flexibilidad_sistemashiperestaticos
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7/23/2019 Flexibilidad_SistemasHiperestaticos
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Universidad Federico Santa María
Departamento de Obras Civiles
Fundamentos de Análisis Estructural (CIV –233)
M. Valdebenito
Método de Flexibilidad y
Resolución de EstructurasHiperestáticas
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Introducción
• Principio de fuerzas virtuales y el método de carga unitaria hanpermitido determinar desplazamientos y giros de estructuras en varios
casos:
– Carga puntual
– Carga distribuida
– Cambios de temperatura
– Defectos de fabricación
– Asentamientos
– Apoyos elásticos
• Todo lo anterior aplica a estructuras isostáticas
Contexto
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Introducción
• En esta unidad, se busca generalizar el rango de aplicación aestructuras hiperestáticas. Para esto se estudia la construcción y
utilización de matrices de flexibilidad
– Conceptualmente, es solo un caso especial del principio de fuerzas
virtuales
– Permite dar tratamiento ordenado y sistemático al momento deanalizar estructuras (isostáticas e hiperestáticas)
• En la literatura, los nombres “método de flexibilidad”, “método de carga
unitaria” y “método de fuerza” se utilizan indistintamente
Objetivos
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Introducción
• Además de estudiar el método de flexibilidad, se estudian aspectosespecíficos de su uso
– Asentamientos
– Apoyos elásticos
– Cambios de temperatura
– Deformaciones iniciales
– Pretensado
– Simetría
• De manera adicional, se estudia la conexión entre el método deflexibilidad y el Teorema de Castigliano (parte 2)
Objetivos
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Grado de Libertad
• Con el objeto de estudiar estructuras, es habitual introducir grados delibertad.
– Es una coordenada asociada a la ubicación y dirección de una
fuerza y/o desplazamiento
– Es posible introducir tantos grados de libertad como sea requerido
• Ejemplo:
– Viga en voladizo con carga en el extremo.
– Interesa controlar desplazamiento y giro en punto medio.
Concepto
2 2
3
gl: grado de libertad
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Grado de Libertad
• Un grado de libertad puede ser utilizado para medir desplazamientosrelativos
• Note que grado de libertad fija un cierto sentido
• Ejemplo:
– Desplazamiento ocasionado por en gl 3 es negativo.
– Desplazamiento ocasionado por en gl 3 es positivo.
Concepto
3
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Método de Flexibilidad
• El método de flexibilidad permite relacionar las cargas ydesplazamientos en una estructura mediante una expresión matricial
• Ejemplo:
– Viga sometida a carga y momento en el extremo; interesa conocer
deflexión y giro en el extremo
Concepto
Desplazamientos
en grados de
libertad
Matriz de
flexibilidad
Cargas
aplicadas en
grados de
libertad
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Método de Flexibilidad
• Ejemplo: – Viga sometida a carga y momento en el extremo; interesa conocer
deflexión en el punto medio
Concepto
2 2
3
Desplazamientos
en grados de
libertad
Matriz de
flexibilidad
Cargas
aplicadas en
grados delibertad
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Método de Flexibilidad
• Caso general: sistema de N grados de libertad
Concepto
La matriz de flexibilidad
tiene dimensión × ,
relaciona cargas en los
distintos gl con
desplazamientos en los gl
… … .
+
… … .
+
Desplazamientos
en grados de
libertad
Matriz de
flexibilidad
Cargas
aplicadas en
grados de
libertad
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Método de Flexibilidad
• Considere un sistema de 1 gl
• La relación de flexibilidad es:
• es un coeficiente de flexibilidad
– Si = 1, = . Es decir, es el desplazamiento en el gl 1
debido a una carga unitaria aplicada en el gl 1.
Interpretación de la Matriz de Flexibilidad
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Método de Flexibilidad
• Considere un sistema de 2 gl
• La relación de flexibilidad es:
• , , = 1,2 son coeficientes de flexibilidad
– Si = 1 y = 0, = . Es decir, es el desplazamiento en el
gl 1 debido a una carga unitaria aplicada en el gl 1
Interpretación de la Matriz de Flexibilidad
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Método de Flexibilidad
• Considere un sistema de 2 gl
• , , = 1,2 son coeficientes de flexibilidad
– Si = 1 y = 0, = . Es decir, es el desplazamiento en el
gl 2 debido a una carga unitaria aplicada en el gl 1
– Si = 0 y = 1, = . Es decir, es el desplazamiento en el
gl 1 debido a una carga unitaria aplicada en el gl 2 – Si = 0 y = 1, = . Es decir, es el desplazamiento en el
gl 2 debido a una carga unitaria aplicada en el gl 2
Interpretación de la Matriz de Flexibilidad
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Método de Flexibilidad
• Caso general: sistema de N grados de libertad
• El coeficiente de flexibilidad es el desplazamiento en el grado de
libertad debido a una carga unitaria aplicada en el grado de libertad
Interpretación de la Matriz de Flexibilidad
… … .
+
… … .
+
Indica grado de libertad donde
se produce desplazamientoIndica grado de libertad en el
que se aplica carga unitaria
Coeficiente de flexibilidad, mide
desplazamiento
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Método de Flexibilidad
• Con el objeto de estudiar una propiedad de la matriz de flexibilidad, esrelevante estudiar los teoremas de Betti y Maxwell
• Teorema de Betti: si sobre un sistema estructural se considera la acción
de dos conjuntos A y B de fuerzas externas en equilibrio, el trabajo
externo desarrollado por las fuerzas del conjunto A en los
desplazamientos producidos por el conjunto B, es igual al trabajoexterno desarrollado por las fuerzas del conjunto B en los
desplazamientos originados por el conjunto de fuerzas A
Teorema de Betti y Teorema de Maxwell
Donde
• P,: -ésima fuerza del conjunto desplazamiento
• Δ,: desplazamiento en el -ésimo
grado de libertad del conjunto de
cargas debido al conjunto de cargas
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Método de Flexibilidad
• Teorema de Betti: demostración – Considere la viga de la figura
– Caso 1: Asuma que primero se aplica
y luego,
Trabajo realizado al aplicar
Trabajo realizado al aplicar (estando aplicada)
Teorema de Betti y Teorema de Maxwell
∆∆
∆∆
∆
∆
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Método de Flexibilidad
• Teorema de Betti: demostración – Caso 1: Asuma que primero se aplica y luego,
Trabajo total realizado
Teorema de Betti y Teorema de Maxwell
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Método de Flexibilidad
• Teorema de Betti: demostración – Caso 2: Asuma que primero se aplica y luego,
Trabajo realizado al aplicar
Trabajo realizado al aplicar (estando aplicada)
Trabajo total realizado
Teorema de Betti y Teorema de Maxwell
∆∆
∆∆
∆
∆
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Método de Flexibilidad
• Teorema de Betti: demostración – Evidentemente, el trabajo total asociado a los casos 1 y 2 es
idéntico
• Note que la aplicación del teorema de Betti se restringe a estructuras
lineales y elásticas sometidas a pequeñas deformaciones
Teorema de Betti y Teorema de Maxwell
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Método de Flexibilidad
• Teorema de Maxwell: – En el caso particular en que = = 1, se cumple que:
– Dado que ∆
= ∆
son ocasionados por cargas unitarias, ∆
= y ∆= . En consecuencia:
– En general, para una estructura lineal elástica sometida a pequeñas
deformaciones, se cumple que:
Teorema de Betti y Teorema de Maxwell
Teorema de Maxwell
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Método de Flexibilidad
• Los coeficientes de la matriz de flexibilidad corresponden adesplazamientos. Por lo tanto, es posible utilizar el método de carga
unitaria para calcularlos
• Recordar que es el desplazamiento en el gl debido a una carga
unitaria aplicada en
Cálculo de la Matriz de Flexibilidad
1
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Método de Flexibilidad
• Por lo tanto, el cálculo de implica:
Cálculo de la Matriz de Flexibilidad
1
1
Estructura
real
Estructuravirtual
Diagramas de fuerzas internas de
momento (()), corte (()) y
fuerza axial (())
Diagramas de fuerzas internas demomento (()), corte (()) y
fuerza axial (())
es habitual considerar solo los efectos de flexión
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Método de Flexibilidad
• En resumen, para calcular la matriz de flexibilidad de una estructura deN grados de libertad se requiere:
– Calcular conjuntos de diagramas de fuerzas internas ( ,
y , = 1, … , ) ocasionados por cargas unitarias aplicadas en
cada gl
– Calcular los coeficientes de flexibilidad requeridos haciendo usode la propiedad que la matriz es simétrica
Cálculo de la Matriz de Flexibilidad
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Método de Flexibilidad
• Ejemplo: – Calcular la relación de flexibilidad
– Propiedades de sección transversal: constante. Depreciar
deformación axial y corte
Cálculo de la Matriz de Flexibilidad
R:
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Análisis de Estructuras Hiperestáticas
• Las técnicas estudiadas hasta este momento permiten calculardesplazamientos y giros en cualquier punto de una estructura
– Aplicación restringida a sistemas isostáticos (se requiere conocer
diagramas de fuerzas internas)
• Estructura hiperestática
– No es posible calcular diagramas de fuerzas internas de maneradirecta
– Ecuaciones de equilibrio son insuficientes para determinar fuerzas
internas
• Ejemplo:
– Viga de propiedades. : constante.
Concepto
Estructura con 1 grado de hiperestaticidad
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Análisis de Estructuras Hiperestáticas
• Con el objeto de generar más ecuaciones para poder determinarreacciones, se liberan vínculos
– Al liberar vínculos, estructura pasa a ser isostática.
– Es necesario que estructura con vínculos libres mantenga
condiciones de desplazamiento compatibles con la estructura
original• Ejemplo: (continuación)
– Se libera vínculo vertical del apoyo B
Estrategia
(condición del vínculo)
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Análisis de Estructuras Hiperestáticas
• Al momento de liberar un vínculo, se debe verificar que la estructurasea estable. En caso contrario, estructura con vínculo liberado no es útil
• Ejemplo (continuación)
– Se libera vínculo horizontal en A. Estructura se transforma en
mecanismo, no es útil para análisis
Estrategia
Mecanismo, no es útil para
análisis
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Análisis de Estructuras Hiperestáticas
• Al momento de liberar un vínculo, se introduce un grado de libertad conel objeto de determinar desplazamiento. Además, se separan los
efectos de las cargas de la estructura de las fuerzas asociadas a los
vínculos liberados
• Ejemplo (continuación)
Estrategia
Estructura
hiperestática
Estructura
isostática con
cargas
Estructura
isostática con fuerzas
asociadas a los
vínculos liberados
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Análisis de Estructuras Hiperestáticas
• El desplazamiento en el vínculo liberado para la estructura isostáticacon cargas se calcula mediante carga unitaria
• El desplazamiento en el vínculo liberado para la estructura isostática
con fuerzas asociadas a dicho vínculo se calcula con el método de
flexibilidad
• Ejemplo (continuación)
Estrategia
desplazamiento en
estructura original
desplazamiento en
estructura isostática
desplazamiento ocasionado por
fuerzas asociadas a vínculos
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Análisis de Estructuras Hiperestáticas
• Note que el desplazamiento del vínculo en la estructura original es nulo(posible excepción: asentamiento). Luego es posible calcular el valor de
la reacción incógnita
• Ejemplo (continuación)
Estrategia
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Análisis de Estructuras Hiperestáticas
• Durante el desarrollo, hay que seguir convención de desplazamientopositivo definido por grado de libertad introducido
• Ejemplo:
– Calcular reacciones de la viga de la figura. Considerar EI constante.
Para resolver el problema, libere el vínculo vertical en B
Estrategia
R:
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Análisis de Estructuras Hiperestáticas
• Paso 1: determine el grado de hiperestaticidad de la estructura. Libereun número de vínculos igual al grado de indeterminación estática.
Cuide que la estructura resultante sea estable y estáticamente
determinada
Procedimiento
Alternativa 1
Alternativa 2
Alternativa 3
Alternativa 4...
Nota: El vínculo
liberado puede
corresponder a
un apoyo o
vínculo interno
Estructura
original
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Análisis de Estructuras Hiperestáticas
• Paso 2: introduzca grados de libertad asociados a los vínculosliberados
Procedimiento
Alternativa 1
Alternativa 2
Alternativa 3
Alternativa 4
..
.
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Análisis de Estructuras Hiperestáticas
• Paso 3: calcule los desplazamientos de la estructura isostática en losgrados de libertad considerando las cargas originales. Utilice carga
unitaria
Procedimiento
=
• Generalmente se considera solo
flexión.
• (): momento en estructura
isostática debido a carga original
• (): momento en estructura
isostática debido a carga unitaria
en grado de libertad
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Análisis de Estructuras Hiperestáticas
• Paso 4: calcule la matriz de flexibilidad asociada a los grados delibertad
Procedimiento
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Análisis de Estructuras Hiperestáticas
• Paso 5: calcule las fuerzas asociadas a los vínculos liberados. Serequiere invertir la matriz de flexibilidad
Procedimiento
=
Note que habitualmente
Δ = Δ
= 0 (posible
excepción: asentamiento)
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Análisis de Estructuras Hiperestáticas
• Ejemplo 1: – Calcular reacciones de la viga de la figura. Considerar : constante
– Caso A: liberar vínculo al giro en el apoyo A
– Caso B: liberar vínculo al giro en el punto medio
– Caso C: liberar vínculo al desplazamiento vertical en el punto medio
Ejemplos
R:
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Análisis de Estructuras Hiperestáticas
• Ejemplo 2: – Calcular las reacciones del marco de la figura. Considerar EI:
constante
– Liberar vínculos del apoyo D
Ejemplos
R:
A áli i d E Hi á i
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Análisis de Estructuras Hiperestáticas
• Ejemplo 3: – Calcular las fuerzas del enrejado de la figura. Considerar :
constante
– Liberar vínculos en barras AD y CF
Ejemplos
R: = −0.789 ,
= −0.625
D l i t d E t t Hi táti
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Desplazamiento de Estructuras Hiperestáticas
• Una vez calculadas las redundantes de una estructura isostática, esposible determinar desplazamientos (diagramas de fuerzas internas son
conocidos)
• Para calcular desplazamientos de estructuras hiperestáticas, es posible
recurrir al método de carga unitaria. No obstante, debe aplicarse de
manera criteriosa• Ejemplo
– Calcular desplazamiento en el punto medio de la viga, suponer
constante
Descripción General
2
2
D l i t d E t t Hi táti
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Desplazamiento de Estructuras Hiperestáticas
• Ejemplo (continuación) – Para resolver, se calcula diagrama de momento de sistema real y
virtual
– Procedimiento es poco eficiente pues hay que resolver una
estructura hiperestática adicional
Descripción General
2
2
()
(−)
()
1
2
2
()
(−)()
Sistema
real
Sistema
virtual
D l i t d E t t Hi táti
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Desplazamiento de Estructuras Hiperestáticas
• Para calcular desplazamientos de manera eficiente, se hace uso delhecho que al aplicar el método de carga unitaria (que es un caso
particular del principio de fuerzas virtuales), no es necesario que los
sistemas estructurales real y virtual sean idénticos
– El sistema virtual se define considerando una estructura isostática(basada en la estructura real después de liberar vínculos)
Estrategia
D l i t d E t t Hi táti
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Desplazamiento de Estructuras Hiperestáticas
• Ejemplo (continuación) – Para calcular desplazamientos, se utiliza el siguiente sistema virtual
Estrategia
2
2
()
(−)
()
1
2
2
()
()
Sistema
real
Sistema
virtual
D l i t d E t t Hi táti
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Desplazamiento de Estructuras Hiperestáticas
• Calcule el desplazamiento vertical en el punto medio de la viga.Considere : constante
Ejemplo
2
2
R:
A t i t
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Asentamientos
• Estructura isostática – Asentamiento ocasiona desplazamientos (movimiento de cuerpo
rígido) en la estructura sin causar esfuerzos
• Estructura hiperestática
– Asentamiento ocasiona desplazamientos y puede causar esfuerzos
Aspectos Generales
∆ ∆
Debido a asentamiento, se generan
desplazamientos y esfuerzos
Debido a asentamiento, se
generan desplazamientos
A t i t
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Asentamientos
• Conceptualmente, el análisis de una estructura hiperestática queexperimenta asentamiento es idéntico al de una estructura hiperestática
cualquiera. Solo se debe prestar atención al momento en que se libera
el (o los) vínculos redundantes
• Caso I: grado de libertad asociado a vínculo liberado coincide conasentamiento
– En este caso, al momento de plantear el problema hiperestático
como la suma de dos problemas isostáticos, la suma de los
desplazamientos en cada isostática es igual al asentamiento
Estrategia
A t i t
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Asentamientos
• Ejemplo – Calcule las reacciones de la estructura. Asuma : constante. Libere
vínculo vertical en C
Estrategia
∆: Asentamiento vertical
2
2
R:
∆
=
Estructura Hiperestática Estructura isostática
con cargas
Estructura isostática con
fuerzas redundantes
Asentamientos
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Asentamientos
• Caso II: grado de libertad asociado al vínculo liberado no coincide conasentamiento
– En este caso, efecto de asentamiento se incluye en estructura
isostática con cargas
– Desplazamiento asociado en estructura hiperestática es cero
• Ejemplo
– Calcule las reacciones de la estructura. Asuma : constante. Libere
el vínculo al giro en A.
Estrategia
∆: Asentamiento vertical
2
2
Asentamientos
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Asentamientos
• Ejemplo (continuación)
Estrategia
R:
∆
=
Estructura Hiperestática Estructura isostática
con cargas
Estructura isostática con
fuerzas redundantes
Apoyos Elásticos
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Apoyos Elásticos
• En general, los problemas hiperestáticos que involucran apoyoselásticos no presentan mayor dificultad
– Es necesario tener claridad respecto del vínculo que se libera y
realizar un análisis consistente
• Ejemplo
– Determine la fuerza que experimenta el resorte. Asuma :constantes
– Resuelva liberando (a) el vínculo vertical en C, (b) el vínculo vertical
en D
Estrategia
2
2
R:
(compresión)
Cambios de Temperatura
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Cambios de Temperatura
• Estructura Isostática – Cambio de temperatura ocasiona desplazamientos (sin causar
esfuerzos)
• Estructura hiperestática
– Cambio de temperatura ocasiona desplazamientos. Producto de
estos desplazamientos y condiciones de apoyo, pueden existir esfuerzos
Aspectos Generales
∆
∆∆
−∆
Cambio de temperatura
ocasiona desplazamientos
Cambio de temperatura ocasiona
desplazamientos, además se
generan esfuerzos
Cambios de Temperatura
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Cambios de Temperatura
• Al igual que en el caso de asentamientos, no hay mayores dificultadesal momento de resolver problemas hiperestáticos que involucren
cambios de temperatura. Solo es necesario tener claridad respecto del
vínculo que se libera y realizar un análisis consistente.
• Ejemplo
– Determine el momento en el apoyo A. Considere : constante,coeficiente de dilatación térmico y altura de la sección transversal
de la viga ℎ
Estrategia
∆− ∆
R: (sentido horario)
Defectos de Fabricación
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Defectos de Fabricación
• Estructura Isostática – Defecto de fabricación ocasiona desplazamientos (sin causar
esfuerzos)
• Estructura Hiperestática
– Defecto de fabricación ocasiona desplazamientos, pueden existir
esfuerzos.
Aspectos Generales
Defecto de fabricación
ocasiona desplazamientos
∆
Barra mide L ∆
Defecto de fabricación
ocasiona desplazamientos
y esfuerzos
Defectos de Fabricación
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Defectos de Fabricación
• Al igual que en el caso de asentamientos, se distinguen 2 casos:• Caso I: grado de libertad asociado a vínculo liberado coincide con
defecto de fabricación
– Al momento de plantear el problema hiperestático como la suma de
dos problemas isostáticos, la suma de desplazamientos en cada
isostática es igual al defecto de fabricación
Estrategia
Defectos de Fabricación
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Defectos de Fabricación
• Ejemplo – Calcule la fuerza en la barra BD dado que la barra AC es ∆
unidades más larga que lo indicado en la figura. Asuma :
constante e idéntico para todas las barras. Libere el vínculo axial de
la barra AC
Estrategia
Defectos de Fabricación
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R:
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Defectos de Fabricación
• Ejemplo (continuación)
Estrategia
y por equilibrio
=
Estructura Hiperestática Estructura isostática con
cargas
Estructura isostática con
fuerzas redundantes
Defectos de Fabricación
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Defectos de Fabricación
• Caso II: grado de libertad asociado a vínculo liberado no coincide condefecto de fabricación
– Defecto de fabricación se incluye en estructura isostática con
cargas.
– Desplazamiento asociado en estructura hiperestática es cero.
• Ejemplo – Calcule la fuerza en la barra BD dado que la barra AC es ∆
unidades más larga que lo indicado en la figura. Asuma :
constante para todas las barras. Libere el vínculo axial de la barra
BD.
Estrategia
Defectos de Fabricación
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R:
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Defectos de Fabricación
• Ejemplo (continuación)
Estrategia
=
Estructura Hiperestática Estructura isostática con
cargas
Estructura isostática con
fuerzas redundantes
Pretensado
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Pretensado
• En el diseño de alguna estructuras es conveniente introducir esfuerzoscon el objeto de mejorar su desempeño
– Hormigón pre/postensado: tendón de acero induce esfuerzos de
compresión en elemento de hormigón. De esta manera, se
controlan (o eliminan) esfuerzos de tensión
Aspectos Generales
ℎ
Tendón de acero,
tensión igual a
línea
neutra
=
Pretensado
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Pretensado
• Tendón de acero puede ser dispuesto no solo en línea recta; por ejemplo, en el caso en que sigue una parábola
• Un problema isostático o hiperestático puede ser resulto aplicandotécnicas discutidas previamente
Aspectos Generales
=ℎ
Tendón de acero,
tensión igual a
línea
neutra
cos ≈
si n
cos ≈
si n
Pretensado
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Pretensado
• Ejemplo – Calcule la reacción vertical en B. Asuma : constante, pretensión
y excentricidad
Aspectos Generales
Tendón de acero,
pretensión igual a
líneaneutra
,
R:
Simetría
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Simetría
• En algunasestructuras, es
posible determinar
planos de s imet ría
Concepto Básico
• La simetría puede ser aprovechada para disminuir costos numéricos de
análisis
• Idea: utilizar solo una parte de la estructura para hacer el análisis
– Paso 1: reconocer plano de simetría desde el punto de vista de laestructura
– Paso 2: caracterizar cargas como simétricas / anti-simétricas
– Paso 3: imponer condiciones de borde a ser consideradas sobre la
parte de la estructura a ser analizada
CL
Simetría
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Simetría
• Paso 1: reconocer plano de simetría desde el punto de vista de laestructura
Procedimiento
CL CL
CL
Simetría
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Simetría
• Paso 2: caracterizar cargas como simétricas / anti-simétricas – Carga simétrica: si se imagina un espejo en el plano de simetría,
las cargas reflejadas sobre una porción de la estructura son
idénticas a las cargas aplicadas realmente
Procedimiento
CL
CL
Simetría
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Simetría
• Paso 2: caracterizar cargas como simétricas / anti-simétricas – Carga anti-simétrica: si se imagina un espejo en el plano de
simetría, las cargas reflejadas sobre una porción de la estructura
son iguales en magnitud pero de sentido opuesto a las cargas
aplicadas realmente
Procedimiento
CL
CL
Simetría
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Simetría
• Paso 3: imponer condiciones de borde a ser consideradas sobre laparte de la estructura a ser analizada
• Carga simétrica: considere el siguiente ejemplo (note que análisis
es válido para cualquier estructura simétrica con carga simétrica)
Procedimiento
CL CL
O
Análisis
estático
Al analizar fuerzas internas en punto
O, es posible notar que corte en ese
punto debe ser nulo
Simetría
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Simetría
• Paso 3: imponer condiciones de borde a ser consideradas sobre laparte de la estructura a ser analizada
• Carga simétrica: como corte en plano de simetría debe ser nulo se
introduce apoyo desl izante
Procedimiento
CL CL
Estructura original Parte de la estructura
a ser analizada
Una vez que se analizauna parte de la estructura,
es posible obtener
cantidades de interés en
toda la estructura
utilizando concepto de
simetría
Simetría
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Simetría
• Paso 3: imponer condiciones de borde a ser consideradas sobre laparte de la estructura a ser analizada
• Carga anti-simétrica: considere el siguiente ejemplo (note que
análisis es válido para cualquier estructura simétrica con carga anti-
simétrica)
Procedimiento
CL CL
O
Análisis
estático
Al analizar fuerzas internas en punto O,
es posible notar que momento y carga
axial en ese punto debe ser nulos
Simetría
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Simetría
• Paso 3: imponer condiciones de borde a ser consideradas sobre laparte de la estructura a ser analizada
• Carga anti-simétrica: como momento y carga axial en plano de
simetría deben ser nulos se introduce apoyo desl izante simple
Procedimiento
CL CL
Estructura original Parte de la estructura
a ser analizada
Una vez que se analizauna parte de la estructura,
es posible obtener
cantidades de interés en
toda la estructura
utilizando concepto de
anti-simetría
Simetría
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Simetría
• Calcule el momento en el apoyo A. Utilice conceptos de simetría.Considere : constante
Ejemplo
4
4
4
4
R: (sentido
anti horario)
Teorema de Castigliano (Parte 2)
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Teorema de Castigliano (Parte 2)
• El teorema de Castigliano (parte 2) indica que para una estructura linealelástica, el desplazamiento en un punto es igual a la derivada parcial de
la energía de deformación virtual complementaria respecto de la fuerza
asociada
• Asuma que la reacción en un apoyo se denota como . Dado que en el
apoyo el desplazamiento es cero, se cumple que:
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Recordatorio
Ecuación permite determinar
Teorema de Castigliano (Parte 2)
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Teorema de Castigliano (Parte 2)
• Calcule las reacciones de la estructura de la figura utilizando el teoremade Castigliano (parte 2). Asuma : constante
Ejemplo
2
2
R: