaci on de

(15) en

L2(i)

2

con una funcion de prueba v Xpara obtener:

i=1,2

i

iui v dx i

iui v dx + i

piv dx=i=1,2

i

i

g+ wi

v dx.

(20)

Definimos la operacion :sobre los tensoresA = (aij) y B = (bij) como:

A: B =

2i,j=1

aijbij

Entonces, en vista de la identidad senalada anteriormente, otras identidades

del calculo tensorial, el Teorema de la Divergencia y el hecho de que el tensorA1 es simetrico, el segundo termino del lado izquierdo de (20) se transformaen:

i

iui v dx=

i

iA1(ui) : v dx +

i

i

A1(ui)n

v ds, i= 1, 2,



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donde

A1(ui) : v=

1

2A1(u

i) : A1(v), i= 1, 2.

Analogamente, si trabajamos el tercer termino del lado izquierdo en (20)se tiene que:

i

piv dx=

i

pi v dx +

i

piv n ds, i= 1, 2.

Sustituyendo en (20) las expresiones encontradas anteriormente, obtenemosla siguiente expresion para la formulacion variacional:

i=1,2

i

iui v dx +1

2

i

iA1(ui) : A1(v) dx

i

pi v dx

=

i=1,2

i

i

g+ wi

v dx

i

iA1(u

i) +piI

n v ds

.

(21)

Por la definicion del tensor y de cada i con sus respectivas condiciones,y por las condiciones (16) impuestas en las interfaces, entonces el terminointegral en la frontera del dominio se transforma, para cada i = 1, 2, en:i

iA1(u

i) +piI

n v ds=sal

pisaln v ds+

Kn1v ds+

b

Kbn1b v ds.

Sustituyendo en (21), se tiene:i=1,2

i

iui v dx +1

2

i

iA1(ui) : A1(v) dx

i

pi v dx

=i=1,2

(g+ w) v dx

sal

pisaln v ds

Kn1v ds bKbn

1b v ds,

(22)

con la condicion de divergencia cero, que podemos escribir

q L2(i),i=1,2

i

q ui dx= 0. (23)



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En otras palabras, se tiene la siguiente formulacion variacional para el proble-ma homogeneo:

Encontraru Xy p M tales que

v X, a(u, v) + b(v, p) = l(v)

q M, b(u, q) = 0,

(24)

en dondea : X X R es una forma bilinealdefinida como:

a(u, v) = i=1,2

a(ui, v) = i=1,2

i

iui vi dx +1

2i

iA1(ui) : A1(v) dx,

b: XM R es unaforma bilinealdefinida mediante la siguiente expresion:

b(v, p) =i=1,2

b(v, pi) = i=1,2

i

pi v dx,

y, finalmente, l : X R es una forma linealdefinida mediante:

l(v)=i=1,2

i

i

g+ wi

v dx

sal

psaln v ds

Kn1v ds

b

Kbn1b v ds.

4.2 Equivalencia.La prueba de equivalencia entre el problema de frontera (15), (9), (16) y suformulacion variacional (24) se basa esencialmente en la densidadde funcionesregulares en el espacio al cual pertenecen, lo cual es apropiado para el operadorde Stokessobre un dominio en una dimension arbitraria n. Es necesarioentonces establecer antes un resultado de equivalencia, para lo cual seguiremosmuy de cerca la referencia [7] y para simplificar la notacion suprimimos elsuperndice i. Sea entonces, en particular paran = 2, el siguiente espacio:

W=

(L, p) L2()22 L2(); L2()2, (trL) L2()2

,

donde = (L +pI) y trL denota la traza del tensor L. Este es unespacio de Hilbertpara la norma graphdada por

(L, p)W =L2L2()22 + p2L2()+ 2L2()2+ (trL)2L2()2 12 .

Por otro lado, el operador deStokesesta relacionado con el espacioWa travesde la siguiente identidad:

u D()2, p D(), (A1(u) +pI) = u ( u) + p.



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De all, y dado a que u=1

2trA1(u), siu H

1()2 yp L2() se satisface

u + p= f en

u = 0 en , (25)

con f en L2()2, entonces el par (A1(u), p) pertenece al siguiente subespaciodeW:

Ws= {(L, p) W; L es simetrico } . (26)

A continuacion enunciaremos el teorema de densidad, y un corolario, que esfundamental para concluir con la prueba de equivalencia. La prueba tantodel teorema como del corolario se basa en argumentos clasicos, y un esquemapuede ser encontrado en el artculo [7].

Teorema 4.1. Sea un dominio acotado Lipschitz deR2. EntoncesD()22

D() es denso enW.

Observacion 1. La prueba del Teorema 4.1 trae como consecuencia que siDs()

22 es el subespacio de los tensores simetricos de D()22, entoncesDs()

22 D()22 es denso enWs.

De manera indirecta, la formula de Green fue aplicada para plantear la

formulacion variacional. Retomando de nuevo este punto, para cada (L, p)Ds()22 y toda v D()2 tenemos que:

v dx=

(L +pI)t

v

dx

(L +pI) :v dx.

Por el teorema de la divergencia y por la simetra del tensor (L +pI), laexpresion anterior se transforma en:

v dx=

[(L +pI) v] n ds +

(L:v pI: v)dx,

en dondepI: v= p v, luego

[(L +pI) n] v ds=

v dx

(L:v p v) dx. (27)

El siguiente corolario es consecuencia del Teorema 4.1 por argumentos cono-cidos del analisis funcional.



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Corolario 4.2. Para todo (L, p) W, la traza

(L +pI) n H1

2 ()2

satisface, con una constanteCque depende solamente de, la cota siguiente

(L +pI) nH

1

2()2C(L, p)W,

y se tiene la siguiente formula de Green

v H1()2, (L +pI) n, v=

(L +pI) v dx

(L: v p v)dx,

(28)

donde, denota el pareo dual entreH 1

2 ()2 yH1

2 ()2.

En este punto, retomando la notacion con el superndice i, ya estamosen capacidad de probar la equivalencia entre el problema con condicionesde frontera y su formulacion variacional. En este orden de ideas ya hemosvisto que cualquier solucion ui, pi X Mde (15), (9), (16) es solucionde la formulacion variacional (24). Inversamemte, si ui, pi es una solucionde la formulacion variacional (24), entonces la segunda ecuacion de (24) dainmediatamente:

ui = 0 en i, i= 1, 2. (29)

Despues, tomando vi en D(i)2 en la primera ecuacion de (24) y aplicando(29) con la identidad

A1(u

i)

= ui, obtenemos lasecuaciones interioresen 1 y 2 respectivamente, en sentido de distribuciones:

iui iui + pi =ig+ iw en cada i, i= 1, 2,

es decir, recuperamos el sistema (15). Este sistema se escribe tambien:

iui ui, pi= ig+ iw , i= 1, 2.A continuacion recuperamos las condiciones de frontera. En tal sentido,

como ui Xentonces tenemos que el saltode ui se anula sobre cada interfaz,es decir:

uij

=0, i= 1, 2, j = , b.



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Para recuperar las otras condiciones de frontera, multiplicamos cada ecuacionde (15) en i por una funcionv del espacioX, aplicando la formula de Green(28) y comparando con la formulacion variacional (24). En vista del Corolario4.2, vale la formula de Green pues (ui, pi) L2(i)2 y(trA1(u

i)) = 0,i= 1, 2. De esta manera obtenemos para todo v X

2i=1

ui, pi

ni, vi

=

sal

psaln v ds

Kn1 v ds

b

Kbn1b v ds.

(30)

Dada la hipotesis (2), en (30) podemos elegir v H10 ()2, arbitraria en un

entorno de y cero en un entorno de b. Para esta clase de funciones vtenemos:

u1, p1

n1

, v

u2, p2

n1

, v

=

Kn1 v ds.

Equivalentemente, con la definicion del salto, esto se escribe:

[ ui, pi]n1, v =

Kn1

v ds, i= 1, 2,

lo cual implica que

ui, pi

n1= K n

1

, i= 1, 2.

De la misma manera se obtiene

ui, pi

bn1b =Kb n

1b , i= 1, 2.

Finalmente tomando v X tal que v|ent = 0 y v|20

= 0, entonces en(30) solo queda el termino correspondiente a out. Es decir que

ui, pin, vsal = sal

psaln v ds.

Por tanto n= psaln sobre sal.

Con todo el estudio anterior hemos demostrado la siguiente proposicion:



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Proposicion 4.3. Los problemas (24) y (15), (9), (16) son equivalentes.

Con el proposito de retomar el problema original con condicion de bordetipo Dirichlet no homogenea sobre ent, construiremos una extension; digamos

Ui, de la velocidad de entrada Ui para cadai = 1, 2.

Por ahora no necesitamos que Ui

sea regular, pero por el momento pro-ponemos una muy simple. Para esto, recordemos que debido a la geometrade la velocidad tiene la forma (11)

Ui = Ui(y), 0t , i= 1, 2,dondeUi H1 (D, D) es una funcion de y conocida que satisface

Ui (D) = 0.

Entonces Ui

se obtiene repitiendo estos valores para todo (x, y) en , es decir

(x, y) , Ui(x, y) =

Ui(y), 0

t, (31)

la cual, claramente con divergencia cero, depende continuamente de la funcionUi, pertenece a H1()2 y satisface la condicion de compatibilidad

U

2 0j 2ent= 0 por cada j = , b.Con esto, proponemos la siguiente formulacion variacional para el problema(15), (9), (16):

Encontrarui X+Ui

ypi M tales que

v X,i=1,2

a

ui, v

+ b

v, pi

=i=1,2

l (v)

q M,i=1,2

b

ui, q

= 0,

(32)

con las formas bilineales a y b definidas anteriormente.

4.3 Buen planteamiento

El problema (32) es un problema variacional no homogeneo del tipo mixto.La extension deUi a todo que hemos tomado pertene al espacioV definidopor (19), por lo que el problema de partida (15), (9), (16) tiene asociada talformulacion variacional.



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Entonces, en vista de que la extension Ui

tiene divergencia cero, resolverel problema (15) con las condiciones de frontera (9) y (16), equivale a resolverel problema siguiente:

Encontraru0 =

u10, u20

V y pi M tales que

iu0 iu0+ p

i =i

g+ wi

iUi

iUi

en cada i,

i= 1, 2,

u0 = 0 en ,(33)

donde u0 = ui U

i. Por tanto, en terminos de la formulacion variacional

abstracta el problema es

Encontraru0=

ui Ui

V ypi M tales que

v X,i=1,2

a (u0, v) + b

v, pi

=i=1,2

l (v) i=1,2

a

Ui, v

q M,i=1,2

b (u0, q) = 0.

(34)Diremos, entonces, que el buen planteamiento del problema (32) (es decir:

existencia, unicidad y estabilidad de sus soluciones) es consecuencia de dospropiedades: laelpticidadsobreV (Velpticidad) de la forma bilineal a(, ),la condicioninf-supsobreXMde la forma bilineal b(, ) y de lacontinuidaddel lado derecho en la primera expresion de (34).

La elipticidad de a es una consecuencia inmediata de la desigualdad deKorn: Existe una constanteC() tal que para toda v H1()2,

vH1()2 C()

1

2(A1(u)

2L2()+ v

2L2()

.

As, la elipticidad se tiene sobre X(no solamente sobre V) y es independientedel parametro. En efecto, existe una constante , que depende solo de ,tal que:

u X, 1

2A1(u)

2

L

2() u2

L

2() .

Entonces como

a(u, u) mn1i2

(i)1

2A1(u)

2L2() ,

se tiene quea(u, u) mn

1i2(i) u

2L2() , (35)



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con lo cual concluimos que la forma bilineal a es Xelptica.La continuidad sobre V de la forma lineal l se deduce de la desigualdad

de Poincare y el teorema de trazas.Nos dedicaremos ahora a demostrar que la forma bilineal b(, ) cumple con

la condicioninf-sup establecida por la proposicion siguiente:

Proposicion 4.4. Existe una constante >0 tal que

q M, supvX

1

vL2()

q v dx qL2

(). (36)

Demostracion. La condicion inf-sup es un resultado que se conoce cuando qtiene valor promedio nulo en el dominio . En nuestro caso qno tiene estarestriccion debido a que las condiciones sobre la velocidad en toda la frontera,, no son todas del tipoDirichlet. Hay varias formas de probar este resultado.La mas facil, segun Giraultet al. en [7], es considerando la extension

q=q+ qen donde

q= 1

||q dx

y tal queq = (q q) tiene valor promedio nulo en el dominio . Es decir,estamos garantizando queq L20(). Con esto y con el hecho de que esLipschitziano y conexo, entonces el operador gradiente es un isomorfismo delespacioL20() sobre el espacio polar V

0 deV. Por tanto para una constante >0 dependiendo solo de , se tiene que:q L20(); qH1() qL2() .

De igual forma el operador divergencia es un isomorfismo del espacioortogonalV de V, sobre L20(), y por lo anterior con la misma constante

tenemosque:

v V; vL2

()

|v|[H1()]2.Ahora, con las premisas anteriores y un resultado encontrado en [4], tene-

mos que para todaq L20() existe una unicav en H10 ()2 tal que: v=q y vL2() 1 qL2() , (37)



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con el mismo >0. Escogemos entonces v = || qn, donde n es la normalexterior unitaria a sal (es decir que: n = (1, 0)

t) y es una funcion suaveno negativa que se anula identicamente en un entorno de excepto en elentorno de sal; su traza sobre sal tiene soporte compacto y satisface que

sal

ds= 1. (38)

La eleccion de v se justifica por el hecho de que

q v dx=q2L2() .

Entonces, finalmente (36) se establece por la tecnica de Boland y Nicolaides[26] (ver tambien [27]), la cual consiste en asociar aquna combinacion linealadecuada dev y v :

v= v+ v,en dondees una constante a elegir. Asi, tenemos que:

q v dx=

q2 dx + q

qdx +

q v dx + q v dx,

en donde usamos, por (37), el hecho de que v =q. Por otro lado como qes constante yq L20(), entonces:

q v dx= q2L2()+ q2L2()+

q v dx. (39)Usando la definicion de v, la desigualdad de Cauchy-Schwartz y eligiendo= || 2L2(), entonces tenemos en definitiva que:

q v dx ||

2L2()

q

2L2() ||

1/2 L2()

qL2() qL2()

+ q2L2() .

(40)

Ahora, en vista de que estamos trabajando en el espacio funcional Lp() conp= 2, por la desigualdad de Young (ver [28]) aplicada al segundo termino del



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lado derecho en (40) establecemos que

q v dx C1

q2L2()+ q2L2() , (41)en dondeC1 =

1

2mn (, 1). Por otro lado, tomando en consideracion (37), la

definicion de la velocidad v y la eleccion de obtenemos que

vL2() C2 qL2() , (42)

con

C2 = || L2()

12 2L2()+ 1||

1/2.

Comoq=q+ qy la descomposicion es ortogonal, entoncesqL2()=

q2L2()+ q2L2()

y por tanto (42) se transforman en

1

vL2()

1

C2q2L2()+ q2L2() . (43)

Finalmente, combinando (41) con (43) se obtiene la condicion inf-sup

1

vL2()

q v dx qL2()

con=C1C2

.

Finalmente, debido a la regularidad que hemos impuesto sobre la data, laformal(v) es un elemento del espacio dual; H1()2, de H1()2 y esta aco-

tada. De aqui se tiene la continuidad del lado derecho de la expresion (32).Entonces por la teora de Babusca-Brezzi (ver [29] y [30]) hemos probado lasiguiente proposicion y con la cual finalizamos el estudio presentado en esteartculo.

Proposicion 4.5. El problema (32) esta bien planteado.



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Agradecimientos

Agradecemos al CDCH y al programa de cooperacion cientfica-bilateral entreVenezuela y Francia, a traves del FONACIT y el Comite ECOSNORD res-pectivamente en cada pas, por el financiamiento del trabajo enmarcado en elproyecto N 2000000868 (V00M04 en Francia) como un avance de tesis doc-toral del autor Wilfredo Angulo bajo la tutora de la Profesora Hilda Lopezy la Profesora Vivette Girault. Igualmente agradecemos a los investigadoresdel Laboratorio de Analisis Numerico Jacques-Louis Lions de la UniversidadPierre Marie Curie (Paris 6): Bertrand Maury y Pascal Joly por la valiosa co-laboracion durante la realizacion de las estadas de investigacion conducentes,en gran parte, al estudio presentado en este artculo y realizadas por el autorW. Angulo en este Laboratorio.

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