MECÁNICA DE FLUIDOS

Profesor:JUAN ANDRÉS SANDOVAL HERRERA

FUNDACIÓN UNIVERSIDAD DE AMÉRICA - 2013

FLOTABILIDAD Y ESTABILIDAD DE CUERPOS SUMERGIDOS EN FLUIDOS

FlotabilidadUn cuerpo es empujado hacia arriba en un fluido por una fuerza

igual al peso del fluido desplazado. Esa fuerza (Fuerza deempuje, o boyante) actúa a través del centroide.

gf : Peso específico del fluido; Vd : Volumen desplazado

Peso del sólido sumergido:

gC : Peso específico del Sólido; VC : Volumen del sólido

Si:1. FB > W (gf > gC) El cuerpo flota sobre la superficie del líquido2. FB = W (gf = gC) El cuerpo flota con flotabilidad neutra3. FB < W (gf < gC) El cuerpo se hunde

FB = FE = gf Vd

W = gC VC

Procedimiento de solución de problemas de flotabilidad:

Determinar el objetivo del problema: peso del fluido, volumen ofuerza.

Dibujar un diagrama de cuerpo libre incluyendo todas las fuerzasque actúen sobre el cuerpo.

Escribir la ecuación de equilibrio de fuerzas en la direcciónvertical: Fy = 0 con el supuesto de que la dirección positivaes hacia arriba.

Resolver la ecuación teniendo en cuenta que:• Un cuerpo con peso específico menor al del fluido,

flotará.• Un cuerpo con peso específico igual al del fluido tiene

estabilidad neutral, es decir, permanecerá en una posicióndada donde sea que se sumerja en el fluido.

• Un cuerpo con peso específico superior al del fluido, sehundirá.

Problemas resueltos de flotabilidad1. Un pescador está levantando un objeto fuera del agua de mar, con

su caña de pescar. El pescador cuenta con un instrumento que lepermite medir la tensión en la cuerda y ésta presenta un valor de120 N, cuando todavía el objeto - pescado está dentro del agua; y200 N cuando está fuera del agua ; ¿Será posible que el objeto seaun pescado, o no; y por qué?

SOLUCIÓN:Σ𝐹𝑦 = 0 𝑊 − 𝐹𝐸 − 𝑇 = 0

Donde: 𝐹𝐸 = 𝜌 𝑓 ∙ 𝑔 ∙ 𝑉𝑑Pero cuando está fuera del agua, se cumple que la tensión, T, es igual peso,

W, porque el empuje del aire es despreciable.Entonces, 𝐹𝐸 = 𝑊 − 𝑇 = 200 − 120 = 80 𝑁

Ahora se despeja el Vd de la fórmula de Empuje y luego, se despeja la densidad del cuerpo, de la fórmula del peso:

𝐹𝐸 = 𝜌 𝑓 ∙ 𝑔 ∙ 𝑉𝑑 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝑉𝑑 =80𝑁

9,8𝑚

𝑠2∙1030

𝑘𝑔

𝑚3

= 0,007925 m3

𝑊 = 𝜌𝐶 ∙ 𝑔 ∙ 𝑉𝐶 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝜌𝐶 =200 𝑁

9,8𝑚𝑠2

∙ 0,007925𝑚3= 2575 𝑘𝑔/𝑚3

Respuesta: No puede ser un pescado porque es mucho más denso que el agua. Su densidad relativa 2,575

Problemas resueltos de flotabilidad2. Un trozo de madera de densidad relativa 0,75 flota en unrío. ¿Qué fracción de su volumen queda por fuera de lasuperficie del agua?SOLUCIÓN:

Σ𝐹𝑦 = 0 𝑊 − 𝐹𝐸 = 0

Entonces: 𝐹𝐸 = 𝑊

Remplazando las definiciones de Empuje y de Peso:𝜌 𝑓 ∙ 𝑔 ∙ 𝑉𝑑 = 𝜌𝐶 ∙ 𝑔 ∙ 𝑉𝐶

Entonces, se cancelan las gravedades y se despeja la relación de volúmenes, así:

𝜌𝐶𝜌𝑓

=𝑉𝑑𝑉𝐶

Entonces, 𝑉𝑑

𝑉𝐶= 0,75 El Vd queda por dentro del agua, es un 75%.

Respuesta: El volumen que queda por fuera sería un 25% del volumen total del cuerpo.

Problemas resueltos de flotabilidad3. Calcular la superficie mínima de una plancha de maderaligera, de 0,7 g/cm3, para que flote sobre un río, transportando unpeso de 1 carro y 5 personas, con una masa aproximada total de2,5 toneladas. Suponga que esa plancha tiene un espesor de 20cm.SOLUCIÓN:

Σ𝐹𝑦 = 0 𝑊 − 𝐹𝐸 = 0

Entonces: 𝐹𝐸 = 𝑊

Remplazando las definiciones de Empuje y de Peso:𝜌 𝑓 ∙ 𝑔 ∙ 𝑉𝑑 = 𝜌𝐶 ∙ 𝑔 ∙ 𝑉𝐶

Sabiendo que: 𝜌 = 𝑚 𝑉

9.8 𝑚 𝑠2 ∙ 0,2 𝑚 ∙ 𝐴 𝑚2 ∙ 1000 𝑘𝑔𝑚3 = 9.8 𝑚 𝑠2 ∙ [(700 𝑘𝑔

𝑚3 ∙ 0,2 𝑚 ∙ 𝐴 𝑚2) + 2500 kg]

200 − 140 𝐴 = 2500

𝐴 =2500

60= 41,67 𝑚2

Respuesta: La superficie de la plancha debe ser mínimo 41,7 m2, para que flote con esa carga, si tiene ese espesor.

Estabilidad

• Se refiere a la capacidad que tiene un cuerpo deregresar a su posición original luego de haberseinclinado respecto a un eje horizontal. Se aplica acuerpos sumergidos por completo en un fluido, comolos submarinos y los globos. O a cuerpos flotantessobre la superficie de un fluido, como barcos, sondasy boyas.

Estabilidad de cuerpos sumergidos

• Condición de estabilidad para cuerpos totalmentesumergidos: que el centro de flotabilidad esté porencima de su centro de gravedad. El centro deflotabilidad se encuentra en el centroide del volumende fluido desplazado.

CUERPO SUMERGIDO EN EEQUILIBRIO

CUERPO SUMERGIDO

ESTABLE

Estabilidad de cuerpos Flotantes

• Condición de estabilidad para cuerpos flotantes:que el centro de gravedad esté por debajo de sumetacentro. El metacentro: mc, es la intersección deleje vertical en equilibrio y el eje desplazado.

CUERPO FLOTANTE EN EEQUILIBRIO

CUERPO FLOTANTE ESTABLE

CUERPO FLOTANTE INESTABLE METACENTRO

• Determinar la posición del cuerpo en el fluido de acuerdo con losprincipios de flotabilidad.

• Localizar el centro de flotabilidad, cb. Calcular la distancia entrealgún eje de referencia y el cb, llamada ycb. Por lo general, se tomael fondo como línea de referencia.

• Ubicar el centro de gravedad, cg. Determinar la distancia ycg a partirdel mismo eje de referencia.

• Determinar la forma del área en la superficie del fluido y calcular elmomento más pequeño de inercia I, de dicha forma.

• Calcular el volumen desplazado Vd

• Calcular MB= I/ Vd

• Obtener ymc= ycb + MB

• Si ymc ycg, el cuerpo es estable. Si ymc ycg, el cuerpo esinestable.

Procedimiento de solución de problemas de flotabilidad:

PROCESO PARA EVALUAR LA ESTABILIDAD DE UN CUERPO FLOTANTE

DETERMINAR LA POSICION USANDO EL

PRINCIPIO DE ARQUIMEDES

LOCALIZACION CENTRO DE

GRAVEDAD, YcbHALLAR Ycg

CALCULO DEL MENOR MOMENTO DE

INERCIA

CALCULO VOLUMEN DESPLAZADO

CALCULO MB

Ymc = Ycb+ MB. SI Ymc > Ycg EL CUERPO ES ESTABLE

SI Ymc<Ycg EL CUERPO ES INESTABLE

Problema modelo de estabilidad

• Un bloque cilíndrico de madera mide 1 m de diámetro y 1 m de largo.Tiene un peso específico de 8000 N/m3. ¿Flotará de manera estableen el agua dulce, con su eje en posición vertical?

𝑊 − 𝐹𝐸 = 0 𝛾𝐶𝑉𝐶 = 𝛾𝑓𝑉𝑑 = 𝛾𝑓𝐴𝑋

𝑋 =𝛾𝐶𝑉𝐶𝛾𝑓𝐴

=𝛾𝐶𝐴(1𝑚)

𝛾𝑓𝐴=8000

9800= 0,8163 𝑚

𝑦𝑐𝑔 =1

2= 0,5 𝑚 𝑦𝑐𝑏 =

0,8163

2= 0,4081 𝑚

𝑀𝐵 = 𝐼 𝑉𝑑=

𝜋𝐷4/64

𝜋𝐷2

64𝑋= 𝐼 𝑉𝑑

=𝜋14/64

𝜋12

640,8163

= 0,0766 𝑚

𝑦𝑚𝑐 = 𝑦𝑐𝑏+ MB = 0,4081 + 0,0766 = 0,4847 m

Pero: 𝑦𝑐𝑔 > 𝑦𝑚𝑐

Entonces, no cumple con la condición de estabilidad.

Luego es inestable verticalmente.