FACULTAD: Ingenieras y ArquitecturasESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL: Ingeniera CivilANLISIS DIFERENCIAL EN MECNICA DEFLUIDOS

1.CINEMTICAY DINMICADEFLUIDOS1.1.MtodosdeanlisisenMecnicadeFluidos:LagrangianoyEuleriano.1.2.TiposdeanlisisenMecnicadeFluidos:Diferencial,DimensionaleIntegral.1.3.CinemticadeFluidos:propiedadesdelvectorvelocidad.1.4.DinmicadeFluidos:fuerzasmacroscpicassobrelosfluidos.1.5.Tiposdeflujo.

2.ECUACIONESDE CONSTITUCIN2.1.Comportamientomecnico:tensordevelocidaddedeformacin.2.2.FluidosStokesianos:tensordetensionesviscosas.2.3.FluidosNewtonianos.2.4.Comportamientotrmico.

3.ECUACIONESDE CONSERVACIN.3.1. Ecuacin diferencial de conservacin demasa: ecuacin de Continuidad.3.2. Ecuacin diferencial de conservacin decantidad de movimiento: ecuacin De movimiento de CAUCHY.3.3. Ecuacin diferencial de conservacin de la energa: ecuacin de la energa.3.4.Condicionesdecontorno.

4. PROBLEMAS RESUELTOS.4.1.Mtodosdeanlisis:EulerianoyLagrangiano.4.2.Aplicacindelaecuacindecontinuidad:criteriosdeincompresibilidad.4.3. Aplicacin de las ecuaciones de continuidad y de BERNOULLI:descargadedepsitos.4.3. Otros

CINEMTICAYDINMICADEFLUIDOS1. MTODOS EN MECNICA DEFLUIDOS: LAGRANGIANO Y EULERIANO.

El mbito general de la Mecnica de Fluidos, es la interaccin entre fluidos y su entorno. Adems el fluido est constituido por una sucesin continua de partculas que interaccionan entre si y entre los contornos. La partcula fluida est formada por una sucesin continua de puntos materiales, que integran un volumen infinitesimal; que en el proceso de fluir, se deforma por la interaccin con el resto de fluido, permaneciendo su masa y su volumen elementales constantes, es decir, la densidad en toda la extensin de la partcula fluida es constante. Como metodologa de estudio se dispone de dos alternativas:- La identificacin de cada partcula fluida y su seguimiento en el tiempo; es decir, hay que determinan la posicin de la partcula en funcin del tiempo, adems de conocer las magnitudes asociadas a cada partcula. Este el mtodo de LAGRANGE,que esel usado normalmenteen Mecnica de Slidos.- En Mecnica de Fluidos, es suficiente conocer el valor de las propiedades en los diversos puntos del campo fluido a lo largo del tiempo, con independencia de la partcula que lo ocupa en un instante determinado; sta es la base del mtodo de EULER, en el que las magnitudes de las propiedades de una partcula fluida en un determinado instante, vienen dadas por los valores de las propiedades en el punto que es ocupado por la partcula en el citado instante. En el mtodo Euleriano, se deben determinar los campos de propiedades; as, el campo de presiones, es la expresin espacial y temporal de la presin: p=p(x, y, z, t), con lo que una partcula que en un instante t0, ocupe una posicin (x0,y0,z0), tiene una presin dada por el campo de presiones p=p(x0,y0,z0) Al movimiento de un fluido se le denomina flujo, y en su anlisis es interesante tener algn tipo de representacin.Cada mtodo de anlisisutiliza diferentes procedimientos de representacin.En el mtodo lagrangiano, se definen las trayectorias de las partculas como lugar geomtrico de las diferentes posiciones temporales de las partculas. La trayectoria de una partcula es el lugar geomtrico de las posiciones sucesivas, a lo largo del tiempo, dela partcula, que en el instante inicial (t0) estaba en l aposicin inicial (0rr).

Fig.1.1.: Trayectoria de una partcula A ah lo largo del tiempo: Mtodo Lagrangiano

2. TIPOS DE ANLISIS EN MECNICA DEFLUIDOS.

La dinmica de fluidos trata del movimiento de los fluidos, a lo que se denomina flujo, y de sus interacciones con el entorno. En el estudio de flujos hay que analizar el estado de movimiento del fluido, definido por las ecuaciones de conservacin (leyes fundamentales en el movimiento de fluidos), por las ecuaciones de constitucin (leyes del comportamiento del fluido) y por las condiciones de contorno (impuestas por la geometra y el entorno).Las ecuaciones de conservacin y de constitucin, juntocon las condiciones de contorno,aplicadas a cada una de las partculas del fluido, dan sistemas de ecuaciones diferenciales, cuya resolucin lleva a definir el flujo, en cuanto al campo de velocidades (cinemtica) y al campo de fuerzas (dinmica). Este tipo de anlisis diferencial, da sistemas de ecuaciones simultaneas en derivadas parciales, que son de difcil o imposible resolucin; aunque pueden encontrarse soluciones analticas con hiptesis restrictivas y en determinados casos, en donde se pueden obtener soluciones parciales por clculo numrico, utilizando las tcnicas actuales de simulacin que constituye la mecnica de fluidos computacional (CFD: computacional fluid mechanics), en donde las derivadas se sustituyen por relaciones algebraicas en un nmero finito de puntos del flujo (mallado).Si lo que se pretende obtener, no es el estado de movimiento del fluido, sino sus efectos sobre una determinada regin del flujo, se puede establecer otro tipo de anlisis que evale las caractersticas globales del flujo: caudales, fuerzas, momentos, potencias,... A la regin de estudio, en donde se consideran las interrelaciones entre entorno y flujo, se le denomina volumen de control; las modificaciones sobre el entorno que introduce el flujo en su entrada-residencia-salida del volumen de control, o que el entorno introduce en las propiedades del flujo, vienen determinadas por las ecuaciones integrales de conservacin aplicadas al sistema aislado entorno-volumen de control. Este mtodo de anlisis integral, se fundamenta en las ecuaciones integrales que dan las velocidades de variacin de las propiedades del fluido a su paso por el volumen de control.Cuando el flujo es complejo y el anlisis diferencial no aporta soluciones (por ser insuficientes las ecuaciones o porque la resolucin de los sistemas en derivadas parciales no es posible); y debido aque el anlisis integral da resultados globales; es necesario recurrir a un anlisis experimental, en donde los resultados se obtienen a partir de las magnitudes medidas en los experimentos. En este mtodo de anlisis aparecen dos problemas propios: el gran nmero de variables que intervienen en la descripcin del flujo y la imposibilidad, en ciertos casos, de ensayar en condiciones reales. Para abordar estos problemas, se dispone del anlisis dimensional que permite reducir el nmero de variables y la teora de modelos, con la que se correlacionan los resultados experimentales de un modelo con los que tendra su prototipo. El anlisis diferencial puede ser utilizado para cualquier tipo de flujo, pero la dificultad de establecer y resolver sistemas de ecuaciones diferenciales, limita el mtodo; tambin el anlisis experimental puede aplicarse a cualquier flujo, pero las dificultades inherentes a las tcnicas experimentales, presupuesto y universalidad, son las que limitan el mtodo; en cuanto al anlisis integral, s que aporta resultados en el estudio tcnico de flujos, pero siempre de magnitudes globales. El anlisis diferencial comenz con EULER yLAGRANGE en el siglo XVIII, el anlisis dimensional tuvo sus primeros pasos con RAYLEIG a finales del siglo XIX, y el anlisis integral, aunque propuesto por EULER, se desarroll a mediados del siglo XX.En la actualidad las potentes tcnicas de clculo numrico, implementadas en ordenadores cada vez ms rpidos, han hecho posible, el resurgimiento del anlisis diferencial, en cuanto a la posibilidad de resolucin de flujos cada vez ms complejos, en donde se consideran los efectos viscosos. En cuanto al anlisis experimental, el desarrollo de sensores especficos (piezoelctricos de presin, extensiomtricos de fuerza,...) y de tcnicas cada vez menos intrusivas (velocimetra laser-doppler, hilo radiante,...), est aportando medidas cada vezms fiables

3. CINEMTICA DE FLUIDOS: PROPIEDADES DEL VECTOR VELOCIDAD.

El trmino cinemtica est asociado a las propiedades del campo de velocidades. En la descripcin Euleriana del flujo, la velocidad local del fluido(x, y, z, t)vr es la variable fundamental. Se pueden tener dos casos extremos:Flujo estacionario, cuando la velocidad es independiente del tiempo, con lo que en un determinado punto,la velocidad (y en general cualquier propiedad) no vara con el tiempo, es decir la velocidad solo depende de la posicin: (x, y, z) 0t ==vvvrrr (1.)Flujo uniforme, cuando la velocidad no depende de la posicin, con lo que en un determinado instante,la velocidad(y engeneral cualquierpropiedad) esla misma entodos lospuntos delcampo fluido, es decir la velocidad solo depende del tiempo, y su gradiente es nulo.(t)0=vvvrrr (2.)

4. DINMICA DEFLUIDOS: FUERZAS MACROCPICAS.

En el Anlisis Diferencialde Fluidos,hemos considerado como volumen de control ala partcula fluida, que es una porcin de fluido de dimensiones infinitesimales y arbitrarias. El tamao esta en relacin a las dimensiones del equipo de medida y del tiempo de medicin. En todo caso los valores de las magnitudes son medias temporales y espaciales, referidas a un intervalo de tiempo elemental y al conjunto de molculas que integran la partcula fluida. Para su anlisis, la partcula fluida se asla del fluido que la envuelve mediante las superficies de contacto partcula-fluido, y en este estado de equilibrio de la partcula aislada, se analizan las fuerzas que laman tienen en equilibrio; estas fuerzas se dividen en tres tipos: fuerzas de volumen, fuerzas de superficie y fuerzas de inercia

5. TIPOS DE FLUJOS

Para poder acotar el estudio del movimiento de un fluido, se establecen las pertinentes restricciones, que determinan los siguientes tipos de flujos: Flujo Permanente:El flujo permanente tiene lugar cuando, en un punto cualquiera, la velocidad de la sucesiva partcula q ocupan ese punto en los sucesivos instantes es la misma. Por tanto, la velocidad es constante respecto del tiempo o bien V / t = 0, pero puede variar de un punto a otro es decir, ser variable respecto de las coordenadas especiales.

Flujo laminar: Se caracteriza porque el movimiento de las partculas del fluido se produce siguiendo trayectorias bastante regulares, separadas y perfectamente definidas dando la impresin de que se tratara de lminas o capas ms o menos paralelas entre s, las cuales se deslizan suavemente unas sobre otras, sin que exista mezcla macroscpica o intercambio transversal entre ellas.La ley de Newton de la viscosidad es la que rige el flujo laminar:

Esta ley establece la relacin existente entre el esfuerzo cortante y la rapidez de deformacin angular. La accin de la viscosidad puede amortiguar cualquier tendencia turbulenta que pueda ocurrir en el flujo laminar. Flujo incompresible: Es aquel en los cuales los cambios de densidad de un punto a otro son despreciables, mientras se examinan puntos dentro del campo de flujo, es decir:

Lo anterior no exige que la densidad sea constante en todos los puntos. Si la densidad es constante, obviamente el flujo es incompresible, pero sera una condicin ms restrictiva.

Numero de Reynolds:El Nmero de Reynolds (Re), que es un grupo adimensional, viene dado por el cociente de las fuerzas de inercia por las fuerzas de vida a la viscosidad.Para tubera circulares, en flujo a tubera llena, Nmero de Reynolds Re = o = Dnde: V= velocidad media en m/s d= dimetro de la tubera en m, = radio de la tubera en m v= viscosidad cinemtica del fluido en m2/s p= densidad del fluido en UTM/m3 o kps2/m4 o kg/m3 o Ns2/m4 = viscosidad absoluta en kg s/m2 o Ns/m2

Flujo turbulento: Este tipo de flujo es el que ms se presenta en la prctica de ingeniera. En este tipo de flujo las partculas del fluido se mueven en trayectorias errticas, es decir, en trayectorias muy irregulares sin seguir un orden establecido, ocasionando la transferencia de cantidad de movimiento de una porcin de fluido a otra, de modo similar a la transferencia de cantidad de movimiento molecular pero a una escala mayor.La ecuacin para el flujo turbulento se puede escribir de una forma anloga a la ley de Newton de la viscosidad:

Donde:h: viscosidad aparente, es factor que depende del movimiento del fluido y de su densidad.

Flujo compresible: Es aquel en los cuales los cambios de densidad de un punto a otro no son despreciables.

Flujo permanente: Llamado tambin flujo estacionario.Este tipo de flujo se caracteriza porque las condiciones de velocidad de escurrimiento en cualquier punto no cambian con el tiempo, o sea que permanecen constantes con el tiempo o bien, si las variaciones en ellas son tan pequeas con respecto a los valores medios. As mismo en cualquier punto de un flujo permanente, no existen cambios en la densidad, presin o temperatura con el tiempo, es decir:

Flujo no permanente: Llamado tambin flujo no estacionario.En este tipo de flujo en general las propiedades de un fluido y las caractersticas mecnicas del mismo sern diferentes de un punto a otro dentro de su campo, adems si las caractersticas en un punto determinado varan de un instante a otro se dice que es un flujo no permanente, es decir:

Donde:N: parmetro a analizar.El flujo puede ser permanente o no, de acuerdo con el observador.

Flujo uniforme:Este tipo de flujos son poco comunes y ocurren cuando el vector velocidad en todos los puntos del escurrimiento es idntico tanto en magnitud como en direccin para un instante dado o expresado matemticamente:

Donde el tiempo se mantiene constante y s es un desplazamiento en cualquier direccin.

Flujo no uniforme: Es el caso contrario al flujo uniforme, este tipo de flujo se encuentra cerca de fronteras slidas por efecto de la viscosidad

Flujo unidimensional: Es un flujo en el que el vector de velocidad slo depende de una variable espacial, es decir que se desprecian los cambios de velocidad transversales a la direccin principal del escurrimiento. Dichos flujos se dan en tuberas largas y rectas o entre placas paralelas.

Flujo bidimensional:Es un flujo en el que el vector velocidad slo depende de dos variables espaciales.En este tipo de flujo se supone que todas las partculas fluyen sobre planos paralelos a lo largo de trayectorias que resultan idnticas si se comparan los planos entre s, no existiendo, por tanto, cambio alguno en direccin perpendicular a los planos.

Flujo tridimensional:El vector velocidad depende de tres coordenadas espaciales, es el caso ms general en que las componentes de la velocidad en tres direcciones mutuamente perpendiculares son funcin de las coordenadas espaciales x, y, z, y del tiempo t.Este es uno de los flujos ms complicados de manejar desde el punto de vista matemtico y slo se pueden expresar fcilmente aquellos escurrimientos con fronteras de geometra sencilla.

Flujo rotacional:Es aquel en el cual el campo rot v adquiere en algunos de sus puntos valores distintos de cero, para cualquier instante.

Flujo Irrotacional:Al contrario que el flujo rotacional, este tipo de flujo se caracteriza porque dentro de un campo de flujo el vector rot v es igual a cero para cualquier punto e instante.En el flujo irrotacional se excepta la presencia de singularidades vorticosas, las cuales son causadas por los efectos de viscosidad del fluido en movimiento.

Flujo ideal:Es aquel flujo incompresible y carente de friccin. La hiptesis de un flujo ideal es de gran utilidad al analizar problemas que tengan grandes gastos de fluido, como en el movimiento de un aeroplano o de un submarino. Un fluido que no presente friccin resulta no viscoso y los procesos en que se tenga en cuenta su escurrimiento son reversibles

ECUACIN DE CONSTITUCIN

COMPORTAMIENTOMECNICO:Tensor de velocidad de deformacin.

En funcin de las hiptesis restrictivas, con las que se analiza el comportamiento de los fluidos reales, se tienen las Ecuaciones de Constitucin, que son inherentes a cada fluido analizado. El comportamiento especifico de un determinado fluido, viene determinado por su comportamiento mecnico y su comportamiento trmico. El comportamiento mecnico del fluido, viene determinado por la relacin entre las tensiones a las que est sometido y las velocidades de deformacin que se producen por la accin de las tensiones mecnicas. Este es el comportamiento inherente de los fluidos, es decir, las dbiles fuerzas intermoleculares, hacen que cualquier esfuerzo tangencial, deforme continuamente el fluido, originando el movimiento de las partculas o flujo. La velocidad de deformacin viene determinada por la magnitud del esfuerzo tangencial y de la capacidad de transporte de cantidad de movimiento entre partculas, que es la propiedadms importante, inherente al fluido, y que se denomina viscosidad. En el mtodo Euleriano, en cada punto del flujo, lavelocidad de deformacinviene determinada porel campo de velocidades. Cada punto del flujo, tiene asociado un valor del tensor de velocidades de deformacin, que marca la deformacin unitaria de una partcula fluida a su paso por el citado punto. La deformacin de una determinada partcula en su movimiento por el campo fluido, viene determinada por las posibles variaciones espaciales de la velocidad de cada uno de los puntos que la integran, es decir del gradiente de velocidad, que al ser una magnitud tensorial (9 variaciones posibles), marca la misma condicin tensorial a la velocidad de deformacinSe tienen dos tipos de deformacin: las debidas a alargamientos o contracciones, provocadas por los gradientes de las componentes de la velocidad en sus respectivas direcciones, y que se determinan por la velocidad de la variacin unitaria (por unidad de longitud); y las debidas a giros, provocados por los gradientes de las componentes de la velocidad en direcciones perpendiculares a la propia componentes, y que se determinan por la velocidad de variacin angular. Consideremos, un caso muy simple, en donde v (y) =vjrr, es decir, la nica componente de la velocidad, es en la direccin y, y adems esa componente slo varia en la propia direccin y. Si consideramos una partcula elemental dxdydz, al cabo de un tiempo elemental, se ha deformado (en este caso sloen la direccin y), teniendoque su velocidad dedeformacin unitaria (dilatacin o contraccin por unidad de longitud y de tiempo) viene dada por:

Que adems representa la velocidad delaumento (o disminucin) unitario de volumen:

Si se tiene un campo de velocidades genrico: u=u(x,y,z), v=v(x,y,z), w=w(x,y,z), se obtienen las correspondientes velocidades de dilataciones lineales unitarias, dadas por:

Con lo que, la velocidad de dilatacin cbica, viene determinada por, la suma de las dilataciones posibles en cada una de las tres direcciones; que es la divergencia de la velocidad:

As un fluido de densidad constante, por conservacin de masa, no hay variacin del volumen, y por lo tanto su flujo es divergente. Cada una de las tres dilataciones cbicas, son la diagonal principal del tensor gradiente de velocidad; es decir, el citado tensor est marcando la dilatacin cbica que experimenta una partcula, cuando pasa por el citado punto. Hasta ahora hemos considerado deformaciones puramente lineales de dilatacin o de contraccin, debidas a las variaciones de cada una de componentes del vector velocidad, en sus respectivas direcciones: . Consideremos el efecto de deformacin, que tienen las variaciones cruzadas de lascomponentes de la velocidad, es decir : , Para lo cual, analicemos el caso ms simple, en donde el vector velocidad sea: u(y)+v(x)=vijrrr ; obtenindose, que la deformacin angular por unidad de tiempo, viene dada por:, que representa la velocidad de deformacin angular, en un plano z = cte.

Anlogamente, para los gradientes cruzados, sin variacin de x, se tiene que la velocidad de deformacin angular en un plano x = cte, es igual a:; y para los gradientes cruzados, sin variacin de y, se tiene que la velocidad de deformacin angular en un plano y = cte, es igual a Con todo, se tiene que el tensor gradiente de velocidad, en un determinado punto, provoca que las partculas que pasan por el citado punto, se deformen con una determinada velocidad, tanto longitudinal como angularmente. El tensor, que marca las velocidades de deformaciones, es el tensor de velocidades de deformacin, y viene determinado por el tensor gradiente de velocidad.En coordenadas cartesianas, el tensor de velocidad de deformacin es:

FLUIDOS STOKESIANOS: TENSOR DETENSIONES VISCOSAS.

STOKES, estableci que la diferencia de tensiones, entre un fluido viscoso y un fluido ideal, venia determinada por una funcin tensorial del tensor de velocidad de deformacin, que se denomina funcin detenciones viscosas (f); con ello el tensor detensiones para un fluido Stokesiano est integrado por dos trminos: el debido a la presin termodinmica y el debido a la viscosidad

Como se haba visto anteriormente, el tensor de tensiones en un determinado punto, viene dado por los esfuerzos normales y tangenciales,provocados por las interacciones entre partculas:

Las 3 componentes normales, se denotan por . Las 6 componentes tangenciales, se denotan por: ; siendo respectivamente iguales:. Con lo que se tiene 6tensiones distintas: 3 normales y 3tangenciales.El tensor de tensiones viscosas, es la diferencia entre el tensor de tensiones y el tensor esfrico, correspondiente a la presin termodinmica; se denota por , y tiene 3 componentes normales:; y6componentes tangenciales, que coinciden con la deltensor de tensiones.

FLUIDOS NEWTONIANOS.

El conocimiento de la funcin tensorial f de la Ec. 15., permitira la determinacin del campo de tensiones viscosas a partir del campo de deformaciones, que a su vez depende del campo de velocidades. El comportamiento ms simple, es que la funcin sea lineal, en donde las tensiones viscosas sean proporcionales a las velocidades de deformacin; este es el comportamiento experimental dado por NAVIER y POISSON, para el comportamiento reo lgico de un grannmero de lquidos y degases, que se denominan fluidos newtonianos. COMPORTAMIENTO TRMICO.

El comportamiento trmico del fluido viene determinado por las ecuaciones de estado y por la relacin entre flujo de calor y gradiente trmico

ECUACIONESDECONSERVACIN

Ecuacin diferencial de conservacin de masa: ecuacin de continuidad.Los principios generales, que son vlidos para cualquier tipo de entidad material, son una expresin matemtica de las leyes de conservacin. En el caso del anlisis diferencial en Mecnica de Fluidos se consideran las siguientes leyes de conservacin: conservacin demasa, conservacin de cantidad de movimiento y conservacin de energa. Consideraremos como entidad, la de una partcula fluida, que se asla del resto del fluido, y se le aplican las leyes de conservacin. Analizaremos en primer lugar la conservacin de masa: utilizando el mtodo euleriano, consideraremos que la partcula es indeformable y que su volumen elemental (dz, dy, dx, dV =, en coordenadas cartesianas) es siempre el mismo y est siempre en la misma posicin; se establece el siguiente balance de masa entre dos instantes de tiempo t y t+dt:

La variacin de masa en el volumen considerado durante el intervalo de tiempo dt, es debida al flujo msico por las caras del elemento devolumen en el tiempo dt

Con las dos expresiones de la variacin de masa de la partcula fluida considerada, se tiene:

Ecuacin que se denomina de continuidad, porque en la ecuacin de conservacin de masa slo se requiere la derivabilidad de las funciones que dan la densidad y las componentes de la velocidad, es decir se requiere su continuidad. Las funciones son continuas, porque estamos considerando como modelo del fluido, el formado por una sucesin continua de partculas, es decir es un medio continuo

La ecuacin de continuidad tambin se puede expresar en funcin de la derivada total de la densidad, al descomponer la divergencia de v r en dos trminos, y reagrupar la variacin local de la densidad con su variacin conectiva, obteniendo:

Ecuacin diferencial de conservacin de cantidad de movimiento: ecuacin de movimiento decauchy.

Considerando la primera ley del movimiento de NEWTON aplicadas a una partcula fluida en el seno de un campo fluido o flujo, se pueden establecer el principio de conservacin de cantidad de movimiento para una partcula fluida: en una partcula en equilibrio su cantidad de movimiento se conserva; ello permite establecer como nula la resultante de las fuerzas que actan sobre la partcula. Una partcula fluida es una porcin de fluido de dimensiones infinitesimales y arbitrarias;el tamao esta en relacin a las dimensiones del equipo de medida y del tiempo de medicin. En todo caso los valores delas magnitudes son medias temporales y espaciales, referidas a unintervalo de tiempo elemental y alconjunto de molculas que integran la partcula fluida. Para su anlisis, la partcula fluida se asla del fluido que la envuelve mediante las superficies de contacto partcula-fluido, y en este estado de equilibrio de la partcula aislada, se analizan las fuerzas que la mantienen en equilibrio; estas fuerzas se dividen en tres tipos: fuerzas de volumen, fuerzas de superficie y fuerzas de inercia Fuerza De Volumen: en funcin de que lamasa de fluido (contenida en elvolumen de la partcula) esten una determinada posicin de un campo de fuerzas; lo ms usual es que el campo de fuerzas sea central, y que sea el campo gravitatorio. La evaluacin de estas fuerzas es simple si derivan de un campo central, del que se conoce suvector aceleracin, y que genricamente se denomina; enel caso de campo gravitatorio, ste vector tiene nicamente componente vertical: g=gkrr. A estas fuerzas se les denomina fuerzas msicas o fuerzas de volumen. La expresin diferencial de las fuerzas de volumen de un campo centralsobre una partcula fluida de volumen elemental dV y de masa dmes:

Fuerzas De Superficie: las fuerzas de contacto, que sobre las superficies de la partcula, ejerce el fluido que la rodea,se denominan fuerzas de superficie y son debidas a los esfuerzos en las superficies de contacto partcula fluido; los esfuerzos sondebidos a la presin termodinmica y a losesfuerzos viscosos que aparecen en el movimiento del fluido con gradiente de velocidad.

En donde p es la presin termodinmica y ij las tensiones viscosas

La resultante de las fuerzas de contacto sobre toda la partcula fluida viene determinada por el gradiente depresin y por el gradiente del tensor de tensiones viscosas: Fuerzas De Inercia: las fuerzas de inercia que el fluido ejerce sobre su entorno, vienendada por su masa y por su aceleracin; y la fuerza de inercia de reaccin correspondiente (3 ley de Newton del movimiento) del entorno del flujo sobre la partcula fluida ser: Al estar la partcula en equilibrio, la resultante de las fuerzas que actan sobre ella es nula, con lo que combinando las ecuaciones anteriores se tiene:

Ecuacin diferencial de conservacin de energa: ecuacin de energa.

El principio de conservacin de energa (PRIMER PRINCIPIO DE TERMODINMICA) aplicado a una partcula fluida, establece que la energa total de la partcula fluida es constante, siempre que no existan aportes energticos por transferencia de calor o de trabajo. Siguiendo el criterio termodinmico de signos, se consideran como positivos el trabajo desarrollado por la partcula y el calor aportado a la partcula, y como negativos el trabajo consumido por la partcula y el calor cedido por la partcula; con toda la ecuacin de conservacin de energa es:

En donde:

-la energa total de la partculaviene dada por la suma de la energa interna, laenerga cintica y la energa potencial:

-la transferencia de calor (por unidad detiempo) entre partcula ysu entorno por conduccin viene determinada por el gradiente de temperatura (T)y por laconductividad trmica () - el trabajo (por unidad de tiempo) intercambiado entre partcula y su entorno tiene dos trminos, el debido a las fuerzas de presin (trabajo de flujo) y el debido a los esfuerzos viscosos.

El trabajo debido a los esfuerzos viscosos, se puede expresar como suma de dos trminos, introduciendo el concepto defuncin de disipacin viscosa de RAYLEIG :

En coordenadas cartesianas para un fluidonewtoniano, la funcin de disipacin viscosa es: En la ecuacin de disipacin viscosa todos los trminos son cuadrticos, por lo que su valor siempre expositivo, es decir en flujo viscosoparte de su energadisponible se disipa por las irreversibilidadesde los fenmenos de transporte de cantidad de movimiento entre partculas; lo que est de acuerdo con el segundoprincipio de Termodinmica de que los procesos reales son irreversibles con degradacin de energa y su consiguiente aumento de entropa del universo.

Condiciones De Contorno.

A partir de las ecuaciones de conservacin para una partcula fluida se han obtenido las ecuaciones:

Las ecuaciones de continuidad y de energa son ecuaciones diferenciales escalares y la ecuacin de movimiento es vectorial, por lo que entre todas aportan 5 ecuaciones diferenciales escalares. En cuanto a las incgnitas se tienen: la densidad (), las componentes del vector velocidad (u, v, w), la presin (p), la temperatura (T) y la energa interna (), es decir se tienen7 incgnitas, por lo que parapoder tener un sistema homogneo de ecuaciones es necesario disponer de 2 ecuaciones adicionales; estas ecuaciones son las ecuaciones de estado de constitucin del propio fluido considerado: Con todo lo expuesto anteriormente, se dispone de un sistema homogneo de 7 ecuaciones diferenciales con 7 incgnitas, cuya resolucin es posible, con las condiciones de contorno apropiadas para cada caso, y normalmente con tcnicasnumricas,siendo posible solo para casos muy concretos la solucin analtica.

Con la restriccin de Flujo incompresible y propiedades constantes, se tiene solo 5 incgnitas: la presin, las tres componentes de la velocidad y la temperatura; siendo suficientes las ecuaciones de continuidad, movimiento (3) y energa: Adems la ecuacin de energa esta desacoplada, es decir en las cuatro ecuaciones aportadas por la continuidad y por la cantidad de movimiento, slo aparecen 4 incgnitas: presin y componentes de la velocidad, por lo que es posible su resolucin; si se requiere el campo de temperaturas, se obtiene a partir de la ecuacin de energa, previo conocimiento del campo de velocidades.

La solucin de los sistemas de ecuaciones diferenciales anteriores, est condicionadas por las Condiciones de contorno apropiadas, que dependen de cada caso, y vienen determinadas por los valores de las propiedades en el instante inicial, por la geometra de las paredes y por las condiciones en las entradas y en las salidas.

En las paredes impuestas por la geometra en laque est confinado el flujo, se tiene la condicin de no deslizamiento ni de cambio de temperatura, es decir: en las partculas que tocan una pared se ponen a la velocidad de la pared y a su temperatura:velocidad del fluido en la pared = velocidad de la pared; y temperatura del fluido en la pared = temperatura de la pared.Un caso muy particular de condicin de contorno impuesta por una pared, es el caso de los flujos que se consideran no viscosos, en donde no se cumple la condicin de no deslizamiento;siendo la nica condicin de contorn establecida por la pared, que el flujo no la atraviese,es decir que sean iguales las velocidades normales de la pared y del fluido, no pudiendo decir nada sobre la velocidad tangencial del flujo cerca de la pared.

En las entradas y salidas se deben conocer las distribuciones develocidad, temperatura y presin.

Las condiciones de contorno ms complejas se tienen cuando existe superficie libre, en la interface lquido-lquido o lquido-gas; en donde se cumple la condicin cinemtica de contorno, de igualdad de velocidades perpendiculares a la superficie de separacin (no debe haber huecos entre el lquido y el gas); ascomo el equilibrio de tensiones en la superficie libre (excepto por los efectos de tensin superficial), es decir igualdad de tensin normal o presin e igualdad de tensin tangencial. Ademsdebe cumplirse la condicin de igualdad de temperaturas en todos los puntos de la superficie libre.

Por la distinta viscosidad de cada fluido, son distintos los gradientes de velocidad de cada fluido en la superficie libre, aunque los esfuerzos tangenciales deben ser iguales, con lo que el perfil de velocidades (que incluye la propia superficie libre) s que debe ser una funcin continua, pero no es derivable en los puntos de la superficie libre:

Normalmente el aumento de presin debido al efecto de la tensin superficial es despreciable, excepto cuando los radios de curvatura son muy pequeos:

as enel casode unagota de lquido en el seno de un gas o de otro lquido, como los radios son pequeos y adems iguales, se tiene que la sobrepresin que tiene lugar entre puntos separados por la superficie libre es:

4. PROBLEMAS

1) Mtodos de anlisis: Euleriano y Lagrangiano.Para determinar la aceleracin de una partcula, se puede utilizar el mtodo Lagrangiano, en donde la aceleracin de la partcula se obtiene por la derivada segunda de su vector de posicin, respecto al tiempo. Utilizando el mtodo Euleriano la aceleracin de una partcula que se mueve en un campo de velocidad, es una funcin del tiempo y de la posicin, y es suma de la aceleracin local y de la covectiva. Se considera un flujo unidimensional, estacionario e incompresible a travs de una tobera convergente. A partir de los datos:

Determine: (1) Aceleracin por mtodo Eureliano (2) Aceleracin por mtodo Lagrangiano

Datos: campo de velocidades

RESOLUCIN:

En el mtodo Euleriano, las partculas se mueven por un campo de velocidad: ,enuna determinada posicin y en un instante de tiempo, la aceleracin de la partcula, que en ese instante, est en la posicin determinada, es:

es la aceleracin local, y viene determinada, en un determinado punto (local), por la variacin dela velocidad con el tiempo; si el flujo es estacionario, en un determinado punto las propiedades no varan con el tiempo (no hay variaciones locales), y en particular la velocidad en ese punto es la misma a lo largo del tiempo, con lo que la aceleracin local ser nula.

Es la aceleracin convectiva, y viene determinada, en un determinado instante, por el gradiente de velocidad En el mtodo Lagrangiano, se parte del conocimiento del vector de posicin de una determinada partcula a lo largo del tiempo: ; y se obtiene su aceleracin por la derivada segunda del vector deposicin conrespecto altiempo:

ACELERACIN DE LAS PARTICULAS EN EL MTODO EULERINO. En el problema, el flujo es estacionario y unidimensional:

Estacionario:

Unidimensional:

La aceleracin es puramente convectiva:

El gradiente de velocidad es:

Enelproblema: Con lo que el gradiente de velocidad es: Y la aceleracin convectiva es:

ACELERACIN DE LAS PARTCULAS EN EL MTODO LAGRANGIANO. Consideremos una partcula que en el instante inicial (t=0), est situada en el inicio de la tobera (x=0); la posicin de esa partcula a lo largo del tiempo es: , y se determina a partir del campo de velocidades:

Conlo que la aceleracinde la partcula ser:

Evidentemente las dos expresionesdeben dar el mismo valor de la ACELERACIN (comprubelo!).

2) Aplicacin de la ecuacin de continuidad: criterios deincompresibilidad.

La condicin estricta de incompresibilidad, es que la densidad sea constante; no obstante, bajo determinadas condiciones del flujo, es posible asumir la hiptesis de incompresibilidad. Uno de los criterios, es que el nmero de Mach, sea relativamente pequeo, tomando normalmente como lmite Ma