Flexin.-

Figura 1-a Viga.-

Figura 1-b Diagrama de momentos.-

Figura 1-c .- Esfuerzos internos.-

Figura 1-d.- Resultantes de compresin y traccin.-

Figura 2.- tensiones internas en la respuesta elstica.-C T = 0C = T

M = t x jd

M = C x jd

Figura 2 a.- antes del agrietamiento.-

Figura 2 b.- estado lmite de servicio, agrietado pero antes de la fluencia.-

Figura 2 c.- Estado lmite ltimo, falla.-

Figura 2.- grietas, deformaciones y tensiones internas en una viga.-

Figura 3.- deformaciones y tensiones internas en el estado lmite de servicio.

Figura 4.-deformaciones medidas en columnas

Figura 5.-Diagrama momento curvatura

Figura 6.-Acortamiento ltimo del hormignResistencia nominal de secciones rectangulares.Hormign armado.

ACI18 Art. 10.2.6 La relacin entre la distribucin de los esfuerzos de compresin en el hormign y la deformacin unitaria del hormign se debe suponer rectangular, trapezoidal, parablica o de cualquier otra forma que de origen a una prediccin de la resistencia que coincida con los resultados de ensayos representativos.

Figura 7.- Distribucin de tensiones para el estado lmite ltimo.

La forma del block de tensiones en una viga en el estado lmite ltimo se puede expresar en funcin de tres constantes:

k3 = relacin entre la tensin mxima en la zona comprimida, fc, y la resistencia cilndrica, fc., es decir, fmax = k3 fc k1 = relacin entre la tensin media en la zona comprimida y la tensin mxima, de manera que C = fmed b c. Entonces, fmed = k1 fmax , y fmed = k1 k3 fc En la figura 2, k1 es la relacin entre el rea achurada y el rea del rectngulo c k3 fc.

k2 = relacin entre la distancia a la fibra extrema comprimida y la fuerza resultante de compresin, y la profundidad de la lnea neutra.

Figura 8.- Valores de k1 y k2 para diferentes distribuciones de tensiones.

Para una distribucin rectangular de tensiones:

Y el momento en torno a la lnea neutra:

T = As fs = C Equilibrio fuerzas horizontales.As fs = k1 k3 fc b c Definicin de cuanta geomtrica: As = b d b d fs = k1 k3 fc b c ,

, ,

Cuanta mecnica:

: variable colectiva

En un ensayo la nica incgnita es la variable colectiva. De varios ensayos se concluye que un buen valor para es = 0.59.

ACI318, Artculo 10.2.7.- Permite el uso de un bloque rectangular definido como:

1.- una tensin de compresin uniforme igual a 1 fc de una profundidad a = 1c 2.-la distancia desde la fibra de deformacin unitaria al eje neutro, c, se debe medir en direccin perpendicular al eje neutro.3.- 1 = 0.85 para 17 < fc < 28 MPa. Para fc >28 MPa, 1 se debe disminuir en forma lineal a razn de 0.05 por cada 7 MPa de aumento sobre 28 MPa, sin embargo, 1 no debe ser menor que 0.65.

1 y 1 se usan para describir el bloque rectangular, k1, k2 y k3 se usan para describir el bloque de tensiones provenientes de un ensayo. Para una viga de ancho constante, b, y una profundidad de lnea neutra, c, el bloque rectangular de tensiones de compresin tiene una resultante de compresin igual a C= 1 1 fcbc

Figura 9.- Valores de 1 provenientes de ensayos.y el momento en torno a la lnea neutra es

Figura 10.- Bloque rectangular de tensionesDe la figura 9, a=2 k2 c = 1 c 1=2 k2C = k1 k3 fc b c = 1 fc a b = 1 fc 2 k2 c b k1 k3 = 1 2 k2

Figura 11.- Valores experimentales para k2 y k1 k3De las figuras 9 y 11, sale el valor 1 = 0.85 para 17 < fc < 28 MPa.

Para fc >28 MPa, 1 se debe disminuir en forma lineal a razn de 0.05 por cada 7 MPa de aumento sobre 28 MPa, sin embargo, 1 no debe ser menor que 0.65.

Vigas rectangulares con armadura traccionada solamente.

T = As fsC = T

fs=fsyMn= T jdT = As fsfs=fsy

jd = (d a/2)

Mn= C jdC = 0.85 fc b ajd = (d a/2)

As = b d

cuanta mecnica:

Falla balanceada.

sustituyendo cu = 0.003 y Es = 2 100 000 kg/cm2

en el sistema S.I.

Para verificar que fs =fy , se puede verificar si o bien, calcular t y verificar si es mayor que y .Alargamiento unitario neto.-El ACI318, artculo 10.3.3 define una seccin controlada por la compresin, si el alargamiento unitario neto del acero extremo en traccin, t , es igual o menor que el lmite de alargamiento unitario controlado por la compresin cuando el hormign comprimido alcanza el lmite de deformacin impuesto de 0.003. El lmite de deformacin unitaria controlada por compresin es la deformacin unitaria neta de traccin de la armadura en condiciones de deformacin unitaria balanceada. Para un acero grado 420 y para todos los aceros pretensados, se permite fijar el lmite de deformacin unitaria controlada por compresin en 0.002.

El ACI318, artculo 10.3.4 define una seccin controlada por la traccin, si el alargamiento unitario neto del acero extremo en traccin, t , es igual o mayor que 0.005, justo cuando el hormign comprimido alcanza el lmite de deformacin impuesto de 0.003. Las secciones con t , entre el lmite de deformacin unitaria controlada por la compresin y 0.005 constituyen una regin de transicin entre secciones controladas por compresin y secciones controladas por traccin.

Y el artculo 10.3.5 agrega que los elementos pretensados en flexin y elementos no pretensados con carga axial mayorada de compresin menor que 0.10 fc Ag , t , en el estado de resistencia nominal no debe ser menor que 0.004.

Figura 12.- Lmites para definir la falla por compresin y por traccin.En la figura c se muestra el lmite para la regin controlada por la compresin. Llamando cCCL a la profundidad de la lnea neutra para este caso, y t = y , a la deformacin unitaria en el acero en la fibra extrema que est a una profundidad dt,

; fy en kg/cm2, y ; fy en MPa.

Llamando cTCL a la profundidad de la lnea neutra para el caso controlado por la traccin, y t = 0.005 , a la deformacin unitaria en le acero en la fibra extrema que est a una profundidad dt,

Tradicionalmente se hablaba de la cuanta balanceada. En la condicin balanceada,

; fy en kg/cm2 ; fy en MPa.

Nuevas definiciones para los diferentes tipos de falla en flexin, a partir del ACI318-02.La ecuacin de diseo en flexin es

Mn Mn es el factor de reduccin de la resistencia. Para vigas, el factor depende del alargamiento unitario neto del acero en traccin ms alejado de la lnea neutra. En su clculo se debe considerar solo el efecto de las cargas, es decir, no se debe incluir efectos de la retraccin de fraguado, fluencia lenta del hormign, temperatura o variaciones de la fuerza de pretensado.

El Cdigo ACI318 define cuatro modos de falla:

1.- Falla balanceada. El alargamiento unitario en el centroide del acero en traccin alcanza la fluencia simultneamente con el acortamiento unitario lmite, cu. La falla balanceada se caracteriza por el aplastamiento del hormign al llegar el acero traccionado a la fluencia.

2.- Falla controlada por la traccin. El alargamiento unitario neto del acero en traccin ms alejado de la lnea neutra es mayor o igual que 0.005. Para un acero Grado 420, con una fluencia de 420 MPa, el alargamiento de fluencia es y = 0.0027. El lmite 0.005 se eligi de manera de alejarse de la fluencia. La seccin 10.3.3 del ACI318 permite redondear el valor de la fluencia a 0.002, porque 0.005 sigue siendo mayor.

3.- Falla controlada por la compresin. El ACI318, artculo 10.3.3 define una seccin controlada por la compresin, si el alargamiento unitario neto del acero extremo en traccin, t , es igual o menor que el lmite de alargamiento unitario controlado por la compresin cuando el hormign comprimido alcanza el lmite de deformacin impuesto de 0.003. El lmite de deformacin unitaria controlada por compresin es la deformacin unitaria neta de traccin de la armadura en condiciones de deformacin unitaria balanceada. Para un acero grado 420 y para todos los aceros pretensados, se permite fijar el lmite de deformacin unitaria controlada por compresin en 0.002.

4.- Falla en la zona de transicin. El alargamiento unitario neto del acero en traccin ms alejado de la lnea neutra est entre y (redondeado a 0.002 para un acero Grado 60) y 0.005.

Estas definiciones fueron propuestas por Robert F. Mast, Unified Design Provisions for Reinforced and Prestressed Concrete Flexural and Compression Members, ACI Structural Journal, Proceedings, Vol.89, No.2, March-April 1992, pp185-199.

5.-Lmite para la falla controlada por la compresin. Queda definida por la falla balanceada tradicional. Es el lmite entre la falla en compresin y la zona de transicin.

Vigas T

Figura 13.- Losa en una direccin y vigas T.

Posicin deformada

Seccin A

seccin B

seccin A

Zona comprimida rectangularmomento negativo

Viga T

Figura 14.- Secciones con momentos positivos y negativos.

Figura 15.- Ensayo de una viga, se muestra la mitad de la viga.

Figura 16.- Losa apoyadas en vigas secundarias y viga principal.

Flujo real de esfuerzos internos.

Modelo de puntal tensor para representar las fuerzas en el alaFigura 17.-Esfuerzos en las alas de una viga T.

Distribucin de los esfuerzos mximos de compresin

Distribucin de esfuerzos de compresin supuestos en el diseo

Figura 18.- Ancho efectivo de una viga T.

Seccin transversal

distribucin de tensiones

Viga F

Viga W

Figura 19.- Subdivisin de una viga T para el anlisis.Si la lnea neutra cae dentro del ala, la viga se analiza como una viga rectangular.

Si la lnea neutra cayera en el alma de la viga, caso poco comn, se debe iterar tratando con diferentes valores de c hasta lograr el equilibrio.

Si se separa la viga en dos vigas, ver figura, para la viga F (alas = flanges), se supone que una fraccin del acero traccin participa, Asf.

Cf = 0.85 fc (b bw) ht = fy Asf = TfY el momento que aporta esta parte de la viga es Mnf.Para la viga W (alma = web), que es la parte que aporta la viga rectangular, el momento es

Mnw , con un rea Asw = (As Asf).

Para la viga F,

; el brazo es (d hf /2).Mnf = 0.85 fc (b bw) hf (d hf/2) , o bien Mnf = Asf fy (d hf/2) ,

Para la viga W,

; el brazo es (d a /2).Mnw = 0.85 fc bw a (d a /2) , o bien Mnw = Asw fy (d a/2) ,Mn = Mnf + MnwMn = 0.85 fc (b bw) hf (d hf/2) + 0.85 fc bw a (d a /2), o bien

Mn = Asf fy (d hf/2) + Asw fy (d a/2)Sujeto a fs = fy.

Cantidad mnima de armadura a la flexin.

ACI 318, Art. 10.5.1.- Ecuacin (10-3),

pero no menor que 1.4 bw d / fy.ACI 318, Art. 10.5.2.- Para los elementos estticamente determinados con el ala en traccin, se debe reemplazar bw por 2 bw.o el ancho del ala, el que sea menor.

Vigas con armadura en compresin.

Viga con armadura traccionada

Viga con armadura traccionada y armadura comprimida

Figura 20.- Efecto de la armadura comprimida en la resistencia a flexin.La diferencia entre una viga con armadura comprimida y otra similar pero sin armadura a la compresin, est bsicamente en la dimensin del brazo del par interno, por eso el agregar armadura a compresin no modifica sensiblemente la resistencia a la flexin.

Figura 21.- Aumento de la resistencia a flexin debido a la armadura comprimida.

Figura 22.- Efecto de la armadura comprimida en las deformaciones diferidas.

Figura 23.- Efecto de la armadura comprimida en la resistencia y ductilidad en vigas subarmadas.

Figura 24.- Diagramas momento curvatura para vigas con cuantas mayores que la balanceada, > b.Se usa para disminuir las deformaciones diferidas, aumentar la ductilidad y cambiar el modo de falla desde la compresin a la traccin.

Figura 25.- Diagramas de alargamientos unitarios, tensiones y esfuerzos internos en una viga con armadura comprimida

Si s y, fs = fy, y reemplazando c por a/1,

Si s = y, y y = fy / Es, con Es = 210 000 MPa,,

Si d/a es mayor que este valor, el acero comprimido no fluye.

Si el acero en compresin fluye,

Para la viga 1, Asfy = As1fy, entonces As = As1

Mn1 = Asfy (d - d)

Para la viga 2, As2 = As - As1 ; si fs = fy, entonces As1 = As

Mn2 = (As As) fy (d a/2) Y el momento total es:

Mn = Asfy (d - d) + (As As) fy (d a/2) Procedimiento de diseo para vigas rectangulares.La resistencia nominal es:

En el diseo se supone conocida la seccin transversal y las propiedades de los materiales.

La cuanta mxima antiguamente quedaba restringida por la armadura balanceada.

; fy en kg/cm2 ; fy en MPa.

La cuanta mxima permitida era un porcentaje de esta cuanta, 0.75 0.5, dependiendo del requerimiento de ductilidad.

Entonces, para un 75% de la cuanta balanceada:

; fy en kg/cm2El cdigo actual limita la cantidad de armadura traccionada para que la falla quede controlada por la traccin. Si se quisiera que el alargamiento unitario del acero fuera mayor que 0.005, llamando cTCL a la profundidad de la lnea neutra para el caso controlado por la traccin, y t = 0.005 , a la deformacin unitaria en le acero en la fibra extrema que est a una profundidad dt,

Para este valor la cuanta mxima se obtiene de:0.85 fc 0.375 d b = Asmax fsy

Y el momento mximo es:

El ACI318, Art.10.3.5.-, dice que para elementos no preesforzados en flexin y elementos no preesforzados con carga axial mayorada de compresin menor que 0.10 fcAg, t en el estado de resistencia nominal no debe ser menor que 0.004.

En este caso

Para este valor la cuanta mxima se obtiene de:

0.85 fc 0.42857 d b = Asmax fsy

; para fc=25 y fsy=420, max= 2.16%.Y el momento mximo es:

Si la resistencia Mn requerida es menor que el momento mximo que se puede lograr solo con armadura traccionada, Mmax, entonces se despeja la cuanta de la expresin:

Si el momento es mayor que el momento que se puede lograr solo con armadura traccionada, entonces se aumenta la altura de la seccin o se agrega armadura comprimida.10CIV 332 Hormign Armado I Primer semestre 2009

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