Tema 7: Flexin: HiperestaticidadTema 7: Flexin: HiperestaticidadTema 7: FLEXIN: HIPERESTATICIDADProf.: Jaime Santo Domingo SantillanaE.P.S.-Zamora (U.SAL.) - 20087.1.- INTRODUCCINSegn vimos en la seccin 4.4 una viga o una estructura se dice que es hiperesttica cuando:nmero de ecuaciones de equilibrio < nmero de incgnitas de las reaccionesstos casos suelen presentarse cuando la viga o la estructura tiene apoyos (ligaduras) de msSe denomina grado de hiperestaticidad :a la diferencia entre el nmero de incgnitas de las reacciones y el nmero de ecuaciones de equilibrio de la esttica.Tambin vimos que para resolver la hiperestaticidad era necesario aadir ecuaciones de deformacin, tantas como sea el grado de hiperestaticidad, de tal forma que:n ecuaciones de equilibrio+ n ecuaciones de deformacin=n incnitasEl mtodo de resolucin ser el transformar la viga hiperesttica en una viga isosttica equivalente, liberndola de sus ligaduras de ms y sustituyendo sus acciones por fuerzas o momentos de magnitudes tales que la viga isosttica conserve las coacciones que las ligaduras ejercan sobre la viga hiperesttica.En este tema estudiaremos las vigas hiperestticas de un solo tramo y las de dos o mas tramos (vigas continuas), trabajando a flexin.7.2.-VIGAS DE UN SOLO TRAMOHagamos su estudio a travs del siguiente ejemplo:MAq n ecuaciones equilibrio:2 F0R ARBABM0R .L q.LM (1)q.L. L ( 2)RARBL Fig.7.1 ABA2n incgnitas de las reacciones: 3RA, MA, RBEs una viga hiperesttica de primer grado. Tiene una ligadura de ms, pues podramos suprimir en ella el apoyo B o bien sustituir el empotramiento en A por un apoyo articulado fijo, segn se muestra a continuacin:qqABAB LL Fig.7.2Seccin 7.2: Vigas de un solo tramoTema 7: Flexin: HiperestaticidadSi suprimimos el apoyo B, la viga isosttica que resulta, para que fuera equivalente a la dada, deberamos incluir la fuerza RB e imponer la condicin (ecuacin de deformacin):MAq y B0 (3)ABRARBL Fig.7.3Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones: (1), (2) de equilibrio y la ecuacin(3) de deformacin obtendramos las reacciones en los apoyos: RA, MA, RBSi hubisemos optado por suprimir el empotramiento en A por un apoyo articulado fijo, la viga isosttica que resulta, para que fuera equivalente a la dada, deberamos incluir el momento MA e imponer la condicin (ecuacin de deformacin):MAqABA 0 (3)RARBL Fig.7.4Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones: (1), (2) de equilibrio y la ecuacin(3) de deformacin obtendramos las reacciones en los apoyos: RA, MA, RB7.3.-VIGAS CONTINUASLas vigas continuas son vigas que tienen ms de dos apoyos. Normalmente se utilizan cuando los vanos a cubrir son grandes.Fig.7.5No obstante, para cubrir esos vanos grandes, se podra optar por colocar varias vigas de un solo tramo a continuacin una de otra:Fig.7.6Ventajas de las vigas continuas frente a las varias vigas de un solo tramoLas vigas continuas dan momentos flectores y flechas de menor magnitud que las de un solo tramo. sto se puede apreciar en el ejemplo de las figuras 7.7.a y b., abajo representadas, lo que lleva consigo vigas de menor seccin transversal y por tanto, ms econmicasMzMzyyFig.7.7.aFig.7.7.bPor el contrario, los inconvenientes que presentan las vigas continuas frente a las de un solo tramo, es que aquellas son sensibles a los desplazamientos (asientos) que puedan sufrir los apoyos, lo que proporcionara nuevos momentos flectores y por consiguiente ms tensiones inducidas.Procedimiento para el clculo de las vigas continuasLas vigas continuas son vigas hiperestticas y por tanto podremos resolverlas segn el procedimiento general, visto en 7.1, a travs de la viga isosttica equivalenteEjemplo:H1123R1R2Esta viga tendr: Fig.7.8R3 m-1 Rm-1Rm mn ecuaciones de equilibrio: 3 ( Fx 0 Fy 0 M z 0)n incgnitas de las reacciones: m+1(H1, R1, R2, R3, Rm-1, Rm) Es una viga hiperesttica de grado m-2.Seccin 7.3: Vigas continuasTema 7: Flexin: HiperestaticidadUtilizando para su clculo el procedimiento descrito en 7.1, la viga isosttica equivalente, sera:H1123m-1mR1R2 Fig.7.9 R3Rm-1Rmy las m-2 ecuaciones de deformacin que habr que aadir a sta viga isosttica paraque sea equivalente a la dada sern: y 20 ;y3 0 ;...... y m 10Ahora ya con el sistema formado por las 3 ecuaciones de equilibrio y las m-2 ecuaciones de deformacin indicadas, podremos resolver las m+1 incgnitas de las reacciones.No obstante para el clculo de las vigas continuas existe otro procedimiento especfico para ellas, que se denomina: Ecuacin de los tres momentosECUACIN DE LOS TRES MOMENTOSEste mtodo toma como incgnitas hiperestticas los momentos flectores: M2, M3, Mm-1 que actuan en las secciones transversales correspondientes a los m-2 apoyos intermedios.Mtodo de clculo: se sustituye la viga continua por m-1 vigas isostticas equivalentes, simplemente apoyadas, en cuyos extremos se sitan las ligaduras internas con los tramos contiguos de los que las hemos liberado, es decir, las resultantes y los momentos resultantes de las cargas que quedan a un lado de dichos extremos.: F2, M2, F3, M3, Fm-1, Mm-1H1123R1R2R3 m-1 Rm-1Rm mF2 F2F3 F3 Fm-1H11 M2M222 M3M3Mm-133m-1mR1R2 R2 R3 R3 Fig.7.10 Rm-1Rmlos Momentos Flectores: M2, M3,.Mm-1,se obtienen planteando las siguientes ecuaciones de deformacin:2 (1, 2) 2 (2, 3), 3 (2, 3) 3 (3, 4),........., m 1 (m 2, m 1) m 1 (m 1, m)Desarrollemos pues a continuacin estas ecuaciones de deformacin y para ello tomemos dos vigas isostticas equivalentes, correspondientes a dos tramos consecutivos n y n+1 de la viga continua:Fn-1 Mn-1Mn FnFn MnMn+1 Fn+1n-1nnn+1Rn-1Ln RnRn Ln+1 Rn+1Fig.7.11la ecuacin de deformacin a plantear ser: n (n 1, n) n (n, n1) (7.1)y para el clculo de estos giros aplicamos el Principio de Superposicin:11nnLLn-1nnn+1nn+1Mn-1 2n2nMn+1n-1nnn+1LnLn+13nMn3 n MnLLn-1nnn+1nn+1Fig.7.12.aFig.7.12.bla ecuacin de deformacin anterior ser:1 (n 1, n) 2 (n 1, n) 3 (n 1, n) 1 (n, n 1) 2 (n, n 1) 3 (n, n 1) (7.2)n n n n n nCalculemos a continuacin cada uno de estos valores:nClculo de: 1 (n 1, n) y 1 (n, n 1) :n-1 n-1,n nn1nn1 n n+1n+1,ntag en ntag en nLnLn+1MzMzFig.7.13.aFig.7.13.bPor el mtodo de los Teoremas de Mohr:QM n 1,n n 1 11 M n 1,nQ n 1 n 1,nn (nE.I zM n ,n 1 1, n).Lnn (n 1, n) Ln .E.I zM n ,n 1 (7.3)Qn 1 1 (n, n 1).L 1 (n, n 1) Qn 1 (7.4)znn 1,nE.Inn 1n Ln 1.E.I znClculo de: 2 (n 1, n) y 2 (n, n 1) :tag en ntag en nn-1,nn-1 Mn-1Ln 22nnnnLn+1 Mn+1 n+1,nn+1Mn-1Mn+1MzMzFig.7.14.aFig.7.14.bPor el mtodo de los Teoremas de Mohr:Q M n 1,n 1M n 1 n n.L . 1 .L M .L n 1 2 3 2 (n 1, n).L 2 (n 1, n) n 1 n (7.5)n 1,n E.I E.I n n n 6.E.Iz z zQ M n ,n 1 1M n 1 n 1.Ln 1 . 1 .L M .L n 1 2 3 2 (n, n 1).L 2 (n, n 1) n 1 n 1 (7.6)n 1,n E.I E.I n n 1 n 6.E.Iz z znClculo de: 3 (n 1, n) y 3 (n, n 1) :tag en ntag en nn-1,n 3nnMn Mn3n n+1,nn-1Ln nnLn+1 n+1MnMnMzMzFig.7.15.aFig.7.15.bQM 1 M .L . 2 .Ln 1,nn 1 2 n n 3 n 3 3 M n .Ln1, (n 1, n).L (n 1, n) (7.7)n n n n nE.I z E.I z 3.E.I zQ M n ,n 1 1n 1M n .Ln 1 . 2 .L M .L n 1 2 3 3 (n, n 1).L 3 (n, n 1) n n 1 (7.8)n 1,n E.I E.I n n 1 n 3.E.Iz z zllevando finalmente todos los valores obtenidos a la ecuacin (7.2):QM n 1, nn 1Ln .E.I z M n 1 .Ln6.E.I z M n .Ln3.E.I z M n , n 1Qn 1Ln 1 .E.I z M n 1 .Ln 16.E.I z M n .Ln 13.E.I zy multiplicando todos los trminos por: (6.E.Iz) y ordenando, quedar finalmente la denominada ECUACIN DE LOS TRES MOMENTOS:M n 1 .Ln 2.M n .( Ln Ln 1 ) M n 1 .Ln 1 Q M n 1, n6. n 1 L Q M n , n 1 n 1 L (7.9)nn 1Est ecuacin se ir aplicando cada tres apoyos sucesivos de la viga continuaCASO DE ASIENTOS EN LOS APOYOSn-1Ln nLn+1 n+1hn-1hnn-1nFig.7.16 hn+1n+1separando ambas vigas:hn-1 n-1Ln4 nnhn4n4hn nnn Ln+14 n+1 hn+1Fig.7.17.a nnFig.7.17.b n+1tag 4 4 hn hn 1 ntag 4 4 hn 1 hn (7.10)Ln n n nn Ln 1nnplanteando de nuevo la ecuacin (7.1):nuevo trmino, quedar: n (n 1, n) n (n, n 1) y aadiendo este123nnnn 4 (tramo n 1, n)12 34 (tramo n, n1) (7.11)y sustituyendo los valores obtenidos para cada uno de ellos:QM n 1, nn 1Ln .E.I z M n 1 .Ln6.E.I z M n .Ln3.E.I z hnhn 1Ln M n , n 1n 1Ln 1 .E.I z M n 1 .Ln 16.E.I z M n .Ln 1Q3.E.I z hn 1hnLn 1y multiplicando por (6.E.Iz) y ordenando, la Ecuacin de los tres momentos quedar ahora, teniendo en cuenta el descenso de los apoyos:QMn 1,n QMn , n 1 hh hh MLMLLML n 1 n 1 EI n n 1 n 1 n (7.12)n 1 n 2n ( n n 1 ) n 1 n 1 6 Ln 6zLn 1 Ln Ln 1