esfuerzos en flexion

Esfuerzos en Flexión

Ejemplos de Esfuerzos Normales y Esfuerzos Cortantes

José Luis Morales Ayala

Universidad de América Latina UDAL

Cálculo del esfuerzo normal en una viga simplemente apoyada con

volados en ambos extremos y perfil con simetría en eje y, con varias

solicitaciones • Cálculo de reacciones en apoyos • Ecuaciones de fuerzas cortantes y momentos flexionantes • Diagrama de fuerzas cortantes y momentos flexionantes • Cálculo del momento de inercia • Cálculo del módulo de sección • Cálculo del esfuerzo normal • Cálculo del esfuerzo cortante horizontal máximo

Ejemplo 1: Viga simplemente apoyada con volados en ambos extremos y

perfil con simetría en eje y

• La viga ABCD tiene apoyos simples en BC, dos voladizos, uno en AB y otro en CD. La longitud del claro es de 4.0 m y las longitudes del voladizo son de 1.5 m. En el voladizo AB tiene una carga uniforme con intensidad w=3.2 kN/m que actúa en esa longitud.

𝑊1

𝐴 𝐶

𝑊2

𝑃1 𝑃2

Del lado derecho del apoyo B inicia una carga triangular uniforme hasta alcanzar una intensidad máxima de w=4 kN/m a los 2 m de dicho apoyo. Existen 2 cargas puntuales una que actúa a 0.5 m a la izquierda del apoyo C y otra que actúa el extremo del voladizo CD, con intensidades de 5 kN y 4 kN respectivamente. La viga tiene una sección transversal rectangular con ancho b= 15 cm y altura h= 30 cm. Determine los esfuerzos máximos de tensión y compresión en la viga debidos a las solicitaciones externas.

𝐵 𝐷

𝑊1 = 4 𝑘𝑁/𝑚

𝑅𝐶 =?

1.5 𝑚

𝐵

− + 𝑅𝐵 =?

𝐶

Σ𝑀𝐵 = 0 4𝑘𝑁

𝑚1.5 𝑚 (0.75 𝑚) −

1

23𝑘𝑁

𝑚2 𝑚 (

2

32𝑚 ) − 5 𝑘𝑁 3.5 𝑚 + 𝑅𝑐 4 𝑚 − 4 𝑘𝑁(5.5 𝑚)= 0

REALIZAR SUMA DE MOMENTOS, EN EL APOYO B, E IGUALAR A CERO.

OBSERVACIONES: a) Fuerzas para cargas distribuidas: Es equivalente al área de su representación. Por ejemplo,

para la carga uniformemente distribuida (rectángulo) es longitud de la carga por su intensidad de carga(𝐛𝐚𝐬𝐞 × 𝐚𝐥𝐭𝐮𝐫𝐚); para la carga triangularmente distribuida (triángulo)

es (𝟏

𝟐𝐛𝐚𝐬𝐞 × 𝐚𝐥𝐭𝐮𝐫𝐚).

b) Distancia donde se concentran las cargas distribuidas: Es en el centro de gravedad, que para el rectángulo es a la mitad de su base y para el triángulo está a dos tercios de la base

con respecto al ángulo agudo ( 2

3𝐿), en este ejemplo, L=2 m.

0.5 𝑚 2 𝑚 1.5 𝑚 1.5 𝑚

1. CÁLCULO DE REACCIONES EN APOYOS:

𝐴 𝐷

𝑊2 = 3 𝑘𝑁/𝑚

𝑃1 = 5 𝑘𝑁 𝑃1 = 4 𝑘𝑁

13 𝐿 2

3 𝐿

4.5 𝑘𝑁𝑚 − 4 𝑘𝑁𝑚 − 17.5 𝑘𝑁𝑚 + 𝑅𝑐 4 𝑚 − 22 𝑘𝑁𝑚= 0 −39 𝑘𝑁𝑚 + 𝑅𝑐 4 𝑚 = 0

𝑅𝑐 =39 𝑘𝑁𝑚

4 𝑚

𝑅𝑐 = 9.75 𝑘𝑁

Σ𝐹𝑦 = 0 − 4

𝑘𝑁

𝑚1.5 𝑚 + 𝑅𝐵 −

1

23𝑘𝑁

𝑚2 𝑚 − 5 𝑘𝑁 + 9.75 𝑘𝑁 − 4 𝑘𝑁= 0

−6 𝑘𝑁 + 𝑅𝐵 − 3 𝑘𝑁 − 5 𝑘𝑁 + 9.75 𝑘𝑁 − 4𝑘𝑁 = 0 −8.25 𝑘𝑁 + 𝑅𝐵 = 0

𝑅𝐵 = 8.25 𝑘𝑁

Para hallar la reacción en el apoyo B es más fácil realizar la primera condición de equilibrio: REALIZAR SUMA DE FUERZAS EN Y, E IGUALAR A CERO.

- +

OBSERVACIONES: Para este ejemplo, debido a que no hay fuerzas inclinadas u horizontales externas actuando sobre la viga, se toma por entendido que la suma de fuerzas en eje x es cero y por lo tanto 𝑅𝐵𝑥 = 0

2. IDENTIFICAR CORTES Y POSICIÓN DE ANÁLISIS DE CORTANTES Y MOMENTOS

De la figura, la forma más simple puede ser tomando los cortes a y b hacia la izquierda y los cortes c, d y e hacia la derecha. NOTA: Las cargas distribuidas llevan un corte sobre la carga . Las puntuales llevan un corte antes y otro después de la carga. Las

reacciones en apoyos se consideran cargas puntuales

𝑊1

𝑅𝐶

𝐵

𝑅𝐵

𝐶

𝑊2

𝑃2 𝑎

𝑎 𝑏 𝑐

𝑐 𝑏

𝑑

𝑑

𝑒

𝑒

ANÁLISIS POR IZQUIERDA ANÁLISIS POR DERECHA

SIGNOS PARA ANÁLISIS POR IZQUIERDA


+𝑀

𝑟

𝑟

𝑉 =𝑑

𝑑𝑥(𝑀)

Viga

Corte

+𝑀

𝑟

𝑟

𝑉 = −𝑑

𝑑𝑥(𝑀)

Viga

Corte

𝐴 𝐷

𝑃1

𝑥

2

2. OBTENCIÓN DE ECUACIONES DE CORTANTES Y MOMENTOS

CORTE a-a (porción de viga del volado AB).

𝑊1 = 4 𝑘𝑁/𝑚

+𝑀

𝑎

𝑎

𝑉 𝐴

𝑥

OBSERVACIONES: a) Siempre escribir M que es el momento interno. b) Los análisis de momentos siempre se evalúan en el

corte. Por ejemplo, la distancia requerida significa que empieza en cero en el corte y aumenta positivamente hacia la izquierda hasta encontrar la fuerza (o en el caso de una carga distribuida, aumenta hasta encontrar la distancia al centro del gravedad)

c) La distancia x siempre empieza en el corte y siempre termina en el extremo de la viga (en este ejemplo en A).

d) Se omitirán las unidades físicas con la finalidad de que los resultados sean expresados como ecuaciones.

Σ𝑀𝑎−𝑎 = 0 𝑀 + 4 𝑥 ∙

𝑥

2= 0

𝑀 + 2𝑥2= 0

𝑀 = −2𝑥2 𝑘𝑁 ∙ 𝑚

c.g. .

Aquí:

𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 = 𝑏 × 𝑕 = 𝑥 × 4𝑘𝑁

𝑚= 4 𝑥

𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑕𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑐. 𝑔. =𝑥

2

c.g.=centro de gravedad para una carga distribuida.

𝑉 =𝑑

𝑑𝑥(𝑀)

𝑉 =𝑑

𝑑𝑥(−2𝑥2)

𝑉 = −4𝑥 𝑘𝑁

𝐿

3

𝑥′ = 𝑥 − 1.5 𝑚

CORTE b-b (incluye volado AB y porción de viga BC).

𝑅𝐵 = 8.25 𝑘𝑁

𝑤 =𝑊2𝑥′

𝐿

𝑊1 = 4 𝑘𝑁/𝑚

+𝑀

𝑏

𝑏

𝑉 =𝑑

𝑑𝑥(𝑀)

𝑥

. c.g1.

1.5 𝑚

𝑥 − 0.75 𝑚

0.75 𝑚

Aquí: Carga triangularmente distribuida.

Para obtener la nueva carga máxima en el triángulo, w, usar L y W2 del triángulo inicial:

𝑤 =𝑊2𝑥′

𝐿=

3𝑘𝑁

𝑚(𝑥−1.5)

2 𝑚=

3(𝑥−1.5)

2

𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 =1

2𝑏 × 𝑕 =

1

2𝑥′ × 𝑤=

=1

2(𝑥 − 1.5) ×

3(𝑥 − 1.5)

2=3

4(𝑥 − 1.5)2

𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑕𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑐. 𝑔2.=1

3𝐿 =

1

3(𝑥 − 1.5)

c.g2.

.

Para el análisis del momento la distancia L es relativa a la porción del triángulo:

Σ𝑀𝑏−𝑏 = 0 𝑀 + 4 1.5 𝑥 − 0.75 − 8.25 𝑥 − 1.5 +

3

4(𝑥 − 1.5)2

1

3(𝑥 − 1.5)= 0

𝑀 + 6 𝑥 − 0.75 − 8.25𝑥 + 12.375 +1

4𝑥 − 1.5 3= 0

𝑀 + 6𝑥 − 4.5 − 8.25𝑥 + 12.375 +1

4𝑥3 − 3𝑥2 1.5 + 3𝑥 1.5 2 − 3.375 = 0

𝑀 + 6𝑥 − 4.5 − 8.25𝑥 + 12.375 + 0.25𝑥3 − 1.125𝑥2 + 1.6875𝑥 − 0.84375 = 0 𝑀 + 0.25𝑥3 − 1.125𝑥2 − 0.5625𝑥 + 7.03125 = 0

𝑀 = −0.25𝑥3 + 1.125𝑥2 + 0.5625𝑥 − 7.03125 ; 𝑘𝑁 ∙ 𝑚

OBSERVACIONES: Para este análisis es análogo al análisis por derecha a) Siempre escribir M que es el momento interno, siendo

positivo el signo que se indica. b) Los análisis de momentos siempre se evalúan en el

corte. Por ejemplo, la distancia requerida significa que empieza en cero en el corte y aumenta positivamente hacia la derecha hasta encontrar la fuerza (o en el caso de una carga distribuida, aumenta hasta encontrar la distancia al centro del gravedad)

c) La distancia x siempre empieza en el corte y siempre termina en el extremo de la viga (en este ejemplo en D).

d) Se omitirán las unidades físicas con la finalidad de que los resultados sean expresados como ecuaciones.

𝑉 =𝑑

𝑑𝑥(𝑀)

𝑉 =𝑑

𝑑𝑥(−0.25𝑥3 + 1.125𝑥2 + 0.5625𝑥 − 7.03125)

𝑉 = −0.75𝑥2 + 2.25𝑥 + 0.5625 𝑘𝑁

CORTE c-c, d-d y e-e (incluye porción de viga BC y volado CD).


+𝑀

𝑟

𝑟

𝑉 = −𝑑

𝑑𝑥(𝑀)

CORTE c-c (incluye porción de viga BC y volado CD).

+𝑀

𝑐

𝑐

𝑉 = −𝑑

𝑑𝑥(𝑀)

𝑅𝐶 = 9.75 𝑘𝑁

𝐶 𝐷

𝑃1 = 5 𝑘𝑁 𝑃2 = 4 𝑘𝑁

0.5 𝑚 1.5 𝑚

𝑥

Σ𝑀𝑐−𝑐 = 0 𝑀 + 5 𝑥 − 2 − 9.75 𝑥 − 1.5 + 4𝑥= 0 𝑀 + 5𝑥 − 10 − 9.75𝑥 + 14.625 + 4𝑥= 0

𝑀 − 0.75𝑥 + 4.625 = 0

𝑀 = 0.75𝑥 − 4.625 𝑘𝑁 ∙ 𝑚

𝑉 = −𝑑

𝑑𝑥(𝑀)

𝑉 = −𝑑

𝑑𝑥(0.75𝑥 − 4.625)

𝑉 = − (0.75)

𝑉 = −0.75 𝑘𝑁

CORTE d-d (incluye porción de viga BC y volado CD).

Σ𝑀𝑑−𝑑 = 0 𝑀 − 9.75 𝑥 − 1.5 + 4𝑥= 0 𝑀 − 9.75𝑥 + 14.625 + 4𝑥= 0 𝑀 − 5.75𝑥 + 14.625 = 0

𝑀 = 5.75𝑥 − 14.625 𝑘𝑁 ∙ 𝑚

𝑉 = −𝑑

𝑑𝑥(𝑀)

𝑉 = −𝑑

𝑑𝑥(5.75𝑥 − 14.625)

𝑉 = − (5.75)

𝑉 = −5.75 𝑘𝑁

+𝑀

𝑐

𝑐

𝑉 = −𝑑

𝑑𝑥(𝑀)

𝑅𝐶 = 9.75 𝑘𝑁

𝐶 𝐷

𝑃2 = 4 𝑘𝑁

1.5 𝑚

𝑥

𝑥 − 1.5

CORTE e-e (incluye porción de volado CD).

+𝑀

𝑒

𝑒

𝑉 = −𝑑

𝑑𝑥(𝑀)

𝐷

𝑃2 = 4 𝑘𝑁

𝑥

Σ𝑀𝑑−𝑑 = 0 𝑀 + 4𝑥= 0

𝑀 = −4𝑥 𝑘𝑁 ∙ 𝑚

𝑉 = −𝑑

𝑑𝑥(𝑀)

𝑉 = − (−4)

𝑉 = 4 𝑘𝑁

𝑉 = −𝑑

𝑑𝑥(−4𝑥)

3. OBTENCIÓN DE DIAGRAMAS DE FUERZAS CORTANTES Y MOMENTOS FLEXIONANTES

Para graficar, las ecuaciones obtenidas deberán evaluarse para cada corte que implica la longitud de una carga distribuida o la longitud de la viga hasta encontrar una carga puntual. Si el análisis se realizó por izquierda entonces el cero estará ubicado en el extremo izquierdo de la viga, en este caso en A. Si el análisis se realizó por derecha entonces el cero estará ubicado en el extremo derecho de la viga, en este caso en D.

𝑊1 = 4 𝑘𝑁/𝑚

𝑅𝐶 = 9.75 𝑘𝑁

1.5 𝑚

𝐵

𝑅𝐵 = 8.25 𝑘𝑁

𝐶

0.5 𝑚 2 𝑚 1.5 𝑚 1.5 𝑚

𝐴 𝐷

𝑊2 = 3 𝑘𝑁/𝑚

𝑃1 = 5 𝑘𝑁 𝑃1 = 4 𝑘𝑁

13 𝐿 2

3 𝐿

0 1.5 m 3.5 m

0 1.5 m 2 m 3.5 m Rango para corte a-a

Rango para corte b-b

Rango para corte c-c

Rango para corte d-d

Rango para corte e-e

EVALUACIÓN DE CORTES PARA FUERZAS CORTANTES

Rango para corte a-a

Rango para corte d-d


Rango para corte b-b

Rango para corte c-c

Ecuación: 𝑉 = −4𝑥; 𝑘𝑁

Rango: 𝑥 = 0 𝑦 𝑥 = 1.5𝑚

Sustituyendo cada rango en ecuación: 𝑉 0 = −4 0 = 𝟎 𝑉 1.5 = −4 1.5 = −𝟔 𝒌𝑵

Rango: 𝑥 = 1.5 𝑦 𝑥 = 3.5𝑚

Ecuación: 𝑉 = −0.75𝑥2 +

2.25 + 0.5625 𝑘𝑁

Sustituyendo cada rango en ecuación: 𝑉 1.5 = −0.75(1.5)2 2.25 1.5 + 0.5625 = 𝟐. 𝟐𝟓 𝒌𝑵 𝑉 3.5 = −0.75(3.5)2 2.25 3.5 + 0.5625 = −𝟎. 𝟕𝟓 𝒌𝑵

Rango: 𝑥 = 3.5 𝑦 𝑥 = 2 𝑚

Ecuación: 𝑉 = −0.75; 𝑘𝑁

Sustituyendo cada rango en ecuación: 𝑉 3.5 = −𝟎. 𝟕𝟓 𝒌𝑵 𝑉 2 = −𝟎. 𝟕𝟓 𝒌𝑵

Rango: 𝑥 = 2 𝑦 𝑥 = 1.5 𝑚

Ecuación: 𝑉 = −5.75; 𝑘𝑁

Sustituyendo cada rango en ecuación: 𝑉 2 = −𝟓. 𝟕𝟓 𝒌𝑵 𝑉 1.5 = −𝟓. 𝟕𝟓 𝒌𝑵

Rango: 𝑥 = 1.5 𝑦 𝑥 = 0 𝑚

Ecuación: 𝑉 = 4; 𝑘𝑁

Sustituyendo cada rango en ecuación: 𝑉 1.5 = 𝟒 𝒌𝑵 𝑉 0 = 𝟒 𝒌𝑵

EVALUACIÓN DE CORTES PARA MOMENTOS FLEXIONANTES

Rango para corte a-a Rango para corte b-b

Ecuación:

𝑀 = −2𝑥2 ; 𝑘𝑁 ∙ 𝑚

Rango:

𝑥 = 0 𝑦 𝑥 = 1.5𝑚

Sustituyendo cada rango en ecuación: 𝑀 0 = −2 0 2 = 𝟎

𝑀 1.5 = −2 1.5 2 = −𝟒. 𝟓 𝒌𝑵 ∙ 𝒎

Rango:

𝑥 = 1.5 𝑦 𝑥 = 3.5 𝑚

Ecuación: 𝑀 = −0.25𝑥3 + 1.125𝑥2 + 0.5625𝑥

− 7.03125

Sustituyendo cada rango en ecuación: 𝑀 1.5 = −0.25 1.5 3 + 1.125 1.5 2

+ 0.5625 1.5 − 7.03125= −𝟒. 𝟓 𝒌𝑵 ∙ 𝒎

𝑀(3.5) = −0.25 3.5 3 + 1.125 3.5 2

+ 0.5625 3.5 − 7.03125= −𝟐 𝒌𝑵 ∙ 𝒎


Rango para corte c-c Rango para corte d-d

Ecuación: 𝑀 = 0.75𝑥 − 4.625; 𝑘𝑁 ∙ 𝑚

Rango:

𝑥 = 3.5 𝑦 𝑥 = 2 𝑚

Sustituyendo cada rango en ecuación: 𝑀 3.5 = 0.75 3.5 − 4.625 = −𝟐 𝒌𝑵 ∙ 𝒎 𝑀 2 = 0.75 2 − 4.625 = −𝟑. 𝟏𝟐𝟓 𝒌𝑵 ∙ 𝒎

Rango:

𝑥 = 2 𝑦 𝑥 = 1.5 𝑚

Ecuación: 𝑀 = 5.75𝑥 − 14.625 ; 𝑘𝑁 ∙ 𝑚


Sustituyendo cada rango en ecuación: 𝑀 2 = 5.75 2 − 14.625

= −𝟑. 𝟏𝟐𝟓 𝒌𝑵 ∙ 𝒎 𝑀 1.5 = 5.75 1.5 − 14.625

= −𝟔 𝒌𝑵 ∙ 𝒎

Rango:

𝑥 = 1.5 𝑦 𝑥 = 0

Ecuación:

𝑀 = −4𝑥 ; 𝑘𝑁 ∙ 𝑚

Sustituyendo cada rango en ecuación: 𝑀 1.5 = −4 1.5 = −𝟔 𝒌𝑵 ∙ 𝒎 𝑀 0 = −4 0 = 𝟎

OBSERVACIÓN: Se han tomado los dos puntos extremos del rango, pero puede tomarse puntos intermedios con la finalidad de obtener una tabulación y poder graficar con ella cuando no es fácil «visualizar» la forma de la curva

DIAGRAMAS DE FUERZAS CORTANTES Y MOMENTOS FLEXIONANTES

𝑊1 = 4 𝑘𝑁/𝑚

𝑅𝐶 = 9.75 𝑘𝑁 1.5 𝑚

𝐵

𝑅𝐵 = 8.25 𝑘𝑁

𝐶

0.5 𝑚 2 𝑚 1.5 𝑚 1.5 𝑚

𝐴 𝐷

𝑊2 = 3 𝑘𝑁/𝑚

𝑃1 = 5 𝑘𝑁 𝑃1 = 4 𝑘𝑁

13 𝐿 2

3 𝐿

0

−6 𝑘𝑁

−0.75 𝑘𝑁

2.25 𝑘𝑁

−5.75 kN

4

𝑉

𝑀 0

−4.5 𝑘𝑁 𝑚

−2𝑘𝑁 𝑚 −3.125

−6𝑘𝑁 𝑚

15 𝑐𝑚

30 𝑐𝑚

4. CÁLCULO DEL MOMENTO DE INERCIA CON RESPECTO AL EJE X

Para una sección rectangular:

𝐼𝑥 =𝑏𝑕3

12=15 𝑐𝑚 (30 𝑐𝑚)3

12= 33 750 𝑐𝑚4

1 × 10−8𝑚4 = 1𝑐𝑚4

𝐼𝑥 = 33 750 × 10−8𝑚4

5. CÁLCULO DE MÓDULOS DE SECCIÓN

𝑦1

𝑦2

𝑆1 =𝐼𝑥𝑦1

=33 750 × 10−8𝑚4

15 × 10−2𝑚= 2 250 × 10−6𝑚3

Por simetría 𝑆1 = 𝑆2:

𝑆2 = −𝐼𝑥𝑦2

= −𝑆1= −2 250 × 10−6𝑚3 El signo se debe a que y2 es negativo (hacia abajo)

4.1. CÁLCULO DEL ESFUERZO NORMAL POR FLEXIÓN

Se deben calcular los esfuerzos con la grafica de momentos flexionantes para compresión y tensión, tanto de los valores positivos así como de los negativos de la gráfica. En este ejemplo, la gráfica sólo tiene momentos negativos por lo tanto sólo tomamos el valor mayor negativo. En la gráfica se ve que el momento máximo es de M=-6 KN·m

𝜎𝑐 = −𝑀𝑦1𝐼𝑥

= −𝑀

𝑆1=

−6 𝑘𝑁 ∙ 𝑚

2 250 × 10−6𝑚3 = −0.00267 × 106𝑃𝑎; 𝜎𝑐 = −2.67 𝑘𝑃𝑎

El esfuerzo a compresión es:

El esfuerzo a tensión es:

𝜎𝑇 = −𝑀𝑦2𝐼𝑥

= −𝑀

𝑆2=

−6 𝑘𝑁 ∙ 𝑚

−2 250 × 10−6𝑚3 = 0.00267 × 106𝑃𝑎 ; 𝜎𝑇= 2.67 𝑘𝑃𝑎

4.2. CÁLCULO DEL ESFUERZO CORTANTE POR FLEXIÓN

15 𝑐𝑚

30 𝑐𝑚

𝒚 = 𝟕. 𝟓 𝒄𝒎

𝐶

𝑥𝑐

𝑦𝑐

CÁLCULO DEL MOMENTO ESTÁTICO

𝜏 = 199.9 𝑘𝑃𝑎

𝑄 = 𝑦𝐴 = 7.5 𝑐𝑚 × 15 𝑐𝑚 × 15 𝑐𝑚 = 1687 𝑐𝑚3

𝜏 =𝑉𝑄

𝐼𝑏=

6 𝑘𝑁 × 1687 𝑐𝑚3

33 750 𝑐𝑚4 × 15 𝑐𝑚

𝜏 =6 × 103 𝑁 × 1687 × 10−6𝑚3

33 750 × 10−8𝑚4 × 15 × 10−2𝑚

𝜏 =6 × 1687 × 103−6+8+2

33 750 × 15 𝑃𝑎 = 0.01999 × 107𝑃𝑎

NOTA: 1 𝑘𝑁 = 1 × 103 𝑁 1 𝑐𝑚3 = 1 × 10−6 𝑚3 1 𝑐𝑚4 = 1 × 10−8 𝑚3 1 𝑐𝑚 = 1 × 10−2 𝑚

Ejemplo 2: Viga en voladizo con carga puntual y carga uniformemente distribuida y perfil T

• La viga AB está empotrada en B. La longitud del voladizo es de 12 pies, en el extremo A de la viga tiene una carga uniformemente distribuida de 3 klb/pie y a los 4 pies del empotramiento una carga puntual de 6 klb. El perfil transversal es T. Hallar los esfuerzos normales y cortantes.

𝐴

𝑃 = 6 𝑘𝑙𝑏

𝑞𝐵

OBSERVACIONES: El sentido de las reacciones es sugerido: a) 𝑅𝐵𝑦 está dirigida hacia arriba porque las

cargas externas W y P están hacia abajo. b) El giro del momento 𝑞𝐵 es horario porque

las cargas generan un momento antihorario. c) 𝑅𝐵𝑥 debe coincidir con 𝑅𝐵𝑦 en puntas de

flecha o coincidir con inicio de las flechas en el empotramiento

𝐿

𝐵

12 𝑝𝑖𝑒𝑠

𝑊 = 3 𝑘𝑙𝑏/𝑝𝑖𝑒

5′ 3′ 4′

𝑃

𝑊

𝑅𝐵𝑦

𝑅𝐵𝑥

𝐴 𝐵

El apóstrofe (‘) es el símbolo para representar la unidad «pie».

1.a. CÁLCULO DE REACCIONES EXTERNAS EN APOYOS:

1. DIAGRAMAS DE FUERZAS CORTANTES Y MOMENTOS FLEXIONANTES

Σ𝑀𝐵 = 0 −3

𝑘𝑙𝑏

𝑝𝑖𝑒(5′) 9.5′ − 6 𝑘𝑙𝑏 4′ + 𝑞𝐴 = 0

−142. 5 𝑘𝑙𝑏 𝑝𝑖𝑒 − 24 𝑘𝑙𝑏 𝑝𝑖𝑒 + 𝑞𝐴 = 0

𝒒𝑨 = 𝟏𝟔𝟔. 𝟓 𝒌𝒍𝒃 ∙ 𝒑𝒊𝒆

REALIZAR CONDICIONES DE LA ESTÁTICA, EN EL EMPOTRAMIENTO B, E IGUALAR A CERO. Antes de aplicar las condiciones de la estática se deben ubicar las distancias que se

utilizarán en el cálculo de momentos para cada carga; en este caso la distancia de B hasta la carga puntual y la carga B hasta el centro de gravedad de la carga distribuida.

+ −

SIGNOS DEL MOMENTO

Σ𝐹𝑦 = 0

𝑅𝐵𝑦 − 6 𝑘𝑙𝑏 − 3𝑘𝑙𝑏

𝑝𝑖𝑒(5′) = 0

𝑅𝐵𝑦 − 6 𝑘𝑙𝑏 − 15 𝑘𝑙𝑏 = 0

𝑹𝑨𝒚 = 𝟐𝟏 𝒌𝒍𝒃

Σ𝐹𝑥 = 0 𝑅𝐴𝑥 = 0

𝑹𝑨𝒙 = 𝟎

𝑅𝐵𝑦

𝑅𝐵𝑥

𝑞𝐵 6 𝑘𝑙𝑏

3 𝑘𝑙𝑏/𝑝𝑖𝑒

3′ 4′

𝑑1

𝑑2

.

c.g.=centro de gravedad para una carga distribuida.

5′

c.g.

De la figura puede observarse que el valor de las distancias es:

𝑑1 = 4 𝑝𝑖𝑒𝑠

𝑑2 = 9.5 𝑝𝑖𝑒𝑠

𝐴 𝐵

De la figura, debido a las cargas puntuales, debe hacerse un corte antes y después de la carga puntual y un corte sobre la carga distribuida. Por otro lado, pueden elegirse los cortes en el análisis por derecha o izquierda para disminuir el número de ecuaciones, sin embargo se ha decidido hacer todos los análisis hacia la derecha del extremo A de la viga (VER FIGURAS INFERIORES).

SIGNOS PARA ANÁLISIS POR DERECHA


+𝑀

𝑟

𝑟

𝑉 =𝑑

𝑑𝑥(𝑀)

Viga

Corte

+𝑀

𝑟

𝑟

𝑉 = −𝑑

𝑑𝑥(𝑀)

Viga

Corte

12 𝑝𝑖𝑒𝑠

21 𝑘𝑙𝑏

6 𝑘𝑙𝑏 3 𝑘𝑙𝑏/𝑝𝑖𝑒 166.5 𝑘𝑙𝑏 ∙ 𝑝𝑖𝑒

𝑎

𝑎

𝑏

𝑏

𝑐

𝑐

𝐴 𝐵

(a) IDENTIFICAR CORTES Y POSICIÓN DE ANÁLISIS DE CORTANTES Y MOMENTOS

1.b. ECUACIONES DE FUERZAS CORTANTES Y MOMENTOS FLEXIONANTES

(b). OBTENCIÓN DE ECUACIONES DE CORTANTES Y MOMENTOS

CORTE a-a OBSERVACIONES: a) Siempre escribir M que es el momento interno (flecha

curva roja sentido antihorario). b) Siempre escribir el cortante V (flecha roja hacia abajo). Por

simplicidad se obtiene como la derivada del momento c) La distancia x siempre empieza en el corte y siempre

termina en el extremo de la viga (en este caso en A). d) Los análisis de momentos siempre se evalúan en el corte.

En este caso, la distancia es cero en el corte y aumenta positivamente hacia la izquierda hasta encontrar la distancia al centro del gravedad de la primera carga.

e) Se omitirán las unidades físicas con la finalidad de que los resultados sean expresados como ecuaciones.

Σ𝑀𝑎−𝑎 = 0 𝑀 + 3 𝑥 ∙

𝑥

2= 0

𝑀 +3𝑥2

2= 0

𝑀 = −1.5𝑥2 𝑘𝑙𝑏 ∙ 𝑝𝑖𝑒

𝑉 =𝑑

𝑑𝑥(𝑀)

𝑉 =𝑑

𝑑𝑥−1.5𝑥2

𝑉 = −3 𝑥 𝑘𝑙𝑏

3 𝑘𝑙𝑏/𝑝𝑖𝑒 𝑎

𝑎

𝑥

+𝑀

𝑉 =𝑑

𝑑𝑥(𝑀)

c.g.

𝑥

2

𝐴

Estas ecuaciones deben evaluarse de 0 a 5’ (longitud de la carga uniformemente distribuida)

CORTE b-b

Σ𝑀𝑏−𝑏 = 0 𝑀 + 3 ∙ 5 ∙ (𝑥 − 2.5) = 0 𝑀 + 15𝑥 − 37.5 = 0

𝑀 = −15𝑥 + 37.5 𝑘𝑙𝑏 ∙ 𝑝𝑖𝑒

𝑉 =𝑑

𝑑𝑥(𝑀)

𝑉 =𝑑

𝑑𝑥−15𝑥 + 37.5

𝑉 = −15 𝑘𝑙𝑏

𝑏

𝑥

+𝑀

𝑉 =𝑑

𝑑𝑥(𝑀)

Estas ecuaciones deben evaluarse de 5’ a 8’ (longitud del final de la carga uniformemente distribuida al inicio de la carga puntual)


𝑑1

.

5′

c.g.

𝐴 𝑏

Antes de realizar el análisis hay que encontrar la distancia d1 (distancia que inicia en el corte y termina en el c.g. de la carga distribuida) y expresarla en términos de x. De la figura puede verse que:

𝑑1 = 𝑥 −5

2= 𝑥 − 2.5

OBSERVACIONES: a) Siempre escribir M que es el momento interno (flecha

curva roja sentido antihorario). b) Siempre escribir el cortante V (flecha roja hacia abajo). Por

simplicidad se obtiene como la derivada del momento

CORTE c-c

Σ𝑀𝑏−𝑏 = 0 𝑀 + 3 ∙ 5 ∙ 𝑥 − 2.5 + 6(𝑥 − 8) = 0 𝑀 + 15𝑥 − 37.5 + 6𝑥 − 48 = 0

𝑀 = −21𝑥 + 85.5 𝑘𝑙𝑏 ∙ 𝑝𝑖𝑒

𝑉 =𝑑

𝑑𝑥(𝑀)

𝑉 =𝑑

𝑑𝑥−21𝑥 + 85.5

𝑉 = −21 𝑘𝑙𝑏

𝑥

+𝑀

𝑉 =𝑑

𝑑𝑥(𝑀)

Estas ecuaciones deben evaluarse de 8’ a 12’ (longitud de la carga puntual al empotramiento)

Antes de realizar el análisis hay que encontrar la distancia d1 (distancia que inicia en el corte y

termina en el c.g. de la carga distribuida) y d2 (distancia que inicia en el corte y termina en la carga puntual) y expresarlas en términos de x.

De la figura puede verse que:

𝑑1 = 𝑥 −5

2= (𝑥 − 2.5)

6 𝑘𝑙𝑏 3 𝑘𝑙𝑏/𝑝𝑖𝑒

3′ 𝑑2

𝑑1

.

5′

c.g.

𝐴

𝑐

𝑐

𝑑2 = 𝑥 − 8

OBSERVACIONES: a) Siempre escribir M que es el momento interno (flecha curva

roja sentido antihorario). b) Siempre escribir el cortante V (flecha roja hacia abajo). Por

simplicidad se obtiene como la derivada del momento

21 𝑘𝑙𝑏

6 𝑘𝑙𝑏

3 𝑘𝑙𝑏/𝑝𝑖𝑒 166.5 𝑘𝑙𝑏 ∙ 𝑝𝑖𝑒

𝐴 𝐵

3′ 4′

5′ 0

Rango para corte a-a

Rango para corte c-c Rango para

corte b-b

IDENTIFICACIÓN DE RANGOS

1.c. OBTENCIÓN DE DIAGRAMAS DE FUERZAS CORTANTES Y MOMENTOS FLEXIONANTES

Para graficar, las ecuaciones obtenidas deberán evaluarse para cada corte, en este caso se hicieron 3 cortes por lo tanto habrá tres rangos. De acuerdo a la figura:

5′

8′ 12′

EVALUACIÓN DE CORTES PARA FUERZAS CORTANTES

Ecuación:

𝑉 = −3 𝑥 ; 𝑘𝑙𝑏

Rango:

𝑥 = 0 𝑦 𝑥 = 5′

Sustituyendo cada rango en ecuación: 𝑉 0 = −3(0) = 𝟎 𝑉 5 = −3 5 = −𝟏𝟓 𝒌𝒍𝒃

Rango:

𝑥 = 7′ 𝑦 𝑥 = 4′

Ecuación:

𝑉 = −15 ; 𝑘𝑙𝑏

Sustituyendo cada rango en ecuación: 𝑉 7 = −𝟏𝟓 𝒌𝒍𝒃 𝑉 4 = −𝟏𝟓 𝒌𝒍𝒃

Rango:

𝑥 = 4′ 𝑦 𝑥 = 0

Ecuación:

𝑉 = −21 ; 𝑘𝑙𝑏

Sustituyendo cada rango en ecuación: 𝑉 4 = −𝟐𝟏 𝒌𝒍𝒃 𝑉 0 = −𝟐𝟏 𝒌𝒍𝒃


Rango para corte a-a Rango para corte b-b Rango para corte c-c


Ecuación:

𝑀 = −1.5𝑥2 𝑘𝑙𝑏 ∙ 𝑝𝑖𝑒

Rango:

𝑥 = 0 𝑦 𝑥 = 5′

Sustituyendo cada rango en ecuación: 𝑀 0 = −1.5 0 2 = 𝟎

𝑀 5 = −1.5 5 2

= −𝟑𝟕. 𝟓 𝒌𝒍𝒃 ∙ 𝒑𝒊𝒆

Rango:

𝑥 = 5′ 𝑦 𝑥 = 8′

Ecuación:

Sustituyendo cada rango en ecuación: 𝑀 5 = −15 5 + 37.5

= −𝟑𝟕. 𝟓 𝒌𝒍𝒃 ∙ 𝒑𝒊𝒆 𝑀 8 = −15 8 + 37.5

= −𝟖𝟐. 𝟓 𝒌𝒍𝒃 ∙ 𝒑𝒊𝒆

Rango:

𝑥 = 8′ 𝑦 𝑥 = 12′

Ecuación:

Sustituyendo cada rango en ecuación: 𝑀 8 = −21 8 + 85.5

= −𝟖𝟐. 𝟓 𝒌𝒍𝒃 ∙ 𝒑𝒊𝒆 𝑀 12 = −21 12 + 85.5

= −𝟏𝟔𝟔. 𝟓 𝒌𝒍𝒃 ∙ 𝒑𝒊𝒆


Rango para corte a-a Rango para corte b-b Rango para corte c-c

𝑀 = −15𝑥 + 37.5 𝑘𝑙𝑏 ∙ 𝑝𝑖𝑒 𝑀 = −21𝑥 + 85.5 𝑘𝑙𝑏 ∙ 𝑝𝑖𝑒

6 𝑘𝑙𝑏

0 𝑀 𝑘𝑙𝑏 ∙ 𝑝𝑖𝑒

−37.5

−82.5

−166.5

−21 −15

𝑉 𝑘𝑙𝑏

𝐴 𝐵


5′ 3′ 4′

21 𝑘𝑙𝑏

6 𝑘𝑙𝑏

3 𝑘𝑙𝑏/𝑝𝑖𝑒 166.5 𝑘𝑙𝑏 ∙ 𝑝𝑖𝑒

DIAGRAMAS DE FUERZAS CORTANTES Y MOMENTOS FLEXIONANTES

PERFIL DE LA VIGA

2. CÁLCULO DEL CENTROIDE

OBSERVACIONES: a) Para el cálculo del centroide es necesario ubicar ejes de simetría para simplificar operaciones a) Puede verse que el perfil tiene simetría en el eje «y», entonces por ese eje se

encuentra el «centroide compuesto». b) Representar el perfil compuesto por rectángulos en donde es posible ubicar los

centroides individuales y las áreas A1 y A2…

c) Ubicar en la parte inferior de la viga, y en el eje de simetría, el cero para ubicar las distancias de 0 al centroide de cada rectángulo (𝑦 1 y 𝑦 2) .

(𝑦 1)

(𝑦 2)

(𝑦 1)=

(𝑦 2)=

𝐴1 = 0.32 𝑖𝑛 × 4 𝑖𝑛 = 1.28 𝑖𝑛2

𝐴2 = 0.25 𝑖𝑛 × 6.5 𝑖𝑛 = 1.62 𝑖𝑛2

VALOR DE LA COORDENADA DEL CENTROIDE COMPUESTO

𝑦 𝑐 =𝑦 1𝐴1 + 𝑦 2𝐴2𝐴1 + 𝐴2

=6.7 𝑖𝑛 × 1.28 𝑖𝑛2 + 3.25 𝑖𝑛 × 1.62 𝑖𝑛2

1.28 𝑖𝑛2 + 1.62 𝑖𝑛2 𝑦 𝑐 = 4.8 𝑖𝑛

3. CÁLCULO DEL MOMENTO DE INERCIA

OBSERVACIONES: a) Para el cálculo del momento de

inercia de un perfil compuesto, hay que aplicar el teorema de ejes paralelos para cada área.

b) donde es necesario conocer las distancias del centroide compuesto a los centroides individuales (flechas verdes, 𝑦1y 𝑦2)

c) Y es necesario conocer los momentos de inercias individuales. Para perfiles

rectangulares es : 𝐼𝑖 =𝑏𝑖ℎ𝑖

12

donde b=base del rectángulo y h=altura del rectángulo

𝐼𝑐1 = 𝐼1 + 𝑦12𝐴1

Momento de inercia que aporta el segmento 1 en el centroide compuesto del TEOREMA DE EJES

PARALELOS

𝐼𝑐2 = 𝐼2 + 𝑦22𝐴2

𝐼𝑐 = 𝐼𝑐1 + 𝐼𝑐2

MOMENTO DE INERCIA COMPUESTOEN CENTROIDE

Momento de inercia que aporta el segmento 2 en el centroide compuesto del TEOREMA DE EJES

PARALELOS

Momento de inercia del TEOREMA DE EJES PARALELOS

𝐼𝑐1 =𝑏1𝑕112

+ 𝑦12𝐴1 =

4 𝑖𝑛 × 0.32 𝑖𝑛 3

12+ 1.86 𝑖𝑛 2 × 4 𝑖𝑛 × 0.32 𝑖𝑛 = 4.44 𝑖𝑛4

𝐼𝑐2 =𝑏2𝑕212

+ 𝑦22𝐴2 =

0.25 𝑖𝑛 × 6.5 𝑖𝑛 3

12+ 1.55 𝑖𝑛 2 × 0.25 𝑖𝑛 × 6.5 𝑖𝑛 = 9.63 𝑖𝑛4

𝐼𝑐 = 𝐼𝑐1 + 𝐼𝑐2 = 4.44 𝑖𝑛4 + 9.63 𝑖𝑛4

𝐼𝑐 = 14.07 𝑖𝑛4

MOMENTO DE INERCIA DEL PERFIL COMPUESTO

4.a. CÁLCULO DE ESFUERZOS NORMALES

𝜎𝑖 = 𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙

𝑀 = 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜(𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖𝑜𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠)

𝐼 = 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐼𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜𝑖𝑑𝑒

𝑐𝑖 = 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜𝑖𝑑𝑒 𝑕𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑖𝑔𝑎

ESFUERZO NORMAL A COMPRESIÓN

𝜎1 = −1998 𝑘𝑙𝑏 ∙ 𝑖𝑛 × 2.02 𝑖𝑛

14.07 𝑖𝑛4

𝑀 = 166.5 𝑘𝑙𝑏 ∙ 𝑝𝑖𝑒 ∙12 𝑖𝑛

1 𝑝𝑖𝑒= 1998 𝑘𝑙𝑏 ∙ 𝑖𝑛

ESFUERZO NORMAL A TENSIÓN

𝜎2 = −1998 𝑘𝑙𝑏 ∙ 𝑖𝑛 × (−4.8 𝑖𝑛)

14.07 𝑖𝑛4

OBSERVACIONES: a) Tomar de la gráfica de momentos flexionantes

el valor máximo absoluto. En este ejemplo habrá que realizar una conversión de unidades

b) El signo de c1 es positivo y el de c2 negativo

𝜎1 = −286.8 𝑘𝑙𝑏/𝑖𝑛2

𝜎2 = 685.5 𝑘𝑙𝑏/𝑖𝑛2

4.a. CÁLCULO DE ESFUERZOS CORTANTES HORIZONTALES

OBSERVACIONES: Para el cálculo de fuerza cortantes en perfil se han hecho cortes horizontales como se menciona a continuación: a) Del eje neutro hacia arriba se realizaron 5 cortes: el

patín se dividió en dos partes iguales de 0.16 in. Para el elemento vertical se dividió en tres partes iguales de 0.57 in.

b) Del eje neutro hacia abajo se han realizado tres cortes de 1.6 in.

ESFUERZO CORTANTE HORIZONTAL

𝜏 =𝑉𝑄

𝐼𝑏

OBSERVACIONES: a) La fórmula de cortante debe realizase a partir de la parte superior del perfil hasta cada corte. b) V=el valor del cortante máximo del diagrama de fuerzas cortantes c) Q=momento estático (yA). Donde y= distancia del eje neutro al centroide de la figura obtenida en cada

corte y A=área de la figura. d) I=momento de inercia del perfil compuesto e) b= base comprendida en cada corte.

Primer corte horizontal

OBSERVACIONES: a) El cortante en la superfice externa es cero. b) El valor de y= 1.94 se obtuvo de la distancia medida a partir del centroide hasta la mitad

del primer corte, es decir, 2.02-(0.16/2) c) Recordar que I=14.07 in4. d) Recordar que V=21 klb (diagrama de fuerzas cortantes)


𝑄 = 𝑦𝐴 = 1.94 𝑖𝑛 × 4 𝑖𝑛 × 0.16 𝑖𝑛 = 0.3104 𝑖𝑛3

𝜏 =𝑉𝑄

𝐼𝑏=21 𝑘𝑙𝑏 × 0.3104 𝑖𝑛3

14.07 𝑖𝑛4 × 4 𝑖𝑛

CÁLCULO DEL CORTANTE HORIZONTAL EN EL PRIMER CORTE

𝜏 = 0.11 𝑘𝑙𝑏/𝑖𝑛2

Segundo corte horizontal

OBSERVACIONES: a) En el segundo corte existen 2 bases (una del patín de 4 in y otra de 0.25 in del alma de la

viga), por lo tanto hay 2 cortantes b) El valor de y= 1.86 in se obtuvo de la distancia medida a partir del centroide hasta la mitad

del ancho del patín, es decir, 2.02-(0.32/2) c) Recordar que I=14.07 in4. d) Recordar que V=21 klb (diagrama de fuerzas cortantes)


𝑄1 = 𝑦𝐴1 = 1.86 𝑖𝑛 × 4 𝑖𝑛 × 0.32 𝑖𝑛 = 2.38 𝑖𝑛3

𝜏 =𝑉𝑄1𝐼𝑏

=21 𝑘𝑙𝑏 × 2.38 𝑖𝑛3

14.07 𝑖𝑛4 × 4 𝑖𝑛

CÁLCULO DEL PRIMER CORTANTE HORIZONTAL EN EL SEGUNDO CORTE (CON PATÍN DE 4in):

𝜏 = 0.888 𝑘𝑙𝑏/𝑖𝑛2

CÁLCULO DEL SEGUNDO CORTANTE HORIZONTAL EN EL SEGUNDO CORTE (CON ALMA DE 0.25 in)

𝜏 =𝑉𝑄1𝐼𝑏

=21 𝑘𝑙𝑏 × 2.38 𝑖𝑛3

14.07 𝑖𝑛4 × 0.25 𝑖𝑛 𝜏 = 14.21 𝑘𝑙𝑏/𝑖𝑛2

Tercer corte horizontal


𝜏 =𝑉𝑄

𝐼𝑏=

21 𝑘𝑙𝑏 × 2.58 𝑖𝑛3

14.07 𝑖𝑛4 × 0.25 𝑖𝑛

CÁLCULO DEL CORTANTE HORIZONTAL EN EL TERCER CORTE

𝜏 = 15.4 𝑘𝑙𝑏/𝑖𝑛2

OBSERVACIONES: a) En el tercer corte existen 2 areas por lo que el momento estático será la suma de los

momentos estáticos individuales b) El valor de y= 1.86 in se obtuvo de la distancia medida a partir del centroide hasta la mitad

del ancho del patín, es decir, 2.02-(0.32/2) y y2=1.42 se obtuvo desde el centroide hasta la mitad del rectángulo de altura 0.57 in del alma

c) Recordar que I=14.07 in4. d) Recordar que V=21 klb (diagrama de fuerzas cortantes)

𝑄1 = 𝑦1𝐴1 = 1.86 𝑖𝑛 × 4 𝑖𝑛 × 0.32 𝑖𝑛 = 2.38 𝑖𝑛3

𝑄2 = 𝑦2𝐴2 = 1.42 𝑖𝑛 × 0.25 𝑖𝑛 × 0.57 𝑖𝑛 = 0.202 𝑖𝑛3

𝑄 = 𝑄1 + 𝑄2 = 2.38 + 0.202 = 2.58 𝑖𝑛3

Cuarto corte horizontal


𝜏 =𝑉𝑄

𝐼𝑏=

21 𝑘𝑙𝑏 × 2.70 𝑖𝑛3

14.07 𝑖𝑛4 × 0.25 𝑖𝑛


𝜏 = 16.1 𝑘𝑙𝑏/𝑖𝑛2

OBSERVACIONES: a) En el tercer corte existen 2 áreas por lo que el momento estático será la suma de los


del ancho del patín, es decir, 2.02-(0.32/2) y y2=1.13se obtuvo desde el centroide hasta la mitad del rectángulo de altura 1.14 in del alma


𝑄1 = 𝑦1𝐴1 = 1.86 𝑖𝑛 × 4 𝑖𝑛 × 0.32 𝑖𝑛 = 2.38 𝑖𝑛3

𝑄2 = 𝑦2𝐴2 = 1.13 𝑖𝑛 × 0.25 𝑖𝑛 × 1.14 𝑖𝑛 = 0.322 𝑖𝑛3

𝑄 = 𝑄1 + 𝑄2 = 2.38 + 0.322 = 2.70 𝑖𝑛3

Quinto corte horizontal


𝜏 =𝑉𝑄

𝐼𝑏=

21 𝑘𝑙𝑏 × 2.74 𝑖𝑛3

14.07 𝑖𝑛4 × 0.25 𝑖𝑛


𝜏 = 16.4𝑘𝑙𝑏/𝑖𝑛2

OBSERVACIONES: a) En el tercer corte existen 2 áreas por lo que el momento estático será la suma de los


del ancho del patín, es decir, 2.02-(0.32/2) y y2=0.85 se obtuvo desde el centroide hasta la mitad del rectángulo de altura 1.7 in del alma


𝑄1 = 𝑦1𝐴1 = 1.86 𝑖𝑛 × 4 𝑖𝑛 × 0.32 𝑖𝑛 = 2.38 𝑖𝑛3

𝑄2 = 𝑦2𝐴2 = 0.85 𝑖𝑛 × 0.25 𝑖𝑛 × 1.7 𝑖𝑛 = 0.36 𝑖𝑛3

𝑄 = 𝑄1 + 𝑄2 = 2.38 + 0.322 = 2.74 𝑖𝑛3

Sexto corte horizontal


𝜏 = 9.55𝑘𝑙𝑏/𝑖𝑛2

OBSERVACIONES: a) El cortante en la superfice externa es cero. b) El valor de y= 4.0 in se obtuvo de la distancia medida a partir del centroide hasta la mitad

del primer corte, es decir, 4.8-(0.16/2) c) Recordar que I=14.07 in4. d) Recordar que V=21 klb (diagrama de fuerzas cortantes)

𝑄 = 𝑦𝐴 = 4.0 𝑖𝑛 × 0.25 𝑖𝑛 × 1.6 𝑖𝑛 = 1.6 𝑖𝑛3

𝜏 =𝑉𝑄

𝐼𝑏=

21 𝑘𝑙𝑏 × 1.6 𝑖𝑛3

14.07 𝑖𝑛4 × 0.25 𝑖𝑛

CÁLCULO DEL CORTANTE HORIZONTAL EN EL SEXTO CORTE

De manera análoga se procede en los demás cortes que faltan

DIAGRAMA DE ESFUERZOS CORTANTES EN SECCIÓN TRANSVERSAL

𝜏𝑚𝑎𝑥

REFERENCIAS

1. Gere, J.M., & Goodno, B.J.(2009). Mecánica de Materiales. México: Cengage Learning.

2. Fitzgerald, R.W. (1996). Mecánica de Materiales. México: Alfaomega.

esfuerzos en flexion

Engineering